FAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU U OPATIJI

EKONOMETRIJA

9. TEMATSKA JEDINICA

Opatija, 2013.

1

DEVETA TEMATSKA JEDINICA

UVOD U ANALIZU VREMENSKIH SERIJA

1. OSNOVE ANALIZE VREMENSKIH SERIJA 1.1. POVIJEST I RAZVOJ ANALIZE VREMENSKIH SERIJA 1.2. DEFINICIJA VREMENSKE SERIJE 1.3. CILJEVI ANALIZE VREMENSKIH SERIJA 1.4. PODJELA VREMENSKIH SERIJA 1.5. PRISTUPI ANALIZI VREMENSKIH SERIJA 1.6. KOMPONENTE VREMENSKE SERIJE – KLASIČNA DEKOMPOZICIJA

VREMENSKE SERIJE

1.7. MODELI VREMENSKIH SERIJA 2. GRAFIČKO PRIKAZIVANJE I USPOREĐIVANJE VREMENSKIH SERIJA 3. POKAZATELJI DINAMIKE 4. INDEKSI

4.1. INDIVIDUALNI INDEKSI

4.2. SKUPNI INDEKSI

ZADACI ZA VJEŽBU

RJEŠENJA ZADATAKA

LITERATURA

1. OSNOVE ANALIZE VREMENSKIH SERIJA

Podaci o pojavama u gospodarstvu, ekonomiji i drugim područjima istraživanja najčešće se prikupljaju kao vremenske serije. Vrijednosti pojave u pravilu se odnose na jednake vremenske intervale, kao na primjer mjesečne vrijednosti industrijske proizvodnje u Republici Hrvatskoj, ili se odnose na jednako udaljene vremenske točke, na primjer stanje štednih uloga Zagrebačke banke na dan 31. 12. Analiza takvih nizova ukazuje na potrebu definiranja analitičkog izraza ili modela kojim se opisuje mehanizam generiranja vrijednosti pojave (stohastičkog procesa) u vremenu. 1.1. POVIJEST I RAZVOJ ANALIZE VREMENSKIH SERIJA

Izučavanje pojava koje se mijenjaju, variraju u vremena seže daleko u povijest. Postoje dokazi o zapažanju kretanja i variranja geofizičkih, astronomskih i društvenih pojava nekoliko stoljeća unazad. Prva tjedna statistička praćenja broja umrlih u Londonu potječu iz 1532. godine. U Francuskoj službena praćenja krštenja, vjenčanja i broja umrlih započinju 1539. godine. Činjenica da sve pojave, u većoj ili manjoj mjeri, evoluiraju i da se mijenjaju u vremenu, kao i sve veći zahtjevi za upoznavanjem i analizom tih pojava, stimulirali su razvoj velikog broja metoda i tehnika. Te su tehnike i metode u počecima imale za cilj jednostavnu dokumentaciju i opisivanje pojava koje variraju u vremenu. Vremenom te su se metodologije mijenjale, prilagođavale i razvijale (i još se razvijaju). Danas postoji cijeli niz sofisticiranih metodologija visokog potencijala i širokog dijapazona primjene koje se koriste u analizi vremenskih nizova.

2

1.2. DEFINICIJA VREMENSKIH SERIJA

Vremenski niz ili vremenska serija (engl. Time Series) je

skup kronološki uređenih vrijednosti varijable koja predočuje pojavu ili statistički proces u vremenu.

Vrijednosti niza nazivaju se članovima niza, a po pravilu se odnose na jednake vremenske intervale ili jednako udaljene vremenske točke. Broj članova predočava njegovu duljinu.

Slika 1.: Primjer vremenskog niza:Broj nezaposlenih osoba u Australiji:

veljača 1978-kolovoz 1995

U vremenskom nizu uređenje numeričkih vrijednosti varijable nije slučajno. Spoznaja važnosti takvog ne slučajnog uređenja, karakteristika je po kojoj se analiza vremenskih serija razlikuje od ostalih statističkih analiza. U vremenskom nizu pretpostavlja se da postoji zavisnost među vrijednostima idućih varijabli i da je ta zavisnost povezana s položajem opažanja u seriji. Istraživanje i modeliranje takve zavisnosti, te njeno korištenje u svrhe predviđanja, predstavljaju ključne elemente analize vremenskih serija. Dinamička struktura vremenskog niza može se istraživati ne temelju jedne jednadžbe ili predmet analize može biti uzročno-posljedična povezanost više vremenskih nizova, koja se provodi na temelju vektorskih modela. 1.3. CILJEVI ANALIZE VREMENSKIH SERIJA

Razumijevanje analize vremenskih nizova, zahtijeva prije svega definiranje njenih ciljeva. Statistička analiza vremenskih nizova ima za cilj uočavanje i definiranje mehanizma koji je niz generirao, opisivanje karakteristika i osobina niza, i svakako predviđanje evolucije pojave u vremenu.

Cilja analize vremenskih serija je opisivanje razvoja pojave u vremenu, objašnjavanje varijacija pojave te predviđanje buduće razine pojave.

Stoga se ciljevi analize vremenskih ciljeva mogu sažeti kao:

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191

mjesec

broj

nez

apos

leni

h

3

Opisivanje: sastoji se u sintetičkom opisu kretanja pojave. U te svrhe koristi se grafičko prikazivanje serije u odnosu na vrijeme, odnosno grafikon točaka (t, yt), t=1,…,n. Iz grafičkog prikaza vremenskog niza moguće je dobiti prve informacije o karakteristikama razmatranog niza; dinamika kretanja niza ili postojanje outliera (stršećih vrijednosti).

Objašnjavanje: svodi se na uočavanje mehanizma koji generira pojavu i odnosa koji povezuju varijable.

Predviđanje: sastoji se u prognoziranju budućeg stanja i kretanja pojave temeljem prošlih vrijednosti varijabli. Predviđanje zahtijeva postojanje modela koji će opisati vremenski niz. Model (matematički model ili proces) je sustav jednadžbi koji može proizvesti «umjetni» skup podataka vremenskog niza. Osnovni koraci predviđanja su slijedeći:

odabrati skupinu modela vremenskog niza; odabire se onaj model čiji skup podataka najbolje odgovara empirijskom vremenskom nizu,

procijeniti odabrani model (unutar skupine),

predviđa se određena očekivana vrijednost budućeg ponašanja procijenjenog modela,

granice predviđanja su granice intervala povjerenja; ako je model uspješan, buduća će se vrijednost sa npr. 95% vjerojatnosti, nalaziti u tom intervalu.

Postoji cijeli niz tehnika predviđanja kretanja vremenskog niza: metoda pomičnih prosjeka (Moving Average Method), metoda eksponencijalnog izglađivanja (Exponential Smoothing Method), Holt-Wintersova metoda eksponencijalnog izglađivanja (Holt-Winters Exponential Smoothing Method) i mnoge druge.

Filtriranje: svodi se na upotrebu podataka vremenskog niza s ciljem procjenjivanja ne opaženih komponenata samog niza.

Kontroliranje: analiza vremenskog niza omogućava kontrolu procesa koji generiraju niz.

Zadaće statističke analize vremenskih nizova mogu se definirati i kao:

deskripcija proteklog razvoja pojave u vremenu,

objašnjenje njezine varijacije pomoću drugih pojava,

predviđanje i kontrola dinamičkih procesa,

testiranje pretpostavki o postavkama gospodarske teorije,

objašnjenje varijacije jedne varijable pomoću drugih varijabli,

uklanjanje sustavne razvojne komponente (trenda) radi usporedbe kovarijacija različitih serija (De-Trending),

kvantifikacija sezonske komponente i drugih sustavnih komponenti (desezoniranje),

kvantitativno ispitivanje gospodarskih ciklusa,

ispitivanje strukturnih promjena. 1.4. PODJELA VREMENSKIH SERIJA

Vremenski nizovi koji se susreću praksi dolaze iz različitih područja ljudskog ili prirodnog djelovanja. Moguća podjela vremenskih nizova s obzirom na područje nastajanja je slijedeća:

ekonomski vremenski nizovi,

4

fizički vremenski nizovi,

demografski vremenski nizovi,

vremenski nizovi koji nastaju kontrolom procesa,

vremenski nizovi koji nastaju kontrolom binarnih procesa i

vremenski nizovi koji nastaju kontrolom procesa u određenoj točki. S obzirom na obilježja postoje slijedeći vremenski nizovi:

opisni vremenski nizovi,

redoslijedni vremenski nizovi i

numerički vremenski nizovi. Vremenski niz je dakle, slijed vrijednosti varijabli u kojem je svaki podatak združen s određenim trenutkom ili vremenskim intervalom, pa s obzirom na nastanak postoje:

intervalni vremenski niz (aggregate, flow, accumulate series): vrijednosti pojave zbrajaju se po vremenskim intervalima, posjeduju svojstvo kumulativnosti. Primjer intervalnog vremenskog niza dan je godišnjom finalnom potrošnjom porodica, godišnja količina izvoza ili mjesečni broj nezaposlenih osoba kroz vrijeme.

trenutačni vremenski niz (stock series, series of instantaneous values): vrijednosti su kronološki uređene i u vezi s određenim vremenskim točkama, takvi nizovi ne posjeduju svojstvo kumulativnosti. Primjer trenutačnog vremenskog niza dan je populacijom određenog područja u danoj vremenskoj točki s danom količinom novca prisutnog u ekonomskom sustavu u određenom vremenskom trenutku.

Ako se u svakoj pojedinoj vremenskoj točki ili intervalu opaža jedna pojava, vremenski niz koji nastaje zove se univarijatni vremenski niz. Ako se opažaju dvije ili više pojava, dobije se višestruki(multivarijatni) vremenski niz. Vremenski parametar t, koji definira uređenje podataka u vremenskom nizu pripada skupu T, koji može biti diskretan ili kontinuiran. S obzirom na vremenski parametar niz može biti:

diskretan vremenski niz: mjerna varijabla poprima konačan broj vrijednosti,

kontinuiran vremenski niz: mjerna varijabla poprima vrijednosti iz nekog intervala. Slijedeća važna podjela dijeli vremenskih nizova na:

determinističke vremenske nizove: vremenski niz je deterministički se razine pojave determinističkog niza mogu, temeljem njegovih članova, egzaktno predvidjeti;

stohastičke (statističke) vremenske nizove: većina vremenskih nizova je stohastičke prirode, što znali da se buduća stanja pojave mogu tek procijeniti, a ne egzaktno predvidjeti.

Postoje još i:

izvorni vremenski nizovi: vrijednosti takvog niza izražene su u izvornim jedinicama i

izvedeni vremenski nizovi: članovi takvog niza dobiju se brojčanim operacijama nad vrijednostima izvornog niza ili više njih.

S obzirom na domenu analize, vremenske serije dijele se na:

modele u vremenskoj domeni: polaze od klasične podijele vremenskog niza ili dolaze iz skupine linearnih stohastičkih modela, koje se odnose na stacionarne procese; vremenska je serija stacionarna ako ne sadrži trend komponentu (razina pojave ne mijenja se s vremenom), ako u nizu nisu

5

prisutne striktno periodične varijacije, te ako mu varijanca ne ovisi o vremenu.

modele u domeni frekvencija (spektralni modeli): opisuju podjelu varijance stacionarnog stohastičkog procesa.

1.5. PRISTUPI ANALIZI VREMENSKIH SERIJA

Metode analize vremenskih serija mogu se podijeliti na kvalitativne i kvantitativne. Kvalitativni modeli koriste se kada podaci o nekoj pojavi nisu dostupni ili se ne mogu kvantificirati. Zasnivaju se na procesu usklađivanje mišljenja stručnjaka. Jedna od najpoznatijih kvalitativnih metoda analize vremenske serije je Delphi metoda. Nasuprot kvalitativnim metodama, preduvjeti primjene kvantitativnih metoda su, prije svega, da se informacije o pojavi koju analiziramo mogu kvantificirati, da su podaci u prošlom i sadašnjem periodu dostupni i da oslikavaju pravu prirodu promatrane pojave. Primjena kvantitativnih metoda zasniva se na općoj pretpostavci da će se pojava u budućnosti ponašati na približno isti način kao i u prošlom periodu. Sve kvantitativne metode mogu se svrstati u dvije osnovne skupine:

metode statističke analize vremenskih serija, i

kauzalne (uzročne) metode. S obzirom na navedenu podjelu postoje dva osnovna pristupa analizi vremenskih nizova:

statistički (klasični, tradicionalni) i

ekonometrijski (moderni, kauzalni). Metode statističke analize vremenske serije, odnosno statistički pristup orijentirane su na analizu osnovnih karakteristika pojedinačne vremenske serije i na prognoziranje njenih budućih vrijednosti isključivo na osnovi vrijednosti iz prošlog i sadašnjeg perioda. U ovu grupu metoda spadaju metode dekompozicije, različite metode izglađivanja i Boks-Jenkinsvoa metoda. Kauzalne metode (ekonometrijski pristup) spadaju u domenu regresijske analize vremenskih serija. Opći stohastički model koji opisuje proces koji generira podatke vremenskog niza

koji se odnosi na varijablu Y dan je funkcijom:

tt u)t(fY Pretpostavlja se da se dani vremenski niz sastoji iz:

(a) determinističkog dijela f (t) koji predstavlja sustavni dio niza

(b) slučajnih varijabli ut koje predstavljaju stohastički dio niza i ponašaju se prema određenom zakonu vjerojatnosti.

Klasični (statistički) pristup analizi vremenskih nizova pretpostavlja da postoji «zakon vremenske evolucije» pojave predstavljen sa f(t). Slučajna varijabla (ut) predstavlja skup varijabli ne zamjetne vrijednosti koje se ne žele ili se ne mogu explicite promatrati u Yt. Reziduali od Yt koji nisu objašnjeni sa f(t) smatraju se stoga slučajnima i definiraju se kao slučajne pogreške. Stohastički promatrajući, to je ekvivalentno hipotezi da je stohastička komponenta modela generirana white-noise

6

procesom, odnosno slijedom slučajnih varijabli, jednako distribuiranih, nezavisnih, s očekivanjem 0 i konstantnom varijancom. Takav proces, sintetički notiran sa

ima:

s.r sr, 0E

t, Var

t, 0E

sr

2t

t

Dakle, u klasičnom pristupu analizi vremenskih nizova pažnja se poklanja determinističkoj komponenti f(t), dok se (ut) zanemaruje smatrajući se procesom nekoreliranih komponenti. U klasičnom pristupu koriste se metode raščlambe vremenskog niza na komponente. U modernom pristupu analizi vremenskih nizova pretpostavlja se da f(t) nedostaje ili je već ranije procijenjena. Pažnja se posvećuje stohastičkoj komponenti modela (ut) za koju se pretpostavlja da je proces sa koreliranim komponentama tipa

ttttt Yu ,...,,...Y , 212-t1 kojeg treba analizirati adekvatnim statističkim

metodama. Navedeni pristup polazi od pretpostavke da je vremenska serija konačna realizacija stohastičkog procesa. Uvodi se tako stohastička (vjerojatnosna) komponenta koja omogućava formalizaciju inferencijalne sheme u temelju opažanih podataka. Moderni pristup služi se modelima za analizu empirijskih vremenskih nizova. Primjena modela vremenskih serija je dvostruka: (a) razumjeti mehanizam i strukturu veza koji generiraju vremenski niz te (b) prilagoditi model te ga koristiti za predviđanje, praćenje ili kontroliranje vremenskog niza. 1.6. KOMPONENTE VREMENSKE SERIJE – KLASIČNA DEKOMPOZICIJA VREMENSKE SERIJE

Modeliranje vremenskih serija temelji se na raščlambi serije na komponente koje pokazuju specifične oblike kovarijacija pojave s vremenom. Klasična metoda dekompozicije vremenskih serije polazi od pretpostavke da na razvojnu komponentu vremenske serije određeni čimbenici utječu postojano u određenom pravcu, dok ostali čimbenici uzrokuju odstupanja od te osnovne putanje serije. Tradicionalno se za vremenske nizove ekonomskih pojava generiranih funkcijom

tt u)t(fY pretpostavlja da je njihov sistematski dio f(t) rezultat djelovanja slijedećih komponenata:

komponente trenda

sezonske komponente

komponente ciklusa Na razvoj vremenske serije utječu i nesistematski čimbenici, pa se uz sistematske komponente pojavljuje i stohastička (slučajna komponenta) koja predstavlja slučajnu varijablu određenih svojstava. Komponenta trenda pokazuje dugoročni tijek razvoja pojave u vremenu. Izražava se funkcijom vremena, a prema obliku funkcije trend može biti: linearni, parabolični, eksponencijalni.

7

Sezonska komponenta očituje se u obnavljanjem pojave unutar jedne godine, a pojavljuje se kao posljedica klimatskih uvjeta, društvenih faktora, proizvodnih ciklusa i td. Ciklična komponenta pokazuje obnovljeno kretanje pojave u vremenu od dvije ili više godina. Teže se identificira od komponente trenda te je stoga i teže predvidiva. 1.7. MODELI VREMENSKIH SERIJA

Modeli služe za opisivanje evolucije pojave u vremenu, odnosno prikazivanje zavisnosti tekuće vrijednosti pojave o njezinim proteklim vrijednostima te o tekućim i proteklim vrijednostima slučajne varijable. Usporedo se analizira i autokorelacijska struktura (stupanj i smjer međusobne zavisnosti članova vremenskog niza razmaknutih jedno ili više vremenskih razdoblja). Klasična raščlamba empirijskih vremenskih nizova temelji se na pretpostavci da se svaki vremenski niz može predočiti kombinacijom pojedinih komponenti vremenske serije. Stoga, u pogledu djelovanja komponenti na kretanje vremenske serije razlikuju se tri osnovne grupe modela:

aditivan

multiplikativan

mješoviti (pseudoaditivan) ADITIVNI MODEL

Opći oblik aditivnog modela je:

gdje je

Y je empirijska serija,

T vrijednost trenda,

C vrijednost cikličke komponente,

S vrijednosti sezonske komponente i

slučajna varijabla. Sve su komponente izražene u istim mjernim jedinicama kao i vrijednosti serije Yt. Trend i ciklus komponenta često se ne razdvajaju pa se govori o jedinstvenoj trend-ciklus komponenti, a takav se model predočuje izrazom

odnosno

u kojem T predstavlja trend-ciklus komponentu. Pri primjeni aditivnog modela pretpostavlja se da sezonska i iregularna komponenta ne zavise o trendu, da se amplituda sezonskih varijacija ne mijenja s vremenom te da je tijekom godine prosjek sezonskih fluktuacija jednak nuli. Dakle, aditivni model pogodan je za analizu vremenskih serija kojih se amplitude sezonskih varijacija ne mijenjaju s vremenom.

8

MULTIPLIKATIVNI MODEL

Multiplikativni model karakterističan je po tome što su komponente faktori umnoška, a u općem obliku model glasi:

Ako vremenski niz sadrži sve pozitivne vrijednosti multiplikativni model se može logaritamskom transformacijom prevesti u aditivni model (log-aditivni) oblika

U ovom je modelu samo komponenta trenda izražena u mjernim jedinicama pojave Yt. Ostale su komponente dane u relativnom iznosu (indeksi nepomnoženi sa sto). Dekompozicija predočena multiplikativnim modelom oslanja se na pretpostavke da je amplituda sezonske komponente upravno proporcionalna razini trenda (povećava li se trend, povećava se i amplituda sezonske komponente, i obrnuto), te da je varijanca iregularne komponente upravno proporcionalna veličini trend-ciklus i sezonske komponente. Multiplikativni model se koristi kada se amplitude sezonskih varijacija povećavaju ili smanjuju proporcionalno s vremenom što je karakteristika većine vremenskih serija u ekonomiji. Multiplikativni, odnosno log-aditivni model ne može se primijeniti ukoliko serija sadrži 0 ili negativne vrijednosti, u kojem se slučaju kao alternativan rabi pseudoaditivni model. PSEUDOADITIVNI MODEL

Pseudoaditivni model predstavlja kombinaciju aditivnog i multiplikativnog modela. Pretpostavka njegove primjene je da su sezonska i iregularna komponenta međusobno nezavisne, ali da obje zavisne o trendu. Opći oblik mješovitog modela je

odnosno

U navedenom modelu vrijednosti varijable Y jesu vrijednosti serije, T je komponenta trend-ciklus koja je izražena u mjernim jedinicama vrijednosti niza, a sezonska i iregularna komponenta izražene su kao koeficijenti umnoška (varijabilnost izražena u relativnom iznosu). Uz trend (trend-ciklus) komponentu, u model se kadšto uvodi i komponenta koja izražava varijacije kalendarski varijacija istoimenih vremenskih jedinica (mjeseci, kvartali) re raspored nacionalnih praznika. 2. GRAFIČKO PRIKAZIVANJE I USPOREĐIVANJE VREMENSKIH SERIJA

Intervalni vremenski nizovi prikazuju se površinskim i linijskim grafikonima, trenutačni vremenski nizovi linijskim grafikonima. Usporedba dvaju ili više vremenskih nizova na istom grafikonu moguća je ako su vrijednosti nizova izražene u istim mjernim jedinicama, u protivnome konstruira se polulogaritamski grafikon. Za prikazivanje sezonskih pojava koriste se i polarni dijagrami. Osim grafičkog prikaza korisne informacije dobiju se izračunom sredine niza te analizom varijacija.

9

3. POKAZATELJI DINAMIKE

Pokazatelji dinamike brojčane su veličine kojima se opisuju promjene razine pojava u vremenu.

Dijele se na one koji pokazuju:

Pojedinačne promjene razina pojave u uzastopnim razdobljima ili

Promjene razine tekućeg vremena prema razini odabranog razdoblja. Promjene se mogu izraziti u mjernim jedinicama pojave ili u relativnom iznosu pa se u svezi s time razlikuju apsolutne mjere od relativnih mjera promjene pojave. Od pojedinačnih mjera razlikuju se prosječne mjere. Relativna promjena uzastopnih razina pojave naziva se stopom promjene. Pokazatelji dinamike grafički se prikazuju površinskim i linijskim grafikonom. Postoji više mjera promjene razine pojave u vremenu. Mjere se određuju za jednu vremensku pojavu ili istodobno više njih. Polazne brojčane veličine za računanje pokazatelja dinamike jesu vrijednosti vremenske serije . Za njih se pretpostavlja da su konzistentne i da su vezane za jednake vremenske intervale ili jednako udaljene vremenske točke. Pojedinačna mjera promjena po jedinici vremena dana je u obliku prvih diferencija vrijednosti vremenske serije. Ako su vrijednosti vremenske serije, prve su diferencije . Prve diferencije vrijednosti izražavaju veličinu promjena razina pojava u uzastopnim razdobljima. Dane su u mjernim jedinicama pojave, pa su u tom smislu apsolutne mjere promjena. Prvih diferencija ina (n-1). Prosječna promjena razina pojava u uzastopnim razdobljima aritmetička je sredina pojedinačnih promjena. Prosječna prva diferencija definira se izrazom:

Prosječna diferencija računa se uporabom samo posljednje i prve vrijednosti niza. Bit će reprezentativna ako ne postoje velike varijacije pojedinačnih diferencija. Prve diferencije i prosječna prva diferencija zavise o mjernim jedinicama vrijednosti niza. Njima se ne mogu uspoređivati promjene u uzastopnim razdobljima pojava izraženih u različitim mjernim jedinicama ni pojava s izrazito različitim vrijednostima. Zbog toga se računaju relativne mjere. Relativna pojedinačna mjera promjena razina pojave u uzastopnim razdobljima naziva se koeficijent dinamike, a izražena postotno naziva se stopom promjene. Stopa promjene empirijske serije jest omjer prve diferencije i odgovarajuće vrijednosti serije pomnožen sa sto. Neka su prve diferencije vremenske serije. Pojedinačne stope promjene definiraju se izrazom:

,

to jest

Pojedinačnih stopa ima (n-1). Stopa st pokazuje za koliko se postotaka razlikuje razina pojave u vremenu t prema vremenu (t-1). Može biti pozitivna ili negativna.

10

4. INDEKSI

Indeksi vremenske serije relativni su brojevi koji izražavaju odnos stanja jedne pojave ili skupine pojava u različitim razdobljima ili vremenskim točkama. Ako se pomoću njih prati razvoj jedne pojave u vremenu, tada je riječ o individualnim indeksima. Skupnim indeksima prati se razvoj skupine pojava. 4.1. INDIVIDUALNI INDEKSI

Individualni indeksi pojavljuju se u dva oblika i to kao:

Verižni indeksi i

Indeksi na stalnoj bazi. Pomoću indeksa često se jednostavnije uočava priroda varijacija pojave u vremenu. VERIŽNI INDEKSI

Verižni indeksi su relativni brojevi koji pokazuju promjene stanja pojave u uzastopnim razdobljima. Verižni indeks razdoblja t dobije se tako da se vrijednost tog razdoblja podijeli s vrijednosti prethodnog razdoblja, razdoblja t-1, a zatim se omjer pomnoži sa sto. Omjer tekuće i prethodne vrijednosti vremenske serije nepomnožene sa sto naziva se koeficijentom dinamike. Ako se s označe vrijednosti vremenske serije od n članova, koeficijenti dinamike su:

a verižni indeksi:

Općenito koeficijent dinamike razdoblja t dan je izrazom:

a verižni indeks izrazom:

Verižni indeksi prikazuju se specifičnim linijskim grafikonom i grafikonom jednostavnih stupaca. INDEKSI NA STALNOJ BAZI

Indeksima na stalnoj bazi mjeri se promjena razine vremenske pojave u relativnom iznosu prema članu niza jednog odabranog razdoblja ili vremenske točke. Neka se vremenska serija sastoji od n članova i neka je vrijednost razdoblja b. Veličine

Predočuje indekse na stalnoj bazi. Opći je izraz za indeks na stalnoj bazi za razdoblje t dan izrazom:

11

Prema tome, indeksi na stalnoj bazi dobivaju se tako da se svaki član vremenske serije podijeli s vrijednošću baznog razdoblja i pomnoži sa sto. Za bazno se razdoblje uzima vrijeme u kojemu pojava nije bila izložena neuobičajenim utjecajima. Indeks na stalnoj bazi pokazuje koliko jedinica pojave u razdoblju t dolazi na svakih sto jedinica pojave u razdoblju b. Indeksi na stalnoj bazi upravo su proporcionalni originalnim vrijednostima niza. Grafički se prikazuju linijskim grafikom i pomoću jednostavnih stupaca. 4.2. SKUPNI INDEKSI

Skupni indeksi su relativni brojevi kojima se mjere relativne promjene skupine pojava u vremenu. Predmet su indeksne analize skupine koje čine neku logičnu cjelinu. Skupnim indeksima se općenito prati dinamika cijena, fizičkog obujma (količina) i vrijednost, pa se s tim u vezi rabe:

skupni indeksi cijena,

skupni indeksi količina i

skupni indeksi vrijednosti. Varijabilnost raznih pojedinačnih pojava u skupini može se pratiti individualnim indeksima. Budući da su mjerne jedinice pojava različite, individualnim indeksima kao relativnim brojevima prati se dinamika pojedinačnih pojava unutar skupine i uspoređuje njihova kovarijacija. Skupni indeksi računaju se u obliku potpunih srednjih vrijednosti individualnih indeksa, najčešće u obliku aritmetičke sredine. U analizi dinamike skupina pojava uobičajeno se računaju:

Laspeyresov indeks cijena i količina,

Paascheov indeks cijena i količina,

Indeks vrijednosti i

Fisherovi indeksi.

12

ZADACI ZA VJEŽBU

ZADATAK 1.

Klasificirajte sljedeće vremenske nizove prema općim obilježjima: (1) Stanovništvo RH po popisnim godinama. (2) Izvoz RH u razdoblju od 1991-2002. (3) Noćenja turista u RH po mjesecima u razdoblju od 1991-2000. (4) Dnevna stanja računa na žiroračunima komitenata banke XY u rujnu 2010. (5) Zaključne cijene dionica odabranih kompanija na burzi po danima prve dekade prosinca

2002. godine. (6) Potrošnja električne energije u RH tijekom 24. listopada 2010. (7) Narodni dohodak po stanovniku u RH po godinama razdoblja 1991-2002. (8) Indeksi proizvodnje prerađivačke industrije u RH po mjesecima 2010 (siječanj = 100). (9) Mjesečne otplatne kvote potrošačkog zajma u 2009. godini. ZADATAK 2.

Prevezeni putnici (u 000) u cestovnom prometu u Republici Hrvatskoj.

Godina 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

Prevezeni putnici 97140 80177 79263 79027 83652 85764 85236 77595 64763 66556

(a) O kojoj je vrsti statističkog niza riječ? (b) Niz prikažite površinskim i linijskim grafikonom. (c) Formirajte kumulativni niz i prikažite ga površinskim i linijskim grafikonom.

Komentirajte grafičke prikaze i dinamiku prijevoza putnika u navedenom razdoblju na temelju uvida u varijacije vrijednosti članova serije.

ZADATAK 3.

Završeni i nezavršeni stanovi u Republici Hrvatskoj

Godina, kvartal Broj završenih stanova Broj nezavršenih stanova

1999. 12863 5591 2000. 12522 5308 2001. I. 643 5265 II. 1071 4751 III. 871 4712

Napomena: broj nezavršenih stanova odnosi se na stanje potkraj razdoblja.

(a) O kojoj je vrsti statističkih nizova riječ u ovom primjeru? (b) Prvi niz prikažite površinskim, a drugi linijskim grafikonom. ZADATAK 4.

Noćenja turista u Republici Hrvatskoj po mjesecima 2001. godine. Mjesec I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII.

Noćenja (u 000) 257 254 353 1213 2063 5826 13185 14242 4521 918 301 117

Navedeni niz prikažite grafički odgovarajućom vrstom grafikona. ZADATAK 5.

13

Proizvodnja sirovog čelika elektropećima u Republici Hrvatskoj. godina 1996 1997 1998 1999 2000

proizvodnja u t 45752 70660 104114 76832 71021

a) Izračunajte iznose promjene proizvodnje čelika u uzastopnim razdobljima. b) Kolika je bila prosječna godišnja promjena proizvodnje? Kada je prosječna prva

diferencija dobar analitički pokazatelj? c) Kolike su promjene proizvodnje prema proizvodnji 1996. godine? ZADATAK 6.

Novčana masa (M1) u Republici Hrvatskoj u milijunima kuna u 2001.

Mjesec Novčana masa

Siječanj 16717,2

Veljača 16970,6

Ožujak 17395,2

Travanj 18252,7

Svibanj 18845,0

Lipanj 19065,1

Srpanj 20530,8

Kolovoz 19838,2

Rujan 20284,5

Listopad 20064,9

Studeni 20975,8

Prosinac 23703,5

(a) Kolike su promjene novčane mase u milijunima kuna u uzastopnim razdobljima? Izračunajte stope promjene novčane mase.

(b) Stope prikažite površinskim grafikonom. (c) Odredite promjene novčane mase za stanja u 2001. godini prema stanju u siječnju te

godine u apsolutnom i relativnom iznosu. ZADATAK 7.

Indeksi proizvodnje pšenice i kukuruza u Republici Hrvatskoj Godina 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Indeksi proizvodnje pšenice 1994=100

100,00 116,93 98,80 111,20 136,00 74,40 137,60 128,67

Indeksi proizvodnje kukuruza 1998=100

85,12 87,59 95,16 110,14 100,00 107,72 76,99 97,93

a) Izračunajte indekse proizvodnje kukuruza u kojima je bazna proizvodnja 1994. godina.

Indekse prikažite grafički. b) Izračunajte verižne indekse proizvodnje pšenice i verižne indekse proizvodnje kukuruza,

te ih prikažite grafički. c) Kolika je bila proizvodnje pšenice po godinama navedenog razdoblja ako je 1998.

proizvedeno 1020 tisuća tona?

14

RJEŠENJA ZADATAKA

ZADATAK 1.

Serije od (1) do (8) su statistički nizovi. Niz (9) je deterministički. Nizovi: (2), (3) i (6) su intervalni nizovi. Nizovi: (1), (4) i (5) su trenutačni nizovi. Nizovi (7) i (8) su izvedeni nizovi. ZADATAK 2.

(a) Riječ je o intervalnom vremenskom nizu, a razine pojave dane su po jednakim (godišnjim) vremenskim intervalima.

(b) Površinski grafikon crta se u pravokutnom koordinatnom sustavu. Ako su razdoblja jednaka, pravokutnici jednakih osnovica oslanjaju se na os apscisa, a visine su im određene aritmetičkim mjerilom osi ordinata. Razlika visina pravokutnika govori o razlici vrijednosti članova niza. Linijski dijagram nastaje spajanjem točaka kojima su apscise sredine razdoblja, a ordinate su dane aritmetičkim mjerilom osi ordinata. Razlike ordinata upućuju na razlike vrijednosti članova niza. Što su linije u grafu strmije, te su razlike veće i obrnuto.

Površinski grafikon prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000)

Linijski dijagram prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000)

(c) Kumulativni niz prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000) Godina 1991. 1991./1992. 1991./1993. 1991./1994. 1991./1995. 1991./1996. 1991./1997. 1991./1998. 1991.1999. 1991./2000.

Kumulativni niz

97140 177317 256580 335607 419259 505023 590259 667854 732617 799173

Kumulativni niz formiran je postupnim zbrajanjem vrijednosti članova serije. Član kumulativnog niza 335607 pokazuje da je od 1991. do 1994. godine prevezeno ukupno 335607 tisuća putnika.

Kumulativni niz broja prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000), površinski grafikon

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

15

Kumulativni niz broja prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000), linijski dijagram

ZADATAK 3.

(a) Prvi je niz vremenski intervalni, a drugi vremenski trenutačni niz. (b) Za grafički prikaz prvog niza iskoristit će se pravokutnici, a kako intervali promatranja nisu jednaki, pri

konstrukciji grafikona rabit će se korigirane vrijednosti članova niza. Godišnje vrijednosti korigiraju se dijeljenjem s četiri. Vrijednosti se trenutačnog niza ne korigiraju jer pokazuju salda u navedenim vremenskim točkama. Pri konstrukciji grafikona trenutačnog niza spajaju se točke s apscisa koje odgovaraju vremenskim točkama u aritmetičkom mjerilu osi apscisa i ordinatama danima u aritmetičkom mjerilu osi ordinata.

Završeni stanovi u Republici Hrvatskoj – prosjek po kvartalu, površinski grafikon.

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

1991. 1991./1992. 1991./1993. 1991./1994. 1991./1995. 1991./1996. 1991./1997. 1991./1998. 1991.1999. 1991./2000.

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

1991. 1991./1992. 1991./1993. 1991./1994. 1991./1995. 1991./1996. 1991./1997. 1991./1998. 1991.1999. 1991./2000.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

I. II. III.

1999. 2000. 2001. 2001. 2001.

16

Nezavršeni stanovi u Republici Hrvatskoj – stanje potkraj razdoblja, linijski grafikon.

ZADATAK 4.

Vremenski niz Noćenja turista predočuje sezonsku pojavu. Takvi se nizovi prikazuju, osim ostalih, i specifičnim dijagramom koji se zove polarni dijagram. Mreža polarnog dijagrama sastoji se od koncentričnih krugova koji prolaze markantnim točkama aritmetičkog mjerila. Mjerilo se nalazi na jednom od radijvektora. Ako su na grafu naznačeni samo radijvektori, govori se o dijagramom radarskog tipa.

Polarni i radar dijagrami sezonske pojave Noćenje turista u RH u 2001.

ZADATAK 5.

Promjene proizvodnje u uzastopnim razdobljima dane su prvim diferencijama vrijednosti niza, tj.: odnosno

…..

Prosječna prva diferencija dana je izrazom

Diferencije su izražene u mjernim jedinicama vrijednosti serije. Diferencija uz 1997. godinu pokazuje da je te godine proizvedeno 24908 tona sirovog čelika više nego 1996. godine. Godine 2000. proizvodnja čelika bila je za 5811 tona manja nego prethodne godine. Prosječna prva diferencija 6317,25 tona i nije reprezentativan pokazatelj jer su diferencije različitog predznaka i znatne varijabilnosti. Prosječna prva diferencija reprezentativna je kada su prve diferencije istoga predznaka i kada nisu izrazito varijabilne. Njezin je nedostatak i u tome što se određuje samo na osnovi dviju vrijednosti serije (prve i posljednje). Promjene proizvodnje prema proizvodnji odabranog razdoblja dane su izrazom:

4600

4800

5000

5200

5400

5600

I. II. III.

1999. 2000. 2001. 2001. 2001.

0

5000

10000

15000I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

XI.

XII.

17

U primjeru je to:

…….

Navedene razlike pokazuju veličine promjene proizvodnje u tonama u tekućem razdoblju prema odabranom baznom razdoblju, odnosno proizvodni čelika u 1996. godini.

Pomoćna tablica

godina proizvodnja u t Prve diferencije Diferencije prema 1996

∆yt

1996 45752 0

1997 70660 24908 24908

1998 104114 33454 58362

1999 76832 -27282 31080

2000 71021 -5811 25269

ZADATAK 6.

Pomoćna tablica

Mjesec Novčana

masa Diferencije Stope

Diferencije prema I.

Stope prema I

Siječanj 16717,2 * * * * Veljača 16970,6 253,4 1,515804 253,4 1,515804 Ožujak 17395,2 424,6 2,501974 678 4,055703 Travanj 18252,7 857,5 4,929521 1535,5 9,185151 Svibanj 18845 592,3 3,244999 2127,8 12,72821 Lipanj 19065,1 220,1 1,167949 2347,9 14,04482 Srpanj 20530,8 1465,7 7,687869 3813,6 22,81243

Kolovoz 19838,2 -692,6 -3,37347 3121 18,66939 Rujan 20284,5 446,3 2,2497 3567,3 21,3391

Listopad 20064,9 -219,6 -1,0826 3347,7 20,02548 Studeni 20975,8 910,9 4,539768 4258,6 25,47436 Prosinac 23703,5 2727,7 13,00403 6986,3 41,79109

(a) Promjene novčane mase u milijunima kuna u uzastopnim razdobljima izračunate su kao prve diferencije

(razlike tekuće i prethodne vrijednosti) i uvrštene u treći stupac pomoćne tablice. Pojedinačne stope predočuju iznos relativne promjene tekuće razine prema prethodnoj razini. Definirane su izrazom:

Vrijednosti stopa promjena u uzastopnim razdobljima nalaze se u četvrtom stupcu pomoćne tablice. Prva je stopa 1,52 i pokazuje da je novčana masa u veljači 2001. bila 1,52% veća od novčane mase u siječnju 2001. Stopa -1,08 pokazuje da je u listopadu mjesecu 2001., prema rujnu te godine, smanjena novčana masa za 1,08%.

(b) U opisu grafikona mora se obavezno naznačiti da visine stupaca (ili ako se rabi linijski dijagram, ordinate

spojnih točaka) označavaju relativne promjene prema prethodnom razdoblju.

Stope promjene novčane mase u RH (prema stanjima potkraj razdoblja), površinski grafikon

18

(c) Promjene novčane mase prema stanju potkraj siječnja 2001.:

Diferencije se nalaze u petom stupcu pomoćne tablice. Promjene su novčane mase prema razini u siječnju varijabilne. Diferencija od 4258,6 milijuna kuna pokazuje da je novčana masa potkraj listopada 2001. bila veća od novčane mase potkraj siječnja te godine za navedeni iznos. Relativne promjene stanja novčane mase prema stanju potkraj siječnja 2001. računaju se pomoću izraza:

odnosno

(

)

U primjeru su navedene stope sljedeće:

Stope su navedene u šestom stupcu pomoćne tablice. Posljednja izračunata stopa iznosi 41,79 i pokazuje da je novčana masa potkraj prosinca bila 41,79% veća od novčane mase potkraj siječnja te godine. ZADATAK 7.

Pomoćna tablica godina Indeksi

proizvodnje pšenice 1994=100

Indeksi proizvodnje kukuruza 1998=100

indeksi proizvodnje kukuruza 1994=100

verižni indeksi proizvodnje pšenice

verižni indeksi proizvodnje kukuruza

proizvodnja pšenice u 000 t

1994 100 85,12 100,00 * * 750

1995 116,93 87,59 102,90 116,93 102,90 877

1996 98,8 95,16 111,80 84,49 108,64 741

1997 111,2 110,14 129,39 112,55 115,74 834

1998 136 100 117,48 122,30 90,79 1020

1999 74,4 107,72 126,55 54,71 107,72 558

2000 137,6 76,99 90,45 184,95 71,47 1032

2001 128,67 97,93 115,05 93,51 127,20 965

a) Indeksi proizvodnje kukuruza 1994=100 računaju se dijeljenjem svakog člana niza s 85,12 (vrijednost baze,

veličine vezane za 1994.) i množenjem omjera sa 100. Indeksi na stalnoj bazi preračunavaju se na drugu bazu tako da se s raspoloživim indeksima postupa kao s originalnim podacima. Taj postupka slijedi iz svojstva proporcionalnosti indeksa na stalnoj bazi i originalnih podataka. Indeksi proizvodnje kukuruza 1994=100 nalaze se u četvrtom stupcu pomoćne tablice.

Indeksi proizvodnje kukuruza u Republici Hrvatskoj 1994=100

-5

0

5

10

15

II/I III/II IV/III V/IV VI/V VII/VI VIII/VII IX/VIII X/IX XI/X XII/XI

19

b) Indeksi na stalnoj bazi pretvaraju se u verižne indekse tako da se indeks tekućeg razdoblja podijeli s

indeksom prethodnog razdoblja, a omjer pomnoži sa sto, tj. s indeksima se postupa ka da je riječ o originalnim podacima. Verižni indeksi uvršteni su u treći i četvrti stupac pomoćne tablice.

Verižni indeksi proizvodnje pšenice i kukuruza u Republici Hrvatskoj

c) Za utvrđivanje niza originalnih podataka, polazeći od niza indeksa, dovoljno je raspolagati jednom

vrijednošću originalne serije. 1020 je peta vrijednost serije, a indeks na bazi 1994=100 jest

dakle,

koristeći se definicijskim izrazom za indekse na stalnoj bazi, izračunate su i

preostale originalne vrijednosti članova serije proizvodnje pšenice.

LITERATURA

1. Biljan-August, M,; Pivac, S.; Štambuk, A. (2007.), «Primjena statistike u ekonomiji», Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka.

2. Gujarati, D. (1992.), «Essentials of Econometrics», McGraw-Hill, New York. 3. Jovičić, M. (1989.), «Ekonometrijski metodi», Ekonomski fakultet, Beograd. 4. Jurun, E; Pivac, S.; Arnerić, J. (2006.), «Primijenjena ekonometrija 1», Sveučilište u Splitu,

Ekonomski fakultet, Split. 5. Kmenta, J. (1997.), «Počela ekonometrije», MATE, Zagreb. 6. Lovrić, LJ. (2005.), «Uvod u ekonometriju», Sveučilište u Rijeci, Ekonomski fakultet Rijeka. 7. Maddala, G. S. (1992.), «Introduction to Econometrics», Second Edition, Macmillian

Publishing Company, New York. 8. Šošić, I. (2004.), «Primijenjena statistika», Školska knjiga, Zagreb.

90

95

100

105

110

115

120

125

130

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1995/1994 1996/1995 1997/1996 1998/1997 1999/1998 2000/1999 2001/2000

verižni indeksi proizvodnje pšenice verižni indeksi proizvodnje kukuruza

FAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU U OPATIJI

EKONOMETRIJA

10. TEMATSKA JEDINICA

Opatija, 2013.

1

DESETA TEMATSKA JEDINICA

METODE STATISTIČKE ANALIZE VREMENSKIH SERIJA

5. DESKRIPTIVNE METODE U ANALIZI VREMENSKIH SERIJA 6. ODABRANI MODELI VREMENSKIH SERIJA

6.1. MODELI TRENDA

6.2. ODABIR TIPA FUNKCIJE TRENDA

7. METODE IZGLAĐIVANJE VREMENSKE SERIJE 7.1. METODA POMIČNIH PROSJEKA

7.2. EKSPONENCIJALNO IZGLAĐIVANJE

8. METODE ANALIZE SEZONSKIH POJAVA 9. METODE PROGNOZIRANJA VREMENSKIH SERIJA ZADACI ZA VJEŽBU

RJEŠENJA ZADATAKA

LITERATURA

1. DESKRIPTIVNE METODE U ANALIZI VREMENSKIH SERIJA

Svrha primjene deskriptivnih metoda jest realizacija prvog cilja u analizi vremenskih serija – deskripcije vremenske serije. Uporabom ovih metoda dobije se prva informacija o prirodi vremenske serije i o tome da li ju je potrebno transformirati prije pristupanja realizaciji drugog cilja analize vremenske serije – objašnjenju kretanja vremenske serije. Postoje brojne metode koje se mogu koristiti u ovoj fazi. Uobičajeno je da se grupiraju kako slijedi:

Grafički prikazi vremenske serije

Sumarni pokazatelji

Metode transformacije vremenske serije i

Metode izglađivanja vremenske serije. Grafičko prikazivanje vremenske serije Cilj grafičkog prikaza vremenske serije jest njen vizualni pregled. Na osnovu grafičkog prikaza vremenske serije može se zaključiti da li vremenska serija pokazuje tendenciju rasta ili pada, da li postoje izražene sezonske varijacije i da li je karakterizirana nestabilnom varijancom. Da bi se uočila prisutnost nestandardnih opažanja korisno je da se prikaže i prva diferencija date serije. Prema grafikonu prve diferencije jednostavnije je primijetiti da li se pojavljuju podaci koji nisu suglasni s prethodnim tijekom vremenske serije. Sumarni pokazatelji Cilj primjene sumarnih pokazatelja jest sagledavanje empirijske raspodjele dane vremenske serije. Ovo je relevantno da bi se ustanovilo da li se empirijska raspodjela može dobro aproksimirati normalnom distribucijom. Ukoliko normalna distribucija ne predstavlja dovoljno dobar okvir za danu empirijsku raspodjelu, tada je potrebno utvrditi zašto dolazi do odstupanja od normalnosti. Neke od metoda istraživanja sumarnih pokazatelja su:

2

Histogram,

Koeficijent asimetrije i spljoštenosti i

Jarque-Bera test statistika. Histogram predstavlja grafički prikaz učestalosti pojavljivanja podataka vremenske serije u pojedinim grupnim intervalima.

Koeficijenti asimetrije i koeficijenti spljoštenosti predstavljaju neke od parametara kojima se opisuje empirijska raspodjela vremenske serije. Koeficijent asimetrije, pokazuje u kojoj mjeri postoji koncentracija podataka vremenske serije oko točke koja je veća ili manja od srednje vrijednosti. Pritom, je raspodjela simetrična ako su podaci grupirani približno simetrično u odnosu na srednju vrijednost. Koeficijent asimetrije jednak je nuli kod simetričnih raspodjela. Asimetriju u desno prati vrijednost koeficijenta asimetrije koja je veća od nule, dok je koeficijent asimetrije manji od nule kod raspodjele koja je asimetrična u lijevo. Koeficijent spljoštenosti ili zaobljenosti, opisuje repove empirijske raspodjele. Spljoštenost se uvijek izražava u odnosu na spljoštenost normalne raspodjele. Vrijednost koeficijenta spljoštenosti kod normalne raspodjele jednaka je tri. Ako je koeficijent spljoštenosti veći od tri, tada su repovi dane raspodjele teži od repova normalne raspodjele, obrnuto, ako je vrijednost koeficijenta spljoštenosti manja od tri, onda su repovi raspodjele lakši od repova normalne distribucije. Termin teški rep sugerira da se na repu empirijske raspodjele nalazi veći dio jediničnih vjerojatnosti nego što je to slučaj kod repova normalne raspodjele. Jarque-Bera test statistika (JB) koristi se da bi se napravila diskriminacija između sljedećih hipoteza:

Metode transformacije vremenske serije Cilj metoda transformacije jest dobivanje vremenske serije sljedećih svojstava:

Vremenska serija ima empirijsku raspodjelu koja je simetrična i normalna.

Vremenska serija posjeduje stabilan nivo i varijabilnost. Simetričnost raspodjele i stabilizacija razine vremenske serije često se postiže korištenjem transformacije Box-Cox, koja se u većini slučajeva svodi na logaritmiranje originalnih vrijednosti. U cilju stabiliziranja razine vremenske serije koristi se operator prve diferencije, čime se dobije vremenska serija sa stabilnom razinom. Metode izglađivanja vremenske serije Metode izglađivanja polaze od tradicionalnog shvaćanja da se vremenska serija može predstaviti kao suma dugoročne komponente i kratkoročnih varijacija. Pri tome, dugoročna komponenta odražava osnovni tijek serije, dok kratkoročne varijacije označavaju slučajne fluktuacije. Smisao primjene ovih metoda jest izdvajanje dugoročne tendencije u kretanju vremenske serije, što se postiže eliminiranjem slučajnih varijacija. Ovaj pristup sadrži izvjesnu dozu proizvoljnosti zato što je

3

izuzetno teško napraviti jasnu razliku između osnovnog tijeka i sporadičnih varijacija. Najčešće korištene metode izglađivanja su:

Regresijske metode i

Metode pomičnih prosjeka

Metode eksponencijalnog izglađivanja i

Hodrick-Prescottov filter (HP filter/trend) 2. ODABRANI MODELI VREMENSKIH NIZOVA

Metoda dekompozicije polazi od pretpostavke da pojava slijedi jedan isti obrazac ponašanja tijekom vremena. Nakon definiranja osnovnih komponenti vremenske serije pristupa se njihovoj procjeni. Modelima trenda statistički se opisuje dugoročna kovarijacija pojave s vremenom. Ako se pretpostavi da serija ne sadrži periodične komponente, model trenda u općem obliku je

aditivni model

multiplikativni model gdje je

. U navedenim izrazima je pojava predočena vremenskom serijom, T komponenta trenda predočena nepoznatom funkcijom vremena , a ε su nepoznata slučajna odstupanja od trenda s obilježjima slučajnih varijabli. Pretpostavi li se da se parametri u modelima trenda ne mijenjaju s vremenom, riječ je o globalnom, odnosno determinističkom modelu trenda. Lokalnom modelu trenda svojstvena je promjenjivost parametara. U sklopu analize vremenskih serija uvodi se i specifičan model trenda koji se naziva stohastičkim trendom. 2.1. MODELI TRENDA

U praksi je relativno česta upotreba linearnog trenda, eksponencijalnog trenda te nekih asimptotskih modela. Njihova se analiza provodi metodama regresijske analize. Model trend polinoma K-tog stupnja je oblika:

∑

a model eksponencijalnog trenda:

odnosno:

∑

.

4

Exp označava bazu prirodnog logaritma. Eksponencijalni modeli trenda lineariziraju se logaritamskom transformacijom radi pojednostavljenja numeričke analize. Oblici modela trenda iz navedenih skupina i skupine asimptotskih modela koji se relativno često primjenjuju dani su sljedećoj tablici.

NAZIV MODELA OBLIK TRENDA

Model linearnog trenda (model trend polinoma prvog stupnja)

Parabolični trend drugog stupnja

Eksponencijalni trend (jednostavni)

Eksponencijalni trend- složeni, logaritamska parabola

Modificirani eksponencijalni trend

Gompertzov trend

Logistički trend

⁄

U navedenim izrazima su vrijednosti vremenske serije, je varijabla vrijeme koja odgovorno poprima vrijednosti prvih n prirodnih brojeva , su vrijednosti slučajne varijable e, a α, β, β1 su parametri. Izbor tipa modela zavisi o danom slučaju primjene. Izbor trenda proizlazi iz kvalitativne analize, grafičkog prikaza serije, analize prvih ili viših diferencija originalnih ili logaritamskih vrijednosti serije te statističko-analitičkih postupaka. Numerička analiza modela obuhvaća procjenu nepoznatih parametara, određivanje pokazatelja reprezentativnosti i ispitivanje kvalitete modela. Pretpostavi li se da će trend biti postojan i u prognostičkom horizontu, model s procijenjenim parametrima može se iskoristiti u prognostičke svrhe. Kadšto trend komponentu valja ukloniti kako bi se mogao primijeniti odgovarajući model. Trend komponenta uobičajeno se otklanja pomoću diferencija serije, diferencija vrijednosti logaritama ili drugih prikladno transformiranih vrijednosti serije. Može se pokazati da se prvim diferencijama odstranjuje linearni trend, drugim diferencijama trend polinom drugog stupnja, odnosno općenito k-tim diferencijama eliminira se trend polinom k-tog stupnja. Diferencijama logaritama eliminira se eksponencijalni trend. Uklanjanje trend komponente provodi se i tako da se od vrijednosti vremenske serije oduzmu vrijednosti trenda izračunate na temelju modela trenda s procijenjenim parametrima. U tom je slučaju izvedena serija jednaka seriji rezidualnih odstupanja. 2.2. ODABIR TIPA FUNKCIJE TRENDA

Analizi trenda prethodi utvrđivanje oblika funkcije vremena. Prvi korak u analizi determinističkog trenda jest ispitati da li vremenska serija uopće posjeduje izraženi trend. Nakon, toga, ako trend postoji, ispituje se koja se funkcija trenda najbolje prilagođava empirijskim podacima. Izbor funkcije trenda podrazumijeva odabir

5

linearne, parabolične, eksponencijalne ili neke druge nelinearne funkcije koja najbolje odgovara vremenskoj seriji. Postoji više metoda kojima se vrši ispitivanje odabira funkcije trenda:

1. Grafičko prikazivanje, 2. Metoda diferencija, 3. Srednja kvadratna pogreška, te 4. Metoda pomičnih prosjeka.

3. METODE IZGLAĐIVANJA VREMENSKE SERIJE

Metode izglađivanja omogućavaju analizu osnovne tendencija vremenske serije, ali imaju i široku primjenu u prognoziranju budućih vrijednosti vremenske serije. Dvije najjednostavnije metode izglađivanja vremenske serije jesu metoda pomičnih prosjeka i metoda eksponencijalnog izglađivanja. 3.1. METODA POMIČNIH PROSJEKA

Pomični prosjeci su aritmetičke sredine M uzastopnih vrijednosti članova vremenske serije (M<n). Niz pomičnih prosjeka čini izvedeni niz koji ima manji stupanj varijabilnosti u usporedbi s izvornom serijom. Stoga se pomičnim prosjecima izglađuje vremenska serija. Pomični prosjek može se shvatiti i kao lokalni model trenda, a vrijednosti prosjeka kao vrijednosti trenda. Razlikuju se

Jednostavni pomični prosjeci od

Vaganih pomičnih prosjeka Jednostavni pomični prosjeci jednostavne su aritmetičke sredine M uzastopnih vrijednosti članova vremenske serije. Ako je broj članova pomičnog prosjeka neparan, to jest M=2m+1, računaju se pomoću izraza:

∑

U navedenom izrazu

su vrijednosti pomičnih prosjeka, a vrijednosti članova serije. Vrijednost prosjeka pridružuje se razdoblju središnjeg člana pomičnog prosjeka. Kada je broj članova pomičnog prosjeka M paran broj, to jest M=2m, provodi se postupak centriranja. Centriranje se provodi na različite načine. Centrirani prosjeci računaju se u obliku dvostrukih pomičnih prosjeka, to jest određivanjem jednostavnih pomičnih prosjeka od prethodnih pomičnih prosjeka od po dva člana. Formula je za izravno računanje centriranih prosjeka:

[

∑

] .

6

Za prvih m i posljednjih m razdoblja ne mogu se izračunati vrijednosti pomičnih prosjeka. S obzirom na to da su jednostavni pomični prosjeci nevagane aritmetičke sredine, svaka vrijednost serije ima jednak ponder. Vagani pomični prosjeci jesu vagane aritmetičke sredine M uzastopnih vrijednosti članova serije, to jest:

∑

U vaganom pomičnom prosjeku značaj jednog člana niza određen je njegovim ponderom. Ponderi određuju se na različite načine. Uobičajena je primjena modela lokalnog trenda, odnosno pomičnog regresijskog modela. Postupak se sastoji u tome da se najprije odredi jednadžba trend polinoma određenog stupnja na temelju prvih M=2m+1 vrijednosti članova serije. Pomoću te jednadžbe izračuna se vrijednost trenda za (m+1) točku ili se, što je isto, odredi vrijednost trenda za središnje razdoblje od M razdoblja. Slijedi određivanje trend polinoma istog stupnja za sljedeću skupinu od M uzastopnih članova (bez prvog člana niza, a s uključenim M+1 članom) te računanje vrijednosti trenda središnjeg razdoblja. Postupak se nastavlja sve do posljednje skupine od M=2m+1 člana. Vrijednosti trenda ekvivalentno se određuju u obliku linearne kombinacije koeficijenata i odgovarajućih vrijednosti članova serije. Koeficijenti ili, što je isto, ponderi izvode se iz normalnih jednadžbi lokalnih polinom trenda. Postojani su i tabelirani za dano M i K (stupanj polinoma). Za koeficijente kojima se ponderiraju vrijednosti serije uzimaju se katkada binomni koeficijenti, ili su to vrijednosti prvih M prirodnih brojeva, pri čemu je najveći ponder za M-tu vrijednost serije i sl. Nad pomičnim prosjecima provode se različite operacije. Primjerice, računaju se višestruki prosjeci (prosjeci prosjeka), pomični se prosjeci zbrajaju i računaju njihovi prosjeci itd. Postoje pomični prosjeci specifičnih svojstava. Takvi su Hendersonovi i Spencerovi pomični prosjeci. Riječ je o pomičnim prosjecima sa simetričnim ponderima kojima se aproksimira polinom trenda drugoga i trećega stupnja. Osim u brojčanom opisivanju tendencije razvoja, uporaba pomičnih prosjeka važna je u postupcima analize sezonskih (cikličkih) pojava. Pomičnim prosjecima izražava se komponenta trenda. Ako je broj članova jednostavnog pomičnog prosjeka jednak periodu obnavljanja ili višekratniku tog perioda, niz pomičnih prosjeka neće biti periodičan. Tom operacijom u cijelosti se odstranjuje periodična komponenta. 3.2. METODA EKSPONENCIJALNOG IZGLAĐIVANJA

Metoda eksponencijalnog izglađivanja srodna je metodi pomičnih prosjeka. Vrijednosti serije izglađuju se ponderiranjem članova niza nejednakim ponderima. Izglađena vrijednost tekućeg razdoblja t vagana je sredina vrijednosti prethodnih razdoblja. Eksponencijalno izglađivanje može biti:

Jednostavno ili

Višestruko.

7

Postupak jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja svodi se na izračunavanje vagane sredine vrijednosti, pri čemu vrijednost tekućeg razdoblja ima najveći ponder. Vrijednosti pondera proteklih razdoblja smanjuju se eksponencijalno. Opći izraz za izračunavanje izglađenih vrijednosti je:

gdje je vrijednost serije razdoblja t,

eksponencijalno izglađena vrijednost razdoblja t, α je konstanta izglađivanja, . Uzastopnom supstitucijom navedeni izraz postaje:

,

odnosno

.

Budući da je konstanta izglađivanja broj između nule i jedan, vidljivo je da se ponderi vrijednosti članova serije eksponencijalno smanjuju. U postupku je potrebno odrediti konstantu izglađivanja i izglađenu vrijednost nultog razdoblja (inicijalne vrijednosti). Konstanta izglađivanja obično se određuje iterativnim postupkom (vrijednosti se mijenjaju u koracima 0,1, 0,01 i sl., a za svaku se vrijednost izračuna veličina pogreške-srednje apsolutno odstupanje ili drugi pokazatelj). Odgovarajuća je veličina konstante izglađivanja ona za koju je prosječna pogreška najmanja. Za izglađenu vrijednost nultog razdoblja često se uzima da je ta vrijednost jednaka prvoj vrijednosti serije. Postupak izglađivanja pomoću navedenog izraza primjeren je stacionarnim serijama (serijama bez trenda i drugih sistemskih komponenti). Ako vremenska serija sadrži trend, izglađene vrijednosti dobivene jednostavnim eksponencijalnim izglađivanjem sistematski će precjenjivati ili podcjenjivati razinu pojave. Zbog toga se u slučaju prisutnosti trenda rabi model dvostrukog, trostrukog odnosno višestrukog eksponencijalnog izglađivanja. Više je takvih modela. Među njima je, primjerice, Brownov model dvostrukog, trostrukog, itd. izglađivanja, Holt-Wintersov model itd. Holt-Wintersov model eksponencijalnog izglađivanja za pojave s trendom ima sljedeći oblik:

U navedenom izrazu je stvarna razina pojave u vremenu,

je izglađena vrijednost, Tt je procjena utjecaja trenda, a α i β su konstante izglađivanja za razinu pojave i efekt trenda. Da bi se proveo postupak izglađivanja, potrebno je utvrditi inicijalne vrijednosti za razinu pojave i efekta trenda te konstante izglađivanja. Taj se izbor provodi na različite načine. Primjerice, za razinu pojave nultog razdoblja uzima se konstantni

8

član u jednadžbi linearnog trenda, a za efekt trenda toga razdoblja koeficijent uz varijablu vrijeme. Inicijalne se vrijednosti kadšto određuju i ovako: izglađena vrijednost drugoga razdoblja jednaka je vrijednosti drugog člana serije, to jest

. Za procjenu početne vrijednosti efekta trenda uzima se diferencija druge i prve vrijednosti niza, odnosno . Konstante izglađivanja određuju se od slučaja do slučaja,pri čemu se polazi od različitih kriterija, kao što je, primjerice, srednje apsolutno odstupanja stvarnih od izglađenih vrijednosti. Odabire se za konstantu za koju je to odstupanje najmanje. Od modela analize sezonskih pojava rabi se i Holt-Wintersov model izglađivanja za sezonske pojave. Model može biti aditivni, multiplikativni i mješoviti. Pođe li se od pretpostavke da serija sadržava trend sezonsku i slučajnu komponentu i da je prikladan multiplikativni model, tada analiza pojave počiva na trima jednadžbama: prvom jednadžbom izglađuje se razina pojave, drugom jednadžbom trend komponenta, a trećom sezonska komponenta. Te jednadžbe su sljedeće:

,

,

.

U navedenim su jednadžbama konstante izglađivanja. To su vrijednosti između 0 i 1.

L je 4 ili 12 i predočuje sezonski period.

je izglađena srednja razina pojave.

su vrijednosti trenda.

je sezonski faktor. Prvo razdoblje s izglađenom vrijednosti srednje razine pojave jest ⁄ i ona je

⁄ ( ⁄ ⁄ ) ⁄ ⁄ ⁄

Inicijalne vrijednosti za faktor trenda i sezonski faktor i ovdje se određuju na različite načine, primjerice:

⁄ ⁄ ⁄

⁄

[ ⁄

⁄

⁄

⁄ ]

Pri primjeni metoda eksponencijalnog izglađivanja potrebno je donijeti različite odluke koje se ne oslanjaju samo na poznavanje općih svojstava metoda već i svojstava serije. Na odluku o broju članova pomičnog prosjeka (M) i njegovu obliku utječe priroda pojave koju serija predočuje. Međutim, ne postoje egzaktni kriteriji koji omogućuju izbor tih veličina. Broj članova pomičnog prosjeka ovisi o stupnju

9

varijabilnosti i o namjeni prosjeka. S povećanjem stupnja varijabilnosti potrebno je, u načelu, povećati i broj članova prosjeka. Odstranjuje li se periodična komponenta, broj članova pomičnog prosjeka jednak je periodu obnavljanja pojave. Iskoristi li se izglađena serija u drugim postupcima, primjerice u regresijskog analizi, trena imati na umu da serija pomičnih prosjeka može očitovati osobitosti koje nisu svojstvene izvornoj seriji (periodičnost, autokorelacija). Stanovitu poteškoću čini i nedostatka vrijednosti pomičnih prosjeka na početku i na kraju serije. Kada je riječ o modelima eksponencijalnog izglađivanja, valja istaknuti problem izbora konstanti izglađivanja i odgovarajućih inicijalnih vrijednosti u postupku. Metode izbora konstanti i inicijalnih vrijednosti nisu jedinstvene, a o njima ovise rezultati izglađivanja. Primjenom različitih algoritama, kadšto se dobivaju rezultati koje se znatno razlikuju. Metode pomičnih prosjeka eksponencijalnog izglađivanja primjenjuju se na modificirani način u prognostičke svrhe. 4. METODE ANALIZE SEZONSKIH POJAVA

Sezonske su periodične pojave one koje se obnavljaju na isti ili približno isti način s periodom od jedne godine. Temelj su numeričke analize modeli koji polaze od dekompozicije serije na trend-cikličnu, sezonsku i iregularnu komponentu. Kako je već navedeno, u analizi se uobičajeno polazi od aditivnog modela, multiplikativnog modela i njegova lineariziranog (logaritamskog) oblika ili od pseudoaditivnog modela. U općem su obliku ti modeli:

(1) , (2) , (3) .

U navedenim izrazima Y predočuje vrijednosti vremenske serije, T trend-ciklus komponentu, , vrijednosti iregularne (slučajne) komponente. Uz komponentu trenda (trend-ciklus) i iregularnu komponentu u model se kadšto uvodi i komponenta koja izražava varijacije istih vremenskih jedinica (mjeseci,kvartali) te raspored nacionalnih praznika. Dva su temeljna pristupa analizi sezonskih pojava. Prvi se pristup sastoji u raščlanjivanju sezonske pojave na komponente pomoću pomičnih prosjeka (filtriranje, ad hoc pristup) i u osnovi ima obilježja neparametarske statistike. Drugi se pristup oslanja na modele u kojima se analitički izražavaju komponente serije (trend, sezonska, iregularna), odnosno definira model stohastičkog procesa koji generira seriju. Postoji više metoda analize sezonskih pojava u sklopu navedenih pristupa. Relativno je jednostavna metoda odnosa prema pomičnim prosjecima, zatim regresijski model sa sezonskim indikator-varijablama. Posebno je raširena CENSUS metoda i njene varijante, primjerice X-12-ARIMA, koju rabi veći broj državnih zavoda za statistiku, te TRAMO/SEATS, STAMP i druge. Svrha je analize sezonskih pojava izmjeriti sezonski utjecaj i veličine drugih prisutnih komponenti te analitički (modelom) izraziti njihov razvoj. Postupci desezoniranja pružaju važne informacije za prosudbu gospodarskih kretanja, odnosno za vođenje poslovne i gospodarske politike. S obzirom na to da različite metode analize

10

sezonskih pojava često daju različite rezultate, nužno je poznavati temelje svake od njih i osobitosti analiziranih pojava kako bi se prosudila kvaliteta dobivenih statističkih pokazatelja. Metoda odnosa prema pomičnim prosjecima uobičajeno polazi od multiplikativnog modela

. U navedenom izrazu T je vrijednost trenda, je sezonski

faktor, a faktor rezidualnih odstupanja. Prvi se korak u analizi navedenog modela metodom odnosa prema pomičnom prosjeku sastoji u procjeni trend komponente vrijednostima pomičnih prosjeka

. Za kvartalne podatke, određuju se vrijednosti četveročlanih centriranih pomičnih prosjeka. U drugom koraku izračunavaju se prve procjene sezonskih faktora. One su dane omjerima odgovarajućih vrijednosti serije i pripadajućih pomičnih prosjeka, to jest

⁄ . Procjene sezonskih faktora istih mjeseci (kvartala) variraju. Da bi se

dobio sezonski faktor (konstanta) za svaki mjesec ili kvartal valja odrediti prosječnu vrijednost prvih procjena sezonskih faktora istih mjeseci (kvartala). Za prosjek se uzima medijan, modificirana aritmetička sredina (isključuju se najmanja i najveća vrijednost) ili jednostavna aritmetička sredina. Zbroj sezonskih faktora mora biti jednak 4 odnosno 12. U protivnome, navedene prosjeke istoimenih kvartala (mjeseci) valja korigirati, to jest njihov zbroj svesti na 4 odnosno 12. Treći se korak sastoji u izračunavanju vrijednosti očišćenih od sezonskih utjecaja. Taj se postupak provodi dijeljenjem vrijednosti serije sa sezonskim faktorima, odnosno ⁄ . Četvrti korak u analizi odnosi se na izračunavanje rezidualnih faktora. Oni se određuju tako da se desezonirane vrijednosti pojave podijele s pomičnim prosjecima kao procjenama trenda, to jest

⁄ . Rezidualni faktori pomnoženi sa sto nazivaju se indeksima rezidualnih odstupanja. Metoda X-12-ARIMA ubraja se među filtarske metode. Određivanje vrijednosti komponenti i desezoniranje (ostvarivanje sezonskog utjecaja na razinu pojave) u sklopu te metode temelji se na vremenskoj seriji koja sadrži najmanje tri ciklusa, odnosno 12 kvartalnih i 36 mjesečnih vrijednosti. Analiza se provodi na temelju aditivnog, multiplikativnog ili pseudoaditivnog modela. Postupak desezoniranja gospodarskih serija najčešće polazi od multiplikativnog modela. Sam se postupak provodi koracima i sadrži vrlo velik broj različitih brojčanih operacija te konstrukciju grafičkog prikaza. Opisni koraci su u nastavku. U prvom koraku se utvrđuju inicijalne procjene komponenti, u drugom se one revidiraju odnosno poboljšavaju. U trećem se koraku daju konačne procjene komponenti i mnogobrojnih statističko-analitičkih pokazatelja kakvoće rezultata. Inicijalna procjena trenda predočuje se centriranim pomičnim prosjecima po 4 člana (za kvartalne serije) ili 12 članova (za mjesečne serije). U nizu pomičnih prosjeka nedostaju vrijednosti na njegovu početku (za dva prva, odnosno prvih šest razdoblja) i na kraju niza (za posljednja dva, odnosno posljednjih šest razdoblja). Omjer originalnih vrijednosti i procjene trenda predočuju inicijalnu (zajedničku) procjenu sezonske i iregularne komponente.

11

Da bi se dobila prva procjena sezonske komponente, za navedene omjere određuju se vagani pomični prosjeci, a preliminarna procjena sezonske komponente slijedi korekcijom prve procjene tako da zbroj vrijednosti te komponente iznosi 4 ili 12 za multiplikativni model, a 0 za aditivni. Dijeljenjem originalnih vrijednosti serije s preliminarnim procjenama vrijednosti sezonske komponente dobivaju se preliminarne desezonirane vrijednosti pojave. Slijede postupci revidiranja preliminarnih procjena radi poboljšanja njihovih svojstava. Poboljšanje procjene trenda postiže se Hendersonovim pomičnim prosjecima po 9, 13 ili 23 člana preliminarnih desezoniranih vrijednosti serije. Broj članova prosjeka zavisi o stupnju varijabilnosti serije. Dijeljenjem vrijednosti originalne serije s navedenim pomičnim prosjecima dobiva se druga procjena sezonske i iregularne komponente. Slijedi procjena vrijednosti koje nedostaju na početku i na kraju serije odgovarajućim (asimetričnim) pomičnim prosjecima. Konačna procjena sezonske komponente dobiva se primjenom odgovarajućih pomičnih prosjeka i njihovom korekcijom tako da im je zbroj jednak 4, odnosno 12 ili 0 u aditivnom modelu. Dobivenim vrijednostima utvrđuju se desezonirane vrijednosti. Konačna procjena trend komponente slijedi iz primjene Hendersonovih pomičnih prosjeka od 9, 13 ili 23 člana na desezoniranim serijom, koja je prethodno modificirana za ekstremne vrijednosti. Konačna procjena iregularne komponente dobije se tako da se vrijednosti trend komponente podijele s vrijednostima desezonirane serije. Metoda X-12-ARIMA je iterativna metoda, a uključuje primjenu mnogobrojnih statističko-analitičkih pokazatelja i postupaka (prosjeci, standardne devijacije, modifikacije zbog pojave atipičnih-ekstremnih vrijednosti, testiranje hipoteza o značajnosti sezonske komponente, procjene efekata varijacija kalendara pomoću regresijske analize i dr.). metoda je programski podržana. Cjelokupni izlaz obrade sastoji se od tabelarno prikazanih rezultata i grafičkih prikaza. Za razliku od X-12-ARIMA metode desezoniranja, koja se ubraja među filtarske metode, metode analize sezonskih pojava TRAMO/SEATS, STAMP temelje se na modelima vremenskih serija u vremenskoj domeni. Regresijski je model sezonske pojave s linearnim trendom i sezonskim indikator-varijablama (dummy) aditivnog tipa za kvartalne serije:

a za mjesečne:

Umjesto linearnog trenda, model može uključivati parabolični trend drugog ili višeg stupnja. Također je moguća primjena multiplikativnog (eksponencijalnog) oblika modela. Model se analizira predočenim metodama regresijske analize modela s indikator-varijablama (dummy). Prema navedenim oblicima modela, sezonski efekt prvog kvartala, odnosno prvog mjeseca sadržan je u konstantnom članu.

12

5. METODE PROGNOZIRANJA VREMENSKIH SERIJA

Jedan od najvažnijih ciljeva analize vremenskih serija jest prognoziranja budućeg tijeka promatrane serije sa što manjom pogreškom prognoze. Postoji više pristupa u prognoziranju vremenskih serija. Od često korištenih metoda prognoziranja mogu se spomenuti metode prognoze vremenske serije po metodi dekompozicije-ekstrapolacija trenda, metode pomičnih prosjeka i metoda eksponencijalnog izglađivanja. Prognoziranje po metodi dekompozicije zasnovano je na prilagođavanju određene funkcije vremena podacima i na njenoj ekstrapolaciji u budućnost. Drugim riječima, prognoziranje se temelji na ekstrapolaciji trenda, odnosno na produžavanju funkcije trenda u budućnost. Osnovna pretpostavka prilikom prognoziranja vremenske serije uporabom metode dekompozicije jest da će čimbenici koji su djelovali na razinu serije u prošlosti i sadašnjosti djelovati i u budućem razdoblju na isti način, približno istim intenzitetom, u istom smjeru i bez značajnijeg utjecaja novih čimbenika. Radi se dakle, o mehaničkoj projekciji ponašanja pojave iz prošlog i sadašnjeg perioda u budućnost.

13

ZADACI ZA VJEŽBU

ZADATAK 1.

a) Dane su vremenske serije ( je varijabla vrijeme, a vrijednosti su nizova u stupcima)

xt Niz 1. Niz 2. Niz 3. Niz 4. Niz 5.

1 25 29 31 105,0000 99,75000

2 30 31 47 110,2500 89,79931

3 35 31 85 115,7625 72,95925

4 40 29 157 121,5506 53,49767

5 45 25 275 127,6282 35,40272

6 50 19 451 134,0096 21,14392

7 55 11 697 140,7100 11,39677

8 60 1 1025 147,7455 5,54402

Napišite analitički oblik funkcija kojima se generiraju podaci. Za serije u tablici

odredite sljedeće vrijednosti

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Što zaključujete?

b) O kojim je modelima trenda riječ ako je:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

ZADATAK 2.

Stanovništvo SAD-a (u milijunima, stanje sredinom godine) Godina 1989. 1990. 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997.

Stanovništvo 247 250 253 255 258 261 263 266 268

(a) Prikažite navedeni niz linijskim grafikonom. Što zaključujete na temelju grafa o

trendu broja stanovnika?

(b) Analizirajte model linearnog trenda tako da odredite trend vrijednosti i

rezidualna odstupanja. Kolika je standardna devijacija, koeficijent varijacije

trenda i standardne pogreške procjena? Liniju trenda ucrtajte u grafikon.

Protumačite značenje procjena parametara i drugih izračunatih veličina.

(c) Testirajte hipotezu o pozitivnoj autokorelaciji pogrešaka relacije. Primijenite

Durbin-Wattsononv test. Razina signifikantnosti 5%. DW=2,281

14

ZADATAK 3.

Godišnji prihod tvrtke XX u milijunima kuna Godina 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002.

Prihod 22 19 20 23 25 26 30 39

a) Navedeni niz prikažite linijskim grafikonom. Što se na temelju grafičkog prikaza

može zaključiti o obliku trenda?

b) Odredite jednadžbu trenda i druge uobičajene veličine. Testirajte hipotezu o

značajnosti kvadratnog člana u modelu. Razina signifikantnosti 5%.

c) Dobiveni trend polinom prikažite na linijskom grafikonu.

ZADATAK 4.

Prodaja svježeg mlijeka (u 000 litara) u lancu trgovina XC.

Godina 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001 2002.

Prodaja 199 250 313 403 525 678 900 1153 1428 1825

a) Navedeni niz prikažite linijskim grafikonom. b) Izaberite prikladni model trenda i analizirajte ga.

ZADATAK 5.

Proizvodnja maslinovog ulja u RH (u 000 hl) Godina 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Proizvodnja 23,7 5,8 30,6 27,0 13,1 25,1 54,5 22,9 15,7 31,7 52,8 23,5

a) Izračunajte (1) trogodišnje pomične prosjeke, (2) četverogodišnje pomične

prosjeke, (3) petogodišnje pomične prosjeke.

b) Usporedite originalnu seriju i serije izračunatih pomičnih prosjeke ja jednom

grafikonu. Što zaključujete?

ZADATAK 6.

Kamatne stope poslovnih banaka na kratkoročne devizne kredite 2001. godine Mjesec VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII,

Kamatna stopa (%)

5,27 6,22 5,36 6,07 5,25 5,25 5,78

Izračunajte izglađene vrijednosti serije. Primijenite postupak jednostavnog

eksponencijalnog izglađivanja. Konstanta izglađivanje je 0,3.

ZADATAK 7.

a) Primijenite postupak izglađivanja Holt-Wintersovim dvoparametarskim modelom za pojave s linearnim trendom polazeći od ovih podataka:

Godina, kvartal

2001, I. II. III. IV. 2002, I. II. III. IV.

Prodaja (u 000)

95 111 129 133 147 155 174 171

Konstante su izglađivanja: α β . Izračunajte izglađene vrijednosti primijenivši postupak jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja. Konstanta

15

izglađivanja jednaka je 0,3. Za izglađenu vrijednost nultog razdoblja uzmite vrijednosti prvog člana serije. b) Prikažite na istom grafikonu originalnu seriju te serije izglađenih vrijednosti.

ZADATAK 8.

Vrijednosti prodaje tvrtke XX po godinama i kvartalima (u 000 €)

Godina I. kvartal II. kvartal III. kvartal IV. kvartal

1998 2758 1151 250 887

1999 3140 1449 211 452

2000 3665 1290 389 596

2001 3611 1321 371 645

2002 3902 1151 302 693

a) Analizirajte navedenu seriju polazeći od multiplikativnog modela. Trend i cikličnu komponentu uzmite kao jednu. Primijenite postupak odnosa prema pomičnom prosjeku. Interpretirajte pomične prosjeke, sezonske i iregularne faktore.

b) Niz iz tablice, pomične prosjeke i desezoniranu seriju prikažite na istom grafikonu.

16

RJEŠENJA ZADATAKA

ZADATAK 1.

a) Sve su navedene vremenske serije determinističke.

(1) PRVA VREMENSKA SERIJA Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: y

Equation

Model Summary Parameter Estimates

R Square F df1 df2 Sig. Constant b1

Linear 1,000 . 1 6 . 20,000 5,000

Logarithmic ,919 67,974 1 6 ,000 20,375 16,691

Exponential ,985 383,433 1 6 ,000 23,483 ,123

Model koji generira niz je:

Slika 1.: Prikaz prve vremenske serije i modela koji seriju generira

(2) DRUGA VREMENSKA SERIJA Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: yy

Equation Model Summary Parameter Estimates

R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 b2

Linear ,800 24,000 1 6 ,003 40,000 -4,000

Quadratic 1,000

5742936909539640,00

2 5 ,000 25,000 5,000 -1,000

y = 5x + 20

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5 6 7 8

17

0

Growth ,570 7,939 1 6 ,030 4,397 -,362

Model koji generira niz je:

Slika 2.: Prikaz druge vremenske serije i modela koji seriju generira

(3) TREĆA VREMENSKA SERIJA

Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: y3

Equation

Model Summary Parameter Estimates

R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 b2 b3

Linear ,870 40,200 1 6 ,001 -266,000 136,000

Logarithmic ,646 10,928 1 6 ,016 -194,749 407,935

Quadratic ,997 936,869 2 5 ,000 124,000 -98,000 26,000

Cubic 1,000 10671458238996350,000 3 4 ,000 25,000 5,000 -1,000 2,000

Compound ,995 1302,934 1 6 ,000 18,474 1,679

Growth ,995 1302,934 1 6 ,000 2,916 ,518

Exponential ,995 1302,934 1 6 ,000 18,474 ,518

y = -x2 + 5x + 25

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8

18

Model koji generira niz je:

Slika 3.: Prikaz treće vremenske serije i modela koji seriju generira

(4) ČETVRTA VREMENSKA SERIJA Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: y4

Equation

Model Summary Parameter Estimates

R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 b2 b3

Linear ,998 2523,967 1 6 ,000 97,885 6,099

Logarithmic ,892 49,656 1 6 ,000 98,706 20,086

Quadratic 1,000 1130471,790 2 5 ,000 100,115 4,762 ,149

Cubic 1,000 1299886433,089 3 4 ,000 99,995 4,886 ,116 ,002

Compound 1,000 1590160522810,629 1 6 ,000 100,000 1,050

Growth 1,000 1590160522810,629 1 6 ,000 4,605 ,049

Exponential 1,000 1590160522810,629 1 6 ,000 100,000 ,049

y = 2x3 - x2 + 5x + 25

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8

19

Model koji generira niz je:

(5) PETA VREMENSKA SERIJA Riječ je eksponencijalnom polinomu drugog stupanja. Vrijednosti varijable x su prirodni brojevi.

Model koji generira niz je:

Diferencije polinoma prvog stupnja, polinoma drugog i trećeg stupnja navedene su u pomoćnoj tablici.

Pomoćna tablica

xt Niz 1. Niz 2. Niz 3.

1 25 * 29 * * 31 * * *

2 30 5 31 2 * 47 16 * *

3 35 5 31 0 -2 85 38 22 *

4 40 5 29 -2 -2 157 72 34 12

5 45 5 25 -4 -2 275 118 46 12

6 50 5 19 -6 -2 451 176 58 12

7 55 5 11 -8 -2 697 246 70 12

8 60 5 1 -10 -2 1025 328 82 12

Iz tablice je vidljivo da su prve diferencije polinoma prvog stupnja konstantne. Prve diferencije polinoma drugog stupanja zavise o varijabli vrijeme (varijabilne su), a druge su diferencije konstante. Treće su diferencije polinoma trećeg stupanja konstante. Može se pokazati da su K-te diferencije polinoma K-tog stupnja konstantne, a (K+1) su jednake nuli.

20

Četvrti niz čine vrijednosti eksponencijalne funkcije, odnosno eksponencijalnog polinoma prvog stupnja, a peti vrijednosti eksponencijalnog polinoma drugog stupnja. Vrijednosti polinoma , njihove logaritamske vrijednosti te verižni indeksi vrijednosti i verižni indeksi verižnih indeksa, diferencije logaritamskih vrijednosti dani su u sljedećoj pomoćnoj tablici.

Pomoćna tablica

xt Niz 4. Niz 5.

1 105,0000 * 2,021189 * 99,75000 * * 1,99891 * *

2 110,2500 105 2,042379 0,02119 89,79931 90,02 * 1,95327 -0,04564 *

3 115,7625 105 2,063568 0,02119 72,95925 81,25 90,25 1,86308 -0,09019 -0,04455

4 121,5506 105 2,084757 0,02119 53,49767 73,33 90,25 1,72833 -0,13475 -0,04455

5 127,6282 105 2,105947 0,02119 35,40272 66,18 90,25 1,54904 -0,17930 -0,04455

6 134,0096 105 2,127136 0,02119 21,14392 59,72 90,25 1,32519 -0,22385 -0,04455

7 140,7100 105 2,148325 0,02119 11,39677 53,90 90,25 1,05678 -0,26840 -0,04455

8 147,7455 105 2,169514 0,02119 5,54402 48,65 90,25 0,74382 -0,31296 -0,04455

Verižni indeksi 4. niza, koji predočuje vrijednosti eksponencijalnog polinoma prvog stupanja, konstantni. Konstantne su i prve diferencije logaritamskih vrijednosti toga niza. Peti niz se odnosi na eksponencijalni polinom drugog stupanja. Iz tablice je vidljivo da su verižni indeksi verižnih indeksa toga niza konstantni. Također su konstantne druge diferencije logaritamskih vrijednosti toga niza. Na temelju navedenih rezultata može se zaključiti da diferencije serije, diferencije njihovih logaritama ili drugih prikladno transformiranih vrijednosti članova serije mogu poslužiti kao pomoćno sredstvo pri izboru trenda. Pri tome valja imati na umu da empirijske vremenske serije nisu determinističke, jer na razvoj pojave u vremenu utječu slučajne varijacije, odnosno model razvoja razine pojave osim determinističke funkcije vremena sadrži i slučajnu varijablu. Riječ je o sljedećim modelima:

(1) Prve diferencije vrijednosti vremenske serije približno su konstantne, pa je za predočavanje serije moguće koristiti prikladan model linearnog trenda

(2) Riječ je o modelu trend polinoma drugog stupnja .

(3) Model polinoma trećeg stupnja

. (4) Model eksponencijalnog trenda prvog stupnja .

U logaritamskom obliku . Za alternativni oblik , u logaritamskom obliku .

(5) Model eksponencijalnog trenda prvog stupnja .

(6) Model eksponencijalnog trenda drugog stupnja (model logaritamske parabole)

U

logaritamskom obliku U alternativnom obliku

odnosno

. (7) Model eksponencijalnog trenda drugog stupnja (model logaritamske parabole).

ZADATAK 2.

a) Slika 4.: Prikaz vremenske serije stanovništva SAD-a, stanje sredinom godine

245

250

255

260

265

270

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

stan

ovn

ištv

o, u

mili

juim

a

Stanovništvo

21

Grafički prikaz pokazuje da postoji približna linearna kovarijacija broja stanovnika s vremenom. To potvrđuju i prve diferencije serije (pomoćna tablica), koje su istoga predznaka i ne variraju na izrazito različitim vrijednostima, pa se može iskoristiti model linearnog trenda.

Godina Stanovništvo (u milijunima) Varijabla vrijeme Prve diferencije

1989 247 1 *

1990 250 2 3

1991 253 3 3

1992 255 4 2

1993 258 5 3

1994 261 6 3

1995 263 7 2

1996 266 8 3

1997 268 9 2

2321 45

b) Model linearnog trenda identičan je modelu jednostavne linearne regresije u kojem je vrijeme nezavisna

varijabla. Oblika je . Model linearnog trenda s procijenjenim parametrima glasi

. Procjene parametara, standardne pogreške procjena i drugi rezultati dani su u sljedećoj tablici.

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R 0,999013

R Square 0,998028

Adjusted R Square 0,997746

Standard Error 0,342725

Observations 9

ANOVA

df SS MS F Significance F

Regression 1 416,0667 416,0667 3542,189 9,92E-11

Residual 7 0,822222 0,11746

Total 8 416,8889

Coefficients Standard

Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Lower 95,0%

Upper 95,0%

Intercept 244,7222 0,248984 982,884 2,98E-19 244,1335 245,311 244,1335 245,311

X Variable 1 2,633333 0,044246 59,51629 9,92E-11 2,528709 2,737958 2,528709 2,737958

RESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted Y Residuals

1 247,3556 -0,35556

2 249,9889 0,011111

3 252,6222 0,377778

4 255,2556 -0,25556

5 257,8889 0,111111

6 260,5222 0,477778

7 263,1556 -0,15556

8 265,7889 0,211111

9 268,4222 -0,42222

Durbin-Watson 2,281

22

Model linearnog trenda s procijenjenim parametrima i oznakama glasi:

Uz jednadžbu trenda s procijenjenim parametrima navode se uobičajene oznake (vrijeme za početnu

vrijednost varijable x, jedinica mjere vremena, jedinica mjere vrijednosti članova niza). Jednadžbom trenda s

procijenjenim parametrima metodom najmanjih kvadrata opisuje se razvoj pojave u vremenu u smislu

prosjeka. Koeficijent (isto što i regresijski koeficijent u modelu linearne regresije) pokazuje prosječnu

linearnu promjenu razine pojave za jedinični porast vrijednosti varijable vrijeme. U primjeru koeficijent

pokazuje da se broj stanovnika povećao u prosjeku linearno 2,6 milijuna godišnje. Konstantni član iznosi

244,7 i predstavlja vrijednost trenda broja stanovnika za godinu koja prethodi prvoj godini u nizu, to jest za

godinu 1988.

Slika 5.: Prikaz linearnog trenda i vremenske serije stanovništva SAD-a, stanje

sredinom godine

Pomoću jednadžbe linearnog trenda s procijenjenim parametrima i vrijednosti varijable vrijeme izračunavaju

se vrijednosti trenda. Vrijednosti trenda procjene su razine pojave prema trendu i isto su što i regresijske

vrijednosti.

Rezidualna odstupanja su razlike vrijednosti vremenskog niza i vrijednosti trenda te upućuju na disperziju

oko trenda kao srednje vrijednosti. Vrijednosti trenda i rezidualna odstupanja dani su u pomoćnoj tablici.

Rezidualna odstupanja podloga su za izračunavanje varijance, odnosno standardne devijacije trenda, kojom

se predočuje veličina disperzije oko linije trenda.

Osim parametara, trend vrijednosti i rezidualnih odstupanja, procjenjuju se standardna devijacija, koeficijent

varijacije, standardne pogreške procjena i druge veličine. Dio spomenutih veličina temelji se na analizi

varijance, koja je za linearni trend jednaka analizi varijance modela jednostavne linearne regresije. Tablica

ANOVA.

Koeficijent determinacije iznosi 0,998028 te pokazuje da je modelom linearnog trenda objašnjeno 99,8%

odstupanja, pa je prema tom pokazatelju model reprezentativan. Standardna pogreška procjene parametara

uz varijablu vrijeme iznosi 0,04425. Testira se hipoteza o značajnosti te varijable, primjerice t-testom,

pripadajuća p-vrijednost=9,9233E-11, što je mnogo manje od razine signifikantnoti i što pokazuje da

se ne može prihvatiti pretpostavka da varijabla vrijeme u modelu nije signifikantna. Granice intervala

procjene upućuju na zaključak da su procjene precizne.

Standardna devijacija (Standard Error of the Estimate-procjena standardne devijacije trenda) i koeficijent

varijacije iznose ; .

y = 2,6333x + 244,72 R² = 0,998

245

250

255

260

265

270

198919901991199219931994199519961997

stan

ovn

ištv

o, u

mili

juim

a

Stanovništvo

Trend vrijednosti

23

Vrijednost trenda broja stanovnika za 1989. iznosi 247,4 milijuna. Stvarni je broj stanovnika za tu godinu 247, a razlika predočuje rezidualno odstupanje, koje iznosi -0,4. Budući da trend predočuje kovarijaciju u smislu prosjeka, njegova se reprezentativnost prosuđuje standardnom devijacijom i koeficijentom varijacije. Standardna devijacija trenda iznosi 0,34272 milijuna, koliko je prosječno odstupanje stvarnog broja stanovnika od vrijednosti trenda. U relativnom je iznosu to 0,13%. Standardna devijacija trenda i koeficijent varijacije upućuje na veliku reprezentativnost trenda.

c) Hipoteze su za Durbin-Watsonov test o autokorelaciji pogrešaka relacije u modelu linearnog trenda:

Kritične su vrijednosti testa: n=9, K=1, α=0,05 dL=0,824, dU=1,320. Test veličina je DW=2,281. Budući da je , prihvaća se nulta hipoteza, to jest ne može se prihvatiti pretpostavka da su pogreške relacije autokorelirane.

Slika 6.: Rezidualna odstupanja

Grafički prikaz rezidualnih odstupanja također ne upućuje na postojanje autokorelacije, odnosno ne upućuje na sustavno raspoređivanje rezidualnih odstupanja. ZADATAK 3.

a) Slika 7.: Prikaz vremenske serije

Prikaz niza pokazuje da bi se mogao primijeniti model paraboličnog trenda drugog stupanja. b)

Pomoćna tablica

Parameter Estimates

Param. Std.Err t p Cnf.Lmt Cnf.Lmt B a ß S Err ß Cnf.Lmt Cnf.Lmt

y y y y -95,00% +95,00% y y -95,00% +95,00% y

Intercept 23,85714 2,233062 10,68360 0,000124 18,11687 29,59741

x -2,94048 1,138509 -2,58274 0,049268 -5,86711 -0,01385 -1,11140 0,430316 -2,21756 -0,005234

x^2 0,58333 0,123489 4,72378 0,005225 0,26590 0,90077 2,03272 0,430316 0,92656 3,138880

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

15

20

25

30

35

40

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

24

Test of SS Whole Model vs. SS Residual

Multiple R Multiple R2 Adjusted R2

SS model

Df model MS model SS residual Df residual MS residual F p

y 0,977972 0,956430 0,939002 281,1905 2 140,5952 12,80952 5 2,561905 54,87918 0,000396

Observed, Predicted, and Residual Values

Observed y Predicted y Resid y

1995 22,00000 21,50000 0,50000

1996 19,00000 20,30952 -1,30952

1997 20,00000 20,28571 -0,28571

1998 23,00000 21,42857 1,57143

1999 25,00000 23,73810 1,26190

2000 26,00000 27,21429 -1,21429

2001 30,00000 31,85714 -1,85714

2002 39,00000 37,66667 1,33333

Model paraboličnog trenda drugog stupnja jednak je modelu regresijskog polinoma drugog stupanja u kojemu je varijabla vrijeme nezavisna. Model je oblika:

. Nepoznati parametri procjenjuju se metodom najmanjih kvadrata. Osim procjena parametara, programom za regresijsku analizu regresijskog polinoma drugog stupnja dobivene su i druge statističko-analitičke veličine. Jednadžba s odabranim veličinama glasi:

Ako su ispunjene pretpostavke o prirodi stohastičkog člana u modelu, značajnost kvadratnog člana testira se pomoću t-testa. Test veličina je omjer procjene parametara uz kvadratni član i standardne pogreške procjene, to

jest

Teorijska vrijednost testa je veličina t-varijabla za vjerojatnost α , odnosno ⁄ , i broj

stupnjeva slobode . Teorijska vrijednost je 2,571. Ne može se prihvatiti pretpostavka da je kvadratni član u modelu suvišan. Upotrebom jednadžbe trenda s procijenjenim parametrima izračunate su vrijednosti trenda i rezidualnih odstupanja kao razlika vrijednosti vremenske serije i vrijednosti trenda. c)

Slika 8.: Prikaz vremenske serije

y = 0,5833x2 - 2,9405x + 23,857 R² = 0,9564

15

20

25

30

35

40

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Prihod Trend vrijednosti

25

ZADATAK 4.

a) Slika 9.: Prikaz vremenske serije

Grafički prikaz upućuje na to da se može primijeniti model eksponencijalnog trenda.

Pomoćna tablica

Godine Prodaja

1993 199 * 2,298853 1 2,288605 194,358944

1994 250 125,6281 2,39794 2 2,397383 249,679795

1995 313 125,2 2,495544 3 2,506162 320,746752

1996 403 128,754 2,605305 4 2,614941 412,041666

1997 525 130,273 2,720159 5 2,72372 529,32207

1998 678 129,1429 2,83123 6 2,832499 679,984275

1999 900 132,7434 2,954243 7 2,941278 873,529824

2000 1153 128,1111 3,061829 8 3,050057 1122,1647

2001 1428 123,8508 3,154728 9 3,158835 1441,56913

2002 1825 127,8011 3,261263 10 3,267614 1851,88639

Izračunati verižni indeksi svi su veći od 100 i variraju na približno istoj razini, što govori u prilog izboru modela eksponencijalnog trenda.

b) Model jednostavnog eksponencijalnog trenda u općem obliku glasi: , a u lineariziranom

(logaritamskom) obliku: Logaritamskom transformacijom model eksponencijalnog trenda svodi se na model linearnog trenda. U lineariziranom se modelu umjesto originalnih vrijednosti serije rabe njihovi logaritmi. Parametri se procjenjuju metodom najmanjih kvadrata, a druge statističko-analitičke veličine dobiju se na način opisan pri analizi linearnog trenda. Pri tome se uvijek polazi od rezultata dobivenih na temelju logaritamskih oblika modela.

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R 0,999647 R Square 0,999295 Adjusted R

Square 0,999206 Standard Error 0,009281

Observations 10

ANOVA

df SS MS F Significance

F

Regression 1 0,976209 0,97620

9 11332,8

4 6,77E-14

Residual 8 0,000689 8,61E-

05

Total 9 0,976899

0

500

1000

1500

2000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

26

Coefficient

s Standard

Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Lower 95,0%

Upper 95,0%

Intercept 2,179826 0,00634 343,808

2 5,74E-

18 2,165205 2,194446 2,165205 2,194446

X Variable 1 0,108779 0,001022 106,455

8 6,77E-

14 0,106423 0,111135 0,106423 0,111135

RESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted

Y Residuals

1 2,288605 0,010249

2 2,397383 0,000557

3 2,506162 -0,01062

4 2,614941 -0,00964

5 2,72372 -0,00356

6 2,832499 -0,00127

7 2,941278 0,012965

8 3,050057 0,011773

9 3,158835 -0,00411

10 3,267614 -0,00635

Jednadžbe modela s procijenjenim parametrima u logaritamskom i nelogaritamskom obliku glase:

odnosno

Uz jednadžbu trenda navode se uobičajene oznake. U jednadžbi trenda procjena parametara α, jest procjena razine pojave razdoblja prije prvoga i ona je jednaka 151,3 milijuna litara.

ZADATAK 5.

27

a) Trogodišnji su pomični prosjeci s neparnim brojem članova, M=3, m=1, a izraz je za njihovo računanje:

∑

∑ [ ]

[ ]

[ ]

…….

[ ]

[ ]

Prosjek za prvo i posljednje razdoblje ne može se izračunati. Prosjeci su navedeni u trećem stupcu pomoćne tablice. Četverogodišnji su pomični prosjeci s parnim brojem članova. Svaki pomični prosjek s parnim brojem članova mora se centrirati kako bi se mogao pridružiti odgovarajućem razdoblju. Kako je M=4, m=2, za četverogodišnji centrirani su prosjeci:

[

∑

]

[

]

[

]

………

[

]

[

]

Četverogodišnji (centrirani) pomični prosjeci navedeni su u četvrtom stupcu tablice. Petogodišnji pomični prosjeci jednostavne su aritmetičke sredine pet uzastopnih članova serije i navedeni su u posljednjem stupcu tablice.

Godina Proizvodnja Pomični prosjek M=3 Pomični prosjek M=4 Pomični prosjek M=5

1989 23,7 * * *

1990 5,8 20,03 * *

1991 30,6 21,13 20,45 20,04

1992 27 23,57 21,54 20,32

1993 13,1 21,73 26,94 30,06

1994 25,1 30,90 29,41 28,52

1995 54,5 34,17 29,23 26,26

1996 22,9 31,03 30,38 29,98

1997 15,7 23,43 30,99 35,52

1998 31,7 33,40 30,85 29,32

1999 52,8 36,00 * *

2000 23,5 * * *

b)

Slika 10.: Pomični prosjeci s različitim brojem članova

28

Iz grafičkog broja prikaza jasno se uočava da su serije pomičnih prosjeka manje varijabilne od originalnog niza. Što je dimenzija pomičnog prosjeka (broj njegovih članova) veća, to je manja varijabilnost dobivenih vrijednosti. Iz toga slijedi i praktično pravilo: za izglađivanje serije većeg broja stupnja varijabilnosti rabit će se pomični prosjek s većim brojem članova, i obrnuto.

ZADATAK 6.

U postupku izglađivanja uzet će se da je izglađena vrijednost nultog razdoblja jednaka prvoj vrijednosti serije, to jest da je

. Izglađene su vrijednosti dane u pomoćnoj tablici.

Pomoćna tablica

Mjesec Kamatna stopa Izglađene vrijednosti serije

VI. 5,27 5,27

VII. 6,22 5,555

VIII. 5,36 5,4965

IX. 6,07 5,66855

X. 5,25 5,542985

XI. 5,25 5,45509

XII. 5,78 5,552563 ZADATAK 7.

a) Holt-Wintersov model eksponencijalnog izglađivanja za pojave s trendom ima sljedeći oblik:

Inicijalne vrijednosti za primjenu Holt-Wintersova modela u ovom primjeru odredit će se pomoću jednadžbe linearnog trenda prodaje koja glasi . Početna je izglađena vrijednost (izglađena vrijednost nultog razdoblja) jednaka je konstantnom članu u toj jednadžbi, to jest 89,07143, a procjena efekta trenda toga razdoblja jednaka je koeficijentu uz varijablu vrijeme 11,17857. Prema tome:

Konstante izglađivanja su . Model je u primjeru:

Izglađena vrijednost prodaje za prvo razdoblje (t=1):

. Procjena efekta trenda za spomenuto razdoblje je:

.

0

10

20

30

40

50

60

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Proizvodnja

M=3

M=4

M=5

29

Izglađena vrijednost za drugo razdoblje (t=2) je:

. Procjena efekta trenda za spomenuto razdoblje je:

. Primjenom navedenog postupka izračunate su i preostale izglađene vrijednosti i procjene efekta trenda. b) Postupak jednostavnog izglađivanja proveden je na već objašnjeni način. Izglađene vrijednosti prikazane su

u trećem stupcu tablice. Usporedbom stvarnih vrijednosti prodaje s izglađenim vrijednostima uočava se sistemska pogreška (podcjenjivanje razine), što je i razumljivo jer serija iskazuje tendenciju porasta. Te su vrijednosti navedene u četvrtom i petom stupcu tablice.

Pomoćna tablica

Godina, kvartal Vrijeme

Prodaja (u 000)

Jednostavno izglađene vrijednosti (α=0,3)

Izglađene vrijednosti (Holt-Wintersov model α β )

Procjene efekta trenda

2001., I. 1 95 95,00 98,68 10,54857

II. 2 111 99,80 109,76 10,76174

III. 3 129 108,56 123,06 11,77955

IV. 4 133 115,89 134,29 11,55847

2002., I. 5 147 125,22 146,19 11,69670

II. 6 155 134,16 157,02 11,34986

III. 7 174 146,11 170,06 12,02508

IV. 8 171 153,58 178,76 10,69473

c) Slika 11.: Prikaz serije i vrijednosti jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja i

vrijednosti na temelju Holt-Wintersova modela

Na temelju grafičkog prikaza uočljiva je neprikladnost primjene modela jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja te adekvatnost primjene Holt-Wintersova modela. ZADATAK 8.

a) Multiplikativni je model . Procjena trend-ciklus komponente dana je vrijednostima pomičnih prosjeka. Podaci su kvartalni, pa su određene vrijednosti četveročlanih centriranih pomičnih prosjeka. Centrirani pomični prosjeci nalaze se u trećem stupcu tablice.

Pomoćna tablica

Godina, kvartal Prodaja

Pomični prosjeci

Prve procjene sezonskih

Sezonski faktori

Desezonirana serija

Rezidualni faktori

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7 8

Prodaja (u 000)

Jednostavno izglađene vrijednosti (α=0,3)

Izglađene vrijednosti (Holt-Wintersov model α= 0,3, β= 0,4)

30

faktora

1998, I 2758 * *

2,44662 1127,2695 *

II 1151 * *

0,8975 1282,4513 *

III 250 1309,250 0,19094902

0,21236 1177,2462 0,899176

IV 887 1394,250 0,63618433

0,44352 1999,9098 1,434398

1999, I 3140 1426,625 2,20099886

2,44662 1283,4032 0,899608

II 1449 1367,375 1,05969467

0,8975 1614,4847 1,180718

III 211 1378,625 0,15305105

0,21236 993,59578 0,720715

IV 452 1424,375 0,31733216

0,44352 1019,1198 0,715486

2000, I 3665 1426,750 2,56877519

2,44662 1497,985 1,049928

II 1290 1467,000 0,8793456

0,8975 1437,3259 0,979772

III 389 1478,250 0,26314899

0,21236 1831,7951 1,239165

IV 596 1475,375 0,40396509

0,44352 1343,7951 0,910816

2001, I 3611 1477,000 2,44482058

2,44662 1475,9137 0,999265

II 1321 1480,875 0,89204018

0,8975 1471,8663 0,993917

III 371 1523,375 0,2435382

0,21236 1747,0333 1,146818

IV 645 1538,500 0,41923952

0,44352 1454,2749 0,945255

2002, I 3902 1508,625 2,58646118

2,44662 1594,8533 1,057157

II 1151 1506,000 0,76427623

0,8975 1282,4513 0,851561

III 302 * *

0,21236 1422,1134 *

IV 693 * *

0,44352 1562,5 *

Prve procjene sezonskih faktora dane su omjerima odgovarajućih vrijednosti serije i pripadajućih pomičnih prosjeka. Te procjene navedene su u četvrtom stupcu tablice. Procjene sezonskih faktora istih kvartala variraju, valja odrediti prosječnu vrijednost prvih procjena sezonskih faktora istih kvartala. Prve su procjene prikazane u sljedećoj tablici.

Godina I. kvartal II. kvartal III. kvartal IV. kvartal

1998. * * 0,1909490 0,6361843 1999. 2,2009989 1,0596947 0,1530510 0,3173321 2000. 2,5687752 0,8793456 0,2631490 0,4039651 2001. 2,4448206 0,8920402 0,2435380 0,4192395 2002. 2,5864611 0,7642762 * * Prosjek 2,45026395 0,89883918 0,21267175 0,44418025 Sezonski faktori 2,44662154 0,89750302 0,21235561 0,44351996

Sezonski faktor za svaki kvartal prosječna je veličina. Prosjek je računan u obliku jednostavne aritmetičke sredine prvih procjena sezonskih faktora istoimenih kvartala. Prosjek za prvo kvartal je 2,45026395, za drugi 0,89883918, itd. Zbroj sezonskih faktora mora biti jednak sezonskom periodu, tj. dvanaest ili četiri. U primjeru zbroj treba iznositi 4. Zbroj aritmetičkih sredina je 4,005955275 i veći je od 4. Stoga prosjeke treba korigirati kako bi njihov zbroj bio jednak 4. U tu se svrhu svaki izračunati prosjek množi korektivnim faktorom 4/4,005955275, koji izosi 0,998513463. Sezonski su faktori: za I. kvartal 2,44662, za II. kvartal 0,89750, itd. sezonski faktor pomnožen sa sto naziva se sezonskim indeksom. Vrijednosti očišćene od sezonskih utjecaja dobivene su dijeljenjem vrijednosti članova niza sa sezonskim faktorima. Vrijednosti očišćene od sezonskih utjecaja u šestom su stupcu tablice. Rezidualni faktori navedeni su u sedmom stupcu tablice. Rezidualni faktori pomnoženi sa sto nazivaju se indeksima rezidualnih odstupanja. Sezonski su indeksi u primjeru:

I. kvartal II. kvartal III. kvartal IV. kvartal

Sezonski indeksi 244,662 89,750 21,236 44,352

Indeks 244,662 pokazuje da je razina pojave u I. kvartalu svake godine zbog sezonskih utjecaja u prosjeku veća za 144,662%. Razina pojave II. kvartala u prosjeku je manja za 10,25% zbog sezonskih utjecaja, a u III. je manja za 78,764%, u četvrtom za 55,648%.

31

Indeks rezidualnih utjecaja u III. je kvartalu 1998. godine 89,919, što znači da je razina pojave tog kvartala zbog rezidualnih utjecaja u prosjeku bila manja za 10,081%. Indeks rezidualnih utjecaja u IV. kvartalu iste godine iznosi 143,440. Razina pojave u tom razdoblju bila je veća za 43,440% zbog rezidualnih utjecaja. Pomoću dobivenih veličina razina pojave može se raščlaniti na komponente. Razina pojave u I. kvartalu 1999. iznosi 3140. Ta je veličina peta u nizu, a rastavljena na faktore ona je:

b) Slika 12.: Prodaja, pomični prosjeci (procjene trenda), desezonirana serija prodaje

LITERATURA

9. Biljan-August, M,; Pivac, S.; Štambuk, A. (2007.), «Primjena statistike u ekonomiji», Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka.

10. Gujarati, D. (1992.), «Essentials of Econometrics», McGraw-Hill, New York. 11. Jovičić, M. (1989.), «Ekonometrijski metodi», Ekonomski fakultet, Beograd. 12. Jurun, E; Pivac, S.; Arnerić, J. (2006.), «Primijenjena ekonometrija 1», Sveučilište u Splitu,

Ekonomski fakultet, Split. 13. Kmenta, J. (1997.), «Počela ekonometrije», MATE, Zagreb. 14. Lovrić, LJ. (2005.), «Uvod u ekonometriju», Sveučilište u Rijeci, Ekonomski fakultet Rijeka. 15. Maddala, G. S. (1992.), «Introduction to Econometrics», Second Edition, Macmillian

Publishing Company, New York. 16. Šošić, I. (2004.), «Primijenjena statistika», Školska knjiga, Zagreb.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Prodaja

Pomični prosjeci

Desezonirana serija

FAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU U OPATIJI

EKONOMETRIJA

11. TEMATSKA JEDINICA

Opatija, 2013.

1

JEDANAESTA TEMATSKA JEDINICA

OSNOVE EKONOMETRIJSKE ANALIZE VREMENSKIH SERIJA 10. OSNOVNI POJMOVI U ANALIZI VREMENSKIH SERIJA

10.1. POJAM STOHASTIČKOG PROCESA

10.2. POJAM VREMENSKE SERIJE

10.3. POJAM STACIONARNOSTI

11. AUTOKORELACIJSKA FUNKCIJA I FUNKCIJA PARCIJALNE AUTOKORELACIJE

11.1. AUTOKORELACIJSKA FUNKCIJA

11.2. FUNKCIJA PARCIJALNE AUTOKORELACIJE

12. MODELI STACIONARNIH VREMENSKIH SERIJA

12.1. ČISTI SLUČAJNI PROCES

12.2. AUTOREGRESIJSKI PROCES REDA p,AR(p)

12.3. MODEL POMIČNIH PROSJEKA REDA q, MA(q)

12.4. MJEŠOVITI MODEL REDA pq, ARMA(p;q

12.5. SVOJSTVA AUTOKORELACIJSKE FUNKCIJE I FUNKCIJE PARCIJALNE

AUTOKORELACIJE ODABRANIH MODELA STOHASTIČKIH PROCESA

ZADACI ZA VJEŽBU

RJEŠENJA ZADATAKA

LITERATURA

1. OSNOVNI POJMOVI U EKONOMETRIJSKOJ ANALIZI VREMENSKIH SERIJA

Klasični pristup analizi vremenskih serija pretpostavlja da je proces koji generira podatke vremenska serija

te se naglasak stavlja na deterministički dio , dakle, na trend, sezonsku i ciklus komponentu, zanemarujući stohastičku komponentu modela. Za određene vremenske serije navedeni pristup analizi nije najoptimalniji zbog neprisutnosti spomenutih komponenti ili zbog prisutnosti kretanja koja se ne mogu modelirati dosada upotrebljavanim metodama. U takvim je slučajevima korisnije nastojati modelirati stohastičku komponentu pretpostavljajući da je mehanizam koji generira podatke podložan vjerojatnosnim zakonima. Takav pristup analizi vremenskih serija poznat je kao moderni ili ekonometrijski pristup. Osnovna značajka tog pristupa je što stohastička komponenta nije više smatrana procesom bijelog šuma, već procesom autkoreliranih komponenti. Navedeno upućuje da cilj analize nije više procjena komponenti vremenske serije, već određivanje probabilističkog modela koji opisuje evoluciju pojave u vremenu, modela dakle, koji će biti korišten u deskriptivne i prediktivne svrhe. Osnovni pojmovi na kojima se temelji moderni pristup analizi vremenskih serija su:

Stohastički (slučajni) proces

Vremenska serija

2

Stacionarnost Neki postupci analize pojave u vremenu usredotočeni su na statistički opis razvoja razine dane pojave, a najčešće se koriste metode regresijske analize. Svrha analize kadšto se sastoji u opisu dinamičke strukture pojave. Primjerice, prikladnim analitičkim izrazom, odnosno modelom potrebno je izraziti zavisnost tekuće vrijednosti pojave o njezinim proteklim vrijednostima. Za razliku od regresijskog modela, u kojem se zavisna varijabla objašnjava nezavisnim varijablama, model kojim se analitički izražava odnos međusobno razmaknutih članova iste serije ne sadrži nezavisne varijable. Njihovu ulogu imaju vrijednosti iste serije s pomakom u vremenu. Kako razvoj pojava u vremenu nije deterministički, osim proteklih vrijednosti pojave u model se uključuje i slučajna varijabla (njene tekuće i protekle vrijednosti). S obzirom na to, proces koji stvara pojavu u vremenu, odnosno generira njezine vrijednosti, ima obilježja stohastičkog procesa. Proces koji generira podatke jedne vremenske serije može se zapisati kao:

Dekompozicija vremenske serije na razne komponente, trend, ciklus ili sezonsku komponentu, naglasak stavlja na deterministički dio vremenske serije f(t), zapostavljajući stohastičku komponentu serije. Za neke vremenske serije takav pristup nije pogodan, jer vremenska serija ne mora sadržati neke od gore navedenih komponenti ili se kretanja vremenske serije ne mogu modelirati. U takvim se slučajevima pristupa modeliranju stohastičke komponente vremenske serije pretpostavljajući da je mehanizam generiranja podatka podložan vjerojatnosnim zakonitostima. Takav se pristup naziva modernim (ekonometrijskim ili kauzalnim) pristupom analizi vremenskih serija. Pažnja se poklanja εt komponenti te se pretpostavlja da se analizom stohastičke komponente vremenske serije mogu proizvesti potrebne informacije. Stoga, se stohastička komponenta ne smatra white noise procesom, već procesom s koreliranim komponentama zbog kojih vrijedi [ ] za svaki Cilj analize stoga, nije više dobiti procjenu komponenata vremenske serije, već uočiti probabilistički model koji opisuje evoluciju pojave. Potrebno je stoga, uvesti pojam stohastičkog procesa 1.1. POJAM STOHASTIČKOG PROCESA

Teorija stohastičkih procesa predstavlja unificirani pristup analizi vremenskih serija, omogućavajući formalizaciju, uvođenjem određenih vjerojatnosnih svojstava, širokog vjerojatnosnog instrumentarija prikazivanja realnih situacija. Poveznica navedenoga je definicija vremenske serije kao konačne realizacije stohastičkog procesa. Među osnovnim pojmovima teorije vjerojatnosti, koji čine podlogu modeliranju, je pojam stohastičkog procesa. Općenito govoreći, stohastički proces je pojava koja se u vremenu razvija prema zakonima vjerojatnosti.

3

Stohastički proces s diskretnim parametrom t je familija vremenski indeksiranih slučajnih varijabli definiranih nad prostorom događaja Ω.

Za fiksnu vrijednost vremenskog parametra t, Yt(ω) je slučajna varijabla, za fiksnu vrijednost ωϵΩ je funkcija vremena koja se naziva realizacija procesa ili funkcija uzorka. Populacija ili skup svih mogućih realizacija (funkcija uzoraka) naziva se stohastički proces ili ansambl. Stohastički proces s diskretnim vremenskim parametrom t beskonačna je porodica slučajnih varijabli. Iz navedenog slijedi da se vremenska serija može tretirati kao konačna realizacija nekog stohastičkog procesa, odnosno da se može promatrati kao uzorak u odnosu na populaciju. Pojednostavljeno rečeno, može se reći da je stohastički proces kolekcija slučajnih varijabli indeksiranih vremenom Stohastički proces opisuje se pomoću prva dva momenta slučajne varijable. Promjenom parametra t, očekivanje, varijanca i kovarijanca definiraju sljedeće funkcije:

Funkcija očekivanja: [ ]

Funkcija varijance: [ ] [ ]

Funkcija autokovarijance: [ ][ ]

Funkcija kovarijance nije ništa drugo već kovarijanca među slučajnim varijablama istog stohastičkog procesa međusobno udaljenih jednim vremenskim pomakom k=[t2-t1]. Funkcija varijance se stoga može interpretirati ako autokovarijanca za k=0. 1.2. POJAM VREMENSKE SERIJE

U literaturi ne postoji jedinstven stav oko toga što je vremenska serija. Izdvajaju se sljedeća dva predominantna mišljenja. 1. Vremenska serija predstavlja jednu realizaciju stohastičkog procesa. U tom smislu

odnos vremenske serije i stohastičkog procesa odgovara odnosu uzorka i populacije u standardnoj teoriji statističkog zaključivanja. Kao što uzorak predstavlja dio populacije na osnovu koje se izvode zaključci o karakteristikama populacije, tako i analiza konkretne vremenske serije mora omogućiti sagledavanje karakteristika stohastičkog procesa.

2. Ne postoji razlika između stohastičkog procesa i vremenske serije. To znači da se vremenska serija može smatrati nizom slučajnih varijabli koje su uređene u odnosu na vrijeme. Dakle, termini stohastički proces i vremenska serija smatraju se sinonimima te se koriste alternativno.

1.3. POJAM STACIONARNOSTI

Ekonomska pojava, kao na primjer zalihe gotovih proizvoda ili indeksi industrijske proizvodnje, može se definirati kao stohastički proces . Proces i sve njegove vrijednosti smatraju se populacijom, a vremenski niz je njegova realizacija, odnosno uzorak. Kako bi se adekvatno istražile i razumjele specifične karakteristike vremenskih serija, potrebno je definirati osnovne pojmove

4

koji se najčešće koriste u analizi. Jedno od najvažnijih svojstava stohastičkog procesa je svojstvo stacionarnosti. Ključna podjela vremenskih serija jest podjela na stacionarne i nestacionarne vremenske serije. Općenito govoreći stacionarnost je svojstvo vremenske serije čije se kretanje tijekom vremena odvija po ustaljenom obrascu u smislu nepromjenjivosti srednje vrijednosti i varijance.

Za stacionarne stohastičke procese karakteristično je da se njihova vjerojatnosna svojstva ne mijenjaju tijekom vremena (očekivana vrijednost i varijanca su postojane, a postojana je i korelacijska struktura).

Suprotno, ukoliko su parametri kretanja vremenske serije funkcija vremenskog trenutka, tada je ona nestacionarna. Ova podjela vremenskih serija značajna je zbog razlikovanja vremenskih serija koje se različito ponašaju tijekom vremena, što zahtijeva primjenu različitih metoda analize. Za primjenu ekonometrijskih metoda u analizi vremenskih serija nužno je da bude zadovoljeno svojstvo stacionarnosti. Postoje dva koncepta stacionarnosti:

1. Koncept stroge stacionarnosti (striktna ili jaka ili potpuna stacionarnost ili stacionarnost u užem smislu) i

2. Koncept slabe stacionarnosti (stacionarnost u širem smislu ili kovarijantna stacionarnost ili stacionarnost durgog reda).

Stroga stacionarnost vremenske serije

Za vremensku seriju kažemo da je strogo stacionarna, ako za bilo koja dva prirodna broja n i k i bilo koju n-torku prirodnih brojeva i slučajni nizovi

( ) i (

) imaju istu raspodjelu vjerojatnosti.

Budući da je za striktno stacionarni proces (ili vremensku seriju) funkcija distribucije jednaka za sve t, t= 0, 1, 2,…, očekivana vrijednost procesa , je konstantna ako je | | . Analogno, uz uvjet da je |

| varijanca procesa: [ ]

je konstantna za svako t. Vremenska serija je strogo stacionarna ako se njena svojstva ne mijenjaju transliranjem u vremenu. To znači da slučajne varijable koje pripadaju strog stacionarnoj vremenskoj seriji posjeduju identičnu očekivanu vrijednost, varijancu, kao i momente višeg reda. Kako je,

,

za svaki pomak k, k=1,2,…, kovarijanca između dvaju razmaknutih članova procesa i također je samo funkcija njihove vremenske udaljenosti k, tj.

5

[ ] .

Isto tako, korelacija između i također je samo funkcija vremenske udaljenosti k, tj.

Iz navedenog proizlazi da za striktno stacionarni proces (za koja su prva dva momenta konačna) funkcije kovarijance i korelacije zavise samo o vremenskom pomaku k (međusobnoj udaljenosti članova procesa). Iz definicije stroge stacionarnosti proizlazi da je striktno stacionarni proces, za koji su prva dva momenta konačna, ujedno i slabo stacionarni proces. Međutim postoje i striktno stacionarni procesi koji nemaju konačna prva dva momenta pa prema tome nisu stacionarni u širem smislu. Primjer takvog procesa je proces nezavisnih jednako distribuiranih Cauchyjevih slučajnih varijabli. Takav je proces striktno stacionaran, ali nije stacionaran, ali nije stacionaran u širem smislu jer je prvi moment (očekivana vrijednost) Cauchyjeve distribucije nije konačan. Stroga ili striktna stacionarnost podrazumijeva dakle, da su očekivanje i varijanca procesa nezavisne o vremenu, već da i momenti viših redova ne zavise o vremenskom pomaku k. Takav uvjet je veoma jak pa se u analizi vremenskih nizova češće koristi nešto blaži pojam stacionarnosti, tj. stacionarnost u širem smislu ili slaba stacionarnost. Slaba stacionarnost vremenske serije

Vremenska serija je slabo stacionarna ukoliko zadovoljava sljedeće uvjete:

1. 2. 3.

Navedeni uvjeti slabe stacionarnosti sugeriraju sljedeće:

Očekivana vrijednost i varijanca slabo stacionarne vremenske serije se ne mijenjaju tijekom vremena.

Kovarijanca između svaka dva člana slabo stacionarne vremenske serije je samo funkcija vremenskog pomaka između njih. Za danu vrijednost pomaka kovarijanca je, kao i očekivana vrijednost i varijanca, invarijantna u odnosu na vrijeme.

Kakav je odnos između koncepta stroge stacionarnosti i slabe stacionarnost? Ako je vremenska serija strogo stacionarna, onda je ista ta serija i slabo stacionarna jedino ako posjeduje konačnu varijancu. Obrnuto, slabo stacionarna vremenska serija ne mora biti i strogo stacionarna. To se dešava onda kada slabo stacionarna vremenska serija nema stabilne momente većeg reda od 2.

6

Gaussov slučajni proces

Stohastički proces je normalan ili Gaussov slučajni proces, ako je zajednička funkcija distribucija normalna. Kako je normalna distribucija jedinstveno određena svojim prvim i drugim momentom, pojmovi striktne stacionarnosti i slabe stacionarnosti u slučaju normalne distribuiranosti procesa su ekvivalentni. Dakle, konstantnost srednje vrijednosti i varijance članova Gaussovog slučajnog niza podrazumijeva i konstantnost njihove zajedničke raspodjele. U većini rezultata statističkih analiza, pa tako i u analizi vremenskih serija, pretpostavlja se normalnost distribuiranosti procesa. Proces bijelog šuma

Najjednostavniji stacionarni slučajan proces naziva se bijeli šum (White Noise Process), . Čisti slučajni proces ili proces bijelog šuma je proces nekoreliranih, jednako distribuiranih slučajnih varijabli s očekivanom vrijednošću nula i konstantnom varijancom. Po definiciji, je čisti slučajni proces ako za svako vrijedi da je;

očekivana vrijednost procesa jednaka nuli, tj.

varijanca procesa konstantna, tj. i

kovarijanca između i jednaka nuli. Cov . Ukoliko se navedenim uvjetima doda i uvjet da su članovi niza bijeli šum nezavisne slučajne varijble, čija je zajednička distribucija normalna, tada je razmatrani proces slučajan proces Gaussov bijeli šum. Čisti slučajni proces ne sadrži sistematske komponente, a zbog međusobne nekoreliranosti članova procesa, budući se članovi ne mogu predvidjeti na osnovi prethodnih članova. Takvim se procesom obično opisuje dinamika slučajne komponente. Proces bijelog šuma je potpuno slučajan proces, koji na izvjestan način korespondira slučajnoj pogrešci klasičnog linearnog regresijskog modela. Sam termin bijeli šum preuzet je iz spektralne analize bijele svjetlosti. Naime, spektar bijele svjetlosti karakteriziran je doprinosom svih sedam osnovnih boja spektra. Drugim riječima, ukupna energija bijele svjetlosti sadrži jednak utjecaj komponenti na različitim frekvencijama, što se može tvrditi i za proces bijelog šuma. 2. AUTOKORELACIJSKA FUNKCIJA I FUNKCIJA PARCIJALNE AUTOKORELACIJE

U ovom se dijelu uvode pojmovi autokorelacijske funkcije i parcijalne autokorelacije stohastičkog procesa. Njihove su procjene izračunate na bazi uzorka (vremenske serije) osnovni alat analize vremenskih serija u domeni vremena. Da bi se provela analiza procesa na temelju njegove realizacije, odnosno empirijske vremenske serije, potrebno je utvrditi oblik modela. Izbor oblika modela slijedi iz kvalitativne analize te statistiko-analitičkih kriterija. Među najvažnijim sredstvima

7

odabira modela stohastičkog procesa jest autokovarijančna, odnosno autokorealcijska funkcija i funkcija parcijalne autokorelacije. Uz analizu razvoja pojave u vremenu prediktivnim izrazom, usporedo se brojčano izražavaju stupanj i smjer međusobne zavisnosti članova iste vremenske serije razmaknutih jedno razdoblje ili više njih. Tako izražena međusobna kovarijacija predočuje njegovu autokorelacijsku strukturu. Teorijska autokorelacijska funkcija i funkcija parcijalne autokorelacije zavise o karakteristikama procesa. Za dane oblike procesa poznati su i njihovi oblici (analitički izrazi). 2.1. AUTOKORELACIJSKA FUNKCIJA

Autokorelacijska funkcija dana je izrazom:

[ ]

Vrijednosti autokorelacijske funkcije procesa nazivaju se koeficijentima autokorelacije. Njima se mjeri stupanj i smjer linearne statističke povezanosti članova procesa razmaknutih τ razdoblja. Ovisno o veličini razmaka, razlikuje se koeficijent autokorelacije nultog i prvoga reda te općenito reda τ. Vrijednosti autokorelacijske funkcije procesa mogu biti pozitivne ili negativne, a kreću se u zatvorenom intervalu [ ]. Za k=0,1,2,…, niza koeficijenata autokorelacije , kao funkcije vremenskog pomaka k, čini autokorelacijsku funkciju stacionarnog stohastičkog procesa, koja se označava s ACF (engl. AutoCorrelation Function). Grafički prikaz autokorelacijske funkcije naziva se korelogram. Na temelju oblika korelograma definiraju se modeli kojima se nastoji opisati dinamika empirijskih pojava. Autokorelacijska funkcija poprima različite oblike, ovisno o karakteristikama procesa koji generira podatke. Teorijske autokorelacijske funkcije stohastičkih procesa poznata su oblika. U empirijskim istraživanjima, dakako, vrijednosti nisu poznate pa se koriste vrijednosti vremenske serije (uzorka) kako bi se procijenila autokorelacijska funkcija procesa. Procijenjena funkcija naziva se empirijska autokorelacijska funkcija i označava se sa SACF (engl. Sample AutoCorrelation Function). Za vremenski pomak k, vrijednosti empirijske autokorelacijske funkcije su procjene koeficijent autokorelacije i izračunavaju se formulom:

∑

∑

pri čemu je

∑

aritmetička sredina vremenske serije.

Kako bi se odredio analitički izraz koji se opisuje dinamika promatrane pojave, u empirijskim se analizama oblik empirijske autokorelacijske funkcije uspoređuje s

8

poznatim oblicima teorijskih funkcija. Stoga je empirijska autokorelacijska funkcija važan alat pri identifikaciji modela stohastičkih procesa. 2.2. FUNKCIJA PARCIJALNE AUTOKORELACIJE

Osim autokorelacijske funkcije, u analizi procesa važnu analitičku ulogu ima funkcija parcijalne korelacije. Koeficijent parcijalne autokorelacije reda k pokazatelj je statističke zavisnosti procesa i procesa uz neutraliziran utjecaj autokorelacije člana procesa u vremenu t i pomakom (lagom) u vremenu manjim od k. Koeficijent parcijalne autokorelacije usporedivi su s koeficijentima parcijalne korelacije. Vrijednosti funkcije kreću se u zatvorenom intervalu [ ]. Niz koeficijenta parcijalne autokorelacije , kao funkcija pomaka k, definira parcijalnu autokorelacijsku funkciju koja se označava s PACF (engl. Partial Autocorrelation Function). Formalno, koeficijent parcijalne autkorelacijske funkcije definiraju se formulom:

| 3. MODELI STACIONARNIH VREMENSKIH SERIJA

Zadaće analize vremenskih serija sastoji se u pronalaženju analitičkog izraza (modela) kojim se opisuje stohastički proces koji generira pojavu. Takav se analitički izraz naziva modelom stohastičkog procesa. Važnu skupinu modela čine linearni modeli stacionarnih stohastičkih procesa u vremenu. Najvažniji modeli stacionarnih procesa su:

model čistog slučajnog procesa

autoregresijski model reda p, AR(p);

model pomičnih prosjeka reda q, MA(q);

mješoviti model reda (p,q), ARMA (p,q), te 3.1. ČISTI SLUČAJNI PROCES

Proces koji se rijetko pojavljuje u praksi, ali je važan sastavni dio svakog modela vremenskih serija je čisti slučajni proces ili proces bijelog šuma (engl. White Noise Process). U analizama se obično pretpostavlja da su pogreške relacije ekonometrijskih modela generirane takvim procesom. Takav se proces definira kao niz nekoreliranih jednako distribuiranih slučajnih varijabli s konačnim očekivanjem (za koje se najčešće pretpostavlja da je jednako nuli) i s konačnom varijancom i označava se s . Nekoreliranost procesa znači da je kovarijanca između i jednaka nuli, tj. za svaki . Uobičajena je i pretpostavka o normalnoj distribuiranosti procesa, tj. da je čisti slučajni proces ujedno i Gaussov proces. Iz definicije čistog slučajnog procesa proizlazi da je proces stacionaran s autokorelacijskom funkcijom:

{

,

i parcijalnom autokorelacijskom funkcijom:

9

{

.

Prema tome, karakteristika čistog slučajnog procesa je da su njegove funkcije, ACF i PACF, jednake nuli za svaki pomak k, . Jedino za k=0 vrijednosti funkcija jednake su jedan. Kako po definiciji za svaki stohastički proces, u analizama autokorelacijskih funkcija i funkcija parcijalne autokorelacije, analiziraju se samo vrijednosti i različite od nule, . S obzirom da se vremenska serija sastoji od konačnog broja opaženih vrijednosti od interesa je pronalaženje parametarskih modela s konačnim brojem parametara. Među njima se najčešće primjenjuju: autoregresijski model reda p - AR(p), model pomičnih prosjeka reda q – MA(q) i mješoviti model – ARMA (p, q) koji povezuje AR(p) proces s MA(q) procesom. 3.2. AUTOREGRESIJSKI MODEL REDA p, AR(p)

Autoregresijskim se modelima opisuju stohastički procesi koji generiraju vremenske serije čije su vrijednosti autokorelirane. Autoregresijski model reda p je oblika:

,

odnosno:

,

to jest:

.

Iz oblika AR(p) modela vidljivo je da se može usporediti s regresijskim modelom. Član procesa , u razdoblju t zavisi o članovima procesa u p prethodnih razdoblja i o slučajnoj varijabli . Pretpostavlja se da je proces čisti slučajni proces i naziva se proces pogrešaka relacije, proces inovacija ili šokova. Kako se član procesa „regresira“ na p prethodnih članova procesa model se stoga i naziva

autoregresijski model. su autoregresijski parametri, a je konstantni

član. Pri analizama se konstantni član u modelu najčešće zanemaruje. B je operator pomaka. Operator pomaka pomiče vremenski indeks t za 0,1, 2,…, p jediničnih razdoblja unatrag (backshift operator), to jest:

Autoregresijski proces prvog reda – AR(1)

10

Autoregresijski proces prvog reda je:

AR(1) proces naziva se i Markovljev proces. Tekuća vrijednost procesa određena je s vrijednošću procesa u prethodnom razdoblju, pa je proces prikladan za modeliranje stacionarnih vremenskih serija kod kojih su povezani susjedni članovi serije. 3.3. MODEL POMIČNIH PROSJEKA REDA q, MA(q)

Model pomičnih prosjeka je model kojim se opisuju stohastički procesi koji generiraju vremensku seriju čije je vrijednost tekućeg perioda povezana s greškama relacije tekućeg i prethodnih razdoblja. Model pomičnih prosjeka reda q, MA(q):

Model je bez konstantnog člana u alternativnoj notaciji:

Gdje je operator pomaka, su parametri, a je čisti slučajni

proces. Prema modelu, tekući član procesa linearna je kombinacija tekućeg člana , čistog slučajnog procesa i njegovih parametrima ponderiranih proteklih članova. 3.4. MJEŠOVITI MODEL REDA pq, ARMA(p,q)

Pođemo li od pretpostavke da tekući član procesa zavisi o njegovim proteklim članovima, o tekućem članu čistog slučajnog procesa i o njegovim proteklim članovima, dobivamo mješoviti model ARMA(p,q) oblika:

odnosno:

3.5. SVOJSTVA AUTOKORELACIJSKE FUNKCIJE I FUNKCIJE PARCIJALNE AUTOKORELACIJE ODABRANIH MODELA STOHASTIČKIH PROCESA

Svojstva autokorelacijske funkcije i funkcije parcijalne korelacije vremenske serije generirane analiziranim modelima dane su u nastavku: 1) Klasa AR(p) procesa posjeduje autokorelacijsku funkciju sa eksponencijalno ili

oscilatorno opadajućim vrijednostima koeficijenata. Parcijalni autokorelacijski

11

koeficijenti poprimaju nenulte vrijednosti za pomake 1,2,…,p i jednaki su nuli za pomake koje su veće od reda autoregresijskog procesa p.

2) Klasu MA(q) procesa karakterizira autokorelacijska funkcija koja posjeduje nenulte vrijednosti u pomacima 1,2,…,q. vrijednosti autokorelacijskih koeficijenata jednake su nuli za pomake veće od reda procesa q. koeficijenti parcijalne autokorelacijske funkcije lagano opadaju tijekom vremena.

3) Autokorelacijski koeficijenti klase ARMA(p,q) modela pokazuju tendenciju opadanja, i to nakon prvih (q-p) pomaka kod autokorelacijske i nakon (p-q) pomaka kod parcijalne autokorelacijske funkcije.

Tablica: Autokorelacijska funkcija i parcijalna funkcija autokorelacija AR(p), MA(q) i ARMA(p,q)

modela Model ACF: Autokorelacijska funkcija PACF: Funkcija parcijalne autkorelacije

Čisti slučajni Sve vrijednosti jednake nula. Sve vrijednosti jednake nula.

AR(p) Beskonačna i opadajuća. Sve vrijednosti opadaju tijekom vremena po eksponencijalnoj ili sinusoidnoj putanji.

Konačna i iščezava nakon pomaka p. Vrijednosti su različite od nule samo za pomake koji su manji ili jednaki redu procesa p, ). Posljednji nenulti koeficijent je koeficijent na pomaku p, koji je jednak autoregresijskom parametru na pomaku p.

MA(q) Konačna i iščezava nakon pomaka q. Vrijednosti opadaju tijekom vremena i jednake su nuli za pomake veće od reda procesa q.

Beskonačna i opadajuća. Vrijednosti opadaju tijekom vremena po eksponencijalnoj ili sinusoidnoj putanji.

ARMA(p,q)

Beskonačna, opadajuća nakon pomaka q-p. Vrijednosti opadaju tijekom vremena. Prvih q koeficjenata je određeno parametrima AR i MA komponente, dok za pomake veće od q koeficijenti zavise samo do AR komponente

Beskonačna, opadajuća nakon pomaka p-q. Vrijednosti opadaju tijkom vremena. Prvih p koeficijenata je određeno parametrima AR i MA komponente, dok za pomake veće od p koeficijenti zavise samo od MA komponente.

U empirijskim istraživanjima, za određivanje reda AR(p) modela, analiziraju se grafički prikazi empirijskih funkcija. Na temelju vremenske serije izračunavaju se empirijska autokorelacijska funkcija (SACF) i empirijska parcijalna autokorelacijska funkcija (SPACF). Dobiveni oblici korelograma uspoređuju se s teorijskim funkcija,a kako bi se donijela odluka o prikladnom modelu. Ako su vrijednosti SPACF statistički značajne za pomake koji su manji ili jednaki p, a za pomake veće od p približno jednake nuli (tj. odstupaju od očekivane vrijednosti za manje od dvije standardne pogreške), te ako vrijednosti SACF opadaju, odgovarajući model je AR(p) model. Primjerice AR(1) model odabrat će se u slučajevima kada su vrijednosti SPACF približno jednake nuli nakon pomaka k=1, a SACF eksponencijalno pada ili/i ima oblik prigušene sinusoide. Općenito, za MA(q) proces vrijednosti autokorelacijske funkcije iščezavaju nakon pomaka q. Navedeno svojstvo je ključno u empirijskim analizama. Na temelju njega je moguće zaključiti da je vremenska serija generirana MA(q) procesom. Parcijalna autokorelacijska funkcija MA(q) procesa opada eksponencijalno ili/ i u obliku prigušene sinusoide s vrijednostima pomaka k. Za određivanje reda q modela pomičnih prosjeka analiziraju se grafički prikazi empirijskih funkcija. Koristeći vremensku seriju izračunavaju se empirijske funkcije: SACF i SPACF. Kako bi se

12

donijela odluka o prikladnom modelu, oblici funkcija uspoređuju se s teorijskim. Ako su vrijednosti SACF statistički značajne samo za pomake koji su manji ili jednaki q, a za ostale pomake (veće od q) su približno jednake nuli (tj. odstupaju od očekivane vrijednosti za manje od dvije standardne greške), te ako vrijednosti SPACF opadaju s pomakom k, odgovarajući je MA(q) model. Primjerice, kao adekvatan model odabrat će se MA(1) model u slučajevima kada su vrijednosti SACF približno jednake nuli nakon pomaka k=1, a SPACF eksponencijalno pada ili /i ima oblik prigušene sinusoide. Odabir odgovarajućeg modela temelji se na usporedbi empirijskih funkcija s teorijskim funkcijama procesa. Karakteristični slučajevi koji se pojavljuju u praksi su sljedeći: a) Ako su vrijednosti SACF značajno različite od nule, tj. imaju šiljke za pomake k=

1,2,…, q i iščezavaju nakon toga, odgovarajući model je MA(q) model. b) Ako su vrijednosti SPACF značajno različite od nule, tj. imaju šiljke za pomake

k=1,2,…,p i iščezavaju nakon toga, odgovarajući je AR(p) model. Slučajevi a) i b) su relativno jednostavni i odabir modela ne predstavlja veći problem. Međutim, problem određivanja odgovarajućeg modela nastaje kada istovremeno vrijedi i a) i b), što je gotovo pravilo u empirijskim istraživanjima. Tada se promatra koja od funkcija „brže“ iščezava. Ako je to empirijska autokorelacijska funkcija, odabrat će se MA(q) mode. Ako je to empirijska parcijalna autokorelacijska funkcija, odabrat će se AR(p) modela. Ako obje funkcije jednako „brzo“ iščezavaju, analiziraju se oba modela i odabire bolji. c) Vrijednosti empirijske autokorelacijske funkcije počinju opadati nakon pomaka q,

a vrijednosti empirijske parcijalne autokorelacijske funkcije počinju opadati nakon pomaka p. Tada je odgovarajući model ARMA(p,q) model.

Odabir duljine pomaka p i q u ARMA(p,,q) modelu zahtijevan je posao i ponekad iziskuje veliko iskustvo istraživača. Iskustvo istraživača često je presudan faktor u odabiru modela. MA procesi velikog reda rijetki su u praksi. S druge strane AR procesi velikog reda (većeg od dva) najčešće su posljedica nestacionarnosti procesa. Shodno tome. Ako se odabiru AR ili MA modeli, obično se koriste modeli manjeg reda. Od mješovitih modela, ARMA(2,0) i ARMA(1,1) su modeli koji se najčešće koriste u ekonometrijskim istraživanjima i pokazuju se odgovarajućim modelima u opisivanju dinamike velikog broja ekonomskih pojava.

13

ZADACI ZA VJEŽBU

ZADATAK 1.

Dani su modeli stacionarnih procesa:

1)

2)

3)

4)

5)

O kakvim je modelima riječ? Predočite ih odgovarajućom oznakom. ZADATAK 2.

Dnevne cijene jednog proizvoda u prosjeku ne mijenjaju razinu niti su prisutne periodične varijacije, a postojan je i stupanj varijabilnosti. Pođe li se od pretpostavke da je proces koji generira vremensku seriju AR(1), kako glasi model procesa? ZADATAK 3.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

48 55 54 54 51 55 54 57 58 52 50 52 51 52 56 58 54 55 56 55 54 56

a) Navedeni niz prikažite linijskim grafikonom. b) Koliki je koeficijent autkorelacije nultog reda? Izračunajte vrijednosti koeficijenta

autokorelacije prvog, drugog,…, sedmoga reda. c) Nacrtajte korelogram. ZADATAK 4.

Tjedne zaključne cijene dionica kompanije XX za jednu godinu su: 61,000 61,625 61,000 64,000 63,750 63,375 63,875 61,875 61,500

61,625 62,125 61,625 61,000 61,875 61,625 59,625 58,750 58,750

58,250 58,500 58,500 57,750 57,125 57,750 58,875 58,000 57,875

58,000 57,125 57,250 57,375 57,125 57,500 58,375 58,125 56,625

56,250 56,250 55,125 55,000 55,125 53,000 52,375 52,875 53,500

53,375 53,375 53,500 54,000 53,125 51,875 52,250

a) Navedeni niz prikažite linijskim grafikonom. b) Odredite vrijednosti empirijske autokorelacijske funkcije. Komentirajte rezultate.

14

RJEŠENJA ZADATAKA

ZADATAK 1.

1) Model (1) je autoregresijski model prvog reda, su slučajne varijable (pogreške relacije), koje imaju obilježja čistoga stacionarnoga stohastičkog procesa. Prema modelu, član procesa zavisi o članu , parametru i članu procesa . Model se označava kao AR(1). Alternativno se može označiti kao ARMA(1,0).

2) Model (2) je model pomičnih prosjeka prvog reda. Član procesa linearna je kombinacija člana slučajnog procesa , parametra i člana slučajnog procesa u vremenu (t-1). Model se označava kao MA(1), odnosno ARMA(0,1). Značenje modela pomičnih prosjeka u sklopu modela stacionarnih stohastičkih procesa razlikuje se od pomičnih prosjeka kao metode izglađivanja.

3) Model (3) je model autoregresijskog procesa drugog reda. Član procesa linearna je kombinacija parametara člana istog procesa u vremenu (t-1) i vremenu (t-2) te člana slučajnog procesa . Model se označava kao AR(2) ili ARMA(2,0).

4) Model (4) je mješoviti model. Autoregresijski dio je prvog reda, a prvog reda je i dio koji se odnosi na pomični prosjek. Model se označava kao ARMA(1,1).

5) Model (5) je model pomičnih prosjeka reda q=2, a označava se kao MA(2) ili ARMA(0,1).

ZADATAK 2.

AR(1) ili ARMA(1,0) model glasi: . Prema modelu, cijena tekućeg razdoblja linearna je kombinacija cijena prethodnog razdoblja, nepoznatih parametara i nepoznate vrijednosti tekućeg razdoblja slučajne varijable . ZADATAK 3.

a) Slika: Prikaz vremenske serije bez sistematskih komponenti

Prema grafikonu, moguće je da vremenska serija ne sadrži sistematske komponente (komponente trenda ili periodične varijacije) b) Broj podataka u primjeru nije dovoljno velik (n=22), a koeficijenti će se računati

samo radi ilustracije metode računanja. Koeficijent autokorelacije nultog reda

45

50

55

60

65

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

y

t

15

jednak je jedan. Vrijednost koeficijenta autokorelacije prvog reda računa se izrazom:

∑

∑

Parovi su vrijednosti , odnosno (55, 48), (54, 55),…,(56, 54). Aritmetička sredina niza je 53,955. Koeficijent autokorelacije niza je:

Koeficijent je autokorelacije drugog reda:

∑

∑

Parovi su vrijednosti , odnosno (54, 48), (54, 55),…,(56, 55). Aritmetička sredina niza je 53,955. Koeficijent autokorelacije niza je:

Vrijednosti su empirijske autokorelacijske funkcije ( )

Pomak (lag) Koeficijent autokorelacije

0 1,0000

1 0,2241

2 -0,0426

3 -0,1149

4 -0,1227

5 -0,3308

6 0,0359

7 0,0274

c) Prikaz koeficijenata autokorelacije naziva se korelogram. Graf je linijski, s

dužinama, površinski (s pravokutnicima) ili znakovima. Slika: Korelogram

16

ZADATAK 4.

a) Slika: Prikaz nestacionarne vremenske serije

b) Grafički prikaz pokazuje da zaključne cijene dionica na sistematski način

kovariraju s vremenom, to jest očituje se pojava trenda, pa se prema tome ne može izravno upotrijebiti model stacionarnih procesa, što se odražava i na obilježja empirijske autokorelacijske funkcije.

Autocorrelations Series: VAR00001

Lag Autocorrelation Std.Error(a)

1 ,932 ,135 2 ,858 ,133 3 ,809 ,132 4 ,743 ,131 5 ,675 ,129 6 ,612 ,128

7 ,547 ,127

8 ,483 ,125

9 ,416 ,124

10 ,346 ,122

11 ,265 ,121

12 ,206 ,119

13 ,164 ,118

14 ,113 ,116

15 ,066 ,115 ,032 ,113

Partial Autocorrelations Series: VAR00001

Lag Partial

Autocorrelation

-0,5

0

0,5

1

1 2 3 4 5 6 7

koef

icije

nt

auto

kore

laci

je

pomak

50

55

60

65

1 3 5 7 9 111315171921232527293133353739414345474951zakl

jučn

e ci

jen

e d

ion

ica

t

16151413121110987654321

Lag Number

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

AC

F

Lower Confidence

Limit

Upper Confidence Limit

Coefficient

VAR00001

17

1 ,932 2 -,088 3 ,166 4 -,199 5 ,026 6 -,076 7 -,021 8 -,046 9 -,062 10 -,066 11 -,152 12 ,144 13 ,015 14 -,030 15 -,023 16 ,021

16151413121110987654321

Lag Number

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

Part

ial A

CF

Lower Confidence

Limit

Upper Confidence Limit

Coefficient

VAR00001

18

Empirijske vrijednosti autokorelacijske funkcije originalnih vrijednosti serije usporeno se približavaju nuli, što je posljedica prisutnosti trenda cijena. Grafički prikaz serije i koeficijenti autkorelacije upućuju na zaključak o potrebi eliminiranja trenda, odnosno transformacije podataka pomoću diferencija. Na to upućuju i vrijednosti empirijske funkcije parcijalne autkorelacije, čije se vrijednosti nakon pomaka 1 smanjuju i ne razlikuju se signifikantno od nule. LITERATURA

17. Biljan-August, M,; Pivac, S.; Štambuk, A. (2007.), «Primjena statistike u ekonomiji», Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka.

18. Gujarati, D. (1992.), «Essentials of Econometrics», McGraw-Hill, New York. 19. Jovičić, M. (1989.), «Ekonometrijski metodi», Ekonomski fakultet, Beograd. 20. Jurun, E; Pivac, S.; Arnerić, J. (2006.), «Primijenjena ekonometrija 1», Sveučilište u Splitu,

Ekonomski fakultet, Split. 21. Kmenta, J. (1997.), «Počela ekonometrije», MATE, Zagreb. 22. Lovrić, LJ. (2005.), «Uvod u ekonometriju», Sveučilište u Rijeci, Ekonomski fakultet Rijeka. 23. Maddala, G. S. (1992.), «Introduction to Econometrics», Second Edition, Macmillian

Publishing Company, New York. 24. Šošić, I. (2004.), «Primijenjena statistika», Školska knjiga, Zagreb.