97852673 les espaces de sobolev

Universit Ibn ZohrFacult des sciences Agadir

Dpartement de Mathmatiques

Projet de fin dtudesSection sciences mathmatiques

Sujet :Les espaces de SobolevParticipants

AABIDA Mbarek BOUNACER HamzaMAZID Sehail WAHROUR Rachid

EncadrantProf : EL MENNAOUI Omar

JUIN 2012

Projet de fin dtude SM6 1 Facult des sciences Agadir

Table des matires

1 Prliminaires 21.1 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Notation et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Suites rgularisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Topologie dfinie par une une famille de semi-normes . . 41.1.5 Existance des fonction de classe C . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Les espaces D et Dk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Lespace des fonctions tests D() . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Lespace DK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Systme fondamental de voisinage de 0 dans DK (s.f.v) . . . 81.2.4 La topologie de D=D() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.5 Convergence dans D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Distributions et Transformation de Fourier 122.1 Espace de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 La convergence dans D () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 La topologie de D () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Proprits topologiques de D () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Ensembles borns et Ensembles compacts dans D () . . . 14

2.3 Oprations Sur Les Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Produit dune distribution par une fonctionC . . . . . . . 152.3.2 Support dune distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.3 Derive dune distribution : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.4 Les distributions rgulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Transformation de Fourier dans L1(Rd ) . . . . . . . . . . . . . . 19

2

TABLE DES MATIRES TABLE DES MATIRES

2.4.2 Transformation de Fourier dans L2(Rd ) . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Espace de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 LespaceS des distributions tempres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.1 Transformation de Fourier dansS . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Espace de Sobolev W 1,p () 32

3.1 Dfinition et proprits lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Lespace W

1,p0 () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Lespace dual de W1,p

0 () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Thorme de densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Les injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.1 Cas ou` =RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.2 Cas ou` RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6 Probleme de Dirichlet homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.8 Indications et solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Les espaces W m ,p 464.1 Les espaces de Sobolev en dimention 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Lespace W

m ,p0 (I ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Les espaces de Sobolev en dimention N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.1 Dfinition et Proprites lmentaires . . . . . . . . . . . . . . 494.3.2 Proprites lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Lespace H m () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5 Lespace H s () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7 Exemple dapplications des espaces de sobolev . . . . . . . . . . . . . 574.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.8.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


Rsum

Nous introduisons ici les principaux rsultats concernant lesespaces de Sobolev dans lespace euclidien . Nous commenceronspar dfinir formellement les espaces de Sobolev. Nous aborderonsensuite les rsultats concernant les plongements et les injectionde Sobolev.

Chapitre 1

Prliminaires

1.1 Espaces vectoriels topologiques

1.1.1 Notation et rappels

Etant donn un entier n1,les lments deNn sont appels multi-indices.Pour=(1,2,.....,n )Nn le nombre ||=1+2+ .....+n est appel longeur dumulti-indice .pour k compris entre 1 et n, on note loprateur de drivationpar rapport la k-ime variable par

k =

xket

= 11 ......n

n = ||

x11 x22 ..... x

nn

Soit k un entier suprieur 1.On dit que f : 7K et de classe C k si toutesles drives partielles de f existent et sont continues jusqu lordre k.Lordredans lequel sont effectues les drivation est indiffrent daprs le thorme deSchwarz.on note C k () lensemble des fonctions de classe C k sur .On dit que f : 7K et de classe C si elle est de classe C k sur pour chaquek 1.On pose

C() lensemble des fonctions de classe C sur . Not dprs LauranSchwartz "()=C(). On a : C() ...C k () ...C ()C 0() .Nous rap-pelons que "()=C()=

k0C k ().

2

1.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES WAHROUR Rachid

On dsigne par Lp () lespace des fonctions de puissance p integrable

valeurs dans K.Muni de la norme f p = [ | f (x )|p ] 1p ,Lespace Lp () estun espace de Banach.si p 1,on dsigne par Lpl oc () lespace des fonc-tions appartenant Lp (K )pour tout compact K de .

Dfinition : soit f une fonction relle dfinie sur un ouvertRn ,on appelle support de f lensemble s u p p ( f )= {x : f (x ) 6=0}

1.1.2 Suites rgularisantes

Dfinition 1.1.1. soit f L1l oc (Rn ) une fonction localement integrable surRn lafonctionf (x )=

Rn

f (xy )(y )d y =Rn f (x )(xy )d y est dite la convolution de f par note par f ou f . On appelle suite rgularisante ,toute suite(n ) defonction telle que,pour tout n N on aitn D(Rm ), s u p p (n ) B (0,1), Rn n =1, n 0 sur Rn .

Exemple : soit la fonction suivante

f (x )=

(exp( 1|x |21 ) si|x | 10 si|x |>1 est C

support la boule ferme de centre 0 et de

rayon 1 dans Rn .En divisant par lintegrale de sur Rn ,on obtient une autrefonction C de support B1(0),note telle que

Rn(x )d x =1.Pour tout >0,on dfinit

(x )= 1n (x).On voit clairement que :

1) Cc (Rn ).2) Le support de est B(0).3)

Rn(x )d x =1.

Proposition 1.1.1. :soit f C (Rm ),alorsn f f uniformement sur tout com-pact de Rm .

Thorme 1.1.1. soit f Lp (Rm ) avec 1


dduit que :lim

n+n f 1 f 1Lp (Rm )=0.Enfin on crit :n f f =[n ( f f 1)]+(n f 1 f 1)+( f 1 f ) . do il rsulte que :n f f Lp (Rm )2 f f 1Lp (Rm )+n f 1 f 1Lp (Rm ). on a donc :

limn+supn f f Lp (Rm )2", " >0i.e lim

n+supn f f Lp (Rm )=0.

1.1.3 Semi-normes

Dfinition 1.1.2. On dit quune application p : E 7R est une semi-norme si pourchaque x ,y E et K, on a :- p (x+y )p (x )+p (y ).p()= ||p (x ).Proposition 1.1.2. : soit E un K espace vectoriel. si p est une semi-norme sur Ealors :1- p (0)=0.2- p (x )0.3- |p (x )p (y )| p (xy ).

Exemple : soit lensemble des parties compactes de .1- considrons lespace C () des fonctions continues sur .pour chaque com-pact K ,lapplication K : C () 7R dfinie,pour chaque f C (),parK ( f )= supxK | f (x )| e s t u ne s e m i nor m e .2soi t kN.Pour chaque K .lapplicationK : C k () 7RDfinie pour chaque f C k (),K ( f )= supxK ,||k | f (x )| e s t u ne s e m i nor m e .3pou r c haqu e kN et chaque K . lapplication k ,K : C() 7R dfi-nie pour chaque f C(),park ,K ( f )= supxK ,||k | f (x )| e s t u ne s e m i nor m e .d f i ni t ion : on d i t qu u ne f a m i l l e (pi )iI de semi-normes sur un espaceE est sparante si, pour chaque x E non nul,il existe iI tel que p i (x )>1

1.1.4 Topologie dfinie par une une famille de semi-normes

Soit E un espace vectoriel et (p i )i I une famille sparnte de semi-normessur E.Etant donns un lment x0 E ,un sous-ensemble fini non vide In I etProjet de fin dtude SM6 4 Facult des sciences Agadir


un reel r >0,on noteVn (x0,r )= {y E : maxiI p i (x0y ) 0 tels que Vn (x0,r )O Les ensembles de la forme Vn (x0,r ) sonts des ou-verts et jouent un role analogue celui des boules ouverts dans les espaces m-triques.

Les sous-ensemble de E de la formeVn (x0,r ) sont des ferms et jouentun roleanalogue celui des boules fermes dans les espaces mtriques.

Dfinition 1.1.4. On appelle topologie sur E dtermine par la famille (p i )i Icelle dont les ouverts sont dfinis prcdement.

Proposition 1.1.3. La topologiee dtermine par une famille sparante de semi-normes(p i )i I est spare.Dfinition 1.1.5. Un espace vectoriel muni dune topologieT est un espace vec-toriel topologique (E.v.t) si :1) (x ,y ) 7x+y est une application continue de E E dans E.2) (,x ) 7x est application continue de K E dans E.3 - La sructure despace vectoriel de E est dite compatible avec la topologie T siles axiomes 1) et 2) sont vrifies.

Thorme 1.1.2. un espace vectoriel E muni de la topologie engendre par unefamille sparente de semi-normes est un espace vectoriel topologique.

*-Etablissons la continuit en un point (a,b).Fixons un indice i 0 I et un reel>0.Pour(x ,y ) (E E ) nous avons :p i 0(x+y ) (a+b )p i 0(xa )+p i 0(y b ). Il sen suit que p i 0(x+y ) (a+b )ds que p i 0(xa ) 2 et p i 0(y b ) 2Do la continuit de laddition au point (a,b)*-Pour la multiplication externe (,x ) 7x .Etablissons sa continuit en un point(,a ).Fixons un indice i 0 I et un reel >0.Pou r (,x )K E ,nous avons :p i 0(x )(a ) ||p i 0(x )+ ||p i 0(xa )Fixons un rel r > 0 tel que ||r 2 .Nous observons que pour x vrifiant p i 0(x a )r ,nous avons p i 0(x )p i 0(a )+r et donc ||p i 0(x )||(p i 0(a )+r ).Fixons



alors un rel tel que (p i 0(a )+r ) 2 .Pour (,x )K E vrifiant || etp i 0(xa ) r nous avons p i 0(xa ).Do la continuit de la multiplication au point (,a ).

On en dduit ainsi que :1- Les translations et les homothties ,de rapport 6=0 ,sont des homomorphismes.2- Lensemble V(a ) des voisinages dun point a E est limage par la translationTa de lensemble des voisinages V(0) de O.La topologie dun espace vectoriel estconnue ds que lon connait les voisinage de 0 ; V(a )=Ta (V(0))

1.1.5 Existance des fonction de classe CSi Rn est un ensemble ouvert.Nous rappelons que : C()=

k0C k ().

Proposition 1.1.4. si u C (),si x s u p p (u ) alors il existe une suite (xn )telle que u (xn ) 6=0,n N et lim

n 7xn =x .

Lobjectif est de construire des fonctions de classe C support compact ouayant dautres proprits qui permet,en particulier de sparer deux ferms dis-joints.Ces fonctions seront utilises dans les techniques de convolution et de r-gularisation de fonctions et de distributions.

Dfinition 1.1.6. Si k N{} lespace C k0 () est form par toutes les fonctionsu C k () ayant comme support un sous-ensemble compact de.Les lments deC0 () nots dans la suite par D(), sont dits fonctions test/ou fonctions dessai.

Toute fonction u C k0 () peut tre tendue une fonction de C k0 (Rn ).On peutdonc voir C k0 () comme un sous-espace de C

k0 (R

n ).Si M Rn est un ouvert on peut dfinir C k0 (M ) comme lensemble des lmentsde C k0 (R

n ) ayant le support dans M.

Lemme 1. : Il existe une fonction D(Rn ) telle que (0)> 0 et (x ) 0 pourtout x Rn .Preuve 1.1.2. on a la fonction : f (x ) =

(0 si t 0e1t si t >0

est de classe C sur R On

en dduit que la fonction


1.2. LES ESPACES D ET DK WAHROUR Rachid

(x )= f (1x2) a les proprits demandes.Par translation et changment dechelle on obtient que,pour tout > 0 la fonc-tion x 7(xx0

) est positive sur R,strictement positive en x0 et support dans la

boule de rayon centre en x0.Lexistance dune telle fonction permet, en parti-culier de prouver un rsultat classique qui est utilis dans le calcul des variations.

Lemme 2. Il existe une fonction croissante C(R) telle que(x )=

(o si x 01 s i x 1

Preuve 1.1.3. on a vu que la fonction f (x )=

(0 si x 0e1x si x 0 est de classe C

sur

R. De plus nous savons videment que s u p p ( f )= [0,[ et 0< f (x )1 pour toutx R.Dfinissons alors g (x ) = f (x ) f (1x ) et G (x ) = x

0g (t )d t on a 0 g (x ) 1 pour

tout x R et s u p p (g ) [0,1].De plus g 6=0 car g (12 )= [ f (12 )]2 6=0.La fonction(x )= G (x )G (1) est donc de classe C

sur R,elle est croissante et vrifie lesconditions

(x )=

(0 si x 01 si x 1

Proposition 1.1.5. soit a


1.2.1 Lespace des fonctions tests D()

On appelle D() lespace vectoriel des fonctions de classe C sur supportcompact dans .i e :D()= { : RnC : s u p p () e t C().}

soit Rn un ouvert quelconque.Alors D() est dense dans LP () pour0


V (m ,,K )= { DK : Np (), |p | m } avec |p |=p1+ ...+pn .DK e s t b a s e d nomb r ab l e d ou v e r t s , l oc a l e m e nt conv e x e s e t com p l e t s .

1.2.4 La topologie de D=D()

Pour dfinir la topologie de D,on aura besoin des ensembles V ({m },{},{}).- Soit = {0= ;,1,...,k ,...} une suite infinie douverts de Rn telle que :i-k1k .ii-K compact de Rn ,k0 N tel que : k k0 on ait : k K .- Soit (k )k0 une suite de nombre >0 dcroissante telle que k 0(k+).- Soit (mk )u ne s u i t e d e nomb r e s 0, croissante telle que :mk +(k +).Alors : V ({m },{},{})= { D :k N ,x 3k , |Dp(x )| mk }.Lorsque les suites (mk ),("k ),(k ) varient de toutes les faons possibles,les en-sembles V ({m },{"},{}) dfinissent un s.f.v de 0 dans une topologie compatibleavecla structure despace vectoriel de D.- La topologie ainsi dfinie est base nondnombrable(les suites des nombres ne forment pas un ensemble dnombrable).-Si K est un compact fixe de Rn ,cette topologie induit sur DK l a t opol o g i e d j a d f i ni e .On p e u t s a ns mod i f i e r l a t opol o g i e d e D p r e nd r e u ne f oi s pou r t ou t e s u ne m m e s u i t e (k ) condition quek soient compacts,par exemple on peut prendrek =

B (0,k )

k .(x

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