8ewria sfalmatwn 2010users.auth.gr/paloura/8ewria sfalmatwn_2010_2pgs.pdf · 7 i 1 a x i 7 1 x...

Ε. Κ. Παλούρα 2010

of 33

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων

Πείραμα

Συστηματική παρατήρηση & μέτρηση φυσικών φαινομένων

Επαλήθευση απλών νόμων

Εκπαίδευση

στον υπολογισμό της «καλύτερης» τιμής μίας μέτρησης

και των σφαλμάτων.

στην κατασκευή γραφικών παραστάσεων

στην συγγραφή αναφοράς/εργασίας που περιγράφει το

πείραμα, τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα

συνοπτικά & περιεκτικά.

Η επιτυχία του πειράματος προϋποθέτει

Ακριβή & λεπτομερή προγραμματισμό του πειράματος

ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΟ ΣΠΙΤΙ ΠΡΙΝ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ

Προσεκτική καταγραφή της πειραματικής διαδικασίας &

των αποτελεσμάτων ΣΕ ΤΕΤΡΑΔΙΟ, χωρίς επεξεργασία &

εξομάλυνση

Καλή συνεργασία μεταξύ των μελών της ομάδος.


Page 2 of 33

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων

Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-X όπου x &

X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα.

Υπάρχουν 3 ειδών σφάλματα

Λάθη παρατηρητή

παράλλαξη

ρύθμιση του μηδενός στα όργανα

επιλογή ακατάλληλης κλίμακας ευαισθησίας

Τυχαία σφάλματα

προκαλούνται από άγνωστες και απρόβλεπτες

αστάθειες του πειραματικού συστήματος (π.χ.

μεταβολές θερμοκρασίας, τάσης δικτύου κλπ)

προκαλούν διασπορά στις μετρήσεις

αναιρούνται με επανάληψη των μετρήσεων ή/και

την κατάλληλη επεξεργασία των δεδομένων

N

xx i

i

Συστηματικά σφάλματα

προκαλούνται από κακή ρύθμιση οργάνων ή/και λανθασμένη

πειραματική διαδικασία


Page 3 of 33

μετατοπίζουν όλες τις μετρήσεις κατά το ίδιο Δx.

δύσκολα εντοπίζονται

Επίδραση των σφαλμάτων στις μετρήσεις

Τα τυχαία σφάλματα προκαλούν διασπορά

στις μετρήσεις

Τα συστηματικά σφάλματα, απουσία

τυχαίων, μετατοπίζουν κατά την ίδια

ποσότητα όλες τις μετρήσεις

Ο συνδυασμός συστηματικών & τυχαίων

σφαλμάτων προκαλεί διασπορά γύρω από

την μέση τιμή.

Πραγματική τιμή


Page 4 of 33

Παράδειγμα-Τυχαία σφάλματα

Πείραμα μέτρησης ροής (Q) Η2O σε t=4sec.

Αποτελέσματα α/α 1 2 3 4 5

V(cm3) 436.5 437.5 435.9 436.2 436.9

3i cm6.4365QQ

Διασπορά αποτελεσμάτων: 8.02

QQ minmax

Αποτέλεσμα: 3cm 8.06.4368.0Q

Πηγές σφαλμάτων

στο συγκεκριμένο

πείραμα:

σφάλματα στη χρονομέτρηση

σφάλματα στην ογκομέτρηση

μεταβολές πίεσης στο δίκτυο

Μία μέτρηση χαρακτηρίζεται από την ακρίβεια (precision) και

την ευστοχία /ορθότητά της (accuracy).

Μία μέτρηση είναι εύστοχη/ορθή (accurate) όταν είναι

απαλλαγμένη από συστηματικά σφάλματα δίνει αποτέλεσμα

κοντά στην πραγματική τιμή

Μία μέτρηση είναι ακριβής (precise) όταν οι μετρήσεις είναι

απαλλαγμένες από τυχαία σφάλματα


Page 5 of 33

εύστοχη μέτρηση : απαλλαγμένη από συστηματικά

σφάλματα δίνει αποτέλεσμα κοντά στην πραγματική

τιμή

ακριβής μέτρηση : οι μετρήσεις είναι απαλλαγμένες από

τυχαία σφάλματα

Τα πειραματικά αποτελέσματα παρουσιάζονται μαζί με

το σφάλμα που τα χαρακτηρίζει

Παράδειγμα : μέτρηση περιόδου εκκρεμούς από 2 φοιτητές :

Τ1=2,04±0,03 sec

T2=1.94±0.08 sec

Τα αποτελέσματα συμφωνούν ή όχι??

Ποια μέτρηση είναι πιο ακριβής??

Σημαντικά ψηφία

Όλα τα μη-μηδενικά ψηφία είναι σημαντικά, π.χ. ο

αριθμός 123,45 έχει 5 σημαντικά ψηφία.


Page 6 of 33

Τα μηδενικά που υπάρχουν μεταξύ μη-μηδενικών ψηφίων

είναι σημαντικά, π.χ. ο αριθμός 101,12 έχει 5 σημαντικά

ψηφία.

Τα μηδενικά που προηγούνται μη-μηδενικών ψηφίων δεν

είναι σημαντικά, π.χ. ο αριθμός 0.00012 έχει 2 σημαντικά

ψηφία: 1 & 2

Τα μηδενικά που έπονται του δεκαδικού κόμμα είναι

σημαντικά, π.χ. το 12.2300 έχει 6 σημαντικά ψηφία: 1, 2, 2,

3, 0 και 0. Αυτή η σύμβαση δηλώνει ότι η μέτρηση έχει

ακρίβεια 4 δεκαδικών.

Σε αριθμούς που δεν έχουν το κόμμα δεν είναι σαφές το

πόσα ψηφία είναι σημαντικά. Π.χ. ο αριθμός 1300 έχει 4

σημαντικά ή είναι στρογγυλευμένος στην πλησιέστερη

εκατοντάδα? Αντίθετα ο αριθμός 1300. Έχει 4 σημαντικά.

Παράδειγμα : Στρογγύλεμα σε 2 σημαντικά

12 300 12 000

13 13

0.00123 0.0012

0.1 0.10

0.02084 0.021

0.0125 0.012 (ή 0.013).


Page 7 of 33

Επιγραμματικά :

Σημαντικά είναι όλα τα ψηφία που διαβάζουμε από την κλίμακα

ενός οργάνου συν ένας αριθμός κατ’ εκτίμηση ψηφίων. Δηλαδή

το πλήθος των σημαντικών ψηφίων εξαρτάται από την ακρίβεια

του οργάνου.

Το τελευταίο σημαντικό ψηφίο στην τιμή μίας μέτρησης πρέπει

να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους (ή στην ίδια δεκαδική θέση) με

την αβεβαιότητα μίας μέτρησης.

Παράδειγμα

x=9.82 0,02385 m X x=9,82 0,02 m

υ=6051,78 30 m/s X υ=6050 30 m/s

Ζυγαριά ακριβείας 0,1gr 23.343 gr 23.3 gr

Η τιμή αντίστασης 450,010% 45045 Ω.

Πρόσθεση & αφαίρεση: το αποτέλεσμα έχει τόση ακρίβεια όση ο

προσθετέος με τη μικρότερη ακρίβεια.

Παράδειγμα:

123.56+12.351=135.911=135.91

123.56-12.3=11.26=111.26=111.3

Πολλαπλασιασμός & διαίρεση: ο αριθμός των σημαντικών

ψηφίων μετά το αποτέλεσμα των πράξεων ισούται προς αυτόν του

τελεστέου με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία.


Page 8 of 33

Παράδειγμα:

12 ms10x5.40.4512.5

2.2345tdv

m1026.67.625m66.62552.305.20tvd 2xxx

Αβεβαιότητα ή σφάλμα μίας μέτρησης: είναι η διαφορά μεταξύ

της σωστής τιμής και της τιμής που μετρούμε και εξαρτάται από τη

φύση του υπό μέτρηση μεγέθους.

Παραδείγματα

Μέτρηση μήκους με χάρακα που έχει υποδιαιρέσεις mm:

σφάλμα 0,5mm

Μέτρηση γωνίας με μοιρογνωμόνιο που έχει υποδιαιρέσεις σε

μοίρες: σφάλμα 0,5ο

Μέτρηση χρόνου με χρονόμετρο (χειροκίνητη λειτουργία):

σύνηθες σφάλμα 0,25s.

Μέτρηση ηλεκτρικών μεγεθών με αναλογικά ηλεκτρικά όργανα:

σύνηθες σφάλμα 3% της κλίμακας (μέγεθος που αντιστοιχεί σε

πλήρη απόκλιση της βελόνας).


Page 9 of 33

Σχετικό ή κλασματικό σφάλμα:

xx

Επί τοις εκατό σφάλμα : 100x

x

Παράγοντας βάρους των αποτελεσμάτων.

Εστω ότι εχουμε 2 σειρές μετρήσεων:

Σειρά Α x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7

7

1iiA x

71x

Σειρά Β: x8, x9, x10

10

8iiB x

31x

Ζητούμε τον μέσο όρο των αποτελεσμάτων των 2 σειρών

μετρήσεων:

10

1iix

101x ή BA x

103x

107x

αλλά BA xx21x

Ο Ax που προκύπτει από σύνολο 7 μετρήσεων έχει «μεγαλύτερο

βάρος» από τον Bx που προκύπτει από μόνον 3 μετρήσεις.


Page 10 of 33

Διάδοση / συνδυασμός σφαλμάτων

Το πρόβλημα: υπολογισμός του Z=Z(A,B,C…) από τις τιμές των

πρωτογενών μεγεθών που μετρούμε, δηλ. των Α, Β, C κλπ.

Πως υπολογίζουμε το σφάλμα ΔΖ από τα ΔΑ, ΔΒ, ΔC

κλπ???

Πως διαδίδονται/συνδυάζονται τα σφάλματα ΔΑ, ΔΒ, ΔC

κλπ ?

Παράδειγμα: υπολογισμός πυκνότητας κύβου όταν μετρούμε

πειραματικά την μάζα & τις διαστάσεις.

μέγεθος σφάλμα x=ABC Δx= 222 C x=AB ή B

Ax 22

xx

x=An

nxx

x=kA Δx=kΔΑ και

xx

x=kAB 22kx x=kAB ή

BAkx

22

xx

x=kAn

nxx

x=ln A

x

x=eA

xx


Page 11 of 33

Γενικές οδηγίες επί των σφαλμάτων

το σφάλμα δίδεται με 1 ή 2 σημαντικά ψηφία

σφάλματα σε διαφορές & αθροίσματα: αγνοήστε τα σφάλματα

που είναι μικρότερα του 1/3 του μεγίστου σφάλματος.

σφάλματα σε γινόμενα & πηλίκα: αγνοήστε τα σχετικά

σφάλματα xx που είναι μικρότερα του 1/3 του μεγίστου

σχετικού σφάλματος.

Ιδιαίτερη προσοχή όταν υπολογίζετε τη δύναμη μετρηθείσης

ποσότητας

Ιδιαίτερη προσοχή όταν μετράτε τη διαφορά περίπου ίσων

μεγεθών.

Υπολογισμός του διαδιδόμενου σφάλματος.

Add)A(ZZ

oA

...B,...)B,A(ZZ 22

22

2

Παράδειγμα 1

nZZA

AnAAnAAZ n

1n1nn


Page 12 of 33


Να υπολογίσετε τη διαφορά θ των γωνιών θ1 & θ2 που μετρήθηκαν

πειραματικά και βρέθηκαν ίσες προς: θ1=(73±3)ο, θ2=(65±3)ο,

αντίστοιχα.

Λύση

H θ=θ1-θ2 είναι της μορφής x=A-B 22 x

Επομένως 222

1

θ=(θ1-θ2)±Δθ=(73-65)± 22 33

θ=(8±4)ο

Προσοχή: το σφάλμα ανέχεται στο 50% του τελικού

αποτελέσματος πρέπει οι μετρήσεις να γίνουν με υψηλή ακρίβεια.


Να υπολογίσετε το σφάλμα στον υπολογισμό του όγκου κύβου με

ακμή l =(6±0.5)mm

Λύση 33 mm )216( VVlV

Η συνάρτηση είναι της μορφής AAn

xxkAx n

25.065.033

VV

ll

VV ΔV=0,25V=54 mm3

V=(216±54) mm3 ενώ το σφάλμα στην μέτρηση του μήκους

είναι 8% το διαδιδόμενο σφάλμα ανέρχεται στο 25% της

τελικής τιμής!!!!!!!!!!!! χρειάζεται μεγάλη ακρίβεια στις

μετρήσεις


Page 13 of 33

Ιστόγραμμα: γραφική απεικόνιση των αποτελεσμάτων που

δείχνει γραφικά την συχνότητα επανάληψης μίας τιμής.

Πείραμα : μέτρηση της μάζας μεταλλικού ελάσματος 24 φορές με

την ίδια ζυγαριά.

Αποτελέσματα : ποια είναι η επικρατούσα τιμή??

Μέτρηση της μάζας (gr) μεταλλικού ελάσματος

8,150 8.145 8.148 8.145

8.155 8.155 8.156 8.152

8.142 8.143 8.144 8.148

8.150 8.153 8.152 8.150

8.140 8.149 8.146 8.146

8.148 8.145 8.148 8.141

κατανομή : Το σύνολο

των μετρήσεων

Συχνότητα επανάληψης

(f):…

Παρατηρήσεις

Η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα επανάληψης είναι η 8,148

Οι τιμές που αποκλίνουν πολύ από αυτή την τιμή έχουν μικρή

συχνότητα επανάληψης.


Page 14 of 33

Κατασκευή ιστογράμματος

1. Βρίσκουμε το εύρος R των τιμών του συνόλου των xi (xmax-xmin)

2. Διαιρούμε το R σε αυθαίρετο /κατάλληλο αριθμό ισομήκων

διαστημάτων Rk : kRR

3. Βρίσκουμε τη συχνότητα επανάληψης fk των τιμών xk σε κάθε

διάστημα Rk : kfN

4. Γραφική παράσταση : xRk, yfk (συχνότητα επανάληψης)

Κανονική ή κωδωνοειδής κατανομή ή καμπύλη Gauss

Αύξηση του πλήθους των μετρήσεων ελάττωση του διαστήματος

R και συνεχής κατανομή τιμών

Η κανονική κατανομή είναι μία συνάρτηση πιθανότητας και

χαρακτηρίζεται από την μέση τιμή & την τυπική απόκλιση.

Βρίσκει πολύ εκτεταμένες εφαρμογές στη στατιστική, τις φυσικές

επιστήμες, την επεξεργασία εικόνας & σήματος & στις επιστήμες

της συμπεριφοράς (π.χ. ψυχολογία).


Page 15 of 33

H κανονική κατανομή δίνει την σχετική συχνότητα εμφάνισης

μίας τιμής xi και δίνεται από τη σχέση:

2

2i

s2xxexp

2s1)x(f όπου s είναι η τυπική απόκλιση.

Ιδιότητες της

Gaussian

συμμετρική γύρω από το x .

έχει μέγιστη τιμή στο x

τα σημεία καμπής εμφανίζονται σε sxx

Η κανονική κατανομή χαρακτηρίζεται από τη μέση τιμή

x και την τυπική απόκλιση s.

N

xx

N

1ii

1N

xxs

N

1i

2i

Η τυπική απόκλιση δίνει την ακρίβεια μίας μέτρησης που

ανήκει στην κατανομή και είναι μέτρο του εύρους της κατανομής

Αυξανομένου του s αυξάνει το εύρος της καμπύλης ή

όσο λιγότερο ακριβείς είναι οι μετρήσεις τόσο αυξάνει το s

και το εύρος της καμπύλης.


Page 16 of 33

Φυσική σημασία του s:

68.30% των μετρήσεων βρίσκονται εντός των ορίων sx

95.5% των μετρήσεων βρίσκονται εντός των ορίων s2x

Μεταβολή της κατανομής με την τυπική απόκλιση του συνόλου των

μετρήσεων

Επίσης ορίζονται:

Η αβεβαιότητα στον μέσο όρο: Nssx που μειώνεται

αργά ( N1 ) αυξανομένου του Ν.

Το αποτέλεσμα παρατίθεται ως : xs2x


Page 17 of 33

Το σχετικό σφάλμα στο μέσο όρο: xsr x

Το ποσοστιαίο σφάλμα: 100xs%r x


Page 18 of 33

Ασύμμετρες κατανομές

Αρνητική ασυμμετρία Θετική ασυμμετρία

Χαρακτηρίζονται από

Τον μέσο όρο (mean)

Την επικρατούσα τιμή (mode) μέγιστη συχνότητα

εμφάνισης

Τον median που χωρίζει την καμπύλη σε 2 ίσα εμβαδά.

Παράδειγμα: Η ασύμμετρη κατανομή βαθμών σε 3 διαφορετικές

τάξεις.


Page 19 of 33

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Για τις γραφικές παραστάσεις και την προσομοίωση των

αποτελεσμάτων προτιμούμε την ευθεία γραμμή διότι:

είναι εύκολος ο έλεγχος των αποκλίσεων από τη γραμμική

συμπεριφορά

είναι εύκολη η προέκταση σε περιοχές τιμών που δεν

μετρήθηκαν

είναι εύκολος ο προσδιορισμός της κλίσης & της τεταγμένης

επί την αρχή.

Εξίσωση ευθείας

10 axay

12

120 xx

yyxya

112

1211 x

xxyyya

Κλίση της ευθείας

Τεταγμένη επί την αρχή

0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

B(x2,y2)

A(x1,y1)

v=10t+5

t(sec)

x(cm)

x

y

0 2 4 6 8 100

1000

2000

3000

4000

5000

yx

A(6,1000)

X

Y


Page 20 of 33

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t(min)

u (k

m/m

in)

Σχήμα 1: Γραφική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου γιατο κινητό Κ που εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση

Παρουσίαση αποτελεσμάτων με τη μορφή γραφικών παραστάσεων

ανεξάρτητη μεταβλητή

ανεξάρτητημεταβλητή

άξονας τετμημένων

άξονας τεταγμένων

Πειραματικό σημείο μεσυντεταγμένες (x,y)

Error bars-γραμμέςσφάλματος

Καμπύλη y=f(x)

Τυπικόσφάλμαστο Μ.Ο.

Η θεωρία ελαχίστων τετραγώνων υπολογίζει την αναλυτική έκφραση της «καλύτερης» (πιο σωστής) ευθείας y=A+Bx που περιγράφει ομάδα δεδομένων (xi,yi).

iiii2

i yxxyxA

iiii yxyxB

Όπου 22 xx

Τα σφάλματα στην τεταγμένη επί την αρχή (σΑ) και την κλίση (σΒ) δίνονται από τις σχέσεις:

yA

2xyB

Το μέτρο της ποιότητας της προσομοίωσης σy (δηλ. του πόσο απέχουν τα πειραματικά σημεία από την ευθεία).

2iiy BxAy

2N1


Page 21 of 33

Χρησιμοποιούμε γραφικές παραστάσεις γιατί:

Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων είναι εποπτική

Ευκολότερη διατύπωση του νόμου που διέπει το φαινόμενο

Παράδειγμα

Η έκταση σύρματος Cu συναρτήσει της μάζας που το εκτείνει

m (kg) Δx (mm) m (kg) Δx (mm) 5.0 0.2 32.5 1.7 10.0 0.5 35.0 1.8 15.0 0.8 37.5 1.9 20.0 1.0 40.0 2.0 22.5 1.5 42.5 2.3 25.0 1.3 45.0 2.5 27.5 1.4 47.5 2.8 30.0 1.5 50.0 3.2

32.5 1.7

Ποιος νόμος διέπει το φαινόμενο?

Νόμος του Hook

kxF


Page 22 of 33

Οδηγίες για την κατασκευή γραφικών παραστάσεων.

Ονομασία αξόνων : σύμβολα & μονάδες

Κατάλληλη επιλογή περιοχής τιμών που καλύπτει ο κάθε

άξονας

Ευδιάκριτα σύμβολα

Η «καλύτερη ευθεία» ( ευθεία ελαχίστων τετραγώνων) είναι

ποιοτική και πρέπει να είναι ομαλή

Η ανεξάρτητη μεταβλητή κατά μήκος του άξονα x και η

εξηρτημένη κατά τον y.

Τα σφάλματα πρέπει να σημειώνονται επάνω στο σχήμα.


Page 23 of 33


Page 24 of 33


Page 25 of 33


Page 26 of 33

Μετασχηματισμός αξόνων:

Με κατάλληλη επιλογή της ανεξάρτητης & εξηρτημένης

μεταβλητής μετατροπή καμπύλης σε ευθεία ευκολότερος

έλεγχος αποκλίσεων.

Παραδείγματα

*** Ελεύθερη πτώση: 2o

2 s k

b xa y

***Κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο

sin1 t2 , όπου Α=σταθερά

b x ay


Page 27 of 33

Συναρτήσεις της μορφής

kxe Dy και kx10 Dy ημι-λογαριθμικοί άξονες.

Σχέσεις μετατροπής

kxe Dy x303.2kDlogylog

x a b y

kx10 Dy xkDy loglog

Παράδειγμα χρήσεως αξόνων log-log

X Y 0.058 0.24 0.108 0.62 0.150 1.00 0.228 1.88 5.9 247.7

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

0.01 0.10 1.00 10.00X

0

1

10

100

1000

Y

log(Y) = 1.50015 * log(X) + 2.84992logy=Alogx+B


Page 28 of 33

ΠΡΟΣΟΧΗ !!!!!!!!!!!!!! Θεωρία ελαχίστων τετραγώνων εξίσωση της ευθείας που

προσομοιώνει ακριβέστερα τις πειραματικές μας τιμές όταν

μετρούμε συναρτήσεις y=y(x).

Ιστόγραμμα: χρησιμοποιείται όταν έχουμε πολλές μετρήσεις για

ένα και μόνο φυσικό μέγεθος (π.χ. ταχύτητα αντίδρασης, .μήκος

ενός αντικειμένου κλπ). Προσοχή: στα δεδομένα αυτά δεν

μπορούμε να εφαρμόσουμε θεωρία ελαχίστων τετραγώνων.

Ημιλογαριθμικοί & λογαριθμικοί άξονες Επιλέγονται όταν οι

τιμές του x ή/και του y καλύπτουν πολλές τάξεις μεγέθους.. Κάθε

δύναμη του 10 αντιστοιχεί στο ίδιο μήκος του άξονα.

Παράδειγμα x 0.058 0.108 0.150 0.228 5.90

y 0.24 0.62 1.00 1.88 247.7


Page 29 of 33

Χιλιοστομετρικό χαρτί


Page 30 of 33

Λογαριθμικό Χαρτί (log-log)


Page 31 of 33

Ημιλογαριθμικό χαρτί (semi log)


Page 32 of 33


Page 33 of 33

Γραφική παράσταση σε ημιλογαριθμικό χαρτί

4 6 8 10 12 14 16

0.01

0.1

1

10

100

1000 A(x2, logy2)

A(x1, logy

1)

f(kH

z)

V (Volt)

1212

xxylogylogί

Γραφική παράσταση σε λογαριθμικό χαρτί

1 101

10

100

1000

B(logx2, logy2)

A(logx1, logy1)

Y

X

1212

xlogxlogylogylogί

8ewria sfalmatwn 2010users.auth.gr/paloura/8ewria sfalmatwn_2010_2pgs.pdf · 7 i 1 a x i 7 1 x...

Documents