Introducao a Algebra

Aneis, subaneis, aneis de integridade, corpos– exercıcios resolvidos

A1) Sejam A = �×�, (a, b)⊕ (c, d) = (a+c, b+d), (a, b)⊗ (c, d) = (ac−bd, ad+bc),onde a, b, c, d ∈ �. Mostre que (A,⊕,⊗) e um anel, verifique se e comutativo e setem unidade.

Solucao: Sejam (a, b), (c, d), (e, f ) tres elementos genericos de A. Temos que:

• (a, b)⊕(c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) = (c, d)⊕(a, b); logo, ⊕ e comutativa.

• [(a, b) ⊕ (c, d)] ⊕ (e, f ) = (a + c, b + d) ⊕ (e, f ) = ((a + c) + e, (b + d) + f ) =

(a + (c + e), b + (d + f )) = (a, b) ⊕ (c + e, d + f ) = (a, b) ⊕ [(c, d) ⊕ (e, f )]; logo,⊕ e associativa.

• (a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b); logo, ⊕ tem elemento neutro (0, 0).

• (a, b)⊕(−a,−b) = (a+(−a), b+(−b)) = (0, 0); logo, todo elemento (a, b) possuium inverso aditivo (−a,−b).

• [(a, b) ⊗ (c, d)] ⊗ (e, f ) = (ac − bd, ad + bc) ⊗ (e, f ) = ((ac − bd)e − (ad +

bc) f , (ac− bd) f + (ad + bc)e) = (ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce)e(a, b) ⊗ [(c, d) ⊗ (e, f )] = (a, b) ⊗ (ce − d f , c f + ed) = (a(ce − d f ) − b(c f +

ed), a(c f +ed)+b(ce−d f )) = (ace-adf- bcf - bed, acf+aed + bce - bdf ) Logo,[(a, b)⊗(c, d)]⊗(e, f ) = (a, b)⊗[(c, d)⊗(e, f )] o que significa que ⊗ e associativa.

• (a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = (c, d) ⊗ (a, b); logo, ⊗e comutativa.

• (a, b)⊗ [(c, d)⊕ (e, f )] = (a, b)⊗ (c + e, d + f ) = (a(c + e)− b(d + f ), a(d + f ) +

b(c + e)) = (ac + ae − bd − b f , ad + a f + bc + be)e(a, b) ⊗ (c, d) ⊕ (a, b) ⊗ (e, f ) = (ac − bd, ad + bc) ⊕ (ae − b f , a f + be) =

(ac − bd + ae − b f , ad + bc + a f + be). Logo, (a, b) ⊗ [(c, d) ⊕ (e, f )] =

1

(a, b) ⊗ (c, d) ⊕ (a, b) ⊗ (e, f ). Como ⊗ e comutativa, temos tambem que[(c, d)⊕ (e, f )]⊗ (a, b) = (a, b)⊗ [(c, d)⊕ (e, f )] = (a, b)⊗ (c, d)⊕ (a, b)⊗ (e, f ) =

(c, d) ⊗ (a, b) ⊕ (e, f ) ⊗ (a, b). Portanto, ⊗ e distributiva com relacao a ⊕.

• (a, b) ⊗ (1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a − 0, 0 + b) = (a, b). Logo, ⊗ temelemento neutro (unidade) que e o (1, 0).

Todos os itens anteriores juntos mostram que (A,⊕,⊗) e um anel comutativo comunidade.

Observacao. As operacoes ⊕ e ⊗ definidas entre (a, b) e (c, d) neste exercıcio saosemelhantes as que sao definidas nos numeros complexos a + bi e c + di. Veja osseguintes exemplos:

• Em A temos:

◦ (1, 2) ⊕ (3, 4) = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)

◦ (1, 2) ⊗ (3, 4) = (1 · 3 − 2 · 4, 1 · 4 + 2 · 3) = (−5, 10)

• Em � temos:

◦ (1 + 2i) + (3 + 4i) = (1 + 3) + (2 + 4)i = 4 + 6i

◦ (1 + 2i)(3 + 4i) = 1 · 3 + 1 · 4i + 3 · 2i + 8i2 = 3 + 4i + 6i − 8 = −5 + 10i.

A2) Seja F = { f : � −→ � | f e contınua } e +, ·, ◦ as seguintes operacoes:

• ( f + g)(x) = f (x) + g(x)

• ( f · g)(x) = f (x) · g(x)

• ( f ◦ g)(x) = f (g(x))

a) Mostre que (F ,+, ·) e um anel comutativo, com unidade, mas que nao e deintegridade;

b) Mostre que (F ,+, ◦) nao e um anel.

Solucao:

a) Sejam f , g e h tres funcoes contınuas de � em �, elementos genericos de F .Temos que as seguintes propriedades sao validas:

◦ f (x) + g(x) = g(x) + f (x), ∀x ∈ �◦ ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)), ∀x ∈ �◦ f (x) + O(x) = f (x), ∀x ∈ �, onde O(x) representa a funcao nula: O(x) = 0.

2

◦ f (x) + (− f (x)) = O(x), ∀x ∈ �◦ ( f (x) · g(x)) · h(x) = f (x) · (g(x) · h(x)), ∀x ∈ �◦ f (x) · (g(x) + h(x)) = f (x) · g(x) + f (x) · h(x) e ( f (x) + g(x)) · h(x) =

f (x) · h(x) + g(x) · h(x), ∀x ∈ �◦ f (x) · g(x) = g(x) · f (x), ∀x ∈ �◦ f (x) · I(x) = f (x), ∀x ∈ �, onde I(x) e a funcao constante 1: I(x) = 1.

Logo, (F ,+, ·) e um anel comutativo com unidade. Para mostrar que F nao eanel de integridade, devemos mostrar exemplos de duas funcoes contınuas naonulas cujo produto e nulo. Por exemplo, sejam f , g : � −→ � definidas porf (x) = |x| + x e g(x) = |x| − x. Veja graficos a seguir.

Temos que f e g nao sao funcoes nulas, mas ( f · g)(x) = f (x) · g(x) = (|x| +x)(|x| − x) = |x|2 − x2 = x2 − x2 = 0, ∀x ∈ �.

b) Para mostrar que (F ,+, ◦) nao e um anel, basta encontrar exemplos de funcoesem que falhe alguma das propriedades de anel. Por exemplo, consideremosf : � −→ �, g : � −→ � e h : � −→ � definidas por f (x) = x2, g(x) = 3x eh(x) = x + 1. Temos que:

1 ( f ◦ (g + h))(x) = ( f (g + h))(x) = f (3x + x + 1) = f (4x + 1) = (4x + 1)2 =

16x2 + 8x + 1,

2 ( f◦g+ f◦h)(x) = ( f◦g)(x)+( f◦h)(x) = f (g(x))+ f (h(x)) = f (3x)+ f (x+1) =

(3x)2 + (x + 1)2 = 10x2 + 2x + 1.

Logo, f ◦ (g + h) , f ◦ g + f ◦ h. Isso significa que a “multiplicacao” ◦ naoe distributiva com relacao a adicao + definidas no conjunto F , e, consequente,ele nao e um anel.

A3) Verifique se os conjuntos A a seguir sao subaneis de (�,+, ·):a) 3�

3

b) � − �c) {m + 1

5n |m, n ∈ �}d) {−1, 0, 1}

Solucao:

a) O subconjunto 3� ⊂ � e formado por todos os multiplos de 3. E claro que elenao e vazio porque, por exemplo, 3 ∈ 3�. Sejam x, y ∈ 3�. Entao existemm, n ∈ � tais que x = 3m e y = 3n. Daı, x − y = 3m − 3n = 3(m − n) ∈ 3� ex · y = (3m)(3n) = 9mn = 3(3mn) ∈ 3�. Logo, 3� e um subanel de �.

b) A = � − � e formado pelos numeros racionais que nao sao inteiros, ou seja,formado pelas fracoes p/q ∈ � tais que p/q < �. Por exemplo, 3/2 ∈ A e1/2 ∈ A, mas 3/2 − 1/2 = 1 < A. Logo, A nao e fechado com relacao asubtracao, de onde concluımos que A nao e subanel de �.

c) Seja A = {m + 15n |m, n ∈ �}. Escolhendo (aleatoriamente) m = n = 1 e, depois,

m = 0, n = 2 temos que x = 1 + 15 · 1 = 6

5 e y = 0 + 15 · 2 = 2

5 sao dois elementosde A. No entanto, x · y = 6

5 · 25 = 12

25 . Se esse ultimo elemento pertencesse a A,existiriam m, n ∈ � tais que 12

25 = m + 15n⇒ 12 = 25m + 5n o que e um absurdo

porque 12 nao e multiplo de 5 enquanto que 25m+5n = 5(5m+n) e multiplo de5. Concluımos dessa forma que 12

25 < A e, consequentemente, A nao e subanelde �.

d) Se A = {−1, 0, 1}, escolhendo x = 1 e y = −1 temos que x − y = 2 < A. Logo, Anao e subanel de �.

A4) Seja A um anel. Mostre que:

a) Se (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 para quaisquer α, β ∈ A, entao A e um anelcomutativo.

b) De exemplo de um anel A e elementos α, β ∈ A tais que (α+β)2 , α2 +2αβ+β2.

Solucao:

a) Usando a propriedade distributiva da multiplicacao com relacao a adicao temosque se α e β sao dois elementos genericos de um anel A, entao (α + β)2 =

(α + β)(α + β) = α(α + β) + β(α + β) = α2 + αβ + βα + β2. Utilizamostambem a propriedade associativa da adicao para poder retirarmos os parentesesda expressao. Se no anel A e valido tambem que (α+β)2 = α2 + 2αβ+β2, entaotemos que α2 + 2αβ+β2 = α2 +αβ+βα+β2. Somando-se (−α2), (−β2) e (−αβ)a ambos os membros e simplificando, obtemos: αβ = βα, de onde podemosconcluir que o anel e comutativo.

4

b) Basta escolher dois elementos que nao comutem em um anel A que nao seja

comutativo. Por exemplo, sejam A = M2×2(�), α =

[1 20 −1

]∈ A e β =

[0 11 3

]∈ A. Temos α2 =

[1 00 1

], αβ =

[2 7−1 −3

], β2 =

[1 33 10

], α + β =

[1 31 2

]o que implica em (α + β)2 =

[4 93 7

]e α2 + 2αβ + β2 =

[6 171 5

], de

onde podemos observar que (α + β)2 , α2 + 2αβ + β2.

A5) Verifique se (S ,+, ·) e um subcorpo de (�,+, ·) em cada um dos seguintes casos:

a) S = {a + b√

3 | a, b ∈ �}b) S = {a√2 + b

√3 | a, b ∈ �}

c) S = {a + b 3√3 | a, b ∈ �}(OBS.: S e um subcorpo de K quando ambos sao corpos e S ⊂ K)

Solucao:

a) consideremos um elemento de S e vamos verificar se esse elemento tem inversomultiplicativo em S . Por exemplo, seja x =

√3 ∈ S . Temos que x−1 = 1√

3=

√3

3 = 13

√3 < S (porque 1

3 < �)⇒ S nao e subcorpo de �.

b) Para o conjunto ser um subcorpo, entre outras propriedades, ele precisa serfechado para a multiplicacao. Escolhendo-se a = 1, b = 0 e depois a = 2,b = 0, obtemos que x =

√2 e y = 2

√2 sao dois elementos de S . Como

x · y =√

2 · 2√2 = 4 < S , temos que S nao e subcorpo de �.

c) Seja x =3√3 ∈ S . Temos que x−1 = 1

3√3=

3√32

3√33√

32=

3√93 < S . Logo, S nao e um

subcorpo de �.

A6) Mostre que:

a) �[√

2] = {a + b√

2 | a, b ∈ �} e um subcorpo de �;

b) Existe uma infinidade de corpos � tais que � ⊂ � ⊂ �.

Solucao:

a) Escolhendo a = b = 1 temos que 1 +√

2 ∈ �[√

2] ⇒ �[√

2] , ∅. Sejamx = a + b

√2 e y = c + d

√2 dois elementos genericos de �[

√2]. Temos que:

5

◦ x − y = (a + b√

2) − (c + d√

2) = (a − c)︸ ︷︷ ︸∈�

+ (b − d)︸ ︷︷ ︸∈�

√2 ∈ �[

√2]

◦ x · y = (a + b√

2)(c + d√

2) = (ac + 2bd)︸ ︷︷ ︸∈�

+ (ad + bc)︸ ︷︷ ︸∈�

√2 ∈ �[

√2]

Fica mostrado dessa forma que �[√

2] e um subanel de �. Para ser subcorpo,faltam ainda outras propriedades:

◦ Escolhendo a = 1 e b = 0 temos que 1 = 1 + 0√

2 ∈ �[√

2]⇒ �[√

2] temunidade

◦ x · y = (a + b√

2)(c + d√

2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)√

2 ey · x = (c + d

√2)(a + b

√2) = (ca + 2db) + (da + cb)

√2 ⇒ x · y = y · x

⇒ �[√

2] e comutativo

◦ Seja x = m + n√

2 um elemento nao nulo de �[√

2]. O inverso multiplica-tivo x−1 e igual a 1

m+n√

2= m−n

√2

(m+n√

2)(m−n√

2)=

mm2 − 2n2︸ ︷︷ ︸

∈�

+−n

m2 − 2n2︸ ︷︷ ︸∈�

√2 que e

um elemento de �[√

2].

b) De modo semelhante ao que foi feito no item (a), podemos mostrar que sep for um primo positivo, �[

√p] = {a + b

√p | a, b ∈ �} e um subcorpo de

�. Obtemos, dessa forma, uma infinidade de corpos �[√

2], �[√

3], �[√

5],�[√

7], · · · todos contidos em � e contendo o conjunto �.

A7) De exemplo de um anel A e um subanel B tais que:

a) ∃1A, ∃1B mas 1A , 1A;

b) ∃1A, mas @1B.

Solucao:

a) Consideremos A = M2×2� e B =

{[a 00 0

]|a ∈ �

}. Temos que B e um subanel

de A, 1A =

[1 00 1

], 1B =

[1 00 0

]e 1A , 1B.

b) Sejam B = 2� = inteiros pares e A = � com as operacoes de adicao emultiplicacao usuais. Temos que B e subanel de A, existe 1A = 1 ∈ �, masnao existe 1B.

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A8) Mostre detalhadamente que se A for um anel de integridade e a ∈ A for tal quea2 = 1, entao a = 1 ou a = −1.

Solucao: Se a2 = 1, entao somando-se (−1) a ambos os membros, obtemos:

a2 + (−1) = 1 + (−1)⇒ a2 − 1 = 0. Como (a + 1)(a − 1) = a2 + a − a − 1 = a2 − 1,temos que (a + 1)(a − 1) = 0. Como A e um anel de integridade, temos a + 1 = 0 oua − 1 = 0. Somando-se (−1) e 1 as igualdades anteriores, concluımos que a = −1 oua = 1.

A9) Mostre detalhadamente que se A for um anel de integridade e a ∈ A for tal quea2 = a, entao a = 0 ou a = 1.

Solucao: Se a2 = a, entao somando-se (−a) a ambos os membros, obtemos:

a2 + (−a) = a+ (−a)⇒ a2−a = 0⇒ a(a−1) = 0. Como A e um anel de integridade,temos a = 0 ou a− 1 = 0. Somando-se 1 a igualdade anterior, concluımos que a = 0ou a = 1.

A10) Em um anel A, um elemento x ∈ A e denominado nilpotente quando existirn ∈ � tal que xn = 0. Mostre que o unico elemento nilpotente de um anel de integri-dade e o zero.

Solucao: Suponhamos x um elemento nilpotente de um anel A.

• Se xn = 0, onde x ∈ A e n ∈ �, entao nao podemos ter n = 0 porque, se assimfosse, a potencia xn nao seria igual a 0.

• Se n = 1, entao xn = 0⇒ x = 0.

• Se n > 1, entao xn = 0 ⇒ x · x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores

= 0. Como A e um anel de integri-

dade, temos x = 0.

Observacao. Sendo A um anel de integridade, se x1, x2 ∈ A sao tais que x1 · x2 =

0, entao x1 = 0 ou x2 = 0. Isso pode ser generalizado (por Inducao) para umaquantidade de k fatores, com k > 1: se xi ∈ A, com i ∈ {1, 2, · · · , k} sao tais quex1 · x2 · · · · · xk = 0, entao existe j ∈ {1, 2, · · · , k} tal que x j = 0.

A11) No corpo Z11, resolva:

a) a equacao x3 = x;

b) o sistema de equacoes{

2x + 3y = 15x − 2y = 8

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Solucao:

a) Como 11 e primo, �11 e um corpo. Logo, podemos usar as propriedades (co-mutativa, distributiva, etc.) da adicao e multiplicacao para escrever a equacaona seguinte forma: x3 = x⇒ x3− x = 0⇒ x(x2− 1) = 0⇒ x(x + 1)(x− 1) = 0.Como �11 e um anel de integridade, temos que x = 0 ou x + 1 = 0 ou x− 1 = 0,ou seja, x = 0 ou x = −1 = 10 ou x = 1. Logo, o conjunto-solucao da equacaoe S = {0, 1, 10}.

b) Multiplicando-se a primeira equacao por 2, a segunda por 3 e somando-se asduas equacoes, podemos eliminar a variavel y:{

4x + 6y = 215x − 6y = 24

⇒{

4x + 6y = 24x − 6y = 2

⇒ (4x + 6y) + (4x − 6y) = 2 + 2

⇒ 8x = 4 ⇒ x = (8)−1 · 4. Como 8 · 7 = 56 = 1, temos que (8)−1 = 7.Daı, x = 7 · 4 = 28 = 6. Substituindo-se x = 6 na primeira equacao do sistema,obtemos: 2·6+3y = 1⇒ 3y = 1−12⇒ 3y = −11 = 0⇒ y = (3)−1 ·0⇒ y = 0.Portanto, a solucao do sistema e x = 6, y = 0.

A12) Determine todos os divisores de zero do anel �15.

Solucao: a e b sao divisores de zero de�15 se eles forem nao nulos e a · b = 0, ou

seja, a · b = 0⇒ a · b e um multiplo de 15⇒ a, b ∈ {3, 5, 6, 9, 10, 12}, um conjuntoformado por divisores de 15 e seus multiplos maiores do que 1 e menores do que 15.Portanto, os divisores de zero de �15 sao 3, 5, 6, 9, 10, 12.

B1) Seja A um anel no qual x2 = x para todo x ∈ A. Mostre que x = −x para todox ∈ A. (Sugestao: calcule (x + x)2.)

Solucao: Em um anel A, se a, b ∈ A, entao (a + b)2 = (a + b)(a + b) =

a(a+b)+b(a+b) = a2+ab+ba+b2. Se a = b = x, entao (x+x)2 = x2+x·x+x·x+x2 =

x2+x2+x2+x2 = x+x+x+x. Por outro lado, (x+x)2 = x+x. Logo, x+x = x+x+x+x.Somando-se (−x) + (−x) + (−x) aos dois membros dessa ultima igualdade, obtemos:(−x) + x + (−x) + x + (−x) = (−x) + x + (−x) + x + (−x) + x + x⇒ −x = x para todox ∈ A.

Observacao. Note que utilizamos as propriedades associativa da adicao e distribu-tiva da multiplicacao com relacao a adicao no desenvolvimento acima.

B2) Seja A um anel no qual x2 = x para todo x ∈ A. Mostre que A e um anel comu-tativo. (Sugestao: calcule (x + y)2.)

Solucao: Como (x+y)2 = x2+xy+yx+y2, temos que (x+y)2 = x+xy+yx+y. Por

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outro lado, (x+y)2 = x+y e daı x+xy+yx+y = x+y. Somando-se (−x)+(−y) aos doismembros da ultima igualdade, obtemos: x+(−x)+xy+yx+y+(−y) = x+(−x)+y+(−y),ou seja, xy + yx = 0. Usando o exercıcio B1, temos yx = −yx. Portanto, xy − yx = 0de onde obtemos que xy = yx para quaisquer x, y ∈ A, ou seja, o anel A e comutativo.

B3) No anel �8, determine todas as solucoes da equacao x2 − 1 = 0.

Solucao: Em todo anel comutativo, e valido o seguinte produto notavel:

(a + b)(a − b) = a2 − b2. Logo, a equacao dada pode ser escrita na forma(x + 1)(x − 1) = 0. Portanto, duas solucoes sao obtidas quando x + 1 = 0 ou quandox − 1 = 0, ou seja, quando x = −1 = 7 ou x = 1. Em um anel de integridade, essasseriam as unicas solucoes. Mas �8 nao e anel de integridade porque seus divisoresde zero sao 2, 4 e 6. Logo, tambem podemos obter solucoes da equacao dada quandox + 1 ou x − 1 coincidem com esses divisores de zero. Dessa forma, obtemos asseguintes possıveis solucoes:

• x + 1 = 2⇒ x = 1

• x + 1 = 4⇒ x = 3

• x + 1 = 6⇒ x = 5

• x − 1 = 2⇒ x = 3

• x − 1 = 4⇒ x = 5

• x − 1 = 6⇒ x = 7

Por substituicao direta na equacao, podemos verificar que x = 3 nao e uma raiz daequacao, enquanto que 1, 5 e 7 sao raızes. Portanto, o conjunto-solucao da equacaox2 − 1 = 0 e S = {1, 5, 7}.

B4) No corpo �101, determine o inverso multiplicativo do elemento 43.

Solucao: Como 101 e primo, o mdc(101, 43) = 1. Logo, existem a, b ∈ �tais que 101a + 43b = 1. Para calcular a e b, podemos usar o metodo das divisoessucessivas para o calculo do maximo divisor comum, dispostas no seguinte diagramaonde fizemos x = 101 e y = 43:

2 2 1 6 2x y 15 13 2 1

15 13 2 1 0

Observando as divisoes indicadas nesse diagrama, temos:

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(a) x = 2 · y + 15

(b) y = 2 · 15 + 13

(c) 15 = 1 · 13 + 2

(d) 13 = 6 · 2 + 1

Do item (a), temos que 15 = x−2y que substituıdo em (b) fornece y = 2·(x−2y)+13,ou seja, y = 2x − 4y + 13 ⇒ 5y − 2x = 13. Do item (c), temos 2 = 15 − 13 quesubstituindo em (d) fornece 13 = 6 ·(15−13)+1 que e equivalente a 7 ·13−6 ·15 = 1,ou seja, 7(5y−2x)−6(x−2y) = 1 que equivale a 47︸︷︷︸

=b

y −20︸︷︷︸=a

x = 1⇒ 47y − 20x =

1⇒ 47 · y−20 · x︸︷︷︸=0

= 1⇒ 47 ·43 = 1 de onde concluımos que o inverso multiplicativo

de 47 em �101 e o elemento 43.

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