9_kompetencia_diák munkafüzet 2 félév

7/23/2019 9_kompetencia_Dik Munkafzet 2 Flv

1/226

MATEMATIKAIKOMPETENCIATERLETA

Matematika9. vfolyamTANULK KNYVE2. FLV


2/226

A kiadvny KHF/4363-12/2009. engedlyszmon 2008.08.28. idponttltanknyvi engedlyt kapott

Educatio Kht. Kompetenciafejleszt oktatsi program kerettanterv

A kiadvny a Nemzeti Fejlesztsi terv Humnerforrs-fejlesztsi Operatv Program 3.1.1. kzpontiprogram (Pedaggusok s oktatsi szakrtk felksztse a kompetencia alap kpzs s oktats

feladataira) keretben kszlt, a suliNova oktatsi programcsomag rszeknt ltrejtt tanuliinformcihordoz. A kiadvny sikeres hasznlathoz szksges a teljes oktatsi programcsomag

ismerete s hasznlata. A teljes programcsomag elrhet: www.educatio.hu cmen.

Szakmai vezet: Olh Vera

Szakmai tancsad: Somfai Zsuzsa

Alkotszerkeszt: Csatr Katalin, Olh Judit, Szplaki Gyrgyn, dr. Fried Katalin

Graka: Birloni Szilvia, Cskvri gnes, Darabos Nomi gnes, Gidfalvi Zsuzsa,Kirly s Trsai Kkt, Vidra Gbor

Lektor: Plmay Lrnt

Felels szerkeszt: Teszr Edit

H-AMAT0902

Szerzk:

Birloni Szilvia, Cskvri gnes, Darabos Nomi gnes, Gidfalvi Zsuzsa,Lvey va, Vidra Gbor

Educatio Kht. 2008.

Tmeg: 560 grammTerjedelem: 30,66 (A/5 v)

A tanknyvv nyilvntsi eljrsban kzremkd szakrtk:Tantrgypedaggiai szakrt: Knya Istvn

Tudomnyos-szakmai szakrt: dr. Marosvry ErikaTechnolgiai szakrt: Zarubay Attila


3/226

TARTALOM

IV. FGGVNYEK

11. modul: Lineris fggvnyek (Cskvri gnes) ........................................................................... 512. modul: Abszoltrtk-fggvny (Cskvri gnes)..................................................................... 2713. modul: Msodfok fggvny (Cskvri gnes) ......................................................................... 57

V. VEKTOROK

14. modul: Vektorok (Vidra Gbor)...................................................................................................... 8115. modul: Egybevgsgi transzformcik (Birloni Szilvia) .......................................................... 95

VI. AlgebrAI Azonossgok, egyenletek, egyenltlensgek,

EGYENLETRENDSZEREK

16. modul: Algebrai azonossgok (Darabos Nomi gnes s Vidra Gbor) ................................... 11317. modul: Egyenletek, egyenltlensgek,

ktismeretlenes egyenletek (Darabos Nomi gnes) .................................................... 143

VII. STATISZTIKA

18. modul: Statisztika (Lvey va, Gidfalvi Zsuzsa)........................................................................ 171

VIII. KR S RSZEI

19. modul: A kr (Vidra Gbor) ............................................................................................................. 201

A knyvben kidolgozott MINTAPLDKsegtenek a tananyag megrtsben.

A FELADATOK szintjt a sorszm eltti hzik mutatja:

alapszint feladatok:

kzpszint feladatok:

emelt szint feladatok:

Ahol nincs ilyen jelzs, azt a pldt mindenkinek ajnljuk.


4/226


5/226

11. MODUL

LINERISFGGVNYEK

Ksztette: Cskvri gnes


6/226

6 MATEMATIKA A 9. VFOLYAM TANULK KNYVE

I. Egyenes arnyossg s a lineris fggvnyekkapcsolata

Mintaplda1

A csapbl percenknt 5 l vz folyik a frdkdba, melynek befogad kpessge 80 liter.

Mennyi idalatt telik meg az eredetileg res kd? Kszts tblzatot s brzold grafikonon a

kdban levvzmennyisget az eltelt idfggvnyben!

Megolds:

1. Vlasz a krdsre: 16 perc alatt telik meg a kd, mert 165

80= .

2. rtktblzat ksztse:

T (perc) 1 2 3 4 8 12 16

L (liter) 5 10 15 20 40 60 80

3. brzols grafikonnal:

4. Hozzrendelsi utasts meghatrozsa:

Az eltelt idt az x tengelyen, a trfogatot (literben) az y tengelyen brzoltuk, teht:

x a 5 xvagyf(x) = 5 x.


7/226

11. modul: LINERIS FGGVNYEK 7

Mintaplda2

Egy 20 cm hossz gyertyt meggyjtunk. A gyertya 4 ra alatt g el. Fl ra alatt hny centi-

mtert cskken? Kszts tblzatot s brzold grafikonon a gyertya hossznak alakulst az

eltelt idtl fggen!

Megolds:

1. Vlasz a krdsre: A gyertya 1 ra alatt 54

20= cm-t cskken, fl ra alatt 2,5 cm-rel

lesz alacsonyabb.


T (h) 0 0,5 1 1,5 2 3 4

M (cm) 20 17,5 15 12,5 10 5 0



Az eltelt idt azxtengelyen, a gyertya magassgt azytengelyen brzoltuk, teht:

x a 5x+ 20. vagy f (x) = 5x+ 20.


8/226


Mintaplda3

Egy szemlygpkocsi az autplya 50 km-es szakaszn 110 km/h sebessggel halad. Mennyi

idalatt teszi meg ezt az utat? Kszts tblzatot s brzold grafikonon a sebessget az t

fggvnyben!

Megolds:

1. Vlasz a krdsre: Az aut 0,45 ra alatt teszi meg az utat, mert 540110

50&&,

s

vt === .


s (km) 1 10 20 30 40 45 50

v hkm 110 110 110 110 110 110 110



A megtett utat azxtengelyen, az aut sebessgt azytengelyen brzoltuk, gy:

x a 110, vagyis f(x) = 110.


9/226


II. A lineris fggvny

Azokat a fggvnyeket, amelyeknek grafikonja egyenes, line-ris fggvnyeknek nevezzk, s azf(x) =mx +bkpletteladhatjuk meg, aholma fggvny grafikonjnak meredeks-ge,bpedig azytengellyel val metszspont msodik koor-dintja.

Ham= 0, akkor azf(x) = b

hozzrendelst kapjuk, melyet konstans (nulladfok) fgg-

vnynek neveznk.

Ekkor a fggvny kpe azxtengellyel prhuzamos egyenes.

Ham 0, akkor ez a lineris fggvny elsfok.

4.f(x) = mx, ha m< 0

Ha m> 0, akkor a fggvny szigoran nv, vagyis nvekvx rtkekhez nvekv fgg-

vnyrtkek tartoznak.Ha m < 0, akkor a fggvny szigoran cskken, vagyis nvekvxrtkekhez cskken

fggvnyrtkek tartoznak.

Mindenf(x) = mxfggvny az egyenes arnyossg fggvnye, az arnyossgi tnyezaz m.

(Minden xrtk esetn az f(x) rtk m-szerese az x-nek). A grafikonrl leolvashatjuk, hogy

egy egysgnyi jobbra halads esetn hny egysget megynk az ytengely mentn pozitv m

esetn felfel, negatv mesetn lefel.

1.f(x) = mx+ b

3.f(x) = mx, ha m> 0

2.f(x) =b


10/226


Mintaplda4

brzoljuk s jellemezzk az 52)( = xxf hozzrendelssel megadott fggvnyt!

Megolds:

brzolsa:

1. Azytengelyt a 5 pontban metszi.

2. Ebbl a pontbl kiindulva a +2 meredeksg miatt egy

egysgnyi jobbra halads esetn 2 egysget lpnk

felfel azytengely mentn.

3. A kapott kt pontot sszektve, s meghosszabbtva a

szakaszt, megkapjuk a lineris fggvny grafikonjt.

Jellemzse:

1. .T.: R.

2. .K.: R.

3. Zrushely:x = 2,5.

4. Szigoran nvekv(mivel a meredeksge pozitv eljel).

Mintaplda5

brzoljuk s jellemezzk a 34

3)( += xxg hozzrendelssel megadott fggvnyt!

Megolds:

brzolsa:

1. Azytengelyt a +3 pontban metszi.

2. Ebbl a pontbl kiindulva a4

3 meredeksg miatt

4 egysgnyi jobbra halads esetn 3 egysget l-pnk lefel azytengely mentn.

3. A kapott kt pontot sszektve, s meghosszabbtva

a szakaszt, megkapjuk a lineris fggvny grafikonjt.

Jellemzse:

1. .T.: R.

2. .K.: R.

3. Zrushely:x = 4.

4. Szigoran cskken(mivel a meredeksge negatv eljel).


11/226


Feladatok

1. brzold koordinta-rendszerben az albbi hozzrendelsi utastsokkal megadott

fggvnyek grafikonjt!

a) ( ) xxf 2= ; b) ( ) 2=xf ; c) ( ) xxf3

1= ; d) ( )

2

3=xf .



a) ( ) 5=xxf ; b) ( ) 4= xxf ; c) ( ) xxf 25= ; d) ( ) 43= xxf .



a) ( ) 53

1+= xxf ; b) ( ) 1

3

2= xxf ; c) ( )

2

12 = xxf ; d) ( ) 1

2

3 += xxf



a) ( )6

32=

xxf ; b) ( )

2

14=

xxf ; c) ( )

3

15=

xxf ; d) ( )

= 1

3

2xxf .


12/226


Mintaplda6

brzoljuk koordinta-rendszerben az f(x) =

>

5,82

5,3

xhax

xhax hozzrendelsi utastssal

megadott fggvny grafikonjt!Megolds:

brzoljuk elszr az ( ) 31 =xxf fggvny

grafikonjt a ] ; 5] intervallumon, majd

folytassuk az ( ) 822 = xxf fggvny grafi-

konjval az ] 5; [ intervallumon.

Kzben megfigyelhetjk, hogy az x= 5 helyen

ugyanazt az rtket veszik fel a fggvnyek: ( ) 23551 ==f , ( ) 285252 ==f .

Mintaplda7

brzoljuk koordinta-rendszerben az f(x) =5

252 x

x hozzrendelsi utastssal megadott

fggvny grafikonjt!

Megolds:

Egyszerstsk a trtet!

( )5

252 =

x

xxf =

( ) ( )( )

55

55+=

xx

xx,

x 5.brzolskor figyeljnk arra, hogy a fgg-vny az x= 5 helyen nincs rtelmezve. Ezt aszakadsi pontot res karikval jelljk.


13/226


Feladatok

5. brzold koordinta-rendszerben az albbi hozzrendelsi utastsokkal megadottfggvnyek grafikonjt!

a)f(x) = x

x2

; b)f(x) = 4

162 x

x

; c)f (x) = ( )

3

3

x

xx

;

d)f (x ) =3

962 ++x

xx; e)f(x) =

x

x; f)f(x) =

3,6

3,2

xha

xhax; h)f(x) =

>

1,4

1,2

xhax

xhax.

Mintaplda8

Adjuk meg a lineris fggvny hozzrendelsi utastst, ha az

a) tmegy a P( 3; 5) ponton s azytengelyt a 10 helyen metszi!

b) tmegy a P( 2; 1) ponton s grafikonja prhuzamos az ( ) 62= xxf hozzrendelsi

utastssal megadott fggvny grafikonjval!

Megolds:

a) A lineris fggvny hozzrendelsi utastsnak ltalnos alakja: ( ) bmxxf = .

Adott: P( 3; 5), valamint b= 10.

( )xf azxhelyen felvett fggvnyrtk. Mivel a Ppont rajta van a grafikonon, gy

3=x s ( ) 53 =f .

Ezeket behelyettestve az ltalnos egyenletbe kapjuk: 51035 == mm .

A keresett hozzrendelsi utasts: ( ) 105= xxf .

b) A lineris fggvny hozzrendelsi utastsnak ltalnos alakja: ( ) bmxxf = .

Adott: P( 2; 1). Az elzpldhoz hasonlan 2=x s ( ) 12 =f .

Ha a keresett fggvny grafikonja prhuzamos az ( ) 62= xxf fggvny kpvel,

akkor a meredeksgk megegyezik. A keresett hozzrendelsi szablyban a meredek-

sg teht szintn 2.

Ezeket behelyettestve az ltalnos kpletbe kapjuk: 1 = 2(2) + b, ebbl b= 5.

A keresett hozzrendelsi utasts: ( ) 52= xxg .


14/226


Feladatok

6.Add meg a lineris fggvny hozzrendelsi utastst, ha az

a) tmegy a P( 7; 4) ponton, s a meredeksge

2

1!

b) tmegy a P( 2 ; 2) ponton s azxtengelyt a 6 pontban metszi!

c)tmegy a P( 2; 6) ponton, s meredeksge 0!

d)tmegy a P( 100; 1) ponton s prhuzamos azxtengellyel!

e) tmegy a P(1; 4) s a Q( 4; 1) pontokon!

7.a) Az albbi hozzrendelsi utastsoknak megfelelen rajzold be a koordinta-

tengelyeket!

( ) 51 =xxf ; ( ) 322 = xxf ; ( ) 23 = xxf ;

b) rd fel a kvetkezgrafikonok hozzrendelsi utastsait. Add meg az rtelmezsi tar-

tomnyt is!


15/226


II. Ktismeretlenes lineris egyenletrendszereks lineris egyenltlensgek grafikus megoldsa

1. Ktismeretlenes lineris egyenletrendszerek megoldsa

Mintaplda8

Jancsi bankszmlt szeretne nyitni. Az egyik bank havi szmlafenntartsi dja 300 Ft, de ha-

vonta 2 tranzakci (pnz felvtele, egyenleg lekrdezse, utals stb.) ingyenes, minden tovb-

bi tranzakci 100 Ft. A msik banknl a havi szmlafenntartsi dj 100 Ft, de minden tranzak-

ci 150 Ft. Melyik bankot rdemes vlasztania, ha havonta 5 tranzakci trtnik? Havonta

hny tranzakci esetn ri meg az elsbank, illetve a msodik? Vlaszaidat indokold!

Megolds:

rtktblzat ksztse:

Egyik bank:

Havonta a tranzakcikszma 1 2 3 4 5 6

Dj (Ft) 300 300 400 500 600 700

Msik bank:

Havonta a tranzakcikszma 1 2 3 4 5 6

Dj (Ft) 250 400 550 700 850 1000

Hozzrendelsi szablyok:x-szel jelljk a tranzakcik szmt.

Egyik bank: ( ) ( )

{ }

+

=2;1,300

3,1002300

x

xxxe ;

Msik bank: ( ) xxm 150100= .


16/226


Grafikon ksztse:

Szveges vlasz:

Havi 5 tranzakci esetn az elsbankot rdemes vlasztani, mert itt csak650 Ft-ot kell fizetnie, mg az msik banknl 850 Ft-ot.

Havi egy tranzakci esetn a msodik bankban, de 2 vagy annl tbb tranzakci

esetn az elsben ri meg szmlt nyitni.

Feladatok

tmutat a kvetkez4 feladat megoldshoz: Oldd meg a szveges feladatokat a kvetke-

zkppen: tltsd ki az rtktblzatokat, hatrozd meg minden feladatban a kt rtktblzatrtkprjai kztti hozzrendelsi utastst! brzold az ezek ltal meghatrozott fggvnyek

grafikonjait kzs koordinta-rendszerben!

8.Egy j aut 2 500 eFt-ba kerl, de 6 vig garantltan nem hibsodik meg, azaz r ford-

tott kltsgek elhanyagolhatak. Utna minden vben 100 eFt-ot kell rkltennk. Egy

8 ves hasznlt aut ra csak 800 eFt, de az ves szervizdja tlagosan 300 eFt. Melyik

autra kell tbbet kltennk, ha a kltsgeket az autk 10 ves korig sszeszmoljuk?Melyik az a legksbbi idpont, amikor mg megri a hasznlt autt fenntartani? Vla-

szaidat indokold!


17/226


Kitltendrtktblzatok:

j aut

v 0 6 7 8 10 11 15

kltsg (eFt)

Hasznlt aut

v 0 6 7 8 10 11 15

kltsg (eFt)

9.Reggel a munkahelyemre villamossal s busszal egyarnt mehetek. A villamos azonnal

indul, a buszra mg vrni kell 8 percet. Ha villamossal megyek, akkor a 4 km-es t 25

percbe telik, a busszal csak 17 perc. Melyikkel menjek, hogy minl hamarabb berjek?

Mennyi idalatt tesz meg a busz, ill. a villamos 1 km utat? Vlaszaidat indokold!


Villamos

s (km) 0 0,5 1 2 3 4 5

t (min)

Busz

s (km) 0 0,5 1 2 3 4 5

t (min)

10.A soltvadkerti nyri tborba a csoport nhny tagja biciklivel megy, a tbbiek aut-

busszal. A tv 100 km, a biciklistk 25 km/h ra sebessggel kpesek haladni, s reg-

gel 7 rakor indulnak az iskola ell. A busz 9-kor indul ugyanerrl a helyrl, de

80 km-t tesz meg rnknt. Melyik csapat ri hamarabb a clt? Hny rval ksbb r

le a msik? Hny km megttele utn s hny rakor ri utol az egyik a msikat? Vla-

szaidat indokold!


18/226



Bicikli

s (km) 0 20 40 60 70 80 100

t(h; perc)

Autbusz

s (km) 0 20 40 60 70 80 100

t(h; perc)

11.Kati szeretne beiratkozni knyvtrba. Az egyik knyvtrban 500 Ft az ves tagsgi dj,

s minden klcsnzs 150 Ft. A msik knyvtrban 1200 Ft a tagsgi dj, de a kl-csnzsi dj 50 Ft. Ha egy ven keresztl havonta 8 knyvet szeretne kiklcsnzni,

akkor melyik knyvtrba rdemes beiratkoznia? Egy vben hny knyvet klcsnz-

zn ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hny knyv klcsnzse esetn rdemes az els,

illetve a msodik knyvtrat vlasztania? Vlaszaidat indokold!


Egyik knyvtrKnyv(db) 0 1 2 5 7 8 9

sszeg(Ft)

Msik knyvtr

Knyv(db) 0 1 2 5 7 8 9

sszeg(Ft)


19/226


2. Lineris egyenltlensgek

Mintaplda10

Hol tallhatk a skban azok a pontok, amelyek koordintira teljesl az y + 4 < 3xegyenlt-

lensg?Megolds:

Az egyenltlensget y-ra rendezve kapjuk az y < 3x 4

egyenltlensget. Ha a < jel helyett = jelet runk, akkor

egy egyenest kapunk. Azokat a skbeli pontokat keressk,

amelyeknekykoordintja kisebb, mint a baloldali kifeje-

zs, vagyis az egyenes alatt tallhatk. A megoldshalmaz

teht az egyenes alatti flsk. Az egyenes pontjai nem tar-toznak a megoldshalmazba (ezt szaggatott vonallal jell-

jk).

12.Hol tallhatk a skban azok a pontok, amelyek koordintira teljesl, hogy

a)y 3x 4?

13. Hatrozd meg a pontok ykoordintit gy, hogy az gy kapott pont az albbi hozz-rendelsi utastsokkal megadott fggvnyek grafikonjai felett illetve alatt legyenek!

Hozzrendelsi utastsok:

f(x) = 4

1x 2 g(x) =

2

1

2

3+x h(x) = 2x+ 4 i(x) =x 3

Pontok:

P(1; ) Q(5; ) R(2

1 ; ) S(1; ) T(6; ) U(0; ) V(3,5 ; )

14.brzold koordinta-rendszerben az albbi lineris egyenltlensgeket! Sznezd ki a

megoldsi halmazt!

a)y 3; b)3

1 x+ 4 > 0,5, c) 1 y< 5, d) 2x 4 2.


megoldsi halmazt!

a)x+ 4 >x 2; b) 3x 2 2x+ 5; c) 5x 7 < 5x+ 1; d)

2

3x 1 x.


20/226



megoldsi halmazt!

a)y> 3x 1; b)y 3 s |x| < 1; c)y< 2x+ 1 s 1


21/226


IV. Eljel-, trtrsz s egszrsz fggvny

1. Eljelfggvny

Azt a fggvnyt, amely a negatv vals szmokhoz 1-et, a pozitv vals szmokhoz +1-et, a

0-hoz pedig 0-t rendel, eljelfggvnynek (szignum fggvnynek) nevezzk.

A vals szmok halmazn rtelmezett

=0,1

0,0

0,1

)sgn(

xha

xha

xha

x hozzrendelsi utastssal

megadott fggvny grafikonja a kvetkez:

Jellemzs:

.T.: R..K.: {1; 0; 1}.

Zrushely: x= 0.

Monotonits: monoton nvekv.

Szlsrtk: minimumhely: mindenx< 0 esetn; minimumrtk: 1;

maximumhely: mindenx> 0 esetn; maximumrtk: 1.

Parits: pratlan, mert sgn(x) = sgn(x).

2. Egszrsz-fggvny

Azxvals szmnak az egszrszeaz a legnagyobb egsz szm, amely nem nagyobbx-nl.

Az egszrsz jele: [x]

A vals szmok halmazn rtelmezettf(x) = [x] hozzrendelsi utastssal megadott fgg-

vnyt egszrsz-fggvnynek nevezzk.

Grafikonja a kvetkez:


22/226


Jellemzs:

.T.: R.

.K.: Z.

Zrushely: 0 x< 1.

Monotonits: Az rtelmezsi tartomnyn monoton nvekv, de szakaszonknt

lland.

Ha kegsz szm, akkork x< k+1 helyeken krtket veszi fel.

Szlsrtk: nincs szlsrtke.

3. Trtrsz-fggvny

Ha egy szmbl elveszk az egszrszt, akkor a trtrsze marad. Jellse:x[x] = {x}A vals szmok halmazn rtelmezettf(x) = {x} hozzrendelsi utastssal megadott fgg-

vnyt trtrsz-fggvnynek nevezzk.

Grafikonja a kvetkez:

Jellemzs:

.T: R.

.K: [0; 1[.Zrushely: x Z.

Monotonits: Ha k Z, akkor a [k;k+1[ intervallumon szigoran nvekv.

Szlsrtk: minimumhely:x Z; minimumrtk: 0;

maximuma nincs.

A fggvny periodikus, vagyis tetszleges helyen ugyanazt a fggvnyrtket veszi fel,

mint az 1-gyel, vagy brmely egsz szmmal nagyobb helyen. Az 1 a legkisebb ilyen po-

zitv egsz szm, ezt nevezzk a peridus hossznak. Jellssel: f(x+ 1) =f(x), tetszle-ges k Z esetnf(x) =f(x+ k).


23/226


Mintaplda11

brzold a kvetkezfggvnyeket!

a)f(x) = [2x]; b) g(x) = 2{x}; c) h(x) = sgn (x + 1).

Megolds:

a) A fggvny a 0 rtket a [0; 0,5[ intervallumon veszi fel, pl.: [02[ = 0, de

[0,5 2[ = 1. Az 1 rtket a [0,5; 1[ intervallumon veszi fel, pl.: [0,52[ = 1,

de [1 2[ = 2 stb.

A grafikon:

b) Az alapfggvny minden fggvnyrtke ktszeresre n:

c) A fggvny grafikonjt eltoljuk azxtengely mentn 1 egysggel:


24/226


Feladatok

18.brzold a kvetkezfggvnyeket!

a)f(x) = [x]; b)f(x) = [x]; c)f(x) = [ ]x

2

1;

d)f(x) = [x] + 1; e)f(x) = [x ] 1; f)f(x) = [x+ 1]; g)f(x) = [x 1].


a)f(x) = {x}; b)f(x) = {x}; c)f(x) =

x2

1;

d)f(x) = {x} 1; e)f(x) = {x + 1}.


a)f(x) = sgn(x); b)f(x) = sgn(x); c)f(x) = sgn( |x| );

d)f(x) = sgn(x) 1; e)f(x) = 2 sgn(x).


25/226


Kislexikon

Lineris fggvny: a konstans (nulladfok) s az elsfok fggvnyek sszessge. Grafikon-

ja egyenes.

Lineris fggvny hozzrendelsi utastsa (kplete) mindig megadhat ( ) bmxxf =

alakban, ahol ma fggvny grafikonjnak meredeksge, bpedig azytengellyel vett metszs-

pont 2. koordintja. b= 0 esetn a grafikon tmegy az orign. Ha m= 0, akkor a fggvny

konstans fggvny, grafikonja prhuzamos azxtengellyel.

Lineris fggvny grafikonjnak meredeksge: megmutatja, hogy egy egysgnyi jobbra

halads esetn hny egysget kell az ytengely mentn lpni pozitv mesetn felfel, negatv

mesetn lefel.

Lineris fggvny monotonitsa:

ham > 0, akkor a fggvny szigoran nv, vagyis ha az xhelybe brmely kt k-

lnbzvals szmot helyettestnk, akkor a nagyobbxrtkhez nagyobb fggvnyr-

tk tartozik. ham < 0, akkor a fggvny szigoran cskken, vagyis ha azxhelybe brmely kt

klnbzvals szmot helyettestnk, akkor a nagyobb xrtkhez kisebb fggvny-

rtk tartozik.

Pont s egyenes illeszkedse: A P(x0;y0) pont rajta van az ( ) bmxxf = hozzrendelsi uta-

stssal megadott lineris fggvny grafikonjn, haxhelybe 0x -t;f(x) helybe 0y -t helyette-

stve az egyenlsg teljesl. Ha bmxy 00 , akkor a Ppont az egyenes felett helyezkedik el,

ha bmxy < 00 , akkor pedig alatta van.

Egyenes arnyossg: Ha kt vltoz mennyisg sszetartoz rtkeinek hnyadosa lland,

akkor azok egyenesen arnyosak. Az egyenes arnyossgot az ( ) 0, = mmxxf lineris

fggvny rja le, ahol maz arnyossgi tnyez.


26/226


Eljelfggvnynek (szignumfggvnynek) nevezzk a vals szmok halmazn rtelmezett

=0,1

0,0

0,1

)sgn(

xha

xha

xha

x hozzrendelsi utastssal megadott fggvnyt.

Azxvals szmnak az egszrszeaz a legnagyobb egsz szm, amely nem nagyobbxnl.

Az egszrsz jele: [x].

A vals szmok halmazn rtelmezettf(x) = [x] hozzrendelsi utastssal megadott fgg-

vnyt egszrsz-fggvnynek nevezzk.

Ha egy szmbl elveszk az egsz rszt, akkor a trtrsze marad. Jellse:x[x] = {x}.

A vals szmok halmazn rtelmezettf(x) = {x} hozzrendelsi utastssal megadott fgg-

vnyt trtrsz-fggvnynek nevezzk.


27/226

12. MODUL

ABSZOLTRTK-FGGVNY



28/226


I. Az abszoltrtk-fggvny defincija

Ez szemlletesen azt mutatja meg, hogy a szm milyen messze van a 0-tl a szmegyenesen.

Az abszoltrtk-fggvny (f (x) = |x| ) tulajdonsgai

x 53 10,5 5 4 2

3 1 0,63

. 0 1 3

2 2 3 11,36

f(x) 53 10,5 5 42

3 1 0,63

. 0 1 3

2 2 3 11,36

1. Monotonits:

Hax< 0, akkor nvekvxrtkekhez cskkenfggvnyrtkek tartoznak. Ezrt

az f(x)= |x| fggvny ezen a tartomnyon szigoran monoton cskken. Hax 0, akkor nvekvxrtkekhez nvekvfggvnyrtkek tartoznak. gy a

fggvny ezen a tartomnyon szigoran monoton nvekv.

2. Zrushely:

Az f(x) = |x| fggvnynek az x = 0 pontban van zrushelye. Ez szemlletesen azt is

jelenti, hogy a fggvny grafikonjnak ebben a pontban van kzs pontja az x ten-

gellyel.

3. Szlsrtk:

Azf(x)= |x|fggvny a 0 helyen a 0 rtket veszi fel, az sszes tbbi helyen pozitv.Ezrt az f fggvnynek az x = 0-ban szlsrtke, nevezetesen minimuma van.

Pozitv szm abszoltrtkemaga a szm, negatv szm abszoltrtke a szm

ellentettje, ami pozitv szm. |0|=0

0

esetn negatv irnyba.

Az abszoltrtk-fggvny transzformlsa:ytengely menti

zsugorts/nyjts

1. brzoljuk kzs koordinta-rendszerben a kvetkezfggvnyek grafikonjt!

f(x) = |x|; g(x) = 3 |x|; h(x) = x2

1 .

Az brzolshoz felhasznlhatjuk az elksztett rtktblzatot vagy az abszoltrtk

defincijt!

x 3 2 1 0 1,3 2 3g(x) 9 6 3 0 3,9 6 9

x 3 2,5 1 0 1 2 3

h(x)2

3 1,25

2

1 0

2

1 1

2

3

g(x)=


37/226

12. modul: ABSZOLTRTK-FGGVNY 37

2.brzoljuk kzs koordinta-rendszerben a kvetkezfggvnyek grafikonjt:

f(x) = |x|;g(x) = 3 | x|; h(x) = x2

1!

Az brzolshoz felhasznlhatjuk az elksztett rtktblzatot vagy az abszoltrtk

defincijt!

g(x)=


38/226


4. Vlaszolj a kvetkezkrdsekre!

1. Mit rtnk egy szm abszoltrtkn? Mit jelent szemlletesen?

2. Mi az abszoltrtk-fggvny defincija?

3. A fggvny legyen adottf(x) = |x| + bhozzrendelsi utastssal, ahol begy tetszle-

ges vals szm. Ez a fggvny melyyrtkeket veszi fel 0, 1 ill. 2 helyen?

4. A fggvny legyen adottf(x) = |x| + bhozzrendelsi utastssal, ahol begy tetszle-

ges vals szm. Milyen brtkek esetn lesz a fggvnynek 0, 1 ill. 2 zrushelye?

5. Mi a klnbsg azf(x) = |x+ 5 |, illetve azf (x) = |x | + 5 hozzrendelsi utastssal

megadott fggvnyek grafikonja kztt?

6. Az f (x) = | x 1 | + 3 fggvnynek hol van szlsrtke? Maximuma vagy mini-

muma van? Mekkora ez a fggvnyrtk?

7. Hogyan vltozik azf(x) = |x + 1 | + 3 fggvny szls

rtke a 6. feladatban tallhatfggvny szlsrtkhez kpest?

8. Az f (x) = c | x | fggvnynek milyen crtkek esetn van minimuma, illetve maxi-

muma?

9. Hogyan vltozik az f (x) = | x | fggvny grafikonja, ha az | x|t megszorozzuk egy

]0;1[ intervallumbeli szmmal?

10.Jellemezd az f (x) = c | x | hozzrendelsi utastssal megadott fggvny monotoni-

tst negatv, illetve pozitv crtkek esetn!


39/226


Mintaplda2

brzoljuk koordinta-rendszerben, s jellemezzk azf(x) = 4

3|x |,x [ 4;6 [ hozzrende-

lsi utastssal megadott fggvnyt!

Megolds:

rtktblzattal:

x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5,9

f(x) 3 4

9

2

3

4

3 0

4

3

2

3

4

9 3 4,75 4,425

Transzformcis lpsek:

1. h(x) = |x |

2. g(x) =4

3|x|

3. f(x) = 4

3|x|

Definci szerint:

f(x) =

3 egyenltlensget!

Megolds:

A keresett intervallumok:x1 < 8 vagyx2 > 2.

Feladat

12. Oldd meg grafikusan a kvetkezegyenltlensgeket!

a) 12|| x ; b) 43||x ; c) 5|4|


52/226


Mintaplda14

Oldjuk meg az |x 2 | 4 = 2

1x + 2 egyenletet!

1. megolds (grafikus):

A keresett rtkek: 81 =x , 52 x .

2. megolds (algebrai):

Az abszoltrtk defincijt alkalmazzuk (esetsztvlaszts):

I.x 2 0 eset: 2|2| =xx behelyettestssel addik:

x 2 4 = 2

1x + 2, ebblx1=

3

15

3

16=

II.x 2 < 0 eset: ( )2|2| = xx behelyettestssel addik:

(x 2 ) 4 = 2

1x + 2, ebblx2= 8

A megolds teht 8,3

15 21 == xx .

Mintaplda15

Oldjuk meg grafikusan a |x 2 | 4 2

1x + 2 egyenltlensget!

Megolds:

A metszspontokxkoordintjt az elzmintapldban mr

meghatroztuk.

A keresett intervallumok:

x< 8 vagy

3

15


53/226


Mintaplda16

Oldjuk meg grafikusan a |x 2 | 4 < 2

1x + 2 egyenltlensget!

Megolds:A metszspontokxkoordintjt a 13. mintapldban mr

meghatroztuk.


8 x3

15 .

Feladatok

13. Oldd meg grafikusan a kvetkezegyenltlensgeket, egyenletet!

a) 25|2| 4 .

Mintaplda16

Sznezzk ki azon pontok halmazt, melyek koordintira teljesl, hogy |x | < 4 s |y | < 2! A

sznezshez hasznljuk fel a 15. feladatban lertakat!

Megolds:


54/226


Feladatok

16. Oldd meg grafikusan a kvetkezegyenleteket, egyenltlensgeket!

a) 3||

2

182 = xx ; b) 3

3

23||

2

1+= xx ;

c) 33

23||

2

182 + xx vagy 3

3

23

2

1+ xx .

17. Oldd meg grafikusan a kvetkezegyenleteket, egyenltlensgeket!

a) 62

35|3|2 +>+ xx ; b) ||2|| xx ;

c) 1|5|7|8| < xx ; d) 3|5|2|4| xx ;

e) 3|||3| =xx .

18. Sznezd ki a megadott tartomnyokat gy, hogy ha az egyenlsg megengedett, akkor

a tartomny hatra a tartomny szne legyen, mivel a tartomny hatrvonala is

beletartozik a megoldshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete sznlegyen!

a) |x| < 4 s |y| 2; b) |x| 4 s |y| > 2; c) |x| 4 s |y| 2.


55/226


Kislexikon

Pozitv szm abszoltrtkemaga a szm, negatv szm abszoltrtke a szm ellentettje,

ami pozitv szm. |0|=0.


56/226


57/226

13. MODUL

MSODFOKFGGVNYEK



58/226


I. A msodfok alapfggvny defincija,grafikonja s tulajdonsgai

A msodfok alapfggvny

Minden vals szmhoz rendeljk hozz a ngyzett! Ekkor a hozzrendelsi utastsf (x) =x2

alakban rhat fel. Adjunk meg tblzatban nhny rtket :

x 16 10,5 5 4 2

31 0,63 0 1

3

2 2 3 11,3

f (x) 256 110,25 25 164

9 1 0,3969 0 1

9

4 4 9 127,69

Mivel minden szm ngyzete nemnegatv, ezrt az f (x) = x2fggvny rtkkszlete a nem-

negatv vals szmok halmaza. Ha koordinta-rendszerben brzoljuk az sszes olyan rtk-

prt, amelynek elstagja egy tetszleges vals szm, msodik tagja pedig annak ngyzete, a

kvetkezgrbt kapjuk:

Ennek a grbnek a neve parabola. Az brn lthat, hogy a

msodfok fggvny grafikonja szimmetrikus az y tengelyre,

hiszen x2 = (x)2. A parabola szimmetriatengelyn lv pontjt

tengelypontnak nevezzk.

Msodfok hozzrendelsi utastssal tallkozhatunk az aoldal

ngyzet terletnek, ill. az a oldal kocka felsznnek

kiszmtsakor, de a fizikban is tallkozunk vele a szabadess s

az egyenletesen gyorsul test mozgst ler tidkapcsolatnl.

A msodfok alapfggvny tulajdonsgai

1. Monotonits

Ha x 0, akkor nvekvx rtkekhez cskken fggvnyrtkek tartoznak. Ezrt a

fggvny ezen a tartomnyon szigoran monoton cskken.

Hax 0, akkor nvekvxrtkekhez nvekvfggvnyrtkek tartoznak. gy a fggvnyt

ezen a tartomnyon szigoran monoton nvekv

neknevezzk.


59/226

13. modul: MSODFOK FGGVNYEK 59

2. Zrushely

Az rtelmezsi tartomnynak azon eleme, ahol a fggvnyrtk 0. Azf(x) = x2fggvnynek

az x = 0 pontban zrushelye van. Ez szemlletesen azt is jelenti, hogy a fggvny

grafikonjnak ezen a helyen kzs pontja van azxtengellyel.

3. Szlsrtk

Az f (x) =x2fggvny a 0 helyen a 0 rtket veszi fel, az sszes tbbi helyen pozitv. Ezrt az

f fggvnynek az x = 0-ban szlsrtke, nevezetesen minimuma van. Mskppen: az

ffggvny az rtelmezsi tartomnynakx= 0 helyn veszi fel a legkisebb fggvnyrtkt.

Tekintsk ag(x) = x2 fggvnyt! Adjunk meg tblzatban nhny rtket, s ezek

segtsgvel brzoljuk a fggvnyt!

x 16 10,5 5 4 2

31 0,63 0 1

3

2 2 3 11,3

g (x) 256 110,25 25 16 4

91 0,3969 0 1

9

4 4 9 127,69

Agfggvny a 0 helyen a 0 rtket veszi fel, az sszes tbbi helyennegatv. Ezrt a g fggvnynek az x = 0 helyen szlsrtke,

nevezetesen maximumavan. A gfggvny nempozitvx-ek esetn

szigoran monoton nvekv, nemnegatv x-ekre pedig szigoran

monoton cskken. Mskppen: a g fggvny az rtelmezsi

tartomnynakx = 0 pontjban veszi fel a legnagyobb rtkt.

Mintaplda1

Az f (x) = ( x 3 )2 + 2 hozzrendelsi utasts alapjn tltsk ki az rtktblzatot, illetve

hasznljuk a tanult jellseket! Figyeljnk arra, hogy a fggvny egy adott fggvnyrtket

0, 1 vagy 2 helyen is felvehet. Szmts eltt tippeljk meg az adott fggvnyrtkhez tartoz

xhelyek szmt!


60/226


a)

x 0 2 3 4,5 6

f (x)

b)x

f (x) 1 2 4,25 3 6

Megolds:

a) Fggvnyrtkek kiszmtsa:

f( 0 ) = ( 0 3 )2 + 2 = ( 3 )2 + 2 = 9 + 2 = 11

f( 4,5 ) = ( 4,5 3 )2 + 2 = ( 1,5 )2 + 2 = 2,25 + 2 = 4,25A tbbi fggvnyrtket is ehhez hasonlan kell kiszmtani.

Az eredmny:

x 0 2 3 4,5 6

f(x) 11 3 38 4,25 11

b)xrtkek kiszmtsa:

f(x) = 1 Tipp azxhelyek szmra: 0

Gondolkozzunk! Az (x 3)2 eljele pozitv, ezrt a fggvny

grafikonja felfel nylik. Ez mutatja, hogy minimuma van. Az

utna kvetkez +2 miatt ez a minimumrtk +2, teht ennl

kisebb rtket nem vehet fel. gy f (x) = 2 fggvnyrtket

egyetlen helyen fogja felvenni, a tbbit kt helyen.

(x 3)2 + 2 = 1

(x 3)2 = 1 Ellentmonds, mert egy szm ngyzete 0 vagy pozitv.

f(x) = 2 A fenti tipp ellenrzse

(x 3)2 + 2 = 2

(x 3)2 = 0

x 3 = 0

x= 3


61/226


f(x) = 3 A fenti tipp ellenrzse

(x 3)2 + 2 = 3

(x 3)2= 1

==

==

213

413

2

1

xx

xx

A tovbbixrtkeket is ehhez hasonlan lehet kiszmtani.

Az eredmny:

x 0 1,5; 4,5 4; 2 5; 1

f (x) 1 2 4,25 3 6

Feladatok

A 2. s a 3. feladatban figyelj arra, hogy a fggvny egy adott fggvnyrtket 0, 1 vagy 2

helyen is felvehet. Szmts eltt tippeld meg az adott fggvnyrtkhez tartoz x helyek

szmt! Szmtsodat grafikonon ellenrizheted.

1.Adott hozzrendelsi szably alapjn tltsd ki az rtktblzatot, illetve a tanult

jellseket hasznlva szmtsd ki a fggvnyrtkeket a megadott helyeken!

a) a(x) = x2 + 3

x 6 5 2 0 1

a(x)

b) b(x) = (x 4 )2 + 3

x 0 2 4 4,5 6

b(x)

c) c(x) = 2x2 8

c(2 ) = ?; c(2

1 ) = ?; c(

2

3) = ?; c( 1 ) = ?; c ( 2 ) = ?

d) d(x) =4

1x2 2

d(1 ) = ?; d( 0 ) = ?; d( 2 ) = ?; d(2

1) = ?; d( 4 ) = ?


62/226


e) e(x) = 2

1x2 + 4

e(2 ) = ?; e( 0 ) = ? ; e(1,24) = ?

f) f (x) = 3 (x+ 2)

2

f(2

3

2) = ?; f( 0 ) = ?; f(0,1) = ?

g)g(x) = (x+ 3)2

g(6) = ?; g( 5 ) = ?; g(2) = ?; g( 0 ) = ?; g( 1 ) = ?

h) h(x) = 3

1(x+ 3)2

h(6) = ?; h(5) = ?; h( 2 ) = ?; h( 0 ) = ?; h( 1 ) = ?

i) k(x) = (x 4)2 5

k(8) = ?; k(2) = ?; k ( 3 ) = ?

j) l(x) = (x+ 1)2 + 1

l(3) = ?; l( 0 ) = ?; l( 1,75 ) = ?

2. Adott hozzrendelsi szably alapjn tltsd ki az rtktblzatot, illetve a tanult

jellseket hasznlva szmtsd ki a fggvnyrtkekhez tartozxhelyeket!

a) a (x)= x2 + 3

x

a (x) 0 2 4 3 6

b)b (x) = (x 4)2 + 3

x

b (x) 1 2 3 4,25 6

c) c(x) = 2x2 8

x= ?, ha c(x) = 0; 10; 8; 4,5; 9.

d) d(x) =4

1x2 2

x= ?, ha d(x) = 0; 4; 2;16

31 ; 1.


63/226


e) e(x) = 2

1x2 + 4

x= ?, ha e(x) = 5; 4;2

3; 0; 0,5.

f)f (x) = (x+ 3)2

x= ?, haf(x) = 5; 3; 0; 1;3

2.

g)g(x) = 3 (x+ 2 )2

x= ?, hag(x) = 33

1; 3;

3

4; 0; 0,5.

h) h(x) = 3

1(x+ 3)2

x= ?, ha h (x) = 3; 0;9

1 ; 1;

3

5 .

i) k(x) = (x 4)2 5

x= ?, ha k(x) = 4; 0;1; 5; 6.

j) l(x) = (x+ 1)2 + 1

x= ?, ha l(x) = 2; 1;2

3; 0; 4.

3.Adott hozzrendelsi szably alapjn tltsd ki az rtktblzatot!

a)f(x) = (2x)2 1

x 2 0 4

f (x) 0 2 1 4 1

b)g(x) =

3

2(x 3)2

x 5

6 0 0,75

g (x) 1 03

5 3

3

10


64/226


4.Egy 4 m szles, 3 m magas kamion szeretne thajtani az alagton, mgpedig az autt

kzepn haladva. Az alagt formja kveti az f (x) = 2

1x2 + 4 msodfok fggvny

grafikonjt, ha az egysg mindkt koordintatengelyen 11 mter. t tud-e menni a

kamion az alagton?

5.Egy 10 m magas rboc vitorls megksreln az tkelst a 38 m szles folyn tvel

hd alatt. A vitorls szlessge 2 m. A hd ve kveti azf(x) = 32

1x2 + 12 msodfok

fggvny grafikonjt, ha az egysg mindkt koordintatengelyen 11 mter. t tud-e

szni a vitorls a hd alatt a foly kzepn? t tude kelni a foly partjtl 10 m-re?

(A vitorls rboca 10 m-re van a parttl.)

6. A Lucullus tengerjr haj t szeretne kelni a Seholsincs-szoroson. A haj 7 mterre

sllyed a tenger szintje al. A szlessge pedig 10 m a tengerszinten. t tud-e kelni a

haj a szoroson, ha a tengerszoros medrnek ve kveti az f (x) =2

1x2 8 fggvny

grafikonjt, s az egysg mindkt koordintatengelyen 11 mter?

7. Peti elhajtja a labdjt. A labda mozgsnak ve az f (x) =

4

1x2 + 2 msodfok

fggvny grafikonjt kveti , s az egysg mindkt koordintatengelyen 11 mter. Peti

180 cm magas, s a fejvel egy magassgbl indtja a labdt, vagyis 1,8 mter

magassgbl. Hny mtert repl elre a labda, amikor ismt olyan magassgba kerl,

ahonnt elindult?

8. Egy mugr bajnok 10 m magasbl ugrik a vzbe. Hny msodperce van a gyakorlata

vgrehajtsra, mieltt beleesne a vzbe? (s = (g/2)t2, aholg= 9,81 m/s2)

9. Egy ember vitorlzreplvel szeretne leereszkedni a domb tetejrl a vlgybe. Milyen

magas (km-ben megadva) a domb, ha a domb oldala s a vlgy az f (x) = (x 5)2

fggvny grafikonjt kveti, s az egysg mindkt koordintatengelyen 11 kilomter?

A domb tetpontjnak talppontja (tetpontxtengelyre val vetlete) s a vlgy aljnak

a tvolsga 0,5 km.

10. Hnyszorosra vltozik a ngyzet terlete, ha az oldalait msflszeresre nveljk?Kszts rtktblzatot, illetve grafikont a vltozs mrtke s a terlet kapcsolatrl!


65/226


II A msodfok alapfggvny transzformcii

1. brzoljuk kzs koordinta-rendszerben, illetve rtktblzattal az f(x) =x2,

a g (x) =x2 3,illetve h(x) =x2 + 2 fggvnyek grafikonjait! Az brzolshoz

felhasznlhatjuk az elksztett rtktblzatot.

sszehasonltjuk a megfelelfggvnyrtkeket:

x 4 3 2 1 0 1 2 3 4

g(x) 13 6 1 2 3 2 1 6 13

h(x) 18 11 6 3 2 3 6 11 18

Ha az f fggvny rtkeibl 3-at vonunk ki, akkor a g fggvny

rtkeit kapjuk meg, ha pedig 2-t adunk hozz, akkor a hfggvny

lesz az eredmny. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolst is

jelent 3, illetve +2 egysggel.

ltalnossgban: a g (x) = x2 + v (v 0tl klnbz, tetszleges

vals szm) fggvny grafikonjt azf(x) =x2fggvny grafikonjbl

gy kapjuk, hogy f grafikonjt eltoljuk az y tengely mentn | v |

egysggel v < 0 esetn lefel, v > 0 esetn felfel.

2.brzoljuk kzs koordinta-rendszerben azf(x) =x2, a g(x)=

(x+ 1)2, illetve a

h(x) = (x 2)2fggvnyek grafikonjait! Az brzolshoz

felhasznlhatjuk az elksztett rtktblzatot.


66/226


sszehasonltjuk a megfelelfggvnyrtkeket:

x 4 3 2 1 0 1 2 3 4f (x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16

g (x) 9 4 1 0 1 4 9 16 25

x 4 3 2 1 0 1 2 3 4f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16h (x) 36 25 16 9 4 1 0 1 4

Az rtktblzatbl lthat, hogy a g fggvny az rtkeit 1 egysggel korbban veszi fel,

mint az f fggvny. Ez azt jelenti, hogy a g fggvny grafikonjt gy kapjuk meg az

f fggvny grafikonjbl, hogy azt eltoljuk az x tengely mentn 1 egysggel, mskpp

fogalmazva, negatv irnyba 1 egysggel.

A h fggvny az rtkeit 2 egysggel ksbb veszi fel, mint az f fggvny. A h fggvny

grafikonjt pedig az ffggvny grafikonjnak x tengely menti 2 egysggel, pozitv irnyba

trtneltolsval kapjuk meg.

ltalnossgban: ag(x) = (x+ u)2(u 0tl klnbztetszleges

vals szm) fggvny grafikonjt azf(x) =x2fggvny grafikonjbl

gy kapjuk, hogy f grafikonjt eltoljuk az x tengely mentn | u |egysggel u eljelvel ellenttes irnyba: u< 0 esetn pozitv, u> 0

esetn negatv irnyba.


67/226


68/226


Mintaplda2

brzoljuk koordinta-rendszerben, s jellemezzk az f (x) = (x + 1)2 hozzrendelsiutastssal megadott fggvnyt!

Megolds:

A transzformci lpsei:

1. h(x) =x2 alapfggvny brzolsa

2.g(x) = (x+ 1)2 heltolsa azxtengely

mentn balra, 1 egysggel.

3.f(x) = (x + 1)2gtkrzse azxtengelyre.

rtktblzattal:

x 4 3 2 1 0 1 2 3 4f (x) 9 4 1 0 1 4 9 16 25

Jellemzs:

.T.:x R.

.K.:f(x) R {0} (vagy: a nempozitv szmok halmaza).

Zrushely:x= 1 helyen.

Monotonits: x0 esetn szigoran monoton nvekv.

x0 esetn szigoran monoton cskken.

Szlsrtk:x= 1 helyen maximuma van. A maximumrtk:f(1) = 0.


69/226


Mintaplda3

brzoljuk koordinta-rendszerben, s jellemezzk azf(x) = 23

1x hozzrendelsi utastssal

megadott fggvnyt!

Megolds:

A transzformci lpsei:1.g(x) =x2 alapfggvny brzolsa

2.f(x) = 23

1x g minden fggvnyrt- knek

3

1- szorosra vltoztatsa (y tengely

menti zsugorts)

rtktblzattal:

x 4 3 2 1 0 1 2 3 4

f (x)3

16 3

3

4

3

1 0

3

1

3

4 3

3

16

Jellemzs:

.T.:x R.

.K.:f(x) R:f(x) 0 (vagyf(x) [ 0; + [ ).

Zrushely:x= 0 helyen.

Monotonits:

x0 esetn szigoran monoton cskken.

0


70/226


Mintaplda4

brzoljuk koordinta-rendszerben, s jellemezzk az f (x) =2

3 x2 + 2 hozzrendelsi

utastssal megadott fggvnyt!

Megolds:


1. l(x) =x2 alapfggvny brzolsa

2/a. h(x) =2

3x2 minden fggvnyrtket

2

3szeresre

vltoztatunk. (ytengely menti nyjts)vagy

2/b.h(x) = x2 xtengelyre tkrzs

3.g(x) =2

3 x2 a 2. lpstl fggen a h fggvny grafikonjt

vagy tkrzzk azxtengelyre, vagy2

3

szeresre nyjtjuk.

4.f(x) =2

3 x2 + 2 gfggvny grafikonjnak eltolsa azytengely mentn pozitv irnyba 2

egysggel.

rtktblzattal:

x 4 3 2 1 0 1 2 3 4

f (x) 222

23 4

2

1 2

2

1 4

2

23 22

Jellemzs:

.T.:x R.

.K.:f(x) R:f( ) 2.

Zrushely:x1 =3

2 illetvex2 =

3

2helyen.

Monotonits:

x0 esetn szigoran monoton nvekv.

0 xesetn szigoran monoton cskken.

Szlsrtk:x= 0 helyen maximuma van. A maximumrtk:f ( 0 ) = 2.


71/226


Mintaplda5

brzoljuk koordinta-rendszerben, s jellemezzk azf(x) = 8)6(2

1 2 + x hozzrendelsi

utastssal megadott fggvnyt!

Megolds:


1. l(x) = 2x alapfggvny brzolsa

2. h(x) = 2)6( x az lfggvny grafikonjnak

eltolsax tengely mentn

pozitv irnyba 6 egysggel.

3.g(x) = 2)6(2

1 x a hfggvny grafikonjnak

2

1-szeresre vltoztatsa, majd

tkrzse azxtengelyre.

4.f(x) = 8)6(2

1 2 + x agfggvny grafikonjnak eltolsa azxtengely mentn 8

egysggel felfel

Jellemzs:

.T.:x R.

.K.:f (x) R:f(x) 8.

Zrushely:x1 = 2, illetvex2 = 10 helyen.

Monotonits: x6 esetn szigoran monoton nvekv.

6 xesetn szigoran monoton cskken.

Szlsrtk:x= 6 helyen maximuma van. A maximumrtk:f( 6 ) = 8.


72/226


Feladatok

11. Az albbi csoportokban 33 lltst olvashatsz ugyanarrl a tulajdonsgrl vagy

transzformcirl. Dntsd el, melyik kzlk a hamis! Vlaszodat indokold!

a) Tekintsk azf(x) =x2fggvnyt!

1. Az f fggvny grafikonjt a lineris fggvny grafikonjbl, az x tengely alatti

rsznek azxtengelyre trtntkrzsvel kapjuk.

2. Azffggvny grafikonjt parabolnak hvjuk.

3. Azf fggvny grafikonja szimmetrikus azytengelyre.

b) Tekintsk azf(x) =x2 + 3 hozzrendelsi utastssal megadott msodfok fggvnyt!.

1. Azffggvny a 3 rtket pontosan egy helyen, mgpedig azx= 0ban veszi fel.

2. Azffggvny sohasem vehet fel negatv fggvnyrtket.

3. Azffggvny a 2 rtket pontosan 2 helyen veszi fel.

c)

Tekintsk azf(x) =x2 + bhozzrendelsi utastssal megadott msodfok fggvnyt!.

1. Azffggvnynek pozitv besetn nincs kzs pontja azxtengellyel.

2. Azffggvnynek pozitv besetn pontosan egy kzs pontja van azxtengellyel.

3. Azffggvny negatv besetn pontosan kt kzs pontja van azxtengellyel.

d) Tekintsk az f (x) = x2, a g (x) = (x + 5)2, illetve a h (x) = x2 + 5 hozzrendelsi

utastssal megadott fggvnyeket!

1. Azgfggvnyt azfbl annakxtengely menti +5 tel val eltolsval kapjuk.

2. A hfggvnyt azfbl annakytengely menti, +5 tel val eltolsval kapjuk.

3. Azgfggvnyt azfbl annakxtengely menti, 5 tel val eltolsval kapjuk.

e) Tekintsk az f (x) = (x 3)2 + 2 hozzrendelsi utastssal megadott msodfok

fggvnyt!

1. Az f fggvnynek a 3 helyen van szlsrtke. Az ebben a pontban felvett

fggvnyrtk 2.2. Azffggvnynek aP( 3; 2 ) pontban minimuma van.

3. Azffggvnynek aP( 3; 2 ) pontban maximuma van.

f) Tekintsk azf(x) = ax2hozzrendelsi utastssal megadott msodfok fggvnyt!

Azffggvnynek negatv artkek esetn minimuma van.

Azffggvnynek negatv artkek esetn maximuma van.

Azffggvnynek pozitv artkek esetn minimuma van.


73/226


12.brzold koordinta-rendszerben, s jellemezd az albbi hozzrendelsi utastsokkal

megadott fggvnyeket! Az brzolshoz hasznlhatsz rtktblzatot is.

a)f(x) =x2 + 1; b)f (x) =x2 3; c)f(x) = x2; d)f (x) = (x+ 3)2;

e)f(x) = x2 + 7; f)f(x) = (x+ 5)2; g)f(x) = (x 3)2; h)f(x) = 2x2;

i)f(x) = 24

1x ; j)f(x) = 2

2

1x .


megadott fggvnyeket! Az brzolshoz hasznlhatsz rtktblzatot is.

a)f(x) = (x+ 3)2 + 2; b)f(x) =41 (x 5)2; c)f(x) = (x+ 3)2 5;

g)f(x) = (2x)2 6; h)f (x) = ( 62

1+ x )2; i)f (x) = (

2

3x)2 + 1.


megadott fggvnyek grafikonjt! Az brzolshoz hasznlhatsz rtktblzatot is.

a)f (x) = 3 (x+ 3)2

+ 2; b)f(x) = 4

1

(x 5)2

+ 1; c)f(x) = 2

3

(x+ 1)2

6;

d)f (x) =2

3 (x 4)2 2; e)f(x) = 2 (x+ 2)2 3; f)f(x) = 10)3(

2

1 2 +x ;

g)f(x) = |x2 4 | ; h)f(x) = |x 4 |2; i)f(x) = | x2 + 6 |.

Mintaplda6

lltsuk sorrendbe az albbi geometriai transzformcikat gy, hogy az

g(x) = (x 10)2 + 7 hozzrendelsi utastssal megadott fggvny grafikonjt kapjuk az

alapfggvny grafikonjbl!

Megolds:

Egyik lehetsg: Msik lehetsg:

1.xtengely menti eltols 1.xtengelyre trtntkrzs

2.xtengelyre trtntkrzs 2.xtengely menti eltols

3.ytengely menti eltols 3.ytengely menti eltols


74/226


Megjegyzs:Az elslehetsg egy ltalnos rvnysorrend. Ha a behelyettestsi lpsek

sorrendjt kvetjk a megfelelgeometriai transzformciban, akkor biztosan j az eljrs.

15. lltsd sorrendbe az albbi geometriai transzformcikat gy, hogy a kvetkez

hozzrendelsi utastsokkal megadott fggvnyek grafikonjt kapjad az alapfggvny

grafikonjbl!

Geometriai transzformcik:

xtengely menti eltols

y tengely menti eltols

xtengelyre tkrzs

ytengely menti zsugorts/nyjts

Fggvnyek:

a (x) =x2 5; b(x) = (x 5)2; c(x) = x2 + 3;

d(x) = 3x2; e(x) = 3

2x2 + 6; f(x) = (x+ 6)2.

Mintaplda7

lltsuk sorba az albbi geometriai transzformcikat gy, hogy a g(x) = 3

2

(x + 2)

2

6

hozzrendelsi utastssal megadott fggvny grafikonjt kapjuk az alapfggvny grafikon-

jbl!

Megolds:

Elslehetsg: (ez a sorrend ltalnos rvny)

1.xtengely menti eltols

2.xtengelyre trtntkrzs

3.ytengely menti zsugorts, nyjts (Megjegyzs:a sablon hasznlata miatt clszer

elbb tkrzni, s csak utna zsugortani vagy nyjtani.)

4.ytengely menti eltols

Tbbi lehetsg: az elshrom transzformci sorrendje tetszlegesen felcserlhet. Ez

tovbbi 5 lehetsges sorrendet eredmnyez. (321 1 = 3! 1 = 5 )


75/226


16. lltsd sorrendbe az albbi geometriai transzformcikat gy, hogy a kvetkez

hozzrendelsi utastsokkal megadott fggvnyek grafikonjt kapjad az alap-

fggvny grafikonjbl!

Geometriai transzformcik:xtengely menti eltols

y tengely menti eltols

xtengelyre tkrzs

ytengely menti zsugorts/nyjts

Fggvnyek:

a(x) = (x+ 4)2 + 7; b(x) = (x 2)2 6; c(x) = 3x2 1;

d(x) =21 (x 4)2; e(x) =

41 (x 1)2 + 2; f(x) = 4 (x+ 2)2 8.


76/226


III. Msodfok egyenletek, egyenltlensgekgrafikus megoldsa

Mintaplda8Oldjuk meg grafikusan a x2 + 3 = 6 egyenlsget!

Megolds:

A megoldsok a grafikonrl leolvashatk:

x1 = 3;

x2 = 3.

Behelyettestssel ellenrizhetjk a megoldst.

Mintaplda9

Oldjuk meg grafikusan az x2 3 6 egyenltlensget!

Megolds:


x13 vagyx2 3.

Mintaplda10

Oldjuk meg grafikusan a x2 + 3 > 6 egyenltlensget!

Megolds:

A keresett intervallum:

3


77/226


Feladat

17.Oldd meg grafikusan a kvetkezegyenltlensgeket!

a)x2 2 < 2; b) x2 + 6 3; c) (x+ 5)2= 1;

d) (x 2)22

1|x| 3

egyenltlensget!

Megolds:

A keresett intervallum:

2


78/226


Feladatok


a) (x+ 2)2 + 3 4x+ 8 b)

4

1(x 1)2 4 <

2

1x 1,5 c) 2x2 + 8

2

1|x| 1

d) 2 (x 3)2 > 2 |x 3 | e) 1 < (x+ 1)2 5 < 4

19. Sznezd ki a megadott tartomnyokat gy, hogy ha az egyenlsg megengedett, akkor

a tartomny hatra a tartomny szne legyen, mivel a tartomny hatrvonala is

beletartozik a megoldshalmazba. Ha nem megengedett, akkor eltrsznlegyen!

a)x2 3 y b)x2 3 >y

Mintaplda14

Oldjuk meg grafikusan a 2x2 + 4 =x2+ 1 egyenlsget!

Megolds:

a) A megolds a grafikonrl leolvashat:x1 = 1;x2 = 1

b) Ezt az egyenletet algebrai ton is knnymegoldani:

trendezssel kapjuk: 3 = 3x2

1 =x2

ebblx1 = 1;x2 = 1

Mintaplda15

Oldjuk meg grafikusan a 2x2 + 4 x2+ 1 egyenltlensget!

Megolds:


x1, illetvex1

Szintn j megoldst kapunk, ha brzols eltt nullra rendezzk az egyenltlensget.

Ekkor csak egyetlen msodfok fggvnyt kell brzolnunk, s azt vizsgljuk, hogy hol

vesz fel nem negatv (pozitv vagy 0) fggvnyrtkeket.


79/226


Feladatok


a) (x 4)2 + 3

4

1(x 4)2 b) 2x2 + 6 y b) x2 + 5


80/226


Kislexikon

A msodfok alapfggvny:Minden vals szmhoz rendeljk hozz a ngyzett! Ekkor a

hozzrendelsi utastsf(x) =x2alakban rhat fel.

A kapott grbe neve parabola. Az brn lthat, hogy a msodfok fggvny grafikonja

szimmetrikus az y tengelyre. A parabola szimmetria tengelyn lvpontjt tengelypontnak

nevezzk.

A fggvnytranszformcikrl ltalnosan:

Eltols azytengely mentn:

Ag(x) =f(x c) (c> 0) fggvny grafikonjt gy kapjuk meg azffggvny grafikonjbl,

hogy a grbt eltoljuk azxtengely mentn cegysggel. (Ha c > 0 pozitv irnyba, ha c < 0,

akkor negatv irnyba.)

Eltols azxtengely mentn:

Ag(x) =f(x) + c (c> 0) fggvny grafikonjt gy kapjuk meg azffggvny grafikonjbl,

hogy a grbt eltoljuk azytengely mentn cegysggel. (c > 0 esetn pozitv irnyba, c < 0

esetn negatv irnyba.)

Tkrzs azytengelyre:

Ag(x) = f(x) fggvny grafikonjt gy kapjuk meg azffggvny grafikonjbl, hogy a

grbt tkrzzk azxtengelyre.

Tkrzs azytengelyre:

Ag(x) = |f(x)| fggvny grafikonjt gy kapjuk meg azffggvny grafikonjbl, hogy azokat

a grbedarabokat, aholfnegatv rtket vesz fel, tkrzzk azxtengelyre.

Nyjts, zsugorts:

Ag(x) = cf(x) (c> 0) fggvny grafikonjt gy kapjuk meg azffggvny grafikonjbl,

hogy a grbe minden pontjnakykoordintjt c-szeresre vltoztatjuk.


81/226

14. MODUL

VEKTOROK

Ksztette: Vidra Gbor


82/226


I. Vektor fogalma, tulajdonsgai

A vektorokat rsban alhzssal (a), nyomtatsban megvastagtva (a) jelljk. A vektor

meghatrozsa utn ttekintjk a vektorok tulajdonsgait.

Vektor abszoltrtke:

A vektorok kezdpontjukkal s vgpontjukkal kijellnek egy irnyt s

egy tvolsgot. A tvolsgot a vektor hossznak vagy

abszoltrtkneknevezzk (jele |a | ), s mindig valamilyen hosz-szsgegysghez viszonytjuk.

Mintaplda1

Szmtsuk ki az brn szereplvektorok abszoltrtkt!

Megolds:

A koordinta-rendszer derkszgngyzetrcsa s a Pitagorasz-ttel segtsg-

vel vgezzk a szmtst:

3761 22 = , azaz |a| 1,637= egysg.

Hasonlan szmtva |b| 1,750= egysg.

Vektor llsa, irnya

Ha kt vektor egyenese prhuzamos, akkor megegyezllsnakmondjuk ket. Ezek az

egyllsvektorok lehetnek azonosvagy ellentett irnyak, irnytsak.

Vektornak nevezzk az irnytott szakaszt.


83/226

14. modul: VEKTOROK 83

Vektorok egyenlsge:

A vektorok egyenlsge s azonossgaklnbz fogalmak. Kt vektor azonos, ha kezd-

pontjaik s vgpontjaik pronknt megegyeznek, jells: a b. Egy adott vektorral azonos

vektor a skon vagy a trben ugyanott helyezkedik el. Ezzel szemben egy adott vektorral

egyenlvektort a sk vagy tr brmely pontjbl felmrhetnk, gy egy adott vektorral egyen-

lvektorbl vgtelen sok van.

Egysgvektor(e): egysgnyi hosszsg vektor.

Nullvektor(0): 0 hosszsg vektor. Defincija: olyan vektor, amelynek megegyezik a kez-

dpontja s a vgpontja. Irnyt tetszlegesnek tekintjk.

Az avektor ellentettjneknevezzk azt a vektort, amelyik vele egyenl

abszoltrtk, egyezlls, de vele ellenttes irny. Jellse: a.

Feladatok

1.Keress egyenl, ellentett s azonos vektorokat a kockn s a szablyos hatszgn!

Kt vektor egyenl, ha hosszuk s irnyuk megegyezik.


84/226


2. Keress egyenl, egyenlhosszsg, illetve ellentett vektorokat az brn!


85/226


II Vektormveletek

Vektorok sszeadsa

Toljuk el azABChromszget elbb az a, majd a b vektorral!

A kt eltols egymsutnjt helyettesthetjk egyetlen eltolssal is. Ennek vektort a kt vek-

tor sszegnek nevezzk.

Kt vektor sszegt ktfle mdszer szerint szerkeszthetjk meg:

a) hromszg mdszer: azavgpontjbl mrjk fel a bvektort; ekkor az a + bvektor az

akezdpontjbl a bvgpontjba mutat.

b) paralelogramma mdszer: azas bvektorokat kzs kezdpontbl mrjk fel, kieg-

sztjk paralelogrammv; ekkor az a + bvektora paralelogramma kzs kezdpont-

bl kiindul tl vektora.

a b


86/226


Tbb vektor sszeadsnl hasznlhat a lncszably:

Egy avektor s a nullvektor sszege az avektorral egyenl: a + 0 = a.

Mintaplda2

Msold t a fzetedbe az a, a bs a cvektort, s szerkeszd

meg az albbi vektorokat:

a) a+ b; b) b+ a; c) a+ b+ c;

d) a+ (b+ c); e) (a+ b) + c !

Megolds:

a) b)

c) d)

e)

Tapasztalat: a vektorok sszeadsa

kommutatv: a+ b= b+ a, s

asszociatv: a+ b+ c= ( a+ b) + c= a+ ( b+ c ) mvelet.


87/226


A vektorok sszeadst hasznljuk pldul vektor sszetevkre bontsakor a fizikban.

A sznkt hz szemly a ktlen keresztl Fert gyakorol a sznkra. Ennek az ernek a

vzszintes komponense (Fv) a gyorstsra fordtdik, fggleges komponense (FF) a test talaj-

ra hat nyomerejt cskkenti. Ffelbonthat erre a kt komponensre!

Vektorok kivonsa

Laci Prizsbl Budapestre repl, Berlin rintsvel. tjnak vektorait bejelltk. Felrhatjuk,

hogy a= b+ c. Ha a cvektort akarjuk kifejezni as bsegtsgvel, vagyis az sszeg s az

egyik sszeadand segtsgvel rjuk fel a msik sszeadandt, akkor a kt vektor klnbs-

gt kpezzk: c= a b.

Az a b vektort gy is megszerkeszthetjk, hogy az avektorhoz hozzadjuk bellentett vek-

tort (bvektort).

A vektorok kivonsra nem teljesl sem a kommutativits, sem az asszociativits.

Az as bvektorok klnbsgt gy kpezzk, hogy kzs kezdpontbl mrjk fel

ket. A vgpontjaikat sszekt, a vgpontja fel mutat vektor az a bvektor.


88/226


Vektor szorzsa szmmal

Az brn az a, bs cvektorok kztt sszefggsek llapthatk

meg. Az ellenetett vektor defincijnl lttuk, hogy b= a.

cs bvektorok kztt a szmmal val szorzs teremt kapcsolatot:c vektor kt bsszeadsval keletkezett, gy is rhatjuk: c= 2b.

Az ellentett vektor helyett szorzssal a b = 1a sszefggst is

felrhatjuk. gy teht c= 2(1a)= 2a

Tovbbi pldk vektorok szorzsra:

Ha 0-val szorzunk egy vektort, nullvektort kapunk. 1-nl nagyobb abszoltrtk szmmal

megszorozva a vektor hossza nvekszik (nyjts), 0 s 1 kz esabszoltrtkszmmal

megszorozva cskken (sszenyoms).

A csupn szorztnyezjkben klnbzvektorokat egynemeknek tekintjk, gy azok sz-

szevonhatk: a+ 2a= 3a .Feladatok

3. Mi az sszefggs a bs b akztt?

4. Adj meg hrom vektort, s rajzold fel a b c, (a b) cs a (b c) vektorokat!

Segtsgkkel igazold, hogy a vektorok kivonsra nem teljesl az asszociativits (fel-

cserlhetsg)!

Az avektor k-szorosa (k R, vagyis kegy vals szm) az a vektor, amely-

nek hossza |k||a|, irnya pedig k>0 esetn airnyval megegyez,

k


89/226


5. Vegyl fel egy tetszlegesavektort, s szerkeszd meg a kvetkezvektorokat!

a) a+ 2a b) a 2a c) aa2

1 d) aa

2

5

2

1

e) a

a

+ 3 f) aa 2

1

g) a+ a h)

+ aa 2

1

2

1

6.Adott az bra szerint az a, bscvektor. Szerkeszd meg a kvetkezvektorokat!

a) a+ 2b b) a 2b c)3

2cb

d)2

cba e) bb)a +(

2

1 f)

2

22 cba

7.Add meg a vektormveletek eredmnyt (sszevons utn):

a) baba

+3

2 b)

+

2232

baba

c) b)b(ababa ++3

1

2

3

3

22 d)

+ bbaa 2)(

2

122

e)4

3

263

22

baba +

8.Adott egy szablyos hatszg egy cscsbl kiindul a s b

vektor. rd fel ezek segtsgvel a kvetkezvektorokat:

a) AG ; b) AD ; c) BE; d) FB ;

e) CE; f) BD ; g) DF;

9. A paralelogramma oldalvektorainak (as b)segtsgvel rd fel a kvetkezvektorokat, ha

a= DA , b= AB !

a) AH; b) AG ; c) EB ; d) BH.

Melyik vektort adja meg:

e) a b; f) a2

1

b; g) 2

1

ab?


90/226


10.Adott egy kt ngyzetbl ll tglalap, s egy cscsbl

kiindul a= AFs b= AB vektor. rd fel az a s a b

segtsgvel a kvetkezvektorokat (G,MsH

felezpontok):

a) AD ; b) AG ; c) AH;

d) JL ; e) IF; f) HK; g) CK; h) HJ.

11.Az as bvektorok 3 egysg hosszak, egymssal 60-os szget zrnak be. Mekkora

az a+bvektor hossza?

12.Az as b vektorok 5 egysg hosszak, egymssal 90-os szget zrnak be. Mekkora

az a + bvektor hossza?

13.Egy testre hat erk eredjt gy szerkesztjk meg, hogy a slypontjba mrjk fel a

testre hat sszes ert, majd ott sszeadjuk az ervektorokat. Szerkeszd meg a testekre

hat eredert!

a) b)

c)


91/226


Mintaplda3A testek mozgsnak vizsglatakor (dinamikai s kinematikai feladatokban) a kvetkez

modellt hasznljuk: a testet a tmegkzppontjval helyettestjk, s vizsgljuk az

erre hat erk eredjt. A tmegpontok nyugalomban vannak, vagyis a r hat erk

eredje zrus (Newton I. trvnye miatt; sszegk nullvektor). Szerkeszd meg a

kvetkeztestre hat hinyz ert!

Megolds:

Megszerkesztjk a piros s a kk ersszegt (lila vektor), s a

megoldst ennek az ellentett vektora adja (zld).

Feladatok

14. Szerkeszd meg a kvetkez, nyugalomban levtestekre hat hinyz ert!

15.A mhecskk koordinta-rendszerben lltsuk el az is jvektorok

segtsgvel a kvetkezvektorokat! Segtsgkppen hatrozd meg a

hatszg tlinak s oldalainak vektorait!

PldulBDvektor: BD= 3 (-j) + 2 (- (i+j)) = -5j i .

a) AC; b) CE; c) HI; d) AG ; e) FC; f) IE.


92/226


16.Az oszlopdiagramokon azokat a lpseket ltod, amelyeket egyms utn meg kell

tenned a koordinta-rendszerben isjvektorokkal (piros: i, zld:j; iazxirny

egysgvektor,jazyirny egysgvektor). Indulj ki az origbl, s mrd fel a

megfelellpseket! A vgn add meg annak a pontnak a koordintit, ahov rkeztl!

Plda:

a) b)

A diagram szerint i-vel 3 lpsjobbra (3i),j-vel 2 lps le (2j)stb. A vgn megrkeznk a (6; 0)

pontba.

3

2

1

0

-1

-2

lpsek

4

32

1

0

-1

-2

-3

lpsek

4

32

1

0

-1

-2

-3

lpsek


93/226


17.lltsd elaz i,js k(azAcscsbl az lfelezpontokba mutat) vektorokkal az

Acscsbl a kocka kt laptljnak negyedelpontjaiba mutat vektorokat!

18. O-bl azApontba az avektor,Bpontba a bvektor mutat. Ellltjuk az O-bl azAB

szakaszt 2 : 3 arnyban oszt Cpontba mutat cvektort:

5

23

5

)(25

52

baabaabaac ==+=+= AC

Hasonl mdon lltsd el(rd fel) az as bvektorok segtsgvelAB-t a megadott

arnyban oszt pontok koordintit (kszts brkat is):

a) 1 : 1 (felezpont) b) 1 : 2 (A-hoz kzelebbi harmadol pont)

c) 2 : 1 d) 3 : 2 e) 1 : 3

f) 4 : 5 g) 2 : 7 h) 3 : 4

19.Igazold, hogy tetszleges ngyszg kzpvonalnak

vektorra felrhat a2

bak= sszefggs.


94/226


Kislexikon

Vektor:irnytott szakasz, vagy az azzal jellemezhetmennyisg.

Vektor abszoltrtke(|a|):a vektor hossza.

Kt vektor egyenl,ha hosszuk s irnyuk megegyezik.

Egysgvektor (e):egysgnyi hosszsg vektor.

Nullvektor (0):0 hosszsg vektor. Defincija: olyan vektor, amelynek megegyezik a kez-dpontja s a vgpontja. Irnya tetszleges.

Vektor ellentettje:az a vektor, amelyik az adott vektorral egyenlabszoltrtk, egyez

lls, de vele ellenttes irny.

Kt vektor sszegtktfle mdszer szerint szerkeszthetjk meg:

a) hromszg-mdszer:az avgpontjbl mrjk fel a bvektort; ekkor a+ baz akez-

dpontjbl a bvgpontjba mutat;

b) paralelogramma mdszer:az as a bvektorokat kzs kezdpontbl mrjk fel, ki-

egsztjk paralelogrammv. a+ ba paralelogramma kzs kezdpontbl kiindul

tl vektora.

A vektorok sszeadsa kommutatv s asszociatv mvelet.

a s b vektorok klnbsgt gy kpezzk, hogy kzs kezdpontbl mrjk fel ket.

A vgpontjaikat sszekt, avgpontja fel mutat vektor az a bvektor.

A vektorok kivonsa nem kommutatv s nem asszociatv mvelet.

v vektor k-szorosa(k R, vagyis kegy vals szm) az a vektor, amelynek hossza |k||v|, ir-

nya pedig k> 0 esetn virnyval megegyez, k< 0 esetn virnyval ellenttes. k= 0 esetn

nullvektort kapunk.


95/226

15. MODUL

EGYBEVGSGITRANSZFORMCIK

Ksztette: Birloni Szilvia


96/226


I.A geometriai transzformci fogalma

A geometriai transzformcik

Ebben a fejezetben az rtelmezsi tartomny s az rtkkszlet is egy sk, illetve annak egy

rsze.

Hozzrendelsi szablyok:

1. Tengelyes tkrzs:

Adott egy tegyenes, a tengely, melynek minden pontjhoz nmagt rendeljk. A tegyenesre

nem illeszkedPponthoz azt a Ppontot rendeljk, amelyre igaz, hogy a tengely merlegesen

felezi a PPszakaszt

2. Kzppontos tkrzs:

Adott egy Opont, a kzppont, melynek kpe nmaga. A sk O-tl klnbz

Ppontjhoz azta Ppontot rendeli, amely az OPegyenesen van, s az Ofelezi a PPszakaszt.

3. Eltols:

Adott egy vvektor, azaz irnytott szakasz. A sk egy adott Ppontjnak kpe az a P pont,

amelyre igaz, hogy a PP'irnytott szakasz egyenla megadott vvektorral.

4. Merleges vetts:

Adott a skban egy e egyenes (tengely), melynek minden pontjhoz nmagt rendeli.

Az eegyenesre nem illeszkedbrmely Ppont kpe (vetlete) a Ppontbl az e egyenesre

bocstott merleges Ptalppontja.

5. Identits (azonos lekpezs):

Minden ponthoz nmagt rendeli. Ilyen pldul a v= 0vektorral val eltols.

Ageometriai transzformcikolyan fggvnyek, melyeknek rtelmezsi

tartomnya s rtkkszlete is ponthalmaz.


97/226

15. modul: EGYBEVGSGI TRANSZFORMCIK 97

Feladatok

1.Vgezd el a tengelyes s a kzppontos tkrzst a ngyzetrcs segtsgvel!

2.Legyen a hozzrendels szablya: )2;5();( yxyx a ! brzold az gy kapott zszl

kpt! Melyik geometriai transzformcit adtuk meg?


98/226


3. Legyen a hozzrendels szablya: )2;2();( yxyx a ! brzold az gy kapott

hromszg kpt! Milyen geometriai transzformcit vgeztl?

4.Vettsd merlegesen a vegyenesre a Ppontot s

azABszakaszt!

5.Adott a hzik hrom pontjnak kpe. Talld ki a hozzrendels szablyt s rajzold

meg a teljes alakzat kpt! Fogalmazd meg a hozzrendels szablyt!


99/226


6. Egy geometriai transzformci a piros ngy-

szget a kkbe viszi. Keresd meg a betkkel

jellt mozaiklapok kpt!

Milyen transzformcit vgeztl?

.


100/226


II. Transzformcik rendszerezse

A geometriai transzformcik tulajdonsgai

Egy geometriai transzformci egyenestart, ha brmely egyenes kpe is egyenes.

Tvolsgtart az olyan geometriai transzformci, amelynl brmely szakasz s kpnek

a hossza egyenl. Az ilyen transzformcikat egybevgsgi transzformciknak nevezzk.

Egy geometriai transzformci szgtart, ha brmely szg s kpe egyenlnagysg.

Megfordthatnak mondjuk a geometriai transzformcit, ha a hozzrendelsi szably s

a kp ismeretben egyrtelm

en el

llthat az eredeti alakzat.

A hasonlsgi transzformcik esetben az alakzatok formja vltozatlan marad, csak

a mretk vltozik.

Krljrsi irnyt megtart vagy krljrsi irnyt megvltoztat egy geometriai

transzformci aszerint, hogy alakzatnak s kpnek krljrsi irnya azonos vagy ellenttes.

Azokat a geometriai transzformcikat, amelyeknl nemcsak az alakzat mrete, hanem for-

mja is megvltozik torztnakmondjuk.

Egy geometriai transzformci esetn fixpontnak nevezzk azt a pontot, amelynek kpe

nmaga.

Fixalakzatnakaz olyan alakzatot mondjuk, amelynek minden pontja fixpont.

Azokat az alakzatokat, melyeknek kpe nmaga, invarins alakzatoknaknevezzk. Az in-

varins alakzatnak nem felttlenl minden pontja fixpont.


101/226


Egybevgsgi transzformcik tulajdonsgai:

1. Tengelyes tkrzs:

Tvolsgtart, szgtart. A tengely pontjai fixpontok, a tengely fixalakzat. A tengelyre mer-

leges egyenesek invarins alakzatok. Az alakzatok krljrsi irnya megvltozik.

2. Kzppontos tkrzs:

Tvolsgtart, szgtart. A kzppont fixpont. A kzpponton thalad egyenesek invarins

alakzatok. A kzpponton t nem halad egyenes s kpe prhuzamos egymssal. Az alak-

zatok krljrsi irnya nem vltozik.

3. Eltols:

Tvolsgtart, szgtart. Az eltols vektorval prhuzamos egyenesek invarins alakzatok.

Brmely egyenes s kpe prhuzamos egymssal. Az alakzatok krljrsi irnya nem

vltozik. Amennyiben az eltols vektora 0 (nullvektor), akkor minden pontja fixpont, ms

esetben nincs fixpontja.

4. Identits (azonos lekpezs):

Minden pontja fixpont.

Nem egybevgsgi transzformcik tulajdonsgai:

1. Merleges vetts:

Nem tvolsgtart s nem szgtart. A tengely pontjai fixpontok, az egyenes maga fixalakzat.

Nem egyenestart, mert a tengelyre merleges egyenes kpe egy pont. Torzt transzfor-mci. Nem megfordthat.

2. Kzppontos hasonlsg:

Nem tvolsgtart, de szgtart geometriai transzformci. Fixpontja a kzppont. A kzp-

ponton thalad egyenesek invarins alakzatok. A kzpponton t nem halad egyenes s

kpe prhuzamos egymssal. Megfordthat hozzrendels. Az alakzatok krljrsi irnya

nem vltozik.


102/226


III. Elforgats

A pont krli elforgats

Hozzrendelsi szably:Adott egy Opont, a kzppont, valamint az elforgats szge(nagysggal s irnnyal).

Az Opont kpe nmaga.

Tulajdonsgok:

Tvolsgtart (egybevgsgi transzformci)

Szgtart

A kzppont fixpont

Megfordthat

Alakzat s kpe azonos krljrsi irny

Hegyesszgvagy derkszgelforgatskor brmely egyenes s kpe az elforgats szg-

vel azonos szget zr be A 0-kal, 360-kal vagy egsz szm tbbszrsvel trtnelforgats azonos lekpezs

Feladatok

7. Vgezd el a pont krli elforgatst msolpapr segtsgvel a zszls mutat szerint!

A sk O-tl klnbzbrmely Ppontjnak a kpe az a Ppont, amelyre

'OPOP = s a 'POP szg nagysga s irnya az elforgats szge.


103/226


8. Forgasd el az alakzatokat az O kzppont krl a megadott forgsszggel! Sznezz

egymsnak megfelelszakaszokat illetve szgeket a kpen!

a) b)

9. Forgasd el az brn lthat hatszgeket az Opont krl + 60-kal msolpapr

segtsgvel!


104/226


IV. Elforgatst, szimmetrit alkalmaz feladatok

Feladatok

10.Forgasd el a megadott Opont krl a Tpontot s azNLszakaszt a megadott szggel!

11. Forgasd el a szablyos hromszget az Opont krl 45-kal!

12. Forgasd el a szget a cscsa krl 90-kal! Figyeld meg a szgszrakat! Milyen

szgprfajtt ltsz? Mire emlkszel ezzel kapcsolatosan?

O


105/226


13. Valamilyen pont krli elforgats a Tpontot a T -be vitte. Hol lehet a forgats kzp-

pontja?

14. Az AB szakasz elforgatott kpe AB. Hatrozd meg az elforgats kzppontjt s

szgt!

T

T


106/226


V.Forgsszimmetrikus alakzatok

A forgsszimmetria rendjtaz hatrozza meg, hogy hny olyan szg van a


107/226


108/226


VI. Trbeli transzformcik, szimmetrik

Feladatok

15.Geometriai transzformcit rtelmezhetnk a tr pontjaira is. A trben tkrzhetnk

skra, egyenesre vagy pontra. Emiatt trbeli alakzatok is lehetnek szimmetrikusak

(skra, egyenesre vagy pontra). llaptsd meg, mire szimmetrikusak az albbi testek!

16. Pros munka: Tartstok gy egy-egy kezeteket, hogy egyik a msiknak tkrkpe

legyen! Hasznljtok ehhez mindketttk bal kezt, majd egy jobb s egy bal kezet!

17.Egy trbeli alakzat forgsszimmetrikus, ha ltezik olyan tengely krli forgats, amely

az alakzatot nmagba viszi t. Ilyen pldul a kocka vagy a szablyos sokszg alap

egyenes hasb. Keress forgsszimmetrikus alakzatokat a

krnyezetedben! Hatrozd meg, milyen tengely krl, s hny

fokos szggel kell elforgatni ket, hogy nmagba menjenek t!


109/226


18. A fels sorban szerepl skidomok elforgatsval testek szrmaztathatk. Prostsd

ssze a megfeleltestet a hozz tartoz skidommal!

Keress forgssal szrmaztathat testeket! Rajzold le, milyen skidombl szrmaztathatk!

Trbeli szimmetrik

Geometriai transzformcik rtelmezhetk a tr pontjain is. Ilyenek pldul a skra vonatkoz

tkrzs, az egyenesre val trbeli tkrzs s az egyenes krli elforgats is.

Pldul a kocka s a gmb skszimmetrikus testek.

A ngyzetes oszlop, a krhenger s a forgskp forgsszimmetrikus testek.

Egy trbeli alakzat skszimmetrikus, ha van olyan sk, amelyre tkrzve,

az alakzat kpe nmaga.

Egy trbeli alakzat forgsszimmetrikus, ha ltezik olyan tengely krli

forgats, amely az alakzatot nmagba viszi t.


110/226


Geometriai transzformcik szorzata

Feladatok

19.Rajzolj egy hromszget s kt egymssal prhuzamos egyenest! Tkrzd egyms utn

a hromszget a kt egyenesre. Mit tapasztalsz? (Lehet-e helyettesteni a kt tkrzst

egyetlen transzformcival?

20.Rajzolj egy tglalapot! Forgasd el valamely cscsa krl elszr 45-kal, majd 30-kal!

Milyen transzformcival helyettestheta kt elforgats?

21.Rajzolj egy krt! Told el elszr az amajd a bvektorral! Tudnd-e egyetlen transz-

formcival helyettesteni a kt eltolst?

22. Rajzolj egyenlszr hromszget s kt, egymst metsz egyenest! Tkrzd a h-

romszget egyms utn a kt egyenesre tengelyesen! Helyettestsd a kt

transzformcit egyetlennel!

ab

Kt geometriai transzformci elvgzst egyms utn a kt transzformci

szorzatnaknevezzk.


111/226


Kislexikon

A geometriai transzformcikolyan fggvnyek, melyeknek rtelmezsi tartomnya s

rtkkszlete is ponthalmaz.

Kt geometriai transzformci elvgzst egyms utn a kt transzformci szorzatnak

nevezzk.

Egybevgsgi transzformcik:

Tengelyes tkrzs:

Adott egy tegyenes, a tengely, melynek minden pontjhoz nmagt rendeljk. A tegyenesre

nem illeszkedPponthoz azt a Ppontot rendeljk, amelyre igaz, hogy a tengely merlegesen

felezi a PPszakaszt

Kzppontos tkrzs:

Adott egy Opont, a kzppont, melynek kpe nmaga. A sk O-tl klnbzPpontjhoz azt

a Ppontot rendeli, amely az OPegyenesen van, s az Ofelezi a PPszakaszt.

Eltols:

Adott egy vvektor, azaz irnytott szakasz. A sk egy adott Ppontjnak kpe az a P pont,

amelyre igaz, hogy a PP'irnytott szakasz egyenla megadott vvektorral.

Pont krli elforgats:

A pont krli elforgatsnl adott egy Opont, a kzppont, valamint az elforgats szge

(nagysggal s irnnyal). Az Opont kpe nmaga.

A sk O-tl klnbzbrmely Ppontjnak a kpe az a Ppont, amelyre 'OPOP = s a 'POP

szg nagysga s irnya az elforgats szge.

Identits (azonos lekpezs):

Minden ponthoz nmagt rendeli. Ilyen pldul a v= 0vektorral val eltols.


112/226


Nem egybevgsgi transzformcikpldul: merleges vetts, kzppontos hasonlsg.

Egy skbeli alakzat forgsszimmetrikus, ha ltezik olyan 0-tl klnbzszgpont krli

elforgats, amely az alakzatot nmagba viszi t.

Egy trbeli alakzat forgsszimmetrikus, ha ltezik olyan tengely krli forgats, amely az

alakzatot nmagba viszi t.

Egy trbeli alakzat skszimmetrikus, ha van olyan sk, amelyre tkrzve, az alakzat kpe

nmaga.


113/226

16. MODUL

ALGEBRAIAZONOSSGOK

Ksztette: Darabos Nomi gnes s Vidra Gbor


114/226

114 MATEMATIKA A 9. VFOLYAM TANRI TMUTAT

I. Ismtlfeladatok

Sokszor elfordul a mindennapok sorn, hogy valamit terveznk, de konkrt adataink mg

nincsenek. Pldul vsrlskor bemegynk 1-2 boltba krlnzni, utna kivessznk pnzt az

automatbl. Hogy mennyi pnzt vesznk ki, az tbb dologtl is fgghet: milyenek az ignye-

ink, mennyi pnz van a szmln, sikerlt-e akcit kifogni. A fizikban az sszefggseket

kpletek rjk le, amelyekben llandk (pldul2s

m10g ), mennyisgek jelei (pl. t: id) s

mveletek tallhatk: 22t

gs= .

A betk hasznlatt mr megszoktuk a matematikban is (gondoljunk pldul a terletkple-

tekre). A szmokat, bet

ket s m

veleteket tartalmaz kpleteket kifejezseknek nevezzk.Amikor a betknek rtket adunk, akkor a kifejezs helyettestsi rtkt szmoljuk ki (pl-

dul a kerlet nagysgt, ha adottak az oldalak). Bonyolultabb kifejezseket egyszerbb is

tehetnk, ha azokat a szablyok alapjn talaktjuk. Ezekkel az alapszablyokkal foglalko-

zunk ebben a modulban. Megismerkednk a nevezetes azonossgokkal, amelyek alkalmaz-

sval sok feladat megoldsa leegyszersdik. Az egyenletek megoldsa szinte lehetetlen nl-

klk.

A mveleteknek van hrom tulajdonsga, amelyekkel a vals szmkr trgyalsakor (4. mo-

dul) mr tallkoztunk. Ezek a kommutativits, az asszociativitss a disztributivits.

Az sszeads s a szorzs kommutatv mveletek.A kommutativits felcserlhetsget jelent:

tetszleges sorrendben adhatjuk, illetve szorozhatjuk ssze a szmokat, betket. sszeadskor

a tagok, szorzskor pedig a tnyezk sorrendje felcserlhet.

Az sszeads s a szorzs egy msik tulajdonsga az asszociativits.Az asszocici sz trs-

tst, sszekapcsolst, kpzettrstst jelent.Az elemeket (tagokat, tnyezket) tetszlegesen

csoportosthatjuk, zrjelezhetjk. Ne felejtsk el, hogy a zrjel a mveleti sorrend kijell-

sre szolgl!

Kommutativits: abba = abba =

ba R

Asszocativits: ( ) ( ) cbacbacba == ( ) ( ) cbacbacba ==

cba ,, R


115/226

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSGOK 115

A harmadik tulajdonsg a disztributivits, ami elosztst, felosztst, osztlyozstjelent, de ez a

sz nem fejezi ki a tulajdonsg lnyegt. A szablyon kvl azt rdemes megjegyezni, hogy ez

a tulajdonsg egyik irnyban kiemelsrl, msik irnyban zrjelfelbontsrl szl, s ssze-

kapcsolja az sszeadst s a szorzst.

A kvetkezfeladatokkal feleleventjk a tanultakat a kifejezsekrl, trtekrl, mveletekrl.

Feladatok

1.Vgezd el a kvetkezmveleteket!

a) )(2 ba ; b) )2( ac ; c) )3(2 yxx ; d) cba )3( ; e) )52(3 xx ;

f) )45()3( dd .

2.Vgezd el a kijellt mveleteket s a lehetsges sszevonsokat!

a) xx 414)62(2 ; b) )2(36 xx ; c) aba 7)25(32 ;

d) 24)52( ddd + ; e) 9)9()43( d .

3.Keress egynemtagokat a kvetkezkifejezsek kztt!

a) ;4;3;12;;;4;5;;4;2 2 y)ax(b)xa()xa(axbyxyyazxx +

b) 222 )2(2;4;5;7,4 xabaxbxyx ;

c) 222222 )2(;)2(;3;100;)4(2;;4,5;10;3 byxabyaayxyxyxabaxyxxxyyx + .

Disztributivits: ( ) cbcacba =

cba ,, R

kijellt szorzs elvgzse

kiemels

sszevonni csak egynemtagokat lehet.

Egynemekazok a tagok, amelyek legfel-jebb egytthatikban klnbznek.


116/226


4.Vond ssze a kvetkezkifejezseket!

a) 620)52(12 aaa ; b) xyyxxyyx 224)23( 22 +++ ;

c) [ ] cabacba 24)32()654( ; d) aa

2

3;

e)

+ 2

3

2

5

2xx .

5.Vgezd el a kijellt mveleteket, a kijellt szorzsokat s a lehetsges sszevonsokat!

a) )32(2544 baab ; b) baaaab 25)(12)2(73 ;

c) [ ] bababa 54)24(68 ; d) )(5)(3 yxyx ;

e ) )5()469()3()32(9 ababa ;

f) )53()1(5)25(4 xxx .

6.A kvetkezkifejezsekben vgezd el a lehetsges kiemelseket!

a) 402a b) yy 2122 ; c) 396 2 xx ; d) 52010 ba ;

e) aba 22 ; f) 222 36 xyyax ; g) 22 84 xyyx + ;

h)24

124 aa ; i)25

412 ad .

7.Egsztsd ki a bvtst a vltozk lehetsges rtkei mellett!

a)105

2=

a b)

266

4

xx= c)

217

32=

a d)

y

yx

63

5=

e)293

24

x

yx=

A trtekkel val szmols sorn nagyon kell figyelni az egyszerstsre.

Knnyen megrtheta helyes egyszersts, ha megjegyzed a kvetkezszablyt:

Ezrt a fenti pldt gy is fel lehet rni: 23

)2(3

3

63

=//

= ababab

.

Egyszerstenicsak azzal a kifejezssel lehet, ami aszmllban s a nevezben e arnt kiemelhet.


117/226


Az esetek tbbsgben a trteket azrt clszer egyszersteni, hogy knnyebb legyen

velk szmolni. A feladatok vgeredmnyben lehetleg mindig leegyszerstett trtek llja-

nak!

A trtek sszeadsakor vagy kivonsakor az egyszerstst a mveletek elvgzse kzben

akkor nem szoktuk vgrehajtani, ha a bvtett alakkal knnyebb szmolni. Pldul

a

a

a

aa

a

a

3

53

3

493

3

4

3

93==+

A kvetkezfeladatokban olyan trtek is elfordulnak, amelyek nevezjben bet(vltoz) is

tallhat. Ilyen esetben figyelni kell arra, hogy a neveznem lehet nulla.

Feladatok

8.Egyszerstsd a kvetkezkifejezseket!

a)b

ab

9

3 2; b)

8

164x; c)

ac

acab

2

24 2 ; d)

ba

a

105

5;

e)a

xba

4

8412; f)

a

aa

3

2

3

36 2+

.

9. Vgezd el a kvetkezmveleteket, figyelj a trtekre!

a)ba

73

3

3

5+++ b)

10

82

6

105

aa c)

+

9

23

4

612

65

3

abba

10. Vgezd el a kvetkezmveleteket, ahol lehet, egyszersts!

a)2

26:

3

2

y

x

y

x; b)

a

bb

10

2:15 2 ; c)

3

2

4

6:

4

3

y

x

y

x

; d)

a

bba

32

8:16 2 ;

e) ab

a6:

4

3; f)

yx

xyyx

2

32

3

2:6 ; g)

2

232

3

618

b

bba ;

h)3

2:

9

612 223 xxx ; i)

ab

yx

ay

x

a

yx

15

243 5

23

2

j)

+

2

2

3 3

2

3

33

b

a

b

a

a

b

b

a


118/226



a) )2)(2( pp ; b) )7)(2( xx ; c) )1)(1( pp ;

d)

aa

4

336

3

1; e) )1)(32( xx ; f) )12)(12( aa ;

g) )1)(12( dd .


a) )12(3)34(2)32(4 2222 ++ aaaaaa ;

b) )44()32(8)632( 222 ++++ xxxxxxx ;

c)

+

+ aaaaa

39

2733

2

22

.

Mintaplda1

Hozd kzs nevezre az albbi kifejezseket, s vgezd el a lehetsges sszevonsokat!

a) xyxyx

24

5

5

2+ b) 1

4

25

6

537

yxyx c)

6

63

3

25 yxyx

Megolds:a)20

2943 yx; b)

12

10x; c)

6

213 yx.

Feladatok

13.Hozd kzs nevezre az albbi kifejezseket, s vgezd el a lehetsges sszevonso-

kat!

a)4

52

5

3 xyyx ; b)

5

37

4

38 xyyx ; c)

9

8

8

25 yxxx ;

d) 4

343

7

523+

yxxy

.

14.Hozd kzs nevezre az albbi kifejezseket, s vgezd el a lehetsges sszevonso-

kat!

a) xxx

210

54

4

)2(3++ ; b)

6

44

4

333

xxx + ; c)

18

23

6

23+

yy.


119/226


Mintaplda2

Hozd kzs nevezre az albbi kifejezseket, s vgezd el a lehetsges sszevonsokat!

a)b

ba

b

ba

5

94

5

)4(4 ; b)

xy

yx

xy

yx

xy

9_kompetencia_diák munkafüzet 2 félév

Documents