9. Polinomio de Taylor en varias variables1

Derivadas de orden superior

Sea U Rn un abierto y supongamos que f : U R admite las n derivadas parcialesen todos los puntos de U , es decir, que las funciones Dif : U R estan definidas en U .Estas funciones pueden admitir, a su vez, derivadas parciales en a, que se denominaranderivadas parciales segundas de f en a y se denotan por

Dijf(a) = Dj(Dif)(a), 1 i, j n.

Si f esta definida explcitamente (x1, . . . , xn) 7 f(x1, . . . , xn), se utilizan tambien lasnotaciones

fxjxi(a) = (fxj)xi(a), 1 i, j n,o, mas tradicionalmente,

2f

xixj(a) =

xi

(f

xj

)(a) si i 6= j ;

2f

x2i(a) =

xi

(f

xi

)(a).

De manera analoga, se definen las derivadas parciales terceras, cuartas, etc.Sean U Rn un abierto y k 0 un entero. La clase C0(U) = C(U) esta formada por lasfunciones continuas en U ; para k 1, la clase Ck(U) esta formada por todas las funcionesque tienen derivadas parciales hasta el orden k y estas derivadas parciales son continuasen U . La clase C(U) esta formada por las funciones que pertenecen a Ck(U) para todoentero no negativo k, es decir, por las funciones que tienen derivadas parciales continuasde todos los ordenes. Las expresion f es de clase Ck en U se utiliza con el significadode que f es de la clase Ck(U), y analogamente para C. Frecuentemente, se alude a laregularidad de una funcion f como sinonimo de que f sea de clase Ck para algun k.Enunciamos el teorema de Schwarz en una version que no es la mas general pero suficientepara nuestros propositos en este texto.Teorema de Schwarz. Si f es una funcion de n variables de clase C2(U), entonces, paratodo a U y 1 i < j n, se cumple Dijf(a) = Djif(a).Observese que si, por ejemplo, n 3 y f es una funcion de clase C3(U), teniendo en cuentaque las derivadas terceras son derivadas segundas de las derivadas primeras, el teoremaanterior implica que, para 1 i < j < k n,

Dijkf(a) = Dikjf(a) = Djikf(a) = Djkif(a) = Dkijf(a) = Dkjif(a),

y, para 1 i, j n, i 6= j,

Diijf(a) = Dijif(a) = Djiif(a).

Pueden hacerse observaciones analogas para las derivadas cuartas si f es de la clase C4,etc.

1Extracto del libro Calculo para Ingeniera informatica, por Jose A. Lubary y Josep M. Brunat,Edicions UPC Temes Clau 08, 2008

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El polinomio de Taylor

Sea f una funcion real de n variables de la clase Ck(U) y sea a U . Definimos el polinomiode Taylor de grado k de f en a como el polinomio

Pk(f, a,x) = f(a) +ni=1

f

xi(a)(xi ai) + 1

2!

ni,j=1

2f

xixj(a)(xi ai)(xj aj)

+ +

1

k!

ni1,i2,...,ik=1

kf

xi1xi2 . . . xik(a)(xi1 ai1)(xi2 ai2) (xik aik).

Como en el caso de una variable, definimos el resto k-esimo de Taylor por la igualdadRk(f, a,x) = f(x) Pk(f, a,x), y se tiene que

lmxa

Rk(f, a,x)

x ak = 0,

lo que significa que la similitud entre la funcion y su polinomio de Taylor en a es mejorcuanto mas cerca de a y cuanto mayor sea el grado.Si f es de la clase Ck+1(U) y Br(a) es una bola contenida en U , entonces, para todox Br(a) el resto k-esimo puede expresarse en la forma

Rk(f, a,x) =1

(k + 1)!

ni1,...,ik+1=1

k+1f

xi1 . . . xik+1(c)(xi1 ai1) (xik+1 aik+1),

donde c es un punto del segmento de extremos a y x, es decir, c = ta + (1 t)x paracierto real t (0, 1).Tanto en la expresion del resto como en la del polinomio se ha de tener en cuenta quealgunas de las derivadas que aparecen son iguales, debido al teorema de Schwarz.Puesto que en este curso muchos de los problemas tratan sobre funciones de dos variables,escribimos el polinomio de Taylor de grado n en (a, b) y el resto enesimo para este caso,agrupando las derivadas que coinciden:

Pn(f, (a, b), (x, y)) = f(a, b) +f

x(a, b)(x a) + f

y(a, b)(y b)

+1

2!

(2f

x2(a, b)(x a)2 + 2

2f

xy(a, b)(x a)(y b) +

2f

y2(a, b)(y b)

)+ +

1

n!

nk=0

(n

k

)nf

xnkyk(a, b)(x a)nk(y b)k.

Rn(f, (a, b), (x, y)) =1

(n + 1)!

n+1k=0

(n + 1

k

)n+1f

xn+1kyk(a, b)(x a)n+1k(y b)k.

donde (a, b) es un punto del segmento de extremos (a, b) y (x, y).

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