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Universidad Nacional de Rosario
Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura
Escuela de Ingeniería Electrónica
A-15 - Dispositivos y Circuitos Electrónicos II
A-15
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II
Ingeniería Electrónica
Filtros Activos
Edición 2019.1
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Índice
Filtros activos: 1° parte ......................................................................................... 4
Definición de filtro: ................................................................................................................. 4
Clasificación: .......................................................................................................................... 4 Ejemplo:(Relación entre el espectro / F.T. / tiempo) ............................................................. 5
Concepto de transmisión sin distorsión – Retardo de grupo.................................... 6
Definimos: ........................................................................................................................... 6 Transmisión sin distorsión: ...................................................................................................... 6
Concepto de filtro activo: ....................................................................................... 7
Función transferencia:(transformada de Laplace de larespuesta al impulso) ........... 7
Observaciones: ..................................................................................................................... 7
Filtros activos de 1er orden: ................................................................................. 10
Derivador (pasa altos): .......................................................................................................... 10
Físicamente: ....................................................................................................................... 10 Pasa Altos con ganancia ..................................................................................................... 11
Integradores (pasa bajos): ...................................................................................................... 11 Integrador de Deboo (no inversor): ..................................................................................... 12
Filtro Pasa Banda (con ganancia):.......................................................................................... 14 Filtro Pasa Banda: ................................................................................................................. 15
Filtro Pasa Todo o Cambiadores de Fase: .............................................................................. 15 Resumen de las configuraciones de 1er orden: ....................................................................... 16
Pasa Bajos con ganancia: ................................................................................................... 16 Pasa altos con ganancia: ..................................................................................................... 17
Pasa todo:........................................................................................................................... 17
Filtros estándar de 2° orden .................................................................................. 18
Respuesta en frecuencia del sistema de 2ºOrden: .................................................. 20
Pasa Bajos de 20 Orden: ......................................................................................................... 21
Pasa Altos de 2° Orden: ......................................................................................................... 24 Respuesta Pasa Banda de 2° Orden:....................................................................................... 25
Observaciones: ................................................................................................................... 28 Selectividad:.......................................................................................................................... 29
FILTRO NOTCH (Rechaza banda – Filtro Muesca) .............................................................. 30
Filtros Activo 2° Parte: ......................................................................................... 32
Filtros Butterworth, Chebyshev y Bessel: ............................................................. 32
Aproximación de Butterworth: .............................................................................................. 34 Características del Filtro Butterworth: ................................................................................... 36
Filtros Chebyshev: ................................................................................................................ 37 Aproximación de Chebyshev Tipo I: .................................................................................. 39
Aproximación de Bessel(ó Thomson): ................................................................................ 39 Comparativa:...................................................................................................................... 41
Coeficientes para filtros de 2° Orden: ................................................................................. 41
Implementación circuital de Filtros de 2° Orden: ................................................. 43
Introducción-Explicación conceptual (Sallen-Key): ............................................................... 44
Filtro KRC Pasa Bajos: ......................................................................................................... 45 Ajuste del filtro: ................................................................................................................. 46
Solución óptima 1: Diseño KRC c/ componentes iguales.................................................. 46
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Filtro KRC Pasa Altos: .......................................................................................................... 47 Filtro Pasa Bandas KRC: ....................................................................................................... 48
Filtros de realimentación múltiple: ........................................................................................ 48 Pasa Banda:........................................................................................................................ 49
Sensibilidad:.......................................................................................................................... 49 Sensibilidad en los filtros KRC: ......................................................................................... 50
Sensibilidad en los filtros de realimentación múltiple: ........................................................ 50 Observaciones sobre Sallen – Key vs MFB: ........................................................................ 51
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
El presente trabajo es un resumen de los conceptos fundamentales que
explicaremos en clase. Para una comprensión y estudio del tema
aconsejamos consultar la bibliografía recomendada. Además, se trata de una
versión preliminar sujeta a cambios y correcciones.
Filtros activos: 1° parte
Definición de filtro:
Circuito que procesa señales con dependencia de la frecuencia. El
comportamiento está definido por la función transferencia𝐻(𝑠), con 𝑠
variable compleja 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔.
La forma en que su comportamiento varía con la frecuencia se llama
respuesta en frecuencia y se expresa en términos dela función
transferencia para 𝑠 = 𝑗𝜔 ⟹ 𝐻(𝑗𝜔)𝑐𝑜𝑛𝜔 = 2𝜋𝑓.
Aparecen entonces el módulo de la ganancia∥ 𝐻(𝑗𝜔) ∥ y la fase
∡ 𝐻(𝑗𝜔) = 𝜃(𝑗𝜔) que dan la ganancia y el cambio de fase que sufre una señal
de C.A al pasar por un filtro.
Clasificación:
ωC
|H(jω)|(en veces)
P.B.
ω1
|H(jω)|(en veces)
P.Banda
ω2
ωC
|H(jω)|(en veces)
P.A.
ω1
|H(jω)|(en veces)
R.Banda
ω2
ωC
|H(jω)|(en veces)
P.B.
ω1
|H(jω)|(en veces)
P.Banda
ω2
ωC
|H(jω)|(en veces)
P.A.
ω1
|H(jω)|(en veces)
R.Banda
ω2
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Ejemplo:(Relación entre el espectro / F.T. / tiempo)
Amplitud
νi
f1 f2 f3
f1 f2 f3
P.B.
f1 f2 f3
P.A.
f1 f2 f3
R.B.
Amplitud
νi
f1 f2 f3
f1 f2 f3
P.B.
f1 f2 f3
P.A.
f1 f2 f3
R.B.
Pasa bajos: Utilizados para filtrar (sacar) altas frecuencias. Ej:
medición de variables de baja dinámica (t °C).
Pasa altos: Procesamiento de imágenes. Ej: cambios bruscos en el
contorno.
Pasa banda: Selección de frecuencia de radio.
Rechaza banda (notch): Ej: medición de frecuencia cardíaca que
viene acompañada por la frecuencia respiratoria.
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Concepto de transmisión sin distorsión – Retardo de grupo.
Definimos:
𝑻𝒈(𝝎) = −𝒅𝜽(𝝎)
𝒅𝝎 y la fase 𝜽(𝝎𝟎) = −∫ 𝑻𝒈(𝝎)𝒅
𝝎𝟎
𝟎𝝎
Retraso de fase a la salida expresado en tiempo es:
𝑻 = −𝜽(𝒋𝝎𝟎)
𝝎𝟎=𝟏
𝝎𝟎
∫ 𝑻𝒈(𝝎)𝒅𝝎𝟎
𝟎
𝝎
Es decir, el retraso temporal de la salida respecto de la entrada a una
frecuencia dada es el promedio de 𝑇𝑔(𝜔).Por esto𝑇𝑔 se denomina Retardo de
grupo.
Cuando 𝑇𝑔 = 𝑐𝑡𝑒 ⟹ 𝑇 = 1
ω0∫ 𝑇𝑔(𝜔) 𝑑𝜔0
0𝜔 = 𝑇𝑔
Transmisión sin distorsión:
Para que haya transmisión sin distorsión debe ser la amplitud de la
respuesta en frecuencia 𝐴(𝜔) = 𝑐𝑡𝑒 = 𝐾y la fase debe disminuir con pendiente
constante
⟹ 𝑻𝒈(𝝎) = −𝒅𝜽(𝝎)
𝒅𝝎= 𝑻
“El retardo de grupo contante en el rango de frecuencia de la banda de
paso.”
Un filtro alimentado con una señal de entrada 𝑥(𝑡) = ∑ cos(𝜔𝑛𝑡)𝑚𝑛=1 tendrá
una salida:
𝒚(𝒕) = ∑ ∥ 𝑯 ( 𝒋𝝎𝒏) ∥. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒏𝒕 − 𝜽(𝝎𝒏))
𝒎
𝒏=𝟏
Para evitar la distorsión de amplitud ∥ 𝐻 ( 𝑗𝜔𝑛) ∥ = 𝑐𝑡𝑒
Además, el retardo que sufre cada componente es:
𝒕𝒏 =𝜽𝑯(𝝎𝒏)
𝝎𝒏
Retardo de fase.
Por lo tanto 𝜃𝐻(𝜔) = 𝜏𝜔
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Concepto de filtro activo:
Los filtros pueden construirse exclusivamente a partir de elementos
resistivos R y almacenadores de energía L y C. Son en este caso filtros
pasivos.
Con la aparición del concepto de realimentación, puedo usar
amplificadores (A.O.) y generar cualquier respuesta sin usar L.
Los C y L son elementos no disipativos que pueden almacenar energía
en un ciclo y entregarla en el otro.
Un A.O puede hacer lo mismo transfiriendo energía desde las fuentes de
alimentación y aportando energía a los elementos resistivos que son
disipativos.
Limitación: la ganancia a lazo abierto del amplificador operacional
limita el uso por debajo de los Mhz.
Para frecuencias mayores uso RLC. Además, en altas frecuencias
disminuye el tamaño de las inductancias y su peso, dado que la reactancia
inductiva en función de L es:
𝑿𝑳 = 𝟐𝝅𝒇𝑳
Función transferencia:(transformada de Laplace de larespuesta
al impulso)
Caracteriza el comportamiento con la frecuencia del filtro.
Resultan ser funciones Racionales de s con polinomios N(s) y D(s) con
coeficientes reales.
𝑯(𝒔) = 𝒂𝒎𝒔
𝒎 + 𝒂𝒎−𝟏𝒔𝒎−𝟏+. . . +𝒂𝟏𝒔 + 𝒂𝟎
𝒃𝒏𝒔𝒏 + 𝒃𝒏−𝟏𝒔𝒏−𝟏+. . . +𝒃𝟏𝒔 + 𝒃𝟎=𝑵(𝒔)
𝑫(𝒔)
Cuando conozco H(s) puedo encontrar x0(t) para una dada xi (t)
(tensión o corriente).
𝒙𝟎(𝒕) = 𝓛−𝟏{ 𝑯(𝒔). 𝑿(𝒔)}
(𝓛−𝟏transformada inversa de Laplace)
Observaciones:
a) El grado del denominador [D(s)] determina el orden del filtro.
b) Las raíces del numerador [N(s)] son los ceros {z1, z2,….,zn}
c) Las raíces del denominador [D(s)] son los polos {p1, p2,….,pn}
d) Se puede factorizar numerador y denominador.
⇒ 𝑯(𝒔) = 𝑯𝟎.(𝒔−𝒛𝟏).(𝒔−𝒛𝟐)…..(𝒔−𝒛𝒎)
(𝒔−𝒑𝟏).(𝒔−𝒑𝟐)….(𝒔−𝒑𝒏) con 𝑯𝟎 =
𝒂𝒎
𝒃𝒏
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
e) Las raíces se denominan frecuencia crítica o característica y sólo
dependen del circuito.
f) Las raíces pueden ser reales o complejas.
Si son complejas aparecen como pares conjugados ya que los
coeficientes son reales.
⟹ {pk = σk + jωk pk∗ = σk − jωkq
Ejemplo: En el siguiente circuito encontrar H(s) y la gráfica de polos y
ceros.
L=5mH
C=40µF
R=10Ω
Usando variable compleja:
𝑽𝟎(𝒔) = 𝑽𝒊(𝒔).𝑹
𝑳𝒔 +𝟏
𝒔𝑪+𝑹
⇒ 𝑯(𝒔) =𝑽𝟎(𝒔)
𝑽𝒊(𝒔)=
𝑹
𝑳𝒔 +𝟏
𝒔𝑪+𝑹
Operando algebraicamente:
⇒ 𝑯(𝒔) =𝑹
𝑳
𝒔𝑹
𝑳𝒔 +
𝟏
𝑳𝑪+ 𝒔𝟐
Vemos que tendrá un cero en s=0 y dos polos complejos conjugados.
Para encontrar los polos debo encontrar los ceros de la función
cuadrática del denominador.
Resolviendo:
⇒ 𝑯(𝒔) = 𝟐 . 𝟏𝟎𝟑𝒔
[𝒔 − (−𝟏 + 𝟐𝒋)𝟏𝟎𝟑][𝒔 − (−𝟏 − 𝟐𝒋)𝟏𝟎𝟑]
Es decir
Vi
C
R
L
VoVi
C
R
L
Vo
Vi
1/CS
R
LS
VoVi
1/CS
R
LS
Vo
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
𝒑𝟏 = ( −𝟏 + 𝟐𝒋). 𝟏𝟎𝟑
𝒑𝟐 = ( −𝟏 − 𝟐𝒋). 𝟏𝟎𝟑
-1 (0)
p1
p2
2
-1
-1 (0)
p1
p2
2
-1
Im(Krad/s)
Re(KNp/s)-1 (0)
p1
p2
2
-1
Im(Krad/s)
Re(KNp/s)
Vemos que los polos tienen parte real negativa.
Este es un sistema de fase mínima (polo con parte real negativa y
como máximo un cero en cero)
Vemos que esta función transferencia tiene una gráfica∥ 𝐻(𝑗𝜔) ∥ del tipo
pasabanda.
|H(jω)||H(jω)|
Conceptualmente:
cero en el origen bode con pendiente + 20 dB/dec.
2 polos bode con pendiente-40 dB/ dec. Por lo que la pendiente
de la asíntota para f > f polo resultará -20 dB/dec
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Filtros activos de 1er orden:
Repasemos algunas configuraciones ya estudiadas.
Son los filtros más simples que utilizan C y R como componentes
externos al AO.
Derivador (pasa altos):
Vi(S)Vo
R1/CSI(S)
Vi(S)Vo
R1/CSI(S)
𝑽𝟎 =−𝑽𝒊(𝒔)
𝟏/𝒔𝑪 . 𝑹 ⇒
𝑽𝟎(𝒔)
𝑽𝒊(𝒔)= −𝒔𝑪𝑹 ( 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒆𝒏 )
Si 𝒔 = 𝒋𝝎 ⇒ 𝑯(𝒋𝝎) = −𝒋𝝎𝑪𝑹 (1)
Si llamo 𝑪𝑹 = 𝟏
𝝎𝟎 (2)
De (1) y (2) H(jω) = −j ω
ω0 =
ω
ω0 ∠ − 90°
( 𝝎
𝝎𝟎= 𝑮𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒂 𝝎𝟎 ; ∠ − 𝟗𝟎° 𝒓𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔𝒐 𝟗𝟎° )
|H(jω)|dB
ω/ω0(normalizado)
01 1 10
20
-20
Físicamente:
f ↓( ω↓) →ǀZcǀ> R → Atenuación
f ↑( ω↑) →ǀZcǀ< R → Amplifica
para 𝜔 = 𝜔0 ∥ 𝐻(𝑗𝜔0) ∥= 1 = 0 𝑑𝐵.
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Pasa Altos con ganancia
ViVo
R21/CSR1
ViVo
R21/CSR1
𝑯(𝒔) = − 𝑹𝟐
𝑹𝟏
𝑹𝟏𝑪𝒔
𝑹𝟏𝑪𝒔+𝟏 (cero en S=0, polo en S=-1/R1C)
|H(jω)|
ω
Ideal
R2/R1
ω0
𝒘𝟎 =𝟏
𝑹𝟏𝑪
𝑯(𝒋𝝎) = − 𝑹𝟐𝑹𝟏
𝑹𝟏𝑪𝒋𝝎
𝑹𝟏𝑪𝒋𝝎 + 𝟏
𝑯(𝒋𝝎) = − 𝑹𝟐𝑹𝟏
𝒋(𝝎
𝝎𝟎)
𝟏 + 𝒋(𝝎
𝝎𝟎)
Integradores (pasa bajos):
VoVi
R C
de Miller
VoVi
R C
de Miller
𝑯(𝒔) =𝑽𝟎(𝒔)
𝑽𝒊(𝒔)= −
𝟏
𝑹𝑪𝒔
Integrador inversor, dividir por S, significa integrar.
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
𝒔 = 𝒋𝝎 ⇒ 𝑯(𝒋𝝎) = −𝟏
𝒋 (𝝎
𝝎𝟎)=𝟏𝝎
𝝎𝟎
∠ + 𝟗𝟎°
ω/ω001 1 10
20
-20
|H(jω)|
ω/ω0
90º
θ(jω)
ω/ω001 1 10
20
-20
|H(jω)|
ω/ω0
90º
θ(jω)
Integrador de Deboo (no inversor):
Conceptualmente es una fuente de Howland con carga capacitiva y con
entrada de señal por el terminal no inversor.
IL
Vo
R
2C
R
Vi
R
R
IL
Vo
R
2C
R
Vi
R
R
En la fuente de Howland vimos que:
𝒊𝑳 = 𝒗𝒊𝟏
𝑹
En términos de s:
𝒊𝑳(𝒔) = 𝒗𝒊(𝒔) 𝟏
𝑹
𝒆+(𝒔) = 𝒊𝑳(𝒔).𝟏
𝟐𝑪𝒔
𝒆+(𝒔) =𝑽𝒊(𝒔)
𝟐𝑪𝑹𝒔
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Luego:
𝑽𝟎(𝒔) = (𝟏 +𝑹
𝑹)𝑽𝒊(𝒔)
𝟐𝑪𝑹𝒔
𝑯(𝒔) =𝑽𝟎(𝒔)
𝑽𝒊(𝒔)=
𝟏
𝑪𝑹𝒔Un polo en s=0
El circuito integrador de Deboo puede estudiarse también
relacionándolo con el conversor de resistencia negativa que ya estudiamos.
IL
Vo
K R
C
R
Vi
R
R
Ri
Recordemos que, en el conversor de resistencia negativa, teníamos que
la resistencia de entrada es:
𝑹𝒊 = − 𝑹
𝑲
Vo
R2R1
R
Ri
Vo
R2R1
R
Ri
Por lo tanto, el C ve una resistencia equivalente:
𝑹𝒆𝒒. = 𝑹 ∕∕−𝑹
𝒌=𝑹. (
−𝑹
𝒌)
𝑹 −𝑹
𝒌
=−𝑹𝟐
𝒌. 𝑹 (𝟏 −𝟏
𝒌)=
−𝑹
𝒌 − 𝟏
𝑹𝒆𝒒. = 𝑹
𝟏 − 𝒌
Por lo que el polo estará en:
𝒑 = −𝟏 −𝑲
𝑹𝑪
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
0k
1
K<1
0k
1
K<1
a) para k<1:
𝑅𝑡ℎ = 1.𝑅
1−𝑘>0 ⇒prevalece R positiva, polo negativo y respuesta temporal
que se extingue. Energía perdida en R.
Re
K<1
Im
K=1
K>1
Re
K<1
Im
K=1
K>1
b) para k=1:
Se balancea la energía suministrada por la R negativa en la R positiva -
>polo en el origen.
c) para k>1:
d) Energía aportada por la R negativa es mayor que la de la R positiva -
> diverge.
Filtro Pasa Banda (con ganancia):
Vimos el integrador no ideal modificado para evitar la saturación del
A.O. Este es el mismo pensado como P.B con ganancia de CC.
IdealR2/R1
ω0
IdealR2/R1
ω0
Vi
R1C
R2
Vi
R1C
R2
IdealR2/R1
ω0
Vi
R1C
R2
𝑯(𝒔) = −𝑹𝟐𝑹𝟏
𝟏
𝟏 + 𝑹𝟐𝑪𝒔=−𝑹𝟐𝑹𝟏
𝟏
𝟏 +𝒔
𝝎𝟎
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
𝑯(𝒋𝝎) =−𝑹𝟐𝑹𝟏
𝟏
𝟏 +𝝎
𝝎𝟎
{
𝑺𝒊𝝎 ↑ ∥ 𝒁𝒄 ∥ ≪ 𝑹𝟐 ⇒ 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒂𝒅𝒐𝒓
𝑺𝒊𝝎 ↓ ∥ 𝒁𝒄 ∥ ≫ 𝑹𝟐 ⇒ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐𝒓𝒅𝒆𝒈𝒄𝒊𝒂−𝑹𝟐𝑹𝟏
Filtro Pasa Banda:
Vo
1/R1C
Vi
RiCf
R
C
Vi
RiCf
R
C
ω1/RCf
-20dB/dec
Figura 19
Vo
1/R1C
Vi
RiCf
R
C
ω1/RCf
-20dB/dec
Figura 19
𝑯(𝒔) =−𝑹
𝑹𝒊.
𝑹𝒊𝑪𝒔
(𝑹𝑪𝒇𝒔 + 𝟏). (𝑹𝒊𝑪𝒔 + 𝟏)
(Filtro de 2° orden como suma de órdenes menores)
Filtro Pasa Todo o Cambiadores de Fase:
Vo
R2
C
R1
R
Vi
Vo
R2
C
R1
R
Vi
A.O ideal + superposición
𝒆+ = 𝑽𝒊(𝒔).
𝟏
𝒔𝑪
𝑹 +𝟏
𝒔𝑪
= 𝑽𝒊(𝒔)
𝟏 + 𝑹𝑪𝒔=
𝑽𝒊(𝒔)
𝟏 +𝒔
𝝎𝒄
Aplico superposición:
𝑽𝟎(𝒔) = 𝑽𝒊(𝒔)
𝟏 + 𝑹𝑪𝒔(𝟏 +
𝑹𝟐𝑹𝟏) − 𝑽𝒊(𝒔)
𝑹𝟐𝑹𝟏
Suponiendo 𝑅2 = 𝑅1y operando:
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
𝑽𝟎(𝒔) = 𝑽𝒊(𝒔).( 𝟏 − 𝑹𝑪𝒔)
(𝟏 + 𝑹𝑪𝒔){⟹ 𝒄𝒆𝒓𝒐
𝟏
𝑹𝑪
⟹ 𝒑𝒐𝒍𝒐 −𝟏
𝑹𝑪
𝑯(𝒋𝝎) =𝟏 − 𝒋(
𝝎
𝝎𝟎)
𝟏 + 𝒋(𝝎
𝝎𝟎)= 𝟏
‖𝑯(𝒋𝝎)‖ =√𝟏+ 𝒋 (
𝝎
𝝎𝟎)𝟐
√𝟏+ 𝒋 (𝝎
𝝎𝟎)𝟐= 𝟏 𝒈𝒄𝒊𝒂𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆.
𝜽(𝝎) = −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝝎
𝝎𝟎) − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝝎
𝝎𝟎) = −𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝝎
𝝎𝟎)
ω/ω0
-180
1
ω/ω0
-180
1
Ecualizadores de fase.
Resumen de las configuraciones de 1er orden:
Pasa Bajos con ganancia:
R1C
R2
R1C
R2
𝑯(𝒔) =−𝑹𝟐𝑹𝟏
𝟏
𝟏 + 𝑹𝟐𝑪𝒔
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Pasa altos con ganancia:
R1
C
R2R1
C
R2
𝑯(𝒔) =−𝑹𝟐𝑹𝟏
𝑹𝟏𝑪𝒔
𝟏 + 𝑹𝟐𝑪𝒔
Pasa todo:
R
C
R
R
R
C
R
R
𝑯(𝒔) = 𝟏 − 𝑹𝑪𝒔
𝟏 + 𝑹𝑪𝒔
Todos los denominadores son del tipo 1 + 𝑅𝐶𝑠 ; ( 1 + 𝑗𝜔
𝜔0) y la respuesta
depende del numerador:
𝑵(𝒔) = 𝟏 → 𝑷𝒂𝒔𝒂 𝒃𝒂𝒋𝒐𝒔
𝑵(𝒔) = 𝑹𝑪𝒔 → 𝑷𝒂𝒔𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒐𝒔
𝑵(𝒔) = 𝟏 − 𝑹𝑪𝒔 → 𝑷𝒂𝒔𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Filtros estándar de 2° orden
El estudio de los filtros de 2° orden se puede ver genéricamente como
sigue: plantear un cociente de polinomios del tipo
Ecuación (1)𝑯(𝒔) =𝑵(𝒔)
(𝒔
𝝎𝟎)𝟐
+𝟐 𝝃(𝒔
𝝎𝟎)+𝟏
𝒄𝒐𝒏𝑵(𝒔)𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒎 ≤ 𝟐
Expresión general en función de:
𝝃 = 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒈𝒖𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐
𝝎𝟎 = 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 𝒏𝒐 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒈𝒖𝒂𝒅𝒂
O bien
Ecuación (2) 𝐻(𝑠) =𝑁(𝑠)
(𝑠
𝜔0)2+1
𝑄(𝑠
𝜔0)+1
𝑄 = 1
2𝜉 𝑄: 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑
Vemos que si en esta última expresión – ecuación (2)- desaparece el
término con S2 y consideramos Q → ∞ (𝜉 → 0) a expresión tiene el mismo
denominador que un filtro de primer orden 1 + (𝑠
𝜔0)
Utilizaremos la expresión (1) en función de 𝜉 para estudiar la ubicación
de los polos (ceros del denominador) ya que la ubicación en el lugar de las
raíces puede verse fácilmente en función de 𝜉.
Tiene 2 polos, y resolviendo la ecuación cuadrática, resultan:
𝑝1−2 = ( −𝜉 ± √𝜉2 − 1 ) 𝜔0→ como aparece una raíz el valor de
𝜉determinará si los polos son complejos o no.
Es decir, los polos son:
𝒑𝟏 = (− 𝝃 + √𝝃𝟐 − 𝟏) 𝝎𝟎
𝒑𝟐 = (− 𝝃 − √𝝃𝟐 − 𝟏) 𝝎𝟎
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Por lo tanto, podemos identificar las siguientes situaciones:
(0)
Im
Reƺ>1
ƺ<0
ƺ=1
ω0
ƺ=0
ƺ=0
ƺ<0
a) ξ = 0 ⇒ p 1-2 = ± JW0 2 polos complejos conjugados sobre
el eje y.
𝑯(𝒔) = 𝑵(𝒔)
(𝑺
𝑾𝟎)𝟐 + 𝟏
Respuesta No Amortiguada Sostenida.
b) ξ = 1⇒ p 1-2 =- JW0 un polo doble real negativo.
𝑯(𝒔) =𝑵(𝒔)
(𝒔
𝑾𝟎)𝟐 + 𝟐(
𝒔
𝑾𝟎) + 𝟏
(0)
ω0
ωn 1-ƺ2
ƺ=0
ƺ.ω0(0)
ω0
ωn 1-ƺ2
ƺ=0
ƺ.ω0
c) 0< ξ <1 ⇒ 2 polos complejos conjugados.
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Respuesta Sub Amortiguada
d) ξ >1 ⇒p 1-2 polos reales negativos.
Respuesta Sobre Amortiguada
e) ξ < 0 2 polos complejos conjugados c/ parte
real positiva.
Respuesta No Amortiguada
Respuesta en frecuencia del sistema de 2ºOrden:
La expresión general en función de Q es:
𝑯(𝒔) =𝑵(𝒔)
(𝒔
𝑾𝟎)𝟐 +
𝟏
𝑸(𝒔
𝑾𝟎) + 𝟏
Para estudiar la respuesta en frecuencia tomamos S=Jw
𝑯(𝒋𝒘) =𝑵(𝒋𝒘)
(𝒋𝒘
𝑾𝟎)𝟐 +
𝟏
𝑸(𝒋
𝒘
𝑾𝟎) + 𝟏
=𝑵(𝒋𝒘)
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋 (
𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸)
Al igual que para los sistemas de 1º orden las distintas respuestas serán
función del numerador N(s)
1) N(jw)= 1 ⇒ Pasa Bajos
𝑯(𝒋𝒘) =𝟏
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸)
2) N (jw)= −(𝑤
𝑊0)2⇒ Pasa Altos
𝑯(𝒋𝒘) =−(
𝒘
𝑾𝟎)𝟐
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸)
3) N (jw)= j (𝑤
𝑊0)1
𝑄⇒ Pasa Bandas
𝑯(𝒋𝒘) =𝒋 (
𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸)
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸)
21
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Genéricamente:
𝑯(𝒋𝒘) =𝑵(𝒔)
(𝒔
𝑾𝟎)𝟐
+𝟏
𝑸(𝒔
𝑾𝟎) + 𝟏
Pasa Bajos de 20 Orden:
Vamos a analizar conceptualmente la forma de la ganancia de amplitud
(Bode de amplitud) de filtros genéricos de 20 Orden que expresamos de esta
forma en función de Q.
𝑯(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎
𝟏
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸)
𝑯𝑳𝑷 (𝒋𝒘) = 𝟏
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸)
Para ello vamos a analizar el Bode de Ganancia en casos extremos:
𝒘
𝑾𝟎 ≪ 1 (w ≪ 𝑾𝟎) ;
𝒘
𝑾𝟎 ≫ 1 (ω ≫ 𝝎𝟎) y ω = 𝑾𝟎
1) Frecuencias Bajas ⇒ω
ω0≪1 (ω≪ω0)
En este caso
𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘) =𝟏
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸) ≈
𝟏
𝟏= 𝟎 𝒅𝑩
(𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸) Despreciables frente a 1
2) Frecuencias Altas ⇒w
W0≫ 1 (w ≫W0)
𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘) =𝟏
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸) ≈
𝟏
(𝒘
𝑾𝟎)𝟐
(𝒘
𝑾𝟎)𝟐
Prevalece frente a los otros
H0 = Ganancia de cc
22
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Esta aproximación tiene una asíntota:
|𝑯𝑳𝑷|𝒅𝑩 = 𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈𝟏
(𝒘
𝑾𝟎)𝟐= −𝟒𝟎 𝒍𝒐𝒈 (
𝒘
𝑾𝟎)(-40 dB por década)
3) w
W0 =1 ⇒ w = W0
𝑯𝑳𝑷(𝒋𝑾𝟎) =𝟏
𝟏 − 𝟏 + 𝒋 (𝟏
𝑸) ≈ −𝒋𝑸
Por lo que |HLP j(W0)| = 𝑄𝑑𝐵Este es el valor del |HLP j(W0)| pero no es el
máximo. Coincide con el máximo si Q→∞
Es decir, aparece una dependencia de |HLP |𝑑𝐵con el valor de Q.
Si Q ↑⇒|HLP | ↑
En términos de ξ sería (𝑄 =1
2𝜉) ; ξ ↓⇒ Q ↑⇒ |HLP| ↑
Conceptualmente si ξ → 0, los polos se acercan al eje imaginario,
siendo que ξ=0 tengo dos polos sobre el eje imaginario.
La forma del Bode de Ganancia para un sistema de 20 Orden es:
|HLP|dB
ω/ω0
1 10
-3dB
-40dB
~20dB
Q → ∞
Q = 10
Q = 2
Q = 1/2
-40dB/dec
Para valores altos de 𝑄, el pico de la gráfica es aproximadamente igual al
valor de 𝑄 en dB. En ω= ω0 el módulo tiende a ∞. Recordar que: Q → 0 es lo
mismo que ξ → 0 y significa que los polos tienden a ubicarse sobre el eje
imaginario.
Observaciones:
23
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
a) Para 𝑄 =1
√2, que es equivalente a ξ =
1
√2, tendremos
𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘) =𝟏
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝒘
𝑾𝟎)√𝟐
|𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘)| =𝟏
√[(𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐)]
𝟐
+ (𝒘
𝑾𝟎√𝟐 )𝟐
|𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘)| =𝟏
√𝟏− 𝟐(𝒘
𝑾𝟎)𝟐 + (
𝒘
𝑾𝟎)𝟐
+ 𝟐(𝒘
𝑾𝟎)𝟐
|𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘)| =𝟏
√𝟏+(𝒘
𝑾𝟎)𝟐
¿Dónde se produce la caída de 3dB?
Para ello calculemos |𝐻𝐿𝑃 | = 1
√2
⟹ |𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘)| =𝟏
√𝟏 + (𝒘
𝑾𝟎)𝟐=
𝟏
√𝟐⟹
𝒘
𝑾𝟎= 𝟏
⟹𝒘 = 𝑾𝟎
Es decir, si 𝑄 = 1
√2 W0 es la Frecuencia de Corte y la respuesta se
denomina “Máximamente Plana” que también se conoce como respuesta
Butterworth.
b) Para los valores de 𝑄 >1
√2 se verifica que el pico en la forma del
Bode se produce a:
𝒘 = 𝑾𝟎√𝟏 −𝟏
𝟐𝑸𝟐 es decir, a frecuencias menores que W0.
24
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
|HLP|dB
ω/ω0
1
Q´
ω/ω0
|HLP|dB
ω/ω0
1
Q´
ω/ω0
|HLP|dB
ω/ω0
1
Q´
ω/ω0
c) Los valores máximos de HLP son para Q>1
√2
|HLP|máx = 𝑸
√𝟏−𝟏
𝟒𝑸𝟐
Si Q ↑ ⇒ |𝐻𝐿𝑃|𝑚á𝑥 ≈ 𝑄𝑑𝐵
Si 𝑄 <1
√2 no hay picos y el máximo se produce en w = 0 (CC)
Por ejemplo, si
Q = 10 ⇒ {
𝒘
𝑾𝟎 ≅ 𝟏
|𝑯𝑳𝑷|𝒎á𝒙 ≈ 𝑸𝒅𝑩 ≈ 𝟐𝟎
Pasa Altos de 2° Orden:
La expresión general es:
𝑯(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎𝑯𝑷
−(𝒘
𝑾𝟎)𝟐
𝟏−(𝒘
𝑾𝟎)𝟐 +𝒋(
𝒘
𝑾𝟎)𝟏
𝑸
cero doble en S=0
Puede realizarse el mismo análisis que el caso del Pasa Bajos para
concluir que la gráfica del Bode de amplitud es de la siguiente forma:
25
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
|HLP|dB
ω/ω0
1
-3dB
Q ↑
Q = 1/2
-40dB/dec
En este caso se cumple que la frecuencia donde se produce el pico para
𝑄 >1
√2 es:
𝑾𝟎
𝒘= √𝟏 −
𝟏
𝟐𝑸𝟐
Y el pico vale:
|𝑯𝑯𝑷|𝒎á𝒙 = 𝑸
√𝟏− 𝟏
𝟒𝑸𝟐
Por lo que también se cumple que el módulo de la ganancia tiende a
valor de 𝐐 en dB para valores grandes de 𝐐.
Respuesta Pasa Banda de 2° Orden:
La expresión general es:
𝑯(𝒔) = 𝑯𝟎𝑩𝑷
𝒔
𝑾𝟎
𝟏
𝑸
𝟏 + (𝒔
𝑾𝟎)𝟐 + (
𝒔
𝑾𝟎)𝟏
𝑸
Y valorizada en s= jw resulta:
𝑯(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎𝑩𝑷
𝒋𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋(
𝒘
𝑾𝟎)𝟏
𝑸
Para estudiar conceptualmente que forma tendrá |HBP(jw)| en este caso
estudiaremos (como antes) para los casos extremos:
26
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
a) 𝑤
𝑊0 ≪ 1 ⇒ 𝑤 ≪ 𝑊0
En este caso:
𝑯𝑩𝑷(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎𝑩𝑷
𝒋𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋(
𝒘
𝑾𝟎)𝟏
𝑸
≈ 𝒋𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸
(𝒘
𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋(
𝒘
𝑾𝟎)𝟏
𝑸 Despreciables frente a 1
∴ |𝐻𝐵𝑃(𝑗𝑤)| = 20 log𝑤
𝑊0− 20 log𝑄(asíntota de 20 dB x década
correspondiente a un cero en cero corrido en QdB)
0 ω/ω0
1
Zona donde ω«ω0 y se
cumple la expresión
|HBP(jω)| Se aproxima a esta asíntota
|HBP|dB
20dB/dec
QdB
b) 𝑤
𝑊0≫ 1 ⇒ 𝑤 ≫ 𝑊0
En este caso resulta:
𝑯𝑩𝑷(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎𝑩𝑷
𝒋𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋(
𝒘
𝑾𝟎)𝟏
𝑸
≈ − 𝒋
𝒘
𝑾𝟎. 𝑸
(𝒘
𝑾𝟎)𝟏
𝑸Término dominante en el numerador
En este caso la asíntota de alta frecuencia es:
27
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
|𝑯𝑩𝑷|𝒅𝑩 = −𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈
𝒘
𝑾𝟎− 𝑸 𝒅𝑩
ω/ω01
Zona donde ω»ω0 y se
cumple la expresión
|HBP(jω)| Se aproxima a esta asíntota
|HBP|dB
-20dB/dec
QdB
c) Para 𝑤
𝑊0= 1 ⇒ 𝐻𝐵𝑃(𝑗𝑤) = 1 ⇒ |𝐻𝐵𝑃| = 0𝑑𝐵
Resumiendo: La forma del Bode de amplitud para un Pasa Banda tiene
la siguiente forma, para distintos valores de Q
0dB
-20dB
-40dB
0,1 1 10
Q = 10
Q = 5
Q = 1
|H|dB
0dB
-20dB
-40dB
0,1 1 10
Q = 10
Q = 5
Q = 1
|H|dB
28
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
La gráfica correspondiente a a Q=1 tiene una asíntota de − 𝟐𝟎𝐝𝐁
𝐝𝐞𝐜 sin
corrimiento pues Q=0dB
Observaciones:
a) Se demuestra que |HBP| tiene un pico en 𝜔
𝜔0= 1
independientemente del valor de Q, por lo que ω0 se llama
“Frecuencia de Pico o RESONANCIA”.
b) A medida que Q ↑ las gráficas son más “selectivas”.
c) Cerca de 𝜔
𝜔0= 1 las curvas con alto Q son mucho más empinadas
que ± 20 𝑑𝐵
𝑑𝑒𝑐 y fuera de la resonancia se comportan del mismo
modo.
29
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Selectividad:
Para expresar cuantitativamente la selectividad se introduce el concepto
de Ancho de Banda Bω= ωH- ωL
Donde ωH y ωL son frecuencias de -3 dB.
-3dB
0,1
ω/ω0
|H|dB
ωL ωH
Bω
-3dB
0,1
ω/ω0
|H|dB
ωL ωH
Bω
Se puede demostrar que:
𝝎𝑳 = 𝝎𝟎 (√𝟏 +𝟏
𝟒𝑸𝟐−
𝟏
𝟐𝑸 (∗)
𝝎𝑯 = 𝝎𝟎 (√𝟏 +𝟏
𝟒𝑸𝟐+
𝟏
𝟐𝑸 (∗∗)
Media Geométrica 𝝎𝟎 = √𝝎𝑳𝝎𝑯
Si se restan (**) y (*)
𝝎𝑯 − 𝝎𝑳 = 𝝎𝟎 (√𝟏 +𝟏
𝟒𝑸𝟐+
𝟏
𝟐𝑸) − 𝝎𝟎 (√𝟏 +
𝟏
𝟒𝑸𝟐−
𝟏
𝟐𝑸)
=𝝎𝟎
𝟐𝑸+ 𝝎𝟎
𝟐𝑸= 𝝎𝟎
𝑸= 𝑩𝝎
∴ 𝑸 = 𝝎𝟎
𝑩𝑾 𝑺𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅
Ejemplo:
Filtro 1 Filtro 2
BW = 10 𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔 BW = 10
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
30
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
𝜔0 = 1 𝐾 𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔 𝜔0 = 100
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
𝑄1 = 100, + selectivo 𝑄2 = 10
FILTRO NOTCH (Rechaza banda – Filtro Muesca)
La forma genérica de la función transferencia es con S = jω
𝑯𝑵(𝒋𝒘) = 𝟏 − (
𝒘
𝑾𝟎)𝟐
𝟏 − (𝒘
𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋
𝒘
𝑾𝟎
𝟏
𝑸
Vemos que además de los polos conjugados, tiene 2 ceros sobre el eje Imaginario:Z1-2 = ±𝒋𝝎𝟎
(0)
Im
Re
jω0
-jω0
ƺ.ω0
(0)
Im
Re
jω0
-jω0
ƺ.ω0
a) Si 𝜔
𝜔0 ≪ 1 ⟹ 𝜔 ≪ 𝜔0
𝑯𝑵(𝒋𝝎) = 𝟏
𝟏→ 𝟎 𝒅𝑩
b) Si 𝜔
𝜔0 ≫ 1 ⟹ 𝜔 ≫ 𝜔0
𝑯𝑵(𝒋𝝎 ) = 𝟏 − (
𝝎
𝝎𝟎)𝟐
𝟏 − (𝝎
𝝎𝟎)𝟐 + 𝒋
𝝎
𝝎𝟎
𝟏
𝑸
≅ 𝟏 → 𝟎 𝒅𝑩
Si 𝜔
𝜔0= 1
31
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
𝑯𝑵(𝒋𝝎) = 𝟏 − (
𝝎
𝝎𝟎)𝟐 → 𝟎
𝟏 − (𝝎
𝝎𝟎)𝟐 + 𝒋
𝝎
𝝎𝟎
𝟏
𝑸
→ 𝟎 ⟹ − ∞ 𝒅𝑩
20dB
0,1
ω/ω0
|H|dB
-20dB
1 10
Q = 10
Q = 1
20dB
0,1
ω/ω0
|H|dB
-20dB
1 10
Q = 10
Q = 1
0º
0,1
ω/ω0|H|dB
-360º
1 10
Q = 0.2
Q = 5
-180º
Q = 1
0º
0,1
ω/ω0|H|dB
-360º
1 10
Q = 0.2
Q = 5
-180º
Q = 1
Observación:
La combinación de un Pasa Altos y un Pasa Bajos resulta en un filtro
Notch
𝐻𝑁(𝑗𝑤) = 1
1 − (𝑤
𝑊0)2 + 𝑗
𝑤
𝑊0
1
𝑄
+ −(
𝑤
𝑊0)2
1 − (𝑤
𝑊0)2 + 𝑗
𝑤
𝑊0
1
𝑄
= 1 − (
𝑤
𝑊0)2
1 − (𝑤
𝑊0)2 + 𝑗
𝑤
𝑊0
1
𝑄
Pasa Altos
Pasa Bajos Notch
32
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Filtros Activo 2° Parte:
Filtros Butterworth, Chebyshev y Bessel:
Hasta ahora vimos filtros de 1° y 2° orden genéricos.
Para los de 1° orden vimos algunas síntesis con AO.
En general los filtros de orden N>2 se conforman con cascadas de
orden 1 y 2 (es lo que se conoce como diseño en cascada)
El proceso de diseño del filtro tiene en cuenta el tipo de Respuesta
(Ganancia y Fase) que se quiere tener para lo cual deben
especificarse la banda pasante y la banda de atenuación además
de la Ganancia.
Por ejemplo, en un Filtro Pasa Bajos tendríamos:
Gcia
ω/ω0
1
ωC ωS
Banda de
transición
Frecuencia
de corte
Frecuencia de la
banda de rechazo
Ate
nuac
ión m
ínim
a
Ripple en banda pasante
A m
ax
Gcia
ω/ω0
1
ωC ωS
Banda de
transición
Frecuencia
de corte
Frecuencia de la
banda de rechazo
Ate
nuac
ión m
ínim
a
Ripple en banda pasante
A m
ax
𝝎𝑺
𝝎𝑪= 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑺𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅
Vimos que los filtros de 2° orden tienen un rizado y una pendiente
mayor en la banda de transición. (por ej en un PB)
Es fácil ver que si pretendo una banda de transición angosta
deberemos elevar el orden del filtro.
33
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Cuando utilizo filtros con N>2 aparecerán polinomios en el
denominador de la H(s) con coeficientes que deberemos elegir en
función de la plantilla que especifiquemos.
Existen algunas aproximaciones que resultan satisfactorias de tal
forma que los coeficientes se tabulan en manuales de filtros.
Estos son (entre otros): Butterworth, Chebyshev y Bessel.
Estas tablas están normalizadas para frecuencias de corte de 1
Hz.
Lo que se suele hacer es factorizar H(s) en el producto de
términos de orden ≤ 2 y tabular los coeficientes de ellos para
luego usar celdas de orden n=1 y n=2 para lograr el orden del
filtro deseado. A esto se lo llama diseño en cascada.
En resumen, el diseño de un filtro de orden superior tendrá estos pasos:
Datos
Existe otro enfoque que se conoce como Simulación de Escalera RLC.
En este se utilizan convertidores de resistencias negativas, giradores,
etc. para simular un prototipo RLC pasivo que cumpla con las
especificaciones.
34
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Aproximación de Butterworth:
Desde el punto de vista matemático se pretende encontrar una función
que aproxime al filtro ideal, es decir si planteo un PB ideal sería:
H
f0 (ω0) f(ω)
N aumentando el orden
H
f0 (ω0) f(ω)
N aumentando el orden
Para eso se propone una función como la siguiente que intenta
aproximarse al filtro ideal:
|𝑯(𝒘)|𝟐 = 𝟏
𝟏 + (𝒘
𝒘𝒄)𝟐𝒏
ó |𝑯(𝒘)| = 𝟏
√𝟏+ (𝒘
𝒘𝒄)𝟐𝒏
Esta función tiene como característica que las 2n-1 derivada de |H(ω)|2
sean cero para ω=0 y ω=∞ .
En forma más general la aproximación de Butterworth tiene la siguiente
expresión:
|𝑯(𝑱𝝎)| = 𝟏
√𝟏 + 𝜺𝟐 (𝝎
𝝎𝑪)𝟐𝒏
Donde n es el orden del filtro y 𝜀 determina la Amáx (variación máxima
pasa-banda)
Observación: recordemos que la FT del filtro PB de primer orden era:
𝐻(𝑠) = −𝑅2
𝑅1
1
𝑅2𝐶𝑆 + 1 ⟶ 𝐻(𝑗𝑤) = 𝐻0
1
1 + 𝑅2𝐶𝑗𝑤
⇒ |𝐻(𝑗𝑤)| = 𝐻01
√1 + 𝑤2
𝑤02
35
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
que es la expresión BUTTERWORTH (de la aproximación).
Observación: Todos los filtros de primer orden, independientemente de sus
nombres, son idénticos y poseen la misma respuesta en frecuencia.
En base a una plantilla genérica, para este filtro podemos encontrar la
relación entre 𝐴𝑚á𝑥 y el coeficiente ε
ω/ω0
ωC ωS
A m
ín
A m
ax
ω/ω0
ωC ωS
A m
ín
A m
ax
𝑨𝒎á𝒙 = 𝑨(𝝎𝒄) = 𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈√𝟏 + 𝜺𝟐 = 𝟏𝟎 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝜺𝟐)
Se deduce considerando que la atenuación es:
A(ω)= -20log10 |H(jω)| y calculándola para ω = ωC
Por lo tanto, en el proceso de diseño del filtro, si pretendo una
determinada Amáx ⟹ determino 𝜀 .
Para ω→ ∞ ⟹ |𝐻(𝑗𝜔)| ⟶ 0 ⇒ −∞ 𝑑𝐵
Por ejemplo:
Quiero diseñar un filtro Pasa Bajos con una respuesta tipo Butterworth
con:
36
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
ω/ω0
fC = 1Khz
A m
ín =
40
dB
A m
ax =
1d
B
1
fS = 2Khz
ω/ω0
fC = 1Khz
A m
ín =
40
dB
A m
ax =
1d
B
1
fS = 2Khz
fc = 1 KHz
fs = 2 KHz
Amáx= 1 dB
Amín= 40 dB
𝑨𝑴á𝒙 = 𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈√𝟏 + 𝜺𝟐 = 𝟏 𝒅𝑩 ⟹ 𝜺 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟖
𝑨(𝝎𝒔) = 𝟏𝟎 𝒍𝒐𝒈 [𝟏 + 𝜺𝟐 (𝟐
𝟏)𝟐𝒏] = 𝟒𝟎 𝒅𝑩 ⇒ 𝒏 = 𝟕 ⇒ 𝑨(𝝎𝒔) = 𝟑𝟔, 𝟑 𝒅𝑩
⇒ 𝒏 = 𝟖 ⇒ 𝑨(𝝎𝒔) = 𝟒𝟐, 𝟐 𝒅𝑩
⇒ 𝒏 = 𝟖 ; 𝜺 = 𝟎, 𝟓𝟎
Observación:
Si supongo 𝜀 = 1 ⟹ |𝐻(𝑗𝜔)| = 1
√1+(𝜔
𝜔𝑐)2𝑛
𝐴𝑀á𝑥 = 20 log√1 + 1 = 10 log 2 = 3 dB
Es decir, con 𝜀 = 1 ωc coincide con la ωcorte de - 3 dB.
Características del Filtro Butterworth:
Es un filtro básico que produce respuesta máximamente plana hasta la
frecuencia de corte y luego disminuye a razón de 20.n (dB/dec) con n=
orden del filtro.
El más básico es el de 1° orden.
Es el único filtro que mantiene su forma para órdenes mayores y sólo
aumentando la pendiente a partir de la frecuencia de corte.
Este filtro necesita mayores órdenes para los mismos requerimientos en
comparación con Chebyshev.
37
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Comparado con un filtro Chevyshev, el filtro Butterworth posee una
caída relativamente más lenta, y por lo tanto irá a requerir una orden mayor
para implementar uno especificación de banda rechazada particular.
Sin embargo, el filtro Butterworth presentará una respuesta en fase
más lineal en la banda pasante del que los filtros Chebyshev
Observar que la expresión general (por ejemplo, para el 2° orden) se
transforma en Butterworth si 𝑄 = 1
√2(𝑝á𝑔 23)
El diseño del filtro (síntesis) luego se realizará de distinta forma,
utilizando por ejemplo una célula SALLEN-KEY (o filtro KRC) ó Rauch.
Notar que el filtro PB de primer orden era:
𝑯(𝒔) = −𝑹𝟐
𝑹𝟏
𝟏
𝑹𝟐𝑪𝑺 + 𝟏 ⟶ 𝑯(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎
𝟏
𝟏 + 𝑹𝟐𝑪𝒋𝒘
⇒ |𝑯(𝒋𝒘)| = 𝑯𝟎
𝟏
√𝟏 + 𝒘𝟐
𝒘𝟎𝟐
, que es la expresión Butterworth (de la aproximación).
Filtros Chebyshev:
La función matemática que aproxima su respuesta en frecuencia utiliza
los polinomios de Chebyshev.
Son de dos tipos:
Tipo I.-Con ripple en la banda pasante (solo polos)
Tipo II.-Con ripple en la banda de atenuación (ceros y polos)
El diseño de estos filtros involucra un compromiso entre la pendiente
(dB/dec) y el ripple admitido.
Los polos en los filtros Chebyshev se ubican sobre una elipse (no una
circunferencia como en Butterworth) y los ceros sobre el eje
imaginario.
38
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
PolosPolos
|H|
ω
|H|
ω
|H|
ω
Entre0,1 y 3dB
|H|
ω
Entre0,1 y 3dB
Un filtro de este tipo realizado con inductancias y capacitores es de
Chebyshev.
Para este tipo de filtros el número de rizados es igual al orden del filtro.
dB
ω
Ripple 3dB
fC
Amax1
2
3
4
5dB
ω
Ripple 3dB
fC
Amax1
2
3
4
5
Orden 5 (impar) Ganancia de CC = 0 dB
Ripple 3 dB
39
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
dB
ω
Ripple 3dB
Amax
1
2
3
4dB
ω
Ripple 3dB
Amax
1
2
3
4
Orden 4 (par) Ganancia de CC = 0-AMáx
Ripple 3 dB
Aproximación de Chebyshev Tipo I:
|𝑯(𝒋𝝎)| = 𝟏
√𝟏+ 𝜺𝟐𝑻𝒏𝟐 (𝝎
𝝎𝒄)
ε determina el ripple
𝑻𝒏(𝒙) = {𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒄𝒐𝒔−𝟏𝒙)|𝒙| < 𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒏𝒄𝒐𝒔𝒉−𝟏𝒙)|𝒙| > 𝟏
𝑻𝒏(𝒘) = {𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒘)|𝒘| < 𝟏𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒏𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒘)|𝒘| > 𝟏
𝑻𝟏 (𝒘) = 𝒘
𝑻𝟐 (𝒘) = 𝟐𝒘𝟐 + 𝟏
𝑻𝟑 (𝒘) = 𝟒𝒘𝟑 − 𝟑𝒘
𝑻𝟒 (𝒘) = 𝟖𝒘𝟒 − 𝟖𝒘𝟐 + 𝟏… . .
Aproximación de Bessel(ó Thomson):
Se basan en las funciones de Bessel.
En la banda de paso presentan una respuesta menos constante que
Butterworth.
La pendiente es menor que Butterworth.
Se pretende una característica de Fase casi lineal en la banda de paso.
Gráficas comparativas de la ganancia del filtro
40
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
H(dB)
ffC
BESSELBU
TTERWO
RTH
CHEV
YSHEV
-3dB
5to ordenH(dB)
ffC
BESSELBU
TTERWO
RTH
CHEV
YSHEV
-3dB
5to orden
41
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Comparativa:
TIPO VENTAJAS DESVENTAJAS BUTTERWORTH Máximamente plana en la
B.P. Buen comportamiento en
general. Mejor respuesta a entrada
de pulsos. Mejor pendiente de
atenuación que BESSEL
Ligeros sobrepasamientos y oscilaciones en la respuesta a pulsos.
CHEBYSHEV Mejor atenuación a
frecuencias más altas de la BP que BUTTERWORTH
Rizado en la respuesta en la BP.
Sobrepasamientos y oscilaciones considerables ante entrada de pulsos.
BESSEL La mejor respuesta a
pulsos.
Peor pendiente en la banda prohibida.
Respuesta menos constante en la banda de paso en relación con BUTTERWORTH
Coeficientes para filtros de 2° Orden:
En la siguiente tabla se indican los coeficientes de las distintas
aproximaciones para filtros de orden 2
BESSEL BUTTERWORTH CHEBYSHEV a1 1.36 1.414 1.065 b1 0.618 1 1.93 Q 0.58 0.707 1.3
42
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Por ejemplo, si tomamos la expresión general de PB de 2° orden y
pretendemos diseñar el filtro según la aproximación Butterworth deberíamos
igualar los coeficientes de la tabla con la expresión general, sabiendo que a1
es el coeficiente que acompaña a S y b1 es el coeficiente que acompaña a S2
𝑯(𝒔) =𝟏
𝟏 + (𝒔
𝝎𝟎)𝟐 + (
𝒔
𝝎𝟎)𝟏
𝑸
= 𝟏
𝟏 + (𝟏
𝝎𝟎)𝟐𝒔𝟐 + 𝒔(
𝟏
𝝎𝟎𝑸)= =
𝟏
𝟏 + (𝑺
𝝎𝟎)𝟐. +𝟐𝜻(
𝒔
𝝎𝟎)
Como los coeficientes están normalizados para una frecuencia de corte de 1Hz resulta que:
b1 = ( 1
𝜔0 ) 2 por lo que es lógico b1 = 1
a1 = 1
𝜔0𝑄 = 1.414 = √2 y como ω0 = 1 resulta Q =
1
√2 que vimos correspondía al Q de un
filtro de segundo orden Butterworth
Podemos ver también el significado de Q en un filtro pasabajos. Si recordamos la ubicación de los
polos complejos conjugados y su relación de parte real e imaginaria con Q o ξ resulta que Q es la
relación entre la parte Real y ω0,
ω0 / ω0 . ξ = 1/ ξ = Q = √𝑏1
𝑎1=
1
𝑊01
𝑊0𝑄
Gráficamente cuanto menor sea la parte Real mayor será Q y vemos que en este caso los polos se
acercan al eje Y.
ƺ.ω0
ω0
ƺ.ω0
ω0
b1 a1 b1 a1
43
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Implementación circuital de Filtros de 2° Orden:
Para el diseño de filtros de orden n≥ 2 se utiliza la técnica de etapas en
cascada. P. ej n=7 (1+2+2+2). S2
Veremos dos tipos de síntesis:
Filtros KRC o Sallen-Key
Filtros de Realimentación múltiple.
44
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Introducción-Explicación conceptual (Sallen-Key):
Un filtro RC de primer orden tiene una síntesis elemental como sigue:
C
R
C
R
Pasa Bajos RC de 1° orden.
Este filtro tiene un comportamiento estudiado y para ω >ωc =1/RC una
pendiente en el Bode de Ganancia de -20dB/Dec.
Si coloco dos etapas en cascada tendré:
Vi
C1
R1Vo
C2
R2Vi
C1
R1Vo
C2
R2
Si f↓ ⇒ C1 y C2 abiertos ⇒ 𝑉0 = 𝑉𝑖 ⇒ 𝑉0
𝑉𝑖 ⇒
𝑉0
𝑉𝑖= 1 = 0 𝑑𝐵
Si f↑ ⇒ atenúa C1 y C2 ⇒ doble atenuación ⇒ 2° orden.
1 Etapa (para w↑):
𝑯(𝒋𝝎) = 𝟏
𝒋𝝎
𝝎𝟏
2 Etapas:
𝑯(𝒋𝝎) = 𝟏
𝒋𝝎
𝝎𝟏
𝟏
𝒋𝝎
𝝎𝟐
= −𝟏
(𝝎
𝝎𝟎)𝟐⇒ 𝟒𝟎 𝒅𝑩/𝒅𝒆𝒄
Con 𝒘𝟎 = √𝝎𝟏 𝝎𝟐
En resumen, resulta un filtro de 2° orden y puede demostrarse que
tiene Q< 0,5.
Si quiero Q↑ debo reforzar la ganancia (respuesta de magnitud) cerca
de ω=ω0 por lo que se debe proveer realimentación positiva controlada.
Propongamos el mismo RC pero agregando una etapa de ganancia K y
una realimentación como se ve en la figura:
45
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Vi
C1
R1Vo
C2
R2Vi
C1
R1Vo
C2
R2
a) Para ω << ω0 ⇒ C1 abierto ⇒ baja realimentación. (XC1 ↑)
b) Para ω>> ω0 ⇒ Sube la acción de la realimentación por C1 y
baja la entrada del amplificador (XC2↓ )
Esta es la explicación del funcionamiento de los bloques de 2° orden
que se conocen como Filtros KRC (por el uso de un amplificador de
ganancia K).
Filtro KRC Pasa Bajos:
Vi
C1
R1Vo
C2
R2
RB
RA
Vi
C1
R1Vo
C2
R2
RB
RA
En este circuito puede demostrarse que:
𝑯(𝒋𝒘) = 𝑲𝟏
𝟏 − 𝒘𝟐(𝑹𝟏𝑪𝟏 𝑹𝟐𝑪𝟐) + 𝒋𝒘[(𝟏 − 𝑲)𝑹𝟏 𝑪𝟏 + 𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐]
Y si relacionamos esta ecuación con la expresión general de un pasa bajos de 2do orden resulta que los coeficientes serían:
(𝑹𝟏𝑪𝟏 𝑹𝟐𝑪𝟐) = 𝟏
𝒘𝟎𝟐
46
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
[(𝟏 − 𝑲)𝑹𝟏 𝑪𝟏 + 𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐] = 𝟏
𝒘𝟎𝑸
Recordemos la expresión general para un PB de 2° orden
𝑯𝑳𝑷(𝒋𝝎) = 𝑯𝟎𝑳𝑷
𝟏
𝟏 − (𝝎
𝝎𝟎)𝟐
+ 𝒋 (𝝎
𝝎𝟎)𝟏
𝑸
Cada celda de 2° orden luego puede calcularse según la aproximación
deseada Butterworth, Chevyshev, Bessel.
Podemos entonces calcular ω0 y Q con las siguientes ecuaciones de
diseño:
Para ω0 tendremos:
(∗) 𝝎𝟎 = 𝟏
√𝑹𝟏𝑪𝟏 𝑹𝟐𝑪𝟐
Observemos que resulta la media geométrica entre
𝜔1 = 1
𝑅1𝐶1 y 𝜔2 =
1
𝑅2𝐶2 ;
𝝎𝟎 = 𝟏
√𝝎𝟏. 𝝎𝟐
Para la ganancia K tendremos: (**) K = 𝟏 +𝑹𝑩
𝑹𝑨
Y para Q tendremos:
(∗∗∗) 𝑸 = 𝟏
√𝑹𝟏𝑪𝟏𝑹𝟐𝑪𝟐 [(𝟏−𝑲)𝑹𝟏 𝑪𝟏+𝑹𝟏𝑪𝟐+𝑹𝟐𝑪𝟐]=
𝟏
(𝟏−𝑲)√𝑹𝟏𝑪𝟏
𝑹𝟐𝑪𝟐+√
𝑹𝟏𝑪𝟐
𝑹𝟐𝑪𝟏+√
𝑹𝟐𝑪𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟏
Observar que K y Q dependen de cocientes de componentes y ωo depende
de un producto
Ajuste del filtro:
R1 → ajustar ω0 ( este ajuste también modifica Q )
RB → K → Ajusto Q (varío la ganancia pero no ω0 )
Solución óptima 1: Diseño KRC c/ componentes iguales.
Como tengo 3 ecuaciones (*) (**) y (***); y cinco parámetros
(K,R1,R2,C1,C2) se pueden elegir a 2 para fijarlas y calcular las otras tres.
Asi se propone: R1=R2=R ; C1=C2=C
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
{
𝑯𝑶𝑳𝑷 = 𝑲 = 𝟏 +
𝑹𝑩
𝑹𝑨
𝑾𝟎 = 𝟏
𝑹𝑪
𝑸 = 𝟏
𝟑 − 𝑲
∴ las ecuaciones de diseño serían:
1. 𝜔0 = 1
𝑅𝐶⟵ 𝑅𝐶 𝑓𝑖𝑗𝑎 𝜔0
2. 𝑄 = 1
3−𝐾⟵ 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑄 𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝐾
3. 𝑅𝐵 = (𝐾 − 1)𝑅𝐴⟵ 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐾 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑅𝐵
Otra opción se conoce como KRC de ganancia unitaria.
K=1 → 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝐴𝐵 𝑑𝑒𝑙 𝐴𝑂
Se propone R2=R, C2=C, R1=m.R y C1 = n.C
⇒ 𝑲 = 𝟏; 𝝎𝟎 = 𝟏
√𝒎. 𝒏 𝑹𝑪 ; 𝑸 =
√𝒎.𝒏
𝒎+ 𝟏
Se puede demostrar que para un dado 𝜂 (relación entre C1 y C2) Q
resultará máximo si m=1 es decir cuando las resistencias son iguales
∴ m=1 ⟹ 𝑄 = √𝑛
2 ⟹ 𝑛 = 4 𝑄2
Procedimiento
1. Para un Q ⟹ se busca un par de capacitores con 𝑛 ≥ 4 𝑄2
2. Luego 𝑚 = 𝑛
2𝑄2−1+
√𝑛
2𝑄2−1Filtro KRC Pasa Altos:
Vi
C1
R1
Vo
C2
R2
RB
RA
Vi
C1
R1
Vo
C2
R2
RB
RA
Tiene ecuaciones de diseño similares
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
𝑯𝒐𝑳𝑷 = 𝑲
𝝎𝟎 = 𝟏
√𝑹𝟏𝑪𝟏𝑹𝟐𝑪𝟐
𝑸 = 𝟏
(𝟏 − 𝑲)√𝑹𝟐𝑪𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟏+ √
𝑹𝟏𝑪𝟐
𝑹𝟐𝑪𝟏+ √
𝑹𝟏𝑪𝟏
𝑹𝟐𝑪𝟐
Valen las mismas consideraciones de diseño.
Filtro Pasa Bandas KRC:
Vi
R3
Vo
C2
R2
C1
R1
P.B. P.A.
Vi
R3
Vo
C2
R2
C1
R1
P.B. P.A.
Filtros de realimentación múltiple:
A diferencia de los KRC tienen más de una trayectoria de
realimentación.
Aprovechan toda la ganancia de lazo abierto (también se llaman de
ganancia infinita)
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Pasa Banda:
Vi V1
C1
R1Vo
C2R1
Vi V1
C1
R1Vo
C2R1
Sensibilidad:
Las tolerancias de los componentes producen un comportamiento que
se aleja del teórico.
Importa conocer que tan sensible es un filtro a las variaciones de los
componentes.
Por ejemplo: Si quisiera saber que tanto afecta en ω0 ó BW a un pasa
banda una variación del 1% en una R o C.
Definición:
𝑺𝒙𝒚=
𝝏𝒚
𝒚
𝝏𝒙
𝒙
= 𝒙
𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Sensibilidad del parámetro 𝑦 respecto a un componente 𝑥.
Para cambios pequeños Δ𝑦
𝑦≅ 𝑆𝑥
𝑦 Δ𝑥
𝑥
50
Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Sensibilidad en los filtros KRC:
Se demuestra que para un KRC pasa bajos tendremos la siguiente
sensibilidad según sea el diseño con componentes iguales o con ganancia
unitaria.
Componentes iguales Ganancia unitaria
𝑺𝑹𝟏𝑸= −𝑺𝑹𝟐
𝑸 𝑸− 𝟏
𝟐
𝟏 −𝑹𝟏
𝑹𝟐
𝟐(𝟏 +𝑹𝟏
𝑹𝟐)
𝑺𝑪𝟏𝑸= −𝑺𝑪𝟐
𝑸 𝟐𝑸− 𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝑺𝑹𝟏𝑾𝟎 = 𝑺𝑪𝟏
𝑾𝟎 = 𝑺𝑪𝟐𝑾𝟎
= 𝑺𝑹𝟐𝑾𝟎 −
𝟏
𝟐 −
𝟏
𝟐
Además, para el KRC con componentes iguales, tenemos:
𝑺𝑲𝑸= 𝟑𝑸− 𝟏 y 𝑺𝑹𝑨
𝑸= − 𝑺𝑹𝑩
𝑸= 𝟏 − 𝟐𝑸 por lo que vemos que aumentan con Q
Un desequilibrio en RB/RA puede llevar a valores muy altos de Q que
puede producir oscilación. El diseño con ganancia unitaria ofrece
sensibilidades mucho menores.
Sensibilidad en los filtros de realimentación múltiple:
Ej. Pasa Banda 𝑆𝑅1𝜔0 = 𝑆𝐶1
𝜔0 = 𝑆𝑅3𝜔0 = 𝑆𝐶2
𝜔0= − 1
2
𝑺𝑹𝟏𝑸= − 𝑺𝑹𝟐
𝑸= −
𝟏
𝟐
𝑺𝑪𝟏𝑸= − 𝑺𝑪𝟐
𝑸= 𝟏
𝟐
𝑪𝟐 − 𝑪𝟏
𝑪𝟐 + 𝑪𝟏
Podemos ver que el diseño con capacidades iguales ofrece una
sensibilidad igual a cero de Q respecto a las capacidades.
En resumen, los filtros con realimentación múltiple ofrecen menores
sensibilidades de sus parámetros con respecto a los componentes.
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Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos
Observaciones sobre Sallen – Key vs MFB:
Sallen – Key c/ganancia unitaria MFB
1 2R + 2C : 4 componentes 3R+2C
2 En CC es un No Inversor En CC es un Inversor
3 La ganancia es unitaria (muy
precisa) La ganancia depende de las R
4 Menor ruido (1) Ruido = 2
5 Convenientes para filtros con Q↓ Conveniente para Q↑ y alta f
ya que aparecen C
6 Por efecto de Rout aparece un aumento en |H| para f ↑
7 Alta sensibilidad frente a variaciones de componentes
Baja sensibilidad