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Potencia enesima por diagonalizacion
Exponemos la manera de calcular la potencia enesima de una matriz diago-
nalizable.
Metodo Sea A una matriz cuadrada de orden n con elementos en un cuerpoK (podemos suponer para fijar ideas K = R o K = C). Si es diagonalizable,sabemos que existe una matriz invertible P ∈ Kn×n tal que P −1AP = D
siendo D = diag(λ1, . . . , λn) con λi los correspondientes valores propios deA. Despejando A obtenemos A = P DP −1 y elevando a n:
An = (PDP −1)(PDP −1) . . . (PDP −1) = PDnP −1
1. Calcular la potencia enesima de la matriz A =
1 −3 33 −5 36 −6 4
Resoluci´ on Valores propios de A:
1 − λ −3 3
3 −5 − λ 36 −6 4 − λ
=
−2 − λ −3 3−2 − λ −5 − λ 3
0 −6 4 − λ
=
−2 − λ −3 3
0 −2 − λ 00 −6 4 − λ
= (−2 − λ)
2
(4 − λ) = 0 ⇔
λ1 = 4 (simple) o λ2 = −2 (doble)
(hemos sumado a la primera columna la segunda y posteriormente hemosrestado a la segunda fila la primera). La matriz A tiene tres valores realesen R (repetidos o no). Por otra parte la dimensi on del subespacio propioasociado a λ1 = 4 es 1 por ser λ1 simple. La dimemsion del subespaciopropio asociado a λ1 = −2 es
dimV λ2 = 3 − rg(A + 2I ) = 3 − rg
3 −3 33 −3 3
6 −6 6
= 3 − 1 = 2
Por tanto, A tiene tres valores propios reales y la dimension de cada subes-pacio propio coincide con la multiplicidad del correspondiente valor propio:A es diagonalizable en R. Las ecuaciones de los subespacios propios son
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V λ1 ≡
−3x1 − 3x2 + 3x3 = 0
3x1 − 9x2 + 3x3 = 06x1 − 6x2 = 0V λ2 ≡
3x1 − 3x2 + 3x3 = 0
3x1 − 3x2 + 3x3 = 06x1 − 6x2 + 6x3 = 0
y unas bases respectivas Bλ1 = {(1, 1, 2)} y Bλ2 = {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}.Trasponiendo obtenemos la correspondiente matriz P :
P =
1 1 −11 1 02 0 1
en consecuencia
An = P DnP −1 =1 1 −11 1 0
2 0 1
4
n
0 00 (−2)n 00 0 (−2)n
1 1 −11 1 0
2 0 1
−1
=
. . . = 1
2
4n + (−2)n −4n + (−2)n 4n − (−2)n
4n − (−2)n −4n + 3(−2)n 4n − (−2)n
2 · 4n − 2(−2)n −2 · 4n + 2(−2)n 2 · 4n
Autor: Fernando Revilla
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