ก 1 ˘ˇˆ˙ ก˛ - wordpress.com...ก 1 ˘ˇˆ˙ ก˛ ˚˜ ˛ !ก ก ก 1. ˛ # ก ˘. 6.1...
TRANSCRIPT
�����ก�������� � 1
����� ������������������ก��������
������� �� ������!�ก�� ก����������� �������� ���������ก��
1. ����#��ก�������� ��. � 6.1
2. ����%�����%�&' �ก���(��� � 6.1 �.6/1-6
3. *���ก��������&��+ ������ 3.1 ��� �!����"# - �$��%���&����� �! - �'(!!ก��ก��%� ��� �! - ��� �! �&�)*" - ��� �! �&��)*" - �*�*"&����� �! 3.2 ��,ก������"# - -�!$ก&����,ก������"# - .�/��ก�)#��ก��!$ก
4. �������ก�������� 4.1 -���� / �*1���� 2 3ก4 1) -����6�กก�����ก*6ก���7���1� ���� 2) -����6�กก�����ก*6ก���7�%���.8� ���� 3) -����6�กก�����ก*6ก���!'�)�ก�� 4.2 -�ก��(9*!�"*��� 2 3ก4 1) ก��(9*!�"*ก*6ก���7���1� ���� 2) ก����.4$��4$�7�ก��(9*!�"*ก*6ก���ก�,4� 4.3 ก��� .�!$� -�.����:*;���ก�� ����%��� ����6!%�4$�ก�� �����'3
2
5. ��� ��ก��+��ก��������.�/�0���
�������ก�������� ��� ��ก��+��ก��������
� �� 1�� � �� ��ก���
5.1 -���� / �*1���� 2 3ก4 1) -����6�กก�����ก*6ก���
7���1� ���� 2) -����6�กก�����ก*6ก���
7�%���.8� ����
- �:*!�� �81�%�7�"4�� �8=����4��
�� ��� - �:*!��.�,(�$���* �$!�� 7�"4��
�8=�� - �����ก�����ก*6ก���7�%���.8� ���� - 7%3�������� *=� "*�ก�!��ก ������=���
2�4 &3�76 - ��!%������7%3��ก ���� *=� "*�"��
�$�� %���.� - 7%3��������7�ก�����ก*6ก���
!'�)�ก��
- >?ก�* "����=��'.�� - 7%3�$���4$��8�ก�!��'-'3.�� - �4$����ก*6ก���7���1� ���� - (9*!�"*ก*6ก���ก�,4�"��%�3���=��=
2 3��!��!%��� - 7%3��ก ����>?ก. ��$���* %@�
7���1� ���� - 7%3��ก �������!!>?ก%� (A����
ก�,4�7���1� ���� - ���!!>?ก%� (A����!,��� - BCก��%��$���'3 *=� "*�6�ก
%���.8� ����
5.2 -�ก��(9*!�"*��� 2 3ก4 1) ก��(9*!�"*ก*6ก���7���1�
������ก��7�3!�*ก��%3��.�, &����� ������4�� %���.�
2) ก����.4$��4$�7�ก��
(9*!�"*ก*6ก���ก�,4�
- �����$*:�ก������$)��.�,(
�$���* �$!�� 8=�.�,( �81�%�(��6��%�4$�
- �����7%3��ก ����2(�3��$3�%�&3��'� *=� "*�7�%3��.�, &����� ����
- 7%3�������� *=� "*�ก�!��ก ������=���2�4 &3�76
- �����$*:�ก��6� ก�,4���ก����� ก*6ก���ก�,4�
- 7%3��ก ����.�,( �81�%�.����/��=
����7�"4��%�4$� - 7%3��ก ����. ��$���* %@�"��
�$�� &3�76&����ก ���� �� - 7%3��ก ����2(�3��$3��6��#
*=� "*�7�%3��.�, ��� ���� - 7%3��ก ����6� ก�,4�"����=��'
��!%������4$�ก�����ก*6ก���7���1� ����
5.3 ก��� .�!$� -�.����:*;���ก�� ����
- .�,( �81�%���=.����/� �ก��D��-"�!ก�!-'3 ����
- ���!!� .�!-�.����:*;���ก�� ����
3
�2�ก��+��ก�������� � 1/1
����� � ����������
��� 3 ����4�� 1. &5�����ก��������
1.1 2�ก�������� 1) ��ก ���� &3�76�$��%���&����� �! 2) ��ก ����%�6�#��= n &����� �! �&�)*"����� �! �&��)*"2 3 1.2 +��&��*�1�ก�������� 1) ��ก ���� &3�76�$��%���&����� �! 2) ��ก ����%�6�#��= n &����� �! �&�)*"����� �! �&��)*"2 3
2. *���* �1�6 2.1 *���ก�������� 1) �$��%���&����� �! 2) �'(!!ก��ก��%� ��� �! 3) ��� �! �&�)*" 4) ��� �! �&��)*" 2.2 �ก7� / ก�����ก�� 1) ��ก��ก��������ก�,4� 2) ��ก��ก��.8=�.������)*"B�."�# 3) ��ก��ก��ก3(F/%� 2.3 �ก7�ก��1�� 1) ��ก��ก���* (��$�� 2) ��ก��ก���* $* ����%# 3) ��ก��ก���* (���,ก"#7�3
3. �������ก�������� 3.1 2���� / ��%����
1) -����6�กก�����ก*6ก�����= 1.1 ก 2) -����6�กก�����ก*6ก���ก�,4� 3) -����6�กก�����ก*6ก���!'�)�ก�� G������ �8=����� �!��* "4��HI
4
3.2 ก�����ก��(�%����ก��&8�������� 1) 6� ก�,4� ก�,4��� 5-6 �� 2) �8�ก%�$%�3�ก�,4� 3) %�$%�3�ก�,4�!4���� 4) �4$�ก�����ก*6ก�����=ก��%� 5) ��� .��-����%�3���1� ���� 6) ��'��!%���7%3���ก*6ก�����= 1.1 ก 7) ��'��!%���7%3���ก*6ก���!'�)�ก�� 3.3 09��ก������1�!��ก7!�0:�&��*�1� 1) ��ก ����7%3�$���4$��8�7�ก��������ก�,4� 2) ��ก �������$���� ��� ��!��!����!-* ��!7�ก�������� 3.4 1������1���(��.+ 1) ��ก ���� &3�76�$��%���&����� �! 2) ��ก �����'3$*:�%�6�#��= n &����� �! �&�)*"����� �! �&��)*"
4. ��� ��ก�����2����&�����2� ก!;�(�%��� �
1) 2 3�� �! G�7�3I &C1�2( 2) 2 3�� �! G �I &C1�2( 3) ���2 3D'ก"3�� 80% &C1�2( ก��*��&2�ก��&�����
"3��-4�� ก)N#&�1�"=����1� 3 ���ก��
5. ก�+ก���ก�����ก��*��0���ก��������
5.1 (�%�� � ��'7%3��ก �����4��!��*���&����� �!7�%���.8� ����%�3� 2 ����1 � ����� ��� �! �8�OF�ก#�����=��� �� (A� P" {1, 2, 3, S, n} %�8���� �� (A� {1, 2, 3, S, n, S}
���ก��� �!��=��� �� (A� P" {1, 2, 3, S, n} $4���� �!6��ก� (finite sequence) �� ���ก��� �!��=��� �� (A� P" {1, 2, 3, S, n, S} $4� ��� �!����"# (infinite sequence)
��'.�,(6�ก!��*��� *=� "*�$4� ��� �!� ���=$H 2(!4���ก (A� 2 ��* �8� 1. ��� �!6��ก� %���DC���� �!��=��� �� (A� P"&��6���$� "@�!$ก n 6���$��ก �8� P" {1, 2, 3, S, n} �� ��6#�8� P" {f(1), f(2), f(3), S, f(n)}
5
2. ��� �!����"# %���DC���� �!��=��� �� (A� P"&��6���$� "@�!$ก�8� P" {1, 2, 3, S, n, S} %�8� P"&��6���$�:�����"* �� ��6#�8� P" {f(1), f(2), f(3), S, f(n), S}
5.2 (�%�*��
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
1. ��'�:*!��"��%�$&3���= 1.1.2 �'(!!ก��ก��%� ��� �!!!"4��H 6�ก��1���� .�� "�$��4��"4�2(��1 *=� "*� �������� 6�%� 5 6�#�ก&����� �! {an} �8=� an ���4� ��"4�2(��1
an = 2n2 − 3n
an = 2n − 1
��> � 1. an = 2n2 − 3n
a1 = 2(1)2 − 3(1) = 2 − 3 = −1
a2 = 2(2)2 − 3(2) = 8 − 6 = 2
a3 = 2(3)2 − 3(3) = 18 − 9 = 9
a4 = 2(4)2 − 3(4) = 32 − 12 = 20
a5 = 2(5)2 − 3(5) = 50 − 15 = 35
2. an = 2n − 1
a1 = 21 − 1 = 2 − 1 = 1
a2 = 22 − 1 = 4 − 1 = 3
a3 = 23 − 1 = 8 − 1 = 7
a4 = 24 − 1 = 16 − 1 = 15
a5 = 25 − 1 = 32 − 1 = 31
�������� 6�%�6�#��=$2(&����� �!PC=��� 5 6�#�ก ��"4�2(��1 1) 1 , 2
1 , 31 , 4
1 , 51 , S, an , S
2) 21 , 3
2 , 43 , 5
4 , S, an , S
��> � 1. a1 = 1
a2 = 21
a3 = 31
a4 = 41
a5 = 51
����1� an = n1
��ก��ก���* $* ����%# ��ก��ก���* (���,ก"#7�3
6
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
2. a1 = 21 = 11
1+
a2 = 32 = 12
2+
a3 = 43 = 13
3+
a4 = 54 = 14
4+
����1� an = 1nn+
2. ��'7%3��ก �������ก*6ก�����= 1.1 ก &3���= 1 ���7� $����=ก��%� 6�ก��1� a�����"�!�4$�ก��
3. ��'�:*!��!��*���&����� �! �&�)*"
� ����� ��� �! �&�)*" �8���� �!PC=���-�"4����=2 36�กก�����6�#��= n+1 �! 3$�6�#��= n (A��4���"�$��= �4�ก�� .��%��!�,ก6���$� "@�!$ก n �� ���ก �4���"�$��= (A�-�"4����1$4� -�"4���4$�
�3$�:*!����=��&��.'"� an = a1+ (n − 1)d ����1
D3�7%3 d ��-�"4���4$���%$4��6�#��= n + 1 ก�!6�#��= n
6�2 3 d = an+1− an �8=� n∈I+
D3�7%3 a1 , a2 , a3 , a4 , ..., an , an+1 , ... (A���� �! �&�)*"�3$
d = a2− a1 = a3− a2 = a4− a3 = ... = an+1 − an = ...
a2 = a1+ d
a3 = a2+ d = (a1+ d) + d = a1+ 2d
a4 = a3+ d = (a1+ 2d) + d = a1+ 3d
M an = an−1+ d = (a1+ (n − 2)d) + d = a1+ (n − 1)d
����1� �8=�ก��%� 7%3 a1 (A�6�#�ก&����� �! �&�)*" �� d (A�
-�"4���4$� 6�#��= n &����� �! �&�)*" �8�
an = a1+ (n − 1)d
��ก��ก���* (��$��
��ก��ก���* $* ����%#
7
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
4. ��'7%3��ก ����BCก��"�$��4����= 1 7�%���.8� ���� ���ก"�$��4�� *=� "*� ����1 1) 6�%�6�#��= n &����� �!"4�2(��1
(1) 9, 13, 17, 21, ... (2) 1, 1.5, 2, 2.5, ... ��> � (1) 9, 13, 17, 21, S
a1 = 9, d = 13 − 9 = 17 − 13 = 21 − 17 = 4
6�#��= n &����� �! �&�)*" �8� an = a1+ (n − 1)d
∴ an = 9 + (n − 1)4
= 9 + 4n − 4 = 5 + 4n
(2) 1, 1.5, 2, 2.5, ... a1 = 1, d = 1.5 − 1 = 2 − 1.5 = 2.5 − 2 = 0.5
6�ก.'"� an = a1+ (n − 1)d
∴ an = 1 + (n − 1) 0.5
= 1 + 0.5n − 0.5 = 0.5n + 0.5
2) ก��%� ��� �! �&�)*" 24, 19, 14, 9, ..., −46 6�%�$4���� �!��1��ก�=6�# ��6�#��= 12 (A� �4�2� ��> � 6�ก��� �! �&�)*" 24, 19, 14, 9, ..., −46
a1 = 24
d = 19 − 24 = 14 − 19 = 9 − 14 = S = −5 �� an = −46
6�ก.'"� an = a1+ (n − 1)d
���4� −46 = 24 + (n − 1) (−5) −46 = 24 − 5n + 5
5n = 29 + 46 5n = 75
n = 575 = 15
��ก��ก���* $* ����%# ��ก��ก���* (���,ก"#7�3
8
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
6�#��= 12 �8� a12 = a1 + (12 − 1)d
= 24 + 11(−5) = 24 − 55 = − 31
����1� ��� �! 24, 19, 14, 9, ..., −46 �� 15 6�# ��6�#��= 12 �4�ก�! −31
5. ��'�:*!��!��*���&����� �! �&��)*"
� ����� ��� �! �&��)*" �8���� �!PC=�����"��.4$�&��6�#��= n+1 "4�6�#��= n (A��4���"�$��= �4�ก�� .��%��!�,ก6���$� "@�!$ก n �� ���ก�4���"�$��= (A���"��.4$���1$4� ��"��.4$��4$�
�3$�:*!����=��&��.'"� an = a1rn−1 ����1
D3�7%3 r ����"��.4$��4$���%$4��6�#��= n+1 ก�!6�#��= n
6�2 3 r = n
1na
a + %�8� ran = an+1 �8=� n∈I+
r = 12
aa =
23
aa =
34
aa = S =
n1n
aa + = S
a2 = a1r
a3 = a2r = (a1r)r = a1r2 = a1r3−1
a4 = a3r = (a1r2)r = a1r3 = a1r4−1
M
an = a n−1r = (a1r n−2)r = a1rn−1
����1� �8=�ก��%� 7%3 a1 (A�6�#�ก&����� �! �&��)*" �� r (A�
��"��.4$��4$� 6�#��= n &����� �! �&��)*" �8�
an = a1rn−1
6. ��'7%3��ก ����BCก��"�$��4����= 2 7�%���.8� ���� �3$�ก"�$��4�� *=� "*� ����1
1) 6�%�6�#��= n &����� �!"4�2(��1 12, 4, 3
4 , 94 , ...
��ก��ก���* (��$�� ��ก��ก���* $* ����%# ��ก��ก���* (���,ก"#7�3
9
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
��> � a1 = 12, r = 4 ÷12 = 34 ÷ 4 = 9
4 ÷ 34 = S = 3
1
6�ก.'"� an = a1rn−1
= 12 ( ) 1n31 −
2) ��� �! �&��)*"��� �!%�C=� ��6�#��= 3 ��กก$4�6�#��= 2 ��'4 149 ��6�#��= 2 ��กก$4�
6�#�ก��'4 73 6�%�6�#��= n &����� �!��1
��> � 6�ก�6��# a3− a2 = 149
����1� a1r2 − a1r = 149
a1r(r − 1) = 149 SSS.(1)
�� a2− a1 = 73
a1r − a1 = 73
a1(r − 1) = 73 SSS.(2)
(1) ÷ (2); 1)(ra1)r(ra
11
−− = 14
9 ÷ 73
r = 149 × 3
7 = 23
���4� r 7� (2); a1 ( )123 − = 7
3
21 a1 = 7
3
a1 = 76
6�#��= n; an = a1rn−1
����1� an = ( ) 1n23
76 −
7. ��'�:*!�� �8=����� �!g��#���*ก *=� "*�6�ก%���.8� ���� ����1 ��� �!g��#���*ก %���DC� ��� �!��=��6�#"4��6�# (A�.4$�ก��!&��6�#7�
��� �! �&�)*" D3� a1 , a2 , a3 , S, an , S (A���� �! �&�)*" �3$ , , , S, , S
(A���� �!g��#���*ก � ���= ai ≠ 0, i = 1, 2, 3, S
�������� 31 , 5
1 , 71 , S, 12n
1+ , S (A���� �!g��#���*ก%�8�2�4 D3� (A� 6�%�6�#��=
15 ��> � �8=��6�ก 3, 5, 7, ..., 2n+1, S (A���� �! �&�)*"
����1� 31 , 5
1 , 71 , ..., 12n
1+ , S (A���� �!g��#���*ก
�� �8=��6�ก an = 2n+1
a15 = 2(15) + 1 = 31
��ก��ก���* (��$��
1 a1
1 a2
1 a3
1 an
10
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
6�#��= 15 7���� �! �&�)*" �4�ก�! 31 ����1� 6�#��= 15 7���� �!g��#���*ก�8� 31
1
0+��ก���(��� ��������? 1. D3� a, A, b (A� 3 6�# ����ก��7���� �! �&�)*"�3$
6�#ก��� A = 2ba+
2. D3� a, G, b (A� 3 6�# ����ก��7���� �! �&��)*"�3$
6�#ก��� G = ab± 3. D3� a, H, b (A� 3 6�# ����ก��7���� �!g��#���*ก�3$
6�#ก��� H = ba2ab+
4. D3� A, G, H (A�6�#ก���&����� �! �&�)*" �&��)*" ��g��#���*ก"��
��� �!��%$4�� a �� b �3$ AH = G2 ��D3� a, b > 0 �3$ A > G > H 8. ��'7%3��ก ����!4�ก�,4����ก*6ก�����= 1.1 ก ก�,4��� 3 &3� �3$������"�!&��"4��
ก�,4�����*(����4$�ก��
5.3 (�%�*��& ��'����ก �����4$�ก��.�,(.'"�"4��H ����1 1) 6�#��= n &����� �! �&�)*" �8�
an = a1+ (n−1)d
�8=� a1 (A�6�#�ก&����� �! �&�)*" �� d (A�-�"4���4$�
2) 6�#��= n &����� �! �&��)*" �8� an = a1rn−1
�8=� a1 (A�6�#�ก&����� �! �&��)*" �� r (A���"��.4$��4$�
11
6. *���ก�������� / �����ก�������� 6.1 *���ก��������
- %���.8� ���� .�*��)*"B�."�# *=� "*� �.6 ��� ������= 2 - %���.8� ����.���ก�� �����'3 *=� "*� �)*"B�."�# �4� 2 ก�,4�.���ก�� �����'3�)*"B�."�# ��1���:��BCก�� (l��= 6 � �.D�!��.4� .�*�ก��.��$*���B�."�#�� �������� (..$�.) ก����$�BCก��:*ก��
6.2 �����ก�������� 1) %3��.�, ��� ���� 2) %3��.�, ก�,4�.���ก�� �����'3�)*"B�."�#
7. ก�+ก���*����� 7.1 ก�+ก���*��*���ก��1�������1�����
(�%�������(����� 7%3��ก ����BCก�� *=� "*� ก�=�$ก�!ก������$���'3 �8=����� �! �&�)*"����� �! �&��)*"��(���,ก"#7�37�ก��ก3
�6��#(F/%���* "4��H ������ ��$ก�!�6��#7�ก*6ก�����= 1.1 ก &3� 17-20 (�%���1����� 7%3��ก ����.�� ก"��$* ����%#&�1�"��7�ก�������� �! �&�)*"����� �! �&��)*"���4$�7�ก��%����"�!
(�%�*��& 7%3��ก ���� &����6��#��. �$*:�������� 2 &3� .�,( (A�������.4���'
(�%�&����ก��.�� ��' �8�ก�6��#��=�4�.�76�������*(����4$�ก��7���1� ����
7.2 ก�+ก������!�ก�� ��'.����D!'�)�ก��ก�� ����ก�!ก�,4�.���ก����������� �������� � �7%3��ก ����!4�ก�,4��$!�$�
&3��'�&����� �!�8=�H ��=2�47�4��� �! �&�)*"%�8���� �! �&��)*" ก�,4��� 3 ��* � ��3��$3�-4����� $(2P"#��=7�3 �3�%�&3��'�"4��H �4� google yahoo � �6� ��� (A�������.4���'�3����1���!,��=��&��&3��'� (��'�$������ ��ก ����$4� �������� �!��* �8=�H ��ก��ก��� ��ก6�ก��� �! �&�)*"%�8���� �! �&��)*")
/������ B������������ ������������?C 2�ก�������� 7�3ก��!$�ก���3�%�&3��'�����*� ���# �@"�:*!����� �!��* "4��H 2���� �����ก�� ������ �8=����� �!��* "4��H (�%����ก�� ���� 1. ��ก ����BCก��%��กก���3�%�&3��'�����*� ���# �@" 8=�7%32 3����� ��� ��ก��=., 2. �$!�$�&3��'� ก�=�$ก�!��� �!��* "4��H � � �8�ก�� 3 ��* 3. &����:*!����� �!��1� 3 ��* �3����1��ก"�$��4��(��ก�!� ��� ��� 4. 6� ��� (A�������.4���' ก!;�ก��&����� 1. �$��D'ก"3��&�� �81�%������� 2. �$���4�.�767�ก����� .��
12
8. ��� :ก����ก��*�� (!���Cก a��(�� @���=��&3��'�.��.� �B�� 6�)
&���E�ก����� :ก +����� +�� �1��&���&���
1. ก��6� ก*6ก���ก�� �����'3
2. ก��7�3.8=�ก�� �����'3
3. ก��(�� �*�-�ก�� �����'3
4. ก��!���,-�ก�� �����'3&����ก ����
��� :ก0������ SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.S..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS..SS
���8=�SSSSSSSSSSSSS..-'3.��
��� :ก1����E�(��2�����+*���2�ก��+��ก�������� SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.S..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SS.SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SS..SS..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SSS
���8=�................................................................
"��%�4�...........................................................
13
���*��ก�ก�����1 �F�����ก������ก�+ก���������%�
�������%� ............... ����� ........................................................... ��� � ............ ���� ........................... 0.G. ..................
1 ��%�+� ��'-'3.��(�� �*���ก ����� �7�3$*:�.�� ก"7�&)� �� �*�ก��.�� �3$7%3�� �!���� ����1 3 �8=�(9*!�"*!4��H 2 �8=�(9*!�"*!�����1� 1 �8=�2�4(9*!�"*%�8�(9*!�"*�3����ก
� ����-*ก��
ก���
��1 �
F��
ก���
���ก�+
ก���
ก���
*��1
���1
���E�
ก��I
�กF��
���1
����
�����1����
10-12 7-9 4-6
3 3 3 3 12 � 0�.�� &���&���
14
���&�����ก�� ����ก����
����1!��G�*��� ����� ........................................................... ��� � ............ ���� ........................... 0.G. ....................
� ����-*ก��
&���E�ก��&�����/1���� �����1����
1���
���2��
���
(���
����1
�
ก���
*����
���
.�ก�
� ��
��
1���
1��*�
���*�
�1�
2���
�
��� 20-25 12-19 5-11
5 5 5 10 25 � 0�.�� &���&���
ก!;�ก��.��1���� 5 �8=��"*ก���� 4��� 6� ���ก (A�!!��4��7%3ก4-'3�8=� 4 �8=��"*ก���� 4� � 3 �8=��"*ก��� ���! �4�ก����=$2( (A�2("����=ก��%� 2 �8=��"*ก���2�4�4��� 4���"=��ก$4���"������=$2( 1 �8=��"*ก���2�4 %���.� 2�4�4��. ���ก%�8�7%3�$���4$��8�
15
�2�ก��+��ก�������� � 1/2
����� � ���������� (���)
��� 3 ����4�� 1. &5�����ก��������
1.1 2�ก�������� %��*�*"&����� �!����"#� ���B�����r�!� ก�=�$ก�!�*�*"2 3 1.2 +��&��*�1�ก�������� %��*�*"&����� �!����"#� ���B�����r�!� ก�=�$ก�!�*�*"2 3
2. *���* �1�6 2.1 *���ก�������� �*�*"&����� �! 2.2 �ก7� / ก�����ก�� 1) ��ก��ก��������ก�,4� 2) ��ก��ก��.8=�.������)*"B�."�# 3) ��ก��ก��ก3(F/%� 2.3 �ก7�ก��1�� 1) ��ก��ก���* (��$�� 2) ��ก��ก���* $* ����%# 3) ��ก��ก���* (���,ก"#7�3
3. �������ก�������� 3.1 2���� / ��%����
1) -����6�กก�����ก*6ก�����= 1.1 & 2) -����6�กก�����ก*6ก���ก�,4� 3.2 ก�����ก��(�%����ก��&8�������� 1) 6� ก�,4� ก�,4��� 5-6 �� 2) �8�ก%�$%�3�ก�,4� 3) %�$%�3�ก�,4�!4���� 4) �4$�ก�����ก*6ก�����=ก��%� 5) ��� .��-����%�3���1� ���� 6) ��'��!%���7%3���ก*6ก�����= 1.1 &
16
3.3 09��ก������1�!��ก7!�0:�&��*�1� 1) ��ก ����7%3�$���4$��8�7�ก��������ก�,4� 2) ��ก �������$���� ��� ��!��!����!-* ��!7�ก�������� 3.4 1������1���(��.+ ��ก �����'3$*:�%��*�*"&����� �!����"#
4. ��� ��ก�����2����&�����2� ก!;�(�%��� �
1) 2 3�� �! G�7�3I &C1�2( 2) 2 3�� �! G �I &C1�2( 3) ���2 3D'ก"3�� 80% &C1�2( ก��*��&2�ก��&�����
"3��-4�� ก)N#&�1�"=����1� 3 ���ก��
5. ก�+ก���ก�����ก��*��0���ก��������
5.1 (�%�� �
��'7%3��ก ����*6��)�ก��O&����� �! an = n2
1 , an = 5 �� an = 1 − n(1)n 7�%���.8� ����%�$&3���=
1.1.5 �3$�4$�ก����*(�����ก�)�ก��O&��"4����� �! 5.2 (�%�*��
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
1. 6�กก��O ��'7%3��ก ����.�� ก"$4� �8=� n ���4���ก&C1�� �2�4����=.*1�., ��6�#��= n ���4� &3�7ก�3%�8� �4�ก�!6���$�6�*� L ���6���$� ��$ �4���1� ���ก L $4��*�*"&����� �! %�8�ก�4�$$4� ��� �!��1����*�*" �4�ก�! L &����� 3$� lim an = L
n → ∞ 6�กก��O7�&�1���� ��'7%3��ก ����!�ก�*�*"&����� �! 6�2 3$4�
lim n2
1 = 0
lim 5 = 5
lim
−− n1)(1 n = 1
(��'ก�4�$�1��$4� ��7�3.�/��ก�)# n → ∞ ���4� n &3�.'4�4�����"#) 2. ��'�:*!��$4� ��� �!����"#��=���*�*" ���ก$4� ��� �!�'4 &3� (convergent sequence) � �
&���!��*���"4�2(��1!�ก�� ��
��ก��ก���* (��$��
n → ∞
n → ∞
n → ∞
17
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
� ����� D3� a1 , a2 , a3 , S, an , S (A���� �!����"#
���ก��� �!��1$4� ��� �!�'4 &3� (convergent sequence) D3� an �'4 &3�.'46���$�6�*�6���$�%�C=� �8=� n ���4���ก&C1� (n → ∞)
&����� 3$� lim an = L �8=� L ��6���$�6�*�7 H
3. ��'7%3��ก ����*6��)�ก��O&����� �! an = 2n + 1
6�กก��O 6� %@�$4� �8=� n ���4���ก&C1�� �2�4����=.*1�., 6�#��= n &����� �!���4���ก&C1�2�4 &3�7ก�36���$�6�*�7 6���$�%�C=� ��� �!��16C�2�4���*�*"��2�4 (A���� �!�'4 &3� ���ก��� �!����"#��1$4� ��� �!�'4��ก (divergent sequence)
��' &���!��*���"4�2(��1!�ก�� ��
� ����� D3� a1 , a2 , a3 , S, an , S (A���� �!����"#
���ก��� �!��1$4� ��� �!�'4��ก (divergent sequence) D3� an 2�4�'4 &3�.'46���$�6�*�7 %�8����4���ก&C1�%�8��3����2�4��&�! &"
(1) D3� an 2�4�'4 &3�.'46���$�6�*�7 �8=� n ���4���ก&C1��3$ ��� �!����"#��1
2�4���*�*" (2) D3� an ���4���ก&C1�2�4��&�! &" �8=� n → ∞ &����� 3$� lim an = + ∞
(3) D3� an ���4��3����2�4��&�! &" �8=� n → ∞ &����� 3$� lim an = − ∞
4. 6�ก!��*��� ��'7%3&3�.�� ก" *=� "*�7�(�� @�"4�2(��1 1. ��� �!�'4 &3��8���� �!��=���*�*" 2. ��� �!�'4��ก�8���� �!��=2�4���*�*" !4���ก (A� 3 (�� �� ����1
��ก��ก���* $* ����%#
n → ∞
n → ∞
n → ∞
18
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
(1) ��� �!�'4��กPC=��� an ���4���ก&C1� �8=��H �8=� n ���4���ก&C1�� �2�4����=.*1�.,
�4� 1, 3, 9, 27, 3 n−1, S (2) ��� �!�'4��กPC=��� an ���4�� �� �8=��H �8=� n ���4���ก&C1�� �2�4����=.*1�., �4�
−1, −3, −5, S, −(2n−1), S (3) ��� �!�'4��กPC=�����ก�)�"ก"4��6�ก&3� (1) �� (2) ���ก$4� ��� �!ก$4�ก$�
(oscillating sequence) �4� an = (−1)n−1 %�8� an = n(−1)n
(��ก ���� '�'(ก��O&����� �!ก$4�ก$� an = (−1)n−1 2 36�ก7�%���.8� ����)
5. ��'7%3�$�* $4�ก����= ��6����!$4���� �!����"#"4����� �!���*�*"%�8�2�4���*�*" 6�� (A�"3��%��4��*�*"&����� �!"4����� �!ก4���,ก���1� ��.����D%��4��*�*"&����� �!2 3�$ �@$��D'ก"3�� � ���B�����r�!� ก�=�$ก�!�*�*" � ���'7%3��ก ����BCก�����r�!� ก�=�$ก�!�*�*""������� ��� 7�%���.8� ����
6. ��'7%3��ก ����BCก��"�$��4����= 1 ��"�$��4����= 2 7�%���.8� ���� � ��:*!��%��ก7�ก��%��*�*"ก�)���= n → ∞ ����1 (�%� � 1 ���"�$(���=��ก�����.'�., ��=����'47�6�#��= n %����1�"�$ B���"�$.4$� (�%� � 2 �ก"�$ B���"�$.4$� (A�6�#�4��H "4��6�# (�%� � 3 7�3���r�!�"4��H ก�=�$ก�!�*�*" 7�ก��%��4��*�*" � ��1��7�(�� @���=$4� 7�ก��%��*�*"&����� �!� ���B�����r�!� ก�=�$ก�!�*�*"6�"3�� &���6�#��= n &����� �!7%3��'47��'(��=6�7�3���r�!� ก�=�$ก�!�*�*"2 3 ���$4�!����� �!��=���*�*" D3�2�4 (��=���'(6�#��= n ก4�� 6����7%3%��*�*"2�42 3 �4�
an = n3n
3n2n2
2
+−
(��=���'(6�#��= n � �%����1�"�$ B���"�$.4$�&��6�#��= n 3$� n2
an = 2
22
2
nn3n
n3n2n
+
− =
n13n32
+
−
lim an = lim n13n32
+
−
= n1lim3limn3lim2lim
nn
nn
∞→∞→
∞→∞→
+
−
��ก��ก���* $* ����%#
n → ∞ n → ∞
19
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
= 0302
+−
= 32
.��%��!��� �!��=2�4���*�*" DC��36� (��=���'(6�#��= n &����� �!7%3��'47��'(PC=�%��*�*""4��6�#�4��2 3 ก@2�4.����D%��*�*"&����� �!��1�2 3 �4�
an = n1n1 2
−−
an = 2
2
2
nn1
nn1
−
−
= n1
n1
1n1
2
2
−
−
PC=�6�%��*�*"� ���B�����r�!� ก�=�$ก�!�*�*"2�42 3 ����*�*"&��"�$.4$� (A�B'��# �������ก 7�ก��%��*�*"&����� �! an .�,(2 3 ����1
1. lim an = + ∞ D3� a > 1
2. lim an = 1 D3� a = 1
3. lim an = 0 D3� −1 < a < 1
4. lim an 2�4���*�*" D3� a ≤ −1
7. ��'��� .��"�$��4��"4�2(��1 *=� "*�6�ก7�%���.8� ����
1) ก��%� 7%3 an = 1n2n+
�� bn = 2n1n+ 6�%��*�*"&�� an, bn, anbn ��
nn
ba
��> � lim an = lim ( )1n2n+
= lim
+ n11
2
= 012+
= 2 lim bn = lim 2n
1n+
= lim 2n11+
= 201+
= 21
��ก��ก���* (���,ก"#7�3
n → ∞
n → ∞
n → ∞
n → ∞
n → ∞ n → ∞
n → ∞
n → ∞
n → ∞
n → ∞
20
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
lim an bn = lim an lim bn
= (2) ( )21
= 1
lim n
nba
= nn
nnblimalim
∞→
∞→
= 212
= 4
2) 6�%��*�*"&����� �!PC=���6�#��= n �4�ก�! 6n8n
3)2)(4n1)(3n(2n3 −
−−−+
��> � an = 6n8n
3)2)(4n1)(3n(2n3 −
−−−+
= ( )( )( )
33n
6n8nn 34nn 23nn 12n
−
−−−
+
an = ( )( )( )
32 n6
n18
n34n23n12−
−−−
+
lim an = ( ) ( ) ( )
3n2nn
nnn
n6limn
1lim8limn34limn23limn12lim
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
−
−−−
+
= 0080)0)(40)(3(2
−−−−
+
= 824
= 3
3) 6�%��*�*"&����� �!PC=���6�#��= n �4�ก�! 1nnn 22 ++ −
��> � an = 1nnn 22 ++ −
= 1nnn
)1nnn)(1nnn(22
2222
+++
+++++ −
= 1nnn
1nnn22
22
+++
+ −−
n → ∞
n → ∞ n → ∞ n → ∞
n → ∞
21
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
= 1nnn
1n22 +++
−
an = 2n
11n11n11
+++
−
lim an = 0101
01+++
−
= 111+
= 21
8. ��'7%3��ก ����!4�ก�,4����ก*6ก�����= 1.1 & ก�,4��� 3 &3� � �$*:�6�!a��ก ���7� $����=ก��%� �3$������"�!����*(����4$�ก��
5.3 (�%�*��&
��'����ก �����4$�ก��.�,("��(�� @�"4�2(��1 1) ��� �!����"#��=���*�*" ���ก$4� ��� �!�'4 &3�
��� �!����"#��=2�4���*�*" ���ก$4� ��� �!�'4��ก 2) ก��*6��)�$4���� �!7 �'4 &3� ��� �!7 �'4��ก���2 3� � - *6��)�6�กก��O&����� �! - 7�3���r�!� ก�=�$ก�!�*�*"
6. *���ก�������� / �����ก��������
6.1 *���ก�������� - %���.8� ���� .�*��)*"B�."�# *=� "*� �.6 ��� ������= 2 - %���.8� ����.���ก�� �����'3 *=� "*� �)*"B�."�# �4� 2 ก�,4�.���ก�� �����'3�)*"B�."�# ��1���:��BCก�� (l��= 6 � �.D�!��.4� .�*�ก��.��$*���B�."�#�� �������� (..$�.) ก����$�BCก��:*ก��
6.2 �����ก�������� 1) %3��.�, ��� ���� 2) %3��.�, ก�,4�.���ก�� �����'3�)*"B�."�#
n → ∞
22
7. ก�+ก���*�����
7.1 ก�+ก���*��*���ก��1�������1����� (�%�������(����� 7%3��ก ����!4�ก�,4�BCก��$*:�ก��*.'6�#���r�!� ก�=�$ก�!�*�*"&����� �! (�%���1����� 7%3��ก ����$* ����%#��=����&�1�"��7�ก��*.'6�# ��. �ก��*.'6�#� ��� ���
(�%�*��& 7%3��ก ���� &������r�!� ก�=�$ก�!�*�*"��$*:�ก��*.'6�# 6� ��� (A�������.4���'
(�%�&����ก��.�� ��'����ก �����4$�ก����*(���$*:�ก��*.'6�#���r�!� ก�=�$ก�!�*�*""4��&3�
7.2 ก�+ก������!�ก�� -
23
8. ��� :ก����ก��*�� (!���Cก a��(�� @���=��&3��'�.��.� �B�� 6�)
&���E�ก����� :ก +����� +�� �1��&���&���
1. ก��6� ก*6ก���ก�� �����'3
2. ก��7�3.8=�ก�� �����'3
3. ก��(�� �*�-�ก�� �����'3
4. ก��!���,-�ก�� �����'3&����ก ����
��� :ก0������ SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.S..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS..SS
���8=�SSSSSSSSSSSSS..-'3.��
��� :ก1����E�(��2�����+*���2�ก��+��ก�������� SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.S..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SS.SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SS..SS..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SSS
���8=�................................................................
"��%�4�...........................................................
24
���*��ก�ก�����1 �F�����ก������ก�+ก���������%�
�������%� ............... ����� ........................................................... ��� � ............ ���� ........................... 0.G. ..................
1 ��%�+� ��'-'3.��(�� �*���ก ����� �7�3$*:�.�� ก"7�&)� �� �*�ก��.�� �3$7%3�� �!���� ����1 3 �8=�(9*!�"*!4��H 2 �8=�(9*!�"*!�����1� 1 �8=�2�4(9*!�"*%�8�(9*!�"*�3����ก
� ����-*ก��
ก���
��1 �
F��
ก���
���ก�+
ก���
ก���
*��1
���1
���E�
ก��I
�กF��
���1
����
�����1����
10-12 7-9 4-6
3 3 3 3 12 � 0�.�� &���&���
25
���&�����ก�� ����ก����
����1!��G�*��� ����� ........................................................... ��� � ............ ���� ........................... 0.G. ....................
� ����-*ก��
&���E�ก��&�����/1���� �����1����
1���
���2��
���
(���
����1
�
ก���
*����
���
.�ก�
� ��
��
1���
1��*�
���*�
�1�
2���
�
��� 20-25 12-19 5-11
5 5 5 10 25 � 0�.�� &���&���
ก!;�ก��.��1���� 5 �8=��"*ก���� 4��� 6� ���ก (A�!!��4��7%3ก4-'3�8=� 4 �8=��"*ก���� 4� � 3 �8=��"*ก��� ���! �4�ก����=$2( (A�2("����=ก��%� 2 �8=��"*ก���2�4�4��� 4���"=��ก$4���"������=$2( 1 �8=��"*ก���2�4 %���.� 2�4�4��. ���ก%�8�7%3�$���4$��8�
26
�2�ก��+��ก�������� � 1/3
����� ���ก��������
��� 4 ����4�� 1. &5�����ก��������
1.1 2�ก�������� %�-�!$ก&����,ก������"#2 3������$���'3 �8=����� �!����,ก��2(7�3ก3(F/%�2 3 1.2 +��&��*�1�ก�������� %�-�!$ก&����,ก������"#2 3������$���'3 �8=����� �!����,ก��2(7�3ก3(F/%�2 3
2. *���* �1�6 2.1 *���ก�������� ��,ก������"# 2.2 �ก7� / ก�����ก�� 1) ��ก��ก��������ก�,4� 2) ��ก��ก��.8=�.������)*"B�."�# 3) ��ก��ก��ก3(F/%� 2.3 �ก7�ก��1�� 1) ��ก��ก���* (��$�� 2) ��ก��ก���* (���,ก"#7�3 3) ��ก��ก���* $* ����%#
3. �������ก�������� 3.1 2���� / ��%����
1) -����6�กก�����ก*6ก�����= 1.2 ก 2) -����6�กก�����ก*6ก���ก�,4� 3) -����6�กก�����ก*6ก���!'�)�ก�� G�6��#�������ก�� ก�=�$ก�!ก��%�-�!$ก&����,ก������"#I 3.2 ก�����ก��(�%����ก��&8�������� 1) 6� ก�,4� ก�,4��� 5-6 �� 2) �8�ก%�$%�3�ก�,4� 3) %�$%�3�ก�,4�!4���� 4) �4$�ก�����ก*6ก�����=ก��%� 5) ��� .��-����%�3���1� ����
27
6) ��'��!%���7%3���ก*6ก�����= 1.2 ก 7) ��'��!%���7%3���ก*6ก���!'�)�ก�� 3.3 09��ก������1�!��ก7!�0:�&��*�1� 1) ��ก ����7%3�$���4$��8�7�ก��������ก�,4� 2) ��ก �������$���� ��� ��!��!����!-* ��!7�ก�������� 3.4 1������1���(��.+ 1) ��ก �����'3$*:�%�-�!$ก&����,ก������"# 2) ��ก �����'3$*:�ก��"�$6.�!ก���'4 &3�%�8��'4��ก&����,ก������"#
4. ��� ��ก�����2����&�����2� ก!;�(�%��� �
1) 2 3�� �! G�7�3I &C1�2( 2) 2 3�� �! G �I &C1�2( 3) ���2 3D'ก"3�� 80% &C1�2( ก��*��&2�ก��&�����
"3��-4�� ก)N#&�1�"=����1� 3 ���ก��
5. ก�+ก���ก�����ก��*��0���ก��������
5.1 (�%�� � ��'�!�$�ก��%��*�*"&����� �!����"#��7%3�$�* 7�ก��%��4��*�*"� �$*:��� ����1 (�%� � 1 ���"�$ B���"�$.4$�7�6�#��= n 7%3��"�$(�ก�����.'�., �4�ก��
(�%� � 2 %��4��*�*"� ����.��(��.*�:*;&��6�#��=��ก�����.'�., &��"�$ B� %�� 3$�.��(��.*�:*;&��6�#��=��ก�����.'�., &��"�$.4$� 6�2 3 �4��*�*" =
�4� 1) an = 14n
2n3n2
2
−+
6�2 3$4� 6�#&��"�$ B���=��ก�����.'�., �8� 3n2 6�#&��"�$.4$���=��ก�����.'�., �8� 4n2
����1� lim an = lim 14n
2n3n2
2
−+ = 4
3
.��(��.*�:*;&��6�#��=��ก�����.'�., &��"�$ B� .��(��.*�:*;&��6�#��=��ก�����.'�., &��"�$.4$�
n → ∞ n → ∞
28
2) an = 3n2n52n
2 −+
�8=��6�ก 3n2n52n
2 −+ =
3n2n52n0n
22
−++
6�2 3$4� 6�#&��"�$ B���=��ก�����.'�., �8� 0n2 6�#&��"�$.4$���=��ก�����.'�., �8� 2n2
����1� lim 3n2n52n
2 −+ = lim
3n2n52n0n
22
−++ = 2
0 = 0
3) an = 3n4nn 2
+−
�8=��6�ก 3n4nn 2
+− =
3n0n4nn
2
2
++
−
6�2 3$4� 6�#&��"�$ B���=��ก�����.'�., �8� n2 6�#&��"�$.4$���=��ก�����.'�., �8� 0n2
����1� lim 3n4nn 2
+− = lim
3n0n4nn
2
2
++
− = 01 %��4�2�42 3
5.2 (�%�*��
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
1. ��'��� .��"�$��4��ก��%��*�*"&����� �!� �$*:��� *=� "*�ก�)���=��� �! an ��'47��'(
ก�)N#��=.��
1) an = 1n42n3
−++
�8=��6�ก 3 2n + = 31
2)(n +
1n42n3
−++ = 1n
42)(n0n 31
−+++
(ก�����.'�., &��"�$ B���"�$.4$��8� ก����� 1)
����1� lim 1n42n3
−++ = lim 1n
42)(n0n 31
−+++ = 1
0 = 0
��ก��ก���* (���,ก"#7�3
n → ∞ n → ∞
n → ∞ n → ∞
n → ∞ n → ∞
29
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
2) an = 3n25n 2
+−
�8=��6�ก 25n 2 − = 212 2)(5n −
ก�����.'�., &��"�$ B��8�ก�����&�� 212 )(n %�8�ก����� 1 ��.��(��.*�:*;&��
6�#ก�����.'�., &��"�$ B��8� 21
(5) %�8� 5
����1� lim 3n25n 2
+− = 1
5 = 5
2. ��'�:*!�� �8=����,ก�� � � &���!��*���"4�2(��1!�ก�� �� � ����� 1. �8=� a1, a2, a3, S, an (A���� �!6��ก� ���ก-�!$ก&���,ก6�#&��
��� �!7��'( a1+ a2+ a3+ S + an $4� ��,ก��6��ก�
2. �8=� a1, a2, a3, S, an, S (A���� �!����"# ���ก-�!$ก&���,ก6�#
&����� �!7��'( a1+ a2+ a3+ S + an+ S $4� ��,ก������"#
�4� 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 (A���,ก��6��ก� ��=2 36�ก��� �!6��ก� 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 2 + 4 + 6 + ... + 2n + S (A���,ก������"#��=2 36�ก��� �!����"# 2, 4, 6, ..., 2n, S
3. ��'�:*!��.'"���=7�3%�-�!$ก n 6�#�ก&����,ก�� ����1 1) -�!$ก n 6�#�ก&����,ก�� �&�)*"
Sn = 2n [2a1+(n−1)d]
%�8� Sn = 2n [a1+ an]
2) -�!$ก n 6�#�ก&����,ก�� �&��)*"
Sn = 1r1)(ra n
1−
− , r ≠ 1 %���.��%��! |r| > 1
%�8� Sn = r1)r(1a n
1−− , r ≠ 1 %���.��%��! |r| < 1
(��=��&��.'"�&3��"3�7%3��ก ����BCก�� 3$�"� ��7�%���.8� ����%�$&3���= 1.2.1)
��ก��ก���* (��$��
n → ∞
30
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
6�ก��1� 7%3��ก �����4��!��*���7�%���.8� ����"4�2(��1 � ����� ก��%� a1+ a2+ a3+ S + an+ S (A���,ก������"#
7%3 S1 = a1
S2 = a1+ a2
M Sn = a1+ a2+ a3+ S + an
���ก Sn $4� 2���ก���� n 0+����ก(�����ก�� �8=� n (A�6���$� "@�!$ก
���ก��� �!����"# S1, S2, S3, ..., Sn, ... $4� � ����(��2���ก����(�����ก��
(a sequence of partial sums) 4. ��'�:*!��"�$��4����= 1 ��"�$��4����= 2 7�%���.8� ���� � �7%3��ก ����"�!���D��
"4�2(��1ก4��. �$*:���� �������� � 1 1) ��,ก�� 4+7 +10+S+(3n+1)+S (A���,ก����* 7
(��,ก�� �&�)*" �8=��6�ก 4+7+10+S+(3n+1)+S (A���,ก����=2 36�ก��� �! �&�)*" 4, 7, 10, S, (3n+1), S)
2) 7%3��ก ����!�ก�4� a1 �� d
(a1 = 4
d = 7−4 = 10−7 = S = 3) 3) 7�3.'"�7 ���4$�7�ก������$)%���� �!-�!$ก�4��&����,ก��
(7�3.'"� Sn = 2n [2a1+(n−1)d] )
�������� � 2 1) ��,ก�� 21 + 4
1 + 81 + ... +
n21 + ... (A���,ก����* 7
( (A���,ก�� �&��)*" �8=��6�ก 21 + 4
1 + 81 + ... +
n21 + ... (A�
��,ก����=2 36�ก��� �! �&��)*" 21 , 4
1 , 81 , ...,
n21 , ...)
2) 7%3��ก ����!�ก�4� a1 �� r
(a1 = 21
r = 41 ÷ 2
1 = 81 ÷ 4
1 = S = 21 )
3) 7�3.'"�7 ���4$�7�ก��%���� �!-�!$ก�4��&����,ก��
(7�3.'"� Sn = r1)r(1a n
1−
−
�8=��6�ก |r| = 21 = 2
1 �3��ก$4� 1)
��ก��ก���* $* ����%#
31
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
5. 7%3��ก �����4��!��*���7�%���.8� ����"4�2(��1
� ����� ก��%� ��,ก������"# a1+ a2+ a3+ S + an+ ... 7%3 S1, S2, S3, S, Sn, S
(A���� �!-�!$ก�4��&����,ก����1 D3���� �! Sn (A���� �!�'4 &3� ��
lim Sn = S �8=� S (A�6���$�6�*� �3$��,ก�� a1+ a2+ a3+S+ an+ ...
&]����ก�����(�� (convergent series) ���ก S $4� -�!$ก&����,ก�� D3���� �! Sn (A���� �!�'4��ก �3$��,ก�� a1+ a2+ a3+ S + an+ ... &]�
���ก�������ก (divergent series)
6�ก!��*��� ��'�:*!�� .�*�$4���,ก��6��ก� �,ก��,ก��%�-�!$ก2 3 .�� "4.��%��!��,ก������"#6�����1���,ก����=%�-�!$ก2 3����,ก����=%�-�!$ก2�42 3
��,ก������"#��=%�-�!$ก2 3 ���ก$4� ��,ก���'4 &3� ��,ก������"#��=%�-�!$ก2�42 3 ���ก$4� ��,ก���'4��ก
��' &���!��*���"4�2(��1 *=� "*�!�ก�� ��
� ����� -�!$ก&����,ก������"#7 �8��*�*"&��-�!$ก�4��"�$��= n �8=� n &3�.'4�4�����"# 7�3.�/��ก�)# lim Sn = S
� ����� 7%3 a1+ a2+ a3+ S + an+ ... (A���,ก������"#7 H
1) ��,ก�� a1+ a2+ a3+ S + an+ ... ���ก$4� ��,ก���'4 &3�
ก@"4� �8=� lim Sn %��4�2 3
2) ��,ก�� a1+ a2+ a3+ S + an+ ... ���ก$4� ��,ก���'4��ก
ก@"4� �8=� lim Sn %��4�2�42 3
6. ��'�ก"�$��4��"4�2(��1
�������� 6�*6��)�$4���,ก�� 31 + 9
1 + 271 + ... +
n31 + ... (A���,ก���'4 &3�%�8�
��,ก���'4��ก D3��'4 &3� 6�%�-�!$ก&����,ก��
��ก��ก���* (��$��
��ก��ก���* $* ����%#
��ก��ก���* (���,ก"#7�3
n → ∞
n → ∞
n → ∞
n → ∞
32
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
*6�ก"�$��4�� ��'7%3%��ก7�ก��"�$6.�!$4� ��,ก���'4 &3�%�8��'4��ก ����1
(�%� � 1 %� Sn
(�%� � 2 %� lim Sn
(�%� � 3 D3� lim Sn %��4�2 3 . �$4� ��,ก������"#�'4 &3�
D3� lim Sn %��4�2�42 3 . �$4� ��,ก������"#�'4��ก
. �$*:����2 3 ����1
��> � (�%� � 1 ��,ก����=ก��%� 7%32 36�ก��� �! �&��)*" 31 , 9
1 , 271 , ... ,
n31 , ...
�� a1 = 31 �� r = 3
1
%�-�!$ก�4�� n 6�#�ก&����,ก��2 3 ����1
Sn = r1)r(1a n
1−−
= ( )3113113
1 n
−
−
= )31(12
1n−
(�%� � 2 %� lim Sn
lim Sn = lim )31(12
1n−
= 21 lim )
31(1 n−
= 21
(�%� � 3 �8=��6�ก lim Sn %��4�2 3
����1� ��,ก������"#��=ก��%� 7%3 (A���,ก���'4 &3� ����-�!$ก �4�ก�! 21
*��'7%3�������� *=� "*�$4� ����$*:�"�$6.�!$4���,ก�� �&��)*"�'4 &3�%�8��'4��ก � �$*:��� 6�ก���r�!�"4�2(��1
n → ∞
n → ∞
n → ∞
n → ∞
n → ∞ n → ∞
n → ∞
n → ∞
33
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
97a� 7%3��,ก�� �&��)*"��6�#�ก (A� a1 �� r (A���"��.4$��4$�
D3� |r| < 1 �3$��,ก����1 (A���,ก���'4 &3� ���� r1a1−
(A�-�!$ก&����,ก��
D3� |r| ≥ 1 �3$��,ก����1 (A���,ก���'4��ก
6�ก"�$��4��&3��"3� |r| = 31 < 1 ����1� ��,ก���'4 &3�
-�!$ก&����,ก�� = r1a1−
= 311
31
− = 2
1
7. ��'�ก"�$��4���6��#"4�2(��1 7%3��ก �����4$�ก��%����"�! 1) 7�ก��"�$6 .�ก��%�C=�PC=�$�� ����ก�� (A���1�H !$4� .�7�"4����1�6�����กก$4�
.�7���1�!���=��'4"* ก�� (A�6���$� 3 "3� .�� D3���1�!�., �� .� 61 "3� �� ��1��4��., PC=���'4"* ก�!81� *��� .� 379 "3� 6�%�$4� .�ก����1$��P3��ก��ก�=��1� ���� .���1�%� ก�="3�
��> � 6���$� .� ����ก��6�ก��1�!�., �8� 61, 64, 67, ..., 379 ��,ก���8� 61+64+67+...+379 (A���,ก�� �&�)*" %�6���$���1� 6�ก.'"� an = a1+(n−1)d
an = 379, a1 = 61, d = 3
379 = 61+(n−1)3 379 = 61+3n−3
3n = 321 n = 107
����1� .�ก����1�� 107 ��1� %�6���$� .���1�%�
6�ก.'"� Sn = )a(a2n
n1 +
= 379)(612107 +
= 4402107 ×
= 23,540 ����1� .�ก����1����1�%� 23,540 "3�
��ก��ก���* $* ����%# ��ก��ก���* (���,ก"#7�3
34
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
2) @ก��%�C=� �����'ก%*� (A�D$H 8=�(��ก�! (A��'(.�� %��=�� � �6� �'ก%*�7�D$!�7%3�3��ก$4��'ก%*�7�D$�4����=��'4"* ก��%�C=��'ก D3�D$!�., ���'ก%*���'4 ���%�C=��'ก PC=���'47�"��%�4�&��6, �� &���'(.�� %��=�� 3$� D3��'(.�� %��=����1(��ก�! 3$��'ก%*���1�%� 190 �'ก 6�%�$4����&���'(.�� %��=�����'ก%*�ก�=�'ก
��> � �'ก%*���= ����6�กD$!�., &��� (A���,ก��2 3 ����1 1+2+3+... PC=� (A���,ก�� �&�)*" %� n
6�ก.'"� Sn = 1)d](n[2a2n
1 −+
Sn = 190, a1 = 1, d = 1
190 = 1)(1)](n[2(1)2n −+
380 = n(2+n−1) 380 = n(n+1)
19 × 20 = n(n+1) 19(19+1) = n(n+1)
����1� n = 19 D$�4��., �8�D$��= 19 %�6���$��'ก%*�7�D$��= 19 6�ก.'"� an = a1+(n−1)d
= 1+(19−1)(1) = 1+18 = 19
����1� ���&���'(.�� %��=�����'ก%*� 19 �'ก 3) �'ก",3���{*ก� �8��%�C=�ก$4� (A� .3���3� ���1��กก$4�2 3��� 10 P�"* �"� ���1�
"4�2(ก$4�2 3������� 109 &������������1�ก4�� .�� 6�%����������=�'ก",3�
&����{*ก� �8����1ก$4�"�1�"4 �*=�ก$4�6�%�, ��> � ���1��ก�'ก",3�ก$4�2 3��� 10 P�"* �"�
���1���=.���'ก",3�ก$4�2 3��� 109 × 10 = 9 P�"* �"�
35
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
���1���=.���'ก",3�ก$4�2 3��� 109 × 9 = 8.1 P�"* �"�
��,ก���8� 10+9+8.1+... (A���,ก�� �&��)*"
a1 = 10, r = 109 = 0.9
6�ก.'"� S∞ = r1a1−
= 0.9110−
= 0.110
= 100 ����1� �'ก",3�ก$4�2 3�����1�.*1� 100 P�"* �"�
8. ��'7%3��ก ����!4�ก�,4����ก*6ก�����= 1.2 ก ก�,4��� 3 &3� �3$�4$�ก����*(������"�!��=2 3&��"4��ก�,4�
5.3 (�%�*��& ��'����ก �����4$�ก��.�,("��(�� @�"4�2(��1 1) ��,ก��2 36�กก��!$ก6�#�,ก6�#&����� �! -�!$ก n 6�#�ก&����,ก�� �&�)*" �8�
Sn = 1)d](n[2a2n
1 −+ �8=����!6�#�ก��-�"4���4$�
%�8� Sn = )a(a2n
n1 + �8=����!6�#�ก��6�#��= n
-�!$ก n 6�#�ก&����,ก�� �&��)*" �8�
Sn = 1r1)(ra n
1−
− , r ≠ 1 %���.��%��! |r| > 1
%�8� Sn = r1)r(1a n
1−− , r ≠ 1 %���.��%��! |r| < 1
2) ��,ก������"#7 H ���ก$4� ��,ก���'4 &3� ก@"4� �8=� lim Sn %��4�2 3
��,ก������"#7 H ���ก$4� ��,ก���'4��ก ก@"4� �8=� lim Sn %��4�2�42 3
3) ก��%�-�!$ก&����,ก������"#ก@�8�ก��%��4� S � ���= S = lim Sn
n → ∞
n → ∞
n → ∞
36
6. *���ก�������� / �����ก��������
6.1 *���ก��������
- %���.8� ���� .�*��)*"B�."�# *=� "*� �.6 ��� ������= 2
- %���.8� ����.���ก�� �����'3 *=� "*� �)*"B�."�# �4� 2 ก�,4�.���ก�� �����'3�)*"B�."�# ��1���:��BCก�� (l��= 6 � �.D�!��.4� .�*�ก��.��$*���B�."�#�� �������� (..$�.) ก����$�BCก��:*ก��
6.2 �����ก��������
1) %3��.�, ��� ����
2) %3��.�, ก�,4�.���ก�� �����'3�)*"B�."�#
7. ก�+ก���*�����
7.1 ก�+ก���*��*���ก��1�������1�����
(�%�������(�����
7%3��ก ����!4�ก�,4��$!�$��6��# ก�=�$ก�!ก��%�-�!$ก����"#&����,ก�� ก�,4��� 3 &3�
(�%���1�����
7%3��ก �����4$�ก��$* ����%#�6��# .'"���=7�3%�-�!$ก����"# �3$. �$*:�%�-�!$ก��4�� (A�&�1�"��
(�%�*��&
7%3��ก ���� &����6��#��$*:�%����"�! 6� ��� (A�������.4���'
(�%�&����ก��.��
��' �8�ก�6��#��=�4�.�76�������*(����4$�ก��7���1� ����
7.2 ก�+ก������!�ก��
��'.����D!'�)�ก��ก�� ����ก�!ก�,4�.���ก�� �����'3����"4��(�� �B � �ก��%� �������7%3��ก ����!4�ก�,4��3�%��6��#(F/%�!!"4��H ��=7�3�$���'3 ก�=�$ก�!ก��%�-�!$ก&����,ก������"#������ ��$ก�!�6��#7� ก*6ก�����= 1.2 ก &3���= 9-11 � � (A��6��#�������ก�� 6�ก%�4��$���'3"4��H ก�,4��� 3 &3�
/������ B4+ ��/�7����ก97ก���ก��ก����2���ก(�����ก��������C
2�ก�������� 7�3ก��!$�ก��(��$��%���6�ก�������ก�� (A�����2���:*!��$*:�ก��ก3�6��#(F/%� � � 7�3�$���'3 �8=��-�!$ก&����,ก������"#
2���� �����ก�� �6��#�������ก�� ก�=�$ก�!ก��%�-�!$ก&����,ก������"#
(�%����ก�� ���� 1. BCก��$*:�ก������$���'3 ก�=�$ก�!ก��%�-�!$ก&����,ก������"#��7�3ก3�6��#(F/%�
2. �3�%��6��#�������ก�� �8=��-�!$ก&����,ก������"# 6�ก%�4��$���'3"4��H ก�,4��� 3 &3�
3. (��$��%���&���6��#�������ก�� (A�����2�� � �7�3 Dictionary %�8���6&���� �����6�ก��'.��$*���������ก��
37
4. &����6��#�������ก����$*:�ก��ก3(F/%��3�����(� (A�����2��
5. &������B��#.����/2$37����-�$ก�3��������
ก!;�ก��&����� 1. �$��D'ก"3��7�ก��(��$��%�����ก��ก3�6��#(F/%� 2. �$��.��� ���!�3��&���*1����
38
8. ��� :ก����ก��*�� (!���Cก a��(�� @���=��&3��'�.��.� �B�� 6�)
&���E�ก����� :ก +����� +�� �1��&���&���
1. ก��6� ก*6ก���ก�� �����'3
2. ก��7�3.8=�ก�� �����'3
3. ก��(�� �*�-�ก�� �����'3
4. ก��!���,-�ก�� �����'3&����ก ����
��� :ก0������ SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.S..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS..SS
���8=�SSSSSSSSSSSSS..-'3.��
��� :ก1����E�(��2�����+*���2�ก��+��ก�������� SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.S..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SS.SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SS..SS..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SSS
���8=�................................................................
"��%�4�...........................................................
39
���*��ก�ก�����1 �F�����ก������ก�+ก���������%�
�������%� ............... ����� ........................................................... ��� � ............ ���� ........................... 0.G. ..................
1 ��%�+� ��'-'3.��(�� �*���ก ����� �7�3$*:�.�� ก"7�&)� �� �*�ก��.�� �3$7%3�� �!���� ����1 3 �8=�(9*!�"*!4��H 2 �8=�(9*!�"*!�����1� 1 �8=�2�4(9*!�"*%�8�(9*!�"*�3����ก
� ����-*ก��
ก���
��1 �
F��
ก���
���ก�+
ก���
ก���
*��1
���1
���E�
ก��I
�กF��
���1
����
�����1����
10-12 7-9 4-6
3 3 3 3 12 � 0�.�� &���&���
40
���&�����ก�� ����ก����
����1!��G�*��� ����� ........................................................... ��� � ............ ���� ........................... 0.G. ....................
� ����-*ก��
&���E�ก��&�����/1���� �����1����
1���
���2��
���
(���
����1
�
ก���
*����
���
.�ก�
� ��
��
1���
1��*�
���*�
�1�
2���
�
��� 20-25 12-19 5-11
5 5 5 10 25 � 0�.�� &���&���
ก!;�ก��.��1���� 5 �8=��"*ก���� 4��� 6� ���ก (A�!!��4��7%3ก4-'3�8=� 4 �8=��"*ก���� 4� � 3 �8=��"*ก��� ���! �4�ก����=$2( (A�2("����=ก��%� 2 �8=��"*ก���2�4�4��� 4���"=��ก$4���"������=$2( 1 �8=��"*ก���2�4 %���.� 2�4�4��. ���ก%�8�7%3�$���4$��8�
41
�2�ก��+��ก�������� � 1/4
����� *�6��ก7!�� �ก����ก
��� 2 ����4�� 1. &5�����ก��������
1.1 2�ก�������� &�����,ก��7��'(.�/��ก�)#��ก��!$ก2 3 1.2 +��&��*�1�ก�������� &�����,ก��7��'(.�/��ก�)#��ก��!$ก2 3
2. *���* �1�6 2.1 *���ก�������� .�/��ก�)#��ก��!$ก 2.2 �ก7� / ก�����ก�� 1) ��ก��ก��������ก�,4� 2) ��ก��ก��.8=�.������)*"B�."�# 3) ��ก��ก��ก3(F/%� 2.3 �ก7�ก��1�� 1) ��ก��ก���* (��$�� 2) ��ก��ก���* $* ����%# 3) ��ก��ก���* (���,ก"#7�3
3. �������ก�������� 3.1 2���� / ��%����
1) -����6�กก�����ก*6ก�����= 1.2 & 2) -����6�กก�����ก*6ก���ก�,4� 3.2 ก�����ก��(�%����ก��&8�������� 1) 6� ก�,4� ก�,4��� 5-6 �� 2) �8�ก%�$%�3�ก�,4� 3) %�$%�3�ก�,4�!4���� 4) �4$�ก�����ก*6ก�����=ก��%� 5) ��� .��-����%�3���1� ���� 6) ��'��!%���7%3���ก*6ก�����= 1.2 &
42
3.3 09��ก������1�!��ก7!�0:�&��*�1� 1) ��ก ����7%3�$���4$��8�7�ก��������ก�,4� 2) ��ก �������$���� ��� ��!��!����!-* ��!7�ก�������� 3.4 1������1���(��.+ ��ก �����'3$*:�ก��7�3.�/��ก�)# Σ 7�ก��%�-�!$ก&����,ก��
4. ��� ��ก�����2����&�����2� ก!;�(�%��� �
1) 2 3�� �! G�7�3I &C1�2( 2) 2 3�� �! G �I &C1�2( 3) ���2 3D'ก"3�� 80% &C1�2( ก��*��&2�ก��&�����
"3��-4�� ก)N#&�1�"=����1� 3 ���ก��
5. ก�+ก���ก�����ก��*��0���ก��������
5.1 (�%�� � ��'�!�$�ก��%�-�!$ก&����,ก������"# � �ก��%� �6��#"4�2(��17%3��ก ����%����"�!
1) 6�%�-�!$ก&�� 2 + 65 + 36
13 + 21635 + ...
��> � 2 + 65 + 36
13 + 21635 + ...
= 2 + 3 25×
+ 9 4 13×
+ 27 835×
+ ...
= 2 + ( )...271
81
91
41
31
21 ++++++
= 2 + ( )...81
41
21 +++ + ( )...27
191
31 +++
= 2 +211
21
−+
311
31
−
= 2 + 1 + 21 = 3 2
1
����1� -�!$ก&����,ก����1�8� 3 21
43
2) 6�%�-�!$ก&�� 61 + 36
7 + 21637 + ...
��> � 61 + 36
7 + 21637 + ...
= 3 21×
+ 9 4 7×
+ 27 837×
+ ...
= ...81
278
41
94
21
32 +++
−
−
−
= ( )...278
94
32 +++ − ( )...8
141
21 +++
= 321
32
− −
211
21
−
= 2 − 1 = 1
����1� -�!$ก&����,ก����1�8� 1
5.2 (�%�*��
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
1. ��'�:*!��$4� 7�ก�� &�����,ก��!����,ก���4��&3���8 ��$ ����1� 8=��$��.� $ก 7�ก�� &�����,ก�� 6�7�3.�/��ก�)# Σ ( ���ก$4� P*ก��) ��ก��!$ก&��6�#"4��H ����1
∑=
n
ii
1 a = a1+ a2+ a3+ S + an
∑=
∞
1 iia = a1+ a2+ a3+ S + an+ S
2. 6�ก.�/��ก�)# ∑=
n
ii
1 a %�8� ∑
=
∞
1 iia "�$(� i ���ก$4� ���� PC=�6�ก��%� 6�#�ก��
6�#., �3��&����,ก�� �4�
∑=
6
1 ii �� 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
∑=
5
1
2
ii �� 12+ 22+ 32+ 42+ 52
∑=
∞
1 in3 �� 31+ 32+ 33+ ... + 3n+ ...
��ก��ก���* (��$��
44
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
��'7%3&3�.�� ก"$4� "�$��ก����= (A� ����6�7�3��ก��"�$7 ก@2 3 2�46�� (A�"3��7�3��ก�� i ��4�� ��$
�4� ∑=
∞+
1 i1i ��6 &��� (A� ∑
=
∞+
1 n1 n %�8� ∑
=
∞+
1 r1 r
��ก6�ก��1 ����ก@2�46�� (A�"3�� �*=�6�ก 1 .��2(
�4� ∑=
14
10
2
k k = 102+ 112+ 122+ 132+ 142
∑=
+42
40 n5 n = (40+5) + (41+5) + (42+5)
3. ��'7%3��ก ����BCก��.�!�"*&�� Σ 7�%���.8� ���� ��.�,(.'"� ก�=�$ก�!-�!$ก n 6�#�ก&����,ก����=��ก6�7�3 .�� ����1
∑=
n
i 1 i = 2
n (n+1)
∑=
n
i 1
2i = 6n (n+1)(2n+1)
∑=
n
i 1
3i = 2
1)(n2n
+ =
2
1
n
ii
∑=
4. ��'�ก"�$��4��"4�2(��1 *=� "*�6�ก7�%���.8� ����
1) 6�%��4�&�� ∑=
n
i 1 (4i3− 6i2+ 2i − 5)
��> � ∑=
n
i 1 (4i3− 6i2+ 2i − 5) = 4 ∑
=
n
i 1
3i − ∑=
n
i 1
2i 6 + ∑=
n
i 1 i 2 − ∑
=
n
i 1 5
= 4Σn3− 6Σn2+ 2Σn − 5n
= 5n1)(n2n21)1)(2n(n6
n6 1)(n2n4
2−−
+++++
= 5n1)n(n1)1)(2nn(n1)1)(n(n4n4 2
−− ++++++
��ก��ก���* (��$��
��ก��ก���* $* ����%# ��ก��ก���* (���,ก"#7�3
45
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
= n2(n+1)(n+1) − n(n+1)(2n+1) + n(n+1) − 5n
= (n+1)[n2(n+1) − n(2n+1) + n] − 5n
= (n+1)(n3+ n2− 2n2− n + n) − 5n
= (n+1)(n3− n2) − 5n
= n2(n+1)(n − 1) − 5n
= n2(n2− 1) − 5n
= n4− n2− 5n
= n(n3− n − 5)
2) 6�%�-�!$ก&����,ก��"4�2(��1DC� n 6�# 1•3 + 2•5 + 3•7 + 4•9 + ...
��> � 1•3 + 2•5 + 3•7 + 4•9 + ... *6��)���� �! 1, 2, 3, 4, ... (A���� �! �&�)*" ��6�#��= n &����� �! an = 1 + (n − 1)1 = n
*6��)���� �! 3, 5, 7, 9, ... (A���� �! �&�)*" ��6�#��= n &����� �! an = 3 + (n − 1)2 = 2n + 1
����1� 6�#��= n &����� �! 1•3 + 2•5 + 3•7 + 4•9 + ... �8� an = n(2n + 1)
an = 2n2+ n
Σan = 2Σn2+ Σn
= 2 • 6n (n + 1)(2n + 1) + 2
n (n + 1)
=
+++ 2
n1)(2n3n1)(n
=
+++ 2
n3nn3
21)(n 2
=
++ 6
5nn321)(n 2
=
++ 6
5nn641)(n 2
= 6n (n + 1)(4n + 5)
����1� -�!$ก n 6�#&����,ก�� 1•3 + 2•5 + 3•7 + 4•9 + ... �4�ก�! 6n (n + 1)(4n + 5)
46
ก�+ก���ก�����ก��*�� <=กก��1�����
5. ��'7%3��ก ����!4�ก�,4����ก*6ก�����= 1.2 & ก�,4��� 3 &3� ���7� $����=ก��%� .��%��!�6��#&3���=��ก ��'�$�7%3�������� !81��"3�7�ก��ก3(F/%� (BCก��2 36�ก.4$� a��) �8=��,กก�,4���� .�@6�3$ ������"�!����*(����4$�ก��
5.3 (�%�*��& ��'����ก �����4$�ก���!�$�.�!�"*&�� Σ ��ก��7�3 Σ %�-�!$ก
6. *���ก�������� / �����ก��������
6.1 *���ก�������� - %���.8� ���� .�*��)*"B�."�# *=� "*� �.6 ��� ������= 2 - %���.8� ����.���ก�� �����'3 *=� "*� �)*"B�."�# �4� 2 ก�,4�.���ก�� �����'3�)*"B�."�# ��1���:��BCก�� (l��= 6 � �.D�!��.4� .�*�ก��.��$*���B�."�#�� �������� (..$�.) ก����$�BCก��:*ก��
6.2 �����ก�������� 1) %3��.�, ��� ���� 2) %3��.�, ก�,4�.���ก�� �����'3�)*"B�."�#
7. ก�+ก���*����� -
47
8. ��� :ก����ก��*�� (!���Cก a��(�� @���=��&3��'�.��.� �B�� 6�)
&���E�ก����� :ก +����� +�� �1��&���&���
1. ก��6� ก*6ก���ก�� �����'3
2. ก��7�3.8=�ก�� �����'3
3. ก��(�� �*�-�ก�� �����'3
4. ก��!���,-�ก�� �����'3&����ก ����
��� :ก0������ SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.S..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS..SS
���8=�SSSSSSSSSSSSS..-'3.��
��� :ก1����E�(��2�����+*���2�ก��+��ก�������� SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.S..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SS.SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SS..SS..SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.SSS
���8=�................................................................
"��%�4�...........................................................
48
���*��ก�ก�����1 �F�����ก������ก�+ก���������%�
�������%� ............... ����� ........................................................... ��� � ............ ���� ........................... 0.G. ..................
1 ��%�+� ��'-'3.��(�� �*���ก ����� �7�3$*:�.�� ก"7�&)� �� �*�ก��.�� �3$7%3�� �!���� ����1 3 �8=�(9*!�"*!4��H 2 �8=�(9*!�"*!�����1� 1 �8=�2�4(9*!�"*%�8�(9*!�"*�3����ก
� ����-*ก��
ก���
��1 �
F��
ก���
���ก�+
ก���
ก���
*��1
���1
���E�
ก��I
�กF��
���1
����
�����1����
10-12 7-9 4-6
3 3 3 3 12 � 0�.�� &���&���
49
���&�����ก�� ����ก����
����1!��G�*��� ����� ........................................................... ��� � ............ ���� ........................... 0.G. ....................
� ����-*ก��
&���E�ก��&�����/1���� �����1����
1���
���2��
���
(���
����1
�
ก���
*����
���
.�ก�
� ��
��
1���
1��*�
���*�
�1�
2���
�
��� 20-25 12-19 5-11
5 5 5 10 25 � 0�.�� &���&���
ก!;�ก��.��1���� 5 �8=��"*ก���� 4��� 6� ���ก (A�!!��4��7%3ก4-'3�8=� 4 �8=��"*ก���� 4� � 3 �8=��"*ก��� ���! �4�ก����=$2( (A�2("����=ก��%� 2 �8=��"*ก���2�4�4��� 4���"=��ก$4���"������=$2( 1 �8=��"*ก���2�4 %���.� 2�4�4��. ���ก%�8�7%3�$���4$��8�
50
ก��&��������*� �����������*�E+*�%�ก�����.������ก�������� � 1
(Self Reflection)
1. ก��&���������(��2����� 7%3 �� �*�ก�� ����1 1.1 ��'�!�$�-�ก�� �����'3(��6��%�4$�ก�� �����'3�,ก&3� 7%3��ก ����2 3���! � ���6 &���2$3!�ก�� ��
�3����1��!�$�DC�%�$&3�ก*6ก���ก�� ����$4�2 3 ������2�!3��
1.2 7%3��ก ���� &���!���Cกก��(�� �*�"� ��2$37�.�, ��� 3��%���"��%�$&3� ����1
��� :กก��&��������*� �������&��+ ������ก�������� � 1
���/����/&' ���� :ก ............... / ............... / ...............
���ก����� :ก
1. 6�กก�� ������=-4����2 3�$���'3��2�!3�� ........................................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................................
2. (F66,!����1���$��.����D(9*!�"*.*=�7 2 3�3$!3�� ........................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... 3. .*=���=���2�4�'3 2�4ก��64�� 2�4 &3�76 ����2�!3�� ........................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... 4. -����%�8��*1������= �3��$������'�*766�กก�� ����7�!���1�8���2� ���2�6C�����'�*76 ........................................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................................
2. ก��0�e��ก�����ก��*��4��.��ก�����ก����+��.���%����(��1��
��������� ���+��.........................................................................
1. 1���&]���(��&f6��
.*=���=�� %$��................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... .*=���= (A�6�*�.................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... (F/%���=!�8�................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................... .� %",&��(F/%��8�...................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................................
51
�$���ก��ก3(F/%��8�.............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................................... 2. ���F�&��*�1�.�ก���ก�&f6��
2.1 8=�ก3(F/%� �8=��...................................................................................................................................................................
&����ก ������1�................................... %3�� ...................................... 6���$� ............................ ��� �7�3..................... ....................................................................................................................................................................................................
2.2 8=�BCก��-�ก��ก3(F/%� ก�=�$ก�! ..................................................................................................................................... %���6�ก��=2 3� ���7�3$*:�ก3(F/%�� � ........................................................................................................................... 3. (��(�(��ก���ก�&f6��
3.1 ก�,4� (~�%���7�ก��ก3(F/%��8� ��ก ������1� .............................. %3�� ......................... 6���$� ........................ �� 7���� ������= .................................... (lก��BCก�� .................................. ��=��(F/%� ก�=�$ก�! .......................................... 3.2 �81�%���=7�37�ก��BCก���8� �8=�� .................................................................... %�4$�ก�� �����'3 .................................... $*�� ................................................................................... 3.3 ���� $��7�ก��BCก�� (����) ............ .�( �%#/ 8�� "�1�"4$����= ......... 8�� ............................ .B. ................. DC�$����= ................ 8�� .................................... .B. ......................... 4. ��>� ����ก��.�ก���ก�&f6�� 4.1 ��8=���8���=7�37�ก��ก3(F/%� �8� ...................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................
PC=���&�1�"��7�ก��.�3�������� ����1 .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................
4.2 ��8=���8���=7�37�ก�� ก@!�$!�$�&3��'��8� ...................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................
PC=���&�1�"��7�ก��.�3����"�$6.�!�,)�� ����1 .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................
4.3 ก�� ก@!�$!�$�&3��'� 2 3 �� �*�ก�� ก@!�$!�$�&3��'�"��$*:�ก�� ����1 1) ��� ��8=���8���=7�37�ก��ก3(F/%�2(� ���7�3ก�!��ก ����7� $�� ...................................................................... � �..................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................
52
2) ��� ��8=���8� ก@!�$!�$�&3��'�2( ก@!&3��'� ก�=�$ก�!...............................................................................................
� �..................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................
4.4 ก��$* ����%#&3��'���ก��.�,(-� 2 3 �� �*�ก��$* ����%#&3��'���.�,(-� ����1 .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................
5. 2�ก���ก�&f6��
-�ก��ก3(F/%� ก�=�$ก�! ............................................................................................................................................................... &����ก ����ก�,4� (~�%��� (��ก9-� ����1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................