9.torzija grede-otpornost
TRANSCRIPT
OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: 1 05./06.12.2011. 12./13.12.2011.
9. TORZIJA GREDE 9.1 TORZIJE GREDE KRUŽNOG I PRSTENASTOG POPREČNOG PRESEKA
torzije grede kružnog poprečnog preseka
Slika 9.4
rIM t
0=τ (9.8)
t
ttmax W
MR
IM
==0
τ (9.11) 30
21 R
RI
Wt π== (9.12)
torzija grede prstenastog poprečnog preseka
rIM t
0=τ )RR(I 4
1420 2
1−= π
2
41
42
2
0
2RRR
RI
Wt−
== π (9.13)
torzija grede prstenastog preseka sa tankim zidom
rIM t
0=τ tRI 3
0 2π≈ tAtRRI
Wt 22 20 ==≈ π (9.14)
deformacija grede izložene torziji
dxdϕθ = (9.2) θ - ugao torzije φ - ugao obrtanja poprečnog preseka oko ose štapa
0GI
M t=θ (9.7) ili )x(GI)x(M)x(
t
t=θ (9.128)
9.4 TORZIJA GREDE PRAVOUGAONOG POPREČNOG PRESEKA
Slika 9.16 Tabela 9.1
9.7 DIMENZIONISANJE GREDE PRI TORZIJI
dmax ττ ≤ (9.121) i / ili dmax ϕϕ ≤ (9.124)
OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: 2 05./06.12.2011. 12./13.12.2011.
9. TORZIJA GREDE
TORZIJA GREDE – PRIMERI
PRIMER 1. Za konzolni nosač opterećen jednako-podeljenim momentom torzije prema skici:
a) odrediti σmax i τmax u konzoli, ako je poprečni presek 1-1 zadati pravougaoni presek. b) odrediti θmax i φmax ako je G = 80 GPa.
a) Crtanje dijagrama sila u preseku (presečnih sila) Analitičko određivanje funkcije ( )xM t iz diferencijalne veze presečnih sila i opterećenja
( )
tt m
dxxdM
−= tt m
dxdM
−= ( ) 10
CdxmMx
tt +−= ∫
( ) ( )xlMxM tt −⋅== 30 Mt
( ) kNm84300 =⋅== lMM tmax,t Dijagram se može i direktno nacrtati primenjujući pravila iz Mehanike (koja su saglasna sa diferncijalnim vezama i iz njih i proističu) uočavanjem određenih preseka i redukcijom spoljašnjih sila sa dela preseka na kome su sve sile poznate. Određivanje geometrijskih karakteristika poprečnog preseka Pošto je presek pravougaonog preseka potrebno je iz date tabele odrediti vrednosti koeficijenata za određivanje neophodnih geometrijskih karakteristika. Vrednosti u tabeli zavise od odnosa duže i kraće stranice pravougaonika (c je duža stranica, b je kraća stranica).
22040
==bc ⇒ iz tabele _____=α , _____=β ____=γ
332, cm 1094.3__________________ ⋅==⋅⋅= cbW Bt β
332
, cm 1094.4__________________ ⋅==⋅⋅= cbW Ct γ
342, cm 1094.3__________________ ⋅==⋅⋅= cbW Bt β
OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: 3 05./06.12.2011. 12./13.12.2011.
Sračunavaju se naponi za tačke B i C (odnosno i za simetrično postavljene tačke u odmosu na težište B' i C' )
MPa3.21 Pa103.21_______________ 6
,,max =⋅====
Bt
tBx W
Mττ
MPa017 Pa100171010944
1084 663
3
...W
M
C,t
tC,x =⋅=
⋅⋅⋅
== −τ
Analiza napona tačka B:
MPa321.maxzxxzB,x ==== ττττ stanje napona je ravno (čisto smicanje) napregnuti elemenat konstrukcija Mohr-ovog kruga
MPa32121 .zxxzmax ====−= τττσσ b) Ugao obrtanja se određuje iz definicione relacije
( )t
t
GIxM
dxd
==θϕ
Množenjem sa dx i integracijom leve i desne strane izraza dobija se
( ) ( ) ( ) 2
3
22 ____________1030_____________ CIG
CdxIG
CdxIGxMx
ttt
t +⋅⋅⋅
=+⋅
=+⋅
= ∫∫ϕ
Konstanta 2C se određuje iz graničnog uslova za ϕ (iz poznate vrednosti ϕ u nekom preseku - analizom veza datog nosača) Levi kraj je uklješten pa je sprečeno obrtanje krajnjeg levog preseka : granični uslov: ( ) 00 =ϕ ⇒ 02 =C
OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: 4 05./06.12.2011. 12./13.12.2011.
( ) 2
23
21030 CxxlIG
xt
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅
⋅⋅
=ϕ
( ) rad 1001.2_____________________2
1030 323
max ⋅==⋅⋅⋅
==l
IGl
t
ϕϕ
Ugao torzije θ je direktno zavisan od vrednosti tM kao presečne sile u nekom preseku pa se maksimalna vrednost za θ dobija u preseku u kome je tM maksimalno:
____ 1044.110103.71080
1084 3_4_
_max
max ⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅==
tGIMθ
PRIMER 2. Konzolni nosač je opterećen na kraju momentom torzije Mt = 240 kNm, kako je to skicom pokazano. Dimenzionisati nosač ako je σdoz = 12 MPa, a nosač je pravougaonog poprečnog preseka, odnosa stranica c/b= 7/5. Za tako dimenzionisan nosač odrediti obrtanje kraja konzole ako je G = 80 GPa.
Geometrijske karakteristike:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
======
==2576.0________________________________2264.0________________________________
1842.0____________________________________
57
γβα
bc
43 258.0________0.1842c bbIt ⋅=⋅== α
32
, .3170_______0.2264c bbW Bt ⋅=⋅== β
OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: 5 05./06.12.2011. 12./13.12.2011.
Dimenzionisanje:
dozBt
t
WM στσ ≤==
,maxmax
32, m102_________ −⋅===
oz
tpott
MWσ
⇒≥ pottt WW , 23 102317.0 −⋅≥b
cm _______m 3981.0317.0102
32
==⋅
≥−
b
cm 734.55_______57
=⋅≥c usvojeno ____=
bc
ugao obrtanja:
______________________==
t
t
GIlMϕ
rad102261 3−⋅=ϕ .
PRIMER 3. Kružni poprečni presek opterećen je ekscentričnom silom pritiska od 10 kN u tački A i momentom torzije Mt = 1 kNm. Odrediti σmax i σmin i u tačkama u kojima se javljaju ove vrednosti napisati tenzor napona u koordinatnom sistemu xyz.
(U zadacima u okviru Otpornosti materijala u kojima je težište na analizi ekscentričnog naprezanja očekuje se da studenti primene postupak objašnjen u poglavlju o ekscentričnom naprezanju - na primer položaj neutralne ose preko izvedenog izraza za odsečke, upotreba jedinstvenog izraza za određivanje napona u kome figurišu ekscentriciteti napadne tačke sile i poluprečnici inercije – jer ti zadaci treba da pokažu da li su studenti savladali datu oblast. Samo primena ovog postupka će nositi puni broj predvidjenih poena za takav zadatak)
OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: 6 05./06.12.2011. 12./13.12.2011.
444
cm 9.78534
104
====ππRII zy
444
0 cm 93.157072
102
===ππRI
22 cm 15.314== πRF
kNm 5.0_________ ==nM
kN 10−=N
Komponentalni naponi:
( )kPa 626.636319.318___________________________, m−==⋅−= tI
MFN
n
nCBxσ
kPa 307.318=C
xσ
kPa 94.954−=Bxσ
kPa 636_____________________
0max =⋅== R
IM tτ
Analiza napona tačka B:
kPa 9.954−=xσ kPa 636−=xnτ
22
2/1 )2
(2 xn
xx τσσσ +±=∗
_________________________2/1 =σ
kPa 3181 =σ 02 =σ kPa 12723 −=σ TENZORI NAPONA
tačka C:
ZA TAČKE B i C
kPa 318=xσ kPa 636=xnτ
______________________)2
(2
222/1 =+±=∗
xnxx τσσσ
kPa 5.8141 =σ 02 =σ kPa 5.4963 −=σ
kPa 5.8141max == Cσσ kPa 12723min −== Bσσ
OM1 V10 V11 Ime i prezime: Index br: 7 05./06.12.2011. 12./13.12.2011.
ZA DOMAĆI ZADATAK URADITI DRUGU VARIJANTU ZADATKA SA UTICAJEM GDE SE DEO UTICAJA OD EKSCENTRIĆNOG NAPREZANJA RADI KAKO JE PRIKAZANO U POGLAVLJU O EKSCENTRIČNOM NAPREZANJU (SAMO TAJ DEO)