90548680-mecanismos-apostila

Escultura andarilha de Theo Jansen

Prof. Dr. Newton Landi Grillo

Mecanismos: Elementos de Cinemtica e DinmicaProf. Dr. Newton Landi Grillo

1

SUMRIO

1. Vetores e Escalares

1.1 Vetores ................................................................................................................. 4

1.2 Adio de Vetores ............................................................................................. 4

1.3 Subtrao de Vetores ......................................................................................... 5

1.4 Decomposio de Vetores ................................................................................. 6

1.5 Escalar ............................................................................................................... 7

1.6 Multiplicao de um Escalar por um Vetor ....................................................... 7

1.7 Sistemas de Coordenadas .................................................................................. 8

1.8 Algumas Relaes Trigonomtricas .................................................................. 9

1.9 Notao de Vetor Expresso no Plano ................................................................ 11

1.10 Produto Vetorial .............................................................................................. 11

1.11 Produto Escalar ................................................................................................ 12

1.12 Vetor no Plano: Notao Complexa .............................................................. 13

2. Mecanismos

2.0 Definies ........................................................................................................ 14

2.1 Noes Bsicas Sobre Mecanismos ................................................................ 15

2.2 Tipos de Movimentos no Plano ....................................................................... 16

2.3 Juntas Cinemticas .......................................................................................... 17

2.4 Graus de Liberdade ......................................................................................... 18

2.5 Inverso Cinemtica ........................................................................................ 21

3. Mecanismos Elementares

3.1 Definies ......................................................................................................... 23

3.2 Mecanismo de Quatro Barras ........................................................................... 24

3.3 Regra de Grashof .............................................................................................. 25

3.4 Fase de Ponto Morto ......................................................................................... 27

3.5 ndices de Mrito .............................................................................................. 27

3.6 Aplicaes e Configuraes de Mecanismos Articulados ................................ 30

3.7 Noes Sobre Metodologia de Projeto ............................................................. 33


2

4. Posio e Deslocamento

4.1 Deslocamento Absoluto .................................................................................... 38

4.2 Deslocamento Relativo ..................................................................................... 38

4.3 Mtodos Analticos para a Determinao de Posies ..................................... 41

4.3.1 Anlise de Posio de um Mecanismo Biela-Manivela .................... 41

4.3.1.1 Mtodo Algbrico ............................................................... 41

4.3.1.2 Mtodo da Notao Complexa ............................................ 42

4.3.2 Anlise de Posio de um Mecanismos de Quatro Barras ................ 45

4.3.2.1 Mtodo da Notao Complexa ............................................ 45

5. Velocidades em Mecanismos Articulados

5.1 Regra da Cadeia para Derivadas ....................................................................... 48

5.2 Velocidade Angular .......................................................................................... 50

5.3 Equao de Velocidade Relativa ...................................................................... 51

5.4 Mtodos para a Determinao de Velocidades em Mecanismos ..................... 52

5.4.1 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Biela Manivela .......... 52

5.4.2 Mtodo do Polgono de Velocidades ................................................. 54

5.4.3 Mtodo dos Centros Instantneos de Rotao ................................... 57

5.4.4 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Quatro Barras ........... 58

5.4.5 Mtodo do Polgono de Velocidades ................................................. 61

5.4.6 Mtodo dos Centros Instantneos de Rotao ................................... 63

6. Aceleraes em Mecanismos Articulados

6.1 Equao de Acelerao Relativa ...................................................................... 68

6.2 Mtodos para a Determinao de Aceleraes em Mecanismos ...................... 69

6.2.1 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Biela Manivela .......... 69

6.2.2 Mtodo do Polgono de Aceleraes ................................................. 71

6.2.3 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo de Quatro Barras ...... 75

6.2.4 Mtodo do Polgono de Aceleraes ................................................. 78

6.3 Acelerao em um Ponto no Sistema Mvel Acelerao de Coriolis ........... 82


3

7. Anlise Esttica em Mecanismos Articulados

7.1 Anlise Esttica ................................................................................................. 87

7.1.1 Momento do Binrio .......................................................................... 88

7.1.2 Foras e Torques Estticos em Mecanismos Articulados ................ 90

7.2 Anlise Dinmica ............................................................................................. 93

7.2.1 Princpio dAlembert ......................................................................... 93

7.2.2 Foras e Torques Dinmicos em Mecanismo Articulado Mtodo do

Trabalho Virtual ................................................................................ 95

7.2.3 Determinao do Momento de Inrcia Centro de Percusso .......... 97

7.2.3.1 Determinao do Perodo de Oscilao do Pndulo Fsico ............ 98

7.3 Exemplo de Aplicao ...................................................................................... 102

8. Bibliografia ................................................................................................ 104


4

1. VETORES E ESCALARES

1.1 Vetores

Vetores so entes matemticos que possuem magnitude, direo e sentido, e que se

somam de acordo com a regra do paralelogramo.

Intensidade de um vetor: caracterizada por um certo nmero de unidades,

Direo de um vetor: definida por sua linha de ao horizontal, vertical, inclinada,

Sentido de um vetor: identificado por uma seta direita-esquerda, cima-baixo, vice-

versa. Exemplo:

Uma fora de 15 Newtons aplicada na horizontal, da esquerda para a direita. A

intensidade, o mdulo ou magnitude do vetor ser 15 N, sua direo horizontal, e seu

sentido da esquerda para a direita.

Um vetor representado graficamente por uma seta possuindo uma origem e uma

extremidade, ex:

Analiticamente um vetor representado por uma letra em negrito ou com uma flexa

sobre a letra, ex:

V ou V

. Em nosso texto usaremos a representao em negrito.

1.2 Adio de Vetores

Sendo dados dois vetores A e B, a notao A + B expressa a adio do vetor B ao vetor

A, resultando em um terceiro vetor C denominado vetor resultante. Para realizarmos a

operao utilizamos a regra do paralelogramo:

origem

extremidade


5

A soma de dois vetores A e B pode ser realizada tanto adicionando o vetor A ao vetor B

quanto o vetor B ao vetor A resultando no vetor C. Esta propriedade chamada

comutativa.

A + B = B + A = C

Sendo dados trs vetores A, B e C. Para realizarmos a adio entre eles fazemos:

(A+B) + C ou A + (B + C) = D. Esta propriedade chamada associativa.

As propriedades comutativa e associativa significam que quando se realiza a adio de

vrios vetores, o resultado independe da ordem em que os vetores so somados. A

adio de uma srie de vetores para se obter um nico vetor denominado composio

de vetores, e o resultado da operao chamado vetor resultante.

1.3 Subtrao de Vetores

A operao de subtrao de vetores definida pela expresso

A - B = A + (-B), onde o sinal (-) significa sentido inverso de B.

Considere dois vetores A e B. Queremos realizar a operao A B = C

CAB

A

B

B

A

A B

C

A

BC

D

A+B

B+C


6

Quando se realiza a soma ou subtrao de vetores, acopla-se a origem de um vetor na

extremidade de outro.

1.4 Decomposio de Vetores

Sendo dado um vetor C, determinar dois vetores A e B, tal que A + B = C

Obtermos infinitas solues. Para obtermos uma nica soluo, necessrio fornecer as

direes dos vetores A e B, exemplo, o vetor A na direo ST e o vetor B na direo

UV.

CC

A

B

A

B

A

B

A

-B

C

TS

C

V

U

ST

U

V

C

A

B


7

Em um caso particular quando as componentes A e B do vetor C so perpendiculares

entre si, so denominados componentes retangulares de C.

1.5 Escalar

Um escalar qualquer grandeza que pode ser especificada por um nmero real. So

simplesmente nmeros positivos, negativos ou nulos utilizados na especificao de

grandezas como tempo, temperatura, energia, volume, comprimento, etc.

1.6 Multiplicao de um Escalar por um Vetor

Considerando a soma de trs vetores: A+A+A. Esta soma pode ser simplificada

escrevendo-se 3A, que a multiplicao de um escalar por um vetor. Chamando de r

um escalar, o produto rA define outro vetor que ser nulo se r for zero, e ter sentido

contrrio de A se o escalar r for negativo.

A diviso de um vetor por um escalar equivale multiplicao do vetor pelo inverso do

escalar (1/r). Se o escalar for igual ao mdulo do vetor, o resultado da operao

denomina-se vetor unitrio, cuja grandeza igual a 1, podendo ser positivo ou negativo,

indicando somente direo e sentido.

r

Rr onde

r

= vetor unitrio

R = vetor

r = escalar, o qual possui a mesma direo e sentido de R

C

A

A

B B


8

1.7 Sistemas de Coordenadas

Em alguns sistemas de referncia, so normalmente utilizados certos smbolos para

designar vetores unitrios associados aos eixos de referncia. No sistema de

coordenadas cartesianos retangulares, o terno de vetores kji

,, ou na notao i, j, k

define as direes X, Y, Z respectivamente.

Considere um ponto A no espao com coordenadas xa, ya, za definindo sua posio em

relao origem do sistema de coordenadas O. A posio de A expressa por:

A = xa i + ya j + za k

O mdulo do vetor A dado por 222 aaa zyxA

k

X

Y

Z

i

j

-i

-j

-k

O

A

ya j

za k

xa i

X

Y

Z


9

Os cossenos diretores de A so

cos = A

xa cos = A

ya cos = A

za

1.8 Algumas Relaes Trigonomtricas

Considere o tringulo escaleno; suas grandezas podem ser encontradas pelas leis dos

senos e dos cossenos

Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 2bc cos b2 = a2 + c2 2ac cos c2 = a2 + b2 2ab cos

Lei dos senos: c

sen

b

sen

a

sen

Considere o tringulo retngulo

a = hipotenusa

a2 = b2 + c2, portanto, a = 22 cb b = cateto adjacente, b = a cosc = cateto oposto, c = a sen

a

b

c

a

b

c


10

O ngulo encontrado atravs da relao entre seno e cosseno:

b

ctg

A medida de uma circunferncia dada por 2.r,A medida de um arco (S) de um circulo dado por S=.r, onde (rad)

Considere duas retas paralelas e no coincidentes AA e BB e a reta inclinada CC,

sendo e vrtices. Tomando as anlises em funo dos ngulos , teremos

CA = AC : ngulos opostos pelo vrtice,

CA = CB: ngulos correspondentes,

AC = CB: ngulos alternos internos,

CA = BC: ngulos alternos externos

r r S

A A

B B

C

C


11

1.9 Notao de Vetor Expresso no Plano

Considere um vetor A expresso no plano cartesiano, e queremos decomp-lo em duas

coordenadas cartesianas retangulares

Notao retangular de A: A = A cos i + A sen j ( soma de vetores)Notao polar de A: A = A . O ngulo medido a partir do eixo X, tomado positivo no sentido anti-horrio (s.a.h.), e negativo quanto tomado no sentido horrio (s.h.).

A determinao do ngulo dada pela razo entre o termo em j pelo termo em i:

= tg-1

cosA

Asen

Quando realizamos a soma de vetores expressos na notao retangular, somam-se os

termos referentes aos respectivos vetores unitrios: i + i, j + j, k + k.

1.10 Produto Vetorial Produto Entre Dois Vetores

Considere dois vetores A e B no plano, formando um ngulo entre eles. A resultante do produto entre os vetores ser um terceiro vetor C cuja linha de ao (direo)

perpendicular ao plano formado pelos vetores A e B, de mdulo dado por: C = ABsen, e sentido dado pela regra da mo direita. Rotao de no sentido anti-horrio positivo + , e sentido horrio negativo -

-j

j

i

-i

A

X

Y

A cos i

A sen jA


12

: vetor unitrio, direo perpendicular ao plano formado por A e B. Considerando o sistema de coordenadas cartesianas e considerando sen00 = 0 e sen900 = 1, teremos:

i x i = j x j = k xk = 0 (sen00 = 0)

i x j = k j x i = -k sen 900 = 1

j x k = i i x k = -j

k x i = j k x j = -i

1.11 Produto Escalar entre Dois Vetores

O produto escalar entre dois vetores A e B nos d um escalar c obtido pela expresso:

c = A.B = AB cos Sendo cos 00 = 1 e cos 900 = 0, ento:

i . j = j . k = k . i = 0,

i . i = j . j = k . k = 1

k

X

Y

Z

i

j

-i

-j

-k

A

BC = A.B sen C = AxB


13

1.12 Vetor no Plano Notao Complexa

Tal como vimos, a representao vetorial no plano requer duas componentes horizontal

e vertical. Qualquer vetor no plano x e y pode ser representado como um nmero

complexo;

A = a + ib, onde i = 1 a e b denotam as componentes x e y do vetor A, tambm denominados as partes real e

imaginria do vetor A

A = mdulo do vetor A

= argumento ou ngulo entre o vetor e o eixo XO vetor A pode ser escrito como:

A = Aei = A cos + iAsen

A = 22 ba

= tg-1a

b

X Real

Y Imaginrio

a

b

A = a + ib = Aei


14

2. MECANISMOS

2.0 Algumas definies

Um mecanismo um conjunto de elementos de mquinas ligados de forma a produzir

um movimento especfico. Podem ser subdivididos conforme suas aplicaes:

mecanismos com elementos mecnicos, hidrulicos, pneumticos, eltricos ou

combinados.

Nosso interesse localiza-se nos mecanismos com elementos mecnicos, os quais podem

ser subdivididos, de uma maneira geral, em:

Mecanismos de movimento uniforme: Engrenagens, rodas de atrito, de acoplamento flexvel ( correias, correntes, etc.),

Mecanismos de movimento peridico: mecanismos de barras, mecanismos de cames.

Os mecanismos de movimento uniforme so comumente fornecidos como unidades

completas de montagem. Seu estudo cinemtico mais simples, e seus problemas de

aperfeioamento localizam-se nos materiais e na manufatura.

Os mecanismos de movimento peridico fazem parte integrante de uma mquina, e no

so fornecidos como unidades pr-fabricadas e sim projetados, devido ao fato das

exigncias variarem de acordo com as circunstncias, de caso a caso de projeto.

Distingue-se, neste caso, o mecanismo de 4 barras, tambm chamado de quadriltero

articulado, pois o mais utilizado devido sua simplicidade e robustez.

A Cinemtica o estudo do movimento independentemente das foras que o

originaram, portanto, as peas so consideradas corpos rgidos desconsideram-se suas

deformaes. Na cinemtica estuda-se a posio, geometria, deslocamento (translao e

rotao), velocidade e acelerao.

Na Cinemtica Aplicada estuda-se a aplicao dos conceitos da Cinemtica na Sntese e

Anlise dos Mecanismos.


15

A Sntese Cinemtica, ou Sntese Dimensional, considera a determinao da geometria

bsica das partes constituintes de um mecanismo, necessria para a realizao de uma

transmisso ou transformao especfica do movimento. Pressupe basicamente:

Deslocamentos O deslocamento representa a mudana de posio, independentemente do caminho percorrido. Distinguem-se os deslocamentos

lineares e angulares.

Trajetrias A trajetria representa as posies sucessivas de um ponto mvel, ou seja, o caminho (lugar geomtrico) deste ponto traado no plano fixo.

Na Anlise Cinemtica o deslocamento j no mais considerado de ordem

exclusivamente geomtrica pois o tempo introduzido como um novo parmetro,

resultando em duas novas grandezas cinemticas: a velocidade e a acelerao.

A disciplina Mecnica Aplicada abrange os contedos de Cinemtica dos Mecanismos e

Dinmica das Mquinas, onde se incluem os contedos de anlise esttica e dinmica

dos mecanismos, alm de Vibraes Mecnicas.

2.1 Noes Bsicas sobre Mecanismos

Nos mecanismos, os componentes que transmitem foras ou movimentos so

denominados ligaes ou pinos, e para que o movimento seja transmitido os elementos

devem ser ligados entre si.

O conjunto dos elementos que estabelece o contato entre as diversas barras de um

mecanismo chamado junta cinemtica ou par cinemtico. A composio de peas

(barras, conexes) ligadas entre si constitui uma cadeia cinemtica, a qual transforma-

se em mecanismo quando uma das peas se torna base (pea fixa).

Considere o mecanismo biela-manivela com corredia, o qual constitudo por quatro

elementos: O bloco ou estrutura fixa ou pea (1) que o corpo ao qual o mecanismo

est rigidamente ligado, a manivela (2), pea que imprime movimento ao mecanismo, a

biela (3), pea de ligao ou acoplador, e a corredia (4). Essas peas esto unidas por

trs juntas de rotao (R12, R23, R34), e uma junta de translao (T14).


16

As ligaes ou barras podem ser binrias, ternrias, quaternrias, etc., conforme

possuam dois, trs ou quatro elementos de junta, ex:

Quando os diversos componentes de um mecanismo partem de uma posio, descrevem

um determinado movimento e retornam posio inicial para, deste modo,

recomearem a mesma trajetria, diz-se que o mecanismo completou um ciclo, com a

durao de um determinado perodo de tempo, tendo assumido fases, ou seja, vrias

posies instantneas relativas durante o ciclo.

2.2 Tipos de Movimentos Planos

No movimento plano ou bidimensional, as peas de um mecanismo descrevem

movimentos de rotao, translao, composto ou misto.

Rotao: Quando todas as partculas do corpo (pea) traam trajetrias em torno de um

eixo, passando pelo corpo, chamado eixo de rotao.

Pea Binria

R12

R23

23 R34

T141

4

Pea Ternria

Pea Quaternria


17

Translao: Quando todas as partculas do corpo (pea) apresentam uma nica

trajetria, podendo ser retilnea ou curvilnea.

Composto: Quando o corpo apresenta ambos os movimentos.

2.3 Juntas Cinemticas

Em um mecanismo, para que o movimento seja transmitido, necessrio que as barras

estejam ligadas entre si por juntas ou pares cinemticos. Cada tipo de junta tem suas

prprias caractersticas, as quais determinam o tipo de movimento existente entre os

corpos e, pelo critrio de Reuleaux, baseado no tipo de contato entre dois elementos,

elas podem agrupar-se em duas classes: juntas superiores e juntas inferiores.

Nas juntas superiores o contato pontual ou linear, como por exemplo o contato entre

os dentes de um par de engrenagens, entre duas rodas de atrito, entre o rolamento de

A

B

B

A

retilnea

B B

AA

curvilnea

B

VBA VA

Eixo de rotao

A

B


18

agulha e a pista do rolamento, entre o came e o seguidor, etc. Nesses tipos de juntas as

superfcies esto sujeitas a tratamento trmico ou de superfcie.

Nas juntas inferiores o contato uma superfcie, e as comumente utilizadas so as juntas

cinemticas de rotao (pino ligando duas barras nas quais as posies angulares

variam), e as de translao (cursor em translao- movimento de escorregamento),

podendo ser citadas tambm as juntas esfricas ou globular (homocintica), helicoidal

ou parafuso, etc.

Os termos superiores e inferiores derivam-se do fato de que as juntas superiores so de

fabricao e constituio de material mais complexas, portanto, mais nobres, superiores,

ao passo que as juntas inferiores so mais fceis de se obterem, menos nobres, e por

isso, inferiores.

2.4 Graus de Liberdade ou de Mobilidade

De uma maneira geral, graus de liberdade (GDL) so representados pelo nmero de

coordenadas independentes, necessrias para especificar a posio de um corpo ou

sistema mecnico no plano ou no espao.

Pode ser definido tambm como o nmero de movimentos de acionamento que um

determinado mecanismo necessita, para que a localizao de suas peas seja

completamente conhecida em relao a um referencial pr-definido. O nmero de graus

de liberdades, de uma maneira geral, para um mecanismo fechado, pode ser

determinado pelo critrio de Grubler, onde:

GDL = 3(n 1) H 2L

n = nmero de peas,

H = nmero de juntas superiores,

L = nmero de juntas inferiores.


19

Revoluta movimento de rotao: 2 barras descrevem movimento de rotao em torno

de um pino, L = 1.

Prismtico movimento de translao , L = 1

a) Mecanismo de 4 barras, 4 peas, todas binrias - 2 peas descrevem um ngulo de

rotao em torno de cada articulao (pino).

n = 4, H = 0, L = 4 ........ GDL = 1

b) Mecanismo biela manivela, 4 peas

n = 4, H = 0, L = 4 ( 3 ngulos de rotao + 1 componente de translao)....GDL = 1

1

2

3

4

1

2

3

4

x


20

c) Mecanismo de retorno rpido, 6 peas

n = 6, H= 0, L = 7 ( 6 ngulos de rotao + 1 componente de translao)......GDL = 1

d) Mecanismo de retorno rpido plaina limadora, 6 peas

n = 6, H = 0, L = 7 ( 5 ngulos de rotao + 2 componentes de translao).......GDL = 1

De uma maneira geral, temos:

Se GDL 0, o sistema um mecanismo com GDL graus de liberdade;Se GDL = 0, o sistema uma estrutura estaticamente determinada;

Se GDL 0, o sistema uma estrutura estaticamente indeterminada.

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6


21

e) Estrutura isosttica

n = 3, H = 0, L = 3 (3 ngulos de rotao) ................ GDL = 0

f) Estrutura Hiperesttica

n = 6, H = 0, L = 8 ( 8 ngulos de rotao - 2 em cada pino) ...............GDL = -1

2.5 Inverso Cinemtica

A inverso de um mecanismo no altera o movimento relativo entre as barras, mas

modifica o movimento absoluto de cada barra relativamente a um referencial fixo.

Fixando-se as peas diferentes em sequncia, ou seja, invertendo a base, pode-se criar

uma variedade de mecanismos com diferentes caractersticas de transmisso. A tcnica

til para o desenvolvimento de mecanismos novos ou soluo de problemas da sntese

e anlise cinemtica.

Pelo fato do mecanismo de quatro barras possuir quatro elementos, significa que h trs

inverses possveis, correspondentes fixao das barras 2, 3 e 4, exemplos:

1

2 3

1

2

3

4

5

6


22

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4


23

3. - MECANISMOS ELEMENTARES

3.1 Algumas definies

Um critrio de classificao dos mecanismos que tem como base o tipo de

transformao do movimento entre os rgos motor e movido. Os mecanismos podem

transformar movimento de:

Rotao em rotao como um par de engrenagens (motora e movida), a polia motora correia polia movida, mecanismo de 4 barras (manivela balancim),

etc.

Rotao em translao como em manivela corredia, came seguidor, morsa (parafuso - garra), etc.

Translao em translao como em peas deslizantes ligadas por uma barra, came de translao (perfil inclinado deslizante) e seguidor, etc.

Em muitas aplicaes prticas, um nico mecanismo pode no permitir a realizao do

efeito cinemtico desejado, neste caso, procura-se combinar os mecanismos de

movimento peridico entre si em composies.

A aplicao dos mecanismos tem sido dos mais variados possveis, abrangendo

praticamente todos os setores da engenharia mecnica tais como:

Mquinas industriais como as txteis, as operatrizes, os manipuladores e dispositivos de manufatura, acionadores de prensa, de impresso, de

embalagem, etc.

Mquinas e implementos agrcolas, Veculos automotivos suspenso dianteira e traseira, sistema de direo, de

embreagem, do acelerador, limpador de parabrisa, levantador de vidro,

dobradias, etc.

Guindastes e mquinas rodovirias, Aparelhos de biomecnica, Brinquedo mecanizado, Utilidades domsticas, etc.


24

3.2 Mecanismo de Quatro Barras ou Quadriltero Articulado

O mecanismo de quatro barras o mais comum e o mais simples dos mecanismos

articulados, sendo que os demais mecanismos podem ser obtidos a partir dele. Sua

principal caracterstica reside no fato de que apresenta diferentes relaes geomtricas

entre as barras, e diferentes relaes entre o tipo de movimento de entrada e sada.

constitudo por quatro barras ou peas, sendo uma fixa (barra 1), uma motora (barra 2),

uma intermediria (barra 3) e uma movida (barra 4).

A barra 1 fixa, a estrutura que suporta o mecanismo. A barra 2 denomina-se

manivela pois a barra que imprime movimento ao mecanismo, e tem movimento de

rotao em um sentido. A barra 3 denomina-se acoplador pois a pea que acopla a

manivela s demais peas do mecanismo, apresentando movimentos de translao e

rotao nos dois sentidos, e a pea 4 denomina-se oscilador ou barra oscilante quando

descreve movimento de rotao nos dois sentidos e, obviamente sem translao, pois

est articulada estrutura fixa.

1

2

3

4


25

3.3 Regra de Grashof

Em projetos de mecanismos busca-se a simplicidade. A menor quantidade de peas que

podem realizar um trabalho geralmente fornece a soluo mais barata e confivel, e o

mecanismo de quatro barras deve estar entre as primeiras solues propostas.

Em geral, a manivela acionada por um motor com movimento contnuo em um nico

sentido, descrevendo um ngulo de 3600 em torno de um eixo passando pela articulao

com a pea 1. Para que o movimento se complete e no haja travamento, a chamada

regra de Grashof de aplica:

para mecanismos de quatro barras que descrevem movimento plano, se a soma dos

comprimentos das barras mais curta e mais comprida for inferior ou igual soma dos

comprimentos das duas barras restantes, ento a barra mais curta pode rodar

continuamente, ou seja:

S + L P +Q

S o comprimento da barra menor, L o comprimento da barra maior, P e Q so os

comprimentos das barras remanescentes. Os mecanismos que obedecem a essa relao

so chamados de Mecanismos de Grashof, e os que no obedecem so chamados de

Mecanismos de no-Grashof.

Quando uma barra realiza uma rotao completa o mecanismo atende condio de

Grashof, e a cadeia cinemtica chamada de Classe I. S+L menor que P+Q.

S + L P +Q

Quando nenhuma barra capaz de girar totalmente em torno de um pino ou articulao

ou junta a equao acima no se aplica, e o mecanismo chamado de no-Grashof, e a

cadeia cinemtica chamada de Classe II. S+L maior que P+Q

S + L P +Q

Quando a equao acima se iguala o mecanismo chamado caso especial de Grashof ou

de Classe III, e as configuraes so chamadas de dupla manivela.

S + L = P +Q


26

S

Q

L

P

Mecanismos de quatro barras de Grashof

P

LS

Q

Mecanismo de manivela barra oscilante Mecanismo de dupla manivela

Classe I Classe III

S

Q

P

L

Mecanismo de dupla barra oscilante

Mecanismo de no-Grashof Classe II


27

3.4 Fase de Ponto Morto

No mecanismo de quatro barras possvel, dada sua configurao, que duas de suas

barras estejam alinhadas uma com a outra, como indica a figura abaixo:

Quando isso ocorre, a velocidade angular da barra 4 (4) passa por zero e, se for aplicado um momento na barra 4, (BO4), a barra 2 (AO2), estar submetida somente a

trao ou compresso de forma que ela no sofrer qualquer movimento. Nesta situao

o mecanismo estar na posio chamada de ponto morto. As fases de ponto morto

devem ser evitadas a fim de minimizar esforos nas barras e nas juntas.

3.5 ndices de Mrito

Em um dado mecanismo de quatro barras obedecendo a regra de Grashof, isto , a barra

2 completando um giro de 3600, e desconsiderando as foras de atrito e de inrcia, a

relao entre o conjugado aplicado barra 2 (T2), conjugado de entrada, necessrio para

acionar a barra 4 e vencer o conjugado resistente (T4), estabelece o conceito de

vantagem mecnica (VM), que a razo entre o conjugado resistente e o conjugado de

entrada.

VM = 2

4

T

T=

4

2

O2 O4

A

B

2 4


28

A vantagem mecnica est relacionada com o chamado ngulo de transmisso, o qual

medido entre a barra intermediria (3) e a barra movida (4). Esses conceitos sero

aplicados no tpico Anlise Esttica em Mecanismos Articulados, porm,

algebricamente, podemos determina-lo:

No mecanismo de 4 barras abaixo, o ngulo o chamado ngulo de transmisso e, aplicando a lei dos cossenos para os tringulos ABD e BCD, teremos:

(BD)2 = r12 + r2

2 2.r1.r2.cos2,(BD)2 = r3

2 + r42 2.r3.r4.cos

Igualando as duas equaes e resolvendo em funo da varivel :

= cos-1

43

2212

22

12

42

3

2

cos2

rr

rrrrrr

O ngulo de transmisso () deve estar no intervalo aproximado entre 400 ou 500 e 1400

pois, dado que fora deste intervalo as barras intermedirias (3) e movida (4) podem ficar

alinhadas, coincidentes entre si, tornando o ngulo igual a zero, e o mecanismo se travaria ou emperraria. Alm do mais, ser possvel provar que quando = 900, para um

1

T2

3

T4

A D

B

C

r1

r2

r3

r4

2


29

dado conjugado resistente (T4), aplicado na barra 4, a fora exercida na barra

intermediria (3) ser mnima tornando esse ngulo a de melhor vantagem mecnica.

Quando aplicado um torque T2, e mesmo antes de qualquer movimento ocorrer,

surgir uma fora colinear esttica F34 aplicada pela barra 3 barra 4 no ponto B. as

componentes de F34 podem ser decompostas nas componentes radial (Fr34) e tangencial

(Ft34), decompostas paralela e tangencialmente.

O ideal seria que toda a fora F34 produzisse o torque de sada T4, porm, somente a

fora tangencial gera esse torque. A fora radial Fr34 fornece somente trao ou

compresso na barra 4, contribuindo com o atrito na junta B; por esta razo, o valor

ideal para o ngulo de transmisso () 900.

Quando o ngulo for menor que 450, a componente radial maior que a componente

tangencial como pode ser verificado trigonometricamente, o que reduz

significativamente a vantagem mecnica. Dado que o mecanismo se movimenta, o

ngulo de transmisso varivel e por essa razo, o ngulo de transmisso mnimo para

uma boa condio de projeto deve ser maior que 400.

Fr34 = F34cos

O2 O4

A

B

T2

3

4

F34

Ft34 = F34sen

T4


30

3.6 Aplicaes e Configuraes de Mecanismos Articulados

Existem vrias aplicaes em diferentes configuraes de mecanismos articulados, e o

aluno dever buscar na literatura as representaes e as respectivas utilidades, porm,

possvel aqui citar algumas especficas:

Mecanismo Pisto- Biela-Manivela:

Largamente utilizado principalmente em motores de combusto interna e compressores.

Transforma o movimento de rotao da manivela em translao do pisto e vice-versa.

Mecanismo Biela-Manivela com excentricidade:

Existe uma excentricidade entre o eixo de rotao da manivela e a linha de ao da

corredia; tambm utilizado como mecanismo de retorno rpido.


31

Mecanismo Scotch-Yoke

O mecanismo fornece o movimento harmnico simples, utilizado em bombas a vapor,

uma variante do mecanismo biela-manivela onde a manivela tem comprimento infinito

transformando-se em uma corredia.

Mecanismo de Whitworth

Esse mecanismo uma variao da inverso do mecanismo biela-manivela, onde se

considera fixa a manivela. Tanto a barra b quanto a barra d descrevem movimento de

rotao contnua, sendo consideradas manivelas, e a corredia f est condicionada ao

movimento giratrio da manivela d. frequentemente utilizada em mquinas

ferramentas, em particular em mquinas da industria txtil.


32

Mecanismo de Avano

Mecanismo derivado de um sistema articulado de quatro barras de dupla manivela, onde

a barra 2 o rgo motor girando com velocidade angular constante. O cursor 6 move-

se com velocidade aproximadamente constante na maior parte do avano, e ser mais

lento para o retorno rpido quando a barra 2 gira no sentido horrio. Dentre os

mecanismos de retorno rpido, o nico que no possui juntas cinemticas de

translao ou deslizantes entre as barras que constituem o mecanismo base.

1

2

3

4

5

6

O2 O4

AB

C

curso


33

3.7. Algumas Noes Sobre Metodologias de Projeto

Um projeto de engenharia envolve algumas atividades do tipo design (projeto) que

significa designar ou marcar, e pode ser definido como esboar, desenhar, conceber,

inventar, planejar uma ao de trabalho, etc. Engineering design (projeto de engenharia)

o processo de aplicao de diversas tcnicas e princpios cientficos, com o objetivo de

definir um processo ou sistema suficientemente detalhado para permitir sua realizao,

podendo ser simples ou complexo, matemtico ou no matemtico, fcil ou difcil.

Os projetos de engenharia normalmente constituem-se em um problema no

estruturado, isto , identifica-se uma necessidade, algo como um tipo de mquina a

resolver um determinado trabalho. Isto um problema pouco definido, difcil de ser

resolvido, por isso, necessrio estruturar problemas desestruturados. Norton (2010)

relaciona etapas de um tipo de metodologia:

- Identificao da necessidade

Ns precisamos de... Este um problema no estruturado pois indica a necessidade de

uma mquina para resolver determinada tarefa, ou do desenvolvimento de um

dispositivo a ser acoplado em uma determinada mquina, mas possvel perguntar: Que

tipo de mquina ou dispositivo ser esse? Como ir funcionar? Quais sero os

elementos mecnicos, eltricos, hidrulicos, etc. necessrios?

- Pesquisa preliminar

Essa etapa significa identificar se o problema ou outro parecido j foi solucionado, ou

seja, no se reinventa a roda. Se a mquina j existe no mercado mais econmico

compr-la que produzi-la e, alm disso, aprende-se muito na resoluo de um projeto ao

estudar um produto ou tecnologia similar procurada, sendo comum o processo de

comprar um produto, desmonta-lo e estuda-lo. No processo de pesquisa, a internet

uma fonte muito til assim como publicaes tcnicas e checagem de patentes.

- Estabelecimento do objetivo


34

Uma vez entendido o que se quer e resolvido esse problema terico, necessrio

estabelecer o objetivo o qual deve ser conciso, porm, sem prever a soluo. Deve ser

guiado pela visualizao funcional, a qual requer outro objetivo: como projetar um

modo de resolver uma determinada tarefa estabelecida nos dois itens anteriores,

necessitando para isso pensar, idealizar maneiras de resoluo, ou seja, como o objetivo

deve ser alcanado, como selecionar o problema, como ele pode ser solucionado,

realando as solues mais baratas porm efetivas. O projeto final deve ser comparado

com o objetivo.

- Idealizao

A idealizao um processo difcil pois envolve a criatividade. O processo criativo

significa gerar idias sem julgar suas qualidades. Todas devem ser acolhidas pois

mesmo as mais pfias podero gerar novas idias; no processo de criao em grupo

utiliza-se a tcnica de brainstorming (tempestade de idias). Trabalhando sozinho,

tcnicas de analogias e sinnimos so teis, exemplo:

Mova um objeto do ponto A ao ponto B. Sinnimos de mover so empurrar, puxar,

deslizar, impelir, jogar, ejetar, pular, transbordar. necessrio, portanto, deixar abrir o

espectro de possibilidades fsicas para a soluo da tarefa, cumprir o objetivo a ser

realizado.

- Anlise

Uma vez estruturado o problema, idealizado a soluo ou a construo do projeto ou te-

lo esboado mesmo que temporariamente, necessrio estudar seu desempenho. Das

vrias solues pensadas como vrios projetos, so necessrias a elaborao de itens a

fim de comparaes na busca de melhor soluo, sendo necessria a construo de uma

matriz de tomada de decises utilizando fatores de ponderao os quais medem a

importncia relativa do quesito, relacionados como o custo, segurana, desempenho,

confiana, ergonomia, etc. em uma linha e, em uma coluna estaro dispostos os projetos

ou solues pensadas.

Note que a matriz a ser elaborada relacionando os fatores de ponderao e itens ou

quesitos so variveis de acordo com o projeto, e h muita literatura disponvel sobre o

assunto.


35

Figura 3.1: Matriz de tomada de decises

Custo Segurana Desempenho Confiana Ergonomia Total( )Fator de Ponderao

0,xx 0,yy 0,zz 0,uu 0,vv 1,0

Projeto 1

Projeto 2

Projeto 3

- Seleo

Uma vez que, pela anlise, destacou-se um projeto potencialmente vivel, ele deve ser

selecionado para o projeto detalhado, prototipagem e teste.

- Projeto detalhado: Inclui a criao de conjuntos completos de desenhos de montagem,

desenhos de cada pea utilizada no projeto. Os desenhos de detalhe devem especificar

as dimenses e o material necessrio para produzir a pea.

- Prototipagem: Ocorre que fundamentalmente no se tem certeza se o projeto vivel,

correto, se funcionar como projetado at que seja montado e testado. Em projetos de

mecanismos de barras possvel construir modelos com papelo duro em escalas

compatveis para testar os movimentos e as funes do projetado.

Teste: Verificar a atuao, verificar o funcionamento para vincular a ele elementos de

instrumentao para tornar precisos parmetros como deslocamentos, velocidades,

aceleraes, foras, torques, temperaturas, etc., possvel utilizar o computador para

monitoramentos de preciso a custos reduzidos.

- Relatrio tcnico

A apresentao de idias e resultados est contida no relatrio tcnico. Disciplinas como

Metodologia do Trabalho Cientfico especificam suas normas de construo, as etapas


36

contendo memorial de clculo e, tambm algo muito importante, escrito sem erros

ortogrficos.

- Unidades

O sistema de unidades utilizado o Sistema Internacional (SI). A constante

gravitacional aproximadamente 9,81 m/s2, massa, comprimento e tempo so unidades

fundamentais e fora uma unidade derivada. Note: em clculos dinmicos no se usa

milmetro (mm) e sim metro (m). Em uma equao escrita corretamente, todas as

unidades de cada lado da igualdade devem ser anuladas, caso contrrio, algo deve estar

incorreto.

Tabela 3.1: Variveis e unidades

Varivel Smbolo Unidade no SI

Fora F newtons (N)

Comprimento l metros

Tempo t segundos (s)

Massa m quilogramas (kg)

Peso W newtons (N)

Velocidade v m/s

Acelerao a m/s2

Pulso j m/s3

ngulo graus (o)ngulo radianos (rad)Velocidade angular rad/sAcelerao angular rad/s2

Pulso angular rad/s3

Torque T N.m

Momento de inrcia de massa I N.m.s2

Energia E joules (J)

Potncia P watts (W)

Volume V m3

Peso especfico N/m3


37

Densidade kg/m3

4. - POSIO E DESLOCAMENTO

Em cinemtica, a anlise do deslocamento refere-se determinao das posies

ocupadas por qualquer um ou por todos os pontos de uma pea de um mecanismo

quando este se move descrevendo um ciclo de operao. Tal anlise necessria para se

determinar as posies angulares de cada barra para uso posterior nas anlises de

velocidade, acelerao e foras, ou para traar a trajetria de um ponto em uma dada

pea. Em anlise de deslocamento as peas so rgidas e os comprimentos conhecidos.

Corpo rgido: Aplicando-se uma fora externa ao corpo, a distncia entre dois pontos,

contidos no corpo, permanece constante.

Trajetria: Constitui-se nos lugares geomtricos ocupados pelo ponto em movimento.

Distncia percorrida pelo corpo: Em um intervalo de tempo t1 a t2, o comprimento

medido sobre a trajetria, entre duas posies referentes a esse intervalo de tempo.

Comprimento uma grandeza escalar.

Deslocamento de um ponto: um vetor que expressa a posio final do ponto em

relao sua posio inicial.


38

4.1 Deslocamento Absoluto

Considere um ponto movendo-se no plano, da posio 1 (t = t1) para a posio 2 (t = t2),

ao longo de uma trajetria qualquer.

R1 e R2: so chamados vetores posio, pois definem as posies do ponto nos instantes

1 e 2 em relao origem do centro de coordenadas X e Y.

R: chamado vetor deslocamento.

Da figura temos: R2 = R1 + R, portanto, R = R2 R1 (translao)

Da figura, = 2 1 ( deslocamento de rotao)

X

Y

R2 (t = t2)

R1 , (t = t1)

R

Trajetria

1

2

Y

X


39

4.2 Deslocamento Relativo

Considere um corpo rgido, e localizando dois pontos A e B neste corpo, o qual desloca-

se em movimentos de translao e rotao no plano. Queremos descrever uma equao

que expresse o deslocamento total do ponto B entre as posies inicial e final.

Translao: O corpo desloca-se da posio 1 para a posio 2

Rotao: O corpo desloca-se da posio 2 para a posio 3, girando em torno de um

eixo que passa pelo ponto A2.

Da figura, RB3A2 = RB2A2 + RBA, portanto, RBA = RB3A2 RB2A2

Movimento geral: O corpo descreve os movimentos de translao e rotao, e o

deslocamento total do ponto B dado por:

RB = RB + RB ou

Y

X

A1 B1

A2 B2

RB1A1

RB2A2

RA RB = RA

Y

X

A3A2 B2

B3

RB2A2

RB3A2RB= RBA


40

RB = RA + RBA Equao do Deslocamento Relativo. O vetor RBA representa o deslocamento de B em um sistema de coordenadas no rotativo, cuja origem est em

A.

Em cinemtica, anlise de deslocamento refere-se determinao das posies

ocupadas por alguns ou todos os pontos de barras de um dado mecanismo, o qual se

move atravs de um ciclo de operao. Tal anlise necessria para determinar as

posies angulares de cada barra para uso posterior em anlises de fora, velocidade e

acelerao, ou para traar a trajetria de um ponto acoplado barra.

Um mecanismo dito haver completado um ciclo de operao quando move-se atravs

de todas as possveis posies e retorna posio original. Qualquer posio antes de se

completar um ciclo referida como sendo fase.

Para anlise de deslocamento assume-se que o comprimento de todas as barras sejam

conhecidos, e que todas sejam rgidas. Esta anlise pode ser realizada por mtodos

grficos os quais baseiam-se na interpretao geomtrica do mecanismo e uso de

desenho auxiliado por computador, pelo mtodo da notao vetorial, e por mtodos

analticos. A utilizao de algum mtodo analtico possibilita a construo de

algoritimos para o desenvolvimento de programas de uso computacional.

A1 B1

A3A2B2

B3

RB= RA

RB=RBA

RB

Y

X


41

4.3 Mtodos Analticos para a Determinao de Posies

4.3.1 Anlise de Posio de um Mecanismo Biela-Manivela

O problema, para anlise de posio e deslocamento, consiste na localizao dos vrios

pontos de interesse do mecanismo, para tanto, deduz-se expresses analticas capazes de

expressar a posio de um determinado corpo, exemplo manivela, ou o ponto em um

corpo, em funo da configurao geomtrica do mecanismo e do tipo de acionamento.

4.3.1.1 Mtodo Algbrico

Considere o mecanismo biela-manivela, e pretende-se determinar a posio do pisto

(corredia) localizada pelo ponto B, o qual representa seu centro de massa. A manivela

(barra 2) a barra motora girando em torno de O2 com velocidade angular conhecida,

tal que: 2t = 2.

r1

3

BCO2

4

2

2

2

r2

3

r3A

1


42

Escrevemos as expresses atravs das relaes trigonomtricas expressas pelas leis do

seno e cosseno, e pelas projees cartesianas. Podemos escrever para o ponto B em

relao a O2:

r1 = O2C + CB = r2cos2 + r3cos3............................................................................ eq.4.1

O mecanismo biela-manivela tal como visto no item 2.4 tem um grau de liberdade, e as

coordenadas ou variveis 2 e 3 no so independentes, ou seja, 3 depende de 2. Podemos tambm escrever:

AC = r2sen2 = r3sen3 (lei dos senos)

Isolando sen3: sen3 = 3

2

r

r sen2

Substituindo esta expresso na lei fundamental da trigonometria,

sen2 + cos2 = 1, ou, cos = 21 sen :

cos3 = 2233

221 sen

r

r ........................................................................................eq. 4.2

Inserindo a eq. 4.2 em 4.1, obtemos:

r1 = r2cos2 + r3 2233

221 sen

r

r , a qual pode ser reescrita:

r1 = r2cos2 + 22223 senrr ...................................................................................eq.4.3

onde 2 equivale e pode ser substitudo por 2t

4.3.1.2 Mtodo da Notao Complexa

A equao 4.3 acima pode ser escrita atravs da notao complexa. Com o fim de

relembrarmos a manipulao complexa, escrevemos:


43

R = rx + iry

R: vetor que representa o nmero complexo,

rx e ry: representam respectivamente a parte real e a parte imaginria,

i: representa a unidade imaginria tal que i = 1

O vetor R representado no espao complexo:

O mdulo de R dado por:

r = 22 yx rr

O vetor R pode ser escrito em notao complexa e coordenadas polares:

R = rcos + isen, ouR = r(cos + isen) = rei

Das sries numricas de MacLaurin, temos:

ei = 1+ i ...!7!6!5!4!3!2

765432

iii

cos = 1- ...!6!4!2

642

isen = i - ...!7!5!3

753

iii

Lembre-se que:

2! (2 fatorial = 2x1)

3! (3 fatorial = 3x2x1)

4! (4 fatorial = 4x3x2x1).. e assim por diante. O ngulo expresso em radianos.

rx

Y imag

ryR

X Real


44

Provar que: cos 200 = 0,9396926, e que sen200 = 0,3420201

As barras do mecanismo biela-manivela descrito no mtodo algbrico acima esto

sendo representadas por vetores posio, formando uma cadeia cinemtica fechada.

Da figura podemos escrever a soma de vetores:

R1 = R2 + R3, ou, R2 + R3 R1 = 0

Em notao complexa,

r2ei2 + r3ei

3 r1ei3 = 0

Aplicando as sries de MacLaurin

r2(cos2 + isen2) + r3(cos3 + isen3) r1(cos1 + isen1) = 0

Separando as partes real e imaginria,

r2cos2 + r3cos3 r1cos1 = 0r2sen2 + r3sen3 r1sen1 = 0

Dado que 1 = 0, cos1 = 1 e sen1 = 0, reescrevemos:r2cos2 + r3cos3 r1 = 0 ..........................................................................................eq. 4.4r2sen2 + r3sen3 = 0

Isolando 3 e inserindo na equao acima com r1 isolado, temos:

sen3= 23

2 senr

r , onde 3 = arcsen

3

22

r

senr ...............................................eq. 4.5

podemos escrever 3 atravs da equao fundamental da trigonometria

R1

2

A

O2

B

3

R2

R3


45

cos23= 1-sen23,

cos3= 321 sen , inserindo sen3 da equao 4.5 acima dentro da raiz, teremos

cos3 = 2223

221 sen

r

r ........................................................................................eq. 4.6

onde

3 = arcos 2233

221 sen

r

r ....................................................................................eq. 4.7

Reescrevendo a eq. 4.4, isolando r1, e inserindo a equao 4.7

r1 = r2cos2 + r3cos3, fica:

r1 = r2cos2 + 22223 senrr ..................................................................................eq. 4.8

Como era de se esperar, a eq.4.3 igual eq. 4.8

4.3.2 Anlise de Posio de um Mecanismo de Quatro Barras

4.3.2.1 Mtodo da Notao Complexa

Nesta anlise os comprimentos das barras r1, r2, r3 e r4 so conhecidos, e o problema

consiste na determinao das posies angulares das barras 3 e 4, 3 e 4respectivamente, sendo 2 conhecido.

Representando o mecanismo atravs de vetores posio formando uma cadeia

cinemtica fechada, e representando-a pela seguinte equao vetorial:

R1 + R2 + R3 + R4 = 0


46

= d 3, = d 4Aplicando a lei dos cossenos para o tringulo O2AO4

rd2 = r1

2 + r22 2.r1.r2.cos2

O vetor auxiliar Rd pode ser escrito:

Rd = R1 + R2

Na forma polar complexa:

rdeid = r1e

i1 + r2ei2

Aplicando as sries de MacLaurin e separando as partes real e imaginria,

rdcosd = r1cos1 + r2cos2rdsend = r1sen1 + r2sen2

Dado que 1 = 1800, cos1 = -1 e sen1 = 0, as duas equaes acima ficam:rdcosd = -r1 + r2cos2rdsend = r2sen2

d = arcsen

22 sen

r

r

d

Aplicando a lei dos cossenos para o tringulo ABO4, e lembrando que = d 3r4

2 = r32 + rd

2 2.r3.rd.cos(d 3)

Resolvendo em funo de 3:

O4

B

A

O2

Rd, rd

R4, r4

R3, r3

R2, r2

R1, r1

d

4

3

2


47

3 = arcos 3

24

23

2

2 rr

rrr

d

d - d

Aplicando novamente a lei dos cossenos para o tringulo ABO4, e que = d 4r3

2 = r42 + rd

2 2.r4.rd.cos(d 4).

Resolvendo em funo de 4:

4 = arcos 4

23

24

2

2 rr

rrr

d

d + d

5. VELOCIDADES EM MECANISMOS ARTICULADOS

Considerando o movimento de uma partcula descrevendo uma trajetria qualquer, e

localizando dois pontos R1 e R2 referentes aos instantes t1 e t2.

Durante o intervalo de tempo, t = t1 t2, o deslocamento da partcula dado pelo vetor deslocamento R = R2 R1.

Define-se a sua velocidade mdia durante o intervalo de tempo t como sendo:

Vm = t

R

A velocidade instantnea, que a velocidade da partcula em um determinado instante t,

chamada somente velocidade, dada por:

V =

0

lim

tt

R

= tR

= dt

dR =

.

R

R

R2

R1X

Y

R1 (t=t1)

R2 (t=t2)trajetria


48

Como R um vetor, no limite haver duas convergncias: mdulo e direo, portanto, a velocidade a razo da variao do deslocamento em relao ao tempo.

Com o objetivo de definirmos as duas convergncias, vamos recordar alguns elementos

matemticos:

5.1 Regra da Cadeia para Derivadas

Considerando uma partcula movendo-se em uma trajetria plana e curva:

Determina-se sua posio no instante t por meio de equaes que expressam X e Y em

funo de t.

X = f(t),

Y = g(t)

Eliminando-se t, podemos escrever:

Y = F(X), mas X = f(t)

A regra da cadeia para derivadas nos d:

Y = F(X): funo diferencivel em x,

X = f(t) : funo diferencivel em t

Podemos escrever: Y(t) = F[ f(t) ] = g(t) funo diferencivel em t, portanto,

Y(t) = F(x).f(t), ou, dt

dX

dX

dY

dt

dY

Y

X


49

Retornando ao nosso estudo sobre velocidade e considerando uma partcula em

movimento, deslocando-se da posio 1 (t = t1) at a posio 2 (t = t2), seguindo uma

trajetria circular S.

R: vetor posio com origem no sistema e , e : vetores unitrios,S: trajetria, grandeza escalar.

De acordo com a figura, R depende de S, portanto, a velocidade depende da trajetria.

Como R e S so grandezas que dependem do tempo, ento so grandezas em funo do tempo. Chamando:

S = f(t),R = g(t)Eliminando-se t, podemos escrever:

R = F(S), mas S = f(t)Aplicando a regra da cadeia:

R = F(S): funo diferencivel em S,S = f(t): funo diferencivel em t.

Podemos escrever: R = F[ f(t) ] = g(t) funo diferencivel em t, portanto,

1 (t = t1)

SR

Y

X

2 (t = t2)


50

R(t) = F(S).f(t), ou, 0

lim

tt

S

S

R

t

R, ou ,

dt

dS

dS

dR

dt

dR , onde:

dt

dR = V (vetor velocidade, mdulo e direo)

dS

dR = (somente direo, vetor tangente trajetria)

dt

dS =

.

S (velocidade da partcula na trajetria)

Podemos escrever a expresso:

V = .

S .....................................................................................................................eq. 5.1Em qualquer posio, a velocidade sempre tangente trajetria.

5.2 Velocidade Angular

Considerando um corpo rgido representado pelo disco girando em torno do eixo OA.

Isto significa que todos os pontos do corpo, tal como o ponto P, se movem numa

trajetria circular em torno do eixo OA. A velocidade angular do corpo dada pelo

vetor , que tem direo OA, e sentido dado pela regra da mo direita. A magnitude da velocidade angular a razo de variao de qualquer segmento de reta do corpo, com

direo normal ao eixo de rotao. Designando o deslocamento angular do segmento

por no intervalo de tempo t, sua magnitude fica:

= 0

lim.

tt


51

O vetor posio r expressa a posio do ponto P em relao a origem do sistema de

coordenadas O, e o corpo gira com velocidade angular . O produto entre os dois vetores nos d um terceiro vetor perpendicular ao plano formado por eles tal que:

V = r.sen , onde um vetor unitrio perpendicular ao plano formado por r e .

Representando a origem do sistema de coordenadas O no corpo, o ngulo torna-se 900, e o vetor r torna-se o raio do circulo sendo que o ponto P desloca-se na trajetria

circular. A figura acima fica representada abaixo:

Como sen 900 = 1, a expresso de velocidade fica:

V = .r ou simplesmente V = .r

A velocidade de um ponto qualquer em um corpo rgido com velocidade de rotao,

igual ao produto da velocidade angular pela distncia entre esse ponto e o eixo de

rsen

A

Y

XO

r

P

V

P

r V


52

rotao, com direo tangente ao crculo de rotao do ponto. Sintetizando, o vetor

velocidade sempre tangente trajetria

5.3 Equao de Velocidade Relativa

Considerando um corpo rgido que apresenta movimentos de translao e rotao,

girando com velocidade angular em torno de um eixo que passa pelo ponto A, e destacando um ponto B localizado por RBA em relao ao ponto A.

= velocidade angular do corpo,VA = velocidade de translao do corpo.

A posio de B dada pela equao: RB = RA + RBA

A velocidade de B dada pela equao: dt

dRBA

dt

dRA

dt

dRB , ou,

VB = VA + VBA denominada equao de velocidade relativa.

VBA = x RBA pois RBA um vetor fixo ao corpo.

A equao de velocidade relativa expressa que a velocidade de um ponto qualquer do

corpo rgido (B) igual soma da velocidade de A, componente de translao do

movimento, mais a velocidade de B em relao a A, componente de rotao do

movimento.

5.4 Mtodos para a Determinao de Velocidades em Mecanismos

5.4.1 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Biela-Manivela

B

RA

RBA

VA

Y

X

RBA


53

Considerando o mecanismo bielamanivela j visto no estudo sobre posio, item 4,

queremos agora determinar a velocidade angular da barra 3 (3), e a velocidade do ponto B, VB.


R1 = R2 + R3, ou, R2 + R3 R1 = 0

Em notao complexa,

r2ei2 + r3ei

3 r1ei3 = 0

Derivando esta equao em relao ao tempo obtemos a expresso da velocidade da

corredia (B),

Lembrando que dx

duee

dx

d uu , a expresso para a velocidade fica:

01111133

33322

222 iiiiii e

dt

dire

dt

dre

dt

dire

dt

dre

dt

dire

dt

dr............... eq. 5.2

Dado que os comprimentos r2 e r3 das barras 2 e 3 so constantes assim como o ngulo

1 da corredia suas respectivas derivadas so nulas, alm disso, da expresso acima teremos:

22

dt

d

33

dt

d

11 v

dt

dr

R1 (r1)

2

A

O2

B

3

R2 (r2)

R3 (r3)


54

A eq. 5.2 pode ser simplificada e reescrita:

ir22ei2 + ir33ei3 v1ei1 = 0

Lembrando a identidade de Euler: ei = cos + isen e aplicando na expresso acima:

ir22(cos2 + isen2) + ir33(cos3 + isen3) v1(cos1 + isen1) = 0

Nesta equao acima 3 e v1 so incgnitas, 1 = 90 (na anlise do deslocamento 1 = 0) e dado que 2 sempre conhecido. Separando as partes real e imaginria, e resolvendo em funo das incgnitas:

r22cos2 + r33cos3 v1cos1 = 0 .......................................................................eq. 5.3r22sen2 + r33sen3 v1sen1 = 0 .......................................................................eq. 5.4

Isolando 3 da expresso (5.3):

3 = 33

222

cos

cos

r

r ................................................................................................eq. 5.5

Como j visto em anlise de posio no item 4, o ngulo 3 dado pela expresso abaixo:

3 = arcsen

3

22

r

senr

Isolando v1 na expresso (5.4) e inserindo 3 da expresso (5.5), chega-se na expresso de velocidade:

v1 = r22sen2 + r33sen3

v1 = r22sen2 + r3

33

222

cos

cos

r

r sen3

A expresso acima fica:


55

v1 = r22[sen2 cos2.tg3], lembrando que v1 = VB

5.4.2 Mtodo do Polgono de Velocidades Mecanismo Biela-Manivela

O mtodo baseia-se na construo e resoluo grfica de equaes vetoriais, isto , o

mtodo constitui-se em uma soma de vetores velocidades instantneas que esto

ocorrendo na condio do mecanismo.

Devemos nos lembrar que o vetor velocidade de um ponto qualquer contido na barra

tem direo tangente sua trajetria e, por consequncia, este vetor ser perpendicular

barra em questo, exemplo:

Considere a barra descrevendo movimento de rotao, articulada em O, portanto

girando em torno de O com velocidade angular , e queremos expressar o vetor velocidade instantnea do ponto A em relao a articulao O.

A direo de VA ser perpendicular barra, sentido para baixo devido ao sentido da

velocidade angular ser anti-horria, e sua magnitude dada pela expresso VA = .AO

Considerando o mecanismo articulado biela-manivela. Queremos determinar a

velocidade da corredia B assim como a velocidade angular da barra 3 (biela) 3.

A

VA

O


56

Na determinao das velocidades parte-se sempre de uma velocidade conhecida que a

da barra 2 manivela, pois sua velocidade angular tambm conhecida dado que a

barra motriz girando com velocidade n, de onde obtemos a expresso:

= 260

n , onde n = rpm

A obteno das velocidades pelo mtodo dos polgonos resulta da soma de vetores

obtidos da equao de velocidade relativa onde:

VB = VA + VBA

A magnitude do vetor velocidade VA encontrado: VA = 2AO2. Conhecida sua magnitude a direo tambm conhecida pois o ponto A descreve uma trajetria

circular e, por conseqncia, a direo perpendicular barra AO2, e o sentido do vetor

VA acompanha o sentido da velocidade angular 2.A origem do vetor VA define o plo de velocidades (Ov), o qual a origem tambm do

vetor resultante VB. Dado que o ponto B est localizado na corredia e esta desloca-se

em translao, traamos uma reta na horizontal a partir de Ov.

No mecanismo, a barra AB (3) tem como extremidades os pontos A e B. Esta barra

descreve movimentos de translao e rotao, portanto, sua velocidade tangencial

tambm ser perpendicular.

Para determinarmos a velocidade VBA traamos uma reta perpendicular barra AB,

reta essa que passa pelo ponto A e, ao traarmos essa reta haver o cruzamento com a

reta horizontal onde se localiza o vetor VB. O cruzamento define o ponto B comum aos

vetores VB e VBA.

3

BO2

4

2

2

23

A

1


57

Na construo do polgono de velocidades, a velocidade de uma corredia, cursor ou

pisto, pea que descreve movimento de translao somente, sempre tem como origem

o plo. O polgono de velocidades fica representado na figura abaixo:

Uma vez determinado VBA, a determinao da velocidade angular 3 trivial, dado por:

3 = BA

VBA

5.4.3 Mtodo dos Centros Instantneos de Rotao Mecanismo Biela-Manivela

No mtodo chamado linha de centros admite-se a velocidade VA conhecida, e pretende-

se determinar as velocidades de outros pontos do mecanismo biela-manivela, quatro

barras e/ou outros. O primeiro passo consiste em achar todos os plos, e um mecanismo

tem tantos plos quantos forem as formas de unio entre as peas. O nmero de plos

de um mecanismo de n peas :

N = 2

)1( nn ...........................................................................................................eq.5.6

Ov

VB

VAVBA

Reta perpendicular barra AO2

A

B

Reta perpendicular barra AB

Reta tangente, paralela ao deslocamento da corredia


58

O plo de velocidade definido como a localizao instantnea de um ponto comum a

dois corpos que tm a mesma velocidade em cada, ou seja, a localizao instantnea de

um ponto em um corpo, em torno do qual outro corpo instantaneamente girado.

Aps achados esses plos, os restantes so localizados pelo teorema de Aronhold-

Kennedy:

Quando trs corpos se movem com movimento relativo entre si, eles tm trs plos de

velocidade, estando todos na mesma linha reta.

Anlise considerando o mecanismo biela-manivela.

O plo A pertence manivela pea 2, e o plo B pertence corredia pea 4. Essas

peas 2 e 4 tm em comum o polo P13, e apresentam a mesma velocidade quer se

considere fazendo parte de uma ou outra pea.

O plo P13 o ponto de interseco entre o prolongamento da reta coincidente com a

barra 2 e com a pea 4, sendo chamado centro instantneo dos pontos A e B.

Analisando a pea 2, manivela, todos os pontos que a ela pertence giram em torno de

O2, assim, podemos escrever:

3 = 1313 BP

VB

AP

VA


59

5.4.4 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo de Quatro Barras

Utilizando a notao complexa, a equao que representa a cadeia cinemtica formada

pelos vetores R1, R2, R3 e R4 dada por:

r1ei1 + r2e

i2 + r3ei3 + r4e

i4 = 0

Os termos r1, r2, r3, r4 e 1 no variam no tempo, derivando a expresso acima em relao ao tempo,

044433

322

2 iii edt

dire

dt

dire

dt

dir ..........................................................eq.5.7

Sendo que,

2

O4

B

A

O2

Rd, rd

R4, r4

R3, r3

R2, r2

R1, r1

d

4

3

2

3

BO2

4

2

22

3A

1

P13


60

22

dt

d

33

dt

d

43

dt

d

A equao (e) acima fica reescrita:

04443

332

22 iii eireireir , aplicando Euler ( ei =cos - isen) obtemos:

r2i2(cos2 - isen2) + r3i3(cos3 - isen3) + r4i4(cos4 - isen4) = 0

Separando as partes real e imaginria:

- r22sen2 r33sen3 r44sen4 = 0r22cos2 + r33cos3 + r44cos4 = 0

Essas equaes acima constituem-se em equaes lineares homogneas com duas

incgnitas, 3 e 4, e a sua resoluo pode ser obtida pela Regra de Cramer. Essa regra um mtodo para a resoluo de um sistema de equaes, e se baseia no uso de

determinantes cuja soluo dada por: Xi = D

Dxi onde D o determinante da matriz

dos coeficientes, formada pelos coeficientes das incgnitas do sistema, e Dxi o

determinante obtido pela substituio, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna

formada pelos termos independentes.

Resolvendo para a incgnita 3, obtemos:


61

Resolvendo os determinantes,

3 = 34434343

4224242242

coscos

coscos

senrrsenrr

senrrsenrr

Lembrando que sen(a+b) = senacosb cosasenb, 3 fica:

3 =

344342242

senrr

senrr

Para a determinao da velocidade angular 4 o procedimento se repete, e a expresso fica:

4 =

3443222

senr

senr

Os ngulos 3, 4, d e a grandeza rd foram obtidos na anlise de posio.

3 = arcos 3

24

23

2

2 rr

rrr

d

d - d

4 = arcos 4

23

24

2

2 rr

rrr

d

d + d

d = arcsen

22 sen

r

r

d

rd2 = r1

2 + r22 2.r1.r2.cos2

5.4.5 Mtodo do Polgono de Velocidades Mecanismo de Quatro Barras

-r22sen2 -r4sen4r22cos2 r4cos4

-r3sen3 -r4sen4 r3cos3 r4cos4

3 =


62

Considere o mecanismo de quatro barras onde a barra 2, manivela, gira com velocidade

angular 2 conhecida. A barra 2 ao completar um ciclo permite coneco A descrever uma trajetria circular e, a magnitude da velocidade do ponto A em relao

articulao O2 dada pela expresso:

VA = 2 AO2O vetor velocidade VA totalmente definido em sua magnitude, direo sua direo

tangencia a trajetria do ponto A, portanto, perpendicular barra AO2, e sentido o

sentido do vetor velocidade acompanha o sentido do vetor velocidade angular.

Para se determinar a velocidade da articulao B e as velocidades angulares das barras 3

e 4 , 3 e 4 respectivamente, utilizamos a soma de vetores velocidade estabelecida na equao de velocidade relativa,

VB = VA + VBA

O vetor velocidade VB expressa a velocidade da articulao B em relao articulao

fixa O4, e sua direo perpendicular barra BO4, de mesma forma, a velocidade

VBA, est relacionada com a barra BA sendo perpendicular a essa barra 4. O polgono

de velocidades fica:

2

O4

B

A

O2

C 3

2

4

3

VBA

VCC

Ov

VA

VB

VCA

A

B


63

Na construo do polgono importante atentar que as velocidades de pontos

relacionados s barras que esto ligadas em articulaes fixas como O2 e O4 tm o plo

Ov como origem comum. A velocidade relacionada barra 3, a qual est articulada aos

pontos A e B, expressa pelo vetor VBA o qual perpendicular barra 3, e cuja origem

coincide com o ponto A definido na extremidade do vetor VA, e o ponto B ser

encontrado no cruzamento com a reta (direo) onde est localizado o vetor VB.

As velocidades angulares so determinadas fazendo:

VBA = 3.BA BA

VBA 3

VB = 4.BO44

4 BO

VB

A determinao da velocidade de um ponto C localizado na barra 3, realizada atravs

da equao de velocidade relativa para o ponto C, efetuando a seguinte soma vetorial:

VC = VA + VCA

VCA a velocidade do ponto C em relao ao ponto A. Como o ponto C est localizado

na barra 3, a velocidade fica:

VCA = 3.CA Uma vez determinada a grandeza de VCA, localiza-se a posio do ponto C no polgono

de velocidades, e o vetor VC expresso do plo at o ponto C, realizando a equao

acima.

5.4.6 Mtodo dos Centros Instantneos de Rotao Mecanismo de Quatro Barras

O procedimento para a determinao das velocidades pelo mtodo dos centros

instantneos de rotao segue os mesmos parmetros j definidos no mecanismo biela

manivela, porm, determinamos 2 centros denominados P13 e P24 relacionados com as


64

peas 1,3 e 2,4 respectivamente. O comprimento das peas ou barras so conhecidos

assim como a velocidade angular da barra 2, 2.

A velocidade angular da barra 2 conhecida: VA = 2.AO2Pela semelhana de tringulos podemos escrever: P24 O2 N P24 O4 MO centro P24 obtido pelo cruzamento do prolongamento das linhas 1 e 3

respectivamente,

A centro P13 obtido pelo cruzamento do prolongamento das linhas 2 e 4

respectivamente.

As retas tracejadas NO2 e MO4 so perpendiculares linha BP24, a qual paralela

barra AB ou barra 3.

Em qualquer mecanismo de quatro barras, vlido o chamado teorema da razo de

velocidades angulares postulado como:

A razo de velocidades angulares entre dois elementos, relativamente a um terceiro,

inversamente proporcional ao comprimento dos segmentos formados na linha de

centros pela interseco do centro instantneo de rotao

M

P24

N

O4

B

A

O2

C

O2

4

2

P13


65

Determinao de 4Do mecanismo acima podemos escrever:

244

242

2

4

PO

PO

Utilizando as relaes angulares acima, escrevemos:

4. O4P24 = 2.O2P24, isolando 4,

244

24224 PO

PO

As expresses de velocidade A e B contidos no mecanismo podem ser escritas devido

as relaes trigonomtricas:

VA= 2 .NO2,VB= 4 .MO4, onde VA= VB por conseqncia,

2.NO2 = 4.MO4, isolando 4,

4

224 MO

NO

Uma vez determinado 4 determinamos VB pois

VB = 4 BO4

Determinao de 3As velocidades VA e VB podem ser encontradas fazendo;

VA = 3.AP13,VB = 3.BP13Portanto 3 pode ser obtido:


66

13133 BP

VB

AP

VA

Determinao de VC

A velocidade em qualquer ponto ao longo da barra 3 pode ser obtida tomada em relao

ao centro P13

VC = 3.CP13

6. ACELERAO EM MECANISMOS ARTICULADOS

A acelerao mede a rapidez com que um corpo varia sua velocidade. Acelerar ou

desacelerar um corpo significa variar sua velocidade em um intervalo de tempo e, em

um corpo acelerado, o vetor acelerao tem a mesma direo e sentido do vetor


67

velocidade, enquanto que um corpo que sofre desacelerao, o vetor acelerao possui

mesma direo do vetor velocidade, porm, os sentidos so opostos.

A acelerao mdia pode ser definida como sendo a razo da variao da velocidade em

um intervalo de tempo, e quando o intervalo de tempo tende a zero a acelerao

denomina-se acelerao instantnea. A acelerao instantnea, tambm chamada

simplesmente de acelerao, definida pela equao:

0

lim

t

rvdt

dv

t

va

v = o incremento de v durante o intervalo de tempo t. Analogamente, a acelerao angular de um corpo que gira definida pela equao

0

lim

tdt

d

t

Retornando ao equacionamento visto na seo anterior, da equao 4.1 temos

V = S

Onde S a velocidade do ponto P ao longo da trajetria, e o vetor unitrio tangente mesma trajetria.

Derivando duas vezes em relao ao tempo a expresso de velocidade tangencial acima,

teremos:

SSA A expresso acima nos indica que na acelerao aparecem duas componentes:

Acelerao tangencial: at = S , pois tangente trajetria,Acelerao normal ou radial: an = S , pois um vetor unitrio defasado 900 de


68

Considere um corpo deslocando-se da posio 1 para a posio 2 acelerado

positivamente tal que V2 V1

V = Vn + Vt

Como V2 V1, e o corpo descreve uma trajetria circular portanto R permanece constante, significa que 2 1 numa taxa de variao do vetor velocidade ondeV1 = 1.RV2 = 2.RDa segunda figura podemos escrever

Vn = V., t

Vt

V n

,

dt

dV

dt

dV n an = V

Vt = R(2 1) = R, t

Rt

V t

,

dt

dR

dt

dV t at = R

6.1 Equao de Acelerao Relativa

Vn

V

V2

V1

SV1

2

1

R

V2

Vt


69

Considere um corpo girando acelerado em torno de uma articulao O, destacando um

ponto P neste corpo, e chamando de R a distncia do ponto P at o centro de curvatura

O. Os vetores acelerao podem ser representados:

O componente tangencial da acelerao, At, mede a taxa de variao da velocidade

escalar, portanto, tangente trajetria. Se o ponto P movimenta-se com velocidade

constante At = 0, e a acelerao do ponto reduz-se a seu componente normal.

O componente normal da acelerao, An, sempre dirigida ao centro de rotao

definindo a acelerao centrpeta. Esses dois componentes so perpendiculares entre si:

An At

Tal como visto no item 4.3, a equao de velocidade relativa, que derivada da equao

do deslocamento relativo, dada pela expresso

VB = VA + VBA

Consequentemente, a equao de acelerao relativa expressa na forma:

AB = AA + ABA, em notao minscula, aB = aA + aBA

a qual pode ser desmembrada em

aBn + aBt = aAn + aAt + aBAn + aBAt

6.2 Mtodos para a Determinao de Aceleraes em Mecanismos

O

An

V

At

A

Y

X

Trajetria de P

Ponto P


70

6.2.1 Mtodo da Notao Complexa Mecanismo Biela-Manivela

Considerando o mecanismo bielamanivela j visto no estudo sobre posio, item 3, e

velocidade, item 4, queremos agora determinar a acelerao angular da barra 3 (3), e a acelerao do ponto B, aB. Torna-se relevante dizer que as expresses que definem a

posio e velocidade j foram trabalhadas e determinadas anteriormente. Repetindo-as:


R1 = R2 + R3, ou, R2 + R3 R1 = 0

Em notao complexa,

r2ei2 + r3ei

3 r1ei3 = 0

Atentando ao fato de que r2, r3 e 1 so constantes, e derivando em relao ao tempo encontramos a expresso para a velocidade

ir22ei2 + ir33ei3 v1ei1 = 0

Derivando em relao ao tempo encontramos a expresso para a acelerao

ir2

22222

ii edt

die

dt

d + ir3

33333

ii edt

die

dt

d 11 iedt

dv = 0 ...........eq.6.1

sendo que

R1 (r1)

2

A

O2

B

3

R2 (r2)

R3 (r3)


71

02 dt

d

33

dt

d

aBadt

dv 11

Substituindo esses termos na equao 6.1, esta pode ser simplificada

i2r222ei2 + ir33ei3 + i2r332ei3 a1ei1 = 0 ........................................................ eq.6.2

Nesta equao 6.2 h duas incgnitas 3 e a1. Utilizando a frmula de Euler, separando as partes real e imaginria, e resolvendo o sistema obtemos:

33

32332

222

3 cos

r

senrsenr .................................................................................eq.6.2

3: acelerao angular da biela, barra 3.

Uma vez determinado 3, encontramos a1 ou aB

a1 = aB = - 22r2(cos2 + sen2.tg3) 32r3(cos3 + sen3.tg3)a1 = aB: acelerao linear da corredia

As expresses da posio e velocidade angular da biela, 3 e 3 respectivamente, j foram obtidos nos itens 3 e 4:

3 = arcsen

3

22

r

senr

3 = 33

222

cos

cos

r

r

6.2.2. Mtodo do Polgono de Aceleraes Mecanismo Biela Manivela


72

O mtodo baseia-se na construo e resoluo grfica de equaes vetoriais, isto , o

mtodo constitui-se em uma soma de vetores aceleraes instantneas que esto

ocorrendo na condio do mecanismo.

Devemos nos lembrar que o vetor acelerao de um ponto qualquer contido na barra

tem duas componentes sendo que uma, a acelerao normal, paralela barra e cujo

vetor aponta ao sentido do centro de rotao enquanto que a outra componente,

acelerao tangencial, tem direo tangente trajetria do ponto e, por consequncia,

este vetor ser perpendicular barra em questo, exemplo:

Considere a barra descrevendo movimento de rotao, articulada em O, portanto

girando em torno de O com velocidade angular e acelerao angular , e queremos expressar o vetor acelerao instantnea do ponto A em relao a articulao O.

Considerando o mecanismo articulado biela-manivela. Queremos determinar a

acelerao da corredia B assim como a acelerao angular da barra 3 (biela) 3.

Na determinao das aceleraes parte-se sempre de uma acelerao conhecida que a

da barra 2 manivela, pois sua velocidade angular tambm conhecida dado que a

barra motriz girando com velocidade n.

aAn

A

VA

O

aAt


73

A equao de acelerao relativa da forma:

aB = aA + aBA .......................................................................................................eq.6.3

Analisando o movimento do mecanismo possvel perceber que a barra AO2 (2) gira

em torno do centro de rotao O2, e que, na medida em que essa barra 2 descreve seu

movimento de rotao, a articulao A descreve uma trajetria circular. Como a barra

BA (3) est articulada em A, ela acompanha o movimento da barra 2, propiciando que a

barra AB descreva movimentos de translao e rotao.

Uma vez que descreve movimento de rotao haver um centro de rotao, e este centro

definido em A. Com relao a corredia (B), o mecanismo impe restries ao seu

movimento permitindo somente a translao em um dado sentido, no caso, horizontal. A

translao da corredia B ocorre devido a translao da barra AB.

Os vetores componentes acelerao podem ser desmembrados como se segue abaixo,

aA = aAn + aAt

aA representa a acelerao da articulao A em relao ao centro de rotao O2

aBA = aBAn + aBAt

aBA representa a acelerao da articulao B em relao a articulao A

aB no possui componentes normal e tangencial devido a alguma rotao pois a

corredia B somente translada na horizontal.

Quando se pretende determinar as aceleraes pelo mtodo dos polgonos parte-se

sempre de uma acelerao conhecida, a qual est relacionada barra 2, manivela, pois

essa a pea motriz.

3

BO2

4

2

2

23

A

1


74

Normalmente estuda-se o movimento em regime permanente significando que a

manivela gira com velocidade constante implicando em acelerao angular (2) igual a zero, porm, satisfazendo a segunda Lei de Newton (F = ma), haver a acelerao

centrpeta devido a velocidade de rotao da barra.

Quando se estuda a acelerao em mecanismos necessrio conhecer os termos de

velocidade. Como as aceleraes normais dependem das velocidades, isso significa que

a direo e sentido dos vetores acelerao normal so conhecidos, porm, com relao

aos vetores acelerao tangencial, somente a direo conhecida, ou seja,

perpendicular barra em questo, mas o

90548680-mecanismos-apostila

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