8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal
TRANSCRIPT
![Page 1: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/1.jpg)
MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOSE NUMÉRICOSE NUMÉRICOS
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
DISTRIBUCIÓNS CONTINUAS.DISTRIBUCIÓN NORMAL.
UNIDADE 8UNIDADE 8
![Page 2: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/2.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
Función de densidade.Distribución normal.Variable aleatoria da distribución normal.Función de densidade dunha normal.Distribución normal estándar.Tipificación da variable.Aproximación da binomial pola normal.
![Page 3: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/3.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
Lembremos primeiro que é unha variable aleatoria continua:
Variable aleatoria: Chámase variable aleatoria a toda lei (función) que asocia a cada elemento do espazo mostral E dun experimento aleatorio un número real.
Variable aleatoria continua: O percorrido, ao menos teórico, está formado polos infinitos valores dun intervalo ou de varios.
![Page 4: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/4.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
EXEMPLO 1:
Consideramos o experimento aleatorio “elixir ao azar un neno de 6 anos da poboación galega” e a cada posible resultado asociámoslle un número real que é a súa altura .
X=“altura do neno” é unha variable aleatoria continua pois os seus posibles resultados son números reais pertencentes a un intervalo.
![Page 5: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/5.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
Exemplo 2:
Consideramos o experimento aleatorio “elixir ao azar un estudante que no curso 2008-2009 se presentou á proba de selectividade” e a cada posible resultado asociámoslle un número real que é a nota media obtida na proba .
X=“nota media de selectividade” é unha variable aleatoria continua pois os seus posibles resultados son números reais pertencentes a un intervalo.
![Page 6: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/6.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
1
p1
p2
.
.
.pn
x1
x2
.
.
.xn
pi=p(X=xi)X A variable aleatoria continua ten unha probabilidade cero de tomar exactamente calquera dos seus valores.
En consecuencia, a súa distribución de probabilidade non se pode dar de forma similar a unha variable aleatoria discreta onde definiamos a función de probabilidade mediante unha táboa coma esta ===
![Page 7: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/7.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
As distribucións de probabilidade son idealizacións dos polígonos de frecuencias. No caso dunha variable estatística continua consideramos o histograma de frecuencias relativas (ou máis exactamente o histograma das densidades das frecuencias relativas), e compróbase que ao aumentar o número de datos e o número de clases o histograma tende a estabilizarse chegando a converterse o seu perfil na gráfica dunha función.
![Page 8: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/8.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
![Page 9: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/9.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
Exemplo : (obtido de distintas páxinas de internet como http://www.tuveras.com/estadistica/normal/normal.htm ou http://www.monografias.com/trabajos27/probabilidad-continua/probabilidad-continua.shtml)
Rexistráronse os tempos que tardou unha empresa de mensaxería en entregar 190 paquetes con destinatarios diferentes dentro dunha mesma cidade.
Os datos agrupáronse considerando intervalos de cinco días, para posteriormente reducir a amplitude dos intervalos, tomando unha amplitude de tres días por intervalo, a continuación de dous días e finalmente dun día.
O que interesa ao futuro cliente é a probabilidade de que se faga unha entrega nun certo tempo, polo que habería que considerar as frecuencias relativas, obtendo as seguintes táboas.
![Page 10: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/10.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
Intervalos de dous días
Intervalos de un día
![Page 11: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/11.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
Debuxamos os histogramas e os polígonos de frecuencias correspondentes para poder ver como se aproximan, se é que ocorre, a unha curva continua.
As barras rosas (e a liña vermella) corresponden aos intervalos de cinco días; as barras e liña azuis, aos intervalos de tres días; as barras e liña amarelasamarelas, aos intervalos de dous díasdous días; e as barras e liña verdes, aos intervalos dun día.
Pódese ver que as barras das frecuencias relativas "achapárranse" e as liñas están tan separadas do lado esquerdo (neste caso) que non se pode falar dunha aproximación continua a unha soa liña
![Page 12: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/12.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
intervalo do lonxituderelativa frecuenciaintervalo do densidade =
Unha posible solución é utilizar a densidade do intervalo, que se vai definir como o cociente da frecuencia relativa entre a amplitude do intervalo:
Deste xeito, ás distribucións de frecuencias anteriores pódeselles engadir a columna correspondente á densidade:
![Page 13: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/13.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
densidadfrec.rel.
frecIntervalo
0.0130.06312[15,20)
0.0110.05310[20,25)
0.0050.0265[25,30)
0.0180.08917[10,15)
0.0330.16331[5,10)
0.1210.605115[0,5)
densidadfrec.rel.frecIntervalo
0.0050.0163[27,30)
0.0070.0214[24,27)0.0110.0326[21,24)0.0110.0326[18,21)0.0140.0428[15,18)
0.0160.0479[12,15)0.0230.06813[9,12)0.0320.09518[6,9)0.0530.15830[3,6)
0.1630.48993[0,3)
Intervalos de 5 diasIntervalos de 3 dias
Intervalos de 2 días
![Page 14: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/14.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
0.0050.0051[29,30)
0.0050.0051[28,29)
0.0050.0051[27,28)
0.0050.0051[26,27)
0.0050.0051[25,26)
0.0110.0112[24,25)
0.0110.0112[23,24)
0.0110.0112[22,23)
0.0110.0112[21,22)
0.0110.0112[20,21)
densidadFrec. Rel.frecIntervalo
Intervalos de un día
![Page 15: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/15.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
Debuxamos os histogramas e polígonos de frecuencias correspondentes. As barras rosas, e a liña vermella, corresponden aos intervalos de cinco días; as barras e liña
verdes, aos intervalos de tres días; as barras e liña amarelasamarelas, aos intervalos de dous díasdous días; e as barras e liña azuis, aos intervalos dun día.
Observamos que coa densidade se se aproximan os histogramas a unha liña continua (a mellor aproximación presentada é a liña azul) cando os intervalos se reducen continuamente.
O resultado é unha liña continua que é a gráfica dunha certa función denominada función de densidade da distribución probabilística.
![Page 16: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/16.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
Agora, considerando a maneira na que se definiu a densidade dun intervalo como:
e lembrando que a frecuencia relativa se pode identificar coa probabilidade dun suceso (no exemplo da mensaxería sería a probabilidade de entregar un paquete dentro dun intervalo dado de tempo):
Entón, despexando no primeiro cociente a frecuencia relativa e igualando con esta segunda expresión obtemos que
probabilidade do suceso = (densidade do intervalo)· (lonxitude do intervalo)
intervalo do lonxituderelativa frecuenciaintervalo do densidade =
suceso do adeprobabiliddatos de total nº
absoluta frecuenciarelativa frecuencia ==
![Page 17: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/17.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
É dicir, que a probabilidade de que ocorra un suceso corresponde á área das barras do histograma construído tendo en conta a densidade dos intervalos; e que cando tales intervalos teñen unha amplitude que tende a cero, e a gráfica convértese na curva continua da función de densidade, entón a probabilidade de que un suceso ocorra nun intervalo (a,b) é a área baixo a curva da función nese intervalo:
![Page 18: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/18.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
E, polo tanto, o cálculo de tal probabilidade realízase utilizando cálculo integral:
onde f(x) é a función de densidade da probabilidade correspondente.
No caso das variables continuas só se pode calcular a probabilidade de que un suceso caia dentro dun intervalo, debido a que a exactitude dos instrumentos de medición sempre é relativa e está moi lonxe da "exactitude" dos cálculos matemáticos. Por isto, a probabilidade de que a variable aleatoria tome un valor exacto é nula:
Isto pódese explicar do seguinte xeito: se, como xa dixemos, a probabilidade (frecuencia relativa) é igual á densidade do intervalo pola amplitude do intervalo, entón non importa o grande que sexa a densidade de tal intervalo porque, como xa tamén se dixo, por ser variable continua a amplitude do intervalo tende a cero e, polo tanto, a probabilidade é igual a cero.
( ) ( )( ) ( )∫=∈=<<b
adxxfbaXpbXap ,
( ) 0)( === ∫a
adxxfaXp
![Page 19: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/19.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.
Outros exemplos:
Nas seguintes páxinas web atopamos aplicacións que nos amosan con exemplos como pasamos do histograma de frecuencias relativas á gráfica dunha función que chamaremos función de probabilidade ou función de densidade.
http://personal.telefonica.terra.es/web/ies4hellin/matematicas/WebQuestyProyectos/BinomialNormal/VariablesAleatoriasDescartes/Variablecontinua.htm
http://www.ite.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/variablesestadisticas/archivos/continua.htm
![Page 20: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/20.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica
Unha función y=f(x) é función de densidade dunha variable aleatoria continua X se:
f(x) é non negativa en todo o seu dominio.
A probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores nun intervalo [a,b] é a área baixo a curva correspondente a ese intervalo.
A área total baixo a curva vale 1.
![Page 21: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/21.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica
Sexa X unha variable aleatoria continua e f a súa función de densidade.
Defínese función de distribución F de X de xeito similar a como se facía en variables aleatorias discretas.
Chámase función de distribución de X á función definida por:
F(x)=área comprendida pola función de densidade, o eixe OX e a recta t=x
( ) ( ) ( )∫ ∞−=≤=
xdttfxXpxF
![Page 22: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/22.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Media ou esperanza dunha variable aleatoria continua. Sexa X unha variable aleatoria continua que ten por percorrido o intervalo [a,b] e sexa f(x) a súa función de densidade, defínese media ou esperanza da variable aleatoria continua X como:
Varianza dunha variable aleatoria continua. Nas mesmas condicións definimos varianza da variable aleatoria continua X como:
Desviación típica dunha variable aleatoria continua.
2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica
( )∫ ⋅=b
adxxfxµ
( ) ( )dxxfxb
a⋅−= ∫
22 µσ
2σσ =
![Page 23: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/23.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica
( )
≤≤
=restono
xsexxf
0
102
Exemplo: A función de densidade dunha variable aleatoria continua ven definida por:
•Representa dita función e comproba que se trata dunha función de densidade.•Calcula a función de distribución da variable aleatoria continua F(x) e represéntaa.•Calcula esperanza, varianza e desviación típica.
![Page 24: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/24.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica
Representa dita función e comproba que se trata dunha función de densidade. f(x) é unha función de densidade pois:
Todas as súas imaxes son positivas ou 0. Toda a gráfica está no eixe OX ou por enriba del.
A área encerrada pola gráfica e o eixe OX é: Área do triángulo=(base . altura)/2=(1 . 2)/2=1
![Page 25: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/25.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica
f(x)=0
f(x)=2x
Relleno 2
f(x)=0
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
x
y
f(x)
![Page 26: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/26.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica
Calcula a función de distribución da variable aleatoria continua F(x) e represéntaa. Se x<0 Se 0≤x≤1
Se x>1
( ) ( ) ( )∫ ∫∞− ∞−=⋅==≤=
x xdtdttfxXpxF 00
( ) ( )
2
0
2
0
0
0
0
2
20
20)()()(
xt
dttdtdttfdttfdttfxXpxF
x
x x x
=
+=
=⋅+⋅=+==≤= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∞− ∞− ∞−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ] 1000201
02
1
1
0
0
1
1
0
0
=++=⋅+⋅+⋅=
=++==≤=
∫∫∫∫ ∫∫∫
∞−
∞− ∞−
tdtdttdt
dttfdttfdttfdttfxXpxF
x
x x
![Page 27: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/27.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica
f(x)=0
f(x)=x^2
f(x)=1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
x
y
( )
>
≤≤
<
=
11
10
00
2
xse
xsex
xse
xF
![Page 28: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/28.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica
Calcula esperanza, varianza e desviación típica.
003,018
1
18
1
9
4
2
1
9
4
9
8
2
1
18
8
9
8
4
2
18
8
9
8
4
2
9
8
3
822
3
2
3
2
3
222
1
0
1
0
23423
21
0
2
1
0
31
0
21
0
==
=−=+−=+−=
=
+−=⋅
+−=⋅⋅
−=
=
=⋅=⋅⋅=
∫∫
∫∫
σ
σ
µ
xxxdxxxxdxxx
xdxxdxxx
![Page 29: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/29.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Distribución normal.3. Distribución normal.
Experimento de Galton. Unha primeira aproximación á distribución normal pode obterse a partir do experimento realizado por Sir Francis Galton (1822-1911), quen construíu un enxeñoso trebello (chamado máquina Quincunx ou quincunce) no que experimentalmente obtiña a curva da distribución normal.Consistía nun taboleiro inclinado cunha serie de cravos distribuídos
regularmente. Sobre dito taboleiro deslizábanse un grande número de bólas
procedentes dun depósito superior que ao chocar cos cravos afastábanse en maior ou menor medida da liña central de caída dependendo do azar.As bólas recollíanse en compartimentos estreitos distribuídos no borde
inferior; as alturas alcanzadas polas bólas dan unha idea da distribución normal.
Vexamos unha aplicación onde se reproduce dito experimento.
![Page 30: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/30.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Distribución normal.3. Distribución normal.
Existen unha grande cantidade de fenómenos naturais, como talle e peso dunha persoa, frecuencia cardíaca, altura dunha árbore de certa especie... que presentan unhas características comúns. Os resultados concéntranse ao redor dunha media, e os escasos valores afastados dela fano simetricamente a un e outro lado desa media.
Os histogramas e polígonos de frecuencias correspondentes a ditos fenómenos cando o número de datos é alto e os intervalos son moi pequenos seméllanse á curva obtida mediante o experimento de Galton.
![Page 31: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/31.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Distribución normal.3. Distribución normal.
Exemplo (obtido da páxina http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.asp)
1ª Figura - Valores de tensión arterial sistólica nunha mostra de 1000 pacientes isquémicos ingresados en UCI. 2ª Figura - Valores de tensión arterial sistólica dunha mostra de 5000 pacientes ingresados en UCI.
![Page 32: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/32.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Distribución normal.3. Distribución normal.
Podemos ver como os polígonos de frecuencias deste exemplo aseméllanse á seguinte curva chamada curva ou campá de Gauss:
![Page 33: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/33.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Distribución normal.3. Distribución normal.
A distribución normal chámase así porque durante moito tempo se pensou que ese era o comportamento normal de todos os fenómenos.
Os exemplos empregados para explicar a idea intuitiva de distribución de probabilidade continua deixan constancia de que isto non é certo.
![Page 34: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/34.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Variable aleatoria da distribución normal.4. Variable aleatoria da distribución normal.
Dise que unha variable aleatoria X segue unha distribución normal de media μ e desviación típica σ e desígnase por N(μ,σ) se se cumpren as seguintes condicións :
•A variable percorre toda a recta real, é dicir, de -∞ a +∞.•A súa función de densidade é a expresión en forma de ecuación matemática da curva de Gauss:
onde: e=2,7182… π=3,1415… μ=media da variable aleatoria X σ=desviación típica da variable aleatoria X
Os valores μ e σ son denominados parámetros da distribución normal.
( )2
2
1
2
1
−⋅−
⋅⋅
= σµ
πσ
x
exf
![Page 35: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/35.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Variable aleatoria da distribución normal.4. Variable aleatoria da distribución normal.
![Page 36: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/36.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Variable aleatoria da distribución normal.4. Variable aleatoria da distribución normal.
Na seguinte aplicación podemos observar cal sería a forma da función de densidade da distribución normal dependendo dos seus parámetros μ e σ.
![Page 37: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/37.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade continua que aparecen en numerosas ocasiónscontinua que aparecen en numerosas ocasións
Distribución uniforme continua A función de densidade da distribución uniforme continua é:
![Page 38: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/38.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Distribución exponencial: A distribución exponencial é unha distribución de probabilidade continua con un parámetro λ > 0 cuxa función de densidade é:
Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade continua que aparecen en numerosas ocasiónscontinua que aparecen en numerosas ocasións
![Page 39: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/39.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade continua que aparecen en numerosas ocasiónscontinua que aparecen en numerosas ocasións
Distribución gamma. En estatística a distribución gamma é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros k e λ cuxa función de densidade para valores x > 0 é
Aquí e é o número e e Γ é a función gamma. Para valores enteiros a función gamma queda como Γ(k) = (k − 1)! (sendo ! a función factorial).
![Page 40: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/40.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade continua que aparecen en numerosas ocasiónscontinua que aparecen en numerosas ocasións
Distribución Pareto. En estatística a distribución Pareto, formulada polo sociólogo Vilfredo Pareto, é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros a e b cuxa función de densidade para valores é:
![Page 41: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/41.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade continua que aparecen en numerosas ocasiónscontinua que aparecen en numerosas ocasións
A distribución χ² (de Pearson) En estatística, a distribución χ² (de Pearson) é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro k que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:
onde Zi son variables de distribución normal, de media cero e varianza un. O que a variable aleatoria X teña esta distribución represéntase habitualmente así: .
![Page 42: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/42.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade continua que aparecen en numerosas ocasiónscontinua que aparecen en numerosas ocasións
A distribución t de Student A distribución t de Student é a
distribución de probabilidade do cociente
onde Z ten unha distribución normal
de media nula e varianza 1 V ten unha distribución chi-
cadrado con ν graos de liberdade Z e V son independentes
![Page 43: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/43.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Propiedades da función de densidade dunha distribución normal.
Dom f=(-∞,+ ∞)Simetrías: A función é simétrica respecto á recta x=μ.Puntos de corte cos eixes:
Co eixe OYCo eixe OX non ten puntos de corte.
Asíntotas: Ten unha asíntota horizontal x=0.Crecemento e decrecemento: f crece ata x= μ e decrece a partir
de x= μ.Máximos e mínimos: f ten un máximo absoluto en x= μ .Puntos de inflexión:Ten dous puntos de inflexión en x= μ-σ e
x= μ+ σ.Área encerrada baixo a curva =1
5. Función de densidade dunha distribución 5. Función de densidade dunha distribución normal.normal.
−2
2
2
2
1,0 σ
µ
πσe
![Page 44: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/44.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
f(x)=1/(1*sqr(2*pi))*e^(-0.5*((x-3)/1)^2)
Relleno 1
x(t)=3 , y(t)=t
Serie 1
Serie 2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
x
y
μ=3
N(3,1)
Domf=(-∞,+∞)f é simétrica respecto a x=3Punto de corte (0, 0.0003 )f é crecente en (-∞,3) e é decrecente en (3, +∞)f ten un máximo absoluto en (3, 0.0254)f ten dous puntos de inflexión (2, 0.0154 ) e (4, 0.0154 )Área encerrada baixo a gráfica=1
punto de corte co eixe OY
pto de inflexión
Máximo absoluto
pto de inflexión
5. Función de densidade dunha distribución 5. Función de densidade dunha distribución normal.normal.
Exemplo: Distribución normal N(3,1)
![Page 45: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/45.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
É fácil comprender que para cada parella de valores μ e σ a distribución N(μ, σ) terá unha función de densidade distinta. Temos unha familia de distribucións normais.
De entre todas elas, ten especial interese a distribución N(0, 1) na que a media vale cero (μ=0) e a desviación típica vale a unidade (σ=1). Esta distribución chámase distribución normal estándar e ten por función de densidade :
2
2
2
1)(
x
exf−
⋅=π
![Page 46: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/46.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Se X é unha variable aleatoria continua que segue unha distribución normal estándar (N(0,1)) a súa función de distribución será:
= Área comprendida pola gráfica da función de densidade f, o eixe de abscisas e a recta t=x A función de distribución dunha variable normal estándar está tabulada.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
( ) ( ) ∫ ∞−==≤=
xdttfxXpxF )(
![Page 47: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/47.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
x(t)=0.7 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x
F(x)=p(X ≤ x)==Área comprendida pola gráfica de f, o eixe de abscisas e a recta t=x
![Page 48: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/48.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1.1. Distribución normal estándar.Distribución normal estándar.
![Page 49: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/49.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Manexo de táboas:
Problema directo:
Caso 1: p(X≤x) sendo x positivo
Exemplo: p(X≤1,65)
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
x(t)=1.65 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x=1,65
![Page 50: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/50.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Solución: Como 1.65 é 1.6+0.05 a intersección da fila 1.6 coa columna 0.05 dános o resultado buscado que é 0.9505
![Page 51: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/51.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Caso 2: p(X≥x) sendo x positivo
Exemplo: p(X≥1.65)
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
Relleno 3
x(t)=1.65 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x=1,65
p(X≤1,65)
p(X≥1,65)
Área encerrada pola curva = 1
![Page 52: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/52.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Solución: Tendo en conta que a área total encerrada pola curva é 1, verifícase: p(X≥1,65)=1-p(X≤1,65)=1-0.9505=0.0495
![Page 53: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/53.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Caso 3: p(X≤x) sendo x negativo
Exemplo: p(X ≤ -1,65)
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2)
Relleno 2
Relleno 3
x(t)=-1.65 , y(t)=t
x(t)=1.65 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
p(X≤-1,65) p(X≥1,65)
N(0,1)
x= -1,65 x= 1,65
![Page 54: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/54.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Solución: Na táboa aparecen só valores positivos polo que empregaremos a simetría par da función de densidade.
Podemos ver no debuxo que p(X≤-1,65)=p(X≥1,65)
e polo tanto p(X≤-1,65)=p(X≥1,65)= 1-p(X≤1,65)= =1-0.9505=0.0495
![Page 55: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/55.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Caso 4: p(X≥x) sendo x negativo
Exemplo: p(X ≥ -1,65)
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
x(t)=-1.65 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x=-1,65
![Page 56: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/56.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Solución: Empregando a simetría par da
función de densidade, a área correspondente á p(X≥-1,65) é exactamente igual á correspondente a p(X≤1,65). Polo tanto p(X≥-1,65)=
p(X≤1,65)=0.9505
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
x(t)=1.65 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x=1,65
![Page 57: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/57.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Caso 5: p(x0≤X≤x1) sendo x0 e x1 positivos.
Exemplo: p(0,85≤X≤1,65)
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
x(t)=0.85 , y(t)=t
x(t)=1.65 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x=1,65x=0,85
p(0,85≤X≤1,65)
![Page 58: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/58.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Solución: p(0,85≤X≤1,65)= =p(X≤1,65)-p(X≤0,85)= =0,9505-0,8023=0,1482
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
Relleno 3
x(t)=0.85 , y(t)=t
x(t)=1.65 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x=1,65x=0,85
p(0,85≤X≤1,65)
Relleno verde ------ p(X≤0,85)Relleno vermello--- p(X≤1,65)
![Page 59: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/59.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Caso 6: p(x0≤X≤x1) sendo x0 e x1 negativos.
Exemplo: p(-1,65≤X≤-0,85)
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
Relleno 3
x(t)=-0.85 , y(t)=t
x(t)=-1.65 , y(t)=t
x(t)=1.65 , y(t)=t
x(t)=0.85 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x=1,65x=0,85
p(-1,65≤X≤-0,85) p(0,85≤X≤1,65)
![Page 60: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/60.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Solución: Empregando a simetría par da función de densidade vemos que p(-1,65≤X≤-0,85)=p(0,85≤X ≤1,65)= de acordo co caso 5 =0.1482
![Page 61: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/61.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Caso 7: p(x0≤X≤x1) sendo x0 negativo e x1 positivo.
Exemplo: p(-1,65≤X≤0,85)
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
x(t)=-1.65 , y(t)=t
x(t)=0.85 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x=-1,65 x=0,85
p(-1,65≤X≤0,85)
![Page 62: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/62.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Solución: De forma similar ó caso 5 p(-1,65≤X≤0,85)=p(X≤0,85)-p(X ≤-1,65)
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
Relleno 3
x(t)=-1.65 , y(t)=t
x(t )=0.85 , y(t )=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x=-1,65 x=0,85
p(-1,65≤X≤0,85)
Relleno vermello --- p(X≤0,85)Relleno verde ------- p(X≤-1,65)
![Page 63: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/63.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
A partir deste punto estamos nos casos 1 e 2 p(-1,65≤X≤0,85)=p(X≤0,85)-p(X ≤-1,65)= =p(X ≤0,85)-p(X≥1,65)= =p(X ≤0,85)-(1-p(X ≤ 1,65))= =0,8023-1+0,9505=0,7528
![Page 64: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/64.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Problema inverso:
Caso 1: A probabilidade está na táboa.Exemplo : Calcula x0 se p(X≤x0)=0,8186
Solución: Mirando na táboa a probabilidade 0,8186 corresponde a fila 0,9 e a columna 0,01 polo tanto x0=0,9+0,01=0,91
![Page 65: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/65.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
x(t)=0.91 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x0
p(X≤x0)=0,8186
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
![Page 66: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/66.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
![Page 67: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/67.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
Caso 2: A probabilidade non está na táboa.Exemplo : Calcula x0 se p(X≤x0)=0,2981
Solución: Como a probabilidade non está na táboa, e ademais é menor de 0,5, deducimos que x0 é un número negativo.
![Page 68: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/68.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 2
Relleno 3
x(t)=-0.53 , y(t)=t
x(t)=0.53 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
x0 -x0
p(X≤x0)=0,2981 p(X≥-x0)=0,2981
![Page 69: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/69.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
p(X≤x0)=p(X≥-x0)=1-p(X≤-x0)=0,2981 sendo –x0 positivo Polo tanto p(X≤-x0)=1-0,2981=0,7019
![Page 70: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/70.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
Relleno 3
Relleno 4
x(t)=0.53 , y(t )=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
-x0
p(X≥-x0)=0,2981
p(X≤-x0)=0,7019
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
![Page 71: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/71.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.
A táboa dinos que : –x0=0,53 é dicir: x0=-0,53
![Page 72: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/72.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.
Tipificación da variable: É evidente que non se poden construír táboas similares á da N(0,1) para todos os tipos posibles de distribucións N(μ,σ) pois μ e σ toman infinitos valores. A mellor opción é transformar a variable X que segue unha distribución N(μ,σ) noutra variable Z que segue unha distribución N(0,1). Esta transformación recibe o nome de tipificación da variable.
![Page 73: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/73.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.
Haberá que realizar dous pasos:•Centrar: Trasladar a media da distribución á orixe de coordenadas•Reducir a desviación típica a 1. É dicir, dilatar ou contraer a gráfica da distribución para que coincida coa lei estándar. Estes dous pasos conséguense simultaneamente co seguinte cambio de variable:
σµ−= XZ
![Page 74: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/74.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.
Na seguinte gráfica vemos os dous pasos da tipificación.f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))
f(x)=1/(0.5*sqr(2*pi))*e^((-1/2)*((x-3)^2/0.5^2))
f(x)=1/(0.5*sqr(2*pi))*e^((-1/2)*((x/0.5)^2))
f(x)=0.04
f(x)=0.01x+0.035
f(x)=-0.01x+0.045
x(t)=0.3 , y(t )=t
f(x)=0.01x+0.017
f(x)=-0.01x+0.023
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
x
y
N(0,1)
N(3,0.5)
N(0,0.5)
Centrar: X-μ
Reducir a desviación típica a 1 (X-μ)/σ
![Page 75: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/75.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.
Exemplo: O peso das troitas dunha piscifactoría segue unha lei N(200,50). Extráese unha ao azar:
•Cal é a probabilidade de que o seu peso non exceda os 175 gr?.•Cal é a probabilidade de que o seu peso exceda os 370 gr?.•Cal é a probabilidade de que o seu peso estea comprendido entre 225 e 275 gr?.
![Page 76: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/76.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.
![Page 77: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/77.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.
Cal é a probabilidade de que o seu peso non exceda os 175 gr?.
A nosa variable aleatoria é X=“peso da troita” que segue unha distribución N(200,50). Pídennos p(X≤175), como dita normal non está tabulada debemos tipificala para poder empregar as táboas da N(0,1).
![Page 78: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/78.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.
0.30850.6915-1
0.5)p(Z-10.5)p(Z-0.5)p(Z
==
=≤=≥=≤
( )-0,5Zp50
20017550200-Xp175)p(X ≤=
−≤=≤
sendo Z unha variable que segue unha distribución N(0,1)
![Page 79: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/79.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.
Cal é a probabilidade de que o seu peso exceda os 370 gr?. Pídennos p(X>370); tipificamos para poder empregar as táboas da N(0,1).
( ) 0.00030.9997-13,4)p(Z-13,4Zp517Zp
50200-370
50200-Xp370)p(X
==≤=>=
=
>=
>=>
![Page 80: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/80.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.
Cal é a probabilidade de que o seu peso estea comprendido entre 225 e 275 gr?. Pídennos p(225≤X≤275); tipificamos para poder empregar as táboas da N(0,1).
( ) ( ) ( )0,2277
0,69150,91920.5Zp1,4Zp1,4Z0,5p50
20027550200X
50200-225p275)Xp(225
==−=≤−≤=≤≤=
=
−≤−≤=≤≤
![Page 81: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/81.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Consideremos as seguintes situacións:Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 5 veces” Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” X segue unha distribución binomial B(5, ½) que ten por media e desviación típica :
Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 10 veces” Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” X segue unha distribución binomial B(10, ½) que ten por media e desviación típica :
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
1,1221
215qpnσ
2,5215pnμ
=⋅⋅=⋅⋅=
=⋅=⋅=
1,5821
2110qpnσ
52110pnμ
=⋅⋅=⋅⋅=
=⋅=⋅=
![Page 82: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/82.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 20 veces” Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” X segue unha distribución binomial B(20, ½) que ten por media e desviación típica :
Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 30 veces” Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” X segue unha distribución binomial B(30, ½) que ten por media e desviación típica :
2,2421
2120qpnσ
102120pnμ
=⋅⋅=⋅⋅=
=⋅=⋅=
2,7321
2130qpnσ
152130pnμ
=⋅⋅=⋅⋅=
=⋅=⋅=
![Page 83: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/83.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Serie 1
Serie 2
Serie 3
Serie 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
x
y
B(5,1/2)
B(10,1/2)
B(20,1/2)
B(30,1/2)
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
Se representamos os polígonos de probabilidades destas distribucións obtemos:
![Page 84: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/84.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
Observamos que a medida que aumenta o número de probas, o polígono de probabilidades achégase á curva da distribución normal.
Para unha distribución B(n, ½), a media e a desviación típica veñen dadas por:
Cando o nº de probas n aumenta a distribución B(n, ½) achégase a unha distribución normal :
4n
21
21nqpnσ
2n
21npnμ
=⋅⋅=⋅⋅=
=⋅=⋅=
4n,
2nN
![Page 85: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/85.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
De MoivreDe Moivre demostrou que, baixo certas condicións, a distribución binomial B(n,p) se pode aproximar mediante a distribución normal
As condicións de aplicabilidade da aproximación de De Moivre son:
np≥5 e nq≥5
Nota : Canto maior sexa n e canto máis próximo sexa p a 0,5, tanto mellor será a aproximación realizada.
( )npqnp,N
![Page 86: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/86.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
Calculo de probabilidades puntuais.
Lembremos que unha distribución binomial corresponde a unha variable aleatoria discreta e, polo tanto, ten sentido calcular probabilidades puntuais. Por outra banda, a distribución normal corresponde a unha variable aleatoria continua e, polo tanto, non ten sentido calcular probabilidades puntuais, pois son todas nulas.
![Page 87: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/87.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
Como proceder para calcular unha probabilidade nunha distribución binomial cando aproximamos pola normal?
Consideraremos os valores da variable aleatoria discreta como marcas de clase de intervalos do seguinte xeito: ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )0,5aYpaXp
0,5aYpaXp0,5aY0,5apaXp
−≤=<+≤=≤
+<<−==
![Page 88: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/88.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
![Page 89: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/89.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
Exemplo:
O promedio de acertos no tiro á canastra dun xogador de baloncesto é do 73%. Se lanza 200 veces:Cal é a probabilidade de que enceste máis de 160 lanzamentos?Cal é a probabilidade de que enceste 160 veces?
![Page 90: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/90.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
O experimento aleatorio consiste en que o xogador tire 200 veces á canastra.
A variable aleatoria, en principio discreta, sería X=“nº de canastras encestadas”.
Dita variable aleatoria discreta segue unha distribución binomial B(200, 0,73).
O esquema da situación sería:
![Page 91: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/91.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
C F
C F
C F C F
C F
C F C F
C F C F C F C F C F C F C F C F
C FC FC FC F
C FC FC FC F
C FC FC FC F
C FC F
C FC F
C F
.
.
.
![Page 92: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/92.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
C=“conseguir canastra”F=“fallar o tiro”p(C)=0,73=pp(F)=0,27=qn=nº de probas=200
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
FC
F
C
F
. . .
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
F
C
FC
F
C
F
. . .
![Page 93: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/93.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
Como o número de probas é alto, podemos pensar en aproximar dita binomial a través dunha distribución normal. Vemos que se cumpren as condicións de aplicabilidade da aproximación de De Moivre:
Polo tanto a variable aleatoria discreta X pode aproximarse por unha variable aleatoria continua Y que segue unha distribución normal
5540,27200qn51460,73200pn
≥=⋅=⋅≥=⋅=⋅
( )6.27 , 146N)npqN(np, =
![Page 94: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/94.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
Cal é a probabilidade de que enceste máis de 160 lanzamentos?.
Sendo Z unha distribución normal N(0,1)
( ) ( )
( ) ( ) 0,01040,989612,31Zp12,31Zp6,27
146160,56,27
146Yp160,5Yp160Xp
=−=≤−=≥=
=
−≥−=≥=>
![Page 95: 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081603/559790301a28abb8368b47f6/html5/thumbnails/95.jpg)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.
Cal é a probabilidade de que enceste 160 veces?
( ) ( )
( ) ( ) ( )0,00540,98420,9896
2,15Zp2,31Zp2,31Z2,15p6,27
146160,56,27
146Y6,27
146159,5p
160,5Y159,5p160Xp
=−==≤−≤=≤≤=
=
−≤−≤−=
=≤≤==