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Curvas e Superfícies
2014 – IC / UFF
Capitulo 3
A, B, C, D , E , F , G
A, B, D, E , F , G A, B, C, D, E , G
A, B, C, A, B, C, A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , GE , F , GE , F , G
A, B, C, D
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Onde se usa: Qualquer representação de curvas
Um segmento de curva quadrática de
Bézier é definido por 2 pontos extremos e
1 de controle.
O circulo ao lado é formado por 8
segmentos. Os quadrados são os pontos de
extremidade e os anéis os de controle.
Os contornos dos caracteres (pictogramas) em fontes TrueType são
feitas de segmentos de retas e curvas Bézier quadrática.
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Elementos 1D
• Comprimento
• Distancia ao
inicio define a
posição na
curva
• Mas ela pode
ser 2D e 3D
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Curvas
• Formas de representação:
– Procedural ( exemplo curvas fractais )
– Conjunto de pontos (digitalizadores: xi , yi)
– Analítica:
• Explicita : y = f(x)
• Implícita : x+y=0
• Paramétrica : x= f(t) , y = f(t)
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Também podem ser
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Exemplo
circunferência
representações
paramétricas
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Exemplo circunferência
representações não paramétricas
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E essas?
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Outros exemplos:
• Lemniniscata de Bernoulli => símbolo
infinito
Quarto grau!
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Peculiaridades das curvas em CG
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Peculiaridades das curvas em CG
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Reta na forma paramétrica
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Parametrizando polinômios
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Peculiaridades das curvas em CG
![Page 27: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/27.jpg)
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Propriedades desejáveis de curvas
para modelagem em CG
Independência
dos
eixos
usados
![Page 29: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/29.jpg)
Propriedades desejáveis de curvas
para modelagem em CG
Deve
poder
ter
Pontos
com
coordenadas
múltiplas
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Propriedades desejáveis de curvas
para modelagem em CG
Deve ter uso
intuitivo e
poder ter
Controle local:
i.e. em ajuste finos:
alterar um trecho
não altera toda a
curva
![Page 31: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/31.jpg)
Propriedades desejáveis de curvas
para modelagem em CG
O numero de
pontos de
Controle local
não deve estar
associado ao
grau da curva
ou sua
oscilação
![Page 32: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/32.jpg)
Propriedades desejáveis de curvas
para modelagem em CG
Ser possível
representar
diversos graus
de
continuidades
que o usuário
desejar
![Page 33: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/33.jpg)
Propriedades desejáveis
de curvas para modelagem em CG
Ser possível
representar curvas
abertas, fechadas,
com pontos de
inflexão, etc. : ter
a versatilidade
que o usuário
desejar
![Page 34: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/34.jpg)
Propriedades desejáveis
de curvas para modelagem em CG
ter pontos
com distâncias ≈constantes ao longo
do seu
comprimento:
parâmetro
uniformemente
distribuídos.
![Page 35: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/35.jpg)
Solução em CG
• Curvas de formas livres
• Representadas por uniões
• Descritas por polinômios
• Parametrizadas
• Até grau 3
• Com continuidade paramétrica
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Porque polinômios até terceiro grau?
![Page 37: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/37.jpg)
9 parâmetros
para cada curva
![Page 38: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/38.jpg)
Em 3D
![Page 39: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/40.jpg)
Em 3D
12 parâmetros
para cada
curva
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De forma genérica
![Page 42: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/42.jpg)
continuidade paramétrica e geometrica
Foley at al p. 480 - 483
![Page 43: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/43.jpg)
Com continuidade paramétrica
![Page 44: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/44.jpg)
Requisitos para os parâmetros:
Com continuidade paramétrica
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Continuidade geométrica x
paramétrica
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parametricas
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Curva de Bezier
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![Page 49: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/49.jpg)
Forma geral:
![Page 50: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/50.jpg)
Bezier cúbica:
![Page 51: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/51.jpg)
Polinômios cúbicos de
![Page 52: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/52.jpg)
A soma dos
resulta:
![Page 53: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/53.jpg)
![Page 54: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/54.jpg)
Cont.
![Page 55: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/55.jpg)
Demonstrando essas propriedades para uma Bezier
cúbica:
![Page 56: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/56.jpg)
A ordem e posição dos pontos controla a
curva!
![Page 57: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/57.jpg)
Fecho convexo
• Convex hull
![Page 58: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/58.jpg)
![Page 59: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/59.jpg)
Representação
matricial :
![Page 60: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/60.jpg)
![Page 61: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/61.jpg)
Outras formas de Bezier
![Page 62: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/62.jpg)
Outras formas de Bezier
![Page 63: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/63.jpg)
Outras formas de Bezier
![Page 64: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/64.jpg)
![Page 65: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/65.jpg)
Algoritmo geométrico
![Page 66: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/66.jpg)
![Page 67: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/67.jpg)
![Page 68: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/68.jpg)
![Page 69: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/69.jpg)
Outras formas de Bezier
![Page 70: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/70.jpg)
Cont.
![Page 71: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/71.jpg)
![Page 72: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/72.jpg)
![Page 73: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/73.jpg)
Curvas de Hermite
![Page 74: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/74.jpg)
![Page 75: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/75.jpg)
Curvas de Hermite
![Page 76: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/76.jpg)
Mesmos pontos iniciais e finais,
apenas alterando a direção da
tangente
![Page 77: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/77.jpg)
Mesmos pontos iniciais e finais,
apenas alterando a intensidade da
tangente
![Page 78: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/78.jpg)
![Page 79: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/79.jpg)
Forma matricial
![Page 80: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/80.jpg)
Funções de mistura
![Page 81: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/81.jpg)
![Page 82: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/82.jpg)
![Page 83: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/83.jpg)
Funções de mistura de Hermite
![Page 84: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/84.jpg)
![Page 85: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/85.jpg)
Curvas Splines
![Page 86: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/86.jpg)
Splines
![Page 87: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/87.jpg)
• Com maior suavidade que as anteriores (tem
curvatura continuas) e são conectadas
formando curvas mais complexas (knots).
Spline é uma curva polinomial
definida por partes
![Page 88: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/88.jpg)
Spline física
![Page 89: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/89.jpg)
Pesos que dão forma = “ducks”
Metal flexível com continuidade
de curvatura: C2
![Page 90: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/90.jpg)
Exemplo de como são usadas
![Page 91: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/91.jpg)
![Page 92: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/92.jpg)
• Cardinal B-splines têm knots que são
eqüidistantes uns dos outros.
• Cúbicas tem m+1 pontos de controle
onde, m≥3
B-spline ou basis spline
![Page 93: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/93.jpg)
Nos + pontos de controle
![Page 94: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/94.jpg)
![Page 95: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/95.jpg)
![Page 96: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/96.jpg)
A curva inteira B-spline é considerada composta por
segmentos de curvas spline
![Page 97: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/97.jpg)
![Page 98: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/98.jpg)
Nós:
![Page 99: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/99.jpg)
1/6
![Page 100: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/100.jpg)
Funções de mistura
![Page 101: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/101.jpg)
![Page 102: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/102.jpg)
Unido 3 curvas B-Splines
![Page 103: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/103.jpg)
Exemplo de controle local:
Alterando o penúltimo ponto, não se altera o
trecho inicial e só parte do trecho
intermediário
![Page 104: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/104.jpg)
Ao ser controlada por 4 pontos, só se
aproxima dos 2 centrais
![Page 105: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/105.jpg)
Para criar uma curva spline
fechada:
Apenas se repete no final das seqüência dos
pontos de controle da curva os 3 pontos
iniciais
P0, P1, P2, P3 ..... ..... .Pm, P0, P1, P2
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Spline com pontos controle coincidentes seguidos =>
Ela acaba por passar pelo ponto
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Spline com pontos controle coincidentes seguidos =>
Ela acaba perde nivel de continuidade
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Spline : efeito das multiplicidades dos pontos de controle ou
coincidencias dos mesmos nas funções de base
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Propriedades
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Spline =>
propriedades
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Spline com pontos controle
coincidentes seguidos =>
perda nivel de continuidade
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Spline com pontos controle coincidentes seguidos
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Spline com pontos controle coincidentes seguidos
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![Page 116: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/116.jpg)
![Page 117: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/117.jpg)
Spline controlada por 4 pontos
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Funções de mistura
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NURBS
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![Page 121: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/121.jpg)
![Page 122: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/122.jpg)
Curvas racionais
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Trabalho 12:
Implente em qualquer linguagem a geração de
segmentos de curvas que sejam controladas
por 4 pontos dados (uma spline 2D) . Isso é
implemente a equação:
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Usuário fornece os pontos X[i],Y[i] e:
![Page 125: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/125.jpg)
![Page 126: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/126.jpg)
B-Splines
![Page 127: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/127.jpg)
Interpolação
por Splines Cubicas
Veja seção 11.5
De
Algebra Linear
com Aplicações
A. Anton e C. Rorres,
Bookman, 2001
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Superfícies
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Formas de geração:
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Revolução
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![Page 132: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/132.jpg)
Por equações tri-dimensionais :
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Superfícies
representações não paramétricas
Por equações tri-dimensionais :
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exemplos
Representações paramétricas
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Representações não paramétricas, implicita
Por equações tri-dimensionais :
![Page 136: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/136.jpg)
Quádricas
Por equações tri-dimensionais :
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Geradas por interpolação
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Lofting
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Patches
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![Page 144: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/144.jpg)
Superfície de Bezier
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![Page 148: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/148.jpg)
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![Page 151: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/151.jpg)
Superfície B-Splines
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• Superfcie que pode ser considerada como
uma NURBS na qual uma seguencia de
pontos de controle determina a superficies,
que lembra a letra "T".
• Ess tipo de superficies facilita a fusão de
pedaços .
T-spline surface
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![Page 154: A, B, C, D, E , G A, B, C, A, B, C, E , F , GE , F , G ...aconci/CurvasSuperficies.pdfPeculiaridades das curvas em CG Propriedades desej áveis de curvas para modelagem em CG Independência](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022032000/5c63ae5209d3f223328b809a/html5/thumbnails/154.jpg)
Bibliografia
• Abel Gomes, Irina Voiculescu, Joaquim Jorge, Brian Wyvill, Callum Galbraith Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms, Springer, 2009
• “Computer Graphics: Principles and Practice”, Foley,van Dam, Feiner and Hughes; Capítulo 11
• “3D Computer Graphics”, A. Watt, Capítulo 6