จ านวนเฉพาะ และ ฟงกชน

จ านวนเฉพาะ

กลาวถงจ านวนเตมบวก p ทมคา มากกวา 1 จะเปนจ านวนเฉพาะกตอเมอม 1 และ p เทานนทหาร p ลงตว สวนจ านวนเตมทมคามากกวา 1 ทไมใชจ านวนเฉพาะนน เราเรยกวาจ านวนประกอบ (composite number) ถา p เปนจ านวนเฉพาะทหารจ านวนประกอบ n ลงตวแลว เราเรยก p วาเปนตวประกอบเฉพาะ (prime factor) ของ n

ทฤษฏบท

ถา n เปนจ านวนประกอบแลว n ตองมตวประกอบเฉพาะ 1 ตวทมคาไมมากวา

พสจน เนองจาก n เปนจ านวนประกอบ เราสามารถเขยนได n = ab ไดโดยท a และ b เปนจ านวนเตม 1< a <= b < n จะพบวา a<= เพราะวา ถา a> ถา a เปนจ านวนประกอบ ตวประกอบเฉพาะของ a ยอมเปนตวประกอบเฉพาะของ n ดวย ดงนนตวประกอบเฉพาะของ n ตองมคาไมเกน

n

n

n

n

จ านวนของจ านวนเฉพาะ

ทฤษฏบท ทราบวาจ านวนเฉพาะมมากมายเปนอนนต

วธการหาจ านวนเฉพาะ ตวอยางเชนตองการหาจ านวนเฉพาะ ไมเกน 40

เรมตนดวยการเขยนจ านวนเตม 2 ถง 40 ลบจ านวนเตมทหารดวย 2 ออกยกเวน 2 จากนนหาจ านวนแรกทอยถดไปคอ 3 ลบจ านวนทงหมดทหารดวย 3 ออก กระท าเชนนไปเรอยๆ จนหมด

วธการนเรยกวา วธการรอนตระแกรง รอนเอยจ านวนทไมใชทงไป

การหาจ านวนของจ านวนเฉพาะ

การหาจ านวนของจ านวนเฉพาะดวยวธการรอนตระแกรงสามารถท าได แตหากตองการหาจ านวนทมชวงทกวาง เปนทล าบาก จงมนกคณตศาสตร ชอ Gauss ไดเขยนสมการเพอหาจ านวนของจ านวนเฉพาะไดดงน

2

1( )

ln

x

x duu

แบบฝกหด

จงหาจ านวนของจ านวนเฉพาะ ดวยวธรอนตระแกรง ตงแต 2-50

จงหาจ านวนของจ านวนเฉพาะ ดวยวธรอนตระแกรง ตงแต 2-100

จงเขยนโปรแกรม เพอหาจ านวนเฉพาะ ตงแต 2-10,000 (3 คนตอ 1 กลม ใหเวลา 20 นาท)

ฟงกชนและความสมพนธ

ความสมพนธ จะเหนวาในชวตประจ าวนของเราพบขอความตอไปนเสมอๆ เชน

นายด าเปนบดาของแดง

นางบงอรเปนภรรยาของสมชาย

นางสมศรสวยกวานางสมควร

7-3 ไมเทากบ 3-7

จะเหนไดวาขอความทยกมา น แสดงความสมพนธระหวาง ของ สองสง ดงนนความสมพนธจงเกดจากของสองสงทมาเกยวของ กนภายใต

นยาม

ให A และ B เปนเซตสองเซตใดๆ r จะเปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ AxA เรยก r วาเปนความสมพนธใน A

ตวอยาง ก าหนดให A = {1,2,3} B = {4,5} R1 = {(1,4) , (2,5), (3,4)} R2 = {(3,5)} R3 = {(1,4),(1,5)} R4 = {(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)} จะเหนวา r เปนความสมพนธจาก A ไป B เพราะแตละเซตเปนสบเซตของ A

x B

แบบฝกหด

จงเขยนความสมพนธ A ไป B โดยท A ={1,2,3} และ B ={1,3,4,9}

1. ความสมพนธ เทากบ

2. ความสมพนธนอยกวา

3. ความสมพนธมากกวา

4. ความสมพนธเปนรากท 2 ของ

แบบฝกหด

จงบอกความสมพนธจาก A ไป B โดยก าหนดให A = {1,2,4} และ B={2,4,6}

1. R1 = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,4),(2,6),(4,6)}

2. R2 = {(2,2),(4,4)}

3. R3 = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(4,4)}

4. R4 = {(2,2),(4,2),(4,4)}

โดเมนและเรนจของความสมพนธ

นยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r เขยนแทนดวย D(r) คอ เซตสมาชกตวหนาของคอนดบใน r และ เรนจของ r เขยนแทนดวย R(r) คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r

นนคอ

D(r) = {x | (x,y) เปนสมาชกใน r } และ

R(r) = {y | (x,y) เปนสมาชกใน r}

ตวอยาง

ก าหนดให A = {a,b}, B = {3,4,5} และ r = {(a,3),(a,4),(b,5)} D(r) = {a,b} R(r) = {3,4,5} ก าหนดให A = {1,3,6}, B = {1,4,6,12} และ r เปนความสมพนธครงหนง

จาก A ไป B D(r) = {3,6} R(r) = {6,12}

แบบฝก

ก าหนดให A = {x|x เปนสมาชก I, -3 < x <=4} , r = {(x,y) เปนสมาชกของ AxA | y = x2 } จงหา โดเมนและเรนจ

ในกรณทความสมพนธทก าหนด เขยนอยในรปการบอกเงอนไข สามารถจะหาโดเมนและเรนจไดดงน

เมอตองการหาโดเมน ใหจด y อยในรปของ x แลวพจารณาคา x ทงหมดทท าหาใหคา y ได และ (x,y) เปนเปนสมาชกใน r ดวย

เมอตองการหา เรนจ ใหจด x อยในรปของ y พจารณาคา y ทงหมดทใหหาคา x ไดและ (x,y) เปนเปนสมาชกใน r ดวย

ก าหนดให r = {(x,y) เปนสมาชก RxR | y = 2/(x+3)}

หา D(r) จะได y = 2/(x+3) เมอแทนทกๆ คาของ R ไปท x เมอ x มคา -3 จะท าให y ไมมความหมาย divide by zero

ดงนน D(r) = {x|x เปนสมาชกของ R , x ไมเทากบ -3}

หา R(r) x = 2/y +3 ดงนนจะพบวา y สามารถเปนอะไรกไดทไมใช 0 จะท าใหสมการ หาคาไดจรง

ดงนน R(r) = {y|y เปนสมาชกของ R , y ไมเทากบ 0}

ฟงกชน

นยาม ก าหนดให A และ B เปนเซตของ ฟงกชน f จาก A ไป B เขยนแทนดวย f : A B คอความสมพนธจาก A ไปยง B โดยท

1. D(f) = A และ

2. ถา (x,y) เปนสมาชก f และ (x,z) เปนสมาชก f แลว y=z

ตวอยาง

A = {a,b}, B = {1,2,3}

R1 = {(a,1) , (b,1)}

R2 = {(a,1) , (b,2)}

R3 = {(a,2) , (b,3)}

R1,R2,R3 เปนฟงชนจาก A ไป B

R4 = {(a,1),(a,2),(b,3)}

R5 = {(a,1),(b,2),(b,3)}

R4,R5 ไมเปนฟงชนจาก A ไป B

แบบตางๆ ของ ฟงกชน

จาก f : A B จะได D(f) = A แต R(f) เปนสบเซตของ B และสมาชกของ B แตละตว อาจจะถกน าไปใชครงเดยวหรอหลายครงกได จงท าใหเกด ฟงกชนแบบตางๆ ขนมา

1. ถา (x1,y) เปนสมาชก f และ (x2,y) เปนสมาชก f แลว x1 = x2 เรยก f วาเปนฟงกชนแบบ 1 ตอ 1 (one to one function : 1-1)

เขยนแทนดวย f: AB

2. ถา f ไมเปนฟงกชน 1-1 เรยก f วาเปนฟงกชน many to one 1-1

3. เรยก f วา เปนฟงกชน A ไปทวถง B (A onto B) ถา

R(f) = B เขยนแทนดวย f: AB

4. ถา f ไมเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B แลว f เปนฟงกชนจาก A ไปยง B (A into B)

5. ถา f เปนฟงกชน 1-1 จาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย

f: AB จะเรยก f วาเปนการสมนยแบบหนงตอ หนง

onto

onto

1-1

แบบฝกหด

ก าหนดให A = {a,b,c} B = {b,c,d} และ

f = {(a,c) , (b,d) , (c,c)}

g = {(a,d) , (b,b) , (c,c)}

h = {(b,a) , (c,c) , (d,a)}

i= {(a,b) , (c,c) , (b,c)}

j = {(a,b) , (b,c) , (c,d)}

k= {(a,c) , (b,c) , (c,c)}

จงพจารณาฟงกชนวาเปนฟงกชนแบบใด