86901271-rjeseni-zadaci

GRAEVINSKI FAKULTET SVEUILITA U RIJECI DIPLOMSKI STUDIJ

Zavod za hidrotehniku i geotehniku

Nastavna godina 2011./2012.

7 ZADATAKA IZ INENJERSKE HIDROLOGIJE

Rijeeni zadaci

Nino Krvavica, dipl.ing.gra.

Rijeeni zadaci iz inenjerske hidrologije Nino Krvavica

2

SADRAJ

1. UVOD ................................................................................................. 32. VODNA BILANCA U VEGETACIJSKOM PERIODU .................................................. 43. HIDROMETRIJSKO MJERENJE ..................................................................... 124. PRIMJENA KRIVULJE TRAJANJA .................................................................. 185. INTERVAL POVJERENJA LOG-NORMALNA RASPODJELA ..................................... 226. RACIONALNA METODA DIMENZIONIRANJE ODVODNOG KANALA ........................... 317. PALA KIA, EFEKTIVNA KIA, INFILTRACIJA, KOEFICIJENT OTJECANJA, SLOENI HIDROGRAM .............................................................................................. 348. AKUMULACIJA REGULIRANJE PROTOKA ZA HIDROELEKTRANU ............................ 429. LITERATURA ........................................................................................ 48


3

1. UVOD

Kao podloga za izradu ovih zadataka koritena je zbirka zadataka Primenjena hidrologija autora prof. Dr. Vojislava D. Vukmirovia i mr. Dragutina . Pavlovia sa Graevinskog fakulteta Sveuilita u Beogradu. Iz zbirke je odabrano sedam zadataka razliite problematike. Podruja koja su pokrivena u ovoj skripti su sljedea:

Zadatak 1 - vodna bilanca Zadatak 2 - hidrometrijsko mjerenje Zadatak 3 - krivulje uestalosti i trajanja Zadatak 4 - funkcije raspodjele i intervali povjerenja Zadatak 5 - racionalna metoda Zadatak 6 - infiltracija, koeficijenti otjecanja, sloeni hidrogram Zadatak 7 - akumulacija za hidroelektranu

Pri rjeavanju spomenutih problemskih zadataka koriteni su raunalni programi Excel Microsoft Office i MathCAD.


4

2. VODNA BILANCA U VEGETACIJSKOM PERIODU

Zadatak Na slivu povrine F = 342 km2 izgraena je brana sa akumulacijskim jezerom za potrebe navodnjavanja. Osnovni elementi vodne bilance po mjesecima dati su u tablici 2.

Mjesec V VI VII VIII IX

Padaline P [mm] 108 84 67 38 53

Isparavanje E [mm] 72 98 191 212 130

Koeficijent otjecanja K 0,32 0,22 0,16 0,10 0,11 Navodnjavanje Vn [106 m3] 4,5 5,3 7,2 6,6 2,0

Tablica 2. Elementi vodne bilance Protok procjednih voda ispod brane iznosi Qpr = 0,15 m3/s. Iz jezera se konstantno isputa garantirani ekoloki minimum koji iznosi Qem = 0,40 m3/s. Padaline na slivu i povrini jezera su ravnomjerno rasporeene. Horizontalne povrine jezera A [km2] u funkciji kote nivoa vode u jezeru Z [m] raunaju se prema izrazu: A = 0,01 * (Z Z0 )2

gdje je A povrina jezera, Z kota nivoa vode u jezeru, Z0 = 545,0 m kota najnieg (minimalnog) radnog nivoa u akumulaciji. Na dan 1. svibnja kota nivoa vode u jezeru je iznosila Z = 560 m. Primjenom jednadbe vodne bilance izraunati promijene kota nivoa vode Z u jezeru.


5

Rjeenje Vodna bilanca je pregled raspoloive vode temeljen na naelu da tijekom odreenog vremenskog intervala ukupan viak vode u danom vodnom objektu mora biti jednak zbroju ukupnog gubitka vode i neto promjene zaliha vode u vodnom objektu. Openito se jednadba vodne bilance moe prikazati izrazom: dV = U I gdje je dV promjena mase u odreenom prostoru, U masa koja je ula u taj prostor u odreenom vremenu, I masa koja je izala iz tog prostora u odreenom vremenu Vodna bilanca se zapravo temelji na zakonu o odranju mase, a opisuje proces kruenja vode u prirodi te se sastoji od niza sastavnica koje se mogu podijeliti na tri osnovne grupe:

Prihodne komponente bilance Rashodne komponente bilance Rezultirajue komponente

Prihodne komponente vodne bilance u ovom sluaju su padaline i dotoci sa sliva. Rashodne komponente vodne bilance su isparavanje, procjeivanje, garantirani ekoloki minimalni protoke koliine potrebne za navodnjavanje. Rezultirajua komponenta V nastaje kao rezultat razlike izmeu prihoda i rashoda te u ovom sluaju glasi: V = VD + VP Vpr Vem Vn + VP - VE U I gdje su: VD koliina dotekle vode, VP koliina pale oborine na jezero, Vpr koliina procjedne vode, Vem koliina isputene vode za ekoloki minimum, Vn koliina vode za navodnjavanje, VE koliina isparene vode sa povrine jezera Jednadbu vodnog bilanca primjenjujemo za svaki mjesec zasebno. Podaci koji su zadani prikazani su u tablici 2.1.

Mjesec V VI VII VIII IX(1) Padaline P [mm] 108 84 67 38 53(2) Isparavanje E [mm] 72 98 191 212 130(3) Koeficijent otjecanja K [ - ] 0,32 0,22 0,16 0,1 0,11(4) Navodnjavanje Vn [10

6 m3] 4,5 5,3 7,2 6,6 2 Tablica 2.1. Elementi vodne bilance Koliinu dotekle vode sa sliva (VD) raunamo prema sljedeem izrazu: VD = K * P * F (5) gdje je K koeficijent otjecanja, P pala oborina, F = 342 km2 povrina sliva


6

Koliina procijeene vode (Vpr) je konstantna i dobije se pomou zadanog protoka procjednih voda Qpr = 0,15 m3/s pomnoenog s vremenom trajanja ti svakog pojedinog mjeseca.

Vpr = Qpr * t (6) gdje je Qpr protok procjednih voda, t trajanje odreenog mjeseca u sekundama

trajanje ti V VI VII VIII IX

minuta 60 60 60 60 60

sat 60 60 60 60 60

dan 24 24 24 24 24

mjesec 31 30 31 31 30

ukupno [s] 2678400 2592000 2678400 2678400 2592000 Tablica 2.2. Trajanje ti mjeseci u sekundama Koliina isputene vode za ekoloki minimum (Vem) je takoer konstantna i dobije se kao umnoak protoka ekolokog minimuma Qem = 0,40 m3/s i vremena trajanja ti svakog pojedinog mjeseca.

Vem = Qem * t (7) gdje je Qem protok isputenih voda za ekoloki minimum, t trajanje odreenog mjeseca u sekundama Koliina vode za navodnjavanje (Vn) je zadana i prikazana u tablici 2.1.(4) Proraun gore navedenih vrijednosti (VD , Vpr , Vem , Vn ) moemo provesti za svaki mjesec, to je i prikazano u tablici 2.3.


(1) Padaline P [mm] 108 84 67 38 53

(2) Isparavanje E [mm] 72 98 191 212 130

(3) Koeficijent otjecanja K [ - ] 0,32 0,22 0,16 0,1 0,11

(4) Navodnjavanje Vn [106 m3] 4,5 5,3 7,2 6,6 2

Poetno stanje(5) Koliina dotoka sa sliva VD [106 m3] 11,82 6,32 3,67 1,30 1,99(6) Koliina procjeivanja Vpr [106 m3] 0,40 0,39 0,40 0,40 0,39(7) Koliina za ekoloki minimum Vem [106 m3] 1,07 1,04 1,07 1,07 1,04

Tablica 2.3. Proraun vrijednosti poetnog stanja u akumulaciji Za proraun koliine pale oborine na jezero (VP) , kao i koliine isparavanja (VE) potrebno je poznavati srednju povrinu jezera Asr koja ovisi o koti nivoa vode u jezeru Z. Ovisnost povrine A o nivou vode u jezeru dana je izrazom: A = 0,01 * (Z Z0 )2

Gdje je Z kota nivoa vode u jezeru u nekom trenutku, Z0 minimalna kota nivoa vode u jezeru. Ovaj izraz moe zapisati i na sljedei nain:


7

A = 0,01 * H2

gdje je nivo vode u jezeru H = Z Z0 Srednja povrina jezera Asr je jednaka: Asr = (Ai-1 + Ai)/2 gdje je Ai-1 povrina vode na kraju mjeseca i-1 ( odnosno na poetku mjeseca i), Ai povrina jezera na kraju mjeseca i Kako je poznat samo poetni nivo vode u jezeru, tj. nivo vode u jezeru na poetku svibnja (V mjesec), jednadbu vodnog bilanca potrebno je rijeiti iterativnom metodom. U prvoj iteraciji koliinu padalina i isparavanja raunamo s pretpostavkom da je povrina jezera tokom V mjeseca konstantna i jednaka povrini jezera na poetku mjeseca A0. Proraunate vrijednosti za V mjesec prikazane su u tablici 2.4.


(1) Padaline P [mm] 108 84 67 38 53

(2) Isparavanje E [mm] 72 98 191 212 130




I iteracija

(8) Minimalna kota nivoa jezera Z0 [m n.m.] 545 545 545 545 545

(9) Nivo jezera na poetku mjeseca Hi-1 [m] 15,00(10) Kota nivoa jezera na po mjeseca Zi-1 [m n.m.] 560,00(11) Tlocrtna povrina jezera na po.mj. Ai-1 [km2] 2,25(12) Koliina padalina VPI [106 m3] 0,24(13) Koliina isparavanja VEI [106 m3] 0,16(14) Vodna bilanca VI [106 m3] 5,93(15) Nivo u jezeru na kraju mjeseca Hi

I [m] 17,27

(16) Povrina jezera na kraju mjeseca AiI [km2] 2,98

(17) Srednja povrina jezera Ai,srI [km2] 2,62

Tablica 2.4. Proraun parametara u I. iteraciji za V mjesec Detaljni prikaz prorauna: Minimalna kota nivoa jezera je zadana i iznosi Z0 = 545 m n.m., jednako kao i poetna kota nivoa jezera Zi-1 = 560 m n.m. Nivo jezera na poetku mjeseca Hi-1 predstavlja razliku izmeu kote nivoa jezera na poetku mjeseca Zi-1 i minimalne kote nivoa jezera Z0 Hi-1 = Zi-1 - Z0 = 560,0 m 545,0 m = 15,0 m (9)


8

Tlocrtna povrina jezera na poetku mjeseca Ai-1 je definirana izrazom Ai-1 = 0,01 * Hi-12 = 0,001 * 152 = 2,25 km2 (11) Koliina padalina je definirana kao oborina P koja je pala na povrinu Ai-1 VPI = Pi * Ai-1 = 108 mm * 2,25 km2 = 240000 m3 (12) Koliina isparavanja je definirana kao isparavanje E sa povrine Ai-1 VPI = Ei * Ai-1 = 72 mm * 2,25 km2 = 160000 m3 (13) Sada moemo izraunati vodnu bilancu VI u prvoj iteraciji prema izrazu: VI = VDI VprI VemI VnI + VPI - VEI (14) VI = 11,82 0,40 1,07 4,5 + 0,24 0,16 = 5,93 *106 m3 Uslijed ove promjene bilance vode VI, mijenja se i nivo vode u jezeru Hi. Ovisnost promjene visine vode H i povrine jezera A je poznata i iznosi A = 0,001 * H2, zbog ega se zavisnost promjene volumena vode u jezeru i visine vode moe prikazati sljedeim izrazom:

301,001,0)(

31

32

11

iiH

H

H

Hi

HHdHHdHHAVi

i

i

i

iz ega proizlazi da ako znamo poetnu visinu vode u jezeru Hi-1 i promjenu volumena vode u jezeru Vi, visinu vode u jezeru na kraju mjeseca moemo odrediti iz sljedeeg izraza:

3 33 31 1593,5300300 iii HVH (15)

HiI = 17,93 m Povrinu jezera na kraju mjeseca dobijemo iz zadanog odnosa:

Ai = 0,001 * Hi2 = 0,01 * 17,932 = 2,98 km2 (16) Srednju povrinu jezera tijekom V mjeseca dobijemo iz aritmetike sredine povrine jezera na poetku mjeseca Ai-1 i povrine jezera na kraju mjeseca Ai Asr = (Ai-1 + Ai)/2 = (2,25 + 2,98) / 2 = 2,62 m (17) U drugoj iteraciji koristimo vrijednost srednje povrine jezera iz prve iteracije i raunamo korigirane vrijednosti koliine padalina VPII i isparavanja VEII, kao i korigiranu vodnu bilancu VII. Vrijednosti su prikazane u tablici 2.5.


9


(1) Padaline P [mm] 108 84 67 38 53

(2) Isparavanje E [mm] 72 98 191 212 130




I iteracija


(9) Nivo jezera na poetku mjeseca Hi-1 [m] 15,00 17,28(10) Kota nivoa jezera na po mjeseca Zi-1 [m n.m.] 560,00 562,28(11) Tlocrtna povrina jezera na po.mj. Ai-1 [km2] 2,25 2,98(12) Koliina padalina VPI [106 m3] 0,24(13) Koliina isparavanja VEI [106 m3] 0,16(14) Vodna bilanca VI [106 m3] 5,93(15) Nivo u jezeru na kraju mjeseca Hi

I [m] 17,27

(16) Povrina jezera na kraju mjeseca AiI [km2] 2,98

(17) Srednja povrina jezera Ai,srI [km2] 2,62

II iteracija

(18) Korigirana koliina padalina VPII [106 m3] 0,28(19) Korigirana koliina isparavanja VEII [106 m3] 0,19(20) Korigirana vodna bilanca VII [106 m3] 5,94(21) Korigirani nivo jezera na kraju mjeseca Hi

II [m] 17,28

(22) Kota nivoa jezera na kraju mjeseca Zi [m n.m.] 562,28

(23) Korigirana povrina jezera na kraju mjeseca AiII [km2] 2,98

(24) Korigirana srednja povrina jezera Ai,srII [km2] 2,62

Tablica 2.5. Vrijednosti parametara u II iteraciji za V mjesec Detaljni prikaz prorauna: Koliina padalina je definirana kao oborina P koja je pala na povrinu Ai VPII = Pi * AiI = 108 mm * 2,98 km2 = 0,28 *106 m3 (18) Koliina isparavanja je definirana kao isparavanje E sa povrine Ai VPII = Ei * AiI = 72 mm * 2,98 km2 = 0,19 *106 m3 (19) Sada moemo izraunati korigiranu vrijednost vodne bilance VII prema izrazu: VII = VDI VprI VemI VnI + VPII - VEII (20) VI = 11,82 0,40 1,07 4,5 + 0,28 0,19 = 5,94 *106 m3 Uslijed ove korigirane bilance vode VI moemo odrediti korigiranu nivo vode HiII na kraju mjeseca:

3 33 31 1594,5300300 iii HVH (21)


10

HiII = 17,28 m Kotu nivoa jezera na kraju mjeseca Zi dobijemo kada korigirani nivo vode HiII pridodamo minimalnoj razini vode u jezeru Zo.

Zi = Z0 + HiII = 545,0 m +17,28 m = 562,28 m (22) Povrinu jezera na kraju mjeseca dobijemo iz zadanog izraza:

Ai = 0,01 * Hi2 = 0,001 * 17,282 = 2,98 km2 (23) Srednju povrinu jezera tijekom V mjeseca dobijemo iz aritmetike sredine povrine jezera na poetku mjeseca Ai-1 i korigirane povrine jezera na kraju mjeseca AiII AsrII = (Ai-1 + AiII)/2 = (2,25 + 2,98) / 2 = 2,62 m (24) Ovime smo zavrili proraun za V mjesec te podatke o nivou vode i povrini jezera na kraju V mjeseca koristimo kao poetne podatke za VI mjesec: HVI = HVII (9)VI = (21)V

ZVI = ZV (10)VI = (22)V

AVI = AVII (11)VI = (23)V Ponavljamo postupak za svaki mjesec. Rezultati prorauna su prikazani u tablici 2.6. a grafiki prikaz promjene nivoa jezera za svaki mjesec na slici 2.1.

Promjena nivoa vode u jezeru

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

20,00

vrijeme t [mjeseci]

Niv

o vo

de H

i [m

]

V VI VII VIII

IX

Slika 2.1. Promjena nivoa vode u jezeru


11


(1) Padaline P [mm] 108 84 67 38 53

(2) Isparavanje E [mm] 72 98 191 212 130




I iteracija


(9) Nivo jezera na poetku mjeseca Hi-1 [m] 15,00 17,28 17,13 15,07 10,92(10) Kota nivoa jezera na po mjeseca Zi-1 [m n.m.] 560,00 562,28 562,13 560,07 555,92(11) Tlocrtna povrina jezera na po.mj. Ai-1 [km2] 2,25 2,98 2,93 2,27 1,19(12) Koliina padalina VPI [106 m3] 0,24 0,25 0,20 0,09 0,06(13) Koliina isparavanja VEI [106 m3] 0,16 0,29 0,56 0,48 0,16(14) Vodna bilanca VI [106 m3] 5,93 -0,45 -5,37 -7,17 -1,52(15) Nivo u jezeru na kraju mjeseca Hi

I [m] 17,27 17,13 15,05 10,84 9,46

(16) Povrina jezera na kraju mjeseca AiI [km2] 2,98 2,93 2,27 1,18 0,89

(17) Srednja povrina jezera Ai,srI [km2] 2,62 2,96 2,60 1,72 1,04

II iteracija

(18) Korigirana koliina padalina VPII [106 m3] 0,28 0,25 0,17 0,07 0,06(19) Korigirana koliina isparavanja VEII [106 m3] 0,19 0,29 0,50 0,37 0,14(20) Korigirana vodna bilanca VII [106 m3] 5,94 -0,45 -5,33 -7,07 -1,51(21) Korigirani nivo jezera na kraju mjeseca Hi

II [m] 17,28 17,13 15,07 10,92 9,47

(22) Kota nivoa jezera na kraju mjeseca Zi [m n.m.] 562,28 562,13 560,07 555,92 554,47

(23) Korigirana povrina jezera na kraju mjeseca AiII [km2] 2,98 2,93 2,27 1,19 0,90

(24) Korigirana srednja povrina jezera Ai,srII [km2] 2,62 2,96 2,60 1,73 1,04

Tablica 2.6. Kompletni proraun za sve mjesece


12

3. HIDROMETRIJSKO MJERENJE

Zadatak U kanalu pravokutnog poprenog presjeka, irine B = 25,0 m i nagiba dna I = 0,02 % pri dubini od h = 2,0 m obavljeno je hidrometrijsko mjerenje u 4 vertikale (vidi sliku 3.)

Slika 3. Popreni presjek kanal s oznaenim profilima Mjerenjima je dobiven raspored brzine na vertikalama koji se moe aproksimirati izrazom:

20,0

hyhav ii

gdje su: i oznaka vertikale, h dubina vode [m], y rastojanje od povrine vode [m], ai = 2,00 m/s za i = I i IV te ai = 2,20 m/s za i = II i III. Odrediti:

protok vode vrijednost koeficijenta hrapavosti prema Manning-u pod pretpostavkom iste vrijednosti koeficijenta hrapavosti i nagiba dna, odrediti

protok vode pri dubini od 2,5 m.


13

Rjeenje Proraun protoka vode Protok u nekom profilu vodotoka predstavlja integral polja brzina v po povrini poprenog presjeka A:

A

dAvQ (1)

Izraz (1) je povrinski (dvostruki) integral koji se moe svesti na uzastopno izraunavanje dva jednostruka integrala od kojih je jedan po promjenjivoj x, a drugi po promjenjivoj y. U ovom sluaju promjenjiva x predstavlja promjenu po irini kanal B, dok promjenjiva y predstavlja promjenu po dubini kanala h. Dakle, protok u nekom profilu vodotoka umjesto (1) moemo zapisati i na sljedei nain:

B h dxdyvQ0 0

(2)

Specifini protok q(x), predstavlja protok po jedinici duljine/visine vodotoka. Prema tome, moemo zapisati izraz za specifini protok po jedinici irine vodotoka koji predstavlja integral brzina po dubini na rastojanju x od lijeve obale:

h dyvxq0

)( (3)

Ukupni protok kroz popreni profil moe se tada prikazati kao integral specifinog protoka q(x) po irini kanala x:

B

dxxqQ0

)( (4)

U praksi se (1) priblino odreuje na osnovu poznatog polja brzina i oblika poprenog presjeka i to na nain da se odrede specifini protoci za svaku vertikalu prema (3), a zatim integracijom specifinih protoka po irini korita, prema (4), odredi ukupan protok. Kako je u ovom zadatku dan analitiki izraz za raspored brzina za mjerne vertikale, (3) se moe analitiki tono rijeiti. Raspored brzina po vertikalama moemo prikazati grafiki (slika 3.1.) prema zadanom izrazu:

20,0

hyhav ii (5)

gdje su: i oznaka vertikalne, h = 2,0 m dubina vode [m], y rastojanje od povrine vode [m], ai = 2,00 m/s za i = I i IV te ai = 2,20 m/s za i = II i III.


14

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 1 2 3

brzina v [m/s]du

bina

h [m

]

(a)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 1 2 3

brzina v [m/s]

dubi

na h

[m]

(b)

Slika 3.1. Profil brzina po dubini za profile I i IV (a) te II i III (b) Specifini protok qi na vertikali i, udaljenoj od obale xi, sa dubinom hi , grafiki predstavlja povrinu ispod krivulje profila brzina prikazanih na slici 3.1, a analitiki se moe izraunati:

iii h

ii

h

i

ii

h

ii dyhyady

hyhadyvxqq

0

20,0

0

20,0

0

1)(

2.1ii

iha

q (6)

U tablici 3.1. su prikazane izraunate vrijednosti specifinog protoka za svaki profil prema izrazu (6):

profili I II III IV

ai [m/s] 2 2,2 2,2 2

hi [m] 2 2 2 2

qi [m2/s] 3,33 3,67 3,67 3,33

Tablica 3.1. Vrijednosti specifinog protoka za svaki profil Nakon to smo odredili specifine protoke qi za svaki profil, moemo izraunati ukupni protok Qi, uz pretpostavku linearne promjene specifinog protoka izmeu profila te vrijednosti nulte vrijednosti specifinog protoka uz rubove kanala, tj. u fiktivnim profilima 0 i V.


15

Na osnovi izraunati podataka u tablici 3.1. moemo grafiki prikazati krivulju specifinih protoka u poprenom presjeku kanala (slika 3.2.)

Krivulja specifinih protoka po irini kanala

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5

profili

spec

. pro

tok

q i

Slika 3.2. Specifini protoci po irina kanala Kao to je navedeno ranije, ukupni protok kroz popreni profil kanala grafiki predstavlja povrinu ispod krivulje specifinih protoka (slika 3.2.), a analitiki se moe izraziti kao integral specifinih protoka

B

dxxqQ0

)( (7)

U ovom sluaju, kako ne znamo analitiki izraz za funkciju specifinog protoka, koristimo numeriku metodu izrauna integrala iji su rezultati prikazani u tablici 3.2

xqq

dxxqQV

Ii

iiB

2

)( 10

(8)

gdje su: qi-1 specifini protok u prethodnom i-1 profilu, qi specifini protok u i profilu, x = 5,0 m razmak izmeu profila.

profil qi-1 qi x (qi-1+qi)*x/2 [m2/s] [m2/s] [m] [m3/s]

I 0 3,33 5 8,33

II 3,33 3,67 5 17,50

III 3,67 3,67 5 18,33

IV 3,67 3,33 5 17,50 V 3,33 0 5 8,33 Q = 70,00

Tablica 3.2. Ukupni protok Q

Dakle, ukupni protok kroz zadani profil kanala iznosi Q = 70,0 m3/s.


16

Vrijednost koeficijenta hrapavosti Za proraun hrapavosti prema Manning-u koristimo Chezy-Manningovu formulu za brzinu u otvorenom vodotoku kod jednolikog strujanja.

2/13/21 IRn

v (9) iz ega dobivamo da koeficijent hrapavosti n iznosi:

vIRn

2/13/2 (10) gdje su:

R hidrauliki radijus (R = A/O), A poprena povrina proticajnog profila, O omoeni obod (duina konture proticajnog profila kanala koju moi voda) I nagib energetske linije (uz pretpostavku jednolikog teenja uzimamo nagib dna) v srednja brzina kroz profil kanala Kako znamo srednji protok Q, vrlo jednostavno moemo izraunati srednju brzinu iz izraza:

smmmsm

hBQ

AQv /4,1

225/70 3 (B irina kanala, h dubina kanala)

Sada moemo izraunati Manning-ov koeficijent hrapavosti: Povrina proticajnog profila: A = B * h = 25 m * 2 m = 50,0 m2

Omoeni obod: O = B + 2*h = 25 m + 2*2m = 29,0 m Hidrauliki radijus: R = A /O = 50,0 m2 / 29,0 m = 1,724 m Nagib kanala: I = 0,02 % (zadano)

Koeficijent hrapavosti:

smsm

mvIRn 3/1

2/13/22/13/2

0145,0/4,10002,0724,1

Koeficijent hrapavosti prema Manning-u za zadano korito iznosi n = 0,0145 m-1/3s.


17

Protok pri dubini h = 2,5 m Pretpostavljamo istu hrapavost n, nagib dna kanala I i irinu kanala B te ponovo raunamo geometrijske karakteristike kanala dubine h = 2,5 m.

irina kanala: B = 25,0 m

Dubina proticajnog profila: h = 2,5 m

Povrina proticajnog profila: A = B * h = 25 m * 2,5 m = 62,5 m2

Omoeni obod: O = B + 2*h = 25 m + 2*2,5m = 30,0 m Hidrauliki radijus: R = A /O = 62,5 m2 / 30,0 m = 2,083 m Nagib dna kanala: I = 0,02 %

Hrapavost dna kanala: n = 0,0145 m-1/3s Srednja brzina iznosi:

smIRn

v /59,10002,0083,20145,011 2/13/22/13/2

Odgovarajui protok je: Q = v * A = 1,59 m/s * 62,5 m2 = 99,36 m3/s

Protok pri dubini h = 3,5 m iznosi Q = 99,4 m3/s.


18

4. PRIMJENA KRIVULJE TRAJANJA

Zadatak Na jednom plovnom vodotoku plovidba nije mogua za vodostaje H < 30 cm zbog nedovoljne dubine vode u rijeci, kao i za vodostaje H > 450 cm zbog nemogunosti da standardno rijeno plovilo proe ispod donjeg ruba konstrukcije mosta. Krivulja trajanja vodostaja aproksimirana je izrazom:

125150

1)(

H

eeHT gdje je H vodostaj [cm]. Odrediti:

srednju vrijednost vodostaja, mod i medijanu trajanje vodostaja H veih od 450 cm trajanje vodostaja povoljnih za plovidbu


19

Rjeenje Statistika analiza vodostaja (srednja vrijednost, mod, medijan) Krivulja trajanja je krivulja koja pokazuje postotak vremena ili broj dana u godini tijekom kojih je neka promjenjiva varijabla, u ovom sluaju vodostaj H, jednak danim koliinama ili vei od njih. Krivulja trajanja je ujedno i integralna krivulja krivulje uestalosti, jednako kao to je i krivulja uestalosti diferencijalna krivulja krivulje trajanja. to znai da povrina bilo kojeg dijela pod krivuljom uestalosti ujedno odreuje i trajanje. Krivulja trajanja je zadana u sljedeem obliku:

125150

1)(

H

eeHT (1) gdje je H vodostaj [cm] Krivulju uestalosti dobijemo diferenciranjem krivulje trajanja (1) po vodostaju H:

dHHTHu )()(

125150

125150

1251)(

He eeHu

H

(2) Krivulje (1) i (2) grafiki su prikazane na slici 4.1.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Vodostaj H [cm]

Uestalost [%0]

Krivulja uestalosti i trajanja

Krivulja uestalosti Krivulja trajanja

Slika 4.1. Krivulja uestalosti i trajanja Analizom ove krivulje uestalosti moemo zakljuiti da se radi o obliku Gumbelove funkcije raspodjele.


20

Naime, Gumbelova funkcija raspodjele ima openiti oblik: (3) Ako u openitu Gumbelovu funkciju raspodjele (3) uvrstimo vrijednosti = 1/125, Xm = H, i X* = 150 dobijemo zadanu funkciju uestalosti (1). Modus Gumbelove krivulje X* definiran je izrazom:

577,0* mXX (4)

pri emu je mX srednja vrijednost niza, a 0,577 Eulerova konstanta, uvrtavanjem = 1/125, Xm = H i X* = 150 u (4) dobijemo

cmXH 1,222577,0*125150125/1577,0*

Srednja vrijednost vodostaja iznosi 222,1 cm. Mod je vrijednost najuestalijeg pojavljivanja i odgovara maksimumu krivulje uestalosti. Ovu vrijednost moemo priblino odrediti na nain da sa slike 4.1. oitamo vrijednost na y-osi gdje krivulja uestalosti (plava linija) dosee maksimum. Analitiki maksimum krivulje moemo odrediti ako pronaemo za koju vrijednost H prva derivacija funkcije uestalosti u(H) ima vrijednost nula (*nultoka prve derivacije funkcije oznaava maksimum).

0dHdu

01251

1251 125

)150(2125

150

2125

150125

150125

150

HHe

He eeeee

dHd

dHdu HH

Rjeenje ove jednadbe moemo najjednostavnije pronai grafiki, tako da na grafu funkcije du/dH naemo toku x0 gdje krivulja sijee apscisu (slika 4.2.)

0 50 100 150 2000.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.20.113

0.309

f x( )

yy

2000 x xx x0 = 150 cm Slika 4.2. Grafiki prikaz funkcije f(x)= du/dH Vodostaj maksimalne uestalosti (mod) iznosi 150,0 cm.

*)(*)()(

XXmaeXXmaXm eeap


21

Medijan je vrijednost koja odgovara 50-postotnoj vrijednosti integralne krivulje, tj. krivulje trajanja. Ovu vrijednost moemo priblino odrediti na nain da sa slike 4.1. oitamo vrijednost na ordinati gdje krivulja trajanja (crvena linija) ima vrijednost 50%. Analitiki, traimo za koji H krivulja trajanja ima vrijednost T(H) = 0,5.

125150

15,0

H

ee Rjeavanjem ove jednadbe dobijemo vrijednost H = 195,8 cm. Medijan vodostaja iznosi 195,8 cm. Trajanje vodostaja Trajanje vodostaja koji su vei od 450 m, moemo dobiti direktno iz izraza za krivulju trajanja. Naime, krivulja trajanja pokazuje postotak dana u godini kada je vodostaj jednak ili vei od zadane vrijednosti. U (1) uvrtavamo H = 450 m:

%7,80867,09132,0111)450(4.2125

150450

ee eeHT

Trajanja vodostaja veih od 450 m iznosi 8,7% odnosno 0,0867 * 365 = 32 dana godinje Trajanje povoljnih uvjeta za plovidbu je broj dana kada je vodostaj vei od 30 m i manji od 450 m. to moemo zapisati na sljedei nain:

)450()30()45030( HTHTHT %848398,00734,09132,09132,00867,01

96,012515030

ee ee Trajanja povoljnih uvjeta za plovidbu iznosi 84% odnosno 0,8398 * 365 = 307 dana godinje


22

5. INTERVAL POVJERENJA LOG-NORMALNA RASPODJELA

Zadatak Najvei protoci na mjestu brane, prema promatranjima tijekom N = 49 godina, prilagoeni su logaritamsko-normalnom dvo-parametarskom raspodjelom. Najvei protok povratnog perioda R = 2 godine iznosi Q2 = 60 m3/s, dok za R = 50 godina iznosi Q2 = 115 m3/s. Odrediti:

najvee protoke povratnog perioda 20, 100 i 500 godina, za 100-godinji najvei protok odrediti 90% interval povjerenja za 100-godinji najvei protok odrediti 99% interval povjerenja


23

Rjeenje Mjerene hidroloke veliine, poput protoke, svrstane u kronolokom nizu po vremenu, predstavljaju vremensku seriju promatrane hidroloke pojave. lanovi ovako formirane vremenske serije su sluajne veliine koje se ponaaju u skladu s zakonima teorije vjerojatnosti, tj. mogu se obraditi koristei pravila matematike statistike. Sluajni karakter lanova vremenskih serija neke hidroloke pojave ukazuje na injenice da se njihove vrijednosti u budunosti ne mogu s potpunom sigurnosti predvidjeti. Za ocjenu vjerojatnosti pojave razmatrane hidroloke pojave u budunosti koriste se vremenske serije registrirane u prolosti, u ovom sluaju imamo niz mjerenih protoka od 49 godina. Koristei teorijske funkcije raspodjele na osmotreni niz iz prolosti, odreuje se vjerojatnost sa kojima bi se razmatrana pojava mogla dogoditi u budunosti, pri emu se na osnovu raspoloivog niza podataka iz prolosti odreuju parametri teorijskih funkcija, za koje se pretpostavlja da e vrijediti i u budunosti. Za analizu zadanog niza podataka o najveim protocima na mjestu brane, koristiti emo log-normalnu ili Galtonovu raspodjelu. Log-normalna funkcija raspodjele je dvo-parametarska funkcija dana izrazom:

dxexFx x

y

0

2)(log

2

21),;(

(1) gdje su:

X sluajna promjenjiva koja u ovom sluaju predstavlja protok Q y matematiko oekivanje sluajne promjenjive Y = logX koja u naravi predstavlja srednju vrijednost niza sluajne promjenjive Y y srednje kvadratno odstupanje sluajne promjenjive Y F(x) funkcija raspodjele sluajne promjenjive X za vrijednost X = x (jednaka je vjerojatnost da bilo koja realizacija sluajne promjenjive X uzme vrijednost manju ili jednaku x , P(Xx) Dvo-parametarska znai da funkcija ovisi o dva statistika parametra u ovom sluaju matematikom oekivanju sluajne promjenjive Y = logX (y) i srednjem kvadratnom odstupanju sluajne promjenjive Y (y). Funkcija F(x) raspodjele sluajne promjenjive X ujedno predstavlja i integral funkcije gustoe vjerojatnosti (x). Uvoenjem standardne sluajne promjenjive u obliku

y

y

y

y YXZ

log i y = 1

relacija (1) poprima oblik Standardne normalne raspodjele:


24

dzezFz z

221)( (2)

Standardna normalna raspodjela je simetrina oko nulte srednje vrijednosti = 0, a standardna devijacija joj je jednaka = 1. (slika 5.1.)

1 z( )1

2 ez22

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 500.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

1 z( )

z

slika 5.1. Standardna normalna funkcija raspodjele Maksimalni protoci Kako bi odredili najvee protoke 20, 100 i 500 godinjeg povratnog perioda potrebno je prvo odrediti parametre y i y log-normalne raspodjele na osnovu zadanih podataka o protocima Q, 2- i 50 godinjeg povratnog perioda. Naime, zavisnost funkcije raspodjele F(x) i povratnog perioda R(x) je jednoznano definirana kao:

)(1)()(

xRxRxF (3)

U sluaju normalne, odnosno log-normalne distribucije, nije mogue analitiki rijeiti integral (2) pa ne postoji niti analitika inverzna funkcija z = z(F). Problem se rjeava numerikim postupkom ili koristei tablice s gotovim vrijednostima integrala (vidi tablicu 5.1.) Rezultati prorauna su prikazani u tablici 5.2.


25

F(z) z F(-z) F(z) z F(-z)

0,5 0,0000 0,50 0,9 1,2816 0,100

0,51 0,0251 0,49 0,905 1,3106 0,095

0,52 0,0502 0,48 0,91 1,3408 0,090

0,53 0,0753 0,47 0,915 1,3722 0,085

0,54 0,1004 0,46 0,92 1,4051 0,080

0,55 0,1257 0,45 0,925 1,4395 0,075

0,56 0,1510 0,44 0,93 1,4758 0,070

0,57 0,1764 0,43 0,935 1,5141 0,065

0,58 0,2019 0,42 0,94 1,5548 0,060

0,59 0,2275 0,41 0,945 1,5982 0,055

0,6 0,2533 0,40 0,95 1,6449 0,050

0,61 0,2793 0,39 0,955 1,6954 0,045

0,62 0,3055 0,38 0,96 1,7507 0,040

0,63 0,3319 0,37 0,965 1,8119 0,035

0,64 0,3585 0,36 0,97 1,8808 0,030

0,65 0,3853 0,35 0,975 1,9600 0,025

0,66 0,4125 0,34 0,98 2,0537 0,020

0,67 0,4399 0,33 0,985 2,1701 0,015

0,68 0,4677 0,32 0,99 2,3263 0,010

0,69 0,4959 0,31 0,991 2,3656 0,009

0,70 0,5244 0,30 0,992 2,4089 0,008

0,71 0,5534 0,29 0,993 2,4573 0,007

0,72 0,5828 0,28 0,994 2,5121 0,006

0,73 0,6128 0,27 0,995 2,5758 0,005

0,74 0,6433 0,26 0,996 2,6521 0,004

0,75 0,6745 0,25 0,997 2,7478 0,003

0,76 0,7063 0,24 0,998 2,8782 0,002

0,77 0,7388 0,23 0,999 3,0902 0,001

0,78 0,7722 0,22 0,9991 3,1214 0,0009

0,79 0,8064 0,21 0,9992 3,1559 0,0008

0,80 0,8416 0,20 0,9993 3,1947 0,0007

0,81 0,8779 0,19 0,9994 3,2389 0,0006

0,82 0,9154 0,18 0,9995 3,2905 0,0005

0,83 0,9542 0,17 0,9996 3,3528 0,0004

0,84 0,9945 0,16 0,9997 3,4316 0,0003

0,85 1,0364 0,15 0,9998 3,5401 0,0002

0,86 1,0803 0,14 0,9999 3,7190 0,0001

0,87 1,1264 0,13

0,88 1,1750 0,12

0,89 1,2265 0,11

Tablica 5.1.Standardna promjenjiva z u zavisnosti od funkcije raspodjele F


26

Ri QRi F = F(QRi) Z = Z(QRi)

[god.] [m3/s] [ - ] [ - ]

2 60 0,5 0,0000

50 115 0,98 2,0537

tablica 5.2. Proraun inverzne funkcije z Vrijednost funkcije vjerojatnosti F izraunata je iz izraza (3):

5,0212

)60(1)60()60(

RRF odnosno 98,0

50150

)115(1)115()115(

RRF

Vrijednosti standardne sluajne z oitane su iz tablice 5.1. Programski paket Excel u kojem je izraen ovaj proraun ima ugraenu funkciju za proraun standardne normalne distribucije, odnosno za njezinu inverznu funkciju koja je ovdje i koritena. Sintaksa za inverznu vrijednost standardne normalne raspodjele vjerojatnosti je NORMSINV(probability) , gdje je probability - vjerojatnost F. Nakon to smo odredili vrijednosti sluajne promjenjive z koristei podatke o protocima za poznate povratne periode, moemo odrediti nepoznate vrijednosti parametara raspodjele y i y.

Kako znamo da je za prvi protok (Q2g = 60 m3/s) vrijednost inverzne funkcije jednaka nuli (Z = 0) moemo odrediti vrijednost prvog parametra y:

y

y

y

y YXZ

log

0log

y

yQ

778,160loglog Qy S poznatom vrijednosti parametra y, uz podatke za drugi protok (Q50g = 115m3/s), moemo odrediti i vrijednost drugog parametra y:

y

y

y

y YXZ

log

0537,2778,1115log y

1376,00537,2

778,1115log y Nakon to smo odredili oba parametra raspodjele, log-normalnu distribuciju moemo prikazati i grafiki (slika 5.2.)


27

2 Q( )1

2 e

log Q( ) ( )222

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3.2

3.6

4

2 Q( )

Q slika 5.2. Log-normalna funkcija raspodjele s konkretnim parametrima oblika S poznatim vrijednostima parametra mogu se odrediti i maksimalni godinji protoci zadanih povratnih perioda (tablica 5.3.)

povratni period

funkcija raspodjele

standardna sl. prom.

logaritam protoka protok

Ri Fi Z Y Q

[god.] [ - ] [ - ] [ - ] [m3/s]

20 0,95 1,6449 2,0043 101,0

100 0,99 2,3263 2,0981 125,3

500 0,998 2,8782 2,1740 149,3

tablica 5.3. Maksimalni godinji protoci Vrijednost povratnog perioda R su zadane. Funkciju raspodjele F dobijemo iz izraza (3). Standardna promjenjiva Z je oitana iz tablice 5.1. Vrijednosti logaritma protoka Y dobijemo iz izraza:

y

y

y

y YXZ

log

yy YZ yyZY

A kako je Y = log Q , vrijednosti maksimalnog protoka moemo dobiti iz izraza Q = 10Y.


28

Interval povjerenja Interval povjerenja od p% predstavlja granice intervala u kojima se oekuje, sa vjerojatnosti p%, pojava sluajne promjenjive xR. Pretpostavlja se da sluajne promjenjiva XR takoer slijedi neku od funkcija raspodjele, najee se pretpostavlja da je to normalna raspodjela. Kada je sluajna promjenjiva XR prilagoena logaritamsko-normalnoj raspodjeli intervali povjerenja za najvee (maksimalne) godinje protoke povratnog perioda R godina definirani su normalnom raspodjelom sluajne promjenjive Y = logX sa parametrima R,y i R,y.

21

log2

,

,

RyyR

RyR

zN

Q

Kako traimo intervale povjerenja za 100godinji protok (R=100 god), oitavamo iz tablice 5.3. potrebne vrijednosti Q100g = 125,3 m3/s i z100g = 2,3263, a ve ranije smo izraunali y = 0,1376. Iz ega slijedi :

0378,02

3263,2149

1376,02

1

097,23,125log22

,

,

Ry

yR

yR

zN

Za interval povjerenja p% sluajna promjenjiva povratnog perioda R godina xR ima vrijednost u intervalu [xR,d, xR,g] pri emu su d i g donja i gornja granica intervala:

21)( ,

pxXP dRR

21)( ,

pxXP gRR

Za Pg i Pd iz tablice 5.1. oitavamo vrijednosti zd i zg, nakon ega moemo izraunati vrijednosti yR i QR. Rezultati prorauna granica intervala povjerenja 100-godinjih protoka za p = 90% i p = 99% prikazani su u tablici 5.4.

p Pd zd Pg zg y100,d y100,g Q100,d Q100,g

[%] [%] [ - ] [%] [ - ] [ - ] [ - ] [m3/s] [m3/s]

90 5 -1,6449 95 1,6449 2,035 2,159 108,3 144,2

99 0,5 -2,5758 99,5 2,5758 2,000 2,194 99,9 156,4

tablica 5.4. Granice intervala povjerenja za R = 100 g.


29

Prikaz prorauna za p = 90 % :

%505,02

9,012

1)( , pxXP dRRd za Pd = 0,05 = 5% iz tablice 5.2. oitano zd = -1,6449

%9595,02

9,012

1)( , pxXP gRRg za Pg = 0,95 = 95% iz tablice 5.2. oitano zg = 1,6449

y

y

y

y YXZ

log

035,20378,06449,1097,2,100,100,100 ydyd zy 159,20378,06449,1097,2,100,100,100 ygyg zy

smQ dgydg /3,10810103035,2

,100,100

smQ ggygg /2,14410103159,2

,100,100

Na jednak nain raunamo i sve vrijednosti za p = 99%.

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

140,0

160,0

180,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 F [%]

Q [m

3/s]

slika 5.3.Vjerojatnost pojave protoka Q Zakljuno se moe rei:

Sa vjerojatnosti 90% moe se oekivati da e se najvei godinji protok povratnog perioda 100 godina nai u intervalu 108,3 m3/s < Q100g < 144,2 m3/s

Sa vjerojatnosti 99% moe se oekivati da e se najvei godinji protok povratnog perioda 100 godina nai u intervalu 99,9 m3/s < Q100g < 156,4 m3/s


30

slika 5.4.Intervala povjerenja p = 90% i p = 99% na za 100-godinje protoke na odsjeku krivulje vjerojatnost pojave maksimalnih protoka sa slike 5.3.

Qg,90

Qd,99

Qd,90

Qg,99

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

140,0

160,0

180,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

F [%]

Q [m

3/s] p = 90%

p = 99%

slika 5.5.Funkcija raspodjele stogodinjeg protoka s intervalim povjerenja


31

6. RACIONALNA METODA DIMENZIONIRANJE ODVODNOG KANALA

Zadatak eljeznika stanica pokrivena je krovnom konstrukcijom duine 900 m i irine 80 m. U odvodnom kanalu koji je postavljen po duini krovne konstrukcije prosjena brzina putovanja vode je 1 m/s. Intenzitet kie i [mm/min] definiran je izrazom:

8,0)3( ktai

gdje je tk trajanje kie [min], a koeficijent ovisan o povratnom periodu Visina kie trajanja 60 minuta povratnog perioda 100 godina iznosi 75 mm. Pretpostavljajui da je vrijednost koeficijenta otjecanja sa slivne povrine C = 1, pomou racionalne metode odrediti:

Najvei protok povratnog perioda 100 godina na kraju kanala Dimenzije odvodnog kanala pravokutnog poprenog presjeka sa dubinom jednakoj

irini, ako je nagib kanal I = 1 m/km, a koeficijent hrapavosti po Manningu n = 0,016 m-1/3s.


32

Rjeenje Maksimalni protok Maksimalni protok e se proraunati racionalnom metodom prema formuli: A*i*CQmax (1) gdje je C - racionalni koeficijent, i - intenzitet oborine, A povrina sliva. Primjenom racionalne metode pretpostavljamo da za vrijeme jednolikog intenziteta i jednolike raspodjele na slivu dolazi do maksimalnog protoka u trenutku kada cijela povrina sliva sudjeluje u nastanku hidrograma. Drugim rijeima, protok na odabranom profilu biti e maksimalan za ono trajanje kie tk koje odgovara vremenu koncentracije tc . Racionalni koeficijent je zadan i iznosi C = 1,0. Vrijeme koncentracije predstavlja vrijeme koje je potrebno da kap vode brzinom v pree duinu krovne konstrukcije L.

L = 900 m

v = 1 m/s

min15900/1

900 ssmm

vLtc

Intenzitet oborine je zadan u obliku dvo-parametarske funkcije i(a,tk),

8,0)3( ktai (2)

Vrijeme trajanja kie tk nam je poznato i iznosi tk = tc = 15 min , dok parametar a trebamo odrediti iz zadanog uvjeta da koliina oborine 100-godinjeg povratnog perioda iznosi P100g = 75 mm za trajanje kie tk = 60 min. Intenzitet te oborine iznosi:

i = P100g /tk = 75 mm / 60 min = 1,25 mm/min Za taj intenzitet i=1,25 mm/min koristei (2) moemo pronai odgovarajui parametar a:

2,08.08.0 min4,34)360(25,1)3( mmtia k Kada uvrstimo a u (2) slijedi da je za 100-godinji povratni period intenzitet oborine opisan izrazom:

8,0)3(4,34

kti

A za tk = 15 min intenzitet oborine iznosi:

min/4,3)315(4,34

8,0 mmi


33

Povrina sliva A iznosi: A = L * B = 900 m * 80 m = 72000 m2 Sada, moemo odrediti maksimalni protok koristei (1):

smmmmAiCQ /08.472000min/4,31** 32max Najvei protok povratnog perioda 100 godina na kraju kanala iznosi 4,1 m3/s Dimenzije kanala Za proraun dimenzija odvodnog kanala koristimo Chezy-Manningovu formulu za brzinu u otvorenom vodotoku kod jednolikog strujanja.

2/13/21 IRn

v (3) Kako znamo da je protok umnoak brzine i povrine poprenog presjeka Q = A * v, Chezy-Manningovu formulu moemo napisati i u obliku:

2/13/21 IRAn

vAQ (4) gdje su:

A poprena povrina proticajnog profila, v srednja brzina kroz profil kanala

n koeficijent hrapavosti po Manningu

R hidrauliki radijus (R = A/O) I nagib energetske linije (uz pretpostavku jednolikog teenja uzimamo nagib dna) Kako znamo da je odvodni kanal pravokutnog oblika (B = h), tada povrina presjeka iznosi A = B * h = h2, a omoeni obod O = 3h. Hidrauliki radijus: R = A / O = h2 / 3h = h/3 Nagib dna: I = 1m / 1km = 0,001

Hrapavost: n = 0,016 m-1/3s

Protok: Q = 4,08 m3/s Chezy-Manningova formula za protok (4) tada glasi:

3/2

3/82/1

3/232/13/2

3311

nIhIhh

nIRA

nQ

Iz ega moemo izraunati h:

mI

Qnh 73,1001,0

08,43016,038/3

3/28/33/2

Dakle dimenzije pravokutnog kanala su 1,8 x 1,8 m.


34

7. PALA KIA, EFEKTIVNA KIA, INFILTRACIJA, KOEFICIJENT OTJECANJA, SLOENI HIDROGRAM

Zadatak Za sliv povrine A = 10 km2 dan je hidrogram trokutnog oblika. Trajanje kie iznosi T = 30 min (slika 7a.). Zadane su sumarne linije kie i efektivne kie (slika 7b.). Odrediti:

dijagram intenziteta pale kie, efektivne kie (otjecanja) i infiltracije u funkciji vremena

sloeni hidrogram od kie sa slike 7.2. i sa sliva povrine A vrijednost koeficijenta otjecanja

Slika 1. protok Q

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

vrijeme (min)

slika 7a.Hidrogram kie

Slika 2. Sumarne padaline

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

trajanje (min)

i (m

m/m

in)

Padaline Oticaj

slika 7b. Sumarne padaline


35

Rjeenje Dijagram intenziteta pale kie, efektivne kie i infiltracije Dijagrami intenziteta i efektivne kie dobiju se iz sumarnih linija pale i otekle kie prikazanih na slici 7b. Efektivna kia je dio otekle oborine, dok infiltracija predstavlja razliku izmeu pale i otekle kie. Iz slike 7b. vidimo da zadane sumarne krivulje padaline i otjecanja ukupnog trajanja 90 min moemo podijeliti u tri intervala (0 30 min, 30 60 min, 60- 90 min). Oitane vrijednosti prikazane su u tablici 7.1.

Vrijeme Sumarne

pale oborine

Sumarno otjecanje oborina

interval t (min) t (h) P (mm) Pe (mm)

t1 30 0,5 30 15

t2 60 1 50 25

t3 90 1,5 60 35

Tablica 7.1. Sumarne pale oborine i otjecanje oborina za vremenske intervale Iz navedenih podataka izraunati emo ravnomjerne intenzitete za prvi interval prema izrazu:

12

121 tt

PPi tt

, odnosno 12

121 tt

PePeie tt

(istim principom raunamo i za druga dva intervala) Nakon ega moemo izraunati i vrijednosti infiltracije u funkciji vremena koji predstavlja razliku izmeu intenziteta pale oborine i efektivne oborine: fe = i ie

gdje su: fe intenzitet infiltracije, i intenzitet pale oborine, ie intenzitet otekle oborine

Rezultati prorauni se prikazuju u tablici 7.2. te na slici 7.1.

Vrijeme intenzitet

pale oborine

intenzitet otekle

oborine infiltracija fe = i ie

Interval od-do (min) i (mm/h) ie (mm/h) fe (mm/h)

t1 0-30 60 30 30 t2 30-60 40 20 20 t3 60-90 20 20 0

Tablica 7.2. Intenziteti padalina, otjecanja i infiltracije u funkciji vremena


36

intenzitet pale oborine

60

40

20

0

10

20

30

40

50

60

70

0-30 30-60 60-90intervali od-do (mm)

i (m

m/h

)

intenzitet otekle oborine

3020 20

0

10

20

30

40

50

60

70


ie (m

m/h

)

Infiltracija

3020

00

10

20

30

40

50

60

70


fe (m

m/h

)

Slika 7.1. Intenziteti padalina, otjecanja i infiltracije u funkciji vremena


37

Sloeni hidrogram Kako je poznat hidrogram od kie ravnomjernog intenziteta trajanja tk = 30 min, sloeni hidrogram od zadane kie dobije se superpozicijom hidrogram od tri kie, od kojih je prva trajala u vremenu od 0 do 30 minuta, druga od 30 do 60 minuta, a trea od 60 do 90 minuta. Kako bi odredili hidrogram prve kie, iji je oblik poznat, potrebno je odrediti volumen otjecanja te kie.

Vo1 = Pe1 * A = ie1 * tk * A =

= 30 mm/h * 30 min * 10 km2 =

= 30 mm/h * 0,5 h * 10 km2 =

Vo1 = 1,5 *105 m3

gdje je Vo1 volumen prve kie, Pe1 koliina prve kie koja je jednaka umnoku intenziteta ie1 i trajanja kie tk, A povrina sliva Maksimalni protok dobijemo iz volumena otjecanja koji mora biti jednak povrini ispod hidrograma. Naime integralna povrina ispod krivulje hidrograma predstavlja volumen te kie. Povrina hidrograma je jednaka povrini trokuta ija baza iznosi tb = 120 min:

max1 21 QtV bo

iz ega slijedi:

smmmtVQb

o /7,41min/105,2min120105,122 333351

1max Sada moemo ovaj hidrogram i grafiki prikazati:

Hidrogram od prve kie

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

vrijeme t [min]

prot

ok Q

[m3/

s]

slika 7.2. Hidrogram od prve kie


38

Druga i trea kia imaju isti intenzitet oborine, tako da su njihove zapremine jednake, kao i maksimalni protoci.

Vo2 = Vo3 =Pe3 * A = ie3 * tk * A =

= 20 mm/h * 30 min * 10 km2 =

= 20 mm/h * 0,5 h * 10 km2 =

Vo1 = 1,0 *105 m3

Maksimalni protok dobijemo iz volumena otjecanja koji mora biti jednak povrini ispod hidrograma.

smmmtVQQb

o /8,27min/1066,1min120100,122 333353

3max2max Oba hidrograma (2. i 3.) moemo i grafiki prikazati:

Hidrogram od druge/tree kie

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

vrijeme t [min]

prot

ok Q

[m3/

s]

slika 7.3. Hidrogram od druge/tree kie


39

Slaganje sloenog hidrograma Hidrogram prve kie poinje u t=0, sa bazom tb=120 min i najveim protokom Qmax1=41,7 m3/s u trenutku tm1=45 min. Hidrogram druge kie poinje u t2=30 min, a zavrava u tb2=tb+t2=120 min + 30 min = 150 min, a ima maksimum Qmax2=27,8 m3/s u trenutku tm2=tm1+t2=45min + 30 min=75 min. Hidrogram tree kie poinje u t2=60 min, a zavrava u tb3=tb+t6=120 min + 60 min = 180 min, a ima maksimum Qmax3=Qmax2=27,8 m3/s u trenutku tm3=tm1+t3=45min + 60 min=105 min. Vrijednosti protoka sloenog hidrograma za svaki trenutak t prikazane su u tablici 7.3. te grafiki na slici 7.4.

Sloenihidrogram

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

45,0

50,0

55,0

60,0

65,0

70,0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

vrijemet(min)

Protok

Q(m

3/s)

Hidrogram1 Hidrogram2Hidrogram3 Sloeni hidrogram

slika 7.4. Sloeni hidrogram i hidrogrami od kojih nastaje


40

t Q1 Q2 Q3 Q = Q1 + Q2 + Q3

(min) m3/s m3/s m3/s m3/s

0 0,0 0,0

5 4,6 4,6

10 9,3 9,3

15 13,9 13,9

20 18,5 18,5

25 23,2 23,2

30 27,8 0,0 27,8

35 32,4 3,1 35,5

40 37,1 6,2 43,2

45 41,7 9,3 51,0

50 38,9 12,4 51,3

55 36,1 15,4 51,6

60 33,4 18,5 0,0 51,9

65 30,6 21,6 3,1 55,3

70 27,8 24,7 6,2 58,7

75 25,0 27,8 9,3 62,1

80 22,2 25,9 12,4 60,5

85 19,5 24,1 15,4 59,0

90 16,7 22,2 18,5 57,5

95 13,9 20,4 21,6 55,9

100 11,1 18,5 24,7 54,4

105 8,3 16,7 27,8 52,8

110 5,6 14,8 25,9 46,3

115 2,8 13,0 24,1 39,8

120 0,0 11,1 22,2 33,4

125 9,3 20,4 29,7

130 7,4 18,5 25,9

135 5,6 16,7 22,2

140 3,7 14,8 18,5

145 1,9 13,0 14,8

150 0,0 11,1 11,1

155 9,3 9,3

160 7,4 7,4

165 5,6 5,6

170 3,7 3,7

175 1,9 1,9

180 0,0 0,0

tablica 7.3. Proraun sloenog hidrograma Sloeni hidrogram dosee svoj maksimum u trenutku t = 75 min kada protok iznosi Qmax = 62,1 m3/s.


41

Koeficijent otjecanja Koeficijent otjecanja K0 je definiran kao odnos oteklog volumena vode Vo s nekog sliva i volumena pale oborine Vp na taj sliv.

PP

APAP

VVK ee

p

oo

Ukupna zapremina otekle vode jednaka je zapremini otekle vode od sve tri pojedine kie, tj. povrina ispod sloenog hidrograma jednaka je zbroju povrina ispod svakog hidrograma od pojedine kie. Iz ega slijedi:

583,01060

101002101502

3333

3

11

kmmmmm

AP

V

VVK i

o

p

oo

pri emu je koliina pale oborine P = 60 mm oitana sa slike 7b. Koeficijent otjecanja sa ovog sliva iznosi K = 0,583.


42

8. AKUMULACIJA REGULIRANJE PROTOKA ZA HIDROELEKTRANU

Zadatak Hidroelektrana se snabdijeva vodom iz akumulacijskog jezera. Horizontalne povrine jezera A [ha] u zavisnosti od kote nivoa vode u jezeru Z [m] dane su izrazom: A = 0,5 (Z 300)1,5 Dotok u akumulacijsko jezero u toku dana je od 0 do 12 sati 30 m3/s, a od 10 do 24 sata 14 m3/s. Cjelokupni dotok hidroelektrana koristi u dva vremenska intervala; od 5 do 9 i od 18 do 21 sat, sa konstantnom snagom pri padu od 195 m. Vrijednost koeficijenta korisnog djelovanja je = 0,8.

Odrediti snagu s kojom e raditi hidroelektrana kao i koliinu proizvedene elektrine energije.

Odrediti nivo u akumulacijskom jezeru u t = 0 sati koji omoguuje zahtijevani rad hidroelektrane, uz uvjet da je kota najmanjeg radnog nivoa Z = 302 m.

Za navedene uvjete izraunati i nacrtati promijene nivoa u jezeru tijekom dana.


43

Rjeenje Snaga i koliina proizvedene energije Kako bi odredili snagu kojom radi elektrana, potrebno je prvo izraunati dotok Qc koji koristi hidroelektrana. Prvo raunamo volumen dotekle vode u akumulacijsko jezero u toku jednog dana (24 h) koji predstavlja umnoak dotoka Q i vremena t. Volumen predstavlja integral protoke po vremenu, a kako imamo dva intervala dotoka u jezeru ( 0 12 h, 12 24 h), volumen dotekle vode moemo izraunati na sljedei nain: Vd = Q1*t1 + Q2*t2 sve podatke imamo zadane:

Q1 = 30 m3/s t1 = 12 h (12 h 0 h)

Q1 = 14 m3/s t1 = 12 h (24 h 12 h) Vd = Q1*t1 + Q2*t2 = 30 m3/s * 12 h + 14 m3/s * 12 h = 1900,8 * 103 m3 Hidroelektrana radi u dva vremenska intervala od 5 d o 9 h i od 18 do 21 sat, dakle ukupno T = 7 sati dnevno, sa konstantnim protokom Qc, koristei volumen vode koji je jednak cjelokupnom dotoku vode Vd u toku dana. Na osnovu toga, protok kroz hidroelektranu je jednak:

smh

mTVQ dc /43,757

108,1900 333 Za izraun snage N s kojom radi hidroelektrana koristimo izraz: N = g Qc H gdje je koeficijent korisnog djelovanja, gustoa vode, g akceleracija sile tee, Qc protok, H pad = 0,8 = 1000 kg/m3 g = 9,81 m/s2

Qc = 75,4 m3/s

H = 195 m N = 0,8 * 1000 kg/m3 * 9,81 m/s2 * 75,43 m3/s * 195 m = 115,44 MW Snaga je definirana kao proizvedena energija u jedinici vremena:

N = E / T

Iz ega slijedi da je energija koju hidroelektrana proizvede u toku dana jednaka: E = N * T = 115,44 MW * 7 h = 808,0 MWh Snaga kojom e raditi hidroelektrana iznosi N = 115,4 NW, a koliina proizvede energije u toku dana iznosi E = 808 MWh.


44

Nivo u akumulacijskom jezeru Promjena nivoa vode u jezeru tijekom vremena, odnosno promjena zapremine vode, rjeava se primjenom jednadbe vodne bilance. Vodna bilanca se zapravo temelji na zakonu o odranju mase, a opisuje proces kruenja vode u prirodi te se sastoji od niza sastavnica koje se mogu podijeliti na tri osnovne grupe:

Prihodne komponente bilanca Rashodne komponente bilanca Rezultirajua komponenta

Prihodna komponenta vodne bilance u ovom sluaju je dotok u akumulaciju Vd(t) Rashodna komponenta vodne bilance je potronja za hidroelektranu Vp(t) Dok je rezultirajua komponenta razlika izmeu konane Va(t) i poetne zapremine vode u akumulaciji Va(0) Vd(t) - Vp(t) = Va(t) - Va(0) Prvo su izraunati svi elementi dotoka i potronje s pretpostavkom nultog poetnog stanja zapremine vode u akumulaciji (Vd,0 = 0). Dotok Qd je zadan za svaki interval t . Vd predstavlja dotekli volumen u svakom pojedinom intervalu i rauna se kao umnoak dotoka Qd i vremenskog intervala t . Proraun je prikazan u tablici 8.1. i slici 8.1.

vrijeme dotok potronja bilanca

t Qd Vd Vd Qp Vp Vp Va1 = Vd - Vp [h] [m3/s] [103 m3] [103 m3] [m3/s] [103 m3] [103 m3] [103 m3]

0 0 0 0

5 30 540 540 0 0 0 540,0

9 30 432 972 75,4 1086,2 1086,2 -114,2

12 30 324 1296 0 0 1086,2 209,8

18 14 302,4 1598,4 0 0 1086,2 512,2

21 14 151,2 1749,6 75,4 814,6 1900,8 -151,2

24 14 151,2 1900,8 0 0 1900,8 0,0

tablica 8.1.Promjena zapremine u akumulacijskom jezeru u toku dana. Proraun za prvi interval ( T = 0-5h): Vd1 = Qd1 * t = Qd1 * (t1 t0) = = 30 m3/s * (5h 0h) =

= 30 m3/s * 18000 s = 540000 m3

Vd1 = 540 * 103 m3


45

Vd predstavlja sumarni volumen dotoka svih intervala. Potronja Qp je takoer zadana, a vrijednosti potroenog volumena za svaki interval i sumarnog volumena izraunat je na jednak nain kao i za dotok. Bilanca Va1 predstavlja razliku sumarnih volumena dotoka Vd i potronje Vp.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

0 5 10 15 20 25

vrijeme t [h]

Zapr

emin

a [1

06 m

3 ]

Dotok Vd Potronja Vp

slika 8.1.Sumarne linije dotoka i potronje Kako moemo vidjeti iz slike 8.1. u odreenim trenucima (t = 9h i t =21h) pojavljuje se situacija kada sumarna linija potronje premauje sumarnu liniju dotoka, to znai da se pojavljuju negativne vrijednosti vodne bilance te da u tom sluaju potronja ne bi mogla biti zadovoljena prema zahtjevima. Potrebno je odrediti poetni nivo vode za koju sumarne linije zadovoljavaju zadane uvjete (tj. kada je vodna bilanca uvijek vea ili jednaka nuli, Va 0 ) To emo rijeiti na nain da najveu negativnu vrijednost vodne bilance Va1,21h = 151,2 * 103 m3 zadamo kao poetno stanje volumena vode u akumulaciji.

vrijeme dotok potronja bilanca

t Qd Vd2 Vd Qp Vp Vp Va2 = Vd2 - Vp [h] [m3/s] [103 m3] [103 m3] [m3/s] [103 m3] [103 m3] [103 m3]

0 151,2 0 151,2

5 30 540 691,2 0 0 0 691,2

9 30 432 1123,2 75,4 1086,2 1086,2 37,0

12 30 324 1447,2 0 0 1086,2 361,0

18 14 302,4 1749,6 0 0 1086,2 663,4

21 14 151,2 1900,8 75,4 814,6 1900,8 0,0

24 14 151,2 2052 0 0 1900,8 151,2

tablica 8.2. Korigirana promjena zapremine u jezeru u toku dana


46

Proraun je identian prethodnom, jedno to u ovom sluaju zadajemo poetni sumarni volumen dotoka Vd2,0 = Va1,21h = 151,2 * 103 m3 (tablica 8.2. i slika 8.2.).

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

0 5 10 15 20 25

vrijeme t [h]

Zapr

emin

a [1

06 m

3 ]

Dotok Vd2 Potronja Vp

slika 8.2. Korigirane sumarne linije dotoka i potronje Nivo vode u jezeru Kako bi odredili nivo vode u akumulaciji koje zadovoljavaju gornje uvjete, moramo pronai koja je razina vode u jezeru kada njezina zapremina iznosi V = 151,2 * 103 m3. Zapremina vode u zavisnosti od nivoa vode u akumulaciji dana je izrazom:

ZZ

dZZAZV0

)()( (1)

Dakle volumen vode predstavlja integral povrine jezera, iji zavisnost o nivou vode znamo:

A = 0,5 (Z 300)1,5 (2) Ako (2) uvrstimo u (1) dobijemo:

5.25.235.25.24302

5.145.14

2)300(102)300302(5.21)300(

5.21105.0

)300(105.0)300(105.0)(0

ZZ

dZZdZZZVZ

m

Z

Z

5.25.23 2)300(102)( ZZV Iz ega slijedi da moemo izraziti nivo vode u jezeru u funkciji volumena jezera na sljedei nain:


47

3 2.5 2.5

2.5 2.53

3 2.5 0.4

2 10 ( 300) 2

2 ( 300)2 10(0,5 10 2 ) 300

V Z

V Z

V Z

4 2.5 0.4( ) (5 10 2 ) 300Z V V (3) Koristei (3) moemo jednostavno odrediti nivo vode pri poetnom volumenu :

4 2.5 0.4(151200) (5 10 151200 2 ) 300 305,81Z m

Dakle, nivo vode u jezeru u t = 0 sati koji omoguava zahtijevani rad hidroelektrana, uz uvjet da je kota najmanjeg radnog nivoa Zo = 302 m , iznosi Zt = 305,81 m. Promjene nivoa Na osnovu izraunate zapremine vode u akumulaciji Va pomou izraza (3) dobivene su vrijednosti nivoa vode (tablica 8.3.) te se njihove promjene prikazane grafiki na slici 8.3.

vrijeme zapremina nivo vode

t Va Z

[h] [103 m3] [m]

0 151,2 305,8 5 691,2 310,4 9 37,0 303,6 12 361,0 308,1 18 663,4 310,3 21 0,0 302,0 24 151,2 305,8

tablica 8.3. Nivo vode u jezeru u funkciji vremena

Slika 8.3. Nivo vode i zapremina jezeru u funkciji vremena t


48

9. LITERATURA

V. D. Vukmirovi, D. . Pavlovi: Primenjena hidrologija, zbirka zadataka, Univerzitet u Beogradu, Graevinski fakultet, Beograd, 2005. R. ugaj: Hidrologija, Sveuilite u Zagrebu, Rudarsko-geoloko-naftni fakultet, Zagreb, 2000. S. J. Prohaska: Hidrologija (I i II dio), Rudarsko-geoloki fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 2003 2006. Velike i male vode, Zbornik radova, Drutvo graevinskih inenjera Zagreb i Hrvatsko hidroloko drutvo, Zagreb, 2004. . Vukovi: Osnove hidrotehnike, I. dio, Prva knjiga, Akvamarine, Zagreb, 1994. . Vukovi: Osnove hidrotehnike, I. dio, Druga knjiga, Akvamarine, Zagreb, 1995. N. Oani: Hidrologija I, materijali s predavanja, nepublicirano

86901271-rjeseni-zadaci

Documents