9. התיאוריה הדואלית dual theory

ד"ר זאב ברזילי 1 מודלים דטרמיניסטיים בחקר ביצועים

. התיאוריה הדואלית9Dual Theory

לכל בעיה לינארית יש בעיה אחרת הנקראת הבעיה הדואלית •(. הבעיה המקורית נקראת הבעיה Dual Problem) שלה

(.Primal Problem ) הפרימלית

הקשרים בין הבעיה הפרימלית והבעיה הדואלית חשובים להבנת •המשמעויות של הפתרון המתקבל.

הגדרת הבעיה הדואלית מתבססת על התכונות של הסימפלקס • של טבלת הסימפלקס.0ובייחוד של שורה מספר

Z

11x 2x . nx 1nx .

mnx RS11 cz . .

22 cz nn cz 1y my 0y


( 2) התיאוריה הדואליתבדיון על תכונות הסימפלקס קבלנו:•

נזכיר שהתנאי לכך שפתרון הנו מיטבי הוא שכל המקדמים • הם לא שליליים. לכן:0בשורה

המשוואות לעיל מזכירות בעיית תכנות לינארי. "ננחש" שיש •למזער את פונקצית המטרה ונקבל את הבעיה הדואלית:

yAzybyBcy B

0

1

njczandmiy jji ,...,10,...,10

miyandcyAzts

ybyMin

i ,...,2,10..

0


( 3) התיאוריה הדואליתבדיון על תכונות הסימפלקס קבלנו שאילוצי הבעיה הדואלית •

מתקיימים רק בפתרון המיטבי. לכן הפתרון המיטבי של הפרימלית קשור לפתרון אפשרי של הדואלית.

להלן ניסוח של הבעיה הפרימלית-דואלית:•

הבעיה הפרימלית היא

"בעיית השורות",

הבעיה הדואלית –

"בעיית העמודות".

1y

2y

my

1x 2x nx.

.

1b

2b

mb

.

.1c 2c nc

11a 12a na1

na222a21a

.

.

.

.

. . .

1ma 2ma mna


( 4) התיאוריה הדואליתהטבלה הפרימלית-דואלית של בעיית הדוגמה נתונה להלן:•

אם נפתור את הבעיה הדואלית יתקבל הפתרון המיטבי: •

כפי שרשום בטבלה המיטבית של הבעיה הפרימלית.

1y 1 0 <=4

0 2 <=12

3 2 <=18

>=3 >=5

2y

3y

1x 2x

(1,2/3,0)(,,) *3

*2

*1 yyy


( 5) התיאוריה הדואליתהמשמעות הכלכלית של הבעיה הדואלית.•

המשמעויות של הפרמטרים של הבעיה הפרימלית הם:–•Xj הרמה של פעילות – j,•Cj - רווח ליחידה מפעילות j,•Z,סה"כ רווח מכל הפעילויות -•bi כמות זמינה של משאב – i ,•aij כמות נצרכת של משאב -i ע"י יחידה של פעילות j .

נסיק ש Z ו הוא הערך העכשווי של לאור העובדה ש•. מסקנה זאת נדחית מכיוון שלא i הוא התרומה לרווחיות של משאב

. המסקנה ) לא תורמת מאומה לרווחיות ) 1יתכן שמחלקה המתבקשת היא ש היא התרומה השולית לרווחיות. כלומר הנו

השיעור בו תשתנה פונקצית המטרה אם יגדל בסביבת הפתרון הנוכחי.

m

i iibyy10iy

01yiy

ibiy

iy


( 6) התיאוריה הדואליתנבדוק את השינויים בערך פונקצית המטרה המיטבית כאשר משתנות הכמויות •

הזמינות של המשאבים: המיטביים לא x2 ו x1, קל לראות מהפתרון הגרפי של הבעיה שערכי b1=5אם –

ישתנו ולכן ערך פונקצית המטרה נשאר ללא שינוי. התוצאה מתיישבת עם כך ש y1=0.

. ערך x1=5/3 ו x2=6.5 קל לראות שהפתרון המיטבי מתקבל בנקודה b2=13אם –.y2=3/2 , כפי שניתן היה להסיק מכך ש 37.5פונקצית המטרה בנקודה שווה ל

, וערך פונקצית המטרה x2=6 ו x1=7/3 יתקבל הפתרון המיטבי b3=19אם –. y3=1. הדבר מתיישב כמובן עם כך ש 37בנקודה זאת שווה ל

-ים לחיזוי השינוי בערך פונקצית המטרה נכון רק yיש להדגיש שהשימוש בערכי ה •כאשר השינוי לא גורם לבסיס המיטבי להשתנות.


( 7) התיאוריה הדואליתהמשמעות של משתנים דואליים רבה מכיוון שכמויות המשאבים הזמינות מבטאות, •

לכן, לאחר קבלת פתרון מיטבי לעיתים קרובות, ציפיות או הערכות ולא ערכים ודאיים.(, כדי shadow pricesמשתמשים בערכי המשתנים הדואליים, הנקראים "מחירי צל" )

להחליט אם כדאי לשנות הקצאות של משאבים. הוא המחיר המרבי שכדאי לשלם כדי להגדיל ביחידה את הכמות הזמינה של •

.iמשאב משתנה דואלי הקשור אליו. ובין הערך של משתנה פרימליקיים קשר בין הערך של •

complementary slacknessהקשר נקרא "תכונת החסר המשלים" )property:הקשר מנוסח כדלקמן .)

אינו בסיסי.Xj בסיסי אזי Zj-Cj אינו בסיסי, ואם Zj-Cj בסיסי אזי )Xj )j=1,..,nאם – אינו בסיסי.Xn+i בסיסי אזי Yi אינו בסיסי ואם Yi בסיסי אזי )Xn+i )i=1,..mאם –

*iy


(8התיאוריה הדואלית )

קל להיווכח בנכונות תנאי החסר המשלים אם נבחן את הקשר בין •ערכי משתנים ומקדמיהם בפונקצית המטרה.

כאשר פותרים את הבעיה הדואלית האילוצים הם:•

משתני יתר המקיימים n כלומר הוספנו בבעיה הדואלית

ומעתה מספר המשתנים הדואליים משתווה למספר המשתנים משתני m משתנים מקוריים ו n(. בפרימלית יש n+mהפרימליים )

משתני יתר.n משתנים מקוריים ו mחסר, ובדואלית יש

Z

11x 2x

.nx 1nx .

mnx RS11 cz . .

22 cz nn cz 1y my 0y

jcyznjcz jjmjjj ,..,1

jjjm czy



אם נציב את הערך של בשורת פונקצית המטרה נקבל •מתכונת החסר המשלים:

שווה לסכום התרומות המחלקתיות jהרווח ליחידה מפעילות –.jלפעילות

שווה לתרומה השולית של jהתרומה המחלקתית לפעילות –( כשהיא מוכפלת המחלקה ליחידת משאב של המחלקה )

) (.j ע"י יחידת פעילות iבכמות הנצרכת של משאב

jz

j

m

i iijjjj cyaczx 100

iyija



סיכום הקשרים בין הבעיה הפרימלית והבעיה הדואלית:•לכל פתרון בסיסי של הבעיה הפרימלית יש פתרון בסיסי קשור –

)או משלים( של הבעיה הדואלית. הקשר בין הפתרונות הנו:

מכיוון שתהליך הפתרון שבו אנו עוסקים מגיע לשיא דרך סדרת

פתרונות פרימליים אפשריים אזי, הפתרונות הדואליים הקשורים הנם בלתי אפשריים.

משתנה פרימלי

משתנה דואלי

כמות משתנים

בסיסי לא בסיסי m

לא בסיסי בסיסי n


(11התיאוריה הדואלית )אם הוא פתרון אפשרי מיטבי –

של הבעיה הפרימלית ו הוא פתרון אפשרי של הבעיה הדואלית אזי:

הוכחה:

(,...,,) 21 nxxx(,...,,) ,21 myyy

m

i

m

i

n

j

m

iiijijiiij

n

jj

n

jjj byxayyaxxc

1 1 1 111

YybxcZm

i iij

n

j j 11


(21התיאוריה הדואלית )אם הוא פתרון מיטבי של הבעיה הפרימלית –

שהתקבל בשיטת הסימפלקס אזי הפתרון הבסיסי המשלים הוא פתרון אפשרי לבעיה

הדואלית. הטענה נכונה מכיוון שפתרון מיטבי של הפרימלית מחייב מקדמים לא

שליליים בפונקצית המטרה. אם ו הם פתרונות –

מיטביים לבעיות הפרימלית והדואלית בהתאמה אזי:

קשר זה נקרא משפט הדואליות.

(,...,,) **2

*1 mnxxx

m

i iij

n

j j ybxc1

**

1

(,...,,,...,,) *2

*2,1

*1

**2

*1 nnm czczczyyy

(,...,,) **2

*1 nxxx(,...,,) **

2*1 myyy


(31התיאוריה הדואלית )נדגים את הקשר בין הבעיות הפרימלית והדואלית בעזרת •

הדוגמה:

הבעיה הדואלית היא:

0,0

822

65

1020

21

21

21

21

yy

yy

yy

yyYMin

0,0

102

2025

86

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxZMax


(41התיאוריה הדואלית )נוסיף משתני חסר ויתר ונקבל:•

הקשר בין המשתנים הפרימליים והדואליים הוא:

משתנים מלאכותיים אינם נכללים בקישור בין הבעיות.

(,,)

(,,,)

21,43

4321

yyyy

xxxx

iy

xyy

xyy

yyYMin

i

0

822

65

1020

421

321

21

jx

xxx

xxx

xxZMax

j

0

102

2025

86

421

321

21


(15התיאוריה הדואלית )תאור התחום האפשרי, נקודות הפינה וערכי פונקצית המטרה.:•

x1

x2

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

5 x1+2 x2 =20

x1 + 2 x2 =10

1

4

2

3

5

6

(5/2,15/4)

(4,0) (10,0)

(0,10)

(0,5)

# B.S. F. Z F. B.S.

1 (0,0,20,10) Y 0 N (0,0,-6,-8)

2 (4,0,0,6) Y 24 N (6/5,0,0,-28/5)

3 (5/2,15/4,0,0,) Y 45 Y (1/2,7/2,0,0)

4 (0,5,10,0) Y 40 N (0,4,-2,0)

5 (0,10,0,-10) N 80 Y (4,0,14,0)

6 (10,0,-30,0) N 60 Y (0,6,0,4)

Primal Dual



מעבר לבעיה הדואלית כאשר הפרימלית אינה בתבנית התקנית:•

תבנית לא תקנית תבנית תקנית שקולה

() ZMaxZMin

ijijijij bxabxa

ijij

ijijijij

bxa

andbxabxa

0,0, '''''' jjjjjj xxxxxunboundedx



מנתוני הטבלה האחרונה נסיק:•אילוצי שוויון בפרימלית מביאים למשתנים שאינם –

מוגבלים בסימן בדואלית.משתנים שאינם מוגבלים בסימן בפרימלית מביאים –

לאילוצי שוויון בדואלית.


(18התיאוריה הדואלית )הבעיה הדואלית של הבעיה הדואלית היא הבעיה •

הפרימלית.

miyand

njcya

ts

ybYMin

i

j

m

i iij

m

i ii

,..,2,10

,..,1

..

1

1

miyand

njcya

ts

ybYMax

i

j

m

i iij

m

i ii

,..,2,10

,..,1

..

1

1

njxand

mibxa

ts

xcZMin

j

i

n

j jij

n

j jj

,..,2,10

,..,1

..

1

1

njxand

mibxa

ts

xcZMax

j

i

n

j jij

n

j jj

,..,2,10

,..,1

..

1

1

1 2

34


. ניתוחי רגישות10Sesitivity Analysis

או נתונים להחלטות /מכיוון שהפרמטרים הנם אמדים )ו•ניהוליות( חשוב לבדוק את רגישות הפתרון המיטבי לשינויים

בפרמטרים אלה. עקב המורכבות של בעיות תכנות לינארי לא מעשי לדרוש את חישוב •

הפתרון המיטבי עבור כל צרוף אפשרי של פרמטרים.ניתוחי רגישות מאפשרים את הבנת תכונות הפתרון המיטבי וההשפעות •

עליו. בכך עוזרים ניתוחי הרגישות לארגונים לשפר את תפקודם. התכונות של שיטת הסימפלקס מהווים בסיס לניתוחי רגישות.•בדיון הנוכחי נבדוק את רגישות הפתרון המיטבי לשינויים בכמויות •

(. A( ובמטריצה הטכנולוגית )c(, במחירים )bהזמינות של משאבים )

ijij abc ,,


(2ניתוחי רגישות )כאשר משתנים הפרמטרים של בעיית תכנות לינארי יש •

לבדוק:האם הפתרון שהושג נישאר מיטבי?–האם הפתרון שהושג נישאר מיטבי?–אם התשובה לשתי השאלות היא "כן" יש לקבוע את –

ערכי המשתנים ופונקצית המטרה המיטביים החדשים.

אם חלק, או כל, מהתשובות הן לא יש לקבוע איך –מגיעים לפתרון המיטבי החדש. לעיתים נדרש לפתור

את הבעיה מההתחלה.


(3ניתוחי רגישות ). הוקטור החדש הנו .b: שינוי בוקטור 1מקרה •

מחשבים את אגף ימין החדש ע"י:– או ע"י:

אם אגף ימין החדש כולל רק איברים לא-שליליים הפתרון אפשרי –ומיטבי. יש לרשום את הערכים החדשים של המשתנים הבסיסיים

ולחשב את ערך פונקצית המטרה המיטבית החדשה. ניתן לחשב את ערך פונקצית המטרה החדשה ישירות - בעזרת הערכים

המיטביים החדשים של המשתנים, או ע"י:

אם יש איברים שליליים באגף ימין החדש, יש להתחיל את הפתרון –מההתחלה )או להמשיך את הבעיה הדואלית מהנקודה שהגענו

אליה, לא נלמד במסגרת הקורס(.

bb

bBb

bbB

*~

()1*

1

m

i ii ybY1

**


(4ניתוחי רגישות )

נדגים: נניח שבבעיית הדוגמה –

אזי:

(1)

0

1

0

2

bb

3/5

2/13

3/7

18

13

4

3/13/10

02/10

3/13/11

()1 bbB

3/5

2/13

3/7

3/1

2/1

3/1

2

6

2

0

1

0

3/13/10

02/10

3/13/11

2

6

2~ 1 bBb



אברי אגף ימין לא שליליים ולכן הפתרון אפשרי ומיטבי. ערכי המשתנים המיטביים:

ערך פונקצית המטרה עתה:

(0,0,3/7,2/13,3/5) *4

*3

*3

*2

*1 xxxxx

5.372/336

2/32/3*1**

1

**

YY

ybYm

i ii



דוגמה נוספת: נניח שבבעיית הדוגמה–

אזי:

הפתרון אינו אפשרי, יש לפתור מההתחלה.

0

12

0

b

2

12

6

4

6

4

2

6

2

0

12

0

3/13/10

02/10

3/13/11

2

6

2~ 1 bBb


(7ניתוחי רגישות )שינוי במקדמים של משתנה . נסמן : 2מקרה •

ע"י

את השינויים המתבצעים בפרמטרים. ברור שהפתרון המיטבי נשאר לפחות אפשרי.

הפתרון נשאר מיטבי אם:–

אחרת יש להמשיך בהתמרות ציריות.

את השינוי בפונקצית המטרה מחשבים ע"י: –

ijj ac ,jx

0() jjjj czcz

miac ijj ,..,2,1,

m

iijij

m

iiijjjj aycyaccz

1

*

1

** ()


(8ניתוחי רגישות )להלן נתונים בעיית תכנות לינארי ופתרונה המיטבי: -

Basic Variable

Eq. Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS

Z 0 1 -2 1 -1 0 0 0 0

X4 1 0 3 1 1 1 0 0 60

X5 2 0 1 -1 2 0 1 0 10

X6 3 0 1 1 -1 0 0 1 20

Basic Variable

Eq. Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS

Z 0 1 0 0 3/2 0 3/2 1/2 25

X4 1 0 0 0 1 1 -1 -2 10

X1 2 0 1 0 1/2 0 1/2 1/2 15

X2 3 0 0 1 -3/2 0 -1/2 1/2 5


(9ניתוחי רגישות )נניח שמעונינים לבדוק את משמעות השינויים: -

(. יש לחשב את2(=-3/5+)-3/2מסקנה הפתרון אינו מיטבי)

X3 יכנס לבסיס על חשבון X4 .יש להמשיך בהתמרות ציריות .

2,1 323 ca

1

0

2

1

1

1

2/12/10

2/12/10

211~

3.1

3. aBa

m

iijij ayc

1

* 5.3(0*2/1(1)*2/30*0)2

3.~a


(10ניתוחי רגישות ): הוספת משתנה. אם התברר, לאחר שנפתרה בעיית תכנות לינארי, 3מקרה •

שנשכח משתנה, מטפלים בבעיה כמו שטופל המקרה של שנוי במקדמים של משתנה לא בסיסי.

: שנוי במקדמים של משתנה בסיסי. השינוי במקדמים אלה יכול לגרום 4מקרה •לכך שהפתרון המיטבי הופך להיות לא מיטבי או לא אפשרי. השינוי גם יכול לגרום לכך שאין פתרון אפשרי למערכת. הטיפול במקרה זה נעשה

כדלקמן:ראשית "מתקנים" את מקדמי המשתנה הבסיסי בטבלה ה"סופית". התיקון –

גורם לכך שהטבלה כבר אינה מצויה בצורה הקנונית. לאחר מכן משלימים את ההתמרה הצירית.

אם הפתרון שהתקבל אפשרי ומיטבי הסתיים התהליך.–אם הפתרון שהתקבל אפשרי אך לא מיטבי - יש להמשיך בצעדי –

סימפלקס.אם הפתרון שהתקבל לא אפשרי – יש לפתור את הבעיה מההתחלה. –


(11ניתוחי רגישות )נניח שבבעיית הדוגמה המקורית עדכוני הפרמטרים הם:–

נחשב ראשית את השינוי במטריצה הטכנולוגית.

בפונקצית המטרה:X1נחשב גם את השינוי במקדם של

2

0

1

,1 1.1 ac

3/2

0

3/1

2

0

1

3/13/10

02/10

3/13/11~

1.a

3

1 1*

11*1 32*10*2/31*01()

i ii ayccz


(12ניתוחי רגישות )הטבלה הסופית לפני השינוי הייתה:

לאחר התיקוניםהטבלה

ה"סופית"נראית כך:

Basic Variable

Eq. Z X1 X2 X3 X4 X5 RHS

Z 0 1 0 0 0 3/2 1 36

X3 1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2

X2 2 0 0 1 0 1/2 0 6

X1 3 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

Basic Variable


Z 0 1 3 0 0 3/2 1 36

X3 1 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 2

X2 2 0 0 1 0 1/2 0 6

X1 3 0 5/3 0 0 -1/3 1/3 2


(13ניתוחי רגישות ) הנו בסיסי באילוץ השלישי ולכן יש להשלים את x1 המשתנה

ההתמרה: ,5/3 נחלק את האילוץ השלישי ב

ונחסיר מפונקצית המטרה3 נכפול את האילוץ השלישי החדש ב . 1 ונחסיר מאילוץ 1/3 נכפול את האילוץ השלישי החדש ב

התקבל הפתרון המיטבי החדש כדלקמן:

Basic Variable


Z 0 1 0 0 0 21/10 2/5 32.4

X3 1 0 0 0 1 2/5 -2/5 8/5

X2 2 0 0 1 0 1/2 0 6

X1 3 0 1 0 0 -1/5 1/5 6/5


(14ניתוחי רגישות ): קביעת התחום בו ניתן לשנות את מקדם המחיר של 5מקרה •

משתנה בסיסי מבלי שישתנה ההרכב של הבסיס המיטבי. שייך לבסיס המיטבי. בנוסף נניח . Xi נניח ש

נבדוק באיזה תחום ניתן לשנות את מבלי שישתנה הרכב בפונקצית המטרה יהיה עתה:Xiהבסיס המיטבי. המקדם של

r בסיסי באילוץ Xi בסיסי יש לאפס מקדם זה. נניח ש Xi מכיוון ש מוכפלת ב . rלכן, יש להוסיף לפונקצית המטרה את שורה

יתקבלו בפונקצית המטרה המקדמים הבאים, )שהם אמורים להיות לא שליליים כדי שהרכב הפתרון המיטבי יישאר ללא שינוי(:

ic

iiii cccz ()*

ic

mnnjcay

ijnjcacz

irjnj

irjjj

,...,10~,...,10~

**

**


(15ניתוחי רגישות )בבעיית הדוגמה המקורית ניקח:–

הטבלה ה"סופית" לאחר השינוי תהיה איפה:

נכפול את האילוץ השלישי ב ונוסיף לפונקצית המטרה. שורת פונקצית המטרה החדשה תהיה איפה:

11 3 cc

Basic Variable


Z 0 1 0 0 3/2 1 36

X3 1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2

X2 2 0 0 1 0 1/2 0 6

X1 3 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

1c

1c

0 0 032

3 1c 1236 c3

1 1c


(16ניתוחי רגישות ) נקבל:

5.70

5.43

303/1

5.403/2/3

1

1

11

11

c

c

cc

cc


(17ניתוחי רגישות ): הוספת אילוץ. אם הפתרון שהגענו אליו מקיים את האילוץ 6מקרה •

החדש אזי הפתרון אפשרי ומיטבי. אחרת, מומלץ בקורס הנוכחי להתחיל את תהליך הפתרון מההתחלה.

: ניתוח פרמטרי של כמויות משאבים זמינות שאינן משנות את 7מקרה •הרכב הפתרון המיטבי.

נניח שכמויות המשאבים הזמינות הנן גמישות ומעונינים לקבוע את הפתרון המרבי כפונקציה של הערכים האפשריים: לדוגמה, במקום הערך של

נבחן את השתנות הפתרון המיטבי כאשר

כך בוחנים את הפתרון המיטבי בסביבת הנקודה .לכמויות הזמינות של המשאבים, עבור הרכב נתון של פתרון מיטבי, יש השפעה רק על אפשריות הפתרון. לכן, אם הפתרון נשאר אפשרי, הוא נשאר מיטבי.

122 b

122b

122 b


(18ניתוחי רגישות )נניח שהכמויות הזמינות של המשאבים נתונות ע"י:

אזי הפתרון נשאר אפשרי ומיטבי אם:

את ערך פונקצית המטרה מעדכנים בעזרת הנוסחה:

החדש שווה ל:RHS נדגים: אם אזי ערך ה

()bb

0(())1 bbB

m

i ii byz1

** ()

122b

3/2

2/6

3/2

18

12

4

3/13/10

02/10

3/13/11

(())1

bbB


(19ניתוחי רגישות )הפתרון נשאר אפשרי )ומיטבי( אם:

ערך פונקצית המטרה שווה ל-:

66

603/2

1202/6

603/2

*(2/3)3618*1(12)*2/34*0()1

**

m

i ii byz

9. התיאוריה הדואלית dual theory

Documents