8.1平行四边形 (2)

柏林庄中心初级中学 王瑞胜

证明命题的一般步骤 :(1)理解题意 :分清命题的条件 (已知 )和结论(求证 );(2)根据题意 ,画出图形 ;

(3)结合图形 ,用符号语言写出“已知”和“求证” ;(4)分析题意 ,探索证明思路 ( 由“因”导“果” , 执“果”索“因” .);(5)依据思路 ,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 ;

(6)检查表达过程是否正确 ,完善 .

回顾与思考

定理 : 平行四边形的对边相等 .

证明后的结论 , 以后可以直接运用 .

B

D

C

A

∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB=CD,BC=DA.定理 : 平行四边形的对角相等 .

∵四边形 ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C, ∠B=∠D.定理 : 平行四边形的对角线互相平分 .∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ CO=AO,BO=DO.

B

D

C

A

O

定理 : 夹在两条平行线间的平行线段相等 .∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.

B

D

C

AM N

P Q

回顾与思考

定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .

B

D

C

A

已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,AB=CD,BC=DA.求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形 . 可转化为证明两组对边分别平行 , 从而作辅助线 ,用全等三角形来证明相应的角相等 .证明 : 连接 AC.

∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(SSS).∴∠1= 2, 3= 4.∠ ∠ ∠∴ AB∥CD,CB∥AD.∴四边形 ABCD是平行四边形 .

123

4

平行四边形的判定

定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .

已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,AB∥CD,AB=CD.求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形 . 可转化证明两组对边分别相等 , 从而作辅助线 , 用全等三角形来证明相应的边相等 .证明 : 连接 AC.

∵ AB∥CD, ∴∠1= 2.∠

∵ AB=CD,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SAS)..

∴四边形 ABCD是平行四边形 .∴ BC=DA.

B

D

C

A1

2

平行四边形的判定

你还有其它证法吗？

定理 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形的 .已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 , 对角线AC,BD相交于点 O,CO=AO,BO=DO.求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .

证明 :∵ CO=AO,BO=DO, 1= 2,∠ ∠∴△AOD≌△COB(SAS).

∴∠3= 4.∠

∴ AD∥CB.

同理 ,AB∥CD.

∴四边形 ABCD是平行四边形 .

B

D

C

A

O4

3

2

1

平行四边形判定

你还有其他证法吗？

定理 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 .

已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,∠A=∠C,∠B=∠D.

求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形，可转化为证明两组对边分别平行，从而转化为相关的边角关系来证明 .证明 :∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=3600.

∴∠A+∠B=1800.

∴ AD∥BC.

B

D

C

A

∴ 2∠A+2∠B=3600.

同理 ,AB∥CD. ∴四边形 ABCD是平行四边形 .

平行四边形的判定

已知 : 如图 .

求证 : 四边形MNOP是平行四边形 .分析 : 这是一道综合性题目 , 利用勾股定理 , 方程和平行四边形的判定进行计算推理可获证 .证明 : O

M

N

P

45x-3

11-x

x-5 ,453 222 xx

.8 x.5 POMN .3 ONPM

∴四边形MNPO是平行四边形 .

做一做

已知 : 如图 , 在□ ABCD中 ,BF=DE.求证 : 四边形 AFCE是平行四边形 .

分析 : 由已知的平行四边形和 BF=DE可知 ,CE=AF, 则转化为利用一组对应边平行且相等来证明 .证明 :

∴DC∥AB,DC=AB.

∵ DE=CF,

∴ CE=AF,

∴四边形 AFCE是平行四边形 .

∵四边形 ABCD是平行四边形 ,

A B

CD E

F

你还有几种不同的证法

随堂练习

已知 : 如图 , 在□ ABCD中 ,∠ABC的平分线与 AD相交于点 P. 求证 :PD+CD=BC.分析 : 要证明两条线段的和等于另一条线段 , 可以将 BC分割为两部分 , 来证明相应的线段相等 . 如将 CD平移 ( 过 P作 CD的平行线 ) 到 PE 的位置 , 则可利用等角对等边来证明 PE=BE,从而问题得证证明 : 过点 P作 PE∥CD, 交 BC于点 E.∵四边形 ABCD是平行四边形 ,

∴ PE∥CD∥AB,∴ 四边形 PDCE是平行四边形 , 1∠ ＝∠ 3…

∵∠1 ＝∠ 2.∴∠3 ＝∠ 2.

∴ PE=BE.

∴ AB∥CD,AD∥BC.

∴ PD+CD=BE+EC=BC.

D

B

C

A

P 3

1

E

12

∴ PD=EC,PE=CD.

随堂练习

定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .

定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .

定理 :对角线互相平分的四边形是平行四边形 .

定理 :两组对角分别相等的四边形是平行四边形 .

∵ AB=CD,AD=BC,∴四边形 ABCD是平行四边形 .

B

D

C

A

B

D

C

A

O

∵ AB∥CD,AB=CD,∴四边形 ABCD是平行四边形 .

∵ AO=CO,BO=DO,∴四边形 ABCD是平行四边形 .

∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形 ABCD是平行四边形 .

回顾思考

1. 已知 : 如图 , AC,BD是□ ABCD的两条对角线 , AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是 E,F.求证 :AE=CF.

证明 :

∴ AD=CB,AD∥BC. ∴∠1= 2.∠

∵∠AED=∠CFB=900,

∴△AED≌△CFB(AAS).

∴ AE=CF.

∵四边形 ABCD是平行四边形 ,

分析 : 要证明 AE=CF, 可转化全等三角形(△AED≌△CFB) 的对应边来证明 .

B

D

C

AF

E1

2

你还有几种不同的证法

随堂练习

独立作业

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