a. basic inference about a single mean 1.hypothesis testing - scientific method-based means for...

A. Basic Inference about a Single Mean m

1.Hypothesis Testing - Scientific method-based means for using sample data to evaluate conjectures about a population.

2.Null Hypothesis - Statement of the conjectured value(s) for the parameter that includes (but is not necessarily limited to) equality between the conjectured value and the tested parameter. Usually denoted

H0: parameter ( = ) hypothesized value

This is equivalent to a claim that the difference between the observations and the hypothesized value are due to random variation.III. Inferences about a Mean Vector

3.Alternative Hypothesis - Statement of the conjectured value(s) for the parameter that is mutually exclusive and collectively exhaustive with respect to the Null Hypothesis (and so includes the < and/or > relationship between conjectured value and the tested parameter. Usually denoted

H1: parameter (< >) hypothesized value.

This is equivalent to a claim that the difference between the observations and the hypothesized value are systematic (i.e., due to something other than random variation.

Note that our conclusion is stated with regards to the null hypothesis, which can either be i) rejected or ii) not rejected that is, we never accept the null hypothesis.

4.Critical Region - Area containing all possible estimated values of the parameter that will result in rejection of the null hypothesis.

5.Critical Value(s) The value(s) that divide the critical region(s) from the do not reject region

6.Test Statistic Sample-based value that will be compared to the critical region(s) to decide whether to reject or not reject the null hypothesis. The generic form of the test statistic is

7.Decision Rule Statement that specifies values of the test statistic that will result in rejection or non-rejection of the null hypothesis

8.Two-Tailed Hypothesis Test - Evaluation of a conjecture for which sample results that are either sufficiently less than or greater than the conjectured value of the parameter will result in rejection of the null hypothesis, i.e., for a null hypothesis that only includes equality between the conjectured value and the tested parameter.

9.One-Tailed Hypothesis Test - Evaluation of a conjecture for which sample results that are only sufficiently less than or greater than the conjectured value of the parameter will result in rejection of the null hypothesis, i.e., for a null hypothesis that includes an inequality between the conjectured value and the tested parameter.

10.Upper-Tailed Test Hypothesis test for which sample results that are only sufficiently greater than the conjectured value of the parameter will result in rejection of the null hypothesis)

11.Lower-tailed Test Hypothesis test for which sample results that are only sufficiently less than the conjectured value of the parameter will result in rejection of the null hypothesis

12.Type I Error - Rejection of a true null hypothesis. The probability of this occurrence (given that the null hypothesis is true) is denoted as .13.Type II Error Non-rejection of a false null hypothesis. The probability of this occurrence (given that the null hypothesis is false) is denoted as .

14.Level of Significance The probability of rejecting the null when it is actually true. For a two-tailed test:Reject RegionReject RegionDecision rule do not reject H0 if t/2 t t/2 otherwise reject H0

For an upper-tailed test:Reject RegionDecision rule do not reject H0 if t ta otherwise reject H0

For a lower-tailed test:Reject RegionDecision rule do not reject H0 if ta t otherwise reject H0

15.Steps in Hypothesis Testing

-State the Null & Alternative Hypotheses

-Select the Appropriate Test Statistic

-State the Desired Level of Significance a, Find the Critical Value(s) and State the Decision Rule

-Calculate the Test Statistic

-Use the Decision Rule to Evaluate the Test Statistic and Decide Whether to Reject or Not Reject the Null Hypothesis. Interpret your results.

When testing a hypothesis about a single mean, the appropriate test statistic (when the parent population is normal or the sample is sufficiently large) iswhere t has n 1 degrees of freedom and

Example suppose we had the following fifteen sample observations on some random variable X1:At a significance level of a = 0.10, do these data support the assertion that they were drawn from a population with a mean of 4.0?

In other words, test the null hypothesis

Sheet1

dfc2p-value

14.9330.026348539

374.81540

X1 X2-413p1(x1)

10.150.200.050.401.6

20.100.250.250.600.35

p2(x2)0.250.450.301.00

X1 X2-413p1(x1)

10.150.200.050.40-4.350.652.650.240.39000.48989794860

20.100.250.250.600.397.027502.6509432284

p2(x2)0.250.450.301.00-0.60.4

1-4

1-4

1-4

11

11

11

11

13

2-4

2-4

21

21

21

21

21

23

23

23

23

23

0.247.02750.39

0.3003022313

73

Bivariate Normal

start value6increment0.08m1=9s1=9m2=9s2=9r12=0.8p=3.1415926536e=2.7182818285

x1x2

666.086.166.246.326.46.486.566.646.726.86.886.967.047.127.27.287.367.447.527.67.687.767.847.9288.088.168.248.328.48.488.568.648.728.88.888.969.049.129.29.289.369.449.529.69.689.769.849.921010.0810.1610.2410.3210.410.4810.5610.6410.7210.810.8810.9611.0411.1211.211.2811.3611.4411.5211.611.6811.7611.8411.9212

6.080.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

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6.560.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

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6.960.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

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Bivariate Normal

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0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

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0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

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0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

X1

f(X1, X2)

X2

Bivariate Normal Response Surface

Bivariate Normal II

Ordered Observations x(j),1Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)

1.430.033-1.834x(j),1x(j),2

1.620.100-1.2821.43-0.69-28.921231197732.444439609188.8152504568

2.460.167-0.9671.62-5.00-24.7095041078-21.2741137406130.753193687

2.480.233-0.7282.46-1.13-21.281686524426.2672837819111.1621691366

2.970.300-0.5242.48-5.20-18.4460826893-24.3804289075102.9183481953

4.030.367-0.3412.97-6.39-14.1356672635-39.4822442123162.7165622303

4.470.433-0.1684.032.87-12.768266174674.9633551552462.679779534

5.760.5000.0004.47-7.88-2.4661953431-59.0618988715285.0645695772

6.610.5670.1685.76-3.974.1124453696-11.275498319311.9569662633

6.680.6330.3416.612.325.94524714266.4331287224367.7731929583

6.790.7000.5246.68-3.2410.1797268728-2.846341887914.8356013859

7.460.7670.7286.79-3.5611.1483282623-6.785532579620.1062629471

7.880.8330.9677.461.6112.461672114856.9780620921295.1755621055

8.920.9001.2827.88-1.8717.835416528113.447658514463.1609886031

9.420.9671.8348.92-6.6028.4158702217-46.0318611037265.2869798162

9.42-7.6432.6299267892-59.3960082527405.8781964065

5.26-3.09

7.123143451312.4338318875

-0.6716336014

7.12-0.67163360140.14110613520.007622076810

-0.671633601412.43383188750.00762207680.0808374483-01

0.51.386

d2j

xj1xj2d2j(j-0.5)/nqc,2[(j-0.5)/n]xj1xj2d2j-0.52264382980.16497413882.3999585678-3.832.400.14110613520.0076220768-3.83-3.65-2.80-2.79-2.30-1.23-0.800.491.351.411.522.192.623.664.15

15.76-3.970.0900.0330.0681.43-0.692.400-0.529413815-0.1820560982.2791114748-3.65-1.910.00762207680.08083744832.40-1.911.96-2.11-3.305.96-4.79-0.885.42-0.15-0.464.701.22-3.50-4.55

26.68-3.240.2810.1000.2111.62-5.002.279-0.38053919180.13717304961.3355816424-2.801.96

36.79-3.560.3330.1670.3652.46-1.131.336-0.4095941816-0.19193973011.5475001001-2.79-2.11

47.88-1.871.1380.2330.5312.48-5.201.548-0.3490666381-0.28421100861.7390276447-2.30-3.30

52.46-1.131.3360.3000.7132.97-6.391.739-0.12815664820.47261788532.9756679291-1.235.96

62.48-5.201.5480.3670.9144.032.872.976-0.1491608512-0.39355463492.0054459591-0.80-4.79

72.97-6.391.7390.4331.1364.47-7.882.0050.0630471416-0.06738007780.09047097240.49-0.88

84.47-7.882.0050.5001.3865.76-3.970.0900.23110386290.448037012.73728603761.355.42

91.62-5.002.2790.5671.6726.612.322.7370.198464273-0.00154458260.28100829111.41-0.15

101.43-0.692.4000.6332.0076.68-3.240.2810.2111424956-0.02587628120.33322247161.52-0.46

117.461.612.6220.7002.4086.79-3.560.3330.34523573480.39672539712.62198595612.194.70

128.92-6.602.6860.7672.9117.461.612.6220.3789051150.11882923431.13775310122.621.22

136.612.322.7370.8333.5847.88-1.871.1380.4895668101-0.25540804782.68630483733.66-3.50

rQ=0.8952072329144.032.872.9760.9004.6058.92-6.602.6860.5511097227-0.33638625413.8194365294.15-4.55

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1000509113.6555623018039.67

23018039.671430020.01111111

d2j

0.4666666667xj1xj2d2j12697442240.000069512-0.0002121164.219936026764664.901296.700.0000000016-0.000000025564664.9034623.9024346.901128.90-7045.10-11333.10-23240.10-26153.10-27100.10-29893.10

5.76-3.970.0909693338350.00003176690.00012341611.211919818734623.90907.70-0.00000002550.00000111051296.70907.70582.70830.701011.70-1118.3018.70-2568.30-447.30-514.30

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1.62-5.002.279324162413-0.0000343090.00019260210.9265457898-29893.10-514.30

1.43-0.692.400

7.461.612.62262309.12927.3

8.92-6.602.6861000509113.655561430020.011111110.5930354844

6.612.322.73723018039.670.7204481784

4.032.872.9760.7685098826

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0.9265457898

0.9450914652

1.2119198187

1.5796758108

4.2199360267

4.9787412024

xj1zj1xj2zj2d2j

5.760.185-3.97-0.2500.090

6.680.530-3.24-0.0430.281

6.790.570-3.56-0.1310.333

7.880.981-1.870.3471.138

2.46-1.050-1.130.5561.336

2.48-1.045-5.20-0.5991.548

2.97-0.860-6.39-0.9361.739

4.47-0.299-7.88-1.3592.005

1.62-1.367-5.00-0.5412.279

1.43-1.436-0.690.6812.400

7.460.8221.611.3332.622

8.921.371-6.60-0.9942.686

6.610.5042.321.5362.737

4.03-0.4612.871.6912.976

9.421.556-7.64-1.2913.819

5.265-3.09-1

2.66892177693.52616390547.1231434513-0.6716336014

7.123143451312.4338318875-0.6716336014-0.671633601412.4338318875

0.26-2.090.14110613520.0076220768

0.00762207680.0808374483

2.1538461538

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1

010

0.010.99005744170.0099425583

0.020.9802287720.0098286697

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0.350.71112853140.0067850295

0.360.70441738540.006711146

0.370.69777921250.0066381729

0.380.69121311470.0065660978

0.390.68471820640.0064949083

0.40.67829361410.0064245923

0.410.67193847630.0063551378

0.420.66565194330.0062865331

0.430.65943317680.0062187665

0.440.65328135030.0061518266

0.450.64719564810.0060857021

0.460.64117526610.006020382

0.470.63521941070.0059558554

0.480.62932729920.0058921115

0.490.62349815950.0058291397

0.50.617731230.0057669295

0.510.61202575930.0057054707

0.520.60638100620.0056447531

0.530.60079623940.0055847669

0.540.59527073730.005525502

0.550.58980378840.0054669489

0.560.58439469030.0054090981

0.570.57904275030.00535194

0.580.57374728470.0052954655

0.590.56850761920.0052396655

0.60.56332308820.005184531

0.610.55819303530.0051300529

0.620.55311681260.0050762227

0.630.54809378070.0050230319

0.640.5431233090.0049704718

0.650.53820477490.0049185341

0.660.53333756420.0048672106

0.670.52852107090.0048164933

0.680.52375469680.0047663741

0.690.51903785170.0047168451

0.70.51436995310.0046678986

0.710.50975042610.004619527

0.720.50517870350.0045717226

0.730.50065422530.0045244782

0.740.4961764390.0044777863

0.750.49174479920.0044316397

0.760.48735876780.0043860314

0.770.48301781340.0043409544

0.780.47872141180.0042964016

0.790.47446904540.0042523664

0.80.47026020340.004208842

0.810.46609438170.0041658218

0.820.46197108240.0041232992

0.830.45788981450.0040812679

0.840.45385009290.0040397216

0.850.44985143910.0039986539

0.860.44589338040.0039580587

0.870.44197545040.00391793

0.880.43809718870.0038782617

0.890.43425814070.003839048

0.90.43045785760.0038002831

0.910.42669589650.0037619612

0.920.42297181990.0037240766

Bivariate Normal II

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

X1

X2

Sactter Plot

Univariate Normal

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

qc,2[(j-0.5)/n]

d2(j)

Chi-Square Plot

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

F

f(F)

F-Distribution (2, 13 degrees of freedom)

Ordered Observations x(j)Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)m=-2s=4Ordered Observations x(j)Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)

1-7.85938047980.03333-1.833911.430.033-1.834

2-6.84332921620.10000-1.281551.620.100-1.282

3-4.68293514440.16667-0.967422.460.167-0.967

4-4.45083505640.23333-0.727912.480.233-0.728

5-4.43976803630.30000-0.524402.970.300-0.524

6-4.36166870020.36667-0.340694.030.367-0.341

7-1.4973403170.43333-0.167894.470.433-0.168

8-0.82261455990.500000.000005.760.5000.000

9-0.70559056470.566670.167896.610.5670.168

101.70784860410.633330.340696.680.6330.341

112.19969167340.700000.524406.790.7000.524

122.5876197170.766670.727917.460.7670.728

132.88483522410.833330.967427.880.8330.967

143.4298705310.900001.281558.920.9001.282

153.57403945230.966671.833919.420.9671.834

Ordered Observations x(j)Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)Ordered Observations x(j)Standard Normal Variable z(j)Ordered Observations x(j)Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)

1-7.85938047980.03333-1.83391421161.43-1.4361.430.033-1.834x(j) - x(x(j) - x)2q(j) - q(q(j) - q)2(x(j) - x)(q(j) - q)Class RangeFrequency

2-4.43976803630.10000-1.28155079441.62-1.3671.620.100-1.282-3.8314.697-1.8343.3637.03120 - 22

33.57403945230.16667-0.96742041932.46-1.0502.460.167-0.967-3.6513.314-1.2821.6424.67652 - 43

4-0.82261455990.23333-0.72791294772.48-1.0452.480.233-0.728-2.807.855-0.9670.9362.71184 - 63

5-4.36166870020.30000-0.52440100262.97-0.8602.970.300-0.524-2.797.777-0.7280.5302.030136 - 85

62.5876197170.36667-0.34069444154.03-0.4614.030.367-0.341-2.305.270-0.5240.2751.204158 - 102

7-4.45083505640.43333-0.16789385884.47-0.2994.470.433-0.168-1.231.514-0.3410.1160.419

82.88483522410.5000005.760.1855.760.5000.000-0.800.637-0.1680.0280.134

9-1.4973403170.566670.16789385886.610.5046.610.5670.1680.490.2440.0000.0000.000

10-6.84332921620.633330.34069444156.680.5306.680.6330.3411.351.8100.1680.0280.226

112.19969167340.700000.52440100266.790.5706.790.7000.5241.412.0010.3410.1160.482

121.70784860410.766670.72791294777.460.8227.460.7670.7281.522.3150.5240.2750.798

13-4.68293514440.833330.96742041937.880.9817.880.8330.9672.194.8080.7280.5301.5960.9749513462

143.4298705310.900001.28155079448.921.3718.920.9001.2822.626.8600.9670.9362.534

15-0.70559056470.966671.83391421169.421.5569.420.9671.8343.6613.3871.2821.6424.689

4.1517.2351.8343.3637.614

5.262.66892177690.0000.0099.7240.00013.78136.1430.9749513

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Ordered Observations x(j)

Standard Normal Quantiles q(j)

Observed Values xj

Q - Q Plot

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0



Observed Values xj

Q - Q Plot

0

0

0

0

0

Classes

Absolute Frequecy

Histogram

Lets use the five steps of hypothesis testing to assess the potential validity of this conjecture:

-State the Null and Alternative HypothesesH0: 1 = 4.0H1: 1 4.0

-Select the Appropriate Test Statistic n = 15 < 30 but the data appear normal, so use

-State the Desired Level of Significance a, Find the Critical Value(s) and State the Decision Rulea=0.10 and we have a two-tailed test, so ta/2 = 1.761.Reject RegionReject RegionDecision rule do not reject H0 if 1.761 t 1.761 otherwise reject H0


We have -Use the Decision Rule to Evaluate the Test Statistic and Decide Whether to Reject or Not Reject the Null Hypothesis

1.761 t 1.761, i.e., 1.761 1.84 1.761

so reject H0. At a = 0.10. the sample evidence does not support the claim that the mean of X1 is 4.0. so

Another example suppose we had the following fifteen sample observations on some random variable X2:At a significance level of a = 0.10, do these data support the assertion that they were drawn from a population with a mean of -1.5?


Sheet1

dfc2p-value

14.9330.026348539

374.81540

X1 X2-413p1(x1)

10.150.200.050.401.6

20.100.250.250.600.35

p2(x2)0.250.450.301.00

X1 X2-413p1(x1)

10.150.200.050.40-4.350.652.650.240.39000.48989794860

20.100.250.250.600.397.027502.6509432284

p2(x2)0.250.450.301.00-0.60.4

1-4

1-4

1-4

11

11

11

11

13

2-4

2-4

21

21

21

21

21

23

23

23

23

23

0.247.02750.39

0.3003022313

73

Bivariate Normal


x1x2

666.086.166.246.326.46.486.566.646.726.86.886.967.047.127.27.287.367.447.527.67.687.767.847.9288.088.168.248.328.48.488.568.648.728.88.888.969.049.129.29.289.369.449.529.69.689.769.849.921010.0810.1610.2410.3210.410.4810.5610.6410.7210.810.8810.9611.0411.1211.211.2811.3611.4411.5211.611.6811.7611.8411.9212

6.080.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.160.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.240.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.320.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.480.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.560.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.640.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.720.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

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120.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

Bivariate Normal

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X1

f(X1, X2)

X2

Bivariate Normal Response Surface

Bivariate Normal II

Ordered Observations x(j),1Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)

1.430.033-1.834x(j),1x(j),2

1.620.100-1.2821.43-0.69-28.921231197732.444439609188.8152504568

2.460.167-0.9671.62-5.00-24.7095041078-21.2741137406130.753193687

2.480.233-0.7282.46-1.13-21.281686524426.2672837819111.1621691366

2.970.300-0.5242.48-5.20-18.4460826893-24.3804289075102.9183481953

4.030.367-0.3412.97-6.39-14.1356672635-39.4822442123162.7165622303

4.470.433-0.1684.032.87-12.768266174674.9633551552462.679779534

5.760.5000.0004.47-7.88-2.4661953431-59.0618988715285.0645695772

6.610.5670.1685.76-3.974.1124453696-11.275498319311.9569662633

6.680.6330.3416.612.325.94524714266.4331287224367.7731929583

6.790.7000.5246.68-3.2410.1797268728-2.846341887914.8356013859

7.460.7670.7286.79-3.5611.1483282623-6.785532579620.1062629471

7.880.8330.9677.461.6112.461672114856.9780620921295.1755621055

8.920.9001.2827.88-1.8717.835416528113.447658514463.1609886031

9.420.9671.8348.92-6.6028.4158702217-46.0318611037265.2869798162

9.42-7.6432.6299267892-59.3960082527405.8781964065

5.26-3.09

7.123143451312.4338318875

-0.6716336014

7.12-0.67163360140.14110613520.007622076810

-0.671633601412.43383188750.00762207680.0808374483-01

0.51.386

d2j

xj1xj2d2j(j-0.5)/nqc,2[(j-0.5)/n]xj1xj2d2j-0.52264382980.16497413882.3999585678-3.832.400.14110613520.0076220768-3.83-3.65-2.80-2.79-2.30-1.23-0.800.491.351.411.522.192.623.664.15

15.76-3.970.0900.0330.0681.43-0.692.400-0.529413815-0.1820560982.2791114748-3.65-1.910.00762207680.08083744832.40-1.911.96-2.11-3.305.96-4.79-0.885.42-0.15-0.464.701.22-3.50-4.55

26.68-3.240.2810.1000.2111.62-5.002.279-0.38053919180.13717304961.3355816424-2.801.96

36.79-3.560.3330.1670.3652.46-1.131.336-0.4095941816-0.19193973011.5475001001-2.79-2.11

47.88-1.871.1380.2330.5312.48-5.201.548-0.3490666381-0.28421100861.7390276447-2.30-3.30

52.46-1.131.3360.3000.7132.97-6.391.739-0.12815664820.47261788532.9756679291-1.235.96

62.48-5.201.5480.3670.9144.032.872.976-0.1491608512-0.39355463492.0054459591-0.80-4.79

72.97-6.391.7390.4331.1364.47-7.882.0050.0630471416-0.06738007780.09047097240.49-0.88

84.47-7.882.0050.5001.3865.76-3.970.0900.23110386290.448037012.73728603761.355.42

91.62-5.002.2790.5671.6726.612.322.7370.198464273-0.00154458260.28100829111.41-0.15

101.43-0.692.4000.6332.0076.68-3.240.2810.2111424956-0.02587628120.33322247161.52-0.46

117.461.612.6220.7002.4086.79-3.560.3330.34523573480.39672539712.62198595612.194.70

128.92-6.602.6860.7672.9117.461.612.6220.3789051150.11882923431.13775310122.621.22

136.612.322.7370.8333.5847.88-1.871.1380.4895668101-0.25540804782.68630483733.66-3.50

rQ=0.8952072329144.032.872.9760.9004.6058.92-6.602.6860.5511097227-0.33638625413.8194365294.15-4.55

159.42-7.643.8190.9676.8029.42-7.643.819

1000509113.6555623018039.67

23018039.671430020.01111111

d2j

0.4666666667xj1xj2d2j12697442240.000069512-0.0002121164.219936026764664.901296.700.0000000016-0.000000025564664.9034623.9024346.901128.90-7045.10-11333.10-23240.10-26153.10-27100.10-29893.10

5.76-3.970.0909693338350.00003176690.00012341611.211919818734623.90907.70-0.00000002550.00000111051296.70907.70582.70830.701011.70-1118.3018.70-2568.30-447.30-514.30

6.68-3.240.2818665635100.00002375790.00002506190.593035484424346.90582.70

6.79-3.560.333634383758-0.00001943210.00089368620.72044817841128.90830.70

7.88-1.871.138552643939-0.00003703110.00130353661.5796758108-7045.101011.70

2.46-1.131.3365097618090.0000105831-0.0009523660.9450914652-11333.10-1118.30

2.48-5.201.548390692946-0.00003736660.00061454110.8798956057-23240.1018.70

2.97-6.391.739361563590.0000241063-0.00218401084.9787412024-26153.10-2568.30

4.47-7.882.005352092480-0.00003158750.00019564870.7685098826-27100.10-447.30

1.62-5.002.279324162413-0.0000343090.00019260210.9265457898-29893.10-514.30

1.43-0.692.400

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8.92-6.602.6861000509113.655561430020.011111110.5930354844

6.612.322.73723018039.670.7204481784

4.032.872.9760.7685098826

9.42-7.643.8190.8798956057

0.9265457898

0.9450914652

1.2119198187

1.5796758108

4.2199360267

4.9787412024

xj1zj1xj2zj2d2j

5.760.185-3.97-0.2500.090

6.680.530-3.24-0.0430.281

6.790.570-3.56-0.1310.333

7.880.981-1.870.3471.138

2.46-1.050-1.130.5561.336

2.48-1.045-5.20-0.5991.548

2.97-0.860-6.39-0.9361.739

4.47-0.299-7.88-1.3592.005

1.62-1.367-5.00-0.5412.279

1.43-1.436-0.690.6812.400

7.460.8221.611.3332.622

8.921.371-6.60-0.9942.686

6.610.5042.321.5362.737

4.03-0.4612.871.6912.976

9.421.556-7.64-1.2913.819

5.265-3.09-1

2.66892177693.52616390547.1231434513-0.6716336014

7.123143451312.4338318875-0.6716336014-0.671633601412.4338318875

0.26-2.090.14110613520.0076220768

0.00762207680.0808374483

2.1538461538

0.0214201974-0.16707599950.265.3273763.8055674167

0.01213-2.098.1966067438

1

010

0.010.99005744170.0099425583

0.020.9802287720.0098286697

0.030.97051251450.0097162575

0.040.96090721450.0096053001

0.050.95141143790.0094957765

0.060.94202377170.0093876662

0.070.9327428230.0092809487

0.080.92356721890.0091756041

0.090.91449560640.0090716125

0.10.90552665180.0089689546

0.110.89665904040.0088676114

0.120.88789147630.0087675641

0.130.87922268230.008668794

0.140.87065139920.0085712831

0.150.86217638570.0084750135

0.160.85379641830.0083799674

0.170.84551029060.0082861276

0.180.83731681360.008193477

0.190.82921481490.0081019987

0.20.82120313870.0080116762

0.210.81328064550.0079224932

0.220.80544621190.0078344336

0.230.79769873020.0077474817

0.240.79003710830.0076616219

0.250.78246026930.0075768389

0.260.77496715160.0074931177

0.270.76755670830.0074104433

0.280.76022790710.0073288012

0.290.75297973010.007248177

0.30.74581117360.0071685565

0.310.73872124770.0070899259

0.320.73170897650.0070122713

0.330.72477339730.0069355792

0.340.7179135610.0068598363

0.350.71112853140.0067850295

0.360.70441738540.006711146

0.370.69777921250.0066381729

0.380.69121311470.0065660978

0.390.68471820640.0064949083

0.40.67829361410.0064245923

0.410.67193847630.0063551378

0.420.66565194330.0062865331

0.430.65943317680.0062187665

0.440.65328135030.0061518266

0.450.64719564810.0060857021

0.460.64117526610.006020382

0.470.63521941070.0059558554

0.480.62932729920.0058921115

0.490.62349815950.0058291397

0.50.617731230.0057669295

0.510.61202575930.0057054707

0.520.60638100620.0056447531

0.530.60079623940.0055847669

0.540.59527073730.005525502

0.550.58980378840.0054669489

0.560.58439469030.0054090981

0.570.57904275030.00535194

0.580.57374728470.0052954655

0.590.56850761920.0052396655

0.60.56332308820.005184531

0.610.55819303530.0051300529

0.620.55311681260.0050762227

0.630.54809378070.0050230319

0.640.5431233090.0049704718

0.650.53820477490.0049185341

0.660.53333756420.0048672106

0.670.52852107090.0048164933

0.680.52375469680.0047663741

0.690.51903785170.0047168451

0.70.51436995310.0046678986

0.710.50975042610.004619527

0.720.50517870350.0045717226

0.730.50065422530.0045244782

0.740.4961764390.0044777863

0.750.49174479920.0044316397

0.760.48735876780.0043860314

0.770.48301781340.0043409544

0.780.47872141180.0042964016

0.790.47446904540.0042523664

0.80.47026020340.004208842

0.810.46609438170.0041658218

0.820.46197108240.0041232992

0.830.45788981450.0040812679

0.840.45385009290.0040397216

0.850.44985143910.0039986539

0.860.44589338040.0039580587

0.870.44197545040.00391793

0.880.43809718870.0038782617

0.890.43425814070.003839048

0.90.43045785760.0038002831

0.910.42669589650.0037619612

0.920.42297181990.0037240766

Bivariate Normal II

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

X1

X2

Sactter Plot

Univariate Normal

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0

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0

0

0

0

0

0

0

0

qc,2[(j-0.5)/n]

d2(j)

Chi-Square Plot

0

0

0

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0

0

F

f(F)

F-Distribution (2, 13 degrees of freedom)

Ordered Observations x(j)Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)m=-2s=4Ordered Observations x(j)Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)

1-7.37426312070.03333-1.833911.430.033-1.834

2-6.6355175440.10000-1.281551.620.100-1.282

3-5.17950556190.16667-0.967422.460.167-0.967

4-5.01903107840.23333-0.727912.480.233-0.728

5-4.44310308820.30000-0.524402.970.300-0.524

6-4.10218459980.36667-0.340694.030.367-0.341

7-3.50887619350.43333-0.167894.470.433-0.168

8-2.96608392090.500000.000005.760.5000.000

9-2.36299436880.566670.167896.610.5670.168

10-2.19722828910.633330.340696.680.6330.341

11-1.38819896220.700000.524406.790.7000.524

12-0.43177184810.766670.727917.460.7670.728

131.86282746750.833330.967427.880.8330.967

142.63170300370.900001.281558.920.9001.282

153.11812453740.966671.833919.420.9671.834

Ordered Observations x(j)Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)Ordered Observations x(j)Standard Normal Variable z(j)Ordered Observations x(j)Adjusted Probability Level (j-0.5)/nStandard Normal Quantiles q(j)

1-2.19722828910.03333-1.83391421161.43-1.4361.430.033-1.834x(j) - x(x(j) - x)2q(j) - q(q(j) - q)2(x(j) - x)(q(j) - q)Class RangeFrequency

2-4.44310308820.10000-1.28155079441.62-1.3671.620.100-1.282-3.8314.697-1.8343.3637.03120 - 22

3-5.17950556190.16667-0.96742041932.46-1.0502.460.167-0.967-3.6513.314-1.2821.6424.67652 - 43

4-1.38819896220.23333-0.72791294772.48-1.0452.480.233-0.728-2.807.855-0.9670.9362.71184 - 63

5-2.96608392090.30000-0.52440100262.97-0.8602.970.300-0.524-2.797.777-0.7280.5302.030136 - 85

6-7.37426312070.36667-0.34069444154.03-0.4614.030.367-0.341-2.305.270-0.5240.2751.204158 - 102

7-4.10218459980.43333-0.16789385884.47-0.2994.470.433-0.168-1.231.514-0.3410.1160.419

8-5.01903107840.5000005.760.1855.760.5000.000-0.800.637-0.1680.0280.134

92.63170300370.566670.16789385886.610.5046.610.5670.1680.490.2440.0000.0000.000

10-3.50887619350.633330.34069444156.680.5306.680.6330.3411.351.8100.1680.0280.226

111.86282746750.700000.52440100266.790.5706.790.7000.5241.412.0010.3410.1160.482

12-6.6355175440.766670.72791294777.460.8227.460.7670.7281.522.3150.5240.2750.798

133.11812453740.833330.96742041937.880.9817.880.8330.9672.194.8080.7280.5301.5960.9749513462

14-2.36299436880.900001.28155079448.921.3718.920.9001.2822.626.8600.9670.9362.534

15-0.43177184810.966671.83391421169.421.5569.420.9671.8343.6613.3871.2821.6424.689

4.1517.2351.8343.3637.614

5.262.66892177690.0000.0099.7240.00013.78136.1430.9749513

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0



Observed Values xj

Q - Q Plot

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0



Observed Values xj

Q - Q Plot

0

0

0

0

0

Classes

Absolute Frequecy

Histogram

Lets use the five steps of hypothesis testing to assess the potential validity of this conjecture:

-State the Null and Alternative HypothesesH0: = -1.5H1: -1.5

-Select the Appropriate Test Statistic n = 15 < 30 but the data appear normal, so use

-State the Desired Level of Significance a, Find the Critical Value(s) and State the Decision Rulea=0.10 and we have a two-tailed test, so ta/2 = 1.761.Reject RegionReject RegionDecision rule do not reject H0 if 1.761 t 1.761 otherwise reject H0


We have -Use the Decision Rule to Evaluate the Test Statistic and Decide Whether to Reject or Not Reject the Null Hypothesis

1.761 t 1.761, i.e., 1.761 -1.748 1.761

so do not reject H0. At a = 0.10. the sample evidence does not refute the claim that the mean of X2 is -1.5. so

Consider the two-tailed test - note that rejecting H0 when |t| is large is equivalent to rejecting H0 if its squareis large!Note also that

-t2 represents the distance from the sample mean x to the hypothesized population mean m0, expressed in terms of sx (which is equivalent to square squared generalized)

-If the null hypothesis is true, t2 ~ F1, n - 1. __

What if we wished to make simultaneous inferences about the two variables X1 and X2?

We could take Bonferronis apporach set the experimentwise probability of Type I error a, then use a/m (where m is the number of simultaneous inferences we wish to make) at the comparisonwise probability of Type I error.

For our previous examples (with experimentwise probability of Type I error a = 0.10 and n 1 = 14 degrees of freedom), we have a comparisonwise probability of Type I error of a = 0.05. This gives us critical values ta/2 = 2.145, and we would reject neither of the previous two null hypotheses!

note that here n-1S is the estimated covariance matrix of X.B. Inference about a Mean Vector m

A natural generalization of the squared univariate distance t is the multivariate analog Hotellings T2:where___~~~

This gives us a framework for testing hypotheses about a mean vector, where the null and alternative hypotheses areH0: = 0H1: 0

The T2 statistic can be rewritten as~ ~~ ~multivariate normal Np(m,S) random vectormultivariate normal Np(m,S) random vector(Wishart Wp,n 1(S) random matrix/df)-1

~ ~~ ~~

So when the null hypothesis is true, the T2 statistic can be written as the product of two multivariate normal Np(m,S) and a Wishart Wp,n 1(S) distribution this is a complete generalization of the univariate case, where we could write the squared test statistic t2 as~~ ~We could use special tables to find critical values of T2 for various combinations of a and degrees of freedom, but that is not necessary becauseWhat happens to this in the univariate case?univariate normal N(m,s) random variableunivariate normal N(m,s) random variable(Chi Square random variable/df)-1

Example suppose we had the following fifteen sample observations on some random variables X1 and X2:At a significance level of a = 0.10, do these data support the assertion that they were drawn from a population with a centroid (4.0, -1.5)?


Sheet1

dfc2p-value

14.9330.026348539

374.81540

X1 X2-413p1(x1)

10.150.200.050.401.6

20.100.250.250.600.35

p2(x2)0.250.450.301.00

X1 X2-413p1(x1)

10.150.200.050.40-4.350.652.650.240.39000.48989794860

20.100.250.250.600.397.027502.6509432284

p2(x2)0.250.450.301.00-0.60.4

1-4

1-4

1-4

11

11

11

11

13

2-4

2-4

21

21

21

21

21

23

23

23

23

23

0.247.02750.39

0.3003022313

73

Bivariate Normal


x1x2

666.086.166.246.326.46.486.566.646.726.86.886.967.047.127.27.287.367.447.527.67.687.767.847.9288.088.168.248.328.48.488.568.648.728.88.888.969.049.129.29.289.369.449.529.69.689.769.849.921010.0810.1610.2410.3210.410.4810.5610.6410.7210.810.8810.9611.0411.1211.211.2811.3611.4411.5211.611.6811.7611.8411.9212

6.080.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.160.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.240.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.320.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.480.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.560.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.640.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.720.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.80.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.880.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

6.960.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

7.040.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00

a. basic inference about a single mean 1.hypothesis testing - scientific method-based means for...

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