8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題

3B_Ch8(1)

3B_Ch8(2)

8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題

A 全等三角形

目錄

B 相似三角形C 等腰三角形

3B_Ch8(3)

三角形不等式A

三角形中特殊線的關係B

目錄

8.3 三角形中各線之間的關係

3B_Ch8(4)

目錄 8.1 目錄

例題演示


‧ 根據全等三角形、相似三角形和等腰三角形的性質或判定條件，我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。

A) 全等三角形

3B_Ch8(5)

在四邊形 OABC 中， OA = OC 及 AB = BC 。證明 OAB = OCB 。

目錄

連接 OB ，得 △ OAB 和 △ OCB ，如圖所示。

OA = OC 已知

AB = CB 已知

OB = OB 公共邊

∴ △OAB △OCB SSS

∴ OAB = OCB 全等 △ 的對應角

習題目標

涉及全等三角形的證明。


重點理解 8.1.1

3B_Ch8(6)

在圖中， AN OB ， BM OA ， BM 和 AN 相交於 P 。如果 OM = ON ，證明

目錄


(a) △OAN △OBM，(b) AM = BN。

3B_Ch8(7)

返回問題

目錄

(a) 在 △ OAN 和 △ OBM 中，


ANO = BMO = 90° 已知

ON = OM 已知

AON = BOM 公共角

∴ △OAN △OBM ASA

AM = OA – OM

BN = OB – ON

∴ AM = BN

(b) ∵ △OAN △OBM 在 (a) 已證

∴ OA = OB 全等 △ 的對應邊

又 OM = ON 已知習題目標


重點理解 8.1.1

3B_Ch8(8)

在 △ ACD ， BD AC 。 E

是　 BD 上的一點，且 AE =

DC 及 BE = BC 。

目錄


(a) 證明 BA = BD 。(b) 證明 DAE = BCD – 45° 。

(a) 在 △ ABE 和 △ DBC 中，ABE = DBC = 90° 已知

AE = DC 已知

∴ △ABE △DBC RHS

∴ BA = BD 全等 △ 的對應邊

BE = BC 已知

3B_Ch8(9)

返回問題

目錄

(a) 在右圖所示，設未知角 x 和 z 。在 △ ABD 中，


∵ BA = BD 在 (a) 已證

∴ x = z 等腰 . △ 底角

∴ BCD = BEA 全等 △ 的等應角

x + z = 90° △ 外角

∴ x = z = 45°

∵ △DBC △ABE 在 (a) 已證

= z + DAE △ 外角

= 45° + DAE

即 DAE = BCD – 45°

習題目標


重點理解 8.1.1

3B_Ch8(10)

目錄

‧ 根據相似三角形的性質及判定條件（ AAA，三邊成比例，兩邊成比例且夾角相等）我們以演繹法作簡單證明及推論出更多的幾何結果。

例題演示

B) 相似三角形


目錄 8.1

3B_Ch8(11)

在圖中， AEC 和 BED 都是直線。若 AB = 4 ， B

C = 6 ， CD = 9 ， AC = 8 和 BD = 12 ，證明(a) △ABC ~ △BCD ，(b) ABC = BCD 。

目錄


3B_Ch8(12)

返回問題

目錄

(a) 考慮 △ ABC 和 △ BCD 。


三邊成比例∴ △ABC ~ △BCD

4 26 3

ABBC

8 212 3

ACBD

6 29 3

BCCD

∴AB AC BCBC BD CD

3B_Ch8(13)

返回問題

目錄

(b) ∵ △ABC ~ △BCD


∴ ∠ABC = ∠BCD

在 (a) 已證

相似 △ 的對應角

習題目標

涉及相似三角形的證明。

3B_Ch8(14)

在圖中， BCD 是一條直線。若 AB = 24 cm ，BC = 18 cm ， CD = 14 cm 及 AC = 21 cm ，

目錄


(a) 證明 △ ABC ~ △DBA ；

(b) 求 AD 的長度。

3B_Ch8(15)

返回問題

目錄


公共角

兩邊成比例且夾角相等

(a) 在 △ ABC 和 △ DBA 中，

ABDB

24 cm(18 14) cm

2432

34

BCBA

18 cm24 cm

34

∴AB BCDB BA

∠ABC = ∠DBA

∴ △ABC ~ △DBA

3B_Ch8(16)

返回問題

目錄


(b) ∵ △ABC ~ △DBA

3 21 cm4 AD

AB ACDB DA

∴

421 cm

3AD

28 cm

習題目標

涉及相似三角形的證明及求未知量。

在 (a) 已證

在相似△的對應邊

3B_Ch8(17)

目錄


在圖中， M 和 N 分別是 AB 和 AC 的中點。 M

C 和 NB 相交於 G 點。證明(a) △AMN ~ △ABC；

(b) △GMN ~ △GCB；

(c)1

.2

MG NGCG BG

3B_Ch8(18)

返回問題

目錄


(a) 在 △ AMN 和 △ ABC 中，已知M 是 AB 的中點。

即 12

AMAB

已知N 是 AC 的中點。

即 12

ANAC

AM ANAB AC

∴

公共角

兩邊成比例且夾角相等

∠MAN = ∠BAC

∴ △AMN ~ △ABC

3B_Ch8(19)

返回問題

目錄


(b) ∵ △AMN ~ △ABC

相似 △ 的對應角 ∴ ∠AMN = ∠ABC

∴ MN // BC

在 △ GMN 和 △ GCB 中，

AAA∴ △GMN ~ △GCB

在 (a) 已證

同位角相等

∠MGN = ∠CGB 對頂角

∠GMN = ∠GCB 內錯角， MN // BC

∠GNM = ∠GBC 內錯角， MN // BC

3B_Ch8(20)

返回問題

目錄


(c) ∵ △AMN ~ △ABC

相似 △ 的對應邊

在 (a) 已證

∴ MN AMBC AB

12

∵ △GMN ~ △GCB 在 (b) 已證

∴ MG NG MNCG BG CB

即 12

MG NGCG BG


習題目標

涉及相似三角形的證明。

重點理解 8.1.2

3B_Ch8(21)

目錄

例題演示

C) 等腰三角形

目錄 8.1


‧ 根據等腰三角形的性質或判定條件：i. 等腰三角形的兩個底角相等，ii. 若一個三角形有兩個角相等，則這兩角的對邊亦相等，即該三角形是等腰三角形，

我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。

3B_Ch8(22)

在 △ ABC 中， AB = AC 。 D 是 A

C 上的一點，使 BD AC 。證明 ∠ BAC = 2∠DBC 。

目錄


即 ∠ ACB = 90° – x

設 ∠ DBC = x 。∠BDA = 90° 已知

在 △ BCD 中，∠DCB + x = 90° △ 外角

∠DCB = 90° – x

3B_Ch8(23)

返回問題

目錄


在 △ ABC 中，AB = AC 已知

∴ ∠ABC = ∠ACB

∴∠BAC = 2∠DBC

等腰 △ 底角

即 ∠ ABC = 90° – x

∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° △ 內角和

∠BAC + (90° – x) + (90° – x) = 180°

即 ∠ BAC = 2x

習題目標

涉及等腰三角形的證明。

3B_Ch8(24)

目錄


在圖中， D 是 AB 上的一點， AD = 12.5 cm ， DB = 10 cm 及 BC = 15 cm 。(a) 證明 △ ABC ~ △CBD 。(b) 若∠ CBD = ∠CDB ，證明 △ ABC 是等腰

三角形。

3B_Ch8(25)

返回問題

目錄


(a) 考慮 △ ABC 和 △ CBD 。

ABCB

(10 12.5) cm15 cm 22.5

15 1.5

BCBD

15 cm10 cm

1.5

∴ AB BCCB BD

∠ABC = ∠CBD 公共角

∴ △ABC ~ △CBD 兩邊成比例且夾角相等

3B_Ch8(26)

返回問題

目錄


(b) 在 △ CBD 中，

∠CBD = ∠CDB 已知

∴ CB = CD 等角對邊相等

∵ △ABC ~ △CBD 在 (a) 已證

∴AB ACCB CD


即 AB = AC

∴ △ABC 是等腰三角形。

習題目標

涉及等腰三角形的證明。重點理解 8.1.3

3B_Ch8(27)

目錄

‧ 參看各圖中的 △ ABC ：三角形內一些特殊的線

8.2 三角形內一些特殊的線

i. 角平分線是將一個內角平分的線段。例如：圖中的 AD 是∠ A 的角平分線。

3B_Ch8(28)

目錄

三角形內一些特殊的線


ii. 垂直平分線是垂直且平分一條邊的直線。例如：圖中的 DE 是 AC

的垂直平分線。

iii. 中線是連接頂點與它對邊中點的線段。例如：圖中的 BD 是一條中線。

3B_Ch8(29)

目錄

三角形內一些特殊的線


例題演示

iv. 頂垂線是從頂點向它對邊所作的垂直線段。例如：圖中的 BD 是一條頂垂線。

3B_Ch8(30)

目錄


如圖中， P 、 Q 、 R 分別是 △ ABC 中 AB 、 B

C 、 CA 上的點。已知 PQ = PR ，且 PQ BC

及 PR CA ，證明 CP 是 ∠ BCA 的角平分線。

3B_Ch8(31)

返回問題

目錄

在 △ CPQ 和 △ CPR 中，

PQ = PR 已知

∠PQC = ∠PRC = 90°

全等 △ 的對應角

習題目標

涉及三角形內特殊線的證明。


即 CP 是 ∠ BCA 的角平分線。

已知

PC = PC 公共邊

∴ △CPQ △CPR RHS

∴ ∠QCP = ∠RCP

3B_Ch8(32)

在圖中， AC 與 BD 相交於 E ，且 AB = BC = CD 。若 BE 是∠ ABC 的角平分線，證明 E 是 BD 的中點。

目錄


已知

在 △ BAC 中，AB = BC

即 △ BAC 是等腰三角形。 ∵ BE 是∠ ABC 的角平分線。 ∴ BE AC 等腰 △ 性質

已知

3B_Ch8(33)

返回問題

目錄

在 △ CBD 中，BC = CD 已知

即 △ CBD 是等腰三角形。

習題目標

涉及三角形內特殊線的證明。


∵ ∠BEC = 90°

即 CE 是由 C 至 BD 的頂垂線。 ∴ CE 是由 C 至 BD 的中線。等腰 △ 性質

即 E 是 BD 的中點。

重點理解 8.2.1

3B_Ch8(34)

目錄 8.3 目錄

例題演示

A) 三角形不等式‧ 在三角形中，任何兩邊長度之和必大於第三條邊

的長度。例如：在圖中，

a + b > c,

b + c > a,

c + a > b.


3B_Ch8(35)

已知三條分別長 3 、 4 及 5 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？

目錄

由於 3 + 4 > 5 ， 4 + 5 > 3 和 5 + 3 > 4 ，所以　這三條線段可以構成一個三角形。


3B_Ch8(36)

已知三條分別長 15 、 4 及 7 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？

目錄

由於 15 + 4 > 7 ， 15 + 7 > 4 ，但 4 + 7 < 15 ，所以　這三條線段不可以構成三角形。

重點理解 8.3.1


3B_Ch8(37)

目錄

B) 三角形中特殊線的關係1. 三角形的三條角平分線必定共

點，它們的交點稱為三角形的內心。以內心為圓心，可作一圓（內切圓）與三角形各邊只相交於一點。


3B_Ch8(38)

目錄

B) 三角形中特殊線的關係2. 三角形三條邊的垂直平分線必

定共點，它們的交點稱為三角形的外心。以外心為圓心，可作一圓（外接圓）通過三角形的各個頂點。


3B_Ch8(39)

目錄

B) 三角形中特殊線的關係3. 三角的三條中線必定共點，

它們的交點稱為三角形的形心。形心將每條中線分為兩段，它們的比是 2 : 1 。

4. 三角形的三條頂垂線必定共點，它們的交點稱為三角形的垂心。

目錄 8.3

例題演示


3B_Ch8(40)

目錄

在圖中， AI 、 BI 及 CI 是 △ ABC 的三條角平分線，三線的交點 I 便是 △ ABC 的內心。


3B_Ch8(41)

目錄

在圖中， PO 、 QO 及 RO 是 △ ABC 三邊的垂直平分線，三線的交點 O 便是外心。

在圖中， L 、 M 及 N 是 △ ABC 三邊的中點，而 AL 、 BM 及 CN 是中線，三線的交點 G 便是形心。

重點理解 8.3.2


8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題

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