제 8 장 IIR 필터 설계 (B)

8.2 원형 아날로그 필터의 특성 (2)

체비셰프 저역통과 필터

체비셰프 필터에는 두 가지 형태가 있다. 제 1형 체비셰프 필터는 통과대역에서 등리플 응답을 갖는다. 반면, 제 2형 체비셰프 필터는 저지대역에서 등리플 응답을 갖는다. 버터워스 필터는 두 대역 모두에서 단조응답을 갖는다. 등리플 FIR 필터의 내용을 상기해 보자. 단조응답보다는 등리플 응답을 갖도록 필터를 설계할 때 더 낮은 차수의 필터를 얻을 수 있음을 알 수 있었다. 그러므로, 체비셰프 필터는 같은 사양에 대하여 버터워스 필터보다 낮은 차수를 갖게 된다. 제 1형 체비셰프 필터의 크기제곱 응답은 다음과 같다.

여기서 은 필터의 차수이고, 은 와 관계있는 통과대역 리플 인자이다. 그리

고 는 다음과 같이 주어지는 차 체비셰프 다항식이다.

체비셰프 필터의 등리플 응답은 이 다항식 때문이다. 이것의 핵심적인 특성은 다음과 같다.

(a) 는 에서 -1 과 1 사이를 진동한다.

(b) 는 에서 단조증가 함수이다.

은 이 홀수일 경우와 짝수일 경우에 해당하는 두 가지 모양을 갖는다. 이것을 아래 그림에 나타내었다.

[ 그림 ]

는 정규화된 주파수임을 주목하여라. 위의 두 응답 그래프들로부터 다음과 같은 특성을 알 수 있다.

인과적이고 안정적인 를 구하기 위하여, 먼저 의 극점들

을 찾고, 왼쪽 반평면에 있는 극점들을 의 극점들로 선택해야 한다. 의 극점들은 다음 식의 근을 찾음으로써 구할 수 있다.

이 방정식의 해를 구하는 것은 어렵지는 않지만 지루하다. 만약

이 위 다항식의 해라면 다음과 같은 됨을 보일 수 있다.

여기서

이 근들은 를 장축으로 하고, 를 단축으로 하는 타원 위에 존재한다. 이제 시스템 함수는 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 다음과 같이 만들기 위한 정규화 인자이다.

설계 방정식

가 주어졌을 때 제 1형 체비셰프 필터를 설계하기 위해서는

의 3가지 파라미터가 필요하다. 방정식 (8.3) 과 (8.4) 로부터 다음의 식을 얻을 수 있다.

위에서 공부했던 특성들로부터 다음을 얻을 수 있다.

차수 은 다음과 같이 주어진다.

이제 식 (8.14), (8.15), (8.16) 을 사용하여 를 결정할 수 있다. ? 예제 8.5 다음 사양을 만족하는 제 1형 체비셰프 저역통과 필터를 설계하여라.

? 예제 8.6 CEMTool을 사용하여 예제 8.5에 주어진 제 1형 체비셰프 아날로그 저역통과 필터를 설계하여라. <이장 뒤의 CEMTool 구현에서 예제 8.6 참조>

다음은 CEMTool 로 계산된 결과입니다. ¦ 예제 8.6의 해 CEMTool>> Wp = 0.2*pi; Ws = 0.3*pi; Rp = 1; As = 16; CEMTool>> Ripple = 10 ̂(-Rp/20); Attn = 10 ̂(-As/20); CEMTool>> /* Analog filter design: */ CEMTool>> [b,a] = chb1lpf(Wp,Ws,Rp,As); *** Chebyshev-1 Filter Order = 4 CEMTool>> /* Calculation of second-order sections: */ CEMTool[C,B,A] = sdrt2cas(b,a) C = 0.0383 B = 0 0 1 A = 1.0000 0.4233 0.1103 1.0000 0.1753 0.3895

CEMTool>> /* Calculation of Frequency Response: */ CEMTool>> [db,mag,pha,w] = mfreq_s(b,a,0.5*pi); CEMTool>> /* Calculation of Impulse response:*/ CEMTool>> [ha,x,t] = impulse(b,a); 다음과 같이 주어지는 4차 제 1형 체비셰프 필터의 시스템 함수가 사양을 만족시킨다.

이 필터의 그래프는 그림 8.6에 나타내었다. ¦

그림 8.6 예제 8.6의 제 1형 체비셰프 아날로그 필터 다음은 MatLab 로 계산된 결과입니다. ¦ 예제 8.6의 해

>> Wp = 0.2*pi; Ws = 0.3*pi; Rp = 1; As = 16; >> Ripple = 10 ̂(-Rp/20); Attn = 10 ̂(-As/20); >> % Analog filter design:

>> [b,a] = afd_chb1(Wp,Ws,Rp,As); *** Chebyshev-1 Filter Order = 4

>> % Calculation of second-order sections: [C,B,A] = sdir2cas(b,a) C = 0.0383 B = 0 0 1 A = 1.0000 0.4233 0.1103 1.0000 0.1753 0.3895

>> % Calculation of Frequency Response: >> [db,mag,pha,w] = freqs_m(b,a,0.5*pi); >> % Calculation of Impulse response: >> [ha,x,t] = impulse(b,a);

그림: 예제 8.6의 제 1 형 체비셰프 아날로그 필터

제 2 형 체비셰프 필터는 제 1 형 체비셰프 필터의 간단한 변환을 통해 얻을 수

있다. 이 필터는 단조적 통과대역과 등리플 저지대역을 갖는다. 이는 이 필터가 평면에서 극점과 영점을 모두 가짐을 의미한다. 그러므로 제 2 형 체비셰프 원형 필터는 제 1 형보다 통과대역에서의 군지연(group delay) 특성이 좋다(즉, 위상 응답이 더 선형적이다). 식 (8.13)에서

항을 그 역수로 바꾸고, 인수 도 그 역수로 바꾸어주면, 다음과 같은 제 2형 체비셰프 필터의 크기제곱 응답을 얻을 수 있다.

제 2형 체비셰프 필터를 설계하는 한 방법으로 먼저 그에 해당하는 제 1형 체비셰프 필터를 설계한 후, 위의 변환을 적용하는 것이 있다. 제 2형에 대해서는 자세히 이야기하지 않겠다. ? 예제 8.7 예제 8.5에 주어진 사양을 만족시키는 제 2형 체비셰프 아날로그 저역통과 필터를 설계하여라. <이장 뒤의 CEMTool 구현에서 예제 8.7 참조>

다음은 CEMTool 로 계산된 결과입니다. ¦ 예제 8.7의 해 CEMTool>> Wp = 0.2*pi; Ws = 0.3*pi; Rp = 1; As = 16; CEMTool>> Ripple = 10 ̂(-Rp/20); Attn = 10 ̂(-As/20); CEMTool>> /* Analog filter design: */ CEMTool>> [b,a] = chb2lpf(Wp,Ws,Rp,As); *** Chebyshev-2 Filter Order = 4 CEMTool>> /* Calculation of second-order sections: */ CEMTool>> [C,B,A] = sdrt2cas(b,a) C = 0.1585 B = 1.0000 0.0000 6.0654 1.0000 0.0000 1.0407 A = 1.0000 1.9521 1.4747 1.0000 0.3719 0.6784 CEMTool>> /* Calculation of Frequency Response: */ CEMTool>> [db,mag,pha,w] = mfreq_s(b,a,0.5*pi); CEMTool>> /* Calculation of Impulse response: */ CEMTool>> [ha,x,t] = impulse(b,a);

다음과 같이 주어지는 4차 제 2형 체비셰프 필터의 시스템 함수가 사양을 만족시킨다.

이 필터의 그래프는 그림 8.7에 나타내었다. ¦

그림 8.7 예제 8.7의 제 2형 체비셰프 아날로그 필터 다음은 MatLab 로 계산된 결과입니다. ¦ 예제 8.7의 해

>> Wp = 0.2*pi; Ws = 0.3*pi; Rp = 1; As = 16; >> Ripple = 10 ̂(-Rp/20); Attn = 10 ̂(-As/20); >> % Analog filter design: >> [b,a] = afd_chb2(Wp,Ws,Rp,As); *** Chebyshev-2 Filter Order = 4

>> % Calculation of second-order sections: >> [C,B,A] = sdir2cas(b,a) C = 0.1585 B = 1.0000 0 6.0654 1.0000 0 1.0407 A = 1.0000 1.9521 1.4747 1.0000 0.3719 0.6784

>> % Calculation of Frequency Response: >> [db,mag,pha,w] = freqs_m(b,a,0.5*pi); >> % Calculation of Impulse response: >> [ha,x,t] = impulse(b,a);

그림: 예제 8.7 의 제 2 형 체비셰프 아날로그 필터

타원형(elliptic) 저역통과 필터

이 필터는 저지대역과 통과대역 모두에서 등리플 응답을 나타낸다. 이 필터의 크기 응답 특성은 FIR 등리플 필터의 경우와 유사하다. 그러므로 타원형 필터는 주어진

사양에 대하여 최소의 차수 을 얻을 수 있다는 점에서 최적의 필터이다. 다르게

말하면, 주어진 차수 에 대하여 가장 가파른 전이대역을 얻을 수 있다는 것이다. 따라서, 이 필터를 분석하고 설계하는 것은 매우 어렵다. 간단한 도구를 사용하여

이 필터를 설계하는 것은 불가능하고, 종종 프로그램이나 표를 사용한다. 이 필터의 크기제곱 응답은 다음과 같이 주어진다.

여기서 은 필터의 차수이고, 은 와 관계있는 통과대역 리플 인자이다. 그

리고 은 차의 야코비안(Jacobian) 타원 함수이다. 이 함수의 분석은 피상적인 수준에서조차도 이 책의 범위를 넘어선다. 위의 응답 (8.22)와 체비셰프 필터의 응답 (8.13)과의 유사성을 주목하여라. 이 홀수일 경우와 짝수일 경우의 전형적인 응답을 아래 그림에 나타내었다.

[ 그림 ]

필터 차수 의 계산

비록 식 (8.22)의 분석은 어렵지만 차수 계산 공식은 매우 간결하고, 여러 교재[ 16, 19, 20]에서 볼 수 있다. 그 식은 다음과 같다.

여기서

이고,

은 제 1종 완전 타원적분이다. ? 예제 8.8 예제 8.5에 주어진 사양을 만족시키는 타원형 아날로그 저역통과 필터를 설계하여라. <이장 뒤의 CEMTool 구현에서 예제 8.8 참조>

다음은 CEMTool 로 계산된 결과입니다. ¦ 예제 8.8의 해 CEMTool>> Wp = 0.2*pi; Ws = 0.3*pi; Rp = 1; As = 16; CEMTool>> Ripple = 10 ̂(-Rp/20); Attn = 10 ̂(-As/20); CEMTool>> /* Analog filter design: */ CEMTool>> [b,a] = elplpf(Wp,Ws,Rp,As); *** Elliptic Filter Order = 3 CEMTool>> /* Calculation of second-order sections: */ CEMTool>> [C,B,A] = sdrt2cas(b,a) C = 0.2740 B = 1.0000 0 0.6641 A = 1.0000 0.1696 0.4102 0 1.0000 0.4435 CEMTool>> /* Calculation of Frequency Response: */ CEMTool>> [db,mag,pha,w] = mfreq_s(b,a,0.5*pi); CEMTool>> /* Calculation of Impulse response: */ CEMTool>> [ha,x,t] = impulse(b,a); 다음과 같이 주어지는 3차 타원형 필터의 시스템 함수가 사양을 만족시킨다.

이 필터의 그래프는 그림 8.8에 나타내었다. ¦

그림 8.8 예제 8.8의 타원형 아날로그 저역통과 필터 다음은 MatLab 로 계산된 결과입니다. ¦ 예제 8.8의 해

>> Wp = 0.2*pi; Ws = 0.3*pi; Rp = 1; As = 16; >> Ripple = 10 ̂(-Rp/20); Attn = 10 ̂(-As/20); >> % Analog filter design: >> [b,a] = afd_elip(Wp,Ws,Rp,As); *** Elliptic Filter Order = 3

>> % Calculation of second-order sections: >> [C,B,A] = sdir2cas(b,a) C = 0.2740 B = 1.0000 0 0.6641 A = 1.0000 0.1696 0.4102 0 1.0000 0.4435

>> % Calculation of Frequency Response: >> [db,mag,pha,w] = freqs_m(b,a,0.5*pi); >> % Calculation of Impulse response: >> [ha,x,t] = impulse(b,a);

그림: 예제 8.8 의 타원형 아날로그 저역통과 필터

원형 필터들의 위상 응답

타원형 필터는 크기제곱 응답에 있어서 최적의 기능을 나타낸다. 그러나 이 필터는 통과대역에서 매우 비선형적인 위상 응답을 갖는다. 이것은 여러 응용에서 바람직하지 않은 것이다. 비록 설계할 때는 위상 응답에 대하여 신경쓰지 않았으나, 위상은 여전히 전체 시스템에 있어서 중요한 문제이다. 기능이 가장 나쁜 것은 버터워스 필터이다. 이것은 극대적으로 평평한 크기 응답을 갖고, 같은 저지대역 사양을 달성하

기 위해 더 높은 차수의 (즉, 더 많은 극점)을 필요로 한다. 그러나 버터워스 필터는 통과대역에서 상당히 선형적인 위상 응답을 나타낸다. 그러므로, 실제 응용에서는 버터워스 필터, 체비셰프 필터, 타원형 필터 모두를 고려한다. 어떤 것을 선택하느냐는 필터의 차수(이것은 처리속도와 구현의 복잡성에 영향을 미친다)와 위상 특성(이것은 왜곡을 결정한다)에 달려있다. 버터워스, 체비셰프, 또는 타원형 방법으로 설계된 아날로그 필터의 쌍일차 변환은

IIR 디지털 필터를 설계하는 표준적인 방법이다. 최종적인 시스템 함수 는 단위 원상에 모든 영점을 갖고, 단위원 내부에 모든 극점을 갖는다. 결과적으로 모든 근사법은 군지연이 상수가 아닌, 즉 비선형 위상의 디지털 필터를 생성한다. 군지연이 상수로부터 벗어나는 가장 큰 편차는 통과대역의 끝이나 전이대역에서 일어난다. 일반적으로, 제 II형 체비셰프 방법은 통과대역에서 가장 적은 군지연을 갖고 통과

대역은 가장 넓으므로 통과대역에서 군지연은 거의 일정하다. 위상의 선형성이 문제가 되지 않는다면, 타원형 방법이 최저 차수의 시스템 함수를 만들고, 따라서 주어진 필터의 설계 상양을 구현하는데 드는 계산량이 가장 적다.