Panevropski univerzitet Apeiron Fakultet informacionih tehnologija

Via matematika

student: Bojan uri 37-10/VPI Banja Luka, 2011

mentor prof. dr. Esad Jakupovi

Sadraj1. Matematika logika..........................................................................................................................1 2. Uslovni ekstrem................................................................................................................................7 3. Osnovni metodi integracije...............................................................................................................9 3.1 Metod zamjene...........................................................................................................................9 3.2 Metod parcijalne integracije....................................................................................................10 4. Parcijalni izvodi i totalni diferencijali vieg reda...........................................................................12 5. Neke osobine funkcija....................................................................................................................14 5.1 Ogranienost funkcije..............................................................................................................14 5.2 Monotonost funkcije................................................................................................................15 5.3 Parnost i neparnost funkcije.....................................................................................................17 5.4 Periodinost funkcije...............................................................................................................17 5.5 Granina vrijednost funkcija....................................................................................................18 5.6 Neprekidnost funkcije..............................................................................................................20 5.7 Asimptote.................................................................................................................................21

1. Matematika logika Osnovno sredstvo sporazumjevanja meu ljudima je jezik. Razlikujemo vie vrsta jezika sporazumjevanja, kao to su npr. slikarski, muziki, obini (govorni), i knjievni jezik. Matematiki jezik je najvii oblik naunog jezika. Za razliku od npr, slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomou koga se izraavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorjeenosti. Zadatak matematike logike je prouavanje, istraivanje i stalna dogradnja takvog matematikog jezika, tj. jezika simbola kao sredstva za razvijanje miljenja, rasuivanja, zakljuivanja i komuniciranja u matematici. Najsliniji matematikom jeziku su govorni i knievni (pisani) jezik. Osnovu ovih jezika ini glas, slovo, rije i reenica. Neto slino vai i za matematiki jezik u kome osnovu ine matematiki izrazi (rijei) ili termini. Najprostiji matematiki izrazi su konstante i promjenljive. Konstante su potpuno odreeni matematiki objekti, tj, veliine kojima se vrijednost ne mijenja. 7 Npr: -S; 0; 2; 2/3; 5; 4 , , e, ... Promjenjive su simboli (znaci i slova) koji mogu predstavljati bilo koji element iz nekog datog skupa. Dati skup se naziva oblast definisanosti (domen) promjenjive. Konstante kojima se zamjenjuju promjenjive nazivaju se vrijednosti promjenjivih. Primjer: 1. x, z, y, a, b, c, , A, ... su oznake za promjenjive. 2. n je oznaka za prirodan broj. Vrijednosti promjenjive n su konstante 1,2, ... Sloeni matematiki izrazi se dobijaju kada se konstante i promjenjive poveu simbolima (oznakama) za raunske operacije, kao to su npr, +,-,*, :. Pri formiranju sloenih izraza dozvoljena je i upotreba zagrada, s tim da izraz ima smisla, Primjer: 1. izrazi su: 8+7, 3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y i sl 2. nisu izrazi: 2+, x(y+) i sl. Dakle, izrazi su rijei ili sklopovi rijei koji ne ine reenicu. Izrazi se sastoje od jedne promjenjive ili od jednog znaka konstante, ili od vie promjenjivih ili znakova konstanti povezanih znacima operacija, uz upotrebu zagrada kao pomonih simbola. Vrijednost matematikog izraza je konstanta koja se dobije nakon to se u izrazu svi simboli promjenjivih zamjene odgovarajuim vrijednostima (konstantama) i izvre naznaene operacije. Matematike formule su reenice koje su: ili (1) istinite, ili (2) neistinite, ili (3) takve da se za njih ne moe, nedvosmisleno i i jednoznano utvrditi vrijednost istinitosti. Za prve vae ovi principi: 1. princip ukljuenja treeg, to znai da ne postoji izraz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit, 2. princip kontradikcija, to znai da nema iskaza koji je istinit i neistinit Primjer 1. Iskazi su formule: 2+3=5, 4>1+2, 45, x+y=z, x+x=3x i sl. Svaki iskaz se moe obiljeiti slovom, Ova slova se nazivaju iskazna slova, npr, p, q, r, s, a, b,... Ako je neki iskaz p taan (istinit), onda se vrijednost njegove istinitosti oznaava ovako: p=T ili p=1 (itaj: tau od p jednako te ili jedan; T kao prvo slovo engleske rijei true=istina), Ako je p netaan (neistinit, laan) iskaz, onda se njegova istinitost vrednuje sa ili 0, tj, pie se ili p= ili p=0 (itaj: tau od p jednako ne te ili nula). U matematici se taan iskaz naziva stav. Iskaz je prost ako sadri samo jednu informaciju. Dva ili vie prostih iskaza povezanih znacima logikih operacija tvore sloeni iskaz, Osnovni meu njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije , koja se odnosi na jedan iskaz. U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih sloenih iskaza. Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q (itaj: p i q), istinit onda i samo onda ako su oba data iskaza istinita. Tablica vrijednosti istinitosti za konjukciju za sve mogue varijante vrijednosti istinitosti iskaza piq: p q pq ili krae:

Disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pVq (itaj: p ili q), istinit onda i samo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su oba data iskaza 2

neistinita, Ovako definisana disjunkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (ukljuiva) disjunkcija, jer je istinita i onda kada su oba data iskaza istinita. Eksluzivna (iskljuiva) disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pVq (itaj: ili p ili q), istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit. Tablica vrednosti istinitosti za disjunkciju: p q

pVq

pVq

Pod izrazom "disjunkcija" najee se podrazumjeva inkluzivna, pa je u sluaju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti. Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz, p q se moe itati ovako: p implicira q, iz p slijedi q, p je dovoljan uslov za q, q je potreban uslov za q, p je uzrok za q, a q je posljedica p, p je pretpostavka, a q je tvrdnja,

Tabla istinitosti za implikaciju: p q pq

Ekvivalencija datih iskaza je iskaz u oznaci p q istinit onda i samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrijednosti istinitosti, p q se moe itati ovako: p je ekvivalentno sa q, iz p slijedi q, i iz q slijedi p, ako je p onda q i obratno, p je dovoljan i potreban uslova za q i obratno, itd.

3

Tablica vrijednosti istinitosti za ekvivalenciju: p

q

pq

Ekvivalencija iskaza p i q se moe definisati i kao konjunkcija implikacija p q i q p, tj, vai: p q = (pq) ( qp) p q pq qp (pq) (qp)=pq

Negacija datog iskaza p je iskaz p (itaj: ne p), koji je neistinit kada je p istinit i obratno. Tablica vrijednosti istinitosti za negaciju: p p

Napomena 1. ( p)=p, tj. negacija negacije datog iskaza daje iskaz sa jednakom vrijednou istinitosti kao to je ima dati iskaz, 2. ( p q ) = p V q i ( p V q ) = p q, tj, negacija ekvivalencije je ekskluzivna disjunkcija i obratno. Dakle, vezivanjem prostih iskaza, oznaenih iskaznim slovima p, q,..., pomou znakova logikih operacija dobili smo sloene iskaze. Vezujui ove sloene iskaze pomou znakova logikih operacija dobijamo jo sloenije. Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logike formule. Uobiajeno je da se iskazne formule definiu ovako: 1. Iskazna slova su iskazne formule, 2. Ako su A i B iskazne formule, onda su i (AB), (AVB), (A B), (A B), a, takoe iskazne formule. 3. Iskazne formule mogu se obrazovati samo konanim brojem primjena 1) i 2), uz mogunost korienja konvencije o brisanju zagrada. 4

Vrijednost istinitosti iskazne formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskaznih promjenljivih u njoj. Iskazna formula koja je istinita za svaku moguu varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija. Ako je iskazna formula tautologija pie se: A=T ili A T ili A~T. Dve formule A i B su identiki jednake ako i samo ako je formula A B tautologija. Ako se kvantitativno eli izraziti za koje vrijednosti promjenljivih je istinita iskazna funkcija ili predikat, onda se mogu koristiti tzv, kvantifikatori ili kvantori (kolikovnici). Ako iskaz poinje kvantifikacijom "za svako", onda se rijei "za svako" oznaavaju sa (obratno od prvog slova njemake rijei Alle=svi), i nazivaju univerzalnim kvantifikator (kvantor). Formula ( xA) P(x) znai: za svako x iz skupa A predikat P(x) je taan. Ako iskaz poinje kvantifikacijom za neko ili postoji bar jedan, onda se ove rijei oznaavaju sa (obratno od prvog slova njemake rijei Es gibt=postoji), i nazivaju egzistencijalni kvantifikator (kvantor). Formula ( xA) P(x) znai: predikat P(x) je taan za bar jedno x iz skupa A. U vezi s kvantorima, pored ostalih, znaajne su ove formule kao zakoni predikatskog (kvantifikatorskog) rauna: (x)P(x)(x)P(x); (x)P(x)(x)P(x) Kvantori, zajedno sa rijei i, ili, ako,,,onda, nije, predstavljaju potpun spisak osnovnih rijei pomou kojih se u matematici polazei od izvjesnih reenica, grade nove sloene reenice. Na kraju ovog poglavlja dajemo objanjenje nekih znaajnijih pojmova u vezi s rasuivanjima i dokazivanjima u matematici. Definicija je reenica, ili skup reenica, kojom se odreuju sadrina nekog pojma. Pojam je misaoni sadraj termina ili simbola. Razlikujemo osnovne i izvedene pojmove. Osnovni pojmovi su oni koje prihvatamo jasnim same po sebi bez potrebe da se objanjavaju nekim drugim pojmovima (npr, broj, skup, taka). Izvedeni pojmovi su oni koje objanjavamo pomou osnovnih i drugih izvedenih pojmova. Pretpostavke (hipoteze) su reenice (formule) od kojili se polazi, kao tanih u nekom rasuivanju. Posljedice su reenice (formule) koje su, iz pretpostavki, dobijene logikim rasuivanjem i zakljuivanjem. Aksiome su polazne reenice (formule) koje se po dogovoru uzimaju kao tane i ija se istinitost ne dokazuje. Teoreme su izvedene (dokazane) reenice (formule) zasnovane na aksiomima ili prethodno 5

dokazanim tvrenjima. Dokaz je put logikog rasuivanja i zakljuivanja od pretpostavki do posljedica tj, niz koraka od kojih je svaki korak ili aksioma ili ve dokazana teorema.

6

2. Uslovni ekstrem Ekstrem funkcije y=f(x,y) uz dato ogranienje (x,y)=0 naziva se uslovnim ili vezanim, a tako dobijeni maksimum ili minimum uslovnim minimumom ili maksimumom. Tada funkcija f(x,y) zavisi samo od jednog argumenta, a zadatak je mogue svesti na problem ekstrema funkcije sa jednim argumentom. Zbog tekoa koje se mogu javljati prilikom izraunavanja promjenljive x ili y iz jednaine (x,y)=0 i zamjene u funkciju f(x,y), za traenje ekstrema u ovakvim sluajevima koristi se metod koji se naziva metod Lagranovog multiplikatora. Prvo se postavlja Lagranova funkcija: F(x,y) = f(x,y) + >(x,y), gdje je x konstanta koja se naziva Lagranov multiplikator. Potreban uslov za postojanje ekstrema funkcije z=f(x,y), u taki (x 0 ,y0) je da su parcijalni izvodi prvog reda Lagranove funkcije u toj taki jednaki nuli, tj. x 0 , y 0 F f x 0 , y 0 = =0 x x x x 0 , y 0 F f x 0 , y 0 = =0 y y y F =x 0 , y 0 =0. y Dovoljan uslov za postojanje ekstrema funkcije y=f(x,y) u taki (x0 ,y0) obuhvata ispitivanje potrebnog uslova i d Fx 0 , y 0 , 0 = gdje je2

2 Fx 0 , y 0 , 0 x2

2 Fx 0 , y 0 , 0 2 Fx 0 , y 0 , 0 2 dx 2 dx y dy xy y22

dx dy=0 x y

Ako je d2F(x0 ,y0,x0) < 0 funkcija ima uslovni maksimum Ako je d2F(x0 ,y0,x0) > 0 funkcija ima uslovni minimum Prema tome, za odreivanje uslovnog ekstrema funkcije z=f(x,y) po metodu Lagranovog multiplikatora potrebno je uraditi slijedee: 1. Postaviti Lagranovu funkciju 2. Odrediti parcijalne izvode prvog reda Lagranove funkcije, izjednaiti ih sa nulom i rjeiti tako dobijeni sistem jednaina. Neka su rjeenja: x=x0,y=y0 i =0 7

3. Odrediti totalni diferencijal drugog reda Lagranove funkcije i ispitati njegovu vrijednost x=x0,y=y0 i =0 Ako je ta vrijednost pozitivna, tada funkcija ima minimum u taki (x0 ,y0) i zmin=f(x0 ,y0). Ako je pak negativna, tada funkcija ima maksimum u taki (x0 ,y0) i zmax=f(x0 ,y0). Primjer: Nai uslovne ekstreme funkcije z = x2 + y2 pri uslovu x + y=1. Funkcija Lagrana je Fx , y =x 2 y 2 2 xy1 iji su parcijalni izvodi prvog reda F F F =2x , =2y , =x1 x y Rjeenje sistema jednaina 2x + X = 0 2y + X = 0 x+y=1 je 0=1, x 0 = 1 1 y= 2, 2,

Kako su, 2 F 2 F 2 F =2, =2, =0. xy x2 y2 slijedi da je d2F

1 1 , ,1 =2dx 2 2dy20, 2 2

to znai da funkcija z = x2 + y2 pri uslovu x+y=1 ima minimum u taki

1 1 1 , , z min = . 2 2 2

8

3. Osnovni metodi integracije Integraciju nekog izraza koji se ne nalazi u tablicama osnovnih integrala potrebno je pokuati svoenjem na osnovne integrale. Primjer: 3 2x 2 x5x3x 2 e x 4 dx dx 3 3 4 dx=2 3 xdx5 3 e x dx 4 2 = x x5ln x3e x C 2 x 2 x x x

Ukoliko je nemogue na gore opisani nain rjeiti integralni zadatak, tada se koriste slijedei metodi: 1) metod zamjene, 2) metod parcijalne integracije 3.1 Metod zamjene Neka je dat problem f x dx 1 koji se ne rjeava pomou osnovnih integrala. Uvoenjem odgovarajue zamjene promenljive i diferencijala pod znakom integrala x=(t) dx = '(t)dt gdje je (t) neprekidna funkcija s neprekidnim izvodom, integral (1) postaje f (( t)) '(t )dt. (2) Cilj je da se integral (2) moe rjeiti pomou osnovnih intervala. Tada je dobijeno rjeenje funkcija od novouvedene integracione promenljive t, koji na kraju treba zamjeniti prvobitnom integracionom promjenljivom x. Primjer: 1. (a+ bx)n dx n1 a+bx= t bdx =dt dt dx= b 1(a+ bx)n+1 1 n t n+t n (a+ bx) dx= b t dt= b (n+1) +C= n +1 +C

9

2 ) e x2 xdx x 2 =t 2xdx=dt dt xdx= 2 e x2 xdx= 1 e 1 dt= 1 e 1+C= 1 e x2+C' 2 2 2 dt t+1 t+1=u dt=du dt t+1 = du =lnu+C=lnt+1+C u 3 ) e 2x dx d x +1

4 )x

e =t ex dx=dt e 2x 1 dt d x+1 dx= t1 dt= t+11 dt= dt t+1 =tlnt+1+C=e x lne x +1+C t+1 3.2 Metod parcijalne integracije Metod parcijalne integracije se najee primjenjuje kada je podintegralna funkcija u obliku proizvoda. Ova metoda je posljedica pravila diferencijacije proizvoda. Neka su u(x) i v(x) funkcije koje imaju neprekidne izvode, onda je d(uv) - udv + vdu ili udv = d(uv) - vdu Integracijom prethodne relacije se dobija udv=uv vdu. (3) jednaina (3) predstavlja formulu za parcijalnu integraciju. Cilj ovog metoda je da se integral lijeve strane pogodnom podjelom podintegralnog izraza na u i dv svede na prostiji za rjeavanje. Primjer: 1. xe x dx u =x dv=e x dx du=dx v=ex e x dx=xex e x dx=xex e x dx=xe x +C

10

2. ln xdx u =ln x dv =dx dx du= v=x x ln xdx=x lnx dx=x lnxx+C 3. ex cos xdx u=cos x dv=ex dx du=sin xdx v=e x (1) e x cos xdx=e x cos x+ e x sin xdx

e x sin xdxu =sin x dv=dx du=cos xdx v=e x(2) e sin xdx=e sin x e cos xdxx x x

Zamjenom relacije (2) u relaciju (1) dobija se

ex cos xdx=e x cos x+e x sin x e x cos xdx ,odakle je

e x cos xdx 1 ex (cos x +sin x)+C 2Osim ovih metoda postoji niz postupaka za integraciju. Integralni raun svakako je tei od diferencijalnog rauna. To vai i za mnoge druge inverzne operacije. Dok su diferencirali elementarnih funkcija i same elementarne funkcije, integral takvih jednostavnih funkcija kao to su: 1 sin x 1 , ili 3 log x x x +1 nema rjeenje u obliku elementarnih funkcija ili njihovih kombinacija.

11

4. Parcijalni izvodi i totalni diferencijali vieg reda Neka je data funkcija z=f(x,y) koja ima parcijalne izvode z f z f = =f ( x , y),=z ( x, y) i = =f (x , y),=z (x , y ) x x y y x x y y koji se zovu parcijalni izvodi prvog reda ili prvi parcijalni izvodi. Ovi parcijalni izvodi su takoe funkcije od x i y i mogu imati svoje parcijalne izvode koji se zovu parcijalni izvodi drugog reda ili drugi parcijalni izvodi. Obiljeavaju se na slijedei nain: 2 z 2 f 2 z 2 f ' ' = 2 =f 'xx (x , y),=z '' (x , y), i = =f '' (x , y),=z'xy ( x, y) xx xy x y x y x2 x 2 z 2 f 2 z 2 f ' '' '' = =f '' (x , y) ,=z'yx (x , y) i yx 2= 2 =f yy (x , y),=z yy ( x ,y) yx yx y y Na slian nain se dobijaju parcijalni izvodi treeg, etvrtog, petog,..., n-tog reda. Iz definicije parcijalnog izvoda slijedi da egzistencija parcijalnog izvoda n-tog reda u nekoj taki x povlai za sobom egzistenciju n- prethodnih uzastopnih parcijalnih izvoda u okolini posmatrane take. Pri rjeavanju ekonomskih problema vai jednakost 2 z 2 z = xy yx Neka je data funkcija z=f(x,y) koja ima totalni diferencijaldz= z z dx+ dy , x y

koji se zove totalni diferencijal prvog reda ili prvi totalni diferencijal. Kako se dx i dv mogu smatrati kao konstanta, tako je totalni diferencijal prvog reda funkcija od x i y, koja moe imati svoj totalni diferencijal, koji se zove totalni diferencijal drugog reda ili drugi totalni diferencijal i obiljeava se: z z z z z z dx+ dy = dx+ dy dx+ dx+ dy dy = x y x x y y x y 2 z 2 2 z 2 z 2 z 2 2 z 2 2 z 2 z 2 = 2 dx + ydx+ xdy+ 2 dy = 2 dx +2 xdy+ 2 dy yx x y xy x y x y d 2 z=d (dz)=d Nai prvi i drugi totalni diferencijal funcije z=x + 4x y +7xy+1.

[

] (

)

(

)

12

z z =4x 3+8xy 3+7y =12x 2 y 2 +7x x y 2 z 2 z =12 x 2 +8 y 3 =24x 2 y 2 2 x y 2 z 2 z 2 =24xy +7 =24 xy2 +7 xy yx dz=(4x 3+8xy 3 +7) dx+(12x 2 y 2 +7x)dy d 2 z=(12 x 2 +8y3 )dx 2+2(24xy 2 +7)dxdy+24 x 2 ydy 2

13

5. Neke osobine funkcija 5.1 Ogranienost funkcije Za funkciju f(x) se kae da je ograniena s gornje strane u oblasti definisanosti Df, ako postoji realan broj G, takav da za svakog x iz Df vai nejednakost f(x)G. Za f(x) se kae da je ograniena s donje strane u Df ako postoji realan broj g, takav da za svako x iz Df vai nejednakost f(x)>g. Ako je f(x) ograniena i sa gornje i sa donje strane, tj. ako za svakog x iz Df vai nejednakost gf(x)F, tada vai i nejednakost |f(x)| K, gdje je K=max {|g|, |G|}, pa se za f(x) kae da je ograniena u Df. Dalje slijedi da vai -K f(x) K, a to znai da se grafik (dijagram) funkcije y=f(x) nalazi izmeu pravih y=-K i y=K. Kod funkcije ograniene s gornje strane postoji najmanji broji M koji nije manji ni od jedne vrijednosti funkcije f(x) u oblasti Df, tj. M=sup{f(x)}. M se naziva gornja mea funkcije ili: supremum funkcije f(x). Kod funkcije ograniene s donje strane postoji najvei broj m koji nije vei ni od jedne vrijednosti inf {f (x)} funkcije f(x) u Df, tj, m= , m se naziva donja mea funkcije ili infimum funkcije xD f(x). Razlika M-m se naziva oscilacija funkcije. Gornja i donja mea mogu pripadati skupu vrijednosti funkcije f(x), tj. kodomenu Df . Ako je M Df , onda je M najskupu vrijednosti funkcije f(x), tj. kodomenu Df . Ako je M Df , onda je M najvea vrijednost funkcije, tj. M = max{f(x)}. max Ako je mDf , onda je m najmanja vrijednost funkcije, tj M= xD {f ( x)} . f Primjer: 1. Funkcije y = sin x i y = cos x su ograniene u intervalu (-,+), jer je: ( x R)( - 1 sin x 1); ( x R)( - 1 cos x 1) tj. za obe funkcije vai: (vidi sliku 3-1.) m = -1, M = 1. 2. Funkcija y = x2 je u intervalu (-,+) ograniena s donje strane sa donjom meom m = 0 a funkcija y = -x2 je u intervalu (-,+) ograniena s gornje strane sa gornjom meom M = 0 (vidi sliku 3-2). Obe funkcije su ograniene npr. u intervalu (segmentu) [ 1 , 1 ] .

14

slika 3-1

slika 3-2 3. Funkcija y = x3 je u Df = (-,+) neograniena, a npr. u intervalu [ -1,1 ] ograniena (slika 33)

slika 3-3 5.2 Monotonost funkcije Funkcija y=f(x) je monotono rastua u intervalu (a,b), ako za bilo koje dve vrijednosti x1 i x2 iz intervala (a,b) vai x2 > x1 f(x2) > f(x1). (vidi sliku 3-4). 15

slika 3-4 Ako vai x2 > x1 f(x2) < f(x1) onda je f(x1) monotono opadajua u (a,b), (vidi sliku 3-5).

slika 3-5 Ako vai x2 > x1 f(x2) f(x1) onda je f(x) u intervalu (a,b) monotono neopadajua. Ako vai x2 > x1 f(x2) < f(x1) onda je f(x) monotono rastua. Funkcije koje imaju navedene osobine u cijeloj oblasti definisanosti se nazivaju monotone funkcije, a funkcije koje su u Df monotono rastue ili monotono opadajue nazivaju se i strogo monotone funkcije. 1. Pokazaemo da je linearna funkcija y = kx + n, u intervalu (-,+) strogo monotona funkcija, koja je rastua ako je k>0, a opadajua ako je k x1, tj. da je x2 > - x1 > 0. Poto je f(x2) - f(x1) = kx2 + n - (kx1 + n), tj. f(x2)-f(x1) = k(x2-x1). pa poto je prema pretpostavci x2 x1 > 0, to e biti; 16

f(x2) - f(x1)> 0 f(x2) > f(x1) ako je k > 0, a f(x2) < f(x1) ako je k < 0. Prema tome data funkcija je rastua ako je k > 0, a opadajua ako je k < 0. 2. Funkcija y = x3 u Df = (-,+) je strogo monotono rastua, jer za bilo koje dve vrijednosti x1 i x2 argumenta x, takve da je x2 > x1, vai: f(X2) - f(X1) = X23 X13 = (X2 X1)(X22 + X2X1 + X12). Poto je x22 + x2x1 + x12 > 0 za bilo koje dve vrijednosti x1 i x2 (uz uslov da obe nisu nule), a poto iz x2 > x1 slijedi da je x2 - x1 > 0, to zakljuujemo da prema pretpostavci mora biti: f(x2)-f(x1) > 0 f(x2) > f(x1), pa je data funkcija strogo monotono rastua 5.3 Parnost i neparnost funkcije Za funkciju y=f(x) se kae da je parna u oblasti Df ako za svako xD. vai jednakost f(-x)=f(x), a neparna ako vai jednakost f(-x)=-f(x).

slika 3-6 Grafik parne funkcije je simetrian u odnosu na osu y (sl. 3-6-A). a grafik neparne funkcije je simetrian u odnosu na koordinatni poetak (sl. 3-7-B). Meutim, postoji vei broj funkcija koje nisu ni parne ni neparne. Primjer: 1. y = x2 je parna funkcija, jer je f(-x) = (-x2) = x2 = f(x). 2. y = x3 je neparna funkcija, jer je f(-x) = (-x)3 = -x3 = --(x)3 2 3. y = x3 + xz + x nije ni parna ni neparna funkcija, jer je: f (x)=x +x x

{ff (x )) (x

5.4 Periodinost funkcije Za funkciju y=f(x) se kae da je periodina u Df , ako za svako xDf vai da je f(x+n)=f(x). Broj n se naziva periodom funkcije y=f(x). Najpoznatije primjere periodinih funkcija predstavljaju trigonometrijske funkcije. Funkciju y=k (k=const.) takoe moemo smatrati periodinom funkcijom, gdje je period bilo koji realan broj. 17

5.5 Granina vrijednost funkcija Pojam granine vrijednosti niza, kao specijalne funkcije, proiriemo na proizvoljne funkcije. Neka je y=f(x) definsana u intervalu a