8 series de fourier

ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II SERIES DE FOURIER 2010

TEMA 8

SERIES DE FOURIER

En esta parte se analizará las excitaciones periódicas no senoidales, las distorsiones de las señales por efecto de las distorsiones en la carga sistemas eléctricos y los medios para encarar sus posibles soluciones.

Los armónicos son distorsiones de las ondas sinusoidales de tensión y/o corriente de los sistemas eléctricos, debido al uso de cargas con impedancia no lineal, a materiales ferromagnéticos, y en general al uso de equipos que requieranrealizar conmutaciones en su operación normal.

Los armónicos también las podemos considerar como distorsiones periódicas de las señales o formas de ondas de los parámetros eléctricos de corriente y/o de tensión eléctricos y/o electrónicos.

8.1. DEFINICIÓN DE ARMÓNICOS

Para definir este concepto es importante definir primero la calidad de la onda de tensión la cual debe tener amplitud y frecuencia constantes al igual que una forma sinusoidal. La Figura 1, representa la forma de la onda sin contenido de armónicos, con una frecuencia constante de 50Hz y una amplitud constante de 1 pu.

Figura 1 Forma de onda sin contenido Armónico

Cuando una onda periódica no tiene esta forma sinusoidal se dice que tiene contenido armónico, lo cual puede alterar su valor pico y/o valor RMS causando alteraciones en el funcionamiento normal de los equipos que estén sometidos a esta tensión.

La frecuencia de la onda periódica se denomina frecuencia fundamental y los armónicos son señales cuya frecuencia es un múltiplo entero de esta frecuencia.

La Figura 2 muestra una onda de tensión con un contenido del 30% del armónico:

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 115 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA

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Resaltado

hola

Resaltado

hola

Resaltado

hola

Resaltado

hola

Resaltado

hola

Resaltado

hola

Resaltado

hola

Resaltado


Figura 2. Señal con contenido armónico

Como puede observarse, el contenido armónico de esta onda ha aumentado en un 30% su valor pico.

8.2. FUNCIONES PERIÓDICAS:

La función f(t), se dice periódica si cumple la siguiente condición:

Donde:

T - Período de la función periódica f(t).

n – Número entero

Figura 3. Función Periódica



Si dos funciones f1(t) y f2(t) tienen el mismo periodo T, entonces la suma de ambas funciones:

También posee el mismo periodo T. para todo valor constante de a y b.

Por otro lado, podemos afirmar que la función siguiente:

También es periódica

Hé aquí, algunos ejemplos de funciones contínuas y periódicas:

Rectificación de onda completa:

Rectificación de media onda:

Onda triangular:


hola

Resaltado


Onda rectangular:

Onda cuadrada:

8.3. CONDICIONES DE DIRICHLET.

Una función que pueda representarse mediante una serie de Fourier, debe cumplir ciertos requerimientos, debido a que la serie infinita de la ecuación (3) y (4), puede o no convergir. Estas condiciones las impone Dirichlet

f(t) tiene un valor único para cualquier valor de t. f(t) tiene un número finito de discontinuidades en el intervalo de un periodo. f(t) tiene un número finito de máximos y mínimo en el intervalo de un periodo.

La integral , para cualquier



Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias, para que exista una serie de Fourier; sin embargo, una función puede no cumplir las condiciones de Dirichlet y ser expresable como serie de Fourier.

8.4. ECUACIÓN DE LA SERIE DE FOURIER.

El análisis de Fourier permite tratar cualquier función periódica como una suma infinita de funciones sinusoidales relacionadas armónicamente.

La ecuación de Fourier expresa que toda onda periódica no sinusoidal puede ser descompuesta como la suma de ondas sinusoidales, siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones:

Que la integral a lo largo de un periodo de la función sea un valor finito. Que la función posea un número finito de discontinuidades en un periodo. Que la función posea un número finito de máximos y mínimos en un periodo.

Cualquier función f(t) con periodo To tiene su representación en series de Fourier de acuerdo con la siguiente expresión:

Generalizando:

Donde:

k Número Natural.

Coeficientes de Fourier.

= Frecuencia Angular Fundamental.

Frecuencia de la componente Armónica de orden k.

f(t) se expresa como la suma de una componente continua y diversas componentes sinusoidales, ahora, si representa la excitación de un circuito, la salida de éste puede ser calculada aplicando el principio de superposición.

8.4.1. COEFICIENTES DE FOURIER.


hola

Resaltado

hola

Resaltado


Componente de corriente contínua, :

Integrando miembro a miembro ecuación (4) de 0 a T:

El valor medio de una función senoidal, periodo T, es siempre igual a cero, luego:

(5), valor medio de f(t).

Componente de corriente alterna, función par, :

Multiplicando miembro a miembro por , e integrando de 0 a T, en ecuación (4):

El primer término del segundo miembro de la ecuación (6), es cero, por condición de valor medio, el tercer término también es cero, sin embargo lo desarrollaremos:

Si integramos por partes:


hola

Resaltado


(8) en (7):

Por lo que, ecuación (6), queda de la siguiente forma:

Componente de corriente alterna, función impar, :

Multiplicando miembro a miembro por , e integrando de 0 a T, en ecuación (4):

El primer término del segundo miembro de la ecuación (10), es cero, por condición de valor medio, el segundo término también es cero, por lo desarrollado anteriormente, integración por partes ecuación (8), luego:


hola

Resaltado


8.4.2. FORMA DE AMPLITUD Y FASE DE LA SERIE DE FOURIER.

La ecuación (4), serie de Fourier, puede escribirse también en base a la función par, es decir:

Desarrollaremos:

Igualando el segundo miembro de (13), con las componentes de corriente alterna de la ecuación (4):

=

Los coeficientes de las funciones par e impar serán ahora:

La amplitud de :

El argumento de:


hola

Resaltado


En forma compleja:

=

Por lo que, la ecuación de la serie de Fourier, puede ser:

La ecuación (4), serie de Fourier, puede escribirse también en base a la función impar, es decir:

Desarrollaremos:

Igualando el segundo miembro de (20), con las componentes de corriente alterna de la ecuación (4):

=

Los coeficientes de las funciones par e impar serán ahora:

La amplitud de :

El argumento de:

En forma compleja:

=

Las ecuaciones (12) y (20), nos caracterizan las relaciones de amplitud de los armónicos, en comparación con ,

y se conoce como el espectro de amplitud de f(t) y la gráfica de la fase en comparación con , se conoce como el


hola

Resaltado


espectro de fase de f(t), los espectros de amplitud y fase forman el espectro de frecuencias de f(t), lo que se verá posteriormente en la parte de serie exponencial de Fourier.

EJEMPLO 1.Encuentre la serie de Fourier de la señal de la figura 4:

Figura 4.Periodo:

Es contínua en :

La función :

Discontinuidades en:

El Valor Medio:

El coeficiente de la función par, :


hola

Resaltado


El coeficiente de la función impar, :

La Serie de Fourier:



EJEMPLO 2.Obtener los coeficientes de Fourier, la ecuación generalizada de la expansión en serie de Fourier y los espectros de amplitud y de fase, de la tensión mostrada en la figura 5:

Figura 5.

Periodo :

La ecuación de la señal:

El valor medio, componente de Corriente Contínua:



El coeficiente de la función par :

El coeficiente de la función impar, :



La ecuación generalizada de Fourier:

Los espectros de amplitud y de fase:



La Amplitud,

La Fase,

El espectro de Amplitud:



En la ecuación (2.5), hacemos variar k de 1 a 9, en la figura 6, luego:

Figura 6.

El espectro de fase:

En la ecuación (2.6), hacemos variar k de 1 a 9 en la figura 7, luego:

Figura 7.



8.5. SIMETRÍA DE LA FUNCIÓN f(t).

Se puede considerar 4 tipos de simetría, cuyas características, facilitarán la tarea de calcular los diferentes coeficientes de la ecuación de Fourier, y éstas son:

Simetría de función par Simetría de función impar Simetría de media onda, par e impar Simetría de cuarto de onda

8.5.1. SIMETRÍA DE FUNCIÓN PAR.

Una función f(t), es considerada par si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, vale decir:

f(t) = f(-t) .............(27)

Funciones como y una constante C, poseen todas simetría par, si reeplazamos ‘t’ por ‘-t’, no cambia el valor de ninguna de estas funciones.

Una propiedad de la función par, figura 8, es la siguiente:

Figura 8.

La ecuación (28), correspondiente a una función par, quiere decir, que integrar desde’ ‘ hasta ‘0’, es lo mismo que

hacerlo desde ‘0’ hasta ´ ‘.



Sustituyendo estas ecuaciones de coeficientes en la serie de Fourier generalizada, consistirá de una serie de cosenos de Fourier, ello también porque la función coseno, es función par y el hecho de confirma la no existencia de la serie de senos, ya que la función es impar.

Ejemplos de funciones pares:

(a)

(b)

(c)

Figura 9 Funciones Pares (a), (b), (c)

8.5.1.1. COEFICIENTES CARACTERÍSTICOS.

Basándonos en esto, los coeficientes de la serie de Fourier para el caso de funciones pares son los siguientes:

Componente de c.c.:



Componente par de c.a.:

Componente impar de c.a.:

8.5.2. SIMETRÍA DE FUNCIÓN IMPAR.

Una función f(t), es considerada impar si su gráfica es antisimétrica respecto al eje vertical, vale decir:

f(t) = - f(-t) .............(29)

Funciones como , son todas anti-simétricas, si reemplazamos ‘t’ por ‘-t’, por lo que cambia el valor de estas funciones.

Una función como el de la figura 10, tiene la siguiente característica:

Figura 10.

8.5.2.1. COEFICIENTES CARACTERÍSTICOS.

En la figura 10, la integración de hasta 0, es opuesta o negativa de la integración de 0 hasta , con estas

características los coeficientes de la serie de Fourier para una función par son las siguientes:

Componente de c.c.:

Componente par de c.a.:

Componente impar de c.a.:

Ejemplos de funciones impares:



En la tabla 1, mostraremos un resumen de las simetrías que simplifican la serie de Fourier:

TIPO DE SIMETRÍA CARACTERÍSTICA SIMPLIFICACIÓNPAR

f(t) = f(-t)IMPAR

f(t) = - f(-t)



MEDIA ONDA

f(t) = f(t - -

f(t) = - f(t - -

MEDIA ONDA Y PAR

f(t) = - f(t - -

y f(t) = - f(t)

f(t) = - f(t + -

y f(t) = - f(t)

MEDIA ONDA E IMPAR f(t) = - f(t - -

y f(t) = - f(-t)

f(t) = - f(t + -

y f(t) = - f(-t)

CUARTO DE ONDA

Tabla 1.La tensión periódica mostrada en la figura, puede expresarse como la suma de una componente continua y una serie de Fourier infinita de términos cosenoidales, cada uno de éstos queda definido por un módulo, una frecuencia angular y una fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos cosenoidales.

A continuación mostraremos las ecuaciones de la Serie de Fourier más comunes:



8.6. SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER.

Las funciones seno y coseno pueden expresarse en forma exponencial en base a la identidad de Euler, de la siguiente manera:

La serie de Fourier:

Reemplazando ecuaciones (A1) y (A2) en (A3):



Si:

Haciendo:

En lugar de sumar la segunda serie respecto de los enteros positivos desde 1 hasta , se sumarán respecto de los enteros negativos desde -1 hasta - :

La ecuación (A5), es la serie compleja de la serie de Fourier para f(t), para obtener la expresión mediante la que se podría evaluar un coeficiente complejo particular , con sólo reemplazar ecuaciones de la constantes y en ecuación (A4):



Los coeficientes exponenciales de la serie de Fourier, dados por la ecuación (A6), también resultan afectados por la presencia de ciertas simetrías en f(t), por ejemplo:

Simetría Par ............ (A8)

Simetría Impar...........(A9)

........(A10)

...................... (A11)

...................... (A12)

8.7. 8.7. SERIE DE FOURIER APLICADO A CIRCUITOS ELÉCTRICOS APLICADOS.SERIE DE FOURIER APLICADO A CIRCUITOS ELÉCTRICOS APLICADOS.

8.7.1. DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL.THD.8.7.1. DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL.THD.

La tensión eficaz y la corriente eficaz pueden epresarse en forma general de la siguiente forma:



8.7.2. POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE

8.7.2.1. EN EL CASO NO SENOIDAL:

En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia:

Donde:

S - Potencia aparente en un sistema no senoidalD - Potencia de distorsión, debida exclusivamente a la aparición de armónicos.


)( 2222 QPSD +−=


Del diagrama tridimensional, podemos escribir la nueva ecuación de potencias:

8.7.2.2. EN EL CASO SENOIDAL:

8.7.2.3. FACTOR DE POTENCIA.

Red Senoidal:

Red no Senoidal:

Factor de Potencia de desplazamiento:

El factor de potencia equivalente:

El factor de potencia de distorsión:

Para la tensión senoidal:

El factor de potencia de distorsión:



Potencia Reactiva de desplazamiento:

La potencia de distorsión:

8.7.3. POTENCIA INSTANTÁNEA.

La potencia promedio, para un intervalo de tiempo cualquiera:

Cuando la tensión y corriente no son señales senoidales del tiempo, pero poseen la propiedad de funciones periódicas del mismo periodo, podemos escribir para cada una de ellas su serie tradicional de Fourier:

Para la tensión:

Para la corriente:

Donde:

En forma más compacta, podemos escribir:

La potencia instantánea:



Desarrollaremos el último término del segundo miembro, ecuación (50):

Usando la siguiente relación trigonométrica:

Reemplazando ecuación (52) en (51):

Así, desarrollando el último término de la ecuación (50), se puede expresar como la suma de dos componentes cosenos cuyas frecuencias son respectivamente, la suma y la diferencia de las frecuencias de los armónicos de tensión y de corriente.

Por tanto, podemos generalizar del siguiente modo: La potencia instantánea p(t) contiene armónicos cuyas frecuencias son la sumas y diferencias de las frecuencias de todos los armónicos de tensión y de corriente.

La potencia promedio o potencia media de ‘p(t)’, es el valor medio de la potencia instantánea a lo largo de un ciclo completo, en la ecuación (50), el primer término es constante y por tanto su valor medio es . El segundo y tercer término representan armónicos, cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, estos términos representan oscilaciones armónicas de la potencia y originadas por la interacción de componentes alternas y contínuas, pero el valor medio de cada una de esas componentes para un número entero de ciclos es nulo.

La ecuación (53), indica que cuando ‘k’ no es igual a ‘n’, la potencia resultante del producto de una tensión armónica de una frecuencia por una intensidad armónica de frecuencia distinta a la anterior, es la suma de dos componentes alternas y por tanto sus valores medios son nulos. En cambio, cuando ‘k’ y ‘n’ son iguales, el último término de la ecuación (53), se convierte en:

Por lo que, el valor medio del último término de la ecuación (50), es pues nulo para armónicos de tensión y corriente de frecuencias diferentes, pero es:la potencia media será :



Para todos los armónicos de tensión y corriente de la misma frecuencia y la potencia media será:

Por lo tanto, la potencia media, es igual a la suma de las potencias debidas a las componentes de igual frecuencia de tensión y de corriente. La potencia media debida alas componentes continuas es y la debida a cada armónico es , igual que en el caso de tensiones y corrientes senoidales . Una tensión de una frecuencia y una corriente de distinta frecuencia, originan componentes alternas de potencia instantánea, pero la potencia media de ellas siempre es cero.

8.7.4. EJEMPLO DE CARGA NO SENOIDAL.

8.7.4.1. Objetivo.

El presente trabajo experimental nos dará la oportunidad de Analizar, Identificar, Evaluar y Concluir, con mucho fundamento, sobre los diferentes parámetros presentes en la operación de Sistemas Eléctricos con distorsión armónica en Baja Tensión. Como un ejemplo de aplicación de las muchas existentes, enfocaremos este estudio, al Mejoramiento del Factor de Potencia en BT.

8.7.4.2. Puntualizaciones teóricas.

En los últimos años, y gracias a los adelantos tecnológicos de la electrónica, se han desarrollado multitud de sistemas de regulación y control, muy comunes en Ingeniería Eléctrica, que utilizan elementos no lineales de conmutación, que una vez en operación, provocan deformaciones en las señales de corriente y tensión, siendo este fenómeno equivalente a Inyectar Armónicos de Tensión e Intensidad en las diferentes redes eléctricas; denominándolos a ellos fuente de armónicos No Tradicionales. Paralelamente a éstos existen otros Equipos y dispositivos eléctricos, como los transformadores, hornos de arco, tubos de descarga, etc, que contribuyen igualmente a estas deformaciones y originan efectos no deseados en los sistemas eléctricos de potencia. denominandolos a éstos, fuente de armónicos Tradicionales. Por todo ello, la representación de algunos parámetros eléctricos importantes, como la Potencia, Corriente, Tensión e Impedancia, se realizarán tomando en cuenta las diferentes componentes armónicas existentes en Redes no Senoidales. En la práctica, la captura de estas componentes se logra con instrumentos digitales, como los medidores con memoria masiva y analizadores de redes. En nuestro caso osciloscopio de dos canales. En consecuencia y dada la importancia de definir magnitudes eléctricas en el dominio frecuencial, se han desarrollado nuevas técnicas de medida para situaciones no senoidales que abarquen un amplio espectro de frecuencia y permitan un alto grado de precisión.

8.7.4.3. Circuito de Análisis.


hola

Resaltado


Datos en lìnea del circuito :

[ ]VVtV a 208)( lim ==

[ ]AIti Linea 2747.3)( == [ ]AI R 1700.1= [ ]AI L 1047.2=

El valor de la resistencia y de la inductancia será:

[ ]Ω=== 778.17717.1

208)(

RI

tVR

[ ]Ω=== 826.981047.2

208)(

LL I

tVX [ ]HX

L L 3146.0100

826.98

100===

ππ

( ) º93.60799.117.1

1047.2 11 ==

= −− tgtgθ

( ) 486.093.60coscos === θFP

8.7.4.4. Planteamiento del problema: A partir del factor de potencia de 0.486, calcular el Banco de Condensadores para mejorar éste a Uno. En la práctica generalmente el factor de potencia podía determinarse antes del 2000 sólo con la lectura de potencias.

8.7.4.5. Primero. CASO SENOIDAL:

a) Cálculo del Factor de Potencia (FP) sin compensación de la potencia reactiva.

[ ]Ω= 778.177RZ [ ]Ω= 826.98jZ L



( )( )

[ ]Ω+=+

=+

==

496.75968.41

826.9878.177

826.9878.177

jZ

j

j

ZZ

ZZZZ

LR

LReq

Entonces los valores de R y L en el circuito equivalente serán:

[ ]Ω= 968.41R [ ]HX

w

XL LL 24.0

100

496.75

100====

ππ

El circuito equivalente será:

L=0.240 [H]

R=41.948 [Ohm]

i(t)

V(t) +-

La admitancia de la carga viene dada por:

[ ]SjY

jBGY L

10*119.1010*625.5 33 −− −=

+=

Su módulo es:

0116.022 ==+= LBGY



De inmediato el cálculo de la intensidad eficaz

( )( ) [ ]AVYI 4128.22080116.0* ===

Potencia aparente:

( )( ) [ ]VAVIS 8624.5014128.2208 ===

Potencia activa:

( ) ( ) [ ]WP 36.24310*625.5208 32 == −

Potencia reactiva:

( ) ( ) [ ]VARQ 788.43710*119.10208 32 −=−= −

El factor de potencia será:

4849.0862.501

360.243cos ====

S

PFP θ

b) Calculo del factor de potencia FP compensando la potencia reactiva.

0=+ LC BB

( ) [ ]FLwR

LCwLLwwRC ;

222232

+==+


hola

Resaltado


( ) ( )[ ]FC 10*223.3

240.0100968.41

240.0 5222

−=+

=π

El circuito modificado es como se muestra en la figura:

L=0.240 [H]

R=41.948 [Ohm]

I'(t)

V(t) +-

C=3.22*10 -5 [F]I(t) I''(t)

Potencia reactiva capacitiva:

( ) ( )( )[ ]VARQ

Q

C

C

063.438

10*223.3100208 52

== −π

En estas condiciones, la intensidad total valdría:

θwCVIsenIVCwItI 2')(' 2222 ++==

θVIsenBIVBItI CC 2')(' 222 ++==

QBIQBItI CCC 2')(' 2 ++==



QBIQBItI CCC 2')(' 2 ++==

( )( ) ( ) ( )( ) [ ]A 1.1844788.4370101.024128.2063.4380101.0)(' 2 =−++=tI

Luego, la nueva potencia aparente es:

( )( ) [ ]AIVS 3552.2461844.1208'* ===

El factor de potencia sera:

1 9878.03552.246

36.243cos ≈==== FP

S

PFP θ

8.7.4.6. Segundo. CASO NO SENOIDAL:

a) Calculo del Factor de Potencia (FP) sin compensación de la potencia reactiva:Se considera la tension senoidal y la corriente no senoidal donde están presentes los armónicos 2do, 3ro , 4 to ,5 to , 6 to y 7 mo; de los cuales sólo tomaremos los siguientes: 3roy 5to

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]AItI

AItI

AItI

2947.0

8310.0

2747.3

55

33

11

======

donde la forma de onda de la corriente y su respectiva ecuación se detalla en el cuadro posterior.

Ecuación Representativa:

i(t) = -0.0138+3.274 sin((t-0.1679)+0.0350 sin (2t-0.8318)+0.8310sin(3t+0.4119)+0.0440 in(4t+0.0404)-0.2947sin(5t-1.0965)+0.0287 sn(6t+1.2006)+ 01067sin(7t+0.2607)

La admitancia correspondiente al armónico de orden ´n´ viene dado por la expresión:

nnn jBGY +=



Las conductancias para cada armónico son:

( ) ( )[ ]SG

LwR

RG

10*636.5

240.0100968.41

968.41

31

2222221

−=+

=+

=π

( )( ) ( )[ ]SG

LwR

RG

10*929.7

240.01009968.41

968.41

34

3

22222223

−=+

=+

=π

( )( ) ( )[ ]SG

LwR

RG

10*917.2

240.010025968.41

968.41

54

5

22222225

−=+

=+

=π

Las susceptancias seran:

( )( )( ) ( )

[ ]SB

LwR

wLB

0101.0

240.0100968.41

240.0100

1

2222221

−=+

=+

=π

π

( )( )( )( )( ) ( )

[ ]SB

LwR

wLB

10*274.4

240.01009968.41

240.01003

3

3

33

22222223

−−=+

=+

=π

π

( )( )( )( )( ) ( )

[ ]SB

LwR

wLB

10*620.2

240.010025968.41

240.01005

5

5

35

22222225

−−=+

=+

=π

π

El módulo de cada admitancia estará dado por:

( ) 222222222

2222 1

LwnRLwnR

LwnRY

+=

+

+=

( ) ( )0116.0

240.0100968.41

1222

1 =+

=π

Y

( )( ) ( )3

2223 10*347.4

240.01009968.41

1 −=+

=π

Y



( )( ) ( )3

2225 10*636.2

240.010025968.41

1 −=+

=π

Y

La potencia activa estará dada por:

[ ]∑= WIVP nn cos θ

[ ]∑ ∑== WGVVGVP nn 2

( )( ) ( )

[ ]WP

P

GGGVP

76.290

10*917.210*929.710*636.5208 4432

5312

=++=

++=−−−

Con lo que:

[ ]VAIIIVS 25

23

21 ++=

[ ]VAS

S

395.705

2947.08310.02747.3 222

=++=

Por lo tanto el factor de potencia sera:

4122.0395.705

76.290 ===S

PFP

como se puede ver es casi semejante al FP obtenido en el caso senoidal.

b) Cálculo del FP con la compensación capacitiva obtenida en el caso senoidal (formulación de Budeanu).

Para ello utilizaremos el mismo banco de condensadores elegido para el caso senoidal, cuyo valor de capacidad:

[ ]FC 10*223.3 5−=

La nueva ecuación estara dada por:

( ) θwCVIsenIVCwnItI nn 2'' 22222 ++==

( ) θVIsenBIVBnItI CCnn 2'' 2222 ++==

( ) QBIQBnItI CCCnn 2'' 22 ++==

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) [ ]AItI 1844.1788.4370101.024128.2063.4380101.01'' 211 =−++==



( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) [ ]AtI

tI

ItI

066.6'

788.4370101.024128.2063.4380101.09'

''

3

23

33

=−++=

==

( )( )( )( ) ( ) ( )( )

[ ]A

ItI

3730.10

78.43701.0241.2063.4380101.025

''

2

55

=−++=

=

La intensidad eficaz será:

[ ]AI 0746.123730.100660.61844.1' 222 =++=

Luego la nueva potencia aparente es:

( )( ) [ ]VAVIS 5168.25110746.12208' ===

El factor de potencia es:

1158.05168.2511

7600.290 ===S

PFP

Como se puede ver el factor de potencia se degrado respecto del anterior.

c) Cálculo del factor de potencia (FP) con la compensación capacitiva óptima (formulación de Budeanu).

La capacidad óptima se obtiene a partir de la expresión:

[ ]FwV

QC copt

2=

( )( )[ ]FCopt 10*3.223

208100

063.438 5-2

==π

Las intensidades armónicas después de compensar serán las mismas que el caso anterior donde se compensó con un capacitor del caso senoidal:

[ ]AI 1844.1'1 =

[ ]AI 0660.6'3 =

[ ]AI 373.10'5 =

[ ]AI 0746.12'=



Luego la potencia aparente tomará el mismo valor que el anterior caso:

( )( ) [ ]VAVIS 5168.25110746.12208' ===

Por último el factor de potencia es:

1158.05168.2511

76.290 ===S

PFP

Esto nos demuestra que en situaciones como la que presentamos en éste ejemplo, red no senoidal, en general no es posible mejorar el FP con un elemento reactivo calculado solamente para compensar Q a la frecuencia fundamental.

d) Cálculo del Factor de Potencia (FP) con la compensación capacitiva óptima (formulación de Sheperd).

Teniendo en cuenta que la capacidad óptima para este caso, viene definida por:

∑∑=

2nw

nBC nopt

( ) ( ) ( )( )( )

[ ]FC

C

opt

opt

10*5455.1

531100

10*24.5510*42.1301.01

6

222

33

−

−−

=++

++=π

Siendo:

( )( )[ ]SB

wCB

C

C

10*855.4

10*5455.11004

6

−

−

=

== π

Las corrientes armónicas se modificaran a continuación:

[ ]AQBIQBnI CCCn 2' 22 ++=

[ ]AI 2.3745'1 = [ ]AI 2.7092'3 = [ ]AI 3.2775'5 =

luego la intensidad eficaz es igual a:

( ) ( ) ( ) [ ]AI 8703.42775.37092.23745.2' 222 =++=

Potencia aparente:

( )( ) [ ]VAVIS 0224.10138703.4208' ===

Factor de potencia.



2870.002.1013

76.290 ===S

PFP

e) Calculo del Factor de Potencia FP mediante compensación con rama LC en paralelo con la carga.

Una mayor aproximación a la compensación total Sx, se puede obtener conectando, en paralelo con la carga, uno o varios conjuntos condensadores y bobinas en conexión serie. En nuestro caso sobre la base del condensador de capacitancia igual a:

[ ]FC 10*223.3 5−= , se obtendrá por métodos numéricos un valor para la inductancia.

Del grafico podemos ver que a medida que ‘L’ es más grande el FP se estabilizará en 0.54 aproximadamente; nosotros tomaremos el valor L = 5 [H], correspondiendo a éste el factor de potencia de; FP = 0.5060.

El circuito compensado con una rama LC es el siguiente:

L=0.240 [H]

R=41.948 [Ohm]

I'(t)

V(t) +-

C=3.22*10 -5 [F]

I(t) I''(t)L=5 [H]

En estas condiciones las admitancias armónicas a compensar serán calculadas en la forma siguiente:



122 −−=

LCwn

nwCjYncomp

( )( )( ) ( )( )

[ ]SjjY comp 10*7933.61510*223.3100

10*223.3100 4

32

3

1−

−

−

−=−

−=π

π

( )( )( )( )( ) ( )( )

[ ]SjjY comp 10*1370.21510*223.31009

10*223.31003 4

32

3

2−

−

−

−=−

−=π

π

( )( )( )( ) ( )( )

[ ]SjjY comp 10*2764.11510*223.310025

10*223.31005 4

32

3

3−

−

−

−=−

−=π

π

las admitancias equivalentes de cada armonico seran:

( )[ ]SjY

jjYYY

T

compT

0108.010*636.5

10*7933.60101.010*636.53

1

43111

−=

−−=+=−

−−

( )[ ]SjY

jjYYY

T

compT

10*48.410*92.7

10*13.210*21.410*92.734

3

434333

−−

−−−

−=

−−=+=

( )[ ]SjY

jjYYY

T

compT

10*74.210*91.2

10*27.110*62.210*91.234

5

434555

−−

−−−

−=

−−=+=

Sus módulos seran:

0122.01 =TY

33 10*5572.4 −=TY

35 10*7630.2 −=TY

Con lo que:

( )( ) [ ]AVYI T 5376.22080122.0' 11 ===

( )( )[ ]AI

VYI T

9479.0'

20810*5572.4'

3

333

=== −

( )( ) [ ]AVYI T 5747.020810*7630.2' 355 === −



Y la intensidad eficaz total, la potencia aparente y el FP tendrán los valores:

( ) ( ) ( ) [ ]AI 7691.25747.09479.05376.2' 222 =++=

5048.098.575

76.290 ===S

PFP

Se comprueba que cuando la carga inductiva tiene aplicada una corriente no senoidal, la potencia reactiva puede compensarse con una rama serie LC en paralelo con dicha carga, dependiendo la minimización del predominio que ejerza la componente fundamental de corriente sobre los demás armónicos. En nuestro caso, escogiendo

adecuadamente el valor de L, siendo 31 II >> y 51 II >> , se consiguen factores de potencia mejorados.

f) Compensación con circuitos complejos LC.

Siguiendo este método de compensación con circuitos LC pueden sintetizarse circuitos reactivos, con funciones de transferencia mas complejas, mediante la asociación en paralelo de múltiples ramas LC; de este modo se consigue compensar, de forma simultánea, el efecto de las susceptancias armónicas de la carga, pudiéndose llegar a la compensación total de la potencia reactiva.

En este sentido, la admitancia compleja del compensador puede expresarse y estructurarse de acuerdo con alguna de las fórmulas canónicas de Foster o Cauer, esto es, según asociaciones de conjuntos LC que deriven una intensidad reactiva tal que tienda a compensar el término Sx.

Asi si usamos la representación de Foster:

( ) ∑= +

=n

k k

k

ps

LssY

122

1

para nuestro caso particular será:

( )25

25

23

23

21

21

3

122

1111

ps

L

ps

L

ps

L

ps

LssYk k

k

++

++

+=

+= ∑

=

…….(1)

Donde el polo correspondiente a la frecuencia k:

kkk CLp

12 = …….(2)

Se calculará, de forma que la función anterior tenga los valores de B(k) para cada valor de k considerado:



[ ]SCLwn

nwCjY

nn

nncomp

122 −−=

[ ]SY

CLwn

nwCjY

comp

comp

j0.0101

1

1

1122

11

=−

−=…….(3)

[ ]SY

CLwn

nwCjY

comp

comp

10*j4.274

13-

3

3322

33

=

−−=

…….(4)

[ ]SY

CLwn

nwCjY

comp

comp

10*j2.620

13-

5

5522

35

=

−−=

…….(5)

Encontrando C1 y L1:

De (3)89.996

0101.0 111

wCCL

−= en (2)

1

21 0101.0

83.996

wCp

−=

De donde se deduce que: [ ]FC 10*2149.3 51

−< por lo tanto [ ]FC 10*2149.2 51

−=

también:

37.31729121 =p y [ ]H 14229.01 =L


De (3)44.3796

310*274.4 33

33

wCCL

−=

−

en (2) 3

323 310*274.4

44.3796

wCp

−= −

de donde se deduce que: [ ]FC 10*5348.4 63

−< por lo tanto [ ]FC 10*5348.3 63

−=



También: [ ]H 07023.03 =L


De (3)59.6464

510*620.2 53

55

wCCL

−=

−

en (2) 5

325 510*620.2

59.6464

wCp

−= −

De donde se deduce que: [ ]FC 10*6679.1 65

−< por lo tanto [ ]FC 10*06679 65

−=

También: [ ]H 3638.05 =L

El circuito equivalente es el siguiente:

Donde:

L = 0.240 (H) ; R = 41.948 (Ω)

C1 = 22 µ F ; C3 = 3.53 F ; C5 = 0.66 F

L1 = 0.142 (H) ; L3 = 0.070 (H);L5=0.364(H)

Las admitancias totales del circuito son:

[ ]SY T 10*636.5 31

−=

[ ]SY T 10*929.7 43

−=

[ ]SY T 10*917.2 45

−=

Las corrientes para cada armónico son:

( )( ) [ ]AVYI T 1723.120810*636.5' 311 === −



( )( ) [ ]AVYI T 1649.020810*929.7' 433 === −

( )( ) [ ]AVYI T 0606.020810*917.2' 455 === −

[ ]AI 4042.1'=

Finalmente la potencia aparente y el factor de potencia serán:

( )( ) [ ]AVIS 0736.2924042.1208' ===

9955.007.292

76.290 ===S

PFP

A pesar de las indudables ventajas que presentan estos circuitos a efectos de compensación, su utilidad es limitada por la complejidad de su síntesis.

8.7.7. Conclusiones.

La tabla siguiente nos da una idea de los métodos analizados en el caso no senoidal:

Adoptando Q Adoptando Sx

Compensación - C Copt Copt LC Y(s)

I[A] 3.3913 12.0746 12.0746 4.8703 2.7691 1.4042

S[VA] 705.395 2511.516 2511.516 1013.022 575.983 292.0736

FP 0.4122 0.1158 0.1158 0.2870 0.5048 0.9955

Y podemos decir que el FP de los sistemas eléctricos no senoidales, en el que la intensidad contiene dos armónicos (3ro y 5to) se deteriora cuando se compensa la potencia reactiva Q con los métodos capacitivos tradicionales; sin embargo, mejora cuando se compensa la magnitud Sx, que debe ser considerada como la verdadera potencia reactiva.

Se comprueba además, que con una adecuada estructura de elementos LC, utilizada para compensar Sx, puede obtenerse un FP muy próximo a la unidad.

En forma general, para compensar el factor de potencia de cualquier sistema debemos proceder del siguiente modo:

- Determinar la forma de onda del sistema- Determinar los componentes armónicos- Cuantificar la potencia reactiva de cada uno de ellos - La verdadera potencia reactiva inductiva del sistema involucrado será, la producida por la fundamental, más la

producida por los armónicos presentes en el sistema- En base a esta potencia reactiva inductiva dimensionar el banco de condensadores.


hola

Resaltado


Bibliografía.

[1] Castilla M., Tesis Doctoral, Universidad de Sevilla, 1989.[2] C.I. Budeanu, Puissances reactives et ficticies, Instytut Romaní de I’Energie,

Bucarest, 1927.[3] Shepherd W. and Zakikhani, Suggested definition of reactive power for nonsinusoidal systems, Proc. IEEE. Vol. 119, 119, (9). P.p. 1361-1362, 1972.[4] Sharon D., Reactive power definitions and power factor improvement in nonlinear systems. Proc. IEEE., Vol. 120 (6). P.p. 704-706, 1973.


8 series de fourier

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