จ ำนวนเฉพำะ และ ฟงกชน

จ ำนวนเฉพำะ

กลำวถงจ ำนวนเตมบวก p ทมคำ มำกกวำ 1 จะเปนจ ำนวนเฉพำะกตอเมอม 1 และ p เทำนนทหำร p ลงตว สวนจ ำนวนเตมทมคำมำกกวำ 1 ทไมใชจ ำนวนเฉพำะนน เรำเรยกวำจ ำนวนประกอบ (composite number) ถำ p เปนจ ำนวนเฉพำะทหำรจ ำนวนประกอบ n ลงตวแลว เรำเรยก p วำเปนตวประกอบเฉพำะ (prime factor) ของ n

จ ำนวนของจ ำนวนเฉพำะ

ทฤษฏบท ทรำบวำจ ำนวนเฉพำะมมำกมำยเปนอนนต

วธกำรหำจ ำนวนเฉพำะ ตวอยำงเชนตองกำรหำจ ำนวนเฉพำะ ไมเกน 40

เรมตนดวยกำรเขยนจ ำนวนเตม 2 ถง 40 ลบจ ำนวนเตมทหำรดวย 2 ออกยกเวน 2 จำกนนหำจ ำนวนแรกทอยถดไปคอ 3 ลบจ ำนวนทงหมดทหำรดวย 3 ออก กระท ำเชนนไปเรอยๆ จนหมด

วธกำรนเรยกวำ วธกำรรอนตระแกรง รอนจ ำนวนทไมใชทงไป

จงเขยนวธกำรรอนตระแกรง ออกมำเปน FlowChart

กำรหำจ ำนวนของจ ำนวนเฉพำะ

กำรหำจ ำนวนของจ ำนวนเฉพำะดวยวธกำรรอนตระแกรงสำมำรถท ำได แตหำกตองกำรหำจ ำนวนทมชวงทกวำง เปนทล ำบำก จงมนกคณตศำสตร ชอ Gauss ไดเขยนสมกำรเพอหำจ ำนวนของจ ำนวนเฉพำะไดดงน

2

1( )

ln

x

x duu

แบบฝกหด

จงหำจ ำนวนของจ ำนวนเฉพำะ ดวยวธรอนตระแกรง ตงแต 2-50

จงหำจ ำนวนของจ ำนวนเฉพำะ ดวยวธรอนตระแกรง ตงแต 2-100

กำรบำน จงเขยนโปรแกรม เพอหำจ ำนวนเฉพำะ ตงแต 2-10,000 3 คนตอ 1 กลม

ฟงกชนและควำมสมพนธ

ควำมสมพนธ จะเหนวำในชวตประจ ำวนของเรำพบขอควำมตอไปนเสมอๆ เชน

นำยด ำเปนบดำของแดง

นำงบงอรเปนภรรยำของสมชำย

นำงสมศรสวยกวำนำงสมควร

7-3 ไมเทำกบ 3-7

จะเหนไดวำขอควำมทยกมำ น แสดงควำมสมพนธระหวำง ของ สองสง ดงนนควำมสมพนธจงเกดจำกของสองสงทมำเกยวของ กนภำยใต

Funciton

• ฟงกชน เปนแนวคดทเปนแกนทส ำคญมำกของ Discrete Math ฟงกชนสำมำรถใชอธบำยโครงสรำง ล ำดบ ฟงกชนสำมำรถใชเพอ แกไขปญหำของคอมพวเตอร รวมไปถงกำรท ำ Recursive Function ได

• ส ำหรบหวขอนจะอธบำยถงพนฐำนทจ ำเปนตองรในรำยวชำ Discrete

Funciton

นยำม 1

ก ำหนดให A และ B เปนเซต ฟงกชน F จำก A ไป B คอกำรก ำหนดสมำชกของ B เพยง 1 ตวกบแตละสมำชกของ A ซงเขยนอยในรป f(a) = b ถำ b คอสมำชกของ B ทถกก ำหนดคำโดยฟงชนก จำกสมำชก a ทอยใน A

ฟงกชน f จำก A ไป B เขยนแทนดวย 𝑓: 𝐴 → 𝐵

นยำม

ให A และ B เปนเซตสองเซตใดๆ r จะเปนควำมสมพนธจำก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ AxA เรยก r วำเปนควำมสมพนธใน A

ตวอยำง ก ำหนดให A = {1,2,3} B = {4,5}R1 = {(1,4) , (2,5), (3,4)}R2 = {(3,5)}R3 = {(1,4),(1,5)}R4 = {(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}จะเหนวำ r เปนควำมสมพนธจำก A ไป B เพรำะแตละเซตเปนสบเซตของ A

x B

แบบฝกหด

จงเขยนควำมสมพนธ A ไป B โดยท A ={1,2,3} และ B ={1,3,4,9}

1. ควำมสมพนธ เทำกบ

2. ควำมสมพนธนอยกวำ

3. ควำมสมพนธมำกกวำ

4. ควำมสมพนธเปนรำกท 2 ของ

แบบฝกหด

จงบอกควำมสมพนธจำก A ไป B โดยก ำหนดให A = {1,2,4} และ B={2,4,6}

1. R1 = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,4),(2,6),(4,6)}

2. R2 = {(2,2),(4,4)}

3. R3 = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(4,4)}

4. R4 = {(2,2),(4,2),(4,4)}

โดเมนและเรนจของควำมสมพนธ

นยำม ให r เปนควำมสมพนธจำก A ไป B โดเมนของ r เขยนแทนดวย D(r) คอ เซตสมำชกตวหนำของคอนดบใน r และ เรนจของ r เขยนแทนดวย R(r) คอ เซตของสมำชกตวหลงของคอนดบใน r

นนคอ

D(r) = {x | (x,y) เปนสมำชกใน r } และ

R(r) = {y | (x,y) เปนสมำชกใน r}

ตวอยำง

ก ำหนดให A = {a,b}, B = {3,4,5} และ r = {(a,3),(a,4),(b,5)}D(r) = {a,b}R(r) = {3,4,5}

ก ำหนดให A = {1,3,6}, B = {1,4,6,12} และ r เปนควำมสมพนธครงหนงจำก A ไป BD(r) = {3,6}R(r) = {6,12}

แบบฝก

ก ำหนดให A = {x|x เปนสมำชก I, -3 < x <=4} , r = {(x,y) เปนสมำชกของ AxA | y = x2 } จงหำ โดเมนและเรนจ

ในกรณทควำมสมพนธทก ำหนด เขยนอยในรปกำรบอกเงอนไข สำมำรถจะหำโดเมนและเรนจไดดงน

เมอตองกำรหำโดเมน ใหจด y อยในรปของ x แลวพจำรณำคำ x ทงหมดทท ำหำใหคำ y ได และ (x,y) เปนเปนสมำชกใน r ดวย

เมอตองกำรหำ เรนจ ใหจด x อยในรปของ y พจำรณำคำ y ทงหมดทใหหำคำ x ไดและ (x,y) เปนเปนสมำชกใน r ดวย

ก ำหนดให r = {(x,y) เปนสมำชก RxR | y = 2/(x+3)}

หำ D(r) จะได y = 2/(x+3) เมอแทนทกๆ คำของ R ไปท x เมอ x มคำ -3 จะท ำให y ไมมควำมหมำย divide by zero

ดงนน D(r) = {x|x เปนสมำชกของ R , x ไมเทำกบ -3}

หำ R(r) x = 2/y +3 ดงนนจะพบวำ y สำมำรถเปนอะไรกไดทไมใช 0 จะท ำใหสมกำร หำคำไดจรง

ดงนน R(r) = {y|y เปนสมำชกของ R , y ไมเทำกบ 0}

ตวอยำง

A = {a,b}, B = {1,2,3}

R1 = {(a,1) , (b,1)}

R2 = {(a,1) , (b,2)}

R3 = {(a,2) , (b,3)}

R1,R2,R3 เปนฟงชนจำก A ไป B

R4 = {(a,1),(a,2),(b,3)}

R5 = {(a,1),(b,2),(b,3)}

R4,R5 ไมเปนฟงชนจำก A ไป B

แบบตำงๆ ของ ฟงกชน

จำก f : A B จะได D(f) = A แต R(f) เปนสบเซตของ B และสมำชกของ B แตละตว อำจจะถกน ำไปใชครงเดยวหรอหลำยครงกได จงท ำใหเกด ฟงกชนแบบตำงๆ ขนมำ

1. ถำ (x1,y) เปนสมำชก f และ (x2,y) เปนสมำชก f แลว x1 = x2 เรยก f วำเปนฟงกชนแบบ 1 ตอ 1 (one to one function : 1-1)

เขยนแทนดวย f: AB

2. ถำ f ไมเปนฟงกชน 1-1 เรยก f วำเปนฟงกชน many to one1-1

3. เรยก f วำ เปนฟงกชน A ไปทวถง B (A onto B) ถำ

R(f) = B เขยนแทนดวย f: AB

4. ถำ f ไมเปนฟงกชนจำก A ไปทวถง B แลว f เปนฟงกชนจำก A ไปยง B (A into B)

5. ถำ f เปนฟงกชน 1-1 จำก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย

f: AB จะเรยก f วำเปนกำรสมนยแบบหนงตอ หนง

onto

onto

1-1

แบบฝกหด

ก ำหนดให A = {a,b,c} B = {b,c,d} และ

f = {(a,c) , (b,d) , (c,c)}

g = {(a,d) , (b,b) , (c,c)}

h = {(b,a) , (c,c) , (d,a)}

i= {(a,b) , (c,c) , (b,c)}

j = {(a,b) , (b,c) , (c,d)}

k= {(a,c) , (b,c) , (c,c)}

จงพจำรณำฟงกชนวำเปนฟงกชนแบบใด

Quiz

• จงบอกชนดของ Set ตอไปนวำเปน Set 1-1 onto หรอทง 2 แบบ1. the function f (x) = x2 from the set of integers to the set of integers2. the function f (x) = x + 1 from the set of integers to the set of integers3. the function f (x) = |x| from the set of integers to the set of integers.4. the function f (x) = 𝑥 from the set of real number to the set of integers.5. the function f (x) = 3x+5 from the set of real number to the set of real number.

กำรบำน

• จงเขยนโปรแกรม หำจ ำนวนเฉพำะ จำกตงแตเลข 1 จนถงเลขทผใชก ำหนด แสดงออกมำเปนจ ำนวนเฉพำะ ทหำไดทงหมด