9. Κεφάλαιο Τυρβώδες Αντιδρών Πεδίο Ροής · 2016-06-08 · 1 9....

30
1 9. Κεφάλαιο: Τυρβώδες Αντιδρών Πεδίο Ροής Σύνοψη Στα προηγούμενα κεφάλαια, εξετάσαμε τα χαρακτηριστικά φλογών, υπό στρωτή ροή των αντιδρώντων (στρωτές φλόγες-laminar flames), όπου η διεργασία της καύσης διέπεται από τη διάχυση και τη χημική κινητική. Όμως το κύριο ενδιαφέρον, λόγω πρακτικών εφαρμογών, ανακύπτει από τον τρόπο που εξελίσσεται το ούτως ή άλλως περίπλοκο φαινόμενο της καύσης υπό συνθήκες τυρβώδους ροής. Υπό τις συνθήκες αυτές, τα θεμελιώδη χαρακτηριστικά της φλόγας επηρεάζονται και καθορίζονται από τις πολύ γρήγορες και στοχαστικές διακυμάνσεις των διανυσμάτων της ταχύτητας στο χώρο και στο χρόνο. Στο παρόν κεφάλαιο θα περιγραφούν, καταρχήν, οι γενικές αρχές και μεθοδολογίες διατύπωσης των βασικών εξισώσεων που διέπουν το τυρβώδες αντιδρών πεδίο. Θα παρουσιαστούν οι κλίμακες χώρου και χρόνου που αναπτύσσονται στις τυρβώδεις φυσικοχημικές διεργασίες και θα περιγραφούν οι διαφορές και οι ιδιαιτερότητες των τυρβωδών φλογών προανάμειξης και διάχυσης. Επίσης, θα συζητηθούν μερικές διατυπώσεις για την ταχύτητα διάδοσης του τυρβώδους μετώπου της φλόγας και θα δοθούν μερικά στοιχεία για τη σταθεροποίηση των φλογών αυτών, σε υψηλούς αριθμούς Reynolds, σε πρακτικές εφαρμογές. Μια πλέον λεπτομερής και εκτενής περιγραφή του αντικειμένου δίνεται στις παρακάτω αναφορές: (Hinze, 1975· Bradshaw, 1978· Damköhler, 1940· Kuo & Acharaya, 2012· Libby & Williams, 1994· Peters, 1984· Poinsot & Veynante, 2001· Tennekes & Lumley, 1972). Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαια 3, 4, 5, 6 και 7

Upload: others

Post on 03-Feb-2020

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

1

9 Κεφάλαιο Τυρβώδες Αντιδρών Πεδίο Ροής Σύνοψη

Στα προηγούμενα κεφάλαια εξετάσαμε τα χαρακτηριστικά φλογών υπό στρωτή ροή των αντιδρώντων (στρωτές

φλόγες-laminar flames) όπου η διεργασία της καύσης διέπεται από τη διάχυση και τη χημική κινητική Όμως το

κύριο ενδιαφέρον λόγω πρακτικών εφαρμογών ανακύπτει από τον τρόπο που εξελίσσεται το ούτως ή άλλως

περίπλοκο φαινόμενο της καύσης υπό συνθήκες τυρβώδους ροής Υπό τις συνθήκες αυτές τα θεμελιώδη

χαρακτηριστικά της φλόγας επηρεάζονται και καθορίζονται από τις πολύ γρήγορες και στοχαστικές διακυμάνσεις

των διανυσμάτων της ταχύτητας στο χώρο και στο χρόνο Στο παρόν κεφάλαιο θα περιγραφούν καταρχήν οι

γενικές αρχές και μεθοδολογίες διατύπωσης των βασικών εξισώσεων που διέπουν το τυρβώδες αντιδρών πεδίο

Θα παρουσιαστούν οι κλίμακες χώρου και χρόνου που αναπτύσσονται στις τυρβώδεις φυσικοχημικές διεργασίες

και θα περιγραφούν οι διαφορές και οι ιδιαιτερότητες των τυρβωδών φλογών προανάμειξης και διάχυσης Επίσης

θα συζητηθούν μερικές διατυπώσεις για την ταχύτητα διάδοσης του τυρβώδους μετώπου της φλόγας και θα δοθούν

μερικά στοιχεία για τη σταθεροποίηση των φλογών αυτών σε υψηλούς αριθμούς Reynolds σε πρακτικές

εφαρμογές Μια πλέον λεπτομερής και εκτενής περιγραφή του αντικειμένου δίνεται στις παρακάτω αναφορές

(Hinze 1975 Bradshaw 1978 Damkoumlhler 1940 Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Tennekes amp Lumley 1972)

Προαπαιτούμενη γνώση

Κεφάλαια 3 4 5 6 και 7

2

91 Θεμελιώδεις Αρχές και Φυσική του Τυρβώδους Πεδίου

911 Γενικά Χαρακτηριστικά του Τυρβώδους Πεδίου

Ο λόγος για τον οποίο χρειάζεται να αντιμετωπίσουμε και να επιλύσουμε το πρόβλημα της τύρβης γενικά και

της τυρβώδους καύσης ειδικά γίνεται σαφής αν αναλογιστεί κανείς ότι όλα τα πεδία ροών πρακτικού

ενδιαφέροντος και φυσικά και αυτά που περιλαμβάνουν χημικές αντιδράσεις είναι τυρβώδη (Poinsot amp

Veynante 2001 Tennekes amp Lumley 1972 Williams 1985 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Peters

1993 Hinze 1975 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Echekki amp Mastorakos 2011) Το τυρβώδες

αντιδρών πεδίο αποτελεί ένα από τα πλέον δύσκολα επιστημονικά πεδία όσον αφορά την ανάλυση μέτρηση

και τον υπολογισμό του λόγω των πολυπληθών κλιμάκων χρόνου και χώρου που είναι απαραίτητο να

υπολογιστούν για την πλήρη αποτύπωση των φυσικοχημικών διεργασιών του πεδίου

Γενικά είναι δύσκολο να δοθεί ένας ακριβής ορισμός της τύρβης Αυτό που μπορεί να κάνει κανείς

είναι να περιγράψει την τυρβώδη ροή μέσα από κάποια γενικά χαρακτηριστικά (Tennekes amp Lumley 1972

Hinze 1975) Αυτά είναι

1 Η αταξία (irregularity) Είναι από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά Αυτό σημαίνει ότι ο

υπολογισμός του ροϊκού πεδίου με βάση τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι πολύ δύσκολος

Έτσι καταφεύγουμε στη βοήθεια της στατιστικής ανάλυσης

Η διαχυτότητα (diffusivity) Μέσω της χαοτικής κίνησης παρατηρείται έντονη ανάμειξη και

αυξημένες τυρβώδεις εγκάρσιες ροές ορμής θερμότητας και μάζας Ο υπολογισμός αυτών των

ροών είναι ο βασικός στόχος σε όλα σχεδόν τα τεχνικά προβλήματα

Ο μεγάλος αριθμός Reynolds Όλες οι τυρβώδεις ροές εμφανίζονται σε μεγάλους αριθμούς Re

Αυτό σημαίνει ότι η τυρβώδης ροή είναι αποτέλεσμα δυναμικής αστάθειας των παραπάνω

εξισώσεων

Οι τρισδιάστατες διακυμάνσεις στροβιλότητας (3-D vorticity structures) Η τύρβη είναι πάντα

τρισδιάστατη έστω και αν το πεδίο ροής είναι κατά βάση μονοδιάστατο ή δισδιάστατο Η

στροβιλότητα παίζει σημαντικό ρόλο στη δυναμική αστάθεια της ροής

Ο εκφυλισμός ή η απορρόφηση (dissipation) της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας (TKE

Τurbulence Κinetic Εnergy) Όπως το ιξώδες επενεργεί διαχυτικά με το να μετατρέπει κινητική

ενέργεια σε θερμότητα το ίδιο παρατηρείται με την τύρβη Αν η ροή δεν τροφοδοτείται

συνεχώς με μηχανική ενέργεια η ενέργεια της τύρβης εκφυλίζεται και στο τέλος μετατρέπεται

σε θερμότητα με επακόλουθο την εξαφάνιση (εκφυλισμό) της τύρβης

Το συνεχές πεδίο ροής (continuum) Η τύρβη είναι χαρακτηριστικό του πεδίου ροής και η

μικρότερη κλίμακα τύρβης είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτήν της μοριακής δομής του ρευστού

Η χαρακτηριστική ιδιότητα της ροής Η τύρβη είναι χαρακτηριστική ιδιότητα της ροής και όχι

του ρευστού και εμφανίζεται μόνον όταν υπάρχουν μη μηδενικές ταχύτητες στο ρευστό

δηλαδή όταν υπάρχει ροή υπό συγκεκριμένες συνθήκες

Αν και όπως αναφέρθηκε παραπάνω δεν είναι εύκολο να δοθεί ένας ακριβής ορισμός για την τύρβη σύμφωνα

με τον (Bradshaw 1978) laquoη τύρβη είναι μια χρονικά μεταβαλλόμενη ροή όπου η διάταση των δινοσωλήνων

(vortex stretching) δημιουργεί τρισδιάστατες διακυμάνσεις στην ταχύτητα Αυτές οι διακυμάνσεις

επεκτείνονται σε όλα τα μήκη κύματος μεταξύ ενός ελάχιστου το οποίο το προσδιορίζουν οι δυνάμεις της

συνεκτικότητας (ιξώδους) και ενός μέγιστου το οποίο το προσδιορίζουν οι οριακές συνθήκες της ροήςraquo

Η βασική διάκριση μεταξύ του στρωτού και του τυρβώδους πεδίου ροής είναι η χρονική συμπεριφορά

μιας διαταραχής ορισμένου πλάτους και συχνότητας που δημιουργείται μέσα στο πεδίο ροής Συγκεκριμένα

αν το πλάτος της τυχαίας διαταραχής που δημιουργείται μέσα στο πεδίο ροής (πχ λόγω τραχύτητας του

σωλήνα) ελαττώνεται με το χρόνο τότε πρόκειται περί στρωτής ροής Αν όμως το πλάτος της διαταραχής

αυξάνει με το χρόνο δείχνοντας έτσι ότι η αρχική διαταραχή (δηλαδή η αρχική αστάθεια της ροής) μπορεί να

αφαιρέσει από τη ροή κινητική ενέργεια και στη συνέχεια να δημιουργήσει και άλλες διαταραχές μικρότερου

πλάτους και διαφορετικής συχνότητας -ο μηχανισμός αυτός θα οδηγήσει σε τυρβώδη ροή αν βρισκόμαστε στη

μεταβατική περιοχή- τότε η ροή καλείται τυρβώδης

Το τυχαίο είναι ουσιώδες χαρακτηριστικό της τύρβης Μολονότι η ροή κυβερνάται από τις εξισώσεις

Navier-Stokes η επίδραση των οριακών συνθηκών εξαρτάται δραστικά από μικρο-διαταραχές Αυτό έχει ως

3

αποτέλεσμα την αδυναμία του προσδιορισμού του πεδίου ροής με ακρίβεια επί τη βάσει ορισμένων μόνιμων

οριακών συνθηκών Αυτό που με τη σειρά του επιβάλλει τη χρήση των μεθόδων της στατιστικής

Η στατιστική ανάλυση χρησιμοποιεί κατά κύριο λόγο δύο μεθόδους

Την εύρεση των μέσων τιμών διάφορων ποσοτήτων και των τυρβωδών διακυμάνσεων αυτών

Τη χρησιμοποίηση της Συνάρτησης της Πυκνότητας Πιθανότητας ΣΠΠ (Probability Density

Function ndash PDF)

Είναι ευνόητο λοιπόν ότι η αντιμετώπιση των χημικώς αντιδρωσών τυρβωδών ροών αποτελεί μια πρόκληση

λόγω των ανωτέρω χαρακτηριστικών Στις περιπτώσεις αυτές το τυρβώδες ροϊκό πεδίο είναι συζευγμένο με τη

χημική κινητική και πολλές φορές και με διφασική ροή

Υπάρχει όμως αμείωτο ενδιαφέρον για την επίλυση του τυρβώδους αντιδρώντος πεδίου λόγω της

ευρύτατης εφαρμογής του σε διάφορες τεχνικές εγκαταστάσεις οι οποίες εκτείνονται από πχ

αεριοστρόβιλους μέχρι σταθμούς παραγωγής ενέργειας και πυρκαγιές

Η τυρβώδης φλόγα αντίθετα με τη στρωτή συχνά συνοδεύεται από θόρυβο και γοργές διαταραχές των

ορίων της φλόγας Ενώ για τη στρωτή φλόγα η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας εξαρτάται μόνον

από τη σύνθεση (Φ) και τις ιδιότητες του ρευστού (ρ k μ D) η ταχύτητα διάδοσης της τυρβώδους φλόγας

εξαρτάται και από τις συνθήκες του τυρβώδους πεδίου

Μερικά επιπλέον χαρακτηριστικά τυρβωδών φλογών περιγράφονται συνοπτικά παρακάτω

(Damkoumlhler 1940 Bray amp Peters 1994 Karlovitz Denninston amp Wells 1951 Kuo amp Acharaya 2012

Klimov 1983 Peters 2000)

1 Η επιφάνεια της φλόγας είναι πολυσύνθετη και είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε τις διάφορες

επιφάνειες (πχ ένα μέτωπο φλόγας) που χρησιμοποιήσαμε για να χαρακτηρίσουμε τη στρωτή

φλόγα

2 Λόγω των αυξημένων ιδιοτήτων μεταφοράς (ρ cp μ D) η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτήν της στρωτής

3 Το ύψος της τυρβώδους φλόγας τύπου δέσμης (jet) είναι μικρότερο από αυτό της στρωτής για

την ίδια παροχή καυσίμου τον ίδιο λόγο αέρακαυσίμου και ίδιας διατομής καυστήρα Αυτό

που φαίνεται με σύγκριση φωτογραφιών των φλογών είναι ότι για μια συγκεκριμένη ταχύτητα

το ύψος της φλόγας μειώνεται καθώς αυξάνει η ένταση της τύρβης

4 Σε αντίθεση με τη στρωτή φλόγα η ζώνη αντίδρασης είναι αρκετά παχύτερη

5 Η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους φλόγας ST αυξάνει καθώς αυξάνει ο

αριθμός Reynolds Re

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τις εξισώσεις που διέπουν την τυρβώδη μεταφορά σε χημικώς ή μη αντιδρώντα

ροϊκά συστήματα και τις μεθόδους απλοποίησης και εύρεσης λύσης για τις εξισώσεις αυτές

912 Εξισώσεις Navier-Stokes Μέσες Τιμές του Πεδίου Ροής Τάσεις Reynolds και Εξισώσεις

Τυρβώδους Μεταφοράς

9121 Εξισώσεις Navier-Stokes

Όπως έχει ήδη συζητηθεί στο Κεφάλαιο 4 οι εξισώσεις που διέπουν και την τυρβώδη ροή είναι οι εξισώσεις

Navier-Stokes Για να απλοποιήσουμε τη θεώρηση θα αναφερθούμε καταρχήν σε ασυμπίεστο ρευστό Το

πρόβλημα θα γενικευτεί ακόμη περισσότερο με άρση των παραπάνω παραδοχών στη συνέχεια Οι εξισώσεις

που περιγράφουν το φαινόμενο είναι οι εξισώσεις Navier-Stokes (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975

Bradshaw 1978 Spalding 1955) οι οποίες εκφράζουν τη διατήρηση της ορμής του ρευστού υπό μορφή

τανυστή στις τρεις κατευθύνσεις ix με αντίστοιχες ταχύτητες

iu

i

i

u0

x

4

(91)

όπου ij είναι ο τανυστής των τάσεων όπως δίνεται στο Κεφάλαιο 4 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για το

ij από το Κεφάλαιο 4 οι εξισώσεις Navier-Stokes γίνονται

(92)

όπου i i iu u (x t)

ip p(x t) k =συγκέντρωση του k συστατικού (k=12hellipΝs)

k i(f ) είναι η πεδιακή

δύναμη που ασκείται στο k συστατικό στις διευθύνσεις i = 1 2 3 και sN

k k i

k 1

iB ρ (Y f )

είναι η συνολική

πεδιακή δύναμη που ασκείται στο μείγμα στις τρεις διευθύνσεις

Οι εξισώσεις διατήρησης της ορμής είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού ως προς τις

χωρικές συντεταγμένες και παραβολικές πρώτου βαθμού ως προς τη χρονική συντεταγμένη Για τη μελέτη ενός

χημικά αντιδρώντος ή μη τυρβώδους πεδίου ροής απαιτείται η επίλυση του συστήματος των τριών αυτών

εξισώσεων μαζί με την εξίσωση της συνέχειας στο χώρο και στο χρόνο

Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η απευθείας επίλυση του συστήματος αυτού με τις κατάλληλες

οριακές και αρχικές συνθήκες (i 0 iu u (x t)

0 ip p (x t) ) είναι δύσκολο να επιτευχθεί είτε με αναλυτικές

είτε με αριθμητικές μεθόδους

Γενικά η λύση του συστήματος των εξισώσεων είναι αδύνατη με αναλυτικές μεθόδους και είναι

αναγκαίο να προσπαθήσουμε να επιλύσουμε το σύστημα με αριθμητικές μεθόδους Η εξέλιξη ηλεκτρονικών

υπολογιστών μεγάλης ταχύτητας και χωρητικότητας από τη μια πλευρά και η ανάπτυξη εξελιγμένων μοντέλων

προσομοίωσης της τύρβης μας έχει επιτρέψει να κάνουμε μεγάλες προόδους προς την κατεύθυνση της

αριθμητικής επίλυσης (Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Hinze 1975 Bradshaw 1978

Spalding 1955)

Η αριθμητική επίλυση του συστήματος απαιτεί την αντικατάσταση των μερικών παραγώγων με

αλγεβρικές διαφορές σε διακεκριμένα αριθμητικά σημεία (δηλαδή κόμβους ενός πλέγματος) με τα οποία

καλύπτουμε το πεδίο ροής Ας υποθέσουμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα ροϊκό πεδίο με τυπικές χωρικές

διαστάσεις ddd Είναι γνωστό από πειράματα ότι μέσα στο πεδίο ροής υπάρχουν μικρο-στρόβιλοι (που

εμπεριέχονται και εκφράζονται από τον όρο iu t ) τυπικής διάστασης ή κλίμακας 310 d Για να

αντιπροσωπευτεί καθένας από αυτούς τους μικρο-στροβίλους αριθμητικά στο συγκεκριμένο ροiumlκό πεδίο

πρέπει να τοποθετηθούν μέσα στη χωρική διάσταση κάθε μικρο-στροβίλου ( 310 d) κάποια σημεία κόμβων

ενός επιλεγμένου πλέγματος και οπωσδήποτε κατrsquo ελάχιστον ένας κόμβος Άρα στον τυπικό όγκο

ενδιαφέροντος dsup3 χρειάζεται να τοποθετήσουμε 109 τουλάχιστον αριθμητικούς κόμβους (103 κόμβοι για κάθε

διάσταση σε έναν κύβο διάστασης d3) Στα προβλήματα με χημικές αντιδράσεις έχουμε δε έναν μεγάλο αριθμό

αγνώστων όπως iu p

k σταγονίδια κλπ (πρβ και Κεφάλαιο 4) και κατά συνέπεια χρειαζόμαστε μνήμη

υπολογιστή τουλάχιστον 10 με 20 x 1015 words Οι υπολογιστές που υπάρχουν σήμερα έχουν χωρητικότητα

μνήμης της τάξης του 1010 words (Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Law 2006 Echekki amp Mastorakos

2011) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι και η απευθείας αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes και

ιδιαίτερα για πολυ-συστατικά αντιδρώντα συστήματα είναι αδύνατη τουλάχιστον για τα περισσότερα

προβλήματα πρακτικού ή τεχνικού ενδιαφέροντος και θα παραμείνει αδύνατη για αρκετά χρόνια ακόμη

Παρόλα αυτά ο μηχανικός πρέπει να βρει λύση στα διάφορα προβλήματα γιατί όπως είναι φανερό

πρέπει να σχεδιάσει έναν καυστήρα έναν εναλλάκτη έναν θάλαμο καύσης αεροστροβίλου μια μηχανή

εσωτερικής καύσης ή να βρει τρόπους να ελέγξει τη ρύπανση του περιβάλλοντος η οποία προέρχεται από τις

ανωτέρω μηχανές ή ακόμη και να ελέγξει ανεπιθύμητα φαινόμενα καύσης όπως οι πυρκαγιές Έτσι λοιπόν

αναγκάζεται να προσφύγει σε λύσεις που εμπεριέχουν διαφορετικά επίπεδα προσεγγίσεων

s

iji ij k k i

j i j k 1

u u pu f

t x x x

i

i

u0

x

2 Ns

i i ij k k2 i

j i k 1j

u u u1 pu Y f

t x x x

5

9122 Μια Προσέγγιση στο Πρόβλημα - οι Τάσεις Reynolds

Οι δίνες που υπάρχουν μέσα στο πεδίο ροής των οποίων η κίνηση περιγράφεται από τις μη μόνιμες (χρονο-

εξαρτώμενες) εξισώσεις Navier-Stokes έχουν τυπικές συχνότητες της τάξεως των 100 Hz δηλαδή μια τυπική

κλίμακα χρόνου για τις μικρο-δίνες είναι η teddy=10-3-10-2 sec Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές ο μηχανικός

όμως δεν ενδιαφέρεται για χρονικές μεταβολές των ποσοτήτων iu p Υi κλπ σε μια διάρκεια 210 sec τυπική

χρονική κλίμακα των τυρβωδών δινο-στροβίλων αλλά σε πολλαπλάσια κλίμακα χρόνου Έτσι καταφεύγει στην

απλοποίηση των εξισώσεων Navier-Stokes μεταβάλλοντας το εύρος των χρονικών και χωρικών κλιμάκων των

φαινομένων που εμπεριέχονται στις εξισώσεις εφόσον και δεν ενδιαφερόμαστε για τη μικρο-δομή του πεδίου

ροής αλλά ικανοποιούμεθα με τις μέσες τιμές ταχύτητας πίεσης τάσεων και μετάδοσης θερμότητας και μάζας

Σε ένα οποιοδήποτε σημείο του τυρβώδους πεδίου η στιγμιαία ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο

όπως δείχνει το Σχήμα 91 Για να μπορέσει να γίνει μια αντιμετώπιση των εξισώσεων διατήρησης για

τυρβώδεις χημικά αντιδρώσες ή μη ροές είναι συνηθισμένο να αναλύουμε τις στιγμιαίες ποσότητες σε μέσες

και διακυμαινόμενες όπως φαίνεται στο Σχήμα 91 (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Bradshaw 1978

Spalding 1955 Peters 1984 Law 2006 Poinsot amp Veynante 2001)

Σχήμα 91 Μεταβολή στιγμιαίας ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου

Στην κλασική μέθοδο λήψης των χρονικά μέσων τιμών κατά Reynolds (Χρονικό Μέσο ndash ΧΜ ή ΧΜ Reynolds

ή XMR)η μέση τιμή μιας ποσότητας s ορίζεται ως (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

(93)

Το XMR είναι χρήσιμο μόνον όταν είναι ανεξάρτητο του 0t Σrsquo αυτήν την περίπτωση οι μέσες τιμές καλούνται

στατιστικά μόνιμες (Σχήμα 91) Στην παραπάνω εξίσωση η έννοια του Δt είναι σχετική και σημαίνει ότι ο

χρόνος ολοκλήρωσης είναι πάρα πολύ μεγάλος σε σχέση με τη χρονική κλίμακα μεταβολής των δινών του

πεδίου ροής (πχ teddy=210 sec άρα Δtrarrinfin αν διαλέξουμε χρονική περίοδο ολοκλήρωσης Δt=100 sec)

Είναι δυνατόν ακόμη και για Δtrarrinfin (πχ Δt=100 sec) η χρονική κλίμακα για την οποία ο μηχανικός

ενδιαφέρεται να πάρει αποτελέσματα να είναι κατά πολύ μεγαλύτερη του χρόνου Δt στον οποίο λαμβάνεται η

μέση τιμή της συνάρτησης s Οπότε μπορεί να γραφεί γενικά ότι

(94)

όπου

(95)

Για στατιστικά μόνιμες μέσες ροές η ποσότητα s μπορεί να αναλυθεί ως

0

0

t t

tt

1s lim s t dt

t

i i is x t s x s x t

0

0

t t

tt

1s lim s dt 0

t

6

(96)

και γενικά έχουμε για τις ποσότητες ενδιαφέροντος

(97)

(98)

(99)

(910)

(911)

Επιπλέον αν s και g είναι δύο εξαρτημένες μεταβλητές και αν r υποδηλώνει οποιαδήποτε από τις ανεξάρτητες

μεταβλητές x y z t τότε ο κανόνας λήψης του XMR απαιτεί ότι

(912)

(913)

(914)

(915)

(916)

και οι εξισώσεις διατήρησης μπορεί να εκφραστούν συναρτήσει των μέσων τιμών των διακυμάνσεων και των

συσχετισμών αυτών των ποσοτήτων Η εξίσωση της συνέχειας είναι

(917)

Η εξίσωση της ορμής (για ασυμπίεστο ρευστό) επίσης γράφεται

(918)

όπου ο όρος i ju u καλείται φαινομενική τάση ή τάση Reynolds

Στη συνέχεια παρατίθεται η ανωτέρω εξίσωση σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

x-διεύθυνση

(919)

y-διεύθυνση

(920)

i i is x t s x s x t

i i i i i iu x t u x u x t

i i ip x t p x p x t

i i ix t x x t

i i ih x t h x h x t

i i iT x t T x T x t

s s

s g s g

sg sg

sg sg s g

ds ds

dr dr

sdr sdr

i i

i i

u u0

t x x

i i ij i j i

j i j j

u u upu u u B

t x x x x

2 2

x

u u u u p u u v u wu v w u

t x y z x x y z

2 2

y

v v v v p u v v v wu v w v

t x y z y x y z

7

z-διεύθυνση

(921)

οι δε συνιστώσες του τανυστή των τάσεων Reynolds είναι

(922)

Οι μέσες ταχύτητες της τυρβώδους ροής εκφράζονται από τις ίδιες εξισώσεις όπως στη στρωτή ροή αλλά οι

συνολικές τάσεις θα πρέπει τώρα να αυξηθούν κατά το ποσό των επιπρόσθετων τυρβωδών τάσεων (στρωτές +

τυρβώδεις) Οι παραπάνω εξισώσεις διατήρησης του τυρβώδους ορμικού πεδίου αν και είναι φαινομενικά ίδιες

με τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι σημαντικά απλούστερες γιατί έχουν πολύ μεγαλύτερη χρονική κλίμακα

μεταβολής Δυστυχώς όμως η απλούστευση αυτή οδήγησε στην εισαγωγή των νέων αγνώστων των τυρβωδών

τάσεων Reynolds λόγω της μη γραμμικότητας των αρχικών εξισώσεων Για να επιλύσουμε τώρα το πεδίο ροής

χρειαζόμαστε πληροφορίες και για τις τάσεις Reynolds και ειδικότερα για το μέγεθος των διαταραχών της

διακύμανσης (root mean square) της ταχύτητας i iu x t καθώς και των στατιστικών συσχετίσεών τους

i j(u u )

δηλαδή χρειαζόμαστε γνώση των χαρακτηριστικών των τυρβωδών παραμέτρων της ροής

Οι τάσεις Reynolds σε τυρβώδεις ροές είναι σημαντικότερες και μεγαλύτερες από τις συνεκτικές

τάσεις όπως θα καταδειχτεί παρακάτω και η επίδρασή τους κυριαρχεί στη διαμόρφωση των χαρακτηριστικών

του πεδίου ροής (πχ στους ρυθμούς μεταφοράς ορμής θερμότητας και μάζαςσυστατικών)

9123 Η Τάξη Μεγέθους των Τάσεων Reynolds

Η σημασία των τάσεων Reynolds στη διαμόρφωση των πεδίων ροής γίνεται εμφανής αν συγκριθούν με τις

αντίστοιχες διατμητικές τάσεις του ρευστού που οφείλονται στη συνεκτικότητά του (το ιξώδες) δηλαδή αν

εκτιμηθεί ο παρακάτω λόγος (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Law 2006)

(923)

Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε τυρβώδη ροή σε σωλήνα διαμέτρου D Η τάξη μεγέθους του όρου

(924)

είναι

(925)

Η τάξη μεγέθους των τυπικών διαταραχών της ταχύτητας iu στη ροή (από πειράματα) είναι

22

z

w w w w p u w v w wu v w w

t x y z z x y z

2

xx xy xz

2xy yy yz

2xz yz zz

u u v u w

u v v v w

u w v w w

i j

ji

j i

u uά Reynolds

έ ά ώuu

x x

ji

j i

uu

x x

ji

j i

uu uO

x x D

8

(926)

Συνεπώς 2i ju u 001 u

και έτσι έχουμε

(927)

οπότε για Rege2500 (ένα κριτήριο για να έχουμε τυρβώδη ροή σε αγωγό) τότε προκύπτει ότι οι τάσεις Reynolds

είναι τουλάχιστον μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις συνήθεις διατμητικές τάσεις που οφείλονται στη

συνεκτικότητα του ρευστού Γιrsquo αυτό για πλήρως τυρβώδη ροή πολλές φορές ο όρος i

j

u

x

στις εξισώσεις

Reynolds αγνοείται ως πολύ μικρός Η διαδικασία λήψης του ΧΜR έχει βέβαια και τα εξής μειονεκτήματα

(Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012 Spalding 1955 Hinze 1975)

Στην εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ένας επιπλέον όρος ο οποίος

χρειάζεται να υπολογιστεί ή να μοντελοποιηθεί

Αυτός ο όρος υπονοεί ότι υπάρχει μια μέση συναλλαγή μάζας διά μέσου

μιας μέσης ροϊκής γραμμής κάτι που αντίκειται στη συνήθη θεώρηση της μέσης ροϊκής

γραμμής

Οι περισσότεροι αισθητήρες δειγματοληψίας πχ θερμοκρασίας ή συστατικών μετρούν τιμές

που προσεγγίζουν μέσες κατά μάζα τιμές και όχι χρονικά μέσες τιμές

Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά πολύ απλούστερες όταν το μέσο ληφθεί ως προς τη

μάζα κατά Favre (Μαζικό Μέσο ndash ΜΜ Favre ή ΜΜF) (Bray amp Peters 1994 Libby amp

Williams 1994 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Peters 2000)

Μπορούμε να ορίσουμε μια μέση κάτα μάζα (κατά Favre) ταχύτητα ως

(928)

και η στιγμιαία ταχύτητα μπορεί να γραφεί τώρα ως

(929)

όπου i iu x t είναι η υπερτιθέμενη διακύμανση της ταχύτητας και όπου τώρα

(930)

όμοια δε ορίζονται και οι άλλες ποσότητες Αποδεικνύεται τέλος ότι η σχέση μεταξύ του ΧΜR και του ΜΜF

μιας οποιασδήποτε ποσότητας f είναι

(931)

9124 Οι Μέσες Κατά Μάζα Εξισώσεις Διατήρησης και Μεταφοράς

2i j

ji

j i

u u001u uD

001 001ReuuuD

x x

ii

uu

i i i i i iu x t u x u x t

i i iu u u

iu 0

f f f f

iOu 01u

j

j

ux

9

Επειδή οι πιο συνήθεις μεθοδολογίες μέτρησης των τυρβωδών ποσοτήτων στην καύση μετράνε κυρίως χρονικά

μέσους (ΧΜR) συσχετισμούς τυρβωδών διακυμάνσεων όπως πχ η ανεμομετρία θερμού νήματος τα χρονικά

μέσα θα διατηρηθούν για τον τανυστή των τάσεων και το διάνυσμα της ροής θερμότητας και της μάζας

Παρακάτω παραθέτουμε τις εξισώσεις διατήρησης και μεταφοράς για το πεδίο ταχυτήτων ενθαλπίας και

συστατικών με λήψη του μέσου κατά Favre ΜΜF (Bray amp Peters 1994 Libby amp Williams 1994 Spalding

1955 Kuo 2002 Peters 2000 Williams 1985 Borghi 1988 Law 2006)

Εξίσωση της συνέχειας

(932)

Εξίσωση της ορμής

(933)

Εξίσωση της ενέργειας

(934)

Η φυσική ερμηνεία των παραπάνω όρων είναι

μέσος ρυθμός μεταβολής της ενέργειαςενθαλπίας h ανά μονάδα όγκου και χρόνου

έργο πίεσης που οφείλεται στη μακροσκοπική κίνηση

έργο που οφείλεται στην τύρβη

μεταφορά θερμότητας μέσω αγωγής

τυρβώδης διάχυση της ενέργειας

απορρόφησηεκφυλισμός ενέργειας που οφείλεται στη μοριακή τριβή

H εξίσωση της διατήρησης της μάζας του k συστατικού βασισμένη στο ΜΜF (κατά Favre) γράφεται

(935)

Συμπληρωματικά παρατίθεται και η εξίσωση της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας TKE 1i j2

k u u που

περιγράφει τη μέση τιμή της διακυμαινόμενης κινητικής ενέργειας των δινών ανά μονάδα μάζας (Peters 2000

Libby amp Williams 1994 Bray amp Peters 1994 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012)

(936)

Η φυσική σημασία των παραπάνω όρων είναι

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τύρβης

Κινητική ενέργεια των διαταραχών που μεταδίδεται διά συναγωγής από τις διαταραχές

(δηλαδή διάχυση της ενέργειας των διαταραχών)

jj

u 0t x

i i j ij i j

j i j

pu u u u u

t x x x

i ij j j j j ij ij

j j j j j jIV V

I II III VI

u u p p ph h u u u q h u

t x t x x x x x

k kk k i k i k k

i i i i i

Y YY Y u D Y u D MW

t x x x x x

ik i1 1i i k i i i i i k2 2

k i k k

I II III IV V

uD pu u u u u u u u u

Dt x x x x

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

2

91 Θεμελιώδεις Αρχές και Φυσική του Τυρβώδους Πεδίου

911 Γενικά Χαρακτηριστικά του Τυρβώδους Πεδίου

Ο λόγος για τον οποίο χρειάζεται να αντιμετωπίσουμε και να επιλύσουμε το πρόβλημα της τύρβης γενικά και

της τυρβώδους καύσης ειδικά γίνεται σαφής αν αναλογιστεί κανείς ότι όλα τα πεδία ροών πρακτικού

ενδιαφέροντος και φυσικά και αυτά που περιλαμβάνουν χημικές αντιδράσεις είναι τυρβώδη (Poinsot amp

Veynante 2001 Tennekes amp Lumley 1972 Williams 1985 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Peters

1993 Hinze 1975 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Echekki amp Mastorakos 2011) Το τυρβώδες

αντιδρών πεδίο αποτελεί ένα από τα πλέον δύσκολα επιστημονικά πεδία όσον αφορά την ανάλυση μέτρηση

και τον υπολογισμό του λόγω των πολυπληθών κλιμάκων χρόνου και χώρου που είναι απαραίτητο να

υπολογιστούν για την πλήρη αποτύπωση των φυσικοχημικών διεργασιών του πεδίου

Γενικά είναι δύσκολο να δοθεί ένας ακριβής ορισμός της τύρβης Αυτό που μπορεί να κάνει κανείς

είναι να περιγράψει την τυρβώδη ροή μέσα από κάποια γενικά χαρακτηριστικά (Tennekes amp Lumley 1972

Hinze 1975) Αυτά είναι

1 Η αταξία (irregularity) Είναι από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά Αυτό σημαίνει ότι ο

υπολογισμός του ροϊκού πεδίου με βάση τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι πολύ δύσκολος

Έτσι καταφεύγουμε στη βοήθεια της στατιστικής ανάλυσης

Η διαχυτότητα (diffusivity) Μέσω της χαοτικής κίνησης παρατηρείται έντονη ανάμειξη και

αυξημένες τυρβώδεις εγκάρσιες ροές ορμής θερμότητας και μάζας Ο υπολογισμός αυτών των

ροών είναι ο βασικός στόχος σε όλα σχεδόν τα τεχνικά προβλήματα

Ο μεγάλος αριθμός Reynolds Όλες οι τυρβώδεις ροές εμφανίζονται σε μεγάλους αριθμούς Re

Αυτό σημαίνει ότι η τυρβώδης ροή είναι αποτέλεσμα δυναμικής αστάθειας των παραπάνω

εξισώσεων

Οι τρισδιάστατες διακυμάνσεις στροβιλότητας (3-D vorticity structures) Η τύρβη είναι πάντα

τρισδιάστατη έστω και αν το πεδίο ροής είναι κατά βάση μονοδιάστατο ή δισδιάστατο Η

στροβιλότητα παίζει σημαντικό ρόλο στη δυναμική αστάθεια της ροής

Ο εκφυλισμός ή η απορρόφηση (dissipation) της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας (TKE

Τurbulence Κinetic Εnergy) Όπως το ιξώδες επενεργεί διαχυτικά με το να μετατρέπει κινητική

ενέργεια σε θερμότητα το ίδιο παρατηρείται με την τύρβη Αν η ροή δεν τροφοδοτείται

συνεχώς με μηχανική ενέργεια η ενέργεια της τύρβης εκφυλίζεται και στο τέλος μετατρέπεται

σε θερμότητα με επακόλουθο την εξαφάνιση (εκφυλισμό) της τύρβης

Το συνεχές πεδίο ροής (continuum) Η τύρβη είναι χαρακτηριστικό του πεδίου ροής και η

μικρότερη κλίμακα τύρβης είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτήν της μοριακής δομής του ρευστού

Η χαρακτηριστική ιδιότητα της ροής Η τύρβη είναι χαρακτηριστική ιδιότητα της ροής και όχι

του ρευστού και εμφανίζεται μόνον όταν υπάρχουν μη μηδενικές ταχύτητες στο ρευστό

δηλαδή όταν υπάρχει ροή υπό συγκεκριμένες συνθήκες

Αν και όπως αναφέρθηκε παραπάνω δεν είναι εύκολο να δοθεί ένας ακριβής ορισμός για την τύρβη σύμφωνα

με τον (Bradshaw 1978) laquoη τύρβη είναι μια χρονικά μεταβαλλόμενη ροή όπου η διάταση των δινοσωλήνων

(vortex stretching) δημιουργεί τρισδιάστατες διακυμάνσεις στην ταχύτητα Αυτές οι διακυμάνσεις

επεκτείνονται σε όλα τα μήκη κύματος μεταξύ ενός ελάχιστου το οποίο το προσδιορίζουν οι δυνάμεις της

συνεκτικότητας (ιξώδους) και ενός μέγιστου το οποίο το προσδιορίζουν οι οριακές συνθήκες της ροήςraquo

Η βασική διάκριση μεταξύ του στρωτού και του τυρβώδους πεδίου ροής είναι η χρονική συμπεριφορά

μιας διαταραχής ορισμένου πλάτους και συχνότητας που δημιουργείται μέσα στο πεδίο ροής Συγκεκριμένα

αν το πλάτος της τυχαίας διαταραχής που δημιουργείται μέσα στο πεδίο ροής (πχ λόγω τραχύτητας του

σωλήνα) ελαττώνεται με το χρόνο τότε πρόκειται περί στρωτής ροής Αν όμως το πλάτος της διαταραχής

αυξάνει με το χρόνο δείχνοντας έτσι ότι η αρχική διαταραχή (δηλαδή η αρχική αστάθεια της ροής) μπορεί να

αφαιρέσει από τη ροή κινητική ενέργεια και στη συνέχεια να δημιουργήσει και άλλες διαταραχές μικρότερου

πλάτους και διαφορετικής συχνότητας -ο μηχανισμός αυτός θα οδηγήσει σε τυρβώδη ροή αν βρισκόμαστε στη

μεταβατική περιοχή- τότε η ροή καλείται τυρβώδης

Το τυχαίο είναι ουσιώδες χαρακτηριστικό της τύρβης Μολονότι η ροή κυβερνάται από τις εξισώσεις

Navier-Stokes η επίδραση των οριακών συνθηκών εξαρτάται δραστικά από μικρο-διαταραχές Αυτό έχει ως

3

αποτέλεσμα την αδυναμία του προσδιορισμού του πεδίου ροής με ακρίβεια επί τη βάσει ορισμένων μόνιμων

οριακών συνθηκών Αυτό που με τη σειρά του επιβάλλει τη χρήση των μεθόδων της στατιστικής

Η στατιστική ανάλυση χρησιμοποιεί κατά κύριο λόγο δύο μεθόδους

Την εύρεση των μέσων τιμών διάφορων ποσοτήτων και των τυρβωδών διακυμάνσεων αυτών

Τη χρησιμοποίηση της Συνάρτησης της Πυκνότητας Πιθανότητας ΣΠΠ (Probability Density

Function ndash PDF)

Είναι ευνόητο λοιπόν ότι η αντιμετώπιση των χημικώς αντιδρωσών τυρβωδών ροών αποτελεί μια πρόκληση

λόγω των ανωτέρω χαρακτηριστικών Στις περιπτώσεις αυτές το τυρβώδες ροϊκό πεδίο είναι συζευγμένο με τη

χημική κινητική και πολλές φορές και με διφασική ροή

Υπάρχει όμως αμείωτο ενδιαφέρον για την επίλυση του τυρβώδους αντιδρώντος πεδίου λόγω της

ευρύτατης εφαρμογής του σε διάφορες τεχνικές εγκαταστάσεις οι οποίες εκτείνονται από πχ

αεριοστρόβιλους μέχρι σταθμούς παραγωγής ενέργειας και πυρκαγιές

Η τυρβώδης φλόγα αντίθετα με τη στρωτή συχνά συνοδεύεται από θόρυβο και γοργές διαταραχές των

ορίων της φλόγας Ενώ για τη στρωτή φλόγα η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας εξαρτάται μόνον

από τη σύνθεση (Φ) και τις ιδιότητες του ρευστού (ρ k μ D) η ταχύτητα διάδοσης της τυρβώδους φλόγας

εξαρτάται και από τις συνθήκες του τυρβώδους πεδίου

Μερικά επιπλέον χαρακτηριστικά τυρβωδών φλογών περιγράφονται συνοπτικά παρακάτω

(Damkoumlhler 1940 Bray amp Peters 1994 Karlovitz Denninston amp Wells 1951 Kuo amp Acharaya 2012

Klimov 1983 Peters 2000)

1 Η επιφάνεια της φλόγας είναι πολυσύνθετη και είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε τις διάφορες

επιφάνειες (πχ ένα μέτωπο φλόγας) που χρησιμοποιήσαμε για να χαρακτηρίσουμε τη στρωτή

φλόγα

2 Λόγω των αυξημένων ιδιοτήτων μεταφοράς (ρ cp μ D) η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτήν της στρωτής

3 Το ύψος της τυρβώδους φλόγας τύπου δέσμης (jet) είναι μικρότερο από αυτό της στρωτής για

την ίδια παροχή καυσίμου τον ίδιο λόγο αέρακαυσίμου και ίδιας διατομής καυστήρα Αυτό

που φαίνεται με σύγκριση φωτογραφιών των φλογών είναι ότι για μια συγκεκριμένη ταχύτητα

το ύψος της φλόγας μειώνεται καθώς αυξάνει η ένταση της τύρβης

4 Σε αντίθεση με τη στρωτή φλόγα η ζώνη αντίδρασης είναι αρκετά παχύτερη

5 Η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους φλόγας ST αυξάνει καθώς αυξάνει ο

αριθμός Reynolds Re

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τις εξισώσεις που διέπουν την τυρβώδη μεταφορά σε χημικώς ή μη αντιδρώντα

ροϊκά συστήματα και τις μεθόδους απλοποίησης και εύρεσης λύσης για τις εξισώσεις αυτές

912 Εξισώσεις Navier-Stokes Μέσες Τιμές του Πεδίου Ροής Τάσεις Reynolds και Εξισώσεις

Τυρβώδους Μεταφοράς

9121 Εξισώσεις Navier-Stokes

Όπως έχει ήδη συζητηθεί στο Κεφάλαιο 4 οι εξισώσεις που διέπουν και την τυρβώδη ροή είναι οι εξισώσεις

Navier-Stokes Για να απλοποιήσουμε τη θεώρηση θα αναφερθούμε καταρχήν σε ασυμπίεστο ρευστό Το

πρόβλημα θα γενικευτεί ακόμη περισσότερο με άρση των παραπάνω παραδοχών στη συνέχεια Οι εξισώσεις

που περιγράφουν το φαινόμενο είναι οι εξισώσεις Navier-Stokes (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975

Bradshaw 1978 Spalding 1955) οι οποίες εκφράζουν τη διατήρηση της ορμής του ρευστού υπό μορφή

τανυστή στις τρεις κατευθύνσεις ix με αντίστοιχες ταχύτητες

iu

i

i

u0

x

4

(91)

όπου ij είναι ο τανυστής των τάσεων όπως δίνεται στο Κεφάλαιο 4 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για το

ij από το Κεφάλαιο 4 οι εξισώσεις Navier-Stokes γίνονται

(92)

όπου i i iu u (x t)

ip p(x t) k =συγκέντρωση του k συστατικού (k=12hellipΝs)

k i(f ) είναι η πεδιακή

δύναμη που ασκείται στο k συστατικό στις διευθύνσεις i = 1 2 3 και sN

k k i

k 1

iB ρ (Y f )

είναι η συνολική

πεδιακή δύναμη που ασκείται στο μείγμα στις τρεις διευθύνσεις

Οι εξισώσεις διατήρησης της ορμής είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού ως προς τις

χωρικές συντεταγμένες και παραβολικές πρώτου βαθμού ως προς τη χρονική συντεταγμένη Για τη μελέτη ενός

χημικά αντιδρώντος ή μη τυρβώδους πεδίου ροής απαιτείται η επίλυση του συστήματος των τριών αυτών

εξισώσεων μαζί με την εξίσωση της συνέχειας στο χώρο και στο χρόνο

Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η απευθείας επίλυση του συστήματος αυτού με τις κατάλληλες

οριακές και αρχικές συνθήκες (i 0 iu u (x t)

0 ip p (x t) ) είναι δύσκολο να επιτευχθεί είτε με αναλυτικές

είτε με αριθμητικές μεθόδους

Γενικά η λύση του συστήματος των εξισώσεων είναι αδύνατη με αναλυτικές μεθόδους και είναι

αναγκαίο να προσπαθήσουμε να επιλύσουμε το σύστημα με αριθμητικές μεθόδους Η εξέλιξη ηλεκτρονικών

υπολογιστών μεγάλης ταχύτητας και χωρητικότητας από τη μια πλευρά και η ανάπτυξη εξελιγμένων μοντέλων

προσομοίωσης της τύρβης μας έχει επιτρέψει να κάνουμε μεγάλες προόδους προς την κατεύθυνση της

αριθμητικής επίλυσης (Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Hinze 1975 Bradshaw 1978

Spalding 1955)

Η αριθμητική επίλυση του συστήματος απαιτεί την αντικατάσταση των μερικών παραγώγων με

αλγεβρικές διαφορές σε διακεκριμένα αριθμητικά σημεία (δηλαδή κόμβους ενός πλέγματος) με τα οποία

καλύπτουμε το πεδίο ροής Ας υποθέσουμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα ροϊκό πεδίο με τυπικές χωρικές

διαστάσεις ddd Είναι γνωστό από πειράματα ότι μέσα στο πεδίο ροής υπάρχουν μικρο-στρόβιλοι (που

εμπεριέχονται και εκφράζονται από τον όρο iu t ) τυπικής διάστασης ή κλίμακας 310 d Για να

αντιπροσωπευτεί καθένας από αυτούς τους μικρο-στροβίλους αριθμητικά στο συγκεκριμένο ροiumlκό πεδίο

πρέπει να τοποθετηθούν μέσα στη χωρική διάσταση κάθε μικρο-στροβίλου ( 310 d) κάποια σημεία κόμβων

ενός επιλεγμένου πλέγματος και οπωσδήποτε κατrsquo ελάχιστον ένας κόμβος Άρα στον τυπικό όγκο

ενδιαφέροντος dsup3 χρειάζεται να τοποθετήσουμε 109 τουλάχιστον αριθμητικούς κόμβους (103 κόμβοι για κάθε

διάσταση σε έναν κύβο διάστασης d3) Στα προβλήματα με χημικές αντιδράσεις έχουμε δε έναν μεγάλο αριθμό

αγνώστων όπως iu p

k σταγονίδια κλπ (πρβ και Κεφάλαιο 4) και κατά συνέπεια χρειαζόμαστε μνήμη

υπολογιστή τουλάχιστον 10 με 20 x 1015 words Οι υπολογιστές που υπάρχουν σήμερα έχουν χωρητικότητα

μνήμης της τάξης του 1010 words (Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Law 2006 Echekki amp Mastorakos

2011) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι και η απευθείας αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes και

ιδιαίτερα για πολυ-συστατικά αντιδρώντα συστήματα είναι αδύνατη τουλάχιστον για τα περισσότερα

προβλήματα πρακτικού ή τεχνικού ενδιαφέροντος και θα παραμείνει αδύνατη για αρκετά χρόνια ακόμη

Παρόλα αυτά ο μηχανικός πρέπει να βρει λύση στα διάφορα προβλήματα γιατί όπως είναι φανερό

πρέπει να σχεδιάσει έναν καυστήρα έναν εναλλάκτη έναν θάλαμο καύσης αεροστροβίλου μια μηχανή

εσωτερικής καύσης ή να βρει τρόπους να ελέγξει τη ρύπανση του περιβάλλοντος η οποία προέρχεται από τις

ανωτέρω μηχανές ή ακόμη και να ελέγξει ανεπιθύμητα φαινόμενα καύσης όπως οι πυρκαγιές Έτσι λοιπόν

αναγκάζεται να προσφύγει σε λύσεις που εμπεριέχουν διαφορετικά επίπεδα προσεγγίσεων

s

iji ij k k i

j i j k 1

u u pu f

t x x x

i

i

u0

x

2 Ns

i i ij k k2 i

j i k 1j

u u u1 pu Y f

t x x x

5

9122 Μια Προσέγγιση στο Πρόβλημα - οι Τάσεις Reynolds

Οι δίνες που υπάρχουν μέσα στο πεδίο ροής των οποίων η κίνηση περιγράφεται από τις μη μόνιμες (χρονο-

εξαρτώμενες) εξισώσεις Navier-Stokes έχουν τυπικές συχνότητες της τάξεως των 100 Hz δηλαδή μια τυπική

κλίμακα χρόνου για τις μικρο-δίνες είναι η teddy=10-3-10-2 sec Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές ο μηχανικός

όμως δεν ενδιαφέρεται για χρονικές μεταβολές των ποσοτήτων iu p Υi κλπ σε μια διάρκεια 210 sec τυπική

χρονική κλίμακα των τυρβωδών δινο-στροβίλων αλλά σε πολλαπλάσια κλίμακα χρόνου Έτσι καταφεύγει στην

απλοποίηση των εξισώσεων Navier-Stokes μεταβάλλοντας το εύρος των χρονικών και χωρικών κλιμάκων των

φαινομένων που εμπεριέχονται στις εξισώσεις εφόσον και δεν ενδιαφερόμαστε για τη μικρο-δομή του πεδίου

ροής αλλά ικανοποιούμεθα με τις μέσες τιμές ταχύτητας πίεσης τάσεων και μετάδοσης θερμότητας και μάζας

Σε ένα οποιοδήποτε σημείο του τυρβώδους πεδίου η στιγμιαία ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο

όπως δείχνει το Σχήμα 91 Για να μπορέσει να γίνει μια αντιμετώπιση των εξισώσεων διατήρησης για

τυρβώδεις χημικά αντιδρώσες ή μη ροές είναι συνηθισμένο να αναλύουμε τις στιγμιαίες ποσότητες σε μέσες

και διακυμαινόμενες όπως φαίνεται στο Σχήμα 91 (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Bradshaw 1978

Spalding 1955 Peters 1984 Law 2006 Poinsot amp Veynante 2001)

Σχήμα 91 Μεταβολή στιγμιαίας ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου

Στην κλασική μέθοδο λήψης των χρονικά μέσων τιμών κατά Reynolds (Χρονικό Μέσο ndash ΧΜ ή ΧΜ Reynolds

ή XMR)η μέση τιμή μιας ποσότητας s ορίζεται ως (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

(93)

Το XMR είναι χρήσιμο μόνον όταν είναι ανεξάρτητο του 0t Σrsquo αυτήν την περίπτωση οι μέσες τιμές καλούνται

στατιστικά μόνιμες (Σχήμα 91) Στην παραπάνω εξίσωση η έννοια του Δt είναι σχετική και σημαίνει ότι ο

χρόνος ολοκλήρωσης είναι πάρα πολύ μεγάλος σε σχέση με τη χρονική κλίμακα μεταβολής των δινών του

πεδίου ροής (πχ teddy=210 sec άρα Δtrarrinfin αν διαλέξουμε χρονική περίοδο ολοκλήρωσης Δt=100 sec)

Είναι δυνατόν ακόμη και για Δtrarrinfin (πχ Δt=100 sec) η χρονική κλίμακα για την οποία ο μηχανικός

ενδιαφέρεται να πάρει αποτελέσματα να είναι κατά πολύ μεγαλύτερη του χρόνου Δt στον οποίο λαμβάνεται η

μέση τιμή της συνάρτησης s Οπότε μπορεί να γραφεί γενικά ότι

(94)

όπου

(95)

Για στατιστικά μόνιμες μέσες ροές η ποσότητα s μπορεί να αναλυθεί ως

0

0

t t

tt

1s lim s t dt

t

i i is x t s x s x t

0

0

t t

tt

1s lim s dt 0

t

6

(96)

και γενικά έχουμε για τις ποσότητες ενδιαφέροντος

(97)

(98)

(99)

(910)

(911)

Επιπλέον αν s και g είναι δύο εξαρτημένες μεταβλητές και αν r υποδηλώνει οποιαδήποτε από τις ανεξάρτητες

μεταβλητές x y z t τότε ο κανόνας λήψης του XMR απαιτεί ότι

(912)

(913)

(914)

(915)

(916)

και οι εξισώσεις διατήρησης μπορεί να εκφραστούν συναρτήσει των μέσων τιμών των διακυμάνσεων και των

συσχετισμών αυτών των ποσοτήτων Η εξίσωση της συνέχειας είναι

(917)

Η εξίσωση της ορμής (για ασυμπίεστο ρευστό) επίσης γράφεται

(918)

όπου ο όρος i ju u καλείται φαινομενική τάση ή τάση Reynolds

Στη συνέχεια παρατίθεται η ανωτέρω εξίσωση σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

x-διεύθυνση

(919)

y-διεύθυνση

(920)

i i is x t s x s x t

i i i i i iu x t u x u x t

i i ip x t p x p x t

i i ix t x x t

i i ih x t h x h x t

i i iT x t T x T x t

s s

s g s g

sg sg

sg sg s g

ds ds

dr dr

sdr sdr

i i

i i

u u0

t x x

i i ij i j i

j i j j

u u upu u u B

t x x x x

2 2

x

u u u u p u u v u wu v w u

t x y z x x y z

2 2

y

v v v v p u v v v wu v w v

t x y z y x y z

7

z-διεύθυνση

(921)

οι δε συνιστώσες του τανυστή των τάσεων Reynolds είναι

(922)

Οι μέσες ταχύτητες της τυρβώδους ροής εκφράζονται από τις ίδιες εξισώσεις όπως στη στρωτή ροή αλλά οι

συνολικές τάσεις θα πρέπει τώρα να αυξηθούν κατά το ποσό των επιπρόσθετων τυρβωδών τάσεων (στρωτές +

τυρβώδεις) Οι παραπάνω εξισώσεις διατήρησης του τυρβώδους ορμικού πεδίου αν και είναι φαινομενικά ίδιες

με τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι σημαντικά απλούστερες γιατί έχουν πολύ μεγαλύτερη χρονική κλίμακα

μεταβολής Δυστυχώς όμως η απλούστευση αυτή οδήγησε στην εισαγωγή των νέων αγνώστων των τυρβωδών

τάσεων Reynolds λόγω της μη γραμμικότητας των αρχικών εξισώσεων Για να επιλύσουμε τώρα το πεδίο ροής

χρειαζόμαστε πληροφορίες και για τις τάσεις Reynolds και ειδικότερα για το μέγεθος των διαταραχών της

διακύμανσης (root mean square) της ταχύτητας i iu x t καθώς και των στατιστικών συσχετίσεών τους

i j(u u )

δηλαδή χρειαζόμαστε γνώση των χαρακτηριστικών των τυρβωδών παραμέτρων της ροής

Οι τάσεις Reynolds σε τυρβώδεις ροές είναι σημαντικότερες και μεγαλύτερες από τις συνεκτικές

τάσεις όπως θα καταδειχτεί παρακάτω και η επίδρασή τους κυριαρχεί στη διαμόρφωση των χαρακτηριστικών

του πεδίου ροής (πχ στους ρυθμούς μεταφοράς ορμής θερμότητας και μάζαςσυστατικών)

9123 Η Τάξη Μεγέθους των Τάσεων Reynolds

Η σημασία των τάσεων Reynolds στη διαμόρφωση των πεδίων ροής γίνεται εμφανής αν συγκριθούν με τις

αντίστοιχες διατμητικές τάσεις του ρευστού που οφείλονται στη συνεκτικότητά του (το ιξώδες) δηλαδή αν

εκτιμηθεί ο παρακάτω λόγος (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Law 2006)

(923)

Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε τυρβώδη ροή σε σωλήνα διαμέτρου D Η τάξη μεγέθους του όρου

(924)

είναι

(925)

Η τάξη μεγέθους των τυπικών διαταραχών της ταχύτητας iu στη ροή (από πειράματα) είναι

22

z

w w w w p u w v w wu v w w

t x y z z x y z

2

xx xy xz

2xy yy yz

2xz yz zz

u u v u w

u v v v w

u w v w w

i j

ji

j i

u uά Reynolds

έ ά ώuu

x x

ji

j i

uu

x x

ji

j i

uu uO

x x D

8

(926)

Συνεπώς 2i ju u 001 u

και έτσι έχουμε

(927)

οπότε για Rege2500 (ένα κριτήριο για να έχουμε τυρβώδη ροή σε αγωγό) τότε προκύπτει ότι οι τάσεις Reynolds

είναι τουλάχιστον μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις συνήθεις διατμητικές τάσεις που οφείλονται στη

συνεκτικότητα του ρευστού Γιrsquo αυτό για πλήρως τυρβώδη ροή πολλές φορές ο όρος i

j

u

x

στις εξισώσεις

Reynolds αγνοείται ως πολύ μικρός Η διαδικασία λήψης του ΧΜR έχει βέβαια και τα εξής μειονεκτήματα

(Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012 Spalding 1955 Hinze 1975)

Στην εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ένας επιπλέον όρος ο οποίος

χρειάζεται να υπολογιστεί ή να μοντελοποιηθεί

Αυτός ο όρος υπονοεί ότι υπάρχει μια μέση συναλλαγή μάζας διά μέσου

μιας μέσης ροϊκής γραμμής κάτι που αντίκειται στη συνήθη θεώρηση της μέσης ροϊκής

γραμμής

Οι περισσότεροι αισθητήρες δειγματοληψίας πχ θερμοκρασίας ή συστατικών μετρούν τιμές

που προσεγγίζουν μέσες κατά μάζα τιμές και όχι χρονικά μέσες τιμές

Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά πολύ απλούστερες όταν το μέσο ληφθεί ως προς τη

μάζα κατά Favre (Μαζικό Μέσο ndash ΜΜ Favre ή ΜΜF) (Bray amp Peters 1994 Libby amp

Williams 1994 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Peters 2000)

Μπορούμε να ορίσουμε μια μέση κάτα μάζα (κατά Favre) ταχύτητα ως

(928)

και η στιγμιαία ταχύτητα μπορεί να γραφεί τώρα ως

(929)

όπου i iu x t είναι η υπερτιθέμενη διακύμανση της ταχύτητας και όπου τώρα

(930)

όμοια δε ορίζονται και οι άλλες ποσότητες Αποδεικνύεται τέλος ότι η σχέση μεταξύ του ΧΜR και του ΜΜF

μιας οποιασδήποτε ποσότητας f είναι

(931)

9124 Οι Μέσες Κατά Μάζα Εξισώσεις Διατήρησης και Μεταφοράς

2i j

ji

j i

u u001u uD

001 001ReuuuD

x x

ii

uu

i i i i i iu x t u x u x t

i i iu u u

iu 0

f f f f

iOu 01u

j

j

ux

9

Επειδή οι πιο συνήθεις μεθοδολογίες μέτρησης των τυρβωδών ποσοτήτων στην καύση μετράνε κυρίως χρονικά

μέσους (ΧΜR) συσχετισμούς τυρβωδών διακυμάνσεων όπως πχ η ανεμομετρία θερμού νήματος τα χρονικά

μέσα θα διατηρηθούν για τον τανυστή των τάσεων και το διάνυσμα της ροής θερμότητας και της μάζας

Παρακάτω παραθέτουμε τις εξισώσεις διατήρησης και μεταφοράς για το πεδίο ταχυτήτων ενθαλπίας και

συστατικών με λήψη του μέσου κατά Favre ΜΜF (Bray amp Peters 1994 Libby amp Williams 1994 Spalding

1955 Kuo 2002 Peters 2000 Williams 1985 Borghi 1988 Law 2006)

Εξίσωση της συνέχειας

(932)

Εξίσωση της ορμής

(933)

Εξίσωση της ενέργειας

(934)

Η φυσική ερμηνεία των παραπάνω όρων είναι

μέσος ρυθμός μεταβολής της ενέργειαςενθαλπίας h ανά μονάδα όγκου και χρόνου

έργο πίεσης που οφείλεται στη μακροσκοπική κίνηση

έργο που οφείλεται στην τύρβη

μεταφορά θερμότητας μέσω αγωγής

τυρβώδης διάχυση της ενέργειας

απορρόφησηεκφυλισμός ενέργειας που οφείλεται στη μοριακή τριβή

H εξίσωση της διατήρησης της μάζας του k συστατικού βασισμένη στο ΜΜF (κατά Favre) γράφεται

(935)

Συμπληρωματικά παρατίθεται και η εξίσωση της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας TKE 1i j2

k u u που

περιγράφει τη μέση τιμή της διακυμαινόμενης κινητικής ενέργειας των δινών ανά μονάδα μάζας (Peters 2000

Libby amp Williams 1994 Bray amp Peters 1994 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012)

(936)

Η φυσική σημασία των παραπάνω όρων είναι

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τύρβης

Κινητική ενέργεια των διαταραχών που μεταδίδεται διά συναγωγής από τις διαταραχές

(δηλαδή διάχυση της ενέργειας των διαταραχών)

jj

u 0t x

i i j ij i j

j i j

pu u u u u

t x x x

i ij j j j j ij ij

j j j j j jIV V

I II III VI

u u p p ph h u u u q h u

t x t x x x x x

k kk k i k i k k

i i i i i

Y YY Y u D Y u D MW

t x x x x x

ik i1 1i i k i i i i i k2 2

k i k k

I II III IV V

uD pu u u u u u u u u

Dt x x x x

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

3

αποτέλεσμα την αδυναμία του προσδιορισμού του πεδίου ροής με ακρίβεια επί τη βάσει ορισμένων μόνιμων

οριακών συνθηκών Αυτό που με τη σειρά του επιβάλλει τη χρήση των μεθόδων της στατιστικής

Η στατιστική ανάλυση χρησιμοποιεί κατά κύριο λόγο δύο μεθόδους

Την εύρεση των μέσων τιμών διάφορων ποσοτήτων και των τυρβωδών διακυμάνσεων αυτών

Τη χρησιμοποίηση της Συνάρτησης της Πυκνότητας Πιθανότητας ΣΠΠ (Probability Density

Function ndash PDF)

Είναι ευνόητο λοιπόν ότι η αντιμετώπιση των χημικώς αντιδρωσών τυρβωδών ροών αποτελεί μια πρόκληση

λόγω των ανωτέρω χαρακτηριστικών Στις περιπτώσεις αυτές το τυρβώδες ροϊκό πεδίο είναι συζευγμένο με τη

χημική κινητική και πολλές φορές και με διφασική ροή

Υπάρχει όμως αμείωτο ενδιαφέρον για την επίλυση του τυρβώδους αντιδρώντος πεδίου λόγω της

ευρύτατης εφαρμογής του σε διάφορες τεχνικές εγκαταστάσεις οι οποίες εκτείνονται από πχ

αεριοστρόβιλους μέχρι σταθμούς παραγωγής ενέργειας και πυρκαγιές

Η τυρβώδης φλόγα αντίθετα με τη στρωτή συχνά συνοδεύεται από θόρυβο και γοργές διαταραχές των

ορίων της φλόγας Ενώ για τη στρωτή φλόγα η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας εξαρτάται μόνον

από τη σύνθεση (Φ) και τις ιδιότητες του ρευστού (ρ k μ D) η ταχύτητα διάδοσης της τυρβώδους φλόγας

εξαρτάται και από τις συνθήκες του τυρβώδους πεδίου

Μερικά επιπλέον χαρακτηριστικά τυρβωδών φλογών περιγράφονται συνοπτικά παρακάτω

(Damkoumlhler 1940 Bray amp Peters 1994 Karlovitz Denninston amp Wells 1951 Kuo amp Acharaya 2012

Klimov 1983 Peters 2000)

1 Η επιφάνεια της φλόγας είναι πολυσύνθετη και είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε τις διάφορες

επιφάνειες (πχ ένα μέτωπο φλόγας) που χρησιμοποιήσαμε για να χαρακτηρίσουμε τη στρωτή

φλόγα

2 Λόγω των αυξημένων ιδιοτήτων μεταφοράς (ρ cp μ D) η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτήν της στρωτής

3 Το ύψος της τυρβώδους φλόγας τύπου δέσμης (jet) είναι μικρότερο από αυτό της στρωτής για

την ίδια παροχή καυσίμου τον ίδιο λόγο αέρακαυσίμου και ίδιας διατομής καυστήρα Αυτό

που φαίνεται με σύγκριση φωτογραφιών των φλογών είναι ότι για μια συγκεκριμένη ταχύτητα

το ύψος της φλόγας μειώνεται καθώς αυξάνει η ένταση της τύρβης

4 Σε αντίθεση με τη στρωτή φλόγα η ζώνη αντίδρασης είναι αρκετά παχύτερη

5 Η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους φλόγας ST αυξάνει καθώς αυξάνει ο

αριθμός Reynolds Re

Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τις εξισώσεις που διέπουν την τυρβώδη μεταφορά σε χημικώς ή μη αντιδρώντα

ροϊκά συστήματα και τις μεθόδους απλοποίησης και εύρεσης λύσης για τις εξισώσεις αυτές

912 Εξισώσεις Navier-Stokes Μέσες Τιμές του Πεδίου Ροής Τάσεις Reynolds και Εξισώσεις

Τυρβώδους Μεταφοράς

9121 Εξισώσεις Navier-Stokes

Όπως έχει ήδη συζητηθεί στο Κεφάλαιο 4 οι εξισώσεις που διέπουν και την τυρβώδη ροή είναι οι εξισώσεις

Navier-Stokes Για να απλοποιήσουμε τη θεώρηση θα αναφερθούμε καταρχήν σε ασυμπίεστο ρευστό Το

πρόβλημα θα γενικευτεί ακόμη περισσότερο με άρση των παραπάνω παραδοχών στη συνέχεια Οι εξισώσεις

που περιγράφουν το φαινόμενο είναι οι εξισώσεις Navier-Stokes (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975

Bradshaw 1978 Spalding 1955) οι οποίες εκφράζουν τη διατήρηση της ορμής του ρευστού υπό μορφή

τανυστή στις τρεις κατευθύνσεις ix με αντίστοιχες ταχύτητες

iu

i

i

u0

x

4

(91)

όπου ij είναι ο τανυστής των τάσεων όπως δίνεται στο Κεφάλαιο 4 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για το

ij από το Κεφάλαιο 4 οι εξισώσεις Navier-Stokes γίνονται

(92)

όπου i i iu u (x t)

ip p(x t) k =συγκέντρωση του k συστατικού (k=12hellipΝs)

k i(f ) είναι η πεδιακή

δύναμη που ασκείται στο k συστατικό στις διευθύνσεις i = 1 2 3 και sN

k k i

k 1

iB ρ (Y f )

είναι η συνολική

πεδιακή δύναμη που ασκείται στο μείγμα στις τρεις διευθύνσεις

Οι εξισώσεις διατήρησης της ορμής είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού ως προς τις

χωρικές συντεταγμένες και παραβολικές πρώτου βαθμού ως προς τη χρονική συντεταγμένη Για τη μελέτη ενός

χημικά αντιδρώντος ή μη τυρβώδους πεδίου ροής απαιτείται η επίλυση του συστήματος των τριών αυτών

εξισώσεων μαζί με την εξίσωση της συνέχειας στο χώρο και στο χρόνο

Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η απευθείας επίλυση του συστήματος αυτού με τις κατάλληλες

οριακές και αρχικές συνθήκες (i 0 iu u (x t)

0 ip p (x t) ) είναι δύσκολο να επιτευχθεί είτε με αναλυτικές

είτε με αριθμητικές μεθόδους

Γενικά η λύση του συστήματος των εξισώσεων είναι αδύνατη με αναλυτικές μεθόδους και είναι

αναγκαίο να προσπαθήσουμε να επιλύσουμε το σύστημα με αριθμητικές μεθόδους Η εξέλιξη ηλεκτρονικών

υπολογιστών μεγάλης ταχύτητας και χωρητικότητας από τη μια πλευρά και η ανάπτυξη εξελιγμένων μοντέλων

προσομοίωσης της τύρβης μας έχει επιτρέψει να κάνουμε μεγάλες προόδους προς την κατεύθυνση της

αριθμητικής επίλυσης (Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Hinze 1975 Bradshaw 1978

Spalding 1955)

Η αριθμητική επίλυση του συστήματος απαιτεί την αντικατάσταση των μερικών παραγώγων με

αλγεβρικές διαφορές σε διακεκριμένα αριθμητικά σημεία (δηλαδή κόμβους ενός πλέγματος) με τα οποία

καλύπτουμε το πεδίο ροής Ας υποθέσουμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα ροϊκό πεδίο με τυπικές χωρικές

διαστάσεις ddd Είναι γνωστό από πειράματα ότι μέσα στο πεδίο ροής υπάρχουν μικρο-στρόβιλοι (που

εμπεριέχονται και εκφράζονται από τον όρο iu t ) τυπικής διάστασης ή κλίμακας 310 d Για να

αντιπροσωπευτεί καθένας από αυτούς τους μικρο-στροβίλους αριθμητικά στο συγκεκριμένο ροiumlκό πεδίο

πρέπει να τοποθετηθούν μέσα στη χωρική διάσταση κάθε μικρο-στροβίλου ( 310 d) κάποια σημεία κόμβων

ενός επιλεγμένου πλέγματος και οπωσδήποτε κατrsquo ελάχιστον ένας κόμβος Άρα στον τυπικό όγκο

ενδιαφέροντος dsup3 χρειάζεται να τοποθετήσουμε 109 τουλάχιστον αριθμητικούς κόμβους (103 κόμβοι για κάθε

διάσταση σε έναν κύβο διάστασης d3) Στα προβλήματα με χημικές αντιδράσεις έχουμε δε έναν μεγάλο αριθμό

αγνώστων όπως iu p

k σταγονίδια κλπ (πρβ και Κεφάλαιο 4) και κατά συνέπεια χρειαζόμαστε μνήμη

υπολογιστή τουλάχιστον 10 με 20 x 1015 words Οι υπολογιστές που υπάρχουν σήμερα έχουν χωρητικότητα

μνήμης της τάξης του 1010 words (Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Law 2006 Echekki amp Mastorakos

2011) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι και η απευθείας αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes και

ιδιαίτερα για πολυ-συστατικά αντιδρώντα συστήματα είναι αδύνατη τουλάχιστον για τα περισσότερα

προβλήματα πρακτικού ή τεχνικού ενδιαφέροντος και θα παραμείνει αδύνατη για αρκετά χρόνια ακόμη

Παρόλα αυτά ο μηχανικός πρέπει να βρει λύση στα διάφορα προβλήματα γιατί όπως είναι φανερό

πρέπει να σχεδιάσει έναν καυστήρα έναν εναλλάκτη έναν θάλαμο καύσης αεροστροβίλου μια μηχανή

εσωτερικής καύσης ή να βρει τρόπους να ελέγξει τη ρύπανση του περιβάλλοντος η οποία προέρχεται από τις

ανωτέρω μηχανές ή ακόμη και να ελέγξει ανεπιθύμητα φαινόμενα καύσης όπως οι πυρκαγιές Έτσι λοιπόν

αναγκάζεται να προσφύγει σε λύσεις που εμπεριέχουν διαφορετικά επίπεδα προσεγγίσεων

s

iji ij k k i

j i j k 1

u u pu f

t x x x

i

i

u0

x

2 Ns

i i ij k k2 i

j i k 1j

u u u1 pu Y f

t x x x

5

9122 Μια Προσέγγιση στο Πρόβλημα - οι Τάσεις Reynolds

Οι δίνες που υπάρχουν μέσα στο πεδίο ροής των οποίων η κίνηση περιγράφεται από τις μη μόνιμες (χρονο-

εξαρτώμενες) εξισώσεις Navier-Stokes έχουν τυπικές συχνότητες της τάξεως των 100 Hz δηλαδή μια τυπική

κλίμακα χρόνου για τις μικρο-δίνες είναι η teddy=10-3-10-2 sec Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές ο μηχανικός

όμως δεν ενδιαφέρεται για χρονικές μεταβολές των ποσοτήτων iu p Υi κλπ σε μια διάρκεια 210 sec τυπική

χρονική κλίμακα των τυρβωδών δινο-στροβίλων αλλά σε πολλαπλάσια κλίμακα χρόνου Έτσι καταφεύγει στην

απλοποίηση των εξισώσεων Navier-Stokes μεταβάλλοντας το εύρος των χρονικών και χωρικών κλιμάκων των

φαινομένων που εμπεριέχονται στις εξισώσεις εφόσον και δεν ενδιαφερόμαστε για τη μικρο-δομή του πεδίου

ροής αλλά ικανοποιούμεθα με τις μέσες τιμές ταχύτητας πίεσης τάσεων και μετάδοσης θερμότητας και μάζας

Σε ένα οποιοδήποτε σημείο του τυρβώδους πεδίου η στιγμιαία ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο

όπως δείχνει το Σχήμα 91 Για να μπορέσει να γίνει μια αντιμετώπιση των εξισώσεων διατήρησης για

τυρβώδεις χημικά αντιδρώσες ή μη ροές είναι συνηθισμένο να αναλύουμε τις στιγμιαίες ποσότητες σε μέσες

και διακυμαινόμενες όπως φαίνεται στο Σχήμα 91 (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Bradshaw 1978

Spalding 1955 Peters 1984 Law 2006 Poinsot amp Veynante 2001)

Σχήμα 91 Μεταβολή στιγμιαίας ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου

Στην κλασική μέθοδο λήψης των χρονικά μέσων τιμών κατά Reynolds (Χρονικό Μέσο ndash ΧΜ ή ΧΜ Reynolds

ή XMR)η μέση τιμή μιας ποσότητας s ορίζεται ως (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

(93)

Το XMR είναι χρήσιμο μόνον όταν είναι ανεξάρτητο του 0t Σrsquo αυτήν την περίπτωση οι μέσες τιμές καλούνται

στατιστικά μόνιμες (Σχήμα 91) Στην παραπάνω εξίσωση η έννοια του Δt είναι σχετική και σημαίνει ότι ο

χρόνος ολοκλήρωσης είναι πάρα πολύ μεγάλος σε σχέση με τη χρονική κλίμακα μεταβολής των δινών του

πεδίου ροής (πχ teddy=210 sec άρα Δtrarrinfin αν διαλέξουμε χρονική περίοδο ολοκλήρωσης Δt=100 sec)

Είναι δυνατόν ακόμη και για Δtrarrinfin (πχ Δt=100 sec) η χρονική κλίμακα για την οποία ο μηχανικός

ενδιαφέρεται να πάρει αποτελέσματα να είναι κατά πολύ μεγαλύτερη του χρόνου Δt στον οποίο λαμβάνεται η

μέση τιμή της συνάρτησης s Οπότε μπορεί να γραφεί γενικά ότι

(94)

όπου

(95)

Για στατιστικά μόνιμες μέσες ροές η ποσότητα s μπορεί να αναλυθεί ως

0

0

t t

tt

1s lim s t dt

t

i i is x t s x s x t

0

0

t t

tt

1s lim s dt 0

t

6

(96)

και γενικά έχουμε για τις ποσότητες ενδιαφέροντος

(97)

(98)

(99)

(910)

(911)

Επιπλέον αν s και g είναι δύο εξαρτημένες μεταβλητές και αν r υποδηλώνει οποιαδήποτε από τις ανεξάρτητες

μεταβλητές x y z t τότε ο κανόνας λήψης του XMR απαιτεί ότι

(912)

(913)

(914)

(915)

(916)

και οι εξισώσεις διατήρησης μπορεί να εκφραστούν συναρτήσει των μέσων τιμών των διακυμάνσεων και των

συσχετισμών αυτών των ποσοτήτων Η εξίσωση της συνέχειας είναι

(917)

Η εξίσωση της ορμής (για ασυμπίεστο ρευστό) επίσης γράφεται

(918)

όπου ο όρος i ju u καλείται φαινομενική τάση ή τάση Reynolds

Στη συνέχεια παρατίθεται η ανωτέρω εξίσωση σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

x-διεύθυνση

(919)

y-διεύθυνση

(920)

i i is x t s x s x t

i i i i i iu x t u x u x t

i i ip x t p x p x t

i i ix t x x t

i i ih x t h x h x t

i i iT x t T x T x t

s s

s g s g

sg sg

sg sg s g

ds ds

dr dr

sdr sdr

i i

i i

u u0

t x x

i i ij i j i

j i j j

u u upu u u B

t x x x x

2 2

x

u u u u p u u v u wu v w u

t x y z x x y z

2 2

y

v v v v p u v v v wu v w v

t x y z y x y z

7

z-διεύθυνση

(921)

οι δε συνιστώσες του τανυστή των τάσεων Reynolds είναι

(922)

Οι μέσες ταχύτητες της τυρβώδους ροής εκφράζονται από τις ίδιες εξισώσεις όπως στη στρωτή ροή αλλά οι

συνολικές τάσεις θα πρέπει τώρα να αυξηθούν κατά το ποσό των επιπρόσθετων τυρβωδών τάσεων (στρωτές +

τυρβώδεις) Οι παραπάνω εξισώσεις διατήρησης του τυρβώδους ορμικού πεδίου αν και είναι φαινομενικά ίδιες

με τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι σημαντικά απλούστερες γιατί έχουν πολύ μεγαλύτερη χρονική κλίμακα

μεταβολής Δυστυχώς όμως η απλούστευση αυτή οδήγησε στην εισαγωγή των νέων αγνώστων των τυρβωδών

τάσεων Reynolds λόγω της μη γραμμικότητας των αρχικών εξισώσεων Για να επιλύσουμε τώρα το πεδίο ροής

χρειαζόμαστε πληροφορίες και για τις τάσεις Reynolds και ειδικότερα για το μέγεθος των διαταραχών της

διακύμανσης (root mean square) της ταχύτητας i iu x t καθώς και των στατιστικών συσχετίσεών τους

i j(u u )

δηλαδή χρειαζόμαστε γνώση των χαρακτηριστικών των τυρβωδών παραμέτρων της ροής

Οι τάσεις Reynolds σε τυρβώδεις ροές είναι σημαντικότερες και μεγαλύτερες από τις συνεκτικές

τάσεις όπως θα καταδειχτεί παρακάτω και η επίδρασή τους κυριαρχεί στη διαμόρφωση των χαρακτηριστικών

του πεδίου ροής (πχ στους ρυθμούς μεταφοράς ορμής θερμότητας και μάζαςσυστατικών)

9123 Η Τάξη Μεγέθους των Τάσεων Reynolds

Η σημασία των τάσεων Reynolds στη διαμόρφωση των πεδίων ροής γίνεται εμφανής αν συγκριθούν με τις

αντίστοιχες διατμητικές τάσεις του ρευστού που οφείλονται στη συνεκτικότητά του (το ιξώδες) δηλαδή αν

εκτιμηθεί ο παρακάτω λόγος (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Law 2006)

(923)

Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε τυρβώδη ροή σε σωλήνα διαμέτρου D Η τάξη μεγέθους του όρου

(924)

είναι

(925)

Η τάξη μεγέθους των τυπικών διαταραχών της ταχύτητας iu στη ροή (από πειράματα) είναι

22

z

w w w w p u w v w wu v w w

t x y z z x y z

2

xx xy xz

2xy yy yz

2xz yz zz

u u v u w

u v v v w

u w v w w

i j

ji

j i

u uά Reynolds

έ ά ώuu

x x

ji

j i

uu

x x

ji

j i

uu uO

x x D

8

(926)

Συνεπώς 2i ju u 001 u

και έτσι έχουμε

(927)

οπότε για Rege2500 (ένα κριτήριο για να έχουμε τυρβώδη ροή σε αγωγό) τότε προκύπτει ότι οι τάσεις Reynolds

είναι τουλάχιστον μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις συνήθεις διατμητικές τάσεις που οφείλονται στη

συνεκτικότητα του ρευστού Γιrsquo αυτό για πλήρως τυρβώδη ροή πολλές φορές ο όρος i

j

u

x

στις εξισώσεις

Reynolds αγνοείται ως πολύ μικρός Η διαδικασία λήψης του ΧΜR έχει βέβαια και τα εξής μειονεκτήματα

(Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012 Spalding 1955 Hinze 1975)

Στην εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ένας επιπλέον όρος ο οποίος

χρειάζεται να υπολογιστεί ή να μοντελοποιηθεί

Αυτός ο όρος υπονοεί ότι υπάρχει μια μέση συναλλαγή μάζας διά μέσου

μιας μέσης ροϊκής γραμμής κάτι που αντίκειται στη συνήθη θεώρηση της μέσης ροϊκής

γραμμής

Οι περισσότεροι αισθητήρες δειγματοληψίας πχ θερμοκρασίας ή συστατικών μετρούν τιμές

που προσεγγίζουν μέσες κατά μάζα τιμές και όχι χρονικά μέσες τιμές

Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά πολύ απλούστερες όταν το μέσο ληφθεί ως προς τη

μάζα κατά Favre (Μαζικό Μέσο ndash ΜΜ Favre ή ΜΜF) (Bray amp Peters 1994 Libby amp

Williams 1994 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Peters 2000)

Μπορούμε να ορίσουμε μια μέση κάτα μάζα (κατά Favre) ταχύτητα ως

(928)

και η στιγμιαία ταχύτητα μπορεί να γραφεί τώρα ως

(929)

όπου i iu x t είναι η υπερτιθέμενη διακύμανση της ταχύτητας και όπου τώρα

(930)

όμοια δε ορίζονται και οι άλλες ποσότητες Αποδεικνύεται τέλος ότι η σχέση μεταξύ του ΧΜR και του ΜΜF

μιας οποιασδήποτε ποσότητας f είναι

(931)

9124 Οι Μέσες Κατά Μάζα Εξισώσεις Διατήρησης και Μεταφοράς

2i j

ji

j i

u u001u uD

001 001ReuuuD

x x

ii

uu

i i i i i iu x t u x u x t

i i iu u u

iu 0

f f f f

iOu 01u

j

j

ux

9

Επειδή οι πιο συνήθεις μεθοδολογίες μέτρησης των τυρβωδών ποσοτήτων στην καύση μετράνε κυρίως χρονικά

μέσους (ΧΜR) συσχετισμούς τυρβωδών διακυμάνσεων όπως πχ η ανεμομετρία θερμού νήματος τα χρονικά

μέσα θα διατηρηθούν για τον τανυστή των τάσεων και το διάνυσμα της ροής θερμότητας και της μάζας

Παρακάτω παραθέτουμε τις εξισώσεις διατήρησης και μεταφοράς για το πεδίο ταχυτήτων ενθαλπίας και

συστατικών με λήψη του μέσου κατά Favre ΜΜF (Bray amp Peters 1994 Libby amp Williams 1994 Spalding

1955 Kuo 2002 Peters 2000 Williams 1985 Borghi 1988 Law 2006)

Εξίσωση της συνέχειας

(932)

Εξίσωση της ορμής

(933)

Εξίσωση της ενέργειας

(934)

Η φυσική ερμηνεία των παραπάνω όρων είναι

μέσος ρυθμός μεταβολής της ενέργειαςενθαλπίας h ανά μονάδα όγκου και χρόνου

έργο πίεσης που οφείλεται στη μακροσκοπική κίνηση

έργο που οφείλεται στην τύρβη

μεταφορά θερμότητας μέσω αγωγής

τυρβώδης διάχυση της ενέργειας

απορρόφησηεκφυλισμός ενέργειας που οφείλεται στη μοριακή τριβή

H εξίσωση της διατήρησης της μάζας του k συστατικού βασισμένη στο ΜΜF (κατά Favre) γράφεται

(935)

Συμπληρωματικά παρατίθεται και η εξίσωση της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας TKE 1i j2

k u u που

περιγράφει τη μέση τιμή της διακυμαινόμενης κινητικής ενέργειας των δινών ανά μονάδα μάζας (Peters 2000

Libby amp Williams 1994 Bray amp Peters 1994 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012)

(936)

Η φυσική σημασία των παραπάνω όρων είναι

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τύρβης

Κινητική ενέργεια των διαταραχών που μεταδίδεται διά συναγωγής από τις διαταραχές

(δηλαδή διάχυση της ενέργειας των διαταραχών)

jj

u 0t x

i i j ij i j

j i j

pu u u u u

t x x x

i ij j j j j ij ij

j j j j j jIV V

I II III VI

u u p p ph h u u u q h u

t x t x x x x x

k kk k i k i k k

i i i i i

Y YY Y u D Y u D MW

t x x x x x

ik i1 1i i k i i i i i k2 2

k i k k

I II III IV V

uD pu u u u u u u u u

Dt x x x x

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

4

(91)

όπου ij είναι ο τανυστής των τάσεων όπως δίνεται στο Κεφάλαιο 4 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για το

ij από το Κεφάλαιο 4 οι εξισώσεις Navier-Stokes γίνονται

(92)

όπου i i iu u (x t)

ip p(x t) k =συγκέντρωση του k συστατικού (k=12hellipΝs)

k i(f ) είναι η πεδιακή

δύναμη που ασκείται στο k συστατικό στις διευθύνσεις i = 1 2 3 και sN

k k i

k 1

iB ρ (Y f )

είναι η συνολική

πεδιακή δύναμη που ασκείται στο μείγμα στις τρεις διευθύνσεις

Οι εξισώσεις διατήρησης της ορμής είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού ως προς τις

χωρικές συντεταγμένες και παραβολικές πρώτου βαθμού ως προς τη χρονική συντεταγμένη Για τη μελέτη ενός

χημικά αντιδρώντος ή μη τυρβώδους πεδίου ροής απαιτείται η επίλυση του συστήματος των τριών αυτών

εξισώσεων μαζί με την εξίσωση της συνέχειας στο χώρο και στο χρόνο

Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η απευθείας επίλυση του συστήματος αυτού με τις κατάλληλες

οριακές και αρχικές συνθήκες (i 0 iu u (x t)

0 ip p (x t) ) είναι δύσκολο να επιτευχθεί είτε με αναλυτικές

είτε με αριθμητικές μεθόδους

Γενικά η λύση του συστήματος των εξισώσεων είναι αδύνατη με αναλυτικές μεθόδους και είναι

αναγκαίο να προσπαθήσουμε να επιλύσουμε το σύστημα με αριθμητικές μεθόδους Η εξέλιξη ηλεκτρονικών

υπολογιστών μεγάλης ταχύτητας και χωρητικότητας από τη μια πλευρά και η ανάπτυξη εξελιγμένων μοντέλων

προσομοίωσης της τύρβης μας έχει επιτρέψει να κάνουμε μεγάλες προόδους προς την κατεύθυνση της

αριθμητικής επίλυσης (Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Hinze 1975 Bradshaw 1978

Spalding 1955)

Η αριθμητική επίλυση του συστήματος απαιτεί την αντικατάσταση των μερικών παραγώγων με

αλγεβρικές διαφορές σε διακεκριμένα αριθμητικά σημεία (δηλαδή κόμβους ενός πλέγματος) με τα οποία

καλύπτουμε το πεδίο ροής Ας υποθέσουμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα ροϊκό πεδίο με τυπικές χωρικές

διαστάσεις ddd Είναι γνωστό από πειράματα ότι μέσα στο πεδίο ροής υπάρχουν μικρο-στρόβιλοι (που

εμπεριέχονται και εκφράζονται από τον όρο iu t ) τυπικής διάστασης ή κλίμακας 310 d Για να

αντιπροσωπευτεί καθένας από αυτούς τους μικρο-στροβίλους αριθμητικά στο συγκεκριμένο ροiumlκό πεδίο

πρέπει να τοποθετηθούν μέσα στη χωρική διάσταση κάθε μικρο-στροβίλου ( 310 d) κάποια σημεία κόμβων

ενός επιλεγμένου πλέγματος και οπωσδήποτε κατrsquo ελάχιστον ένας κόμβος Άρα στον τυπικό όγκο

ενδιαφέροντος dsup3 χρειάζεται να τοποθετήσουμε 109 τουλάχιστον αριθμητικούς κόμβους (103 κόμβοι για κάθε

διάσταση σε έναν κύβο διάστασης d3) Στα προβλήματα με χημικές αντιδράσεις έχουμε δε έναν μεγάλο αριθμό

αγνώστων όπως iu p

k σταγονίδια κλπ (πρβ και Κεφάλαιο 4) και κατά συνέπεια χρειαζόμαστε μνήμη

υπολογιστή τουλάχιστον 10 με 20 x 1015 words Οι υπολογιστές που υπάρχουν σήμερα έχουν χωρητικότητα

μνήμης της τάξης του 1010 words (Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Law 2006 Echekki amp Mastorakos

2011) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι και η απευθείας αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes και

ιδιαίτερα για πολυ-συστατικά αντιδρώντα συστήματα είναι αδύνατη τουλάχιστον για τα περισσότερα

προβλήματα πρακτικού ή τεχνικού ενδιαφέροντος και θα παραμείνει αδύνατη για αρκετά χρόνια ακόμη

Παρόλα αυτά ο μηχανικός πρέπει να βρει λύση στα διάφορα προβλήματα γιατί όπως είναι φανερό

πρέπει να σχεδιάσει έναν καυστήρα έναν εναλλάκτη έναν θάλαμο καύσης αεροστροβίλου μια μηχανή

εσωτερικής καύσης ή να βρει τρόπους να ελέγξει τη ρύπανση του περιβάλλοντος η οποία προέρχεται από τις

ανωτέρω μηχανές ή ακόμη και να ελέγξει ανεπιθύμητα φαινόμενα καύσης όπως οι πυρκαγιές Έτσι λοιπόν

αναγκάζεται να προσφύγει σε λύσεις που εμπεριέχουν διαφορετικά επίπεδα προσεγγίσεων

s

iji ij k k i

j i j k 1

u u pu f

t x x x

i

i

u0

x

2 Ns

i i ij k k2 i

j i k 1j

u u u1 pu Y f

t x x x

5

9122 Μια Προσέγγιση στο Πρόβλημα - οι Τάσεις Reynolds

Οι δίνες που υπάρχουν μέσα στο πεδίο ροής των οποίων η κίνηση περιγράφεται από τις μη μόνιμες (χρονο-

εξαρτώμενες) εξισώσεις Navier-Stokes έχουν τυπικές συχνότητες της τάξεως των 100 Hz δηλαδή μια τυπική

κλίμακα χρόνου για τις μικρο-δίνες είναι η teddy=10-3-10-2 sec Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές ο μηχανικός

όμως δεν ενδιαφέρεται για χρονικές μεταβολές των ποσοτήτων iu p Υi κλπ σε μια διάρκεια 210 sec τυπική

χρονική κλίμακα των τυρβωδών δινο-στροβίλων αλλά σε πολλαπλάσια κλίμακα χρόνου Έτσι καταφεύγει στην

απλοποίηση των εξισώσεων Navier-Stokes μεταβάλλοντας το εύρος των χρονικών και χωρικών κλιμάκων των

φαινομένων που εμπεριέχονται στις εξισώσεις εφόσον και δεν ενδιαφερόμαστε για τη μικρο-δομή του πεδίου

ροής αλλά ικανοποιούμεθα με τις μέσες τιμές ταχύτητας πίεσης τάσεων και μετάδοσης θερμότητας και μάζας

Σε ένα οποιοδήποτε σημείο του τυρβώδους πεδίου η στιγμιαία ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο

όπως δείχνει το Σχήμα 91 Για να μπορέσει να γίνει μια αντιμετώπιση των εξισώσεων διατήρησης για

τυρβώδεις χημικά αντιδρώσες ή μη ροές είναι συνηθισμένο να αναλύουμε τις στιγμιαίες ποσότητες σε μέσες

και διακυμαινόμενες όπως φαίνεται στο Σχήμα 91 (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Bradshaw 1978

Spalding 1955 Peters 1984 Law 2006 Poinsot amp Veynante 2001)

Σχήμα 91 Μεταβολή στιγμιαίας ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου

Στην κλασική μέθοδο λήψης των χρονικά μέσων τιμών κατά Reynolds (Χρονικό Μέσο ndash ΧΜ ή ΧΜ Reynolds

ή XMR)η μέση τιμή μιας ποσότητας s ορίζεται ως (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

(93)

Το XMR είναι χρήσιμο μόνον όταν είναι ανεξάρτητο του 0t Σrsquo αυτήν την περίπτωση οι μέσες τιμές καλούνται

στατιστικά μόνιμες (Σχήμα 91) Στην παραπάνω εξίσωση η έννοια του Δt είναι σχετική και σημαίνει ότι ο

χρόνος ολοκλήρωσης είναι πάρα πολύ μεγάλος σε σχέση με τη χρονική κλίμακα μεταβολής των δινών του

πεδίου ροής (πχ teddy=210 sec άρα Δtrarrinfin αν διαλέξουμε χρονική περίοδο ολοκλήρωσης Δt=100 sec)

Είναι δυνατόν ακόμη και για Δtrarrinfin (πχ Δt=100 sec) η χρονική κλίμακα για την οποία ο μηχανικός

ενδιαφέρεται να πάρει αποτελέσματα να είναι κατά πολύ μεγαλύτερη του χρόνου Δt στον οποίο λαμβάνεται η

μέση τιμή της συνάρτησης s Οπότε μπορεί να γραφεί γενικά ότι

(94)

όπου

(95)

Για στατιστικά μόνιμες μέσες ροές η ποσότητα s μπορεί να αναλυθεί ως

0

0

t t

tt

1s lim s t dt

t

i i is x t s x s x t

0

0

t t

tt

1s lim s dt 0

t

6

(96)

και γενικά έχουμε για τις ποσότητες ενδιαφέροντος

(97)

(98)

(99)

(910)

(911)

Επιπλέον αν s και g είναι δύο εξαρτημένες μεταβλητές και αν r υποδηλώνει οποιαδήποτε από τις ανεξάρτητες

μεταβλητές x y z t τότε ο κανόνας λήψης του XMR απαιτεί ότι

(912)

(913)

(914)

(915)

(916)

και οι εξισώσεις διατήρησης μπορεί να εκφραστούν συναρτήσει των μέσων τιμών των διακυμάνσεων και των

συσχετισμών αυτών των ποσοτήτων Η εξίσωση της συνέχειας είναι

(917)

Η εξίσωση της ορμής (για ασυμπίεστο ρευστό) επίσης γράφεται

(918)

όπου ο όρος i ju u καλείται φαινομενική τάση ή τάση Reynolds

Στη συνέχεια παρατίθεται η ανωτέρω εξίσωση σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

x-διεύθυνση

(919)

y-διεύθυνση

(920)

i i is x t s x s x t

i i i i i iu x t u x u x t

i i ip x t p x p x t

i i ix t x x t

i i ih x t h x h x t

i i iT x t T x T x t

s s

s g s g

sg sg

sg sg s g

ds ds

dr dr

sdr sdr

i i

i i

u u0

t x x

i i ij i j i

j i j j

u u upu u u B

t x x x x

2 2

x

u u u u p u u v u wu v w u

t x y z x x y z

2 2

y

v v v v p u v v v wu v w v

t x y z y x y z

7

z-διεύθυνση

(921)

οι δε συνιστώσες του τανυστή των τάσεων Reynolds είναι

(922)

Οι μέσες ταχύτητες της τυρβώδους ροής εκφράζονται από τις ίδιες εξισώσεις όπως στη στρωτή ροή αλλά οι

συνολικές τάσεις θα πρέπει τώρα να αυξηθούν κατά το ποσό των επιπρόσθετων τυρβωδών τάσεων (στρωτές +

τυρβώδεις) Οι παραπάνω εξισώσεις διατήρησης του τυρβώδους ορμικού πεδίου αν και είναι φαινομενικά ίδιες

με τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι σημαντικά απλούστερες γιατί έχουν πολύ μεγαλύτερη χρονική κλίμακα

μεταβολής Δυστυχώς όμως η απλούστευση αυτή οδήγησε στην εισαγωγή των νέων αγνώστων των τυρβωδών

τάσεων Reynolds λόγω της μη γραμμικότητας των αρχικών εξισώσεων Για να επιλύσουμε τώρα το πεδίο ροής

χρειαζόμαστε πληροφορίες και για τις τάσεις Reynolds και ειδικότερα για το μέγεθος των διαταραχών της

διακύμανσης (root mean square) της ταχύτητας i iu x t καθώς και των στατιστικών συσχετίσεών τους

i j(u u )

δηλαδή χρειαζόμαστε γνώση των χαρακτηριστικών των τυρβωδών παραμέτρων της ροής

Οι τάσεις Reynolds σε τυρβώδεις ροές είναι σημαντικότερες και μεγαλύτερες από τις συνεκτικές

τάσεις όπως θα καταδειχτεί παρακάτω και η επίδρασή τους κυριαρχεί στη διαμόρφωση των χαρακτηριστικών

του πεδίου ροής (πχ στους ρυθμούς μεταφοράς ορμής θερμότητας και μάζαςσυστατικών)

9123 Η Τάξη Μεγέθους των Τάσεων Reynolds

Η σημασία των τάσεων Reynolds στη διαμόρφωση των πεδίων ροής γίνεται εμφανής αν συγκριθούν με τις

αντίστοιχες διατμητικές τάσεις του ρευστού που οφείλονται στη συνεκτικότητά του (το ιξώδες) δηλαδή αν

εκτιμηθεί ο παρακάτω λόγος (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Law 2006)

(923)

Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε τυρβώδη ροή σε σωλήνα διαμέτρου D Η τάξη μεγέθους του όρου

(924)

είναι

(925)

Η τάξη μεγέθους των τυπικών διαταραχών της ταχύτητας iu στη ροή (από πειράματα) είναι

22

z

w w w w p u w v w wu v w w

t x y z z x y z

2

xx xy xz

2xy yy yz

2xz yz zz

u u v u w

u v v v w

u w v w w

i j

ji

j i

u uά Reynolds

έ ά ώuu

x x

ji

j i

uu

x x

ji

j i

uu uO

x x D

8

(926)

Συνεπώς 2i ju u 001 u

και έτσι έχουμε

(927)

οπότε για Rege2500 (ένα κριτήριο για να έχουμε τυρβώδη ροή σε αγωγό) τότε προκύπτει ότι οι τάσεις Reynolds

είναι τουλάχιστον μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις συνήθεις διατμητικές τάσεις που οφείλονται στη

συνεκτικότητα του ρευστού Γιrsquo αυτό για πλήρως τυρβώδη ροή πολλές φορές ο όρος i

j

u

x

στις εξισώσεις

Reynolds αγνοείται ως πολύ μικρός Η διαδικασία λήψης του ΧΜR έχει βέβαια και τα εξής μειονεκτήματα

(Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012 Spalding 1955 Hinze 1975)

Στην εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ένας επιπλέον όρος ο οποίος

χρειάζεται να υπολογιστεί ή να μοντελοποιηθεί

Αυτός ο όρος υπονοεί ότι υπάρχει μια μέση συναλλαγή μάζας διά μέσου

μιας μέσης ροϊκής γραμμής κάτι που αντίκειται στη συνήθη θεώρηση της μέσης ροϊκής

γραμμής

Οι περισσότεροι αισθητήρες δειγματοληψίας πχ θερμοκρασίας ή συστατικών μετρούν τιμές

που προσεγγίζουν μέσες κατά μάζα τιμές και όχι χρονικά μέσες τιμές

Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά πολύ απλούστερες όταν το μέσο ληφθεί ως προς τη

μάζα κατά Favre (Μαζικό Μέσο ndash ΜΜ Favre ή ΜΜF) (Bray amp Peters 1994 Libby amp

Williams 1994 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Peters 2000)

Μπορούμε να ορίσουμε μια μέση κάτα μάζα (κατά Favre) ταχύτητα ως

(928)

και η στιγμιαία ταχύτητα μπορεί να γραφεί τώρα ως

(929)

όπου i iu x t είναι η υπερτιθέμενη διακύμανση της ταχύτητας και όπου τώρα

(930)

όμοια δε ορίζονται και οι άλλες ποσότητες Αποδεικνύεται τέλος ότι η σχέση μεταξύ του ΧΜR και του ΜΜF

μιας οποιασδήποτε ποσότητας f είναι

(931)

9124 Οι Μέσες Κατά Μάζα Εξισώσεις Διατήρησης και Μεταφοράς

2i j

ji

j i

u u001u uD

001 001ReuuuD

x x

ii

uu

i i i i i iu x t u x u x t

i i iu u u

iu 0

f f f f

iOu 01u

j

j

ux

9

Επειδή οι πιο συνήθεις μεθοδολογίες μέτρησης των τυρβωδών ποσοτήτων στην καύση μετράνε κυρίως χρονικά

μέσους (ΧΜR) συσχετισμούς τυρβωδών διακυμάνσεων όπως πχ η ανεμομετρία θερμού νήματος τα χρονικά

μέσα θα διατηρηθούν για τον τανυστή των τάσεων και το διάνυσμα της ροής θερμότητας και της μάζας

Παρακάτω παραθέτουμε τις εξισώσεις διατήρησης και μεταφοράς για το πεδίο ταχυτήτων ενθαλπίας και

συστατικών με λήψη του μέσου κατά Favre ΜΜF (Bray amp Peters 1994 Libby amp Williams 1994 Spalding

1955 Kuo 2002 Peters 2000 Williams 1985 Borghi 1988 Law 2006)

Εξίσωση της συνέχειας

(932)

Εξίσωση της ορμής

(933)

Εξίσωση της ενέργειας

(934)

Η φυσική ερμηνεία των παραπάνω όρων είναι

μέσος ρυθμός μεταβολής της ενέργειαςενθαλπίας h ανά μονάδα όγκου και χρόνου

έργο πίεσης που οφείλεται στη μακροσκοπική κίνηση

έργο που οφείλεται στην τύρβη

μεταφορά θερμότητας μέσω αγωγής

τυρβώδης διάχυση της ενέργειας

απορρόφησηεκφυλισμός ενέργειας που οφείλεται στη μοριακή τριβή

H εξίσωση της διατήρησης της μάζας του k συστατικού βασισμένη στο ΜΜF (κατά Favre) γράφεται

(935)

Συμπληρωματικά παρατίθεται και η εξίσωση της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας TKE 1i j2

k u u που

περιγράφει τη μέση τιμή της διακυμαινόμενης κινητικής ενέργειας των δινών ανά μονάδα μάζας (Peters 2000

Libby amp Williams 1994 Bray amp Peters 1994 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012)

(936)

Η φυσική σημασία των παραπάνω όρων είναι

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τύρβης

Κινητική ενέργεια των διαταραχών που μεταδίδεται διά συναγωγής από τις διαταραχές

(δηλαδή διάχυση της ενέργειας των διαταραχών)

jj

u 0t x

i i j ij i j

j i j

pu u u u u

t x x x

i ij j j j j ij ij

j j j j j jIV V

I II III VI

u u p p ph h u u u q h u

t x t x x x x x

k kk k i k i k k

i i i i i

Y YY Y u D Y u D MW

t x x x x x

ik i1 1i i k i i i i i k2 2

k i k k

I II III IV V

uD pu u u u u u u u u

Dt x x x x

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

5

9122 Μια Προσέγγιση στο Πρόβλημα - οι Τάσεις Reynolds

Οι δίνες που υπάρχουν μέσα στο πεδίο ροής των οποίων η κίνηση περιγράφεται από τις μη μόνιμες (χρονο-

εξαρτώμενες) εξισώσεις Navier-Stokes έχουν τυπικές συχνότητες της τάξεως των 100 Hz δηλαδή μια τυπική

κλίμακα χρόνου για τις μικρο-δίνες είναι η teddy=10-3-10-2 sec Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές ο μηχανικός

όμως δεν ενδιαφέρεται για χρονικές μεταβολές των ποσοτήτων iu p Υi κλπ σε μια διάρκεια 210 sec τυπική

χρονική κλίμακα των τυρβωδών δινο-στροβίλων αλλά σε πολλαπλάσια κλίμακα χρόνου Έτσι καταφεύγει στην

απλοποίηση των εξισώσεων Navier-Stokes μεταβάλλοντας το εύρος των χρονικών και χωρικών κλιμάκων των

φαινομένων που εμπεριέχονται στις εξισώσεις εφόσον και δεν ενδιαφερόμαστε για τη μικρο-δομή του πεδίου

ροής αλλά ικανοποιούμεθα με τις μέσες τιμές ταχύτητας πίεσης τάσεων και μετάδοσης θερμότητας και μάζας

Σε ένα οποιοδήποτε σημείο του τυρβώδους πεδίου η στιγμιαία ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο

όπως δείχνει το Σχήμα 91 Για να μπορέσει να γίνει μια αντιμετώπιση των εξισώσεων διατήρησης για

τυρβώδεις χημικά αντιδρώσες ή μη ροές είναι συνηθισμένο να αναλύουμε τις στιγμιαίες ποσότητες σε μέσες

και διακυμαινόμενες όπως φαίνεται στο Σχήμα 91 (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Bradshaw 1978

Spalding 1955 Peters 1984 Law 2006 Poinsot amp Veynante 2001)

Σχήμα 91 Μεταβολή στιγμιαίας ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου

Στην κλασική μέθοδο λήψης των χρονικά μέσων τιμών κατά Reynolds (Χρονικό Μέσο ndash ΧΜ ή ΧΜ Reynolds

ή XMR)η μέση τιμή μιας ποσότητας s ορίζεται ως (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

(93)

Το XMR είναι χρήσιμο μόνον όταν είναι ανεξάρτητο του 0t Σrsquo αυτήν την περίπτωση οι μέσες τιμές καλούνται

στατιστικά μόνιμες (Σχήμα 91) Στην παραπάνω εξίσωση η έννοια του Δt είναι σχετική και σημαίνει ότι ο

χρόνος ολοκλήρωσης είναι πάρα πολύ μεγάλος σε σχέση με τη χρονική κλίμακα μεταβολής των δινών του

πεδίου ροής (πχ teddy=210 sec άρα Δtrarrinfin αν διαλέξουμε χρονική περίοδο ολοκλήρωσης Δt=100 sec)

Είναι δυνατόν ακόμη και για Δtrarrinfin (πχ Δt=100 sec) η χρονική κλίμακα για την οποία ο μηχανικός

ενδιαφέρεται να πάρει αποτελέσματα να είναι κατά πολύ μεγαλύτερη του χρόνου Δt στον οποίο λαμβάνεται η

μέση τιμή της συνάρτησης s Οπότε μπορεί να γραφεί γενικά ότι

(94)

όπου

(95)

Για στατιστικά μόνιμες μέσες ροές η ποσότητα s μπορεί να αναλυθεί ως

0

0

t t

tt

1s lim s t dt

t

i i is x t s x s x t

0

0

t t

tt

1s lim s dt 0

t

6

(96)

και γενικά έχουμε για τις ποσότητες ενδιαφέροντος

(97)

(98)

(99)

(910)

(911)

Επιπλέον αν s και g είναι δύο εξαρτημένες μεταβλητές και αν r υποδηλώνει οποιαδήποτε από τις ανεξάρτητες

μεταβλητές x y z t τότε ο κανόνας λήψης του XMR απαιτεί ότι

(912)

(913)

(914)

(915)

(916)

και οι εξισώσεις διατήρησης μπορεί να εκφραστούν συναρτήσει των μέσων τιμών των διακυμάνσεων και των

συσχετισμών αυτών των ποσοτήτων Η εξίσωση της συνέχειας είναι

(917)

Η εξίσωση της ορμής (για ασυμπίεστο ρευστό) επίσης γράφεται

(918)

όπου ο όρος i ju u καλείται φαινομενική τάση ή τάση Reynolds

Στη συνέχεια παρατίθεται η ανωτέρω εξίσωση σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

x-διεύθυνση

(919)

y-διεύθυνση

(920)

i i is x t s x s x t

i i i i i iu x t u x u x t

i i ip x t p x p x t

i i ix t x x t

i i ih x t h x h x t

i i iT x t T x T x t

s s

s g s g

sg sg

sg sg s g

ds ds

dr dr

sdr sdr

i i

i i

u u0

t x x

i i ij i j i

j i j j

u u upu u u B

t x x x x

2 2

x

u u u u p u u v u wu v w u

t x y z x x y z

2 2

y

v v v v p u v v v wu v w v

t x y z y x y z

7

z-διεύθυνση

(921)

οι δε συνιστώσες του τανυστή των τάσεων Reynolds είναι

(922)

Οι μέσες ταχύτητες της τυρβώδους ροής εκφράζονται από τις ίδιες εξισώσεις όπως στη στρωτή ροή αλλά οι

συνολικές τάσεις θα πρέπει τώρα να αυξηθούν κατά το ποσό των επιπρόσθετων τυρβωδών τάσεων (στρωτές +

τυρβώδεις) Οι παραπάνω εξισώσεις διατήρησης του τυρβώδους ορμικού πεδίου αν και είναι φαινομενικά ίδιες

με τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι σημαντικά απλούστερες γιατί έχουν πολύ μεγαλύτερη χρονική κλίμακα

μεταβολής Δυστυχώς όμως η απλούστευση αυτή οδήγησε στην εισαγωγή των νέων αγνώστων των τυρβωδών

τάσεων Reynolds λόγω της μη γραμμικότητας των αρχικών εξισώσεων Για να επιλύσουμε τώρα το πεδίο ροής

χρειαζόμαστε πληροφορίες και για τις τάσεις Reynolds και ειδικότερα για το μέγεθος των διαταραχών της

διακύμανσης (root mean square) της ταχύτητας i iu x t καθώς και των στατιστικών συσχετίσεών τους

i j(u u )

δηλαδή χρειαζόμαστε γνώση των χαρακτηριστικών των τυρβωδών παραμέτρων της ροής

Οι τάσεις Reynolds σε τυρβώδεις ροές είναι σημαντικότερες και μεγαλύτερες από τις συνεκτικές

τάσεις όπως θα καταδειχτεί παρακάτω και η επίδρασή τους κυριαρχεί στη διαμόρφωση των χαρακτηριστικών

του πεδίου ροής (πχ στους ρυθμούς μεταφοράς ορμής θερμότητας και μάζαςσυστατικών)

9123 Η Τάξη Μεγέθους των Τάσεων Reynolds

Η σημασία των τάσεων Reynolds στη διαμόρφωση των πεδίων ροής γίνεται εμφανής αν συγκριθούν με τις

αντίστοιχες διατμητικές τάσεις του ρευστού που οφείλονται στη συνεκτικότητά του (το ιξώδες) δηλαδή αν

εκτιμηθεί ο παρακάτω λόγος (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Law 2006)

(923)

Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε τυρβώδη ροή σε σωλήνα διαμέτρου D Η τάξη μεγέθους του όρου

(924)

είναι

(925)

Η τάξη μεγέθους των τυπικών διαταραχών της ταχύτητας iu στη ροή (από πειράματα) είναι

22

z

w w w w p u w v w wu v w w

t x y z z x y z

2

xx xy xz

2xy yy yz

2xz yz zz

u u v u w

u v v v w

u w v w w

i j

ji

j i

u uά Reynolds

έ ά ώuu

x x

ji

j i

uu

x x

ji

j i

uu uO

x x D

8

(926)

Συνεπώς 2i ju u 001 u

και έτσι έχουμε

(927)

οπότε για Rege2500 (ένα κριτήριο για να έχουμε τυρβώδη ροή σε αγωγό) τότε προκύπτει ότι οι τάσεις Reynolds

είναι τουλάχιστον μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις συνήθεις διατμητικές τάσεις που οφείλονται στη

συνεκτικότητα του ρευστού Γιrsquo αυτό για πλήρως τυρβώδη ροή πολλές φορές ο όρος i

j

u

x

στις εξισώσεις

Reynolds αγνοείται ως πολύ μικρός Η διαδικασία λήψης του ΧΜR έχει βέβαια και τα εξής μειονεκτήματα

(Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012 Spalding 1955 Hinze 1975)

Στην εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ένας επιπλέον όρος ο οποίος

χρειάζεται να υπολογιστεί ή να μοντελοποιηθεί

Αυτός ο όρος υπονοεί ότι υπάρχει μια μέση συναλλαγή μάζας διά μέσου

μιας μέσης ροϊκής γραμμής κάτι που αντίκειται στη συνήθη θεώρηση της μέσης ροϊκής

γραμμής

Οι περισσότεροι αισθητήρες δειγματοληψίας πχ θερμοκρασίας ή συστατικών μετρούν τιμές

που προσεγγίζουν μέσες κατά μάζα τιμές και όχι χρονικά μέσες τιμές

Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά πολύ απλούστερες όταν το μέσο ληφθεί ως προς τη

μάζα κατά Favre (Μαζικό Μέσο ndash ΜΜ Favre ή ΜΜF) (Bray amp Peters 1994 Libby amp

Williams 1994 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Peters 2000)

Μπορούμε να ορίσουμε μια μέση κάτα μάζα (κατά Favre) ταχύτητα ως

(928)

και η στιγμιαία ταχύτητα μπορεί να γραφεί τώρα ως

(929)

όπου i iu x t είναι η υπερτιθέμενη διακύμανση της ταχύτητας και όπου τώρα

(930)

όμοια δε ορίζονται και οι άλλες ποσότητες Αποδεικνύεται τέλος ότι η σχέση μεταξύ του ΧΜR και του ΜΜF

μιας οποιασδήποτε ποσότητας f είναι

(931)

9124 Οι Μέσες Κατά Μάζα Εξισώσεις Διατήρησης και Μεταφοράς

2i j

ji

j i

u u001u uD

001 001ReuuuD

x x

ii

uu

i i i i i iu x t u x u x t

i i iu u u

iu 0

f f f f

iOu 01u

j

j

ux

9

Επειδή οι πιο συνήθεις μεθοδολογίες μέτρησης των τυρβωδών ποσοτήτων στην καύση μετράνε κυρίως χρονικά

μέσους (ΧΜR) συσχετισμούς τυρβωδών διακυμάνσεων όπως πχ η ανεμομετρία θερμού νήματος τα χρονικά

μέσα θα διατηρηθούν για τον τανυστή των τάσεων και το διάνυσμα της ροής θερμότητας και της μάζας

Παρακάτω παραθέτουμε τις εξισώσεις διατήρησης και μεταφοράς για το πεδίο ταχυτήτων ενθαλπίας και

συστατικών με λήψη του μέσου κατά Favre ΜΜF (Bray amp Peters 1994 Libby amp Williams 1994 Spalding

1955 Kuo 2002 Peters 2000 Williams 1985 Borghi 1988 Law 2006)

Εξίσωση της συνέχειας

(932)

Εξίσωση της ορμής

(933)

Εξίσωση της ενέργειας

(934)

Η φυσική ερμηνεία των παραπάνω όρων είναι

μέσος ρυθμός μεταβολής της ενέργειαςενθαλπίας h ανά μονάδα όγκου και χρόνου

έργο πίεσης που οφείλεται στη μακροσκοπική κίνηση

έργο που οφείλεται στην τύρβη

μεταφορά θερμότητας μέσω αγωγής

τυρβώδης διάχυση της ενέργειας

απορρόφησηεκφυλισμός ενέργειας που οφείλεται στη μοριακή τριβή

H εξίσωση της διατήρησης της μάζας του k συστατικού βασισμένη στο ΜΜF (κατά Favre) γράφεται

(935)

Συμπληρωματικά παρατίθεται και η εξίσωση της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας TKE 1i j2

k u u που

περιγράφει τη μέση τιμή της διακυμαινόμενης κινητικής ενέργειας των δινών ανά μονάδα μάζας (Peters 2000

Libby amp Williams 1994 Bray amp Peters 1994 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012)

(936)

Η φυσική σημασία των παραπάνω όρων είναι

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τύρβης

Κινητική ενέργεια των διαταραχών που μεταδίδεται διά συναγωγής από τις διαταραχές

(δηλαδή διάχυση της ενέργειας των διαταραχών)

jj

u 0t x

i i j ij i j

j i j

pu u u u u

t x x x

i ij j j j j ij ij

j j j j j jIV V

I II III VI

u u p p ph h u u u q h u

t x t x x x x x

k kk k i k i k k

i i i i i

Y YY Y u D Y u D MW

t x x x x x

ik i1 1i i k i i i i i k2 2

k i k k

I II III IV V

uD pu u u u u u u u u

Dt x x x x

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

6

(96)

και γενικά έχουμε για τις ποσότητες ενδιαφέροντος

(97)

(98)

(99)

(910)

(911)

Επιπλέον αν s και g είναι δύο εξαρτημένες μεταβλητές και αν r υποδηλώνει οποιαδήποτε από τις ανεξάρτητες

μεταβλητές x y z t τότε ο κανόνας λήψης του XMR απαιτεί ότι

(912)

(913)

(914)

(915)

(916)

και οι εξισώσεις διατήρησης μπορεί να εκφραστούν συναρτήσει των μέσων τιμών των διακυμάνσεων και των

συσχετισμών αυτών των ποσοτήτων Η εξίσωση της συνέχειας είναι

(917)

Η εξίσωση της ορμής (για ασυμπίεστο ρευστό) επίσης γράφεται

(918)

όπου ο όρος i ju u καλείται φαινομενική τάση ή τάση Reynolds

Στη συνέχεια παρατίθεται η ανωτέρω εξίσωση σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

x-διεύθυνση

(919)

y-διεύθυνση

(920)

i i is x t s x s x t

i i i i i iu x t u x u x t

i i ip x t p x p x t

i i ix t x x t

i i ih x t h x h x t

i i iT x t T x T x t

s s

s g s g

sg sg

sg sg s g

ds ds

dr dr

sdr sdr

i i

i i

u u0

t x x

i i ij i j i

j i j j

u u upu u u B

t x x x x

2 2

x

u u u u p u u v u wu v w u

t x y z x x y z

2 2

y

v v v v p u v v v wu v w v

t x y z y x y z

7

z-διεύθυνση

(921)

οι δε συνιστώσες του τανυστή των τάσεων Reynolds είναι

(922)

Οι μέσες ταχύτητες της τυρβώδους ροής εκφράζονται από τις ίδιες εξισώσεις όπως στη στρωτή ροή αλλά οι

συνολικές τάσεις θα πρέπει τώρα να αυξηθούν κατά το ποσό των επιπρόσθετων τυρβωδών τάσεων (στρωτές +

τυρβώδεις) Οι παραπάνω εξισώσεις διατήρησης του τυρβώδους ορμικού πεδίου αν και είναι φαινομενικά ίδιες

με τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι σημαντικά απλούστερες γιατί έχουν πολύ μεγαλύτερη χρονική κλίμακα

μεταβολής Δυστυχώς όμως η απλούστευση αυτή οδήγησε στην εισαγωγή των νέων αγνώστων των τυρβωδών

τάσεων Reynolds λόγω της μη γραμμικότητας των αρχικών εξισώσεων Για να επιλύσουμε τώρα το πεδίο ροής

χρειαζόμαστε πληροφορίες και για τις τάσεις Reynolds και ειδικότερα για το μέγεθος των διαταραχών της

διακύμανσης (root mean square) της ταχύτητας i iu x t καθώς και των στατιστικών συσχετίσεών τους

i j(u u )

δηλαδή χρειαζόμαστε γνώση των χαρακτηριστικών των τυρβωδών παραμέτρων της ροής

Οι τάσεις Reynolds σε τυρβώδεις ροές είναι σημαντικότερες και μεγαλύτερες από τις συνεκτικές

τάσεις όπως θα καταδειχτεί παρακάτω και η επίδρασή τους κυριαρχεί στη διαμόρφωση των χαρακτηριστικών

του πεδίου ροής (πχ στους ρυθμούς μεταφοράς ορμής θερμότητας και μάζαςσυστατικών)

9123 Η Τάξη Μεγέθους των Τάσεων Reynolds

Η σημασία των τάσεων Reynolds στη διαμόρφωση των πεδίων ροής γίνεται εμφανής αν συγκριθούν με τις

αντίστοιχες διατμητικές τάσεις του ρευστού που οφείλονται στη συνεκτικότητά του (το ιξώδες) δηλαδή αν

εκτιμηθεί ο παρακάτω λόγος (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Law 2006)

(923)

Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε τυρβώδη ροή σε σωλήνα διαμέτρου D Η τάξη μεγέθους του όρου

(924)

είναι

(925)

Η τάξη μεγέθους των τυπικών διαταραχών της ταχύτητας iu στη ροή (από πειράματα) είναι

22

z

w w w w p u w v w wu v w w

t x y z z x y z

2

xx xy xz

2xy yy yz

2xz yz zz

u u v u w

u v v v w

u w v w w

i j

ji

j i

u uά Reynolds

έ ά ώuu

x x

ji

j i

uu

x x

ji

j i

uu uO

x x D

8

(926)

Συνεπώς 2i ju u 001 u

και έτσι έχουμε

(927)

οπότε για Rege2500 (ένα κριτήριο για να έχουμε τυρβώδη ροή σε αγωγό) τότε προκύπτει ότι οι τάσεις Reynolds

είναι τουλάχιστον μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις συνήθεις διατμητικές τάσεις που οφείλονται στη

συνεκτικότητα του ρευστού Γιrsquo αυτό για πλήρως τυρβώδη ροή πολλές φορές ο όρος i

j

u

x

στις εξισώσεις

Reynolds αγνοείται ως πολύ μικρός Η διαδικασία λήψης του ΧΜR έχει βέβαια και τα εξής μειονεκτήματα

(Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012 Spalding 1955 Hinze 1975)

Στην εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ένας επιπλέον όρος ο οποίος

χρειάζεται να υπολογιστεί ή να μοντελοποιηθεί

Αυτός ο όρος υπονοεί ότι υπάρχει μια μέση συναλλαγή μάζας διά μέσου

μιας μέσης ροϊκής γραμμής κάτι που αντίκειται στη συνήθη θεώρηση της μέσης ροϊκής

γραμμής

Οι περισσότεροι αισθητήρες δειγματοληψίας πχ θερμοκρασίας ή συστατικών μετρούν τιμές

που προσεγγίζουν μέσες κατά μάζα τιμές και όχι χρονικά μέσες τιμές

Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά πολύ απλούστερες όταν το μέσο ληφθεί ως προς τη

μάζα κατά Favre (Μαζικό Μέσο ndash ΜΜ Favre ή ΜΜF) (Bray amp Peters 1994 Libby amp

Williams 1994 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Peters 2000)

Μπορούμε να ορίσουμε μια μέση κάτα μάζα (κατά Favre) ταχύτητα ως

(928)

και η στιγμιαία ταχύτητα μπορεί να γραφεί τώρα ως

(929)

όπου i iu x t είναι η υπερτιθέμενη διακύμανση της ταχύτητας και όπου τώρα

(930)

όμοια δε ορίζονται και οι άλλες ποσότητες Αποδεικνύεται τέλος ότι η σχέση μεταξύ του ΧΜR και του ΜΜF

μιας οποιασδήποτε ποσότητας f είναι

(931)

9124 Οι Μέσες Κατά Μάζα Εξισώσεις Διατήρησης και Μεταφοράς

2i j

ji

j i

u u001u uD

001 001ReuuuD

x x

ii

uu

i i i i i iu x t u x u x t

i i iu u u

iu 0

f f f f

iOu 01u

j

j

ux

9

Επειδή οι πιο συνήθεις μεθοδολογίες μέτρησης των τυρβωδών ποσοτήτων στην καύση μετράνε κυρίως χρονικά

μέσους (ΧΜR) συσχετισμούς τυρβωδών διακυμάνσεων όπως πχ η ανεμομετρία θερμού νήματος τα χρονικά

μέσα θα διατηρηθούν για τον τανυστή των τάσεων και το διάνυσμα της ροής θερμότητας και της μάζας

Παρακάτω παραθέτουμε τις εξισώσεις διατήρησης και μεταφοράς για το πεδίο ταχυτήτων ενθαλπίας και

συστατικών με λήψη του μέσου κατά Favre ΜΜF (Bray amp Peters 1994 Libby amp Williams 1994 Spalding

1955 Kuo 2002 Peters 2000 Williams 1985 Borghi 1988 Law 2006)

Εξίσωση της συνέχειας

(932)

Εξίσωση της ορμής

(933)

Εξίσωση της ενέργειας

(934)

Η φυσική ερμηνεία των παραπάνω όρων είναι

μέσος ρυθμός μεταβολής της ενέργειαςενθαλπίας h ανά μονάδα όγκου και χρόνου

έργο πίεσης που οφείλεται στη μακροσκοπική κίνηση

έργο που οφείλεται στην τύρβη

μεταφορά θερμότητας μέσω αγωγής

τυρβώδης διάχυση της ενέργειας

απορρόφησηεκφυλισμός ενέργειας που οφείλεται στη μοριακή τριβή

H εξίσωση της διατήρησης της μάζας του k συστατικού βασισμένη στο ΜΜF (κατά Favre) γράφεται

(935)

Συμπληρωματικά παρατίθεται και η εξίσωση της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας TKE 1i j2

k u u που

περιγράφει τη μέση τιμή της διακυμαινόμενης κινητικής ενέργειας των δινών ανά μονάδα μάζας (Peters 2000

Libby amp Williams 1994 Bray amp Peters 1994 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012)

(936)

Η φυσική σημασία των παραπάνω όρων είναι

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τύρβης

Κινητική ενέργεια των διαταραχών που μεταδίδεται διά συναγωγής από τις διαταραχές

(δηλαδή διάχυση της ενέργειας των διαταραχών)

jj

u 0t x

i i j ij i j

j i j

pu u u u u

t x x x

i ij j j j j ij ij

j j j j j jIV V

I II III VI

u u p p ph h u u u q h u

t x t x x x x x

k kk k i k i k k

i i i i i

Y YY Y u D Y u D MW

t x x x x x

ik i1 1i i k i i i i i k2 2

k i k k

I II III IV V

uD pu u u u u u u u u

Dt x x x x

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

7

z-διεύθυνση

(921)

οι δε συνιστώσες του τανυστή των τάσεων Reynolds είναι

(922)

Οι μέσες ταχύτητες της τυρβώδους ροής εκφράζονται από τις ίδιες εξισώσεις όπως στη στρωτή ροή αλλά οι

συνολικές τάσεις θα πρέπει τώρα να αυξηθούν κατά το ποσό των επιπρόσθετων τυρβωδών τάσεων (στρωτές +

τυρβώδεις) Οι παραπάνω εξισώσεις διατήρησης του τυρβώδους ορμικού πεδίου αν και είναι φαινομενικά ίδιες

με τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι σημαντικά απλούστερες γιατί έχουν πολύ μεγαλύτερη χρονική κλίμακα

μεταβολής Δυστυχώς όμως η απλούστευση αυτή οδήγησε στην εισαγωγή των νέων αγνώστων των τυρβωδών

τάσεων Reynolds λόγω της μη γραμμικότητας των αρχικών εξισώσεων Για να επιλύσουμε τώρα το πεδίο ροής

χρειαζόμαστε πληροφορίες και για τις τάσεις Reynolds και ειδικότερα για το μέγεθος των διαταραχών της

διακύμανσης (root mean square) της ταχύτητας i iu x t καθώς και των στατιστικών συσχετίσεών τους

i j(u u )

δηλαδή χρειαζόμαστε γνώση των χαρακτηριστικών των τυρβωδών παραμέτρων της ροής

Οι τάσεις Reynolds σε τυρβώδεις ροές είναι σημαντικότερες και μεγαλύτερες από τις συνεκτικές

τάσεις όπως θα καταδειχτεί παρακάτω και η επίδρασή τους κυριαρχεί στη διαμόρφωση των χαρακτηριστικών

του πεδίου ροής (πχ στους ρυθμούς μεταφοράς ορμής θερμότητας και μάζαςσυστατικών)

9123 Η Τάξη Μεγέθους των Τάσεων Reynolds

Η σημασία των τάσεων Reynolds στη διαμόρφωση των πεδίων ροής γίνεται εμφανής αν συγκριθούν με τις

αντίστοιχες διατμητικές τάσεις του ρευστού που οφείλονται στη συνεκτικότητά του (το ιξώδες) δηλαδή αν

εκτιμηθεί ο παρακάτω λόγος (Tennekes amp Lumley 1972 Hinze 1975 Law 2006)

(923)

Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε τυρβώδη ροή σε σωλήνα διαμέτρου D Η τάξη μεγέθους του όρου

(924)

είναι

(925)

Η τάξη μεγέθους των τυπικών διαταραχών της ταχύτητας iu στη ροή (από πειράματα) είναι

22

z

w w w w p u w v w wu v w w

t x y z z x y z

2

xx xy xz

2xy yy yz

2xz yz zz

u u v u w

u v v v w

u w v w w

i j

ji

j i

u uά Reynolds

έ ά ώuu

x x

ji

j i

uu

x x

ji

j i

uu uO

x x D

8

(926)

Συνεπώς 2i ju u 001 u

και έτσι έχουμε

(927)

οπότε για Rege2500 (ένα κριτήριο για να έχουμε τυρβώδη ροή σε αγωγό) τότε προκύπτει ότι οι τάσεις Reynolds

είναι τουλάχιστον μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις συνήθεις διατμητικές τάσεις που οφείλονται στη

συνεκτικότητα του ρευστού Γιrsquo αυτό για πλήρως τυρβώδη ροή πολλές φορές ο όρος i

j

u

x

στις εξισώσεις

Reynolds αγνοείται ως πολύ μικρός Η διαδικασία λήψης του ΧΜR έχει βέβαια και τα εξής μειονεκτήματα

(Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012 Spalding 1955 Hinze 1975)

Στην εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ένας επιπλέον όρος ο οποίος

χρειάζεται να υπολογιστεί ή να μοντελοποιηθεί

Αυτός ο όρος υπονοεί ότι υπάρχει μια μέση συναλλαγή μάζας διά μέσου

μιας μέσης ροϊκής γραμμής κάτι που αντίκειται στη συνήθη θεώρηση της μέσης ροϊκής

γραμμής

Οι περισσότεροι αισθητήρες δειγματοληψίας πχ θερμοκρασίας ή συστατικών μετρούν τιμές

που προσεγγίζουν μέσες κατά μάζα τιμές και όχι χρονικά μέσες τιμές

Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά πολύ απλούστερες όταν το μέσο ληφθεί ως προς τη

μάζα κατά Favre (Μαζικό Μέσο ndash ΜΜ Favre ή ΜΜF) (Bray amp Peters 1994 Libby amp

Williams 1994 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Peters 2000)

Μπορούμε να ορίσουμε μια μέση κάτα μάζα (κατά Favre) ταχύτητα ως

(928)

και η στιγμιαία ταχύτητα μπορεί να γραφεί τώρα ως

(929)

όπου i iu x t είναι η υπερτιθέμενη διακύμανση της ταχύτητας και όπου τώρα

(930)

όμοια δε ορίζονται και οι άλλες ποσότητες Αποδεικνύεται τέλος ότι η σχέση μεταξύ του ΧΜR και του ΜΜF

μιας οποιασδήποτε ποσότητας f είναι

(931)

9124 Οι Μέσες Κατά Μάζα Εξισώσεις Διατήρησης και Μεταφοράς

2i j

ji

j i

u u001u uD

001 001ReuuuD

x x

ii

uu

i i i i i iu x t u x u x t

i i iu u u

iu 0

f f f f

iOu 01u

j

j

ux

9

Επειδή οι πιο συνήθεις μεθοδολογίες μέτρησης των τυρβωδών ποσοτήτων στην καύση μετράνε κυρίως χρονικά

μέσους (ΧΜR) συσχετισμούς τυρβωδών διακυμάνσεων όπως πχ η ανεμομετρία θερμού νήματος τα χρονικά

μέσα θα διατηρηθούν για τον τανυστή των τάσεων και το διάνυσμα της ροής θερμότητας και της μάζας

Παρακάτω παραθέτουμε τις εξισώσεις διατήρησης και μεταφοράς για το πεδίο ταχυτήτων ενθαλπίας και

συστατικών με λήψη του μέσου κατά Favre ΜΜF (Bray amp Peters 1994 Libby amp Williams 1994 Spalding

1955 Kuo 2002 Peters 2000 Williams 1985 Borghi 1988 Law 2006)

Εξίσωση της συνέχειας

(932)

Εξίσωση της ορμής

(933)

Εξίσωση της ενέργειας

(934)

Η φυσική ερμηνεία των παραπάνω όρων είναι

μέσος ρυθμός μεταβολής της ενέργειαςενθαλπίας h ανά μονάδα όγκου και χρόνου

έργο πίεσης που οφείλεται στη μακροσκοπική κίνηση

έργο που οφείλεται στην τύρβη

μεταφορά θερμότητας μέσω αγωγής

τυρβώδης διάχυση της ενέργειας

απορρόφησηεκφυλισμός ενέργειας που οφείλεται στη μοριακή τριβή

H εξίσωση της διατήρησης της μάζας του k συστατικού βασισμένη στο ΜΜF (κατά Favre) γράφεται

(935)

Συμπληρωματικά παρατίθεται και η εξίσωση της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας TKE 1i j2

k u u που

περιγράφει τη μέση τιμή της διακυμαινόμενης κινητικής ενέργειας των δινών ανά μονάδα μάζας (Peters 2000

Libby amp Williams 1994 Bray amp Peters 1994 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012)

(936)

Η φυσική σημασία των παραπάνω όρων είναι

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τύρβης

Κινητική ενέργεια των διαταραχών που μεταδίδεται διά συναγωγής από τις διαταραχές

(δηλαδή διάχυση της ενέργειας των διαταραχών)

jj

u 0t x

i i j ij i j

j i j

pu u u u u

t x x x

i ij j j j j ij ij

j j j j j jIV V

I II III VI

u u p p ph h u u u q h u

t x t x x x x x

k kk k i k i k k

i i i i i

Y YY Y u D Y u D MW

t x x x x x

ik i1 1i i k i i i i i k2 2

k i k k

I II III IV V

uD pu u u u u u u u u

Dt x x x x

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

8

(926)

Συνεπώς 2i ju u 001 u

και έτσι έχουμε

(927)

οπότε για Rege2500 (ένα κριτήριο για να έχουμε τυρβώδη ροή σε αγωγό) τότε προκύπτει ότι οι τάσεις Reynolds

είναι τουλάχιστον μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις συνήθεις διατμητικές τάσεις που οφείλονται στη

συνεκτικότητα του ρευστού Γιrsquo αυτό για πλήρως τυρβώδη ροή πολλές φορές ο όρος i

j

u

x

στις εξισώσεις

Reynolds αγνοείται ως πολύ μικρός Η διαδικασία λήψης του ΧΜR έχει βέβαια και τα εξής μειονεκτήματα

(Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012 Spalding 1955 Hinze 1975)

Στην εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ένας επιπλέον όρος ο οποίος

χρειάζεται να υπολογιστεί ή να μοντελοποιηθεί

Αυτός ο όρος υπονοεί ότι υπάρχει μια μέση συναλλαγή μάζας διά μέσου

μιας μέσης ροϊκής γραμμής κάτι που αντίκειται στη συνήθη θεώρηση της μέσης ροϊκής

γραμμής

Οι περισσότεροι αισθητήρες δειγματοληψίας πχ θερμοκρασίας ή συστατικών μετρούν τιμές

που προσεγγίζουν μέσες κατά μάζα τιμές και όχι χρονικά μέσες τιμές

Οι προκύπτουσες εξισώσεις είναι κατά πολύ απλούστερες όταν το μέσο ληφθεί ως προς τη

μάζα κατά Favre (Μαζικό Μέσο ndash ΜΜ Favre ή ΜΜF) (Bray amp Peters 1994 Libby amp

Williams 1994 Spalding 1955 Kuo amp Acharaya 2012 Peters 2000)

Μπορούμε να ορίσουμε μια μέση κάτα μάζα (κατά Favre) ταχύτητα ως

(928)

και η στιγμιαία ταχύτητα μπορεί να γραφεί τώρα ως

(929)

όπου i iu x t είναι η υπερτιθέμενη διακύμανση της ταχύτητας και όπου τώρα

(930)

όμοια δε ορίζονται και οι άλλες ποσότητες Αποδεικνύεται τέλος ότι η σχέση μεταξύ του ΧΜR και του ΜΜF

μιας οποιασδήποτε ποσότητας f είναι

(931)

9124 Οι Μέσες Κατά Μάζα Εξισώσεις Διατήρησης και Μεταφοράς

2i j

ji

j i

u u001u uD

001 001ReuuuD

x x

ii

uu

i i i i i iu x t u x u x t

i i iu u u

iu 0

f f f f

iOu 01u

j

j

ux

9

Επειδή οι πιο συνήθεις μεθοδολογίες μέτρησης των τυρβωδών ποσοτήτων στην καύση μετράνε κυρίως χρονικά

μέσους (ΧΜR) συσχετισμούς τυρβωδών διακυμάνσεων όπως πχ η ανεμομετρία θερμού νήματος τα χρονικά

μέσα θα διατηρηθούν για τον τανυστή των τάσεων και το διάνυσμα της ροής θερμότητας και της μάζας

Παρακάτω παραθέτουμε τις εξισώσεις διατήρησης και μεταφοράς για το πεδίο ταχυτήτων ενθαλπίας και

συστατικών με λήψη του μέσου κατά Favre ΜΜF (Bray amp Peters 1994 Libby amp Williams 1994 Spalding

1955 Kuo 2002 Peters 2000 Williams 1985 Borghi 1988 Law 2006)

Εξίσωση της συνέχειας

(932)

Εξίσωση της ορμής

(933)

Εξίσωση της ενέργειας

(934)

Η φυσική ερμηνεία των παραπάνω όρων είναι

μέσος ρυθμός μεταβολής της ενέργειαςενθαλπίας h ανά μονάδα όγκου και χρόνου

έργο πίεσης που οφείλεται στη μακροσκοπική κίνηση

έργο που οφείλεται στην τύρβη

μεταφορά θερμότητας μέσω αγωγής

τυρβώδης διάχυση της ενέργειας

απορρόφησηεκφυλισμός ενέργειας που οφείλεται στη μοριακή τριβή

H εξίσωση της διατήρησης της μάζας του k συστατικού βασισμένη στο ΜΜF (κατά Favre) γράφεται

(935)

Συμπληρωματικά παρατίθεται και η εξίσωση της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας TKE 1i j2

k u u που

περιγράφει τη μέση τιμή της διακυμαινόμενης κινητικής ενέργειας των δινών ανά μονάδα μάζας (Peters 2000

Libby amp Williams 1994 Bray amp Peters 1994 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012)

(936)

Η φυσική σημασία των παραπάνω όρων είναι

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τύρβης

Κινητική ενέργεια των διαταραχών που μεταδίδεται διά συναγωγής από τις διαταραχές

(δηλαδή διάχυση της ενέργειας των διαταραχών)

jj

u 0t x

i i j ij i j

j i j

pu u u u u

t x x x

i ij j j j j ij ij

j j j j j jIV V

I II III VI

u u p p ph h u u u q h u

t x t x x x x x

k kk k i k i k k

i i i i i

Y YY Y u D Y u D MW

t x x x x x

ik i1 1i i k i i i i i k2 2

k i k k

I II III IV V

uD pu u u u u u u u u

Dt x x x x

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

9

Επειδή οι πιο συνήθεις μεθοδολογίες μέτρησης των τυρβωδών ποσοτήτων στην καύση μετράνε κυρίως χρονικά

μέσους (ΧΜR) συσχετισμούς τυρβωδών διακυμάνσεων όπως πχ η ανεμομετρία θερμού νήματος τα χρονικά

μέσα θα διατηρηθούν για τον τανυστή των τάσεων και το διάνυσμα της ροής θερμότητας και της μάζας

Παρακάτω παραθέτουμε τις εξισώσεις διατήρησης και μεταφοράς για το πεδίο ταχυτήτων ενθαλπίας και

συστατικών με λήψη του μέσου κατά Favre ΜΜF (Bray amp Peters 1994 Libby amp Williams 1994 Spalding

1955 Kuo 2002 Peters 2000 Williams 1985 Borghi 1988 Law 2006)

Εξίσωση της συνέχειας

(932)

Εξίσωση της ορμής

(933)

Εξίσωση της ενέργειας

(934)

Η φυσική ερμηνεία των παραπάνω όρων είναι

μέσος ρυθμός μεταβολής της ενέργειαςενθαλπίας h ανά μονάδα όγκου και χρόνου

έργο πίεσης που οφείλεται στη μακροσκοπική κίνηση

έργο που οφείλεται στην τύρβη

μεταφορά θερμότητας μέσω αγωγής

τυρβώδης διάχυση της ενέργειας

απορρόφησηεκφυλισμός ενέργειας που οφείλεται στη μοριακή τριβή

H εξίσωση της διατήρησης της μάζας του k συστατικού βασισμένη στο ΜΜF (κατά Favre) γράφεται

(935)

Συμπληρωματικά παρατίθεται και η εξίσωση της Τυρβώδους Κινητικής Ενέργειας TKE 1i j2

k u u που

περιγράφει τη μέση τιμή της διακυμαινόμενης κινητικής ενέργειας των δινών ανά μονάδα μάζας (Peters 2000

Libby amp Williams 1994 Bray amp Peters 1994 Bradshaw 1978 Kuo amp Acharaya 2012)

(936)

Η φυσική σημασία των παραπάνω όρων είναι

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τύρβης

Κινητική ενέργεια των διαταραχών που μεταδίδεται διά συναγωγής από τις διαταραχές

(δηλαδή διάχυση της ενέργειας των διαταραχών)

jj

u 0t x

i i j ij i j

j i j

pu u u u u

t x x x

i ij j j j j ij ij

j j j j j jIV V

I II III VI

u u p p ph h u u u q h u

t x t x x x x x

k kk k i k i k k

i i i i i

Y YY Y u D Y u D MW

t x x x x x

ik i1 1i i k i i i i i k2 2

k i k k

I II III IV V

uD pu u u u u u u u u

Dt x x x x

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

10

Έργο που οφείλεται στην τύρβη

Έργο των τάσεων ιξώδους που οφείλεται στη διακυμαινόμενη κίνηση

Παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας

Στην περίπτωση της τυρβώδους καύσης χρησιμοποιείται η ΜΜF (κατά Favre) τυρβώδης κινητική ενέργεια

i jk 1 2u u ή απλά k Η μοντελοποίηση και επίλυση αυτής της εξίσωσης και της εξίσωσης για τον εκφυλισμό

της τύρβης (Spalding 1955 Peters 2000 Libby amp Williams 1994) ε μας δίνουν τη δυνατότητα σε πρώτο

επίπεδο της εκτίμησης του φαινομενικού ή τυρβώδους ιξώδους μt ως 2t tC k C k όπως

συζητιέται παρακάτω Αυτή η προσέγγιση επιτρέπει σε αρχικό πάντα επίπεδο την επίλυση των εξισώσεων

ορμής κατά Reynolds ή κατά Favre μέσα από τον υπολογισμό των αγνώστων τυρβωδών συνιστωσών τους

913 Η Υπόθεση Boussinesq

Ξεκινώντας από τη βασική σχέση του Newton μεταξύ των τάσεων του ιξώδους και του ρυθμού παραμόρφωσης

του πεδίου ταχυτήτων ο (Boussinesq 1877) διατύπωσε μια παρόμοια έκφραση και για τις τυρβώδεις τάσεις

Reynolds (ή Favre)

Οι τάσεις της στρωτής ροής γράφονταιji

ή ή

j i

uu

x x

και ανάλογα μπορούμε να

γράψουμε για τις τάσεις Reynolds της τυρβώδους ροής (937)

jiώ ή i j

j i

t

uuu u

x x

Ο συντελεστής αναλογίας τώρα t είναι το τυρβώδες ιξώδες (κατrsquo αναλογία του δυναμικού ιξώδους

μ) Με αντικατάσταση των φαινομενικών τάσεων από την εξίσωση (937) στην εξίσωση (918) η δεύτερη

αγκύλη στην εξίσωση (918) γίνεται

(938)

Με χρήση της υπόθεσης λοιπόν Boussinesq οι εξισώσεις Reynolds μπορούν να μετασχηματιστούν ως

(939)

και παίρνουν την ίδια μορφή με τις αρχικές εξισώσεις Navier-Stokes με τις εξής δύο βασικές διαφορές

(Tennekes amp Lumley 1972 Libby amp Williams 1994 Bradshaw 1978 Hinze 1975 Peters 2000 Spalding

1955)

Οι ταχύτητες iu στην παραπάνω σχέση είναι οι χρονικά μέσες κατά Reynolds iu ή Favre iu

Ο ενεργός συντελεστής ιξώδους της ροής eff t δεν είναι ποσότητα που εξαρτάται από

το ρευστό (όπως το κινηματικό ιξώδες μ που είναι φυσική ιδιότητα του ρευστού) αλλά

εξαρτάται από την ποιότητα της ροής (δηλαδή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του

τυρβώδους πεδίου) υπολογίζεται δε μέσω των τυρβωδών μοντέλων (Libby amp Williams 1994

Kuo 2002 Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

Σε τυρβώδες πεδίο ροής με καύση οι μαζικά μέσες (κάθετες και διατμητικές) τάσεις κατά Favre δίνονται από

τη γενική έκφραση (Bray amp Peters 1994 Peters 2000)

jit

j i

uu

x x

jti ij

j i j j i

uu u1 pu

x x x x x

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

11

(940)

οι δε τυρβώδεις ροές των βαθμωτών μεγεθών Z (= Yi Τ f) δίνονται από την έκφραση

(941)

όπου t t t ή ώ ό και σt είναι ο τυρβώδης αριθμός Prandtl ή

Schmidt (Prt ή Sct) Εκτενέστερες περιγραφές για την τυρβώδη μοντελοποίηση και τις εξελιγμένες μεθοδολογίες

υπολογισμού και μοντελοποίησης των τυρβωδών μεγεθών δίνονται στις αναφορές (Bray amp Peters 1994

Hinze 1975 Kuo 2002 Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955

Echekki amp Mastorakos 2011)

914 Διαστατική Ανάλυση Κλίμακες Χώρου και Χρόνου

Η πιο στοιχειώδης μορφή ανάλυσης που μπορεί να γίνει στο τυρβώδες πεδίο ροής είναι η διαστατική ανάλυση

(dimensional analysis) Με τη μέθοδο αυτή προσδιορίζονται οι βασικές ανεξάρτητες παράμετροι που

επηρεάζουν το πεδίο Οι παράμετροι αυτές συνδυάζονται κατά τρόπο ώστε να αδιαστατοποιήσουν τις

υπόλοιπες

Το τυρβώδες πεδίο ροής χαρακτηρίζεται από σημαντικές μεταβολές του πεδίου ταχυτήτων στο χώρο

και στο χρόνο οι οποίες δημιουργούν ένα πλήθος μικρo-στροβίλων διαφορετικού μεγέθους τις δίνες που

μεταφέρονται από τη μέση ροή Οι δίνες όλων των μεγεθών αλληλεπιδρούν έντονα μεταξύ τους μέσα από μια

συνεχή και επαναλαμβανόμενη διεργασία όπως έχει περιγραφεί από τον Kolmogorov (cascade process)

(Tennekes amp Lumley 1972 Turns 2000 Hinze 1975) όπου οι μεγάλες δίνες διαχωρίζονται σε όλο και πιο

μικρές μέχρι το μικρότερο δυνατό επίπεδο το οποίο επιτρέπει την επίδραση της συνεκτικότητας (δηλαδή του

ιξώδους) Η τύρβη είναι ουσιαστικά ένα εκφυλιστικό φαινόμενο που μετατρέπει την ενέργεια σε θερμότητα

Για ένα ισοτροπικό πεδίο τύρβης το φάσμα της κατανομής των δινών συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους

κλίμακας δείχνεται στο Σχήμα 92 Εδώ φαίνεται να ξεχωρίζουν οι τρεις ζώνες κατανομής των δινών

Η ζώνη των μεγάλων δινών ή ολοκληρωτική ζώνη (Integral zone) με χαμηλές συχνότητες και

μεγάλες δομές που περιέχουν και το μεγαλύτερο ποσοστό ενέργειας

Η ζώνη αδρανείας (Inertial zone) η οποία περιέχει ασταθείς δίνες τρισδιάστατης

συμπεριφοράς έντονης δραστηριοποίησης με υψηλή τυρβώδη κινητική ενέργεια k

Τη ζώνη εκφυλισμού (Dissipation zone) όπου οι δίνες απορροφώνται από την επίδραση της

συνεκτικότητας (δηλαδή του ιξώδους) που είναι πολύ έντονη σε αυτό το επίπεδο μεγέθους

κλιμάκων και όπου εδώ τελικά η ενέργειά τους μετατρέπεται σε θερμότητα Η ζώνη αυτή

κυριαρχείται από τα επίπεδα του ρυθμού εκφυλισμού των δινών

i i

j j

u u

x x

jk ii j ij t t

k j i

uu u2u u k

3 x x x

t ij i

t j

Zu

x

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

12

Σχήμα 92 Κατανομή της ενέργειας των δινο-στροβίλων συναρτήσει του χαρακτηριστικού μήκους κλίμακας σε τυρβώδη

ροή

Οι κύριες ανεξάρτητες παράμετροι είναι οι κλίμακες του χώρου και του χρόνου Οι κλίμακες αυτές επιλέγονται

έτσι ώστε η εξαρτημένη μεταβλητή να παρουσιάζει laquoτοπική αμεταβλητότηταraquo (local invariance) ή laquoαυτο-

συντηρητικότηταraquo (self-preservation) μέσα στο πλαίσιο μεταβολής των παραπάνω παραμέτρων Αυτό σημαίνει

ότι η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται άμεσα από τις αλλαγές των μεταβλητών μέσα σε μια περιοχή που

περιορίζουν οι παραπάνω κλίμακες χώρου και χρόνου

Για παράδειγμα η παράγωγος ( u y) (δηλαδή η διατμητική τάση τ) επηρεάζεται μόνον από τη

διαφορά Δu (της ταχύτητας) σε μήκος Δy που είναι της τάξης μεγέθους του πάχους δ του οριακού στρώματος

κλπ Στη θεωρία της τύρβης οι πιο γνωστές κλίμακες είναι δύο (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978)

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες (integral scales) χώρουχρόνου στη ζώνη Α (Σχήμα 92)

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (dissipation scales) στη ζώνη C

Οι ολοκληρωτικές κλίμακες ορίζονται με βάση τις παραμέτρους συσχετισμού και εκφράζουν το μέγεθος των

στροβίλων που φέρουν το μεγαλύτερο ποσοστό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) k ( 1i j2

k u u )

Οι κλίμακες απορρόφησης ή εκφυλισμού (ή μήκη Kolmogorov όπως αλλιώς αποκαλούνται)

χαρακτηρίζουν τις μικρότερες δίνες της τύρβης όπου η ΤΚΕ εκφυλίζεται σε θερμότητα μέσω της επίδρασης

της συνεκτικότητας

Το μήκος Kolmogorov (kl ) ορίζεται ως

(942)

όπου

3

2i i

j j turbulent

u u k

x x l

(943)

Η παράμετρος ε είναι ο προαναφερθείς ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας k και η

κλίμακα μήκους lt(urbulent) είναι η κλίμακα μήκους των δινο-στροβίλων στην περιοχή των μεγάλων δινών Α

(Σχήμα 92)

13 4

kl

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

13

Ο ρυθμός που μεταφέρεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια k είναι της τάξης i t(u l ) πριν αυτή

απορροφηθεί Άρα μπορούμε να γράψουμε

(944)

Για τις κλίμακες απορρόφησηςεκφυλισμού του χρόνου και της ταχύτητας (Kolmogorov) αντίστοιχα έχουμε

(945)

(946)

Οι συσχετισμοί μεταξύ των μακρο- και μικρο-κλιμάκων είναι (Tennekes amp Lumley 1972 Bradshaw 1978

Libby amp Williams 1994 Spalding 1955 Peters 2000)

(947)

(948)

(949)

όπου Ret tkl

= ο τοπικός τυρβώδης αριθμός Reynolds ο δε αριθμός Reynolds των μικρο-δινών στην

περιοχή εκφυλισμού C είναι k ku l

1

92 Τυρβώδεις Φλόγες

Όπως και στην περίπτωση της φλόγας στρωτής ροής έτσι και στην τυρβώδη ροή η φλόγα εξαρτάται άμεσα

από το αν έχουμε προαναμεμειγμένο το καύσιμο με το οξειδωτικό ή όχι Σε αρκετές όμως περιπτώσεις η

ανάλυση βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που έχουν προέλθει από πειραματικές μετρήσεις Εδώ σημαντικές

παράμετροι είναι η ένταση και η απόδοση της καύσης η τοπολογία και η ταχύτητα του μετώπου της φλόγας

οι κατανομές της θερμοκρασίας η μεταφορά της θερμότητας και των συστατικών οι εκπομπές ρύπων και η

ευστάθεια της φλόγας καθότι επηρεάζουν πρακτικές λειτουργικές συμπεριφορές όπως πχ την οπισθανάφλεξη

(flashback) και το εκφύσημα (blow-off) του μετώπου της φλόγας (Libby amp Williams 1994 Peters 2000

Poinsot amp Veynante 2001 Echekki amp Mastorakos 2011)

921 Τυρβώδεις Φλόγες Προανάμειξης

9211 Αλληλεπίδραση της Τύρβης και του Μετώπου της Φλόγας-Διάκριση Περιοχών Αντίδρασης

Στην ανάλυση της φλόγας στρωτής ροής με προανάμειξη έγινε η υπόθεση ότι η φλόγα είναι μια συνεχής λεπτή

ζώνη Στην περίπτωση της τυρβώδους φλόγας τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά και οι υποθέσεις ποικίλλουν

Η ένταση της τύρβης (δηλαδή o λόγος 2(u ) U

) και το μέγεθος των μικρο-στροβίλων παίζουν σημαντικό

3

ii

t t

uuk

l l

1

2

k

1

4ku

112

tk k 2t

t t

klkRe

l

334

tk 4t

t

kllRe

l

114

tk 4t

kluRe

k

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

14

ρόλο Γενικά ο ρυθμός χημικής αντίδρασης αυξάνει με την ένταση της τύρβης Ο τρόπος με τον οποίο η τύρβη

επηρεάζει και αυξάνει το ρυθμό αντίδρασης δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της τυρβώδους

φλόγας εξαρτάται από τη σχέση που έχουν οι κλίμακες της τυρβώδους ροής και οι κλίμακες που χαρακτηρίζουν

το μέτωπο της φλόγας Τα χημικο-κινητικά φαινόμενα στο μέτωπο της φλόγας χαρακτηρίζονται από τη χημική

χρονο-κλίμακα τC=δLSL όπου δL και SL είναι το πάχος και η θεμελιώδης ταχύτητα διάδοσης του στρωτού

μετώπου φλόγας (Κεφάλαιο 6) Το μέτωπο της φλόγας αλληλεπιδρά αφενός μεν με τις πλέον ενεργητικές

μεγάλες δίνες με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου τt=lt tu και αφετέρου με τις μικρότερες δίνες με

χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου αυτήν του Kolmogorov 1

2k k kl u Οι κλασικές θεωρήσεις

εισάγουν δύο αδιάστατους αριθμούς για την περιγραφή αυτών των αλληλεπιδράσεων (Borghi 1988 Libby amp

Williams 1994 Law 2006 Peters 2000 Poinsot amp Veynante 2001)

Τον αριθμό Damkoumlhler που ορίζεται για τις μεγάλες δίνες και εκφράζει το λόγο της χρονο-κλίμακας

μείξης των μεγάλων δινών προς τη χημική χρονο-κλίμακα t c t L L tDa l S u

Τον αριθμό Karlovitz που προσδιορίζει τις μικρότερες δίνες Kolmogorov και εκφράζει το λόγο της

χημικής χρονο-κλίμακας προς τη χρονο-κλίμακα μείξης των μικρών δινών Kolmogorov

c k L k t LKa l u S

Ο αριθμός Karlovitz μπορεί επίσης να γραφεί ως 2

c k L kKa l Υπάρχει ωστόσο η σχέση

2 2tRe Da Ka Για να διακρίνουμε την επίδραση της τύρβης στην εσωτερική δομή του μετώπου της φλόγας

που αποτελείται από τις ζώνες προθέρμανσης αντίδρασης και προϊόντων καύσης (βλπ και Κεφάλαιο 6)

ορίζεται ένας επιπρόσθετος αριθμός Karlovitz με βάση το πάχος της ζώνης αντίδρασης δr (Peters 2000) ως

2 2 2 2

r r k r L L k L kKa l l 1 100 l Ka 100 Σύμφωνα με τον (Peters 2000) έχουν

διακριθεί τέσσερις περιοχές με διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύρβης και χημικής κινητικής στο μέτωπο της

φλόγας οι οποίες έχουν κατανεμηθεί ως ακολούθως

Η περιοχή της στρωτής φλόγας (Laminar flame regime) με tt

klRe

lt1

Η περιοχή των λεπτών ρυτιδωμένων φλογών (Thin wrinkled flame regime με Ret lt 1 Ka lt 1) όπου

το μέτωπο της φλόγας μπορεί να περιγραφεί σαν στατιστική συλλογή από λεπτά laquoστρωτάraquo

φλογίδια Η γεμάτη μικρο-στροβίλους τυρβώδης ροή συστρέφει κάμπτει και ζαρώνει το μέτωπο

της φλόγας Σχήμα 93 χωρίς οι δίνες να εισχωρούν εντός του Η επιφάνεια της φλόγας ρυτιδώνεται

(wrinkles) με αποτέλεσμα να αυξάνεται το εμβαδόν της (και φυσικά ο ρυθμός κατανάλωσης του

καυσίμου) Η θεμελιώδης στρωτή ταχύτητα της φλόγας SL δε μεταβάλλεται αλλά αυτό που

αυξάνεται σημαντικά είναι η τυρβώδης ταχύτητα του μετώπου της φλόγας ST Η περιοχή αυτή

υποδιαιρείται περαιτέρω βάσει του λόγου t Lu S στις δύο παρακάτω περιοχές

a) Την περιοχή των λεπτών ελαφρά ρυτιδωμένων από τις δίνες φλογιδίων (Wrinkled

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S lt1)

b) Την περιοχή των έντονα παραμορφωμένων (από τις δίνες) φλογιδίων (Corrugated

flamelet regime με Ka lt 1 και t Lu S gt1)

Η περιοχή των διασταλμένων και ρυτιδωμένων φλογών ή αλλιώς των λεπτών ζωνών αντίδρασης

(Thickened wrinkled flame regime ή thin reaction zone με Ret gt 1 1 lt Ka lt 100 Kar lt 1 Da gt 1)

όπου οι μικρότερες δίνες μπορούν και αλληλεπιδρούν με τη ζώνη προθέρμανσης αλλά όχι και με τη

ζώνη αντίδρασης η οποία διατηρείται λεπτότερη από τις δίνες

Η περιοχή των διασταλμένων φλογών ή αλλιώς της πλήρως αναδευμένης ζώνης αντίδρασης

(Thickened flame regime ή well-stirred reactor με Ret gt 1 Ka gt 100 Kar gt 1 Da lt 1) όπου η ανάμειξη

που δημιουργεί η τύρβη είναι πολύ έντονη και το πάχος του μετώπου της φλόγας είναι αυξημένο

με αποτέλεσμα οι μικρότερες δίνες Kolmogorov να μπορούν να αλληλεπιδρούν τόσο με τη ζώνη

προθέρμανσης όσο και με τη ζώνη αντίδρασης

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

15

Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας σκιαγραφείται στο διάγραμμα του Σχήμα 93

Υπήρξε στο παρελθόν και υπάρχει ακόμη έντονη ερευνητική προσπάθεια και συνεχιζόμενη ανάλυση για την

εξεύρεση μιας γενικευμένης έκφρασης αναφορικά με την ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας υπό

τυρβώδεις συνθήκες ST η οποία να ισχύει σε όλες αυτές τις περιοχές Ωστόσο μέχρι σήμερα δεν έχει

διαμορφωθεί μια ενιαία θεωρία και προσέγγιση (Libby amp Williams 1994 Peters 2000 Borghi 1988 Abdel-

Gayed Bradley Hamid amp Lawes 1984)

Σχήμα 93 Το lsquoζάρωμαrsquo (wrinkling) του τυρβώδους μετώπου της φλόγας

9212 Θεωρίες για την Ταχύτητα Διάδοσης του Τυρβώδους Μετώπου της Φλόγας Προανάμειξης

Η τυρβώδης φλόγα είτε προανάμειξης είτε διάχυσης εξαρτάται έντονα από το τυρβώδες πεδίο (Borghi 1988

Damkoumlhler 1940) Η πρώτη προσέγγιση στον υπολογισμό της ταχύτητας της τυρβώδους φλόγας προανάμειξης

βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τύρβη lsquoρυτιδώνει ή ζαρώνειrsquo τη φλόγα της στρωτής ροής Η υπόθεση αυτή

βασίστηκε στις παρατηρήσεις που είχαν γίνει στο παρελθόν σύμφωνα με τις οποίες εμφανίζεται μια οπτική

παραμόρφωση της φλόγας Σχήμα 93 Μια από τις πρώτες αναλύσεις είναι αυτή που έκανε ο Damkoumlhler

(1940) ο οποίος παρατήρησε ότι η ταχύτητα της φλόγας είναι

ανεξάρτητη του αριθμού Reynolds όταν Re le 2300

ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού Re όταν 2300leRele6000

ανάλογη του αριθμού Re όταν Re ge 6000

Προφανώς η δεύτερη και τρίτη περίπτωση επηρεάζονται από την τύρβη και έτσι η μετρούμενη ταχύτητα της

φλόγας εξαρτάται από τη γεωμετρία του καυστήρα και τη ροή Στο διάστημα 2300 le Re le 6000 η τύρβη είναι

μικρής κλίμακας το οποίο σημαίνει ότι το μέγεθος των δινών και το μήκος της μείξης είναι πολύ μικρότερα

από το πάχος του μετώπου της φλόγας Το φαινόμενο αυτό (μικρής κλίμακας δίνες) αυξάνει την ένταση των

διαδικασιών μεταφοράς στην περιοχή του κύματος καύσης Έτσι τα φαινόμενα μεταφοράς (θερμότητας και

μάζας) λαμβάνουν χώρα λόγω της τυρβώδους διάχυσης και όχι λόγω της μοριακής διάχυσης

Όταν Re ge 6000 το μέγεθος των δινών είναι συσχετισμένο με τη διάμετρο του σωλήνα και πολύ

μεγαλύτερο από το πάχος του μετώπου της στρωτής φλόγας Οι μεγάλης κλίμακας δίνες δε συντελούν τόσο

στην αύξηση της διάχυσης όσο συντελούν οι μικρότερης κλίμακας δίνες αλλά ζαρώνουν το ομαλό μέτωπο της

στρωτής φλόγας όπως φαίνεται στο Σχήμα 93 Αυτό το ζάρωμα της φλόγας έχει ως συνέπεια την αύξηση του

λόγου (μέτωπο της φλόγαςεπιφάνεια του σωλήνα) και κατά συνέπεια η ταχύτητα της φλόγας αυξάνει χωρίς

καμία αλλαγή στη στιγμιαία ανάπτυξη της φλόγας

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω (κατά Damkoumlhler) οι μικρής κλίμακας δίνες (υψηλή ένταση της τύρβης)

αυξάνουν τους συντελεστές μεταφοράς Επίσης η ταχύτητα της στρωτής φλόγας (SL) ορίζεται από την εξίσωση

Error Reference source not found άρα είναι λογικό να περιμένουμε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας

κατά αναλογία θα είναι

(950)

T TS

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

16

όπου αΤ=ο τυρβώδης συντελεστής θερμικής διαχυτότητας και =ο ρυθμός αντίδρασης Έτσι μπορεί να

υποτεθεί ότι

(951)

Αν τώρα ο τυρβώδης ρυθμός Prandtl ( ) και ο (lsquoστρωτόςrsquo που βασίζεται στις μοριακές ιδιότητες

μεταφοράς) αριθμός Prandtl ( ) είναι κατά προσέγγιση ίσοι με τη μονάδα τότε η εξίσωση γίνεται

(952)

και για ροή μέσα σε σωλήνα ισχύει 001Re άρα

(953)

Για την περίπτωση όπου έχουμε δίνες μεγάλης κλίμακας (χαμηλή ένταση της τύρβης) η φλόγα ζαρώνει ή

συρρικνώνεται αλλά οι μοριακοί συντελεστές μεταφοράς παραμένουν ως έχουν και ως εκ τούτου η ταχύτητα

της στρωτής φλόγας παραμένει σταθερή Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι για σταθερή SL η επιφάνεια της

φλόγας είναι ανάλογη της ταχύτητας της ροής και είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η αύξηση της επιφάνειας

της φλόγας μέσω της τύρβης θα είναι ανάλογη της tu Επίσης αφού όπως ξέρουμε το τυρβώδες κινηματικό

ιξώδες (νt) είναι ανάλογο του γινομένου της έντασης της τύρβης επί το μήκος μείξης (το οποίο μπορεί να

θεωρηθεί σταθερό) έχουμε ότι η tu είναι ανάλογη του νt Ακόμη περιμένουμε ότι νt ~ Re για σταθερό ν

Συνοψίζοντας έχουμε T

L

S

S (επιφάνειας του μετώπου της φλόγας) (διακύμανσης της τύρβης) νΤ Re

Τέλος έχει βρεθεί πειραματικά ότι TS ARe B όπου Α Β = σταθερές Η παραπάνω σχέση

επαληθεύει τη ανάλυση του Damkoumlhler (φυσικά μόνο για την περιοχή των δινών μεγάλης κλίμακας) αρκετά

ικανοποιητικά

Ο (Schelkin 1943) επέκτεινε την παραπάνω ανάλυση θεωρώντας την επιρροή του χρόνου χημικής

αντίδρασης (τr) στην τύρβη Έτσι πρότεινε για στρωτές φλόγες

(954)

όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και παρόμοια για τυρβώδεις φλόγες έχουμε

(955)

όπου τch είναι ο χρόνος χημικής αντίδρασης

Για τις δίνες μεγάλης κλίμακας ο Schelkin (1943) υπέθεσε ότι το ζάρωμα ή ρυτίδωμα της φλόγας είναι

μορφής κώνου και υπολόγισε ότι

(956)

Φυσικά όταν η ένταση της τύρβης (tu ) αυξηθεί πολύ ώστε

tu gtgtSL τότε T ts u (όπως υπέθεσε ο

Damkoumlhler)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Damkoumlhler πρότεινε ότι η ταχύτητα της τυρβώδους φλόγας είναι

ανάλογη του Σrsquo αυτήν την υπόθεση όμως υπάρχει ένα λάθος όταν το αΤ τείνει στο 0 το ST τείνει και

1

2T

L

S

S

1

2T

L

S

S

1

T 2

L

S01Re

S

L

ch p ch ch

a k kS

c

t t tT L

ch ch

k k k kkS 1 S 1

k k

12 2

tT L

L

2uS S 1

S

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

17

αυτό στο 0 Στην πραγματικότητα το ST τείνει στο SL καθώς το αΤ τείνει στο 0 Έτσι για να εξαλειφθεί αυτό το

μειονέκτημα οι (Karlovitz Denninston amp Wells 1951) πρότειναν την έκφραση

(957)

Ακόμη έχουμε tu

και έτσι λαμβάνουμε

(958)

όπου Κ1 είναι πειραματική σταθερά Άλλοι ημι-εμπειρικοί συσχετισμοί που καλύπτουν αυτές τις προϋποθέσεις

είναι η έκφραση του (Klimov 1983)

(959)

η έκφραση του (Calvin amp Williams 1982)

(960)

και η έκφραση του (Gulder 1990)

(961)

Επειδή οι διάφορες θεωρίες δεν είναι απολύτως επιτυχείς για την περιγραφή της μεταβολής St vs Re σε όλο

το εύρος των αριθμών Reynolds οι περιοχές της τυρβώδους προαναμεμειγμένης καύσης περιγράφονται επίσης

μέσω των αδιάστατων αριθμών Damkoumlhler Da και Karlovitz Ka Όταν Regtgt1 και Kaltlt1 έχουμε λεπτά και

lsquoρυτιδωμέναrsquo μέτωπα φλόγας και όταν Regtgt1 και Kagtgt1 έχουμε lsquoδιανεμημένα η διασταλμέναrsquo μέτωπα φλόγας

Στην πρώτη περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις (956) (959) (960) και (961) και στη δεύτερη οι σχέσεις (951)

και (952)

922 Τυρβώδεις μη-Προαναμεμειγμένες ή Μερικώς Προαναμεμειγμένες Φλόγες

Πρόκειται για μια σημαντική γκάμα φλογών από πλευράς παραδοσιακών πρακτικών εφαρμογών

Περιλαμβάνουν τόσο τις φλόγες δέσμης (jet) οριακού στρώματος (boundary layer) κλπ όσο και τη διφασική

καύση που μπορεί να αναφέρεται είτε σε λιμνώδεις ανωστικές φλόγες είτε σε καύση εκνεφώματος

σταγονιδίων προερχόμενο εξ εγχύσεως υγρού καυσίμου (για τα οποία έχουμε μιλήσει στο Κεφάλαιο 8) ή

επιπλέον και στην καύση σωματιδίων πχ άνθρακα σε εστίες ή και στις πυρκαγιές δασών Γενικά σε μια μη

προαναμεμειγμένη φλόγα υπάρχουν δύο χρονο-κλίμακες μία σχετική με τη ροή ή τη βαθμίδα της ταχύτητας

(partuipartxj strain-διάταση) και μία σχετική με τη χρονο-κλίμακα της βραδύτερης χημικής αντίδρασης (Bilger

1988 Peters 2000) Ωστόσο έχει διαπιστωθεί μέσα από φυσικές ερμηνείες (Peters 2000 Law 2006 Peters

1984 Cuenot amp Poinsot 1994) ότι σε οριακές συνθήκες απόσβεσης και οι δύο κλίμακες είναι παρόμοιες ή και

ίσες Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχει μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μη προαναμεμειγμένων και

προαναμεμειγμένων φλογών στην οριακή κατάστασή τους κοντά στο όριο της απόσβεσης Οι μη

προαναμεμειγμένες φλόγες από την άλλη πλευρά είναι εν γένει περισσότερο ευσταθείς και ελέγξιμες και γιrsquo

αυτό ευρύτερα αξιοποιούμενες Ωστόσο ανάλογα με την περιοχή του λόγου καυσίμουαέρα που λειτουργούν

παρουσιάζουν και αυξημένα προβλήματα όσον αφορά τα επίπεδα των εκπεμπόμενων ρύπων

9221 Γενικά Χαρακτηριστικά της μη Προαναμεμειγμένης Τυρβώδους Φλόγας

T L tS S u

T T1

L

S1 K

S

07

t t

L L

S u35

S S

1

1 22 2

t t

2L L

S u05 1 1 8

S S

12 1

t t 4t

L L

S u1 062 (Re )

S S

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

18

Οι περισσότεροι μηχανισμοί των διεργασιών που συζητήθηκαν για τις φλόγες προανάμειξης ισχύουν εν γένει

και για τις μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες Οι μη προαναμεμειγμένες τυρβώδεις φλόγες είναι

περισσότερο ευαίσθητες στις τοπικές συνθήκες διάτασηςπαραμόρφωσης (strain) της μέσης ροής και στην

ένταση της τύρβης Οι φλόγες αυτές δεν έχουν διεύθυνση διάδοσης του μετώπου αλλά εδράζονται εκεί όπου

γίνεται η ανάμειξη του καυσίμου με το οξειδωτικό Αυτή η εξάρτηση των χαρακτηριστικών και της

συμπεριφοράς τους από την ανάμειξη και το ρυθμό διάχυσης μεταξύ του καυσίμου και του οξειδωτικού (είτε

στη στρωτή είτε στην τυρβώδη ροή) τους προσέδωσε και την επωνυμία lsquoφλόγες διάχυσηςrsquo Θα μπορούσε να

λεχθεί ότι λόγω της απουσίας μιας συγκεκριμένης ταχύτητας διάδοσης του μετώπου της φλόγας οι φλόγες

αυτές αδυνατούν να επιβάλλουν τη δική τους δυναμική εξέλιξη επί του πεδίου ροής και γίνονται πιο ευαίσθητες

στην επίδραση της τύρβης Το πάχος της φλόγας διάχυσης επίσης εξαρτάται από τα αεροδυναμικά

χαρακτηριστικά της ροής τα οποία ελέγχουν την ανάμειξη και τη διάχυση του καυσίμου και του οξειδωτικού

όπως προαναφέρθηκε Φυσικά τα σχόλια του Κεφαλαίου 7 για τις στρωτές φλόγες διάχυσης ισχύουν και για

την τυρβώδη περίπτωση Στην περίπτωση των τυρβωδών φλογών διάχυσης έχουν αφιερωθεί πολλές μελέτες

για τον προσδιορισμό των καταλληλότερων χαρακτηριστικών κλιμάκων που περιγράφουν τη συμπεριφορά

τους (Bilger 1988 Borghi 1988 Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Peters 1984 Libby amp

Williams 1994 Cuenot Egolfopoulos amp Poinsot 2000) Με δεδομένες τις κλίμακες μήκους των μεγάλων

δινών (ολοκληρωτικές Integral) και τις κλίμακες Kolmogorov εκ του τυρβώδους πεδίου ροής μπορεί να

οριστούν δύο κλίμακες που αναφέρονται στη ζώνη της φλόγας διάχυσης (Bilger 1988)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης διάχυσης (diffusive thickness ld) είναι το λεπτό στρώμα όπου

καύσιμο και οξειδωτικό διαχέονται και αναμειγνύονται και όπου το κλάσμα μείγματος f που

υποδεικνύει την κατανομή του λόγου καυσίμουαέρα των αντιδρώντων μεταβάλλεται από 0

(καθαρός αέρα) έως 1 (καθαρό καύσιμο)

Η κλίμακα (το πάχος) της ζώνης αντίδρασης (reaction zone thickness lr) που προσδιορίζει τη

στενή περιοχή εκατέρωθεν της στοιχειομετρικής ισοταχούς του κλάσματος μείγματος f

δηλαδή εκατέρωθεν της γραμμής f=fst όπου λαμβάνουν χώρα οι χημικές αντιδράσεις

Αυτές οι δύο κλίμακες εξελίσσονται ανεξάρτητα στο χρόνο και εξαρτώνται από τις τυρβώδεις ροϊκές συνθήκες

Επιπρόσθετα με το μέσο ρυθμό εκφυλισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας i i

j j

u u

x x

μπορεί επίσης

να οριστεί και ένας αντίστοιχος μέσος ρυθμός εκφυλισμού της ενέργειας ενός τυρβώδους βαθμωτού μεγέθους

οριζόμενου γενικά ως c (πχ του κλάσματος μείγματος f της θερμοκρασίας T ή και ενός συστατικού Yi)

ως

(962)

Ο ρυθμός εκφυλισμού της τυρβώδους ενέργειας του βαθμωτού μεγέθους c χc έχει μονάδες 1s δηλαδή

προσδιορίζει μια κλίμακα χρόνου

Εδώ συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η κλίμακα χρόνου 1f st

στην περιοχή κοντά στη

στοιχειομετρική ζώνη f asymp f st Ο αριθμός Damkoumlhler χαρακτηρίζει τη ζώνη αντίδρασης και ορίζεται ως 1

flow chemical st chemicalDa ( ) Το κλάσμα μείγματος επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μέσω της εξ

(953) για να χαρακτηρίσει την τοπική κλίμακα μήκους ld ως d ijst stl D Ακόμη σύμφωνα με τους (Libby

amp Williams 1994) η κλίμακα μήκους (το πάχος της ζώνης αντίδρασης) για μια αντίδραση ενός βήματος νF F

+ νOO rarr P μπορεί από τη θεωρία της ασυμπτωτικής προσέγγισης (Poinsot amp Veynante 2001) να

προσδιοριστεί ως 1r dl l (Da) όπου α είναι η τάξη της αντίδρασης α=νF+νO+1 και όσο μεγαλύτερος είναι

ο Damkoumlhler τόσο λεπτότερο είναι το πάχος του στρώματος της αντιδρώσας περιοχής δηλαδή το lr Κατά

συνέπεια η ζώνη της αντίδρασης χαρακτηρίζεται από τον αριθμό Damkoumlhler και η φέρουσα τυρβώδης ροή

από τον αριθμό Reynolds Για τις κλίμακες της τυρβώδους φλόγας διάχυσης μπορεί να δειχθεί (Kuo amp

Acharaya 2012 Peters 2000 Spalding 1955 Cuenot amp Poinsot 1994 Bilger 1988) ότι ισχύει

c

k k

c c2D

x x

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

19

Ο λόγος της κλίμακας των μεγάλων δινών (lt) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld ) είναι

2 12t d tl l (f Re )

Παρόμοια ο λόγος της κλίμακας Kolmogorov (lk) προς την κλίμακα της ζώνης διάχυσης (ld )

μπορεί να γραφεί ως 2 12 12k d tl l (f Re )

Από την παραπάνω ανάλυση είχαμε ότι 1r dl l (Da) και επιπλέον μπορεί να γραφεί για την

κλίμακα της ζώνης αντίδρασης ότι 2 12 12 1k r t tl l (f Re ) (Da )

Σχετικά με τις κλίμακες χρόνου οι πιο χαρακτηριστικές είναι η κλίμακα μείξης η οποία μπορεί να γραφεί για

την περίπτωση των φλογών διάχυσης ως m st1

όπου χst είναι ο ρυθμός εκφυλισμού του βαθμωτού

μεγέθους f και μαζί με τη χημική χρονο-κλίμακα τch μπορεί να ορίσουν έναν αντίστοιχο αριθμό Damkoumlhler

2tZ t chDa ( )(1 f ) Δύο οριακές καταστάσεις μπορεί να διακριθούν για τις μη προαναμεμειγμένες φλόγες

Η πρώτη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler τείνει στο άπειρο η χημεία είναι απειροστά γοργή και προσεγγίζει

τη χημική ισορροπία Και η δεύτερη είναι όταν ο αριθμός Damkoumlhler μειώνεται προς στο μηδέν οπότε η φλόγα

ψύχεται και τείνει προς την απόσβεσή της ή δε αντιδρώσα ροή τείνει οριακά προς μια ισόθερμη μείξη

Μια πιο αναλυτική περιγραφή του πολύπλοκου αυτού αντικείμενου μπορεί να αναζητηθεί στη σχετική

βιβλιογραφία (Bray amp Peters 1994 Cuenot amp Poinsot 1994 Libby amp Williams 1994 Poinsot amp Veynante

2001 Williams 1985 Echekki amp Mastorakos 2011 Borghi 1988 Bilger 1988)

9222 Η θεώρηση της Τυρβώδους Φλόγας Διάχυσης Τύπου Δέσμης

Εδώ θα παρουσιαστούν σύντομα μερικά χαρακτηριστικά και παράμετροι φλογών τύπου δέσμης και θα γίνει

αναφορά και συζήτηση για τη πλέον κλασική περίπτωση μη προαναμεμειγμένης διαμόρφωσης φλόγας αυτήν

της μονοφασικής αέριας φλόγας τύπου δέσμης (Kuo amp Acharaya 2012 Libby amp Williams 1994 Peters

1984 Poinsot amp Veynante 2001 Spalding 1955 Turns 2000 Zukoski amp Marble 1955 Bilger 1988)

Η τυρβώδης φλόγα δέσμης έχει αναλυθεί λεπτομερώς και θεωρητικά και πειραματικά λόγω των

πολλών πρακτικών εφαρμογών της Η δέσμη μπορεί να είναι πολλών τύπων μπορεί να είναι δισδιάστατη ή

αξονοσυμμετρική Η πιο απλή μορφή της είναι εκροή καυσίμου από ένα σωλήνα σε λιμνάζουσα οξειδωτική

ατμόσφαιρα συνήθως αέρα Επίσης η αξονικά εκρέουσα δέσμη μπορεί να έχει και μια περιφερειακή

συνιστώσα δηλαδή να υφίσταται περιδίνηση (στροβιλισμό) Από την άλλη μεριά ο εξωτερικά δακτυλιοειδώς

συρρέων αέρας μπορεί να έχει κάποια ταχύτητα παράλληλη με τη δέσμη (πχ συρρέουσα δέσμη) ή η εκροή της

βασικής δέσμης να γίνεται εγκάρσια προς ένα κύριο ρεύμα (jet in cross-flow) κτλ H βασική ανάλυση που

παρουσιάζεται εδώ αφορά την απλή δέσμη αξονοσυμμετρικής μορφής με οπή έκχυσης κυκλικής διατομής

και εκροή σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα Ο ρυθμός της καύσης εξελίσσεται πολύ γρήγορα ώστε να μην επηρεάζει

τους ρυθμούς της ορμικής της θερμικής και της μαζικής διάχυσης

Στη δέσμη αυτή η δομή της τύρβης και το μήκος της φλόγας εξαρτώνται από την ταχύτητα εκροής u0

δηλαδή από τον αριθμό Reynolds Στο Σχήμα 94 φαίνονται οι δυνατές διαμορφώσεις και τα μήκη της φλόγας

όπως και η ποιότητα της ροής (στρωτή τυρβώδης) καθώς αυξάνει η u0 Εδώ παρατηρούμε ότι έχουμε αρχικά

μια φλόγα στρωτής ροής όπου το μήκος αυξάνει με την u0 και στη συνέχεια μια γρήγορη περιοχή μετάβασης

(transition region) προς τυρβώδη ροή όπου το μήκος της φλόγας σταδιακά μειώνεται και γίνεται σχεδόν

ανεξάρτητο από την u0 Γενικά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι το μήκος της στρωτής και μεταβατικής φλόγας

f1x είναι σχεδόν ανάλογο της διαμέτρου (D=2r0) του στομίου του ακροφυσίου εκροής Με επιπλέον αύξηση

της παροχής η πλήρης τυρβώδης φλόγα είναι κοντύτερη από την αντίστοιχη στρωτή με μήκος πρακτικά

ανεξάρτητο της ταχύτητας προσαγωγής του καυσίμου ως αποτέλεσμα των αυξημένων ρυθμών διείσδυσης και

ανάμειξης του περιβάλλοντος αέρα με τον πυρήνα της δέσμης του καυσίμου Οι παράγοντες οι οποίοι επιδρούν

σε μια φλόγα δέσμης διαμόρφωση κάθετης διάταξης που εκρέει σε λιμνάζουσα ατμόσφαιρα αέρα είναι οι

ακόλουθοι

Το σχετικό μέτρο της αρχικής ορμής της δέσμης του καυσίμου και των δυνάμεων λόγω

θερμικής άνωσης οι οποίες επιδρούν στη φλόγα

Η στοιχειομετρική αναλογία καυσίμου και οξειδωτικού

Ο λόγος των πυκνοτήτων καυσίμου και αέρα

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

20

Η διάμετρος του ακροφυσίου εκροής του καυσίμου

Παρακάτω δίνονται κάποιες ενδεικτικές πειραματικές συσχετίσεις για τα μήκη φλόγας στην καύση τυρβώδους

δέσμης για μερικά καύσιμα σε οξειδωτική ατμόσφαιρα αέρα

Πίνακας 91 Ενδεικτικοί συσχετισμοί μήκους φλόγας τυρβώδους δέσμης

Καύσιμο xflD

CO (Μονοξείδιο του Άνθρακα) 45

Η2 (Υδρογόνο) 130

C2H2 (Ακετυλένιο) 175

C3H8 (Προπάνιο) 295

Η τυρβώδης δέσμη εμφανίζεται όταν (Kanury 1975 Turns 2000) ο αριθμός Reynolds είναι περίπου

(963)

Η μαθηματική ανάλυση της τυρβώδους δέσμης είναι παρόμοια με αυτήν της στρωτής ροής (βλπ

υποκεφάλαιο 73) Υπάρχει επιπλέον το πρόβλημα προσδιορισμού της αυξημένης διάχυσης λόγω των

τάσεων Reynolds Η πιο παραδοσιακή και στοιχειώδης προσέγγιση προϋποθέτει (όπως έχει συζητηθεί στο

υποκεφάλαιο 913) ότι

(964)

όπου μt είναι το τυρβώδες lsquoφαινομενικόrsquo ιξώδες

Σχήμα 94 Μεταβολή του μήκους της φλόγας δέσμης συναρτήσει της ταχύτητας εκροής

(httpwwwhysafenetwikiBRHSOFD-CombustionOfHydrogen)

Επίσης για τυρβώδη διάχυση ενέργειας και μάζας έχουμε αντίστοιχα

(965) p T

Tc v k

y

0

40 0D

D uRe 15 3 10

t

uu v

y

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

21

(966)

όπου T και Y είναι η μέση θερμοκρασία και το μέσο κλάσμα μάζας συστατικού αντίστοιχα Στην έκφραση

(965) η συνεισφορά του στρωτού ιξώδους έχει θεωρηθεί αμελητέα (927) Επίσης ορίζουμε τους τυρβώδεις

αριθμούς Prandtl (Prt) Schmidt (Sct) και Lewis (Let) από τις σχέσεις (967)

t p t tPr c k t t tSc D pt t tLe k c D

Οι τυπικές περιοχές των αριθμών αυτών είναι 05lt Prt asymp Sct asymp Let lt 15 Οι τιμές των μ t k t και D t στο βασικό

επίπεδο προσέγγισης υπολογίζονται μέσα από τη χρήση των βαθμίδων των μέσων παραμέτρων δηλαδή

(968)

όπου l m = μήκος τυρβώδους ανάμειξης asymp lt και η u είναι η μέση ταχύτητα

Από τη διαστατική ανάλυση ισχύει η σχέση (μ t asymp Σ (k lt)) (k είναι η τυρβώδης κινητική ενέργεια και lt

είναι το χαρακτηριστικό μήκος των μεγάλων δινών) και έχει δειχθεί ότι ισχύει η σχέση (Libby amp Williams

1994 Peters 1993 Spalding 1955 Bray amp Peters 1994)

(969)

όπου Cμ γενικά θεωρείται μια σταθερά περίπου ίση με 009

Από τον ορισμό του μήκους ανάμειξης έχουμε ότι

(970)

(971)

Για την αξονοσυμμετρική δέσμη έχει βρεθεί πειραματικά ότι l masymp 0075δ(r) όπου δ(r) είναι η τάξη μεγέθους

της ακτίνας της δέσμης κατά την κατάντι διασπορά και ανάπτυξή της Επειδή το δ(r) είναι δύσκολο να οριστεί

ακριβώς συνήθως χρησιμοποιείται η ακτίνα εκεί όπου η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της

(r12) Από πειραματικές μετρήσεις έχει προκύψει ότι το 1 2r 25 Έτσι έχουμε ότι l m = 0187r frac12 και μ t asymp

00256ρu αξ r frac12 όπου u αξ =μέγιστη αξονική ταχύτητα στον άξονα της δέσμης

Από τη λύση για τη στρωτή ροή αντικαθιστώντας όπου ν (ή μ) το ν t (ή μ t) όπως το υπολογίσαμε πριν έχουμε

(972)

(973)

(974)

t

YvY D

y

2t m

dul

dy

t tC k l

m

duk l

dy

a ή 0

0

u D657

u x

22

a

1 2

u 1

ur

1 0414r

0

22

0

1 2

657Du

ur

x 1 0414r

k u

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

22

(975)

(976)

Αν κάνουμε την υπόθεση ότι Sct =1 (δηλαδή μt=ρDt) τότε το κλάσμα μείγματος f διαχέεται με τρόπο ανάλογο

της ορμής και κατά συνέπεια ισχύει

(977)

Αν τώρα μt ne ρDt τότε χρησιμοποιείται η σχέση (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955)

(978)

Πειραματικά στοιχεία για αποστάσεις x gt5D 0 δίνουν τη αντίστοιχη σχέση

(979)

Επίσης γίνεται η βασική υπόθεση ότι η καύση (λόγω των πολύ μικρών χημικών χρονο-κλιμάκων) δεν

επηρεάζει τη δομή της τύρβης και της ορμής γενικότερα (λόγω και του μικρού πάχους της φλόγας) Γνωρίζουμε

από το Κεφάλαιο 7 ότι η ζώνη της φλόγας βρίσκεται στην περιοχή όπου f=fστοιχειομετρικό Επειδή όμως στην

τυρβώδη φλόγα το f έχει μια μέση τιμή και μια διακύμανση δηλαδή

(980)

η ζώνη της φλόγας υπό τυρβώδεις συνθήκες έχει διευρυμένο πάχος και βρίσκεται μεταξύ των ορίων

(981)

και

(982)

όπως φαίνεται στο Σχήμα 95 Μια πρώτη εκτίμηση για το f΄ είναι

(983)

Ακόμη μπορούμε να γράψουμε (Kanury 1975 Turns 2000 Spalding 1955) για το μέσο f

(984)

1 2 a 1 2

0 0

r u r297 00512

x u00845

D

1 2

0 0

r v297

x u r

0

22

1 2

657Df

rx 1 0414

r

m m

df dff l ή l

dy dr

1 22

20 0

0

Du rf 657 1 58

u x x

f f f

stoichf f f f

stoichf f f f

T

Df u

f u

0a

Df 5

x

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

23

Εδώ ο όρος ρ0 ρinfin είναι διορθωτικός για την ανομοιομορφία των πυκνοτήτων καυσίμου (ρ0) και αέρα (ρinfin) Έτσι

μπορούμε να ορίσουμε τρεις ακτίνες σε κάθε αξονικό σημείο x της δέσμης την εξωτερική (rout) την εσωτερική

(rin) και την ακτίνα rstoich όπου stoichf f

Έχουμε δε

(985)

(986)

(987)

Για να εκτιμήσουμε τα αντίστοιχα μήκη x f1 της φλόγας θα πρέπει να αντικαταστήσουμε

rout = rin = rstoich = 0 πχ

(988)

Φυσικά από το Κεφάλαιο 2 γνωρίζουμε ότι

st

f( F)

και st

st

1f

( F) 1

Πειραματικά στοιχεία μάς οδηγούν στο συμπέρασμα ότι εάν αντί για ρinfin=ραέρα (ατμοσφαιρική πυκνότητα) χρησιμοποιήσουμε την τιμή ρinfinasymp025ρα (δηλαδή την πυκνότητα των καπναερίων) οι συγκρίσεις με τα

πειραματικά αποτελέσματα βελτιώνονται αισθητά

1

1 2 2

out 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

0 0in

stoich

Dr 1 6571

x 58 f f x

1

1 2 2

stoich 0 0

stoich

r D1 6571

x 58 f x

1

20

f1stoich 0

stoich

657x D

f

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

24

Σχήμα 95 Όρια των διευρυμένων ορίων της τυρβώδους φλόγας δέσμης f+ f-

93 Σταθεροποίηση των Τυρβωδών Φλογών

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές (πχ οικιακούς καυστήρες εστίες κινητήρες αεριοστροβίλων ramjets

scramjets κλπ) οι ταχύτητες του αέρα είναι υψηλές της τάξης των 50 ms ή και περισσότερο ώστε να

επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί ογκομετρικής απόδοσης καύσης και συνεπώς να καταστεί δυνατή η παραγωγή της

απαιτούμενης ισχύος Από την άλλη μεριά η ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της φλόγας σε στρωτή ή τυρβώδη

ροή είναι το πολύ της τάξης των 040-50 ms ανάλογα με το μείγμα καυσίμου με τις μεγαλύτερες τιμές να

επιτυγχάνονται σε μείγματα υδρογόνου-αέρα Επομένως γίνεται αντιληπτό ότι χρειάζεται να διαμορφωθεί μια

κατάλληλη περιοχή εντός της κύριας ροής του αέρα ή του μείγματος που θα επιτρέπει την ευσταθή έναυση και

διαρκή αγκίστρωση της φλόγας σε τέτοια ρεύματα υψηλών ταχυτήτων (Kanury 1975 Libby amp Williams

1994 Spalding 1955 Williams 1985 Zukoski amp Marble 1955 Lefebvre 1999 Glassman amp Yetter 2008)

Τα όρια ευστάθειας της φλόγας είναι μια από τις πιο σημαντικές παραμέτρους ελέγχου στο σχεδιασμό και τη

λειτουργία ενός θαλάμου καύσης Γενικά η συγκράτηση του μετώπου της φλόγας σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ενός καυστήρα προϋποθέτει αυξημένη θερμοκρασία ή κατάλληλη παραγωγή αλυσίδας ριζικών (πχ Η ΟΗ)

πλησίον της πλέον εύφλεκτης περιοχής του μείγματος Αυτό πολλές φορές απαιτεί προσεκτική διαμόρφωση

της ανάμειξης και της διαστρωμάτωσης του μείγματος στην κατάλληλη περιοχή του θαλάμου καύσης

Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες τεχνικών σταθεροποίησης της φλόγας η σταθεροποίηση μέσω διαμόρφωσης

τέτοιων ευνοϊκών συνθηκών σε μια κατάλληλη περιοχή του ρεύματος του μείγματος και η σταθεροποίηση

μέσω κατάλληλης τοποθέτησης στερεών επιφανειών σε επαφή με το μείγμα Φυσικά υπάρχουν και συνδυασμοί

αυτών των δύο

Η δεύτερη μέθοδος κάνει χρήση της θεωρίας του οριακού στρώματος Μια πολύ θερμή επιφάνεια

μεταφέρει θερμότητα όταν Τεπιφάνειας gt Τροής Αν η θερμοκρασία και η δομή του μείγματος του οριακού

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

25

στρώματος είναι οι κατάλληλες επέρχεται έναυση του συρρέοντος ρεύματος Αν η στερεή πλάκα έχει

ικανοποιητικό μήκος η έναυση μπορεί να καταλήξει σε σταθερή φλόγα Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή

είναι οι υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες υπόκειται το υλικό του στερεού σώματος

Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος Στην κατηγορία αυτή γίνεται

εκμετάλλευση των χαρακτηριστικών της ροής με ανακυκλοφορία (recirculation) Τέτοια φαινόμενα ροής

εμφανίζονται

Σε περιοχές απορρεύματος (wakes) πίσω από διάφορα στερεά σώματα (κυλίνδρους

σφαίρες δακτυλίους δίσκους κλπ Σχήμα 96)

Σε κοιλότητες μέσα σε στερεά σώματα

Σε δέσμες ρευστού μέσω χρήσης στροβιλισμού και περιδίνησης κάτι το οποίο προκαλεί

πτώση πίεσης αναστροφή της βασικής ροής (separation ή stall) ενώ δημιουργείται εστία

ανακυκλοφορίας

Σχήμα 96 Ροή πίσω από κύλινδρο και σχηματισμός ανακυκλοφορίας και απορριπτόμενων δινών

(httpsenwikipediaorgwikiReynolds_number CC BY-SA30)

Όπως είναι γνωστό από τη ρευστομηχανική πίσω από κυλίνδρους (και γενικότερα στερεά σώματα)

δημιουργούνται ταλαντούμενες συστοιχίες από δίνες με ταλάντωση που είναι ανάλογη του αριθμού Reynolds

Στην περίπτωση που έχουμε καύση ανεξάρτητα από τον αριθμό Reynolds δημιουργούνται δύο μόνιμες δίνες

και η δομή του απορρεύματος αλλάζει προσφέροντας την κατάλληλη διαμόρφωση σταθεροποίησης Οι δίνες

αυτές μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας εγκλωβίζουν υπέρθερμα καυσαέρια τα οποία οδηγούμενα με τη

σειρά τους προς την περιοχή του φρέσκου εισαγομένου μείγματος προκαλούν τη συνεχή επανέναυσή του

συντηρώντας έτσι το μέτωπο της φλόγας Βέβαια υπάρχει μια κρίσιμη συνθήκη κατά την οποία λόγω της

μεγάλης ταχύτητας του μείγματος (φλόγες προανάμειξης) ή του αέρα (φλόγες διάχυσης) η φλόγα τελικά

σβήνει Για τον ασφαλή σχεδιασμό των συστημάτων καύσης και την εύρυθμη λειτουργία τους ο προσδιορισμός

της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) είναι σημαντικός και όπως έχει προαναφερθεί αποτελεί κρίσιμο μέγεθος

λειτουργίας του καυστήρα Για την απόσβεση των φλογών προανάμειξης θα αναφερθούν παρακάτω τρεις

κλασικές μέθοδοι προσδιορισμού της συνθήκης απόσβεσης (blow-off) Πρέπει να σημειωθεί ότι το αντικείμενο

αυτό λόγω της σπουδαιότητάς του έχει αποτελέσει πεδίο εκτενούς και συνεχιζόμενης έρευνας (Glassman amp

Yetter 2008 Borghi 1988 Zukoski amp Marble 1955 Spalding 1955 Libby amp Williams 1994)

Μέθοδος του χαρακτηριστικού χρόνου των (Zukoski amp Marble 1955) Η βασική ιδέα εδώ είναι

ότι η απόσβεση εμφανίζεται όταν το άκαυστο μείγμα καυσίμουαέρα έχει αρκετό χρόνο

παραμονής στην τυρβώδη ζώνη ανάμειξης (μεταξύ των ανακυκλοφορούντων καυσαερίων και

του άκαυστου μείγματος) ώστε να επέλθει η πλήρης έναυσή του Το κριτήριο λοιπόν είναι

ότι ο χρόνος καθυστέρησης (ignition delay) για την πλήρη έναυση θα πρέπει να είναι ίσος με

το χρόνο παραμονής (residence time) του μείγματος στην περιοχή της ανακυκλοφορίας Αν

LR= μήκος ζώνης ανακυκλοφορίας UBO= ταχύτητα απόσβεσης και τch id = ο χρόνος

καθυστέρησης έναυσης το κριτήριο διαμορφώνεται ως

(989)

BO chid

R

U1

L

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

26

Σύμφωνα με άλλες παρεμφερείς υποθέσεις που κάνουν χρήση του χημικού χρόνου

καθυστέρησης έναυσης τch id έχουμε

(990)

όπου Φ=σχετικός λόγος καυσίμουαέρα και Τ=μέση θερμοκρασία καυσαερίων στη ζώνη

ανάμειξης Άρα το κριτήριο γίνεται

(991)

Το μήκος LR συνήθως είναι ανάλογο του χαρακτηριστικού μήκους του σώματος που

διαμορφώνει την περιοχή της ανακυκλοφορίας (πχ η διάμετρος d του κυλίνδρου) Μια άλλη

έκφραση για την ταχύτητα απόσβεσης έχει διατυπωθεί ως (992)

air

2

LBO R

burnt t

SU 2 L

H μέθοδος του (Spalding 1955) O Spalding υπέθεσε ότι τα επίπεδα μετάδοσης θερμότητας

και οι ρυθμοί των χημικών αντιδράσεων παραμένουν σταθερά στην περιοχή του

απορρεύματος Αναλύοντας το ρυθμό χημικής αντίδρασης και τη θερμοκρασιακή κατανομή ο

(Spalding 1955) απέδειξε ότι

(993)

όπου d=χαρακτηριστικό μήκος (πχ διάμετρος σώματος) αt=συντελεστής τυρβώδους θερμικής

διαχυτότηταςtk c και Α n είναι σταθερές που προσδιορίζονται από πειράματα και

εξαρτώνται από την τιμή του όρου SLdαt

Μέθοδος του πλήρους αναδευμένου αντιδραστήρα (well stirred reactor (Abdel-Gayed

Bradley Hamid amp Lawes 1984 Zukoski amp Marble 1955) Εδώ γίνεται η υπόθεση ότι ο χώρος

ανακυκλοφορίας που σταθεροποιείται η φλόγα είναι ένας πλήρως και ομοιογενώς αναδευμένος

αντιδραστήρας Η απόσβεση επέρχεται όταν ο αντιδραστήρας αυτός υποχρεωθεί σrsquo ένα ρυθμό

μετάδοσης θερμότητας πάνω από τις δυνατότητες που έχει για να παράγει θερμότητα εκ των

χημικών αντιδράσεων Το όριο αυτό προσδιορίζεται από έναν συντελεστή χημικής φόρτισης

(chemical loading parameter)

(994)

Rr

ί

a

u

ch id

Lό ή

U

Eexp

R Tό ό έ έ

a

uR

BO

Eexp

R TL

U

n

BO L

t t

U S dA

A

n

m

Vp

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

27

όπου Am είναι η μαζική παροχή αέρα στον αντιδραστήρα V=ο όγκος του αντιδραστήρα p=η

πίεση του αντιδραστήρα και n=η τάξη της (συνολικής) χημικής αντίδρασης Τυπικές τιμές του

n είναι 20 για την κηροζίνη και 18 για το οκτάνιο Το κριτήριο μπορεί να βελτιωθεί μέσω της

κατωτέρω έκφρασης (Lefebvre 1999)

(995)

(996)

όπου b=02

Ο (Lefebvre 1999) ερεύνησε την εφαρμογή αυτού του μοντέλου για τον υπολογισμό των

φτωχών ορίων απόσβεσης (lean blow-off limits) σε ομοιογενή (homogeneous) μείγματα

αερίων και έχει προτείνει το παρακάτω κριτήριο (997)

όπου

U = ταχύτητα του μείγματος (ή του αέρα)

p T = πίεση και θερμοκρασία του άκαυστου μείγματος

CS = συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body)

DC = χαρακτηριστικό μήκος του σώματος

ΒRg = γεωμετρικός λόγος απόφραξης

Τu= ένταση της τύρβης

α0 = συντελεστής θερμικής διαχυτότητας του μείγματος (998)

05

0 0L

0

m aS

ταχύτητα διάδοσης της φλόγας

0m = κατανάλωση μάζας άκαυστου μείγματος ανά μονάδα όγκου

Για φλογο-συγκρατητή (flameholder) τοποθετημένο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό η ταχύτητα

απόσβεσης (UBO) δίνεται από τη σχέση (Lefebvre 1999)

(999)

όπου ΒR= αεροδυναμικός λόγος απόφραξης Οι λόγοι απόφραξης που συνδέονται με την

παραπάνω εμπειρική σχέση του Lefebvre μπορούν να γραφούν ως

bA

3 2

mDp ά

V p

A

28 18 08 08

m Uά ή ά

D p D p

016

WE025 0

0 C g

2S C L

BO

0

1 04U 1 01Tu225

Tp T exp D 1 BR

150

C D SU

2

C LBO

0

D SU 1 BR

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

28

(9100)

όπου ε είναι μια σταθερά εξαρτωμένη από τη γεωμετρία του φλογο-συγκρατητή (flame

holder) Για αξονοσυμμετρικούς κώνους με την κόγχη προς τη ροή και γωνία ανοίγματος θ η

ε δίνεται από τη σχέση

(9101)

Ο συντελεστής σώματος-εμποδίου (bluff-body) CS εξαρτάται από τη γεωμετρία του φλογο-

συγκρατητή και το εύρος των κυμαινόμενων τιμών που λαμβάνει δίδονται στον (Lefebvre

1999)

Η ανύψωση και η απόσβεση είναι δύο χαρακτηριστικά φαινόμενα τα οποία σχετίζονται με τη σταθεροποίηση

των φλογών διάχυσης και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον κατά το σχεδιασμό τεχνικών συσκευών καύσης

Πειραματικά παρατηρείται ότι μια φλόγα διάχυσης ανυψώνεται από το σημείο αγκύστρωσης εάν η ταχύτητα

του παροχετευόμενου καυσίμου υπερβεί κάποιο όριο Το ύψος της ανύψωσης δηλαδή η απόσταση από την

έξοδο του στομίου μέχρι τη βάση της φλόγας αυξάνεται με αύξηση της ταχύτητας του καυσίμου και εν τέλει

πέρα από μια ταχύτητα επέρχεται η απόσβεση Τρεις διαφορετικές θεωρίες έχουν προταθεί για να εξηγήσουν

το φαινόμενο της ανύψωσης της φλόγας Τα κριτήρια για τον προσδιορισμό του μήκους ανύψωσης είναι

διαφορετικά για τη κάθε θεωρία και εν συντομία περιγράφονται παρακάτω

Θεωρία Ι Εδώ υποτίθεται ότι η τοπική ταχύτητα του ρευστού στη θέση όπου η στρωτή ταχύτητα

διάδοσης της φλόγας είναι μέγιστη ισούται με την τυρβώδη ταχύτητα του μετώπου της αντίστοιχης

προαναμειγμένης φλόγας δηλαδή η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου U (όπου SL είναι μέγιστη) equiv ST

Θεωρία ΙI Εδώ υποτίθεται ότι η φλόγα ανυψώνεται εκεί όπου ο τοπικός ρυθμός διάτασης του ρευστού

υπερβαίνει τον οριακό ρυθμό διάτασης απόσβεσης για το στρωτό φλογίδιο που αντιστοιχεί στην περιοχή

ανύψωσης

Θεωρία ΙΙΙ Η φλόγα ανυψώνεται όταν ο χρόνος που διατίθεται για την ανάμειξη των μεγάλων

τυρβωδών δινών των θερμών καπναερίων με το φρέσκο μείγμα είναι μικρότερος από ένα κρίσιμο χημικό χρόνο

που απαιτείται για την έναυση του μείγματος στο σημείο ανύψωσης

Στη συνέχεια παρατίθενται δύο ενδεικτικές σχέσεις για το μήκος ανύψωσης (lift-off height) hlo και

την οριακή ταχύτητα εκροής του καυσίμου UΒΟ για να επέλθει η απόσβεση (blow-off) σε μια τυρβώδη φλόγα

διάχυσης που βασίζονται στη Θεωρία Ι (Kalghatgi 1984)

(9102)

(9103)

Ο όρος SLmax αντιστοιχεί στη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης του μετώπου της στρωτής φλόγας προανάμειξης και

ο αδιάστατος αριθμός ReH ορίζεται ως

(9104)

όπου H είναι το χαρακτηριστικό μήκος που αντιστοιχεί στην απόσταση στην οποία η τοπική μέση συγκέντρωση

του καυσίμου λαμβάνει τη στοιχειομετρική της τιμή και δίνεται από τη σχέση

g

2 2

g

BR11

(1 BR) 1 BR

05

44 sin2

15

fuel BO fuello 2

Lmax

Uh 50

S

15

6 fuelbo H H LmaxU 0017Re 1 3510 Re S

fuel Lmax

H

fuel

S HRe

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

29

(9105)

94 Βιβλιογραφικές Αναφορές Abdel-Gayed R G Bradley D Hamid M N amp Lawes M (1984) Lewis number effects on turbulent burningvelocity

Proc Combust Inst σσ 505-512

Bilger R W (1988) The structure of turbulent non premixed flames (σσ 475-488) Pittsburgh

Borghi R (1988) Turbulent combustion modelling Prog Energy Comb Sci σσ 245-292

Boussinesq J (1877) Essai sur la theacuteorie des eaux courantes Meacutemoires preacutesenteacutes par divers savants agrave lAcadeacutemie des

Sciences σσ 1-608

Bradshaw P (1978) Turbulence 2nd Edition New York McGraw-Hill

Bray K N amp Peters N (1994) Laminar flamelets in turbulent flames Στο P A Libby amp F A Williams Turbulent

Reacting Flows (σσ 63-113) London Academic Press

Calvin P amp Williams F A (1982) Effects of Molecular Diffussion and of Thermal Expansion on the Structure and

Dynamics of Premixed Flames Turbulent Flows of Large Scale and Low Intensity Journal of Fluid Mechanics

σσ 251-282

Cuenot B amp Poinsot T (1994) Effects of curvature and unsteadiness in diffusion flames implications for Proc

Combust Inst σσ 1383-1390

Cuenot B Egolfopoulos F amp Poinsot T (2000) An unsteady laminar flamelet model for non premixed Combustion

Theory and Modelling σσ 77-97

Damkoumlhler G (1940) The Effect of Turbulence on the Flame Velocity in Gas Mixtures Zeitschrift Electrochem σσ 601-

626

Echekki T amp Mastorakos E (2011) Turbulent combustion modeling advances new trends and perspectives Dordrecht

Springer

Glassman I amp Yetter R A (2008) Combustion 4th edition Missouri Academic Press

Hinze J (1975) Turbulence McGraw-Hill

Kalghatgi G (1984) Lift-Off Heughts and Visible Lengths of Vertical Turbulent Jet Diffusion Flames in Still Air

Combustion Science and Technology σσ 17-29

Kanury A M (1975) Introduction to Combustion Phenomena CRC Press

Karlovitz B Denninston D W amp Wells F E (1951) Investigation of turbulent flames J Chem Phys σσ 541-547

Klimov A M (1983) Premixed Turbulent Flames-Interplay of Hydrodynamic and Chemical Phenomena Progress in

Astronautics and Aeronautics σσ 133-146

Kuo K K (2002) Principles of Combustion 2nd edition John Wiley and Sons

Kuo K amp Acharaya R (2012) Applications of Turbulent and Multiphase Combustion New Jersey John Wiley amp Sons

Inc

Law C K (2006) Combustion Physics New York Cambridge University Press

Lefebvre A H (1999) Gas Turbine Combustion 2nd edition Philadelphia Taylor and Francis

Libby P A amp Williams F A (1994) Turbulent combustion fundamental aspects and a review In Turbulent Reacting

Flows London Academic Press

Peters N (1984) Laminar diffusion flamelet models in non-premixed turbulent combustion Prog Energy Comb Sci σσ

319-339

Peters N (1993) Reduced kinetic mechanisms for applications in combustion systems Berlin Springer ndash Verlag

Peters N (2000) Turbulent combustion Cambridge Cambridge University Press

Poinsot T amp Veynante D (2001) Theoretical and Numerical Combustion Philadelphia RT Edwards Inc

Schelkin K I (1943) Zurn Tex Phyz σ 520

Spalding D B (1955) Some Fundamentals of Combustion London Butterworths

Tennekes H amp Lumley J L (1972) A first course in turbulence Cambridge The MIT Press

Turns S R (2000) An Introduction to Combustion New York McGraw-Hill

Williams F A (1985) Combustion theory California The BenjaminCummings Publishing Company Inc

Zukoski E E amp Marble F E (1955) The Role of Wake Transitionin the Process of Flame Stabilization on Bluf Bodies

Combustion Reserches and Reviews σσ 167-180

12

fuel fuelin

fuelst

YH 4D 58

Y

30

30