9/10/2016 r chƯƠng niệm r hàm hai biến y · 9/10/2016 2 bài giảngtoán cao cấp1...

9/10/2016

1

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

HÀM NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 3


Khái niệm hàm hai biến

• Định nghĩa: Cho không gian:

• Ánh xạ:

• Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D

• Mỗi cặp (x,y)∈ 𝐷 tương ứng với một số thực z

• x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc

:

, ,

f D R

x y z f x y

2 2, : ,R x y x y R va D R


Khái niệm hàm ba biến

• Định nghĩa: Cho không gian:

• Ánh xạ:

• Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D

• Mỗi cặp (x,y,z)∈ 𝐷 tương ứng với một số thực u

• x, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộc

:

, , , ,

f D R

x y z u f x y z

3 3, , : , ,R x y z x y z R va D R


Tập xác định hàm hai biến

• Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả cáccặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là sốthực.

• Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

2) ,

) , ln 2 1

a f x y y x

b f x y x y


Tập xác định hàm ba biến

• Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả cáccặp (x,y,z) sao cho giá trị biểu thức f(x,y,z) là sốthực.


Đạo hàm riêng

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D.

• Xem y như hằng số ta được hàm một biến theox.

• Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàmriêng theo biến x.

• Ký hiệu:

• Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y

'x

zz hay

x

9/10/2016

2


Đạo hàm riêng

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D.

• Các đạo hàm riêng của z theo x,y:

• Lấy đạo hàm riêng theo từng biến là đạo hàmcủa hàm một biến khi xem các biến còn lại nhưhằng số.

0

0

0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0

0

, , ,' lim

, , ,' lim

x x x

y y y

f x y f x y f x yzz

x x x x

f x y f x y f x yzz

y y y y


Ví dụ

• Cho hàm số

• Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số)

• Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số)

3 2 43z x xy y

3' 6 4yz xy y

2 2' 3 3xz x y


Vi phân hàm nhiều biến

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêngz’x; z’y

• Khi đó biểu thức:

• Được gọi là vi phân toàn phần của hàm hai biếnđã cho.

• Ý nghĩa:

' 'x ydz z dx z dy


Ví dụ

• Hàm số

• Có vi phân toàn phần là

3 2z x y xy

23 2dz x y dx x y dy


Đạo hàm riêng cấp 2

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có các đạo hàm riêngz’x; z’y

• Đây là các đạo hàm riêng cấp 1

• Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 gọi làđạo hàm riêng cấp 2

• Các đạo hàm riêng cấp 2

2

2

'' '' ''

'' '' ''

' '

' '

' '

' '

xx xyx x y

yx yy yx y

x x

y y

z z z z z

z z z z z



• Các đạo hàm riêng cấp 2 còn được ký hiệu lầnlượt là:

• Ví dụ: Các đạo hàm riêng của:

2 2 2 2

2 2; ; ;

z z z z

x x y y x y

3 2z x y xy

2' 3 ' 2

" 6 " 1

" 1 " 2

x y

xx xy

yy

z x y z y x

z x z

z z

yx

9/10/2016

3



• Bài tập: Tính các đhr cấp 2 của hàm số:

) ) ) lny xy xa z x b z e c z

y


Vi phân cấp 2

• Vi phân cấp 2 của hàm hai biến z=f(x,y) là biểuthức có dạng:

• Chú ý:

2 2

2 2 2" 2 " "xyx yd z z dx z dxdy z dy

2 2

2

2 2 2

2 2 2

' '

" " " "

" 2 " "

x y

xx xy yx yy

xyx y

d z d dz d z dx z dy

d z z dx z dxdy z dydx z dy

d z z dx z dxdy z dy


Ví dụ

• VD1. Vi phân cấp 2 của hàm số:

• là

• VD2. Tính vi phân cấp 2 của hàm số:

2 2 2 3 3

2 2

) ln )

) z sin

a z x y b z xy x y

c x y

3 2z x y xy

2 2 26 2 2d z xdx dxdy dy


Cực trị hàm hai biến_Cực đại

• Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác địnhtrên D

• Xét điểmM0(x0; y0) ∈ 𝐷

• Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠M0 ta có:

• Thì M0 gọi là điểm cực đại của hàm số.

0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y


Cực trị hàm hai biến_Cực tiểu

• Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác địnhtrên D

• Xét điểmM0(x0; y0) ∈ 𝐷

• Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠M0 ta có:

• Thì M0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số.

0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y


Khái niệm cực trị

• Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là các điểmcực trị.

• Ví dụ: Xét hàm số f(x,y)=x2+y2-2x+3 và điểmM0 1; 0 ∈ 𝐷 = 𝑅2

• Ta có:

• Vậy

• M0 là điểm cực tiểu của hàm số.

0

22 2 2

1;0 2

, 2 3 1 2 2

f M f

f M f x y x y x x y

0 0f M f M M M

9/10/2016

4


Cực trị của hàm nhiều biến

• Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cựctiểu của hàm nhiều biến.

• Cho hàm nhiều biến f(x1,x2,…,xn) xác định và cócác đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lậptrong D.

• Điểm là điểm:

• Cực đại khi?

• Cực tiểu khi?

1 2( , ,...., )nM x x x D


Điều kiện cần để có cực trị

• Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác định và có các đạohàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D vàđạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm

thì

• Điểm thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểmdừng của hàm số

• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng.• Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ.

1 2( , ,...., )nM x x x D

1 2( , ,...., ) 0 , 1,2, ,n

i

fx x x i n

x


Ma trận Hess

• Giả sử hàm số n biến số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàmriêng cấp 2. Khi đó, ma trận vuông cấp n

gọi là ma trận Hess của hàm số. Nếu hàm sốf(x1,x2,…,xn) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thìma trận Hess là ma trận đối xứng.

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

n

n

n n n n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

f f f

f f fH

f f f


Ví dụ

• Ma trận Hess của hàm 3 biến

• là ma trận

2 4 5 2 3 5 2 4 4

2 3 5 3 2 5 3 3 4

2 4 4 3 3 4 3 4 3

6 12 15

12 12 20

15 20 20

x y z x y z x y z

H x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

3 4 5( , , )f x y z x y z


Điều kiện đủ của cực trị

• Giả sử

• là điểm dừng của hàm số f(x1,x2,…,xn) và tạiđiểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêngcấp hai liên tục.

• Đặt:

1 2( , ,...., )nM x x x D

2

1 2( , ,...., ) ( , 1,2, , )ij n

i j

fa x x x i j n

x x


Điều kiện đủ để có cực trị

• Ma trận Hess:

• Xét các định thức con chính:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aH

a a a

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 211 12

1 11 2

21 2

1 2 1 2

, , , , ,

k n

k n

k n

k k kk n n nn

a a a a a a

a a a a a aa aD a D D D

a a

a a a a a a

9/10/2016

5


Tiêu chuẩn xét cực trị

• i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 thì M là điểm cực tiểucủa hàm số

• ii) Nếu D1<0, D2>0, …, (-1)n Dn>0 thì M là điểm cựcđại của hàm số

• iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)i Di>0 ) và tồn tại k sao choDk=0 thì chưa thể kết luận về cực trị địa phươngcủa hàm số tại . Hàm số có thể đạt cực trị hoặckhông đạt cực trị tại điểm M. Muốn có được kếtluận ta phải sử dụng phương pháp khác.

• iv) Trong các trường hợp khác thì M không phải làđiểm cực trị.


Áp dụng cho hàm 2 biến

• Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2liên tục M0(x0, y0) và điểm M0(x0, y0) là điểmdừng của hàm số.

• Ta đặt:2 2

0 0 0 02

22

0 02

( ; y ) B ( ; y )

( ; y )

f fA x x

x x y

A BfC x AC B

B Cy


Áp dụng cho hàm 2 biến

• i) Nếu A>0, ∆>0 thì M0 là điểm cực tiểu

• ii) Nếu A<0, ∆>0 thì M0 là điểm cực đại

• iii) Nếu ∆<0 thì M0 không là điểm cực trị

• iv) Nếu ∆=0 thì chưa có kết luận.


Các bước tìm cực trị hàm 2 biến

• 1. Tìm tập xác định

• 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2

• 3. Giải hệ pt tìm điểm dừng

• 4. Tính các đhr cấp 2 tại điểm dừng

• 5. Xét dấu định thức cấp 2

• 6. Kết luận về điểm cực trị và tính cực trị (nếucó)

' 0

' 0

x

y

z

z


Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm số

• Đ/S: cực tiểu tại M(1;1)

3 3( , ) 3f x y x y xy


Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm số

• Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2)

3 2 2( , , ) 2 2 3 1.f x y z x xy y xz z y

9/10/2016

6


Bài tập

• Tìm cực trị của hàm số:4 4 2 2 5 5

2 2

3 3

) 2 ) 5

8) ) 3 6

) 6

a z x y x xy y b z xy x y

xc z y d z x xy y x y

x y

e z x y xy


Hàm nhiều biến trong kinh tế

• Hàm sản xuất

• Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợinhuận

• Hàm lợi ích

• Hàm cung, hàm cầu


Hàm sản xuất

• Hàm sản xuất là hàm dạng:

Q=Q(K,L)

• trong đó K là vốn, L là lao động.

• Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng:

• trong đó a, α, β là hằng số dương.

,Q aK L


Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tínhtheo các yếu tố sản xuất thì:

TC=WKK+WLL+C0

• trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL làgiá thuế đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định.

• Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L)trong đó P là giá thị trường của sản phẩm.

• Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT=TR-TC


Hàm lợi ích

• Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mứcđộ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổhợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổhợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng. Giả sử cơ cấucủa người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏhàng là một bộ ba số thực (x,y,z). Hàm lợi íchcho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duynhất u=u(x,y,z)


Hàm cung, hàm cầu

• Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trịtương ứng là P1, P2,…,Pn. Khi đó

• Hàm cung:

• Hàm cầu:

1 2( , , , )iS i nQ S P P P

1 2( , , , )iD i nQ D P P P

9/10/2016

7


Cực trị hàm kinh tế – VD1

• Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm.Biết hàm cầu về 2 loại sản phẩm của xí nghiệp trongmột đơn vị thời gian là:

• và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian là

• Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

1 2 1 21 2

1230 5 1350 3,

14 14

P P P PQ Q

2 2

1 2 1 1 2 2( , )C Q Q Q QQ Q



• Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với mộtsản phẩm là:

• trong đó 𝜋 là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chiphí, L là lượng lao động, w là tiền lương chomột lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiềnvốn, P là đơn giá bán sản phẩm.

• Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:

• Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trườnghợp w = 1, r = 0,02, P = 3.

wR C PQ L rK

1/3 1/3.Q L K



• Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệpsản xuất 3 loại sản phẩm là:

• Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanhnghiệp thu được lợi nhuận tối đa.

• Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3 =200

2 2 2

1 2 3 2 3 1 33 7 300 1200 4 20Q Q Q Q Q Q Q



• Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm.Cho biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm đónhư sau:

• Với hàm chi phí kết hợp là:

• Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 và giá bántương ứng để doanh nghiệp đó thu lợi nhuậntối đa.

1 1 2 21300 675 0,5Q p Q p

2 2

1 1 2 23C Q Q Q Q


Đáp án

• Ta có:

1 1

2 2

250; 1050

100; 1150

Q p

Q p


Cực trị hàm kinh tế – VD5• Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩmở hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng là:

• Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở 1,2.

• Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng:

• A) Xác định lượng sản phẩm cần sx ở mỗi cơ sở đềtối đa hóa lợi nhuận.

• B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tínhđộ co giãn của cầu theo giá.

2 2

1 1 2 2128 0,2 ; 156 0,1TC Q TC Q

1 2600 0,1 ; trong do 600P Q Q Q Q

9/10/2016

8


Đáp án

• A) Q1=600; Q2=1200

• B) Hệ số co giãn của cầu theo giá: -13/6



• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

• Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 6$, giá thuêmột đơn vị lao động là 4$. Giá bán một sảnphẩm là 2$.

• Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuậncủa doanh nghiệp tối đa.

• Đáp số: K=1/36; L=1/16

0,5 0,5 0; 0Q K L K L

9/10/2016 r chƯƠng niệm r hàm hai biến y · 9/10/2016 2 bài giảngtoán cao cấp1...

Documents