鲁教版课标八下·§8.2 (3)

8.2特殊的平行四边形 (3)

证明命题的一般步骤 :

(1)理解题意 :分清命题的条件 (已知 ),结论 (求证 );(2)根据题意 ,画出图形 ;

(3)结合图形 ,用符号语言写出“已知”和“求证” ;(4)分析题意 ,探索证明思路 ( 由“因”导“果” ,执“果”索“因” .);(5)依据思路 ,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 ;

(6)检查表达过程是否正确 ,完善 .

回顾思考

定理 : 平行四边形的对边相等 .

B

D

C

A

∵四边形 ABCD是平行四边形 .∴AB=CD,BC=DA.定理 : 平行四边形的对角相等 .

∵四边形 ABCD是平行四边形 .∴∠A=∠C, ∠B=∠D.定理 : 平行四边形的对角线互相平分 .∵四边形 ABCD是平行四边形.∴CO=AO,BO=DO.

B

D

C

A

O

定理 : 夹在两条平等线间的平等线段相等 .∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.

B

D

C

AM N

P Q

回顾思考

定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .

定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .

定理 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .

定理 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形的 .

∵AB=CD,AD=BC,∴四边形 ABCD是平行四边形 .

B

D

C

A

B

D

C

A

O

∵AB CD∥ ,AB=CD,∴四边形 ABCD是平行四边形 .

∵AO=CO,BO=DO,∴四边形 ABCD是平行四边形 .

∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形 ABCD是平行四边形 .

回顾思考

四边形之间有何关系？特殊的平行四边形之间呢？还记得它们与平行四边形的关系吗 ?能用一张图来表示它们之间的关系吗 ?

四边形

平行四边形矩形

菱形

正方形

两组对边

分别平行

有一个角是直角有一组邻边相等 有一个角

是直角

有一组邻边相等

一组对边平行另一组对边不平行 梯形

两腰相等 等腰梯形

腰与底垂直 直角梯形

回顾思考

定理 : 矩形的四个角都是直角 .

定理 : 矩形的两条对角线相等 .

推论 ( 直角三角形性质 ): 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .

∵四边形 ABCD是矩形 ,

.2

1ABCD

∴∠A= B= C= D=90∠ ∠ ∠ 0.

D

B C

A

D

B C

A∵AC,BD是矩形 ABCD的两条对角线 .

∴AC=BD.

在△ ABC中 ,∠ACB=900,∵AD=BD,

A

BC

D

回顾思考

定理 : 有三个角是直角的四边形是矩形 .

定理 : 对角线相等的平行四边形是矩形 .

定理 : 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 , 那么这个三角形是直角三角形 .

∵∠A=∠B=∠C=900,∴四边形 ABCD是矩形 .

D

B C

A

D

B C

A∵AC,BD是□ ABCD的两条对角线 , 且 AC=DB.

∴四边形 ABCD是矩形 .

A

BC

D

∴ ∠ACB=900.

.2

1ABCD

在△ ABC中 ,∵AD=BD,

回顾思考

定理 : 菱形的四条边都相等 .

定理 : 菱形的两条对角线互相垂直 , 并且每条对角线平分一组对角 .

∵四边形 ABCD是菱形 ,∴AB=BC=CD=AD.

∵AC,BD是菱形 ABCD的两条对角线 .

∴AC⊥BD

C

B

D

A

D

B

CA O

回顾思考

定理 : 四条边都相等的四边形是菱形 .

定理 : 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .

在四边形 ABCD中 , ∵AB=BC=CD=AD,

∴四边形 ABCD是菱形 .

∵AC,BD是□ABCD的两条对角线 ,AC⊥BD.

∴四边形 ABCD是菱形 .

C

B

D

A

D

B

CA O

回顾思考

定理 : 正方形的四个角都是直角 , 四条边都相等 .

定理 : 正方形的两条对角线相等 , 并且互相垂直平分 , 每条对角线平分一组对角 .

∵四边形 ABCD是正方形 ,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.

∵四边形 ABCD是正方形 ,

∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠ BAD和∠ BCD,BD平分∠ ADC和∠ ABC.

A

B C

D A

B C

D

O

回顾思考

定理 : 有一个角是直角的菱形是正方形 .

定理 : 对角线相等的菱形是正方形 .

定理 : 对角线互相垂直的矩形是正方形 .

∵四边形 ABCD是菱形 , A=90∠ 0,∴四边形 ABCD是正方形 .

∵四边形 ABCD是菱形 ,AC=DB.∴四边形 ABCD是正方形 .

∴四边形 ABCD是正方形 .

A

B C

D

A

B C

D

O

∵四边形 ABCD是矩形 ,AC⊥BD,

回顾思考

定理 : 正方形的四个角都是直角 , 四条边都相等 .

求证 :(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900. (2)AB=BC=CD=DA.分析 : 因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 , 所以结论易证 .证明 :

∴四边形 ABCD是矩形 , 也是菱形 .

∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,

AB=BC=CD=DA.

∵四边形 ABCD是正方形 ,

A

B C

D已知 : 四边形 ABCD是正方形 .

正方形的性质

定理 : 正方形的两条对角线相等 , 并且互相垂直平分 , 每条对角线平分一组对角 .

求证 :(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分∠ BAD和∠ BCD,BD平分∠ ADC和∠ ABC. 分析 : 因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 , 所以结论易证 .证明 :

∴四边形 ABCD是平行四边形 , 也是矩形 , 也是菱形 .∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;

∵四边形 ABCD是正方形 ,

AC⊥BD;

AC平分∠ BAD和∠ BCD,BD平分∠ ADC和∠ ABC.

已知 : 四边形 ABCD是正方形 ,AC,BD是它的两条对角线 .

A

B C

D

O

正方形的性质

定理 : 有一个角是直角的菱形是正方形 .

求证 : 四边形 ABCD是正方形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是正方形 , 可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可 .证明 :

∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.

∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形 ABCD是矩形 .

∵四边形 ABCD是菱形 ,∠A=900,

∵AB=BC, ∴四边形 ABCD是正方形 .

已知 : 四边形 ABCD是菱形 ,∠A=900.A

B C

D

正方形的判定

定理 :对角线相等的菱形是正方形 .

求证 :四边形 ABCD是正方形 .分析 :要证明四边形 ABCD是正方形 ,可转化为证明有一组邻边相等的矩形 (或有一个角是直角的菱形 )即可 .证明 :

∴AB=BC,四边形 ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形 ABCD是矩形 .

∵AB=BC,

∵四边形 ABCD是菱形 ,

∴四边形 ABCD是正方形 .

已知 :四边形 ABCD是菱形 ,且对角线 AC=BD.

A

B C

D

O

正方形的判定

定理 : 对角线互相垂直的矩形是正方形 .

求证 : 四边形 ABCD是正方形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是正方形 , 可转化为证明有一角是直角的菱形 ( 或有一组邻边相等的矩形 ,或对角线相等的菱形 ) 即可 .证明 :

∴∠ABC=900, 四边形 ABCD是平行四边形 .

∵AC⊥BD,∴四边形 ABCD是菱形 .

∵∠ABC=900.

∵四边形 ABCD是矩形 ,

∴四边形 ABCD是正方形 .

已知 : 四边形 ABCD是矩形 , 且 AC⊥BD.

A

B C

D

O

正方形的判定

定理 : 正方形的四个角都是直角 , 四条边都相等 .

定理 : 正方形的两条对角线相等 , 并且互相垂直平分 , 每条对角线平分一组对角 .

∵四边形 ABCD是正方形 ,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.

∵四边形 ABCD是正方形 ,∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠ BAD和∠ BCD,BD平分∠ ADC和∠ ABC.

A

B C

D A

B C

D

O

回顾思考

定理 : 有一个角是直角的菱形是正方形 .

定理 : 对角线相等的菱形是正方形 .

定理 : 对角线互相垂直的矩形是正方形 .

∵四边形 ABCD是菱形 ,∠A=900,∴四边形 ABCD是正方形 .

∵四边形 ABCD是菱形 ,AC=DB.∴四边形 ABCD是正方形 .

∴四边形 ABCD是正方形 .

A

B C

D

A

B C

D

O

∵四边形 ABCD是矩形 ,AC⊥BD,

回顾思考

课后作业 P88 习题 8.6 第 1,2题