a bevezetés a matematikába című tárgy 3. félévével...

A Bevezetés a matematikába című tárgy 3. félévével kapcsolatos tudnivalók

A tárgy vizsgái két részből állnak, egy tesztjellegű írásbeliből, valamint egy szóbeli-

ből. Az írásbelin nincs osztályzat, a szóbeli vizsga előfeltétele az írásbeli sikeres letétele (de

sikertelen szóbeli esetén a sikeres írásbelit nem kell megismételni). Az írásbeli vizsgán egy

hibátlan kérdés 3 pont, apró hibával 1 pont, egyébként 0 pont. Három kérdés van az első két

félév anyagából, ebből minimum 7 pont kell, de a vastagon szedett fogalmak mindegyikét

hibátlanul kell tudni, vagyis ezek maradéktalan ismerete szükséges az elégségeshez (ez a szó-

belire is vonatkozik). A tárgy harmadik féléve öt témakörének mindegyikéből 3-3 kérdés van,

amelyek közül (témakörönként) legalább egyet hibátlanul kell megoldani, és összességében a

15 kérdésből 27 pont kell a sikeres írásbelihez, vagyis hármas feltétel van:

az első két félév anyagának három kérdéséből minimum 7 pont, illetve a vastagon

szedett fogalmak hibátlan ismerete

a harmadik félév anyagának valamennyi témaköréből az adott három kérdés legalább

egyikének hibátlan megoldása

a harmadik félévi anyag összesen 15 kérdéséből minimum 27 pont.

A szóbeli vizsga – sikeres írásbeli esetén – az írásbelit követően kerül lebonyolításra.

Ha valaki a kihúzott tételt nem tudja, egyszer ugyanazon, vagy hasonló témakörből egy másik

kérdést kaphat, ám ekkor az osztályozás hármasból indul lefelé. A javítóvizsga hasonló a

vizsgához.

Az írásbeli vizsgához nyújt segítséget az alábbi kérdéssor. A vizsgán a kérdések az itt

felsoroltakhoz hasonlóak, de nem feltétlenül egyeznek meg az itt megadottakkal, továbbá kér-

désként szerepelhet bármely tanult definíció vagy tétel.

A tárgy anyaga szinte teljes egészében – néhány apró kivételtől eltekintve – megtalál-

ható a Bevezető fejezetek a matematikába III. című jegyzetben (maga a jegyzet ennél lénye-

gesen bővebb, a vizsgára kb. a jegyzet fele kell).

Szükséges tudnivalók a Bevezetés a matematikába című tárgy első két félévének

anyagából (valamint a Lineáris algebrából)

Az alábbi felsorolás azon anyagot adja meg, amelyet feltétlenül tudni kell, és amelyek

az írásbeli vizsgán kérdés formájában előfordulhatnak. A tételeknél csak magát a tételt kell

tudni, a bizonyítást nem (az persze nem büntetendő, ha valaki azt is tudja; mindenesetre a

bizonyítás ismerete rávilágít, hogy a tételben mi miért szerepel). A vastagon szedett fogalmak

ismerete külön-külön szükséges az elégségeshez (mind az írásbelin, mind a szóbelin).

1. Reláció. Reflexív, irreflexív, szimmetrikus, antiszimmetrikus, szigorúan antiszimmetrikus,

tranzitív, trichotóm reláció.

2. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Az ekvivalenciareláció és az osztályozás kapcsolata.

3. Részbenrendezés, szigorú részbenrendezés, teljes rendezés; jólrendezés, a természetes

számok halmaza és a jólrendezettség.

4. Függvény definíciója; szürjektív, injektív, bijektív függvény. Függvény leszűkítése,

kiterjesztése.

5. Művelet, struktúra. Asszociativitás, kommutativitás. Művelettartó leképezés: homo-,

mono-, izomorfizmus. Beágyazás.

6. Binomiális tétel és binomiális együttható.

7. n-edik (komplex) egységgyök, primitív n-edik (komplex) egységgyök.

8. Algebrai szám, transzcendens szám.

9. Félcsoport, monoid, csoport, gyűrű, kommutatív gyűrű, egységelemes gyűrű, ferdetest,

test. Abel-csoport.

10. Egységelem (semleges elem, neutrális elem). Nullosztó, regularitás; nullosztómentes gyű-

rű, integritási tartomány.

11. Oszthatóság, osztó. Egység, asszociált, felbontható elem, felbonthatatlan elem, prímelem.

Legnagyobb közös osztó, a legnagyobb közös osztó mint lineáris kombináció; relatív prí-

mek, páronként relatív prímek (általában gyűrűben, és az egész számok gyűrűjében, illet-

ve a természetes számok körében). Euler-féle -függvény.

12. Kongruencia, maradékosztály, reprezentáns. Kongruenciák összeadása, szorzása és osz-

tása. mZ ; mZ és test kapcsolata.

13. Euler-féle kongruenciatétel, Fermat-tétel.

14. Egyismeretlenes lineáris kongruencia, a kongruencia megoldásainak száma, a megoldha-

tóság feltétele.

15. Szimultán kongruenciarendszerek, a kínai maradéktétel.

16. Szám felírása q-alapú számrendszerben.

17. Komplexus, komplexusszorzás. Részcsoport, részcsoport és komplexus kapcsolata; rész-

csoportok metszete.

18. Ciklikus csoport; csoport és elem rendje.

19. Normális részcsoport, faktorcsoport. Lagrange tétele.

20. Csoport homomorf képe csoport; homomorfizmus-tétel, a leképezés magja.

21. Nullosztómentes gyűrű karakterisztikája: a karakterisztika definíciója és értéke.

22. Euklideszi gyűrű.

23. Részgyűrű, bal oldali ideál, jobb oldali ideál, ideál; maradékosztály-gyűrű. Gyűrű homo-

morfizmusa.

24. Polinom, polinomfüggvény; polinomműveletek.

25. Polinomok maradékos osztása; test fölötti polinomgyűrű euklideszi.

26. Polinom helyettesítési értéke és gyöke, többszörös gyök; a gyök és az oszthatóság kapcso-

lata.

27. Integritási tartomány feletti polinom gyökeinek száma.

28. Derivált polinom; többszörös gyök és a derivált polinom kapcsolata.

29. Lineáris tér. Lineáris függetlenség és összefüggőség, bázis, dimenzió.

30. Vektorok skalárszorzata; ortogonális altér. Mátrix rangja, mátrixok illetve mátrix és vek-

tor szorzása.

A szóbeli vizsga várható tételei a Bevezetés a matematikába című tárgy

3. félévének anyagából

1. Bővített test és prímtest (2.2. és 2.3. a 2.3.7.-ig; kimarad 2.2.3., 2.2.4., 2.3.2. bizonyítása,

2.3.5. bizonyítása és 2.3.7. bizonyítása)

2. A bővítés foka. Algebrai bővítés (2.3. a 2.3.8.-tól és 2.4. a 2.4.13.-ig; kimarad 2.4.6.)

3. Polinom gyökével való bővítés. Felbontási test (2.4. a 2.4.14.-től; kimarad 2.4.16., 2.4.17.,

2.4.18. bizonyítása, 2.4.22. bizonyítása, 2.4.23. bizonyítása)

4. Véges testek (2.5.)

5. Véges test multiplikatív csoportja (2.6. a 2.6.11.-ig)

6. Kongruenciák (3.1., 3.2. és 3.3. a 3.3.3.-ig; kimarad 3.1.5. és 3.1.8.)

7. Szabad félcsoportok (4.1. a 4.1.9.-ig)

8. Szabad félcsoport tulajdonságai. Szabad monoid (4.1. a 4.1.10.-től; kimarad 4.1.11.,

4.1.12. bizonyítása, 4.1.13. bizonyítása)

9. Betűnkénti kódolás (4.2.)

10. Hibakorlátozó kódok (4.5. a 4.5.10.-ig)

11. Lineáris és ciklikus kódok (4.6. és 4.7.; kimarad 4.6.6., 4.6.7., 4.7.3. bizonyítása, 4.7.5.

bizonyítása, 4.7.6. bizonyítása, 4.7.7. bizonyítása, 4.7.8. bizonyítása)

12. Algebrai struktúrák (6.1. a 6.1.20.-ig; kimarad 6.1.2., 6.1.3., 6.1.4., 6.1.5., 6.1.6.)

13. Homomorfizmus (6.1. a 6.1.22.-től 6.1.31.-ig; kimarad 6.1.26. bizonyítása, 6.1.28. bizo-

nyítása, 6.1.29. bizonyítása)

14. Kifejezésalgebra. Szabad algebrák (6.2.; kimarad 6.2.5. bizonyítása, 6.2.8., 6.2.9., 6.2.10.

és 6.2.12.)

15. Algoritmus és nyelv (7.1.; az ábécé megszámlálható számosságú!)

16. Rekurzív függvények. RAM-gép (7.2. és 7.4.)

17. Turing-gépek (7.3.; kimarad a 269. oldal utolsó bekezdésétől a 276. oldal aljáig, kivéve az

utolsó két sort, valamint a 280. oldal utolsó bekezdésétől a k-szalagos Turin-gépnek az 1-

szalagossal, illetve a nemdeterminisztikus Turing-gépnek a determinisztikus Turing-

géppel való ekvivalenciájára vonatkozó “bizonygatások”).

A tételeknél feltüntetett számok a Bevezető fejezetek a matematikába III. című

jegyzet fejezet-, tétel-, definíció- illetve oldalszámai. Ahol -ig illetve -tól szerepel, az így

megjelölt rész még hozzátartozik a megadott tételhez.

A szóbeli vizsgán a tételek és definíciók puszta ismerete – még akkor is, ha ez kifogás-

talan – általában nem elegendő az elégségeshez, azaz több-kevesebb segítséggel legalábbis a

tételek egy részének bizonyítását is tudni kell.

Tesztkérdések a Bevezetés a matematikába című tárgy 3. félévének

anyagából

A kérdések között vannak olyanok, amelyek ellentmondanak az elméletnek, ez szán-

dékos. Minden eldöntendő (vagyis igen – nemmel megválaszolható) kérdésre adott választ

indokolni kell, és akkor is szükséges az indoklás, ha egy kérdés lehetetlen dologra vonatkozik.

A vizsgán az itt felsorolt kérdésekhez hasonló – de esetleg másként megfogalmazott – kérdé-

sek, valamint definíciók és tételek fordulnak elő.

1. Ismertesse Wedderburn tételét.

2. Igaz-e hogy minden ferdetest test?

3. Igaz-e, hogy minden test ferdetest?

4. Igaz-e, hogy minden véges test ferdetest?

5. Igaz-e, hogy minden véges ferdetest test?

6. Van-e végtelen sok, lényegében véve különböző véges test?

7. Legyen L és K test. Mit jelent az, hogy L a K bővítése?

8. Legyen L és K test. Mit jelent az, hogy L a K valódi bővítése?

9. Legyen L és K test, és KL. Mi a kapcsolat a két test karakterisztikája között?

10. Mit jelent KL ?

11. Mit jelent KLM ?

12. Igaz-e, hogy ha egy test elemszáma m, akkor a karakterisztikája is m?

13. Igaz-e, hogy ha egy test karakterisztikája m, akkor az elemeinek száma is m?

14. Igaz-e, hogy ha egy test elemszáma p, ahol p prímszám, akkor a karakterisztikája is p?

15. Igaz-e, hogy ha egy test karakterisztikája p, ahol p prímszám, akkor az elemeinek száma

is p?

16. Bizonyítsa be, hogy ha KL , akkor char(L)=char(K).

17. Adja meg azokat az L testeket, amelyeknek van char(L)char(K) tulajdonságú K résztes-

te.

18. Sorolja fel a 0-karakterisztikájú véges testeket.

19. Mi lehet egy véges test karakterisztikája?

20. Bizonyítsa be, hogy véges test karakterisztikája prímszám.

21. Mutassa meg, hogy ha p prímszám, akkor van olyan véges test, amelynek a karakterisz-

tikája p.

22. Adja meg azokat az n egész számokat, amelyekhez van n-karakterisztikájú véges test.

23. Van-e olyan legbővebb test, amelynek a karakterisztikája egy adott p prímszám?

24. Van-e olyan legbővebb véges test, amelynek a karakterisztikája egy adott p prímszám?

25. Adja meg azokat a véges testeket, amelyeknek a karakterisztikája 0.

26. Mi a prímtest?

27. Mi egy test prímteste?

28. Mi a kapcsolat prímtest és egy test prímteste között?

29. Mi a prímteste Zp-nek, ahol p prímszám?

30. Mi a prímteste Zn-nek, ahol nZ?

31. Mi a prímteste Zn-nek, ahol 1<nZ?

32. Mi a prímteste 2pZ -nek, ahol p prímszám?

33. Mi a prímteste Fq-nak?

34. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy test prímteste önmaga legyen?

35. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy test prímteste p-elemű legyen, ahol p

prímszám?

36. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy test prímteste n-elemű legyen, ahol n

egész szám?

37. Melyek azok a testek, amelyek prímteste 12 elemből áll?

38. Mi a prímteste egy 81-elemű testnek?

39. Mi a prímteste Z23-nak?

40. Melyik a legszűkebb olyan test, amelynek a prímteste 7-elemű?

41. Melyik a legszűkebb olyan test, amelynek a prímteste 12-elemű?

42. Adja meg a legszűkebb olyan testet, amely nem prímtest, és amelynek a prímteste 19-

elemű.

43. Legyen K és L test, és KL . Mi a kapcsolat L és K prímteste között?

44. Igaz-e, hogy ha L1 és L2 test, és az L1 és L2 testek prímteste azonos, akkor a két test

lényegében véve azonos?

45. Igaz-e, hogy ha L1 és L2 test, és char(L1)=char(L2), akkor a két test prímteste azonos?

46. Igaz-e, hogy ha L1 és L2 test, és char(L1)=char(L2), akkor a két test prímteste lényegé-

ben véve azonos?

47. Mi egy prímtest prímteste?

48. Hány eleme van egy véges prímtestnek?

49. Mi a karakterisztikája egy 12-elemű testnek?

50. Adja meg egy 18-elemű test prímtestét.

51. Ha az L1 test prímteste K1, az L2 test prímteste K2, és L1∩L2, akkor mi lesz L1∩L2 prímteste?

52. Ha M, L1 és L2 test, 1LM , 2LM , és L az L1 és L2 által generált test, akkor mi lesz L

prímteste?

53. Legyen K, L és M test, KLM , és L az M prímteste. Mi lesz K prímteste?

54. Legyen a K test prímteste Zp. Mi lesz K karakterisztikája?

55. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test Zm bővítése?

56. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test Zp bővítése?

57. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test lényegében véve Zm bővítése?

58. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test lényegében véve Zp bővíté-

se?

59. Legyen 0uZ59. Adja meg Z59 valamennyi olyan v elemét, amelyre uv=0.

60. Adja meg 7 Z11 inverzét.

61. Adja meg 11Z11 inverzét.



64. Testet alkot-e Z11∩Z13?



67. Igaz-e, hogy 5125 ZZ ?

68. Igaz-e, hogy 1255 ZZ ?

69. Igaz-e, hogy 5125 ZZ test?

70. Igaz-e, hogy 25125 ZZ test?

71. Igaz-e, hogy Z24∩Z45 test?

72. Igazolja, hogy ha K és L test, és KL , akkor L egy K feletti lineáris tér.

73. Definiálja a (test)bővítés fokát.

74. Mit jelent az, hogy az KL bővítés véges, ahol K és L test?

75. Mit jelent az, hogy az KL bővítés végtelen, ahol K és L test?

76. Igazolja, hogy ha K és L test, KL , és L <, akkor [L:K]N.

77. Adja meg az összes olyan L testet, amely a K test bővítése, és amelyre [L:K]=0.

78. Melyik az az L test, amelyre [L:K]=1?

79. Mennyi az 327 FF bővítés foka?

80. Mennyi az 33 ZF bővítés foka?

81. Legyen K és L test, KL . Adjon szükséges feltételt arra, hogy [L:K] végtelen legyen.

82. Legyen K és L test, KL . Adjon szükséges feltételt arra, hogy a bővítés végtelen legyen.

83. Legyen K és L test, KL , és K <. Adjon szükséges feltételt arra, hogy [L:K] végtelen

legyen.

84. Legyen K és L test, KL , és K <. Adjon szükséges feltételt arra, hogy a bővítés végte-

len legyen.

85. Legyen K és L test, KL . Adjon elégséges feltételt arra, hogy [L:K] véges legyen.

86. Legyen K és L test, KL . Adjon elégséges feltételt arra, hogy a bővítés véges legyen.

87. Mennyi [K:K], ahol K test?

88. Legyen K az Fq test prímteste. Mennyi lesz [Fq:K]?

89. Adott az alábbi test, adja meg a prímtestét:

+ a b c d e f g h i

a a b c d e f g h i

b b c a e f d h i g

c c a b f d e i g h

d d e f g h i a b c

e e f d h i g b c a

f f d e i g h c a b

g g h i a b c d e f

h h i g b c a e f d

i i g h c a b f d e

× a b c d e f g h i

a a a a a a a a a a

b a b c d e f g h i

c a c b g i h d f e

d a d g c f i b e h

e a e i f g b h c d

f a f h i b d e g c

g a g d b h e c i f

h a h f e c g i d b

i a i e h d c f b g

90. Az alábbi test hányadfokú bővítése a prímtestének:

+ a b c d e f g h i

a a b c d e f g h i

b b c a e f d h i g

c c a b f d e i g h

d d e f g h i a b c

e e f d h i g b c a

f f d e i g h c a b

g g h i a b c d e f

h h i g b c a e f d

i i g h c a b f d e


a a a a a a a a a a

b a b c d e f g h i

c a c b g i h d f e

d a d g c f i b e h

e a e i f g b h c d

f a f h i b d e g c

g a g d b h e c i f

h a h f e c g i d b

i a i e h d c f b g

91. Ha K és L test, KL , és K49L , akkor mi lesz L prímteste?

92. Ha K és L test, KL , és K49L , akkor mi lesz K prímteste?

93. Ha K és L test, KL , és K49L , akkor mi lesz [L:K]?

94. Legyen K és L test, KL , K =49, és L <2401. Adja meg L összes lehetséges értékét.

95. Adja meg az összes olyan L testet, amelyre 5ZL , és L 658.

96. Legyen K és L test, KL , L <, és K =q. Mi lehet L értéke?

97. Bizonyítsa be, hogy ha K és L test, KL , L <, és K =q, akkor L =qn alkalmas nN-

nel.

98. Adja meg az összes olyan L testet, amelyre 79ZL , és L <125.

99. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test elemszáma m-nek egy hatványa?

100. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test elemszáma m-nek egy egész kitevős hatványa?

101. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test elemszáma m-nek egy pozitív egész kitevős hatvá-

nya?

102. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test elemszáma p-nek egy hatvá-

nya?

103. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test elemszáma p-nek egy egész

kitevős hatványa?

104. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test elemszáma p-nek egy pozitív

egész kitevős hatványa?

105. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges test elemszáma m-nek egy hatványa?

106. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges test elemszáma m-nek egy egész kitevős hatvá-

nya?

107. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges test elemszáma m-nek egy pozitív egész kitevős

hatványa?

108. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú véges test elemszáma p-nek egy

hatványa?


egész kitevős hatványa?


pozitív egész kitevős hatványa?

111. Konstruáljon 6-elemű testet (vagyis adja meg egy 6-elemű test művelettábláit).



114. Adja meg az összes olyan testet, amelynek az elemszáma azonos az alábbi test elemei-

nek számával, és nem izomorf ezzel a testtel:

+ a b c d e f g h i

a a b c d e f g h i

b b c a e f d h i g

c c a b f d e i g h

d d e f g h i a b c

e e f d h i g b c a

f f d e i g h c a b

g g h i a b c d e f

h h i g b c a e f d

i i g h c a b f d e


a a a a a a a a a a

b a b c d e f g h i

c a c b g i h d f e

d a d g c f i b e h

e a e i f g b h c d

f a f h i b d e g c

g a g d b h e c i f

h a h f e c g i d b

i a i e h d c f b g

115. Legyen f=xq–xFq[x]. Írja fel f-et a lehető legtöbb tényezőből álló szorzatként.

116. Legyen L q-elemű test. Adja meg az f=

Luux polinomot a lehető legtömörebb

alakban.

117. Legyen L véges test. Adja meg az f=

Luux polinomot a lehető legtömörebb alak-

ban.

118. Legyen f=xq–xFq[x]. Adja meg a polinom Fq fölötti felbontási testét.

119. Legyen f= xxnq Fq[x]. Adja meg a polinom Fq fölötti felbontási testét.

120. Igazolja, hogy ha f=xq–xFq[x], akkor f=

qu

uxF

.

121. Legyen K és L test, KL , K =q, és L. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy

q teljesüljön?

122. Legyen K és L test, KL , és K =q. Hány olyan eleme van L-nek, amelynek a q-adik

hatványa ?

123. Bizonyítsa be, hogy ha L véges test, f=xq–1

–eL[x], ahol e a test egységeleme, akkor

f= *Lu

ux .

124. Mi az egyszerű bővítés?

125. Legyen K és L test, KL , és AL. Definiálja K(A)-t.

126. Igazolja, hogy ha K és L test, KL , és AL, akkor létezik és egyértelmű a K(A) test.

127. Mutassa meg, hogy ha K és L test, és KL , akkor van olyan AL, hogy L=K(A).

128. Legyen K és L test, KL , és AL. Milyen kapcsolat van K, L és K(A) között?

129. Legyen K és L test, KL , és AL. Milyen kapcsolat van KA és K(A) között?

130. Igazolja, hogy ha az L test mind a K1, mind a K2 test bővítése, A1 és A2 az L részhalma-

zai, és K1A1K2A2, akkor 1122 AA KK .

131. Legyen az L test mind a K1, mind a K2 test bővítése, és A1 és A2 az L részhalmazai. Ad-

jon elégséges feltételt arra, hogy 1122 AA KK legyen.

132. Legyen K és L test. Mit jelent az, hogy L a K A-val való bővítése?

133. Igaz-e, hogy ha K1 és K2 egy L test résztestei, és A1, A2 ennek az L testnek részhalmazai,

továbbá 1122 AA KK , akkor K1A1K2A2?

134. Mit jelent az, hogy K(A)(B)?

135. Mit jelent az, hogy K(A,B)?

136. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)=K(B)(A)?

137. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)K(B)(A)?

138. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)K(A,B)?

139. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)K(A,B)?

140. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)=K(A,B)?

141. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)K(A,B):

142. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)K(A,B)

143. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)=K(A,B)

144. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)=K(B)(A)

145. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)K(B)(A)

146. Igazolja, hogy ha K test, A= NN innai , az NN inni halmaz

permutációja, K0=K, és niN-re Ki=Ki–1(a(i)), akkor K(A)=Kn.

147. Legyen K és L test. Mit jelent az, hogy uL algebrai K fölött?

148. Legyen K és L test. Mit jelent az, hogy uL transzcendens K fölött?

149. Mi az algebrai bővítés?

150. Mi a transzcendens bővítés?

151. Helyes-e a következő kijelentés: az L test u eleme algebrai a K test fölött, ha van olyan

K[x]-beli f polinom, amelynek u gyöke?

152. Lehet-e egy testnek olyan eleme, amely egyszerre algebrai és transzcendens?

153. Lehet-e egy testnek olyan eleme, amely egyszerre algebrai és transzcendens ugyanazon

testre vonatkozóan?

154. Helyes-e a következő kijelentés: az L test u eleme transzcendens a K test fölött, ha nincs

olyan K[x]-beli f polinom, amelynek u gyöke?

155. Legyen az L test a K test algebrai bővítése. Adja meg L valamennyi, a K fölött transz-

cendens elemét.

156. Legyen az L test a K test algebrai bővítése. Adja meg L valamennyi, a K fölött algebrai

elemét.

157. Legyen az L1 és L2 test a K test transzcendens bővítése. Igaz-e, hogy L1∩L2 is a K

transzcendens bővítése?

158. Legyen az L1 és L2 test a K test transzcendens bővítése. Igaz-e, hogy L1∩L2 a K algebrai

bővítése?

159. Legyen az L1 és L2 test a K test algebrai bővítése. Lehet-e L1∩L2 a K transzcendens bő-

vítése?

160. Legyen az L1 és L2 test a K test algebrai bővítése. Igaz-e, hogy L1∩L2 a K algebrai bőví-

tése?

161. Legyen az L1 test a K test algebrai, az L2 test a K transzcendens bővítése, akkor milyen

bővítése L1∩L2 K-nak?

162. Legyen az L1 és L2 test a K test transzcendens bővítése, és L az L1L2 által generált

test. Igaz-e, hogy L is a K transzcendens bővítése?

163. Legyen az L1 és L2 test a K test transzcendens bővítése, és L az L1L2 által generált

test. Igaz-e, hogy L a K algebrai bővítése?

164. Legyen az L1 és L2 test a K test algebrai bővítése, és L az L1L2 által generált test. Le-

het-e, hogy L a K transzcendens bővítése?

165. Legyen az L1 és L2 test a K test algebrai bővítése, és L az L1L2 által generált test. Igaz-

e, hogy L a K algebrai bővítése?

166. Legyen az L1 test a K test algebrai, az L2 test a K transzcendens bővítése, és L az L1L2

által generált test. Milyen bővítése L K-nak?

167. Legyen M test. Adja meg M összes, az M fölött algebrai elemét.

168. Legyen M test. Adja meg M összes, az M fölött transzcendens elemét.

169. Mutassa meg, hogy ha M test, és uM, akkor u algebrai M fölött.

170. algebrai vagy transzcendens elem R fölött?

171. algebrai vagy transzcendens elem C fölött?

172. algebrai vagy transzcendens elem Q() fölött?

173. Legyen K, L és M test, és KLM . Igazolja, hogy ha uM algebrai K fölött, akkor algeb-

rai L fölött is.

174. Van-e olyan test, és felette transzcendens elem, amely a test minden bővítése felett

transzcendens?

175. Van-e olyan test, amelyre vonatkoztatva bármely bővítésének tetszőleges eleme algeb-

rai?

176. Van-e olyan test, amelynek bármely eleme a test tetszőleges részteste felett algebrai?

177. Igaz-e, hogy ha egy test valamely eleme transzcendens a test valamely részteste felett,

akkor transzcendens ezen résztest minden részteste felett?

178. Adja meg F49 valamennyi, a Z7-be eső, és F49 felett transzcendens elemét.

179. Adja meg F49 valamennyi, a Z7 fölött transzcendens elemét.

180. Adja meg F49 valamennyi, a prímteste fölött transzcendens elemét.

181. Igazolja, hogy véges bővítés algebrai.

182. Adja meg egy K test valamennyi véges transzcendens bővítését.

183. Definiálja egy test valamely elemének minimálpolinomját.

184. Igaz-e, hogy 3x2–6 a 2 Q feletti minimálpolinomja?

185. Igaz-e, hogy ha az L test a K test bővítése, és uL, akkor van u-nak K feletti minimálpo-

linomja?

186. Igaz-e, hogy ha az L test a K test bővítése, és uL algebrai K fölött, akkor van u-nak K

feletti minimálpolinomja?

187. Igaz-e, hogy algebrai elem minimálpolinomja egyértelmű?

188. Igaz-e, hogy adott test felett algebrai elem ezen test feletti minimálpolinomja egyértel-

mű?

189. Igaz-e, hogy ha u az L test eleme, és K az L részteste, akkor u-nak van egyértelműen

meghatározott minimálpolinomja K-ra vonatkoztatva?

190. Legyen L test, és uL. Algebrai-e u L fölött?

191. Legyen L test, és uL. Mi az u L feletti minimálpolinomja?

192. Van-e egy test felett transzcendens elemnek minimálpolinomja?

193. Van-e egy test felett transzcendens elemnek erre a testre vonatkozó minimálpolinomja?

194. Ha u transzcendens egy L test felett, akkor van-e olyan f L feletti polinom, amelynek u

gyöke?

195. Igaz-e, hogy ha az L test a K test bővítése, akkor az L bármely u eleméhez lehet találni

olyan K feletti polinomot, amelynek u gyöke?

196. Igaz-e, hogy ha az L test a K test bővítése, akkor az L bármely u eleméhez lehet találni

olyan K feletti nem nulla polinomot, amelynek u gyöke?

197. Ha u transzcendens egy L test felett, akkor van-e olyan f0 L feletti polinom, amelynek

u gyöke?

198. Igazolja, hogy ha L test, és uL, akkor u algebrai L fölött.

199. Legyen a K test az L test részteste. Mutassa meg, hogy ha uL transzcendens K fölött,

akkor uK.

200. Mutassa meg, hogy ha L test, és uL, akkor u L fölötti minimálpolinomja x–u.

201. Sorolja fel a minimálpolinom tulajdonságait.

202. Igazolja, hogy algebrai elem adott testre vonatkozó minimálpolinomja egyértelmű.

203. Igazolja, hogy egy elem valamely testre vonatkozó minimálpolinomja felbonthatatlan

ezen test fölött.

204. Mutassa meg, hogy ha u a K test valamely bővítésének algebrai eleme, és m az u K fe-

letti minimálpolinomja, továbbá fK[x]-nek gyöke u, akkor m osztója f-nek.

205. Igaz-e, hogy ha u a K test valamely bővítésének algebrai eleme, és m az u K feletti

minimálpolinomja, továbbá fK[x]-nek gyöke u, akkor f osztója m-nek?

206. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy ha u a K test valamely bővítésének algebrai

eleme, és m az u K feletti minimálpolinomja, továbbá fK[x]-nek gyöke u, akkor f osztója

legyen m-nek?

207. Igazolja, hogy ha u a K test valamely bővítésének algebrai eleme, és m az u K feletti

minimálpolinomja, továbbá fK[x]-nek osztója m, akkor u gyöke f-nek.

208. Legyen u és v algebrai a K test felett, és mu illetve mv rendre az u és v K feletti

minimálpolinomja. Adja meg a két polinom legnagyobb közös osztóját.


minimálpolinomja. Adja meg a két polinom legkisebb közös többszörösét.


minimálpolinomja. Adja meg a két polinom közös gyökeit.

211. Definiálja algebrai elem fokát.

212. Igaz-e, hogy ha u és v algebrai a K test felett, mu illetve mv rendre az u és v K feletti

minimálpolinomja, és a két polinom nem relatív prím, akkor u=v?


minimálpolinomja, és a két polinom nem relatív prím, akkor mu=mv?


minimálpolinomja, és mu osztója mv-nek, akkor mu=mv?


minimálpolinomja, és mu osztója mv-nek, akkor u=v?

216. Igaz-e, hogy ha u algebrai a K test felett, és mu az u K feletti minimálpolinomja, akkor u

osztója mu konstans tagjának?

217. Legyen f a K test felett felbonthatatlan polinom, és L a K legszűkebb olyan bővítése,

amelyben van f-nek gyöke. Mi lesz a bővítés foka?

218. Legyen L a K test bővítése, uL, és u a K felett n-edfokú algebrai elem. Adja meg K(u)

egy K fölötti bázisát.

219. Mi a felbontási test?

220. Igaz-e, hogy ha f a K test felett felbonthatatlan polinom, és u a K valamely L bővítésé-

nek olyan eleme, amely gyöke f-nek, akkor f minden gyöke eleme L-nek?

221. Legyen f a K test felett felbonthatatlan polinom. Mi a szükséges és elégséges feltétele,

hogy f-nek legyen gyöke K-ban?

222. Legyen f a K test felett felbonthatatlan polinom. Mi a szükséges és elégséges feltétele,

hogy f felbontási teste K legyen?

223. Ha f0 a K test feletti polinom, és L=K(A) az f K feletti felbontási teste, akkor hány ele-

me van A-nak?

224. Ha f0 a K test feletti polinom, és L=K(A) az f K feletti felbontási teste, akkor maximum

hány eleme van A-nak?

225. Ha f a K test felett felbonthatatlan polinom, és L=K(A) az f K feletti felbontási teste, ak-

kor legalább hány eleme van A-nak?

226. Ha f a K test felett felbonthatatlan nem elsőfokú polinom, és L=K(A) az f K feletti fel-

bontási teste, akkor legalább hány eleme van A-nak?

227. Ha K test, és az fK[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor mi lesz f L feletti fel-

bontási teste?

228. Ha K test, és az fK[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor mi lesz 2f K feletti

felbontási teste?

229. Ha K test, és az fK[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor mi lesz xf K feletti

felbontási teste?

230. Ha K test az e egységelemmel, és az fK[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor

mi lesz (x–e)f K feletti felbontási teste?

231. Ha K test, uK, és az fK[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor mi lesz (x–u)f

K feletti felbontási teste?

232. Igaz-e, hogy ha a K test feletti f és g polinomok K feletti felbontási teste egyaránt L,

akkor fg K feletti felbontási teste is L?


akkor f+g K feletti felbontási teste is L?


akkor f–g K feletti felbontási teste is L?

235. Legyen f a K test feletti n-edfokú polinom, és L a K olyan bővítése, amelyben f-nek a

gyökök multiplicitásával számolva n gyöke van. Igaz-e, hogy L az f K feletti felbontási teste?

236. Legyen f a K test feletti n-edfokú polinom, és L olyan test, amelyben f-nek a gyökök

multiplicitásával számolva n gyöke van. Igaz-e, hogy L az f K feletti felbontási teste?

237. Legyen f a K test feletti n-edfokú polinom, és L a legszűkebb olyan test, amelyben f-nek

a gyökök multiplicitásával számolva n gyöke van. Igaz-e, hogy L az f K feletti felbontási tes-

te?

238. Mi az endomorfizmus?

239. Mi az automorfizmus?

240. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges testben minden elemnek van m-edik gyöke?

241. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú testben egy elemnek legfeljebb csak egy m-edik gyöke

lehet?

242. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges testben minden elemnek pontosan egy m-edik

gyöke van?

243. Igazolja, hogy ha p prímszám, és p>kN, akkor

k

pp .

244. Igaz-e, hogy ha mN, és m>kN, akkor

k

mm ?

245. Igazolja, hogy ha az R integritási tartomány karakterisztikája m>0, akkor a gyűrű bár-

mely u és v elemére (u+v)m=u

m+v

m.

246. Igaz-e, hogy ha R nullosztómentes gyűrű, és a karakterisztikája a p prímszám, akkor a

gyűrű bármely u és v elemére (u+v)p=u

p+v

p?

247. Igaz-e, hogy ha R nullosztómentes gyűrű, és a karakterisztikája a p prímszám, akkor az

u up szabály endomorfizmusa R-nek?

248. Igaz-e, hogy ha R integritási tartomány, és p prímszám, akkor a gyűrű bármely u és v

elemére (u+v)p=u

p+v

p?

249. Legyen K test, char(K)=m>0, és uK-ra : u um. Milyen leképezés ?

250. Igaz-e, hogy ha K test, akkor a : u up szabály, ahol p prímszám és uK,

homomorfizmus?

251. Legyen R m-karakterisztikájú integritási tartomány. Igaz-e, hogy a : f mf szabály

injektív homomorfizmus az R[x] polinomgyűrűn?

252. Legyen K m-karakterisztikájú véges test, és T:= Kaam . Igaz-e, hogy T részteste K-

nak?

253. Legyen K m-karakterisztikájú véges test, és T:= Kaam . Igaz-e, hogy T valódi rész-

teste K-nak?

254. Igaz-e, hogy ha K q-elemű test, akkor a : u uq szabály automorfizmus K-n?

255. Adja meg a q-elemű K test valamely automorfizmusát.

256. Adja meg a q-elemű K test valamely nem triviális automorfizmusát.

257. Adjon meg a q-elemű K testen két határozottan különböző automorfizmust.

258. Mi a kapcsolat Fq, xxnq és nq

F között?

259. Mi az xxnq Fq[x] polinom Fq fölötti felbontási teste?

260. Mit állíthatunk egy véges test elemeinek számáról?

261. Egészítse ki a következő tételt: véges test elemszáma pn.

262. Igaz-e, hogy adott p prímszámra és n pozitív egész számra egyetlen pn-elemű test van?

263. Igazolja, hogy ha G kommutatív csoport, u és v a G eleme, u rendje m, v rendje n, és m

és n relatív prím, akkor uv rendje mn.

264. Mi lesz a G kommutatív csoport u és v elemei szorzatának rendje, ha a két elem rendje

véges és relatív prím?

265. Igaz-e, hogy test multiplikatív csoportja ciklikus?

266. Milyen csoport egy véges test multiplikatív csoportja?

267. Fq-ban mekkora a nem nulla elemek multiplikatív rendjének maximuma?

268. Ha G kommutatív csoport, u és v a G eleme, u rendje m, és nincs G-ben m-nél nagyobb

rendű elem, akkor milyen lehet v rendje?

269. Mi a diszkrét logaritmus?

270. Legyen u egy véges test primitív eleme. Mennyi induu?

271. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges nem nulla eleme.

Mennyi lesz induab?

272. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, a a test tetszőleges nem nulla eleme, és

nZ. Mennyi lesz induun?

273. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és e a test egységeleme. Mennyi lesz

indue?

274. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a a test tetszőleges nem nulla eleme.

Mennyi lesz induu–1

?

275. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme. Mennyi lesz indu0?


Mennyi lesz induaq–1

?


Mennyi lesz induaq?

278. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két eleme.

Mennyi lesz b

auind ?

279. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két nem nulla

eleme. Mennyi lesz b

auind ?

280. Igaz-e, hogy ha u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két ele-

me, akkor induab=indua+indub?

281. Igaz-e, hogy ha u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két nem

nulla eleme, akkor induab=indua+indub?


eleme. Mikor igaz, hogy induab=0?


eleme. Mikor igaz, hogy induab=q–1?

284. Adja meg a q-elemű test összes olyan a elemét, amelyre indua=q–1 (u a test primitív

eleme).

285. Adja meg a q-elemű test összes olyan a elemét, amelyre indua=q (u a test primitív ele-

me).

286. Adja meg a q-elemű test összes olyan a elemét, amelyre indua=q–2 (u a test primitív

eleme).

287. Legyen u a q-elemű test primitív eleme, ahol q páratlan szám. Adja meg a test azon

elemeit, amelyeknek erre a primitív elemre vonatkoztatva 2

1q a diszkrét logaritmusa.

288. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és p a test karakterisztikája. Mennyi a

test a elemének rendje, ha a diszkrét logaritmusa 1

1

p

q ?

289. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és p a test karakterisztikája. Mennyi a

test a elemének rendje, ha a diszkrét logaritmusa p

q 1 ?

290. Definiálja a primitív gyököt.

291. Definiálja a primitív elemet.

292. Igaz-e, hogy q-elemű testben van q–1-edik gyök?

293. Igaz-e, hogy q-elemű testben van primitív q–1-edik gyök?

294. Igaz-e, hogy q-elemű testben van q-adik gyök?

295. Igaz-e, hogy q-elemű test minden eleme q-adik gyök?

296. Igaz-e, hogy q-elemű testben minden elemnek van q-adik gyöke?

297. Igaz-e, hogy minden primitív elem egyben primitív gyök is?

298. Igaz-e, hogy egy primitív gyök egyben primitív elem is?

299. Legyen az L véges test a K test bővítése. Igaz-e, hogy L algebrai bővítése K-nak?

300. Legyen az L véges test a K test bővítése. Igaz-e, hogy L egyszerű bővítése K-nak?

301. Legyen fZ[x], u és v egész számok, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha

vfuf ˆˆ (m), akkor uv (m)?

302. Legyen fZ[x], u és v egész számok, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha

uv (m), akkor vfuf ˆˆ (m)?

303. Legyen fZ[x], u és v egész számok, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igazolja, hogy ha

uv (m), akkor vfuf ˆˆ (m).

304. Legyen fZ[x], u egész szám, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u gyöke

f-nek, akkor u modulo m is gyöke a polinomnak?

305. Legyen fZ[x], u egész szám, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u

modulo m gyöke f-nek, akkor u gyöke a polinomnak?

306. Legyen fZ[x], és m=

s

i

r

iip

1, ahol s és siN-re ri pozitív egész szám, és az előbbi

indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Mi a szükséges és elégséges feltétele,

hogy f-nek legyen modulo m gyöke?


s

i

r

iip


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Hány modulo m gyöke van f-nek?


s

i

r

iip


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Igaz-e, hogy ha u modulo m gyöke a poli-

nomnak, akkor a megadott indexek bármelyikére modulo ir

ip is gyöke f-nek?


s

i

r

iip


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Igaz-e, hogy ha u a megadott indexek

bármelyikére modulo ir

ip gyöke a polinomnak, akkor modulo m is gyöke f-nek?


s

i

r

iip


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Ha minden siN-hez van olyan ui egész

szám, amely modulo ir

ip gyöke a polinomnak, akkor van-e a polinomnak modulo m gyöke?


s

i

r

iip


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Ha minden siN-hez van olyan ui egész

szám, amely modulo ir

ip gyöke a polinomnak, akkor hogyan kapható meg az f valamely

modulo m gyöke?

312. Legyen fZ[x], p prímszám, és r pozitív egész szám. Igaz-e, hogy ha az u egész szám

modulo pr+1

-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo pr-edik gyöke is a polinomnak?

313. Legyen fZ[x], p prímszám, és r pozitív egész szám. Igaz-e, hogy ha u egész szám

modulo pr-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo p

r+1-edik gyöke is a polinomnak?

314. Legyen fZ[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u egész

szám modulo pr-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo p-edik gyöke is a polinomnak?


szám modulo p-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo pr-edik gyöke is a polinomnak?


szám modulo p-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo pr-edik gyöke is a polinomnak?


szám modulo p-edik gyöke f-nek, és vZ modulo pr-edik gyöke a polinomnak, akkor u és v

kongruens modulo p?


szám modulo p-edik gyöke f-nek, és vZ modulo pr-edik gyöke a polinomnak, akkor u és v

kongruens modulo pr?

319. Legyen fZ[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha

NNZ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és v a polinom modulo pr gyöke,

akkor van olyan niN index, hogy vui (p)?


NNZ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és v a polinom modulo pr gyöke,

akkor van olyan niN index, hogy vui (pr)?


NNZ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és NNZ itvi t a

polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor a két halmaz megegyezik?



polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor n=t?



polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor nt?



polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor nt?



polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor n<t?



polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor n>t?

327. Legyen fZ[x], p prímszám, r 1-nél nagyobb egész szám, n a polinom modulo p gyöke-

inek száma, és t az f modulo pr gyökeinek száma. Melyik igaz az alábbiak közül:

a. n=t

b. nt

c. nt

d. n>t

e. n<t

328. Legyen fZ[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Mi a szükséges és elégsé-

ges feltétele, hogy f-nek legyen modulo pr gyöke?

329. Legyen fZ[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha f-nek van

modulo pr gyöke, akkor van modulo p gyöke is?

330. Legyen fZ[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha f-nek van

modulo p gyöke, akkor van modulo pr gyöke is?

331. Legyen fZ[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy f-nek akkor és

csak akkor van modulo pr gyöke, ha van modulo p gyöke is?

332. Mi a szükséges feltétele, hogy az egész együtthatós f polinomnak több gyöke legyen

mod pr, mint mod p, ahol p prímszám, és r egynél nagyobb egész szám?

333. Mi az elégséges feltétele, hogy az egész együtthatós f polinomnak ugyanannyi gyöke

legyen mod pr, mint mod p, ahol p prímszám, és r egynél nagyobb egész szám?

334. Igaz-e, hogy ha az egész együtthatós f polinomra 0ˆ af mod p az f valamennyi mod

p gyökére, akkor f mod p és mod pr gyökeinek száma azonos (p prímszám, r 1-nél nagyobb

egész szám, és a az f mod p gyöke)?

335. Igaz-e, hogy ha 0ˆ af mod p, ahol a az f mod p gyöke, akkor f-nek több gyöke van

mod pr, mint mod p (f egész együtthatós polinom, p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész

szám)?

336. Lehet-e egy egész együtthatós polinomnak mod p több gyöke, mint mod p2 (p prím-

szám)?

337. lehet-e egy egész együtthatós polinomnak mod p2 több gyöke, mint mod p (p prím-

szám)?

338. Egy mod pr gyökből legfeljebb hány mod p

r+1 gyök keletkezik (p prímszám, és r egész

szám)?

339. Egy mod pr gyökből hány mod p

r+1 gyök keletkezik (p prímszám, és r egész szám)?

340. Legyen fZ[x], uZ, és g:=(x+u)f. Adja meg g k-adfokú tagjának együtthatóját.

341. Legyen p prímszám, és fZp[x]. Adja meg azt a legalacsonyabb fokszámú Zp fölötti

polinomot, amely Zp-beli gyökeinek halmaza egybeesik f Zp-beli gyökeinek halmazával.

342. Legyen p prímszám, és fZp[x]. Adja meg azt a legalacsonyabb fokszámú Zp fölötti

polinomot, amely Zp-beli gyökeinek halmaza egybeesik f Zp-beli nem nulla gyökeinek halma-

zával.

343. Legyen 0fZ[x], deg(f)=n, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy f modulo m

gyökeinek száma legfeljebb n?


gyökeinek száma még multiplicitással számolva is legfeljebb n?


gyökeinek száma multiplicitással számolva n?

346. Legyen 0fZ[x], deg(f)=n, és m 1-nél nagyobb prímszám. Igaz-e, hogy f modulo m

gyökeinek száma legfeljebb n?


gyökeinek száma még multiplicitással számolva is legfeljebb n?


gyökeinek száma multiplicitással számolva n?

349. Definiálja a szabad félcsoportot.

350. Definiálja szabad félcsoport elemének hosszát.

351. Definiálja szabad félcsoport szabad generátorrendszerét.

352. Igaz-e, hogy szabad félcsoport generátorrendszere szabad generátorrendszer?

353. Igaz-e, hogy a pozitív egész számok az összeadással szabad félcsoportot alkotnak?

354. Adja meg a természetes számok additív félcsoportjának szabad generátorrendszerét.

355. Mi a szükséges feltétele, hogy egy szabad félcsoport kommutatív legyen?

356. Van-e kommutatív szabad félcsoport?

357. Mi az elégséges feltétele, hogy egy szabad félcsoport kommutatív legyen?

358. Van-e nem kommutatív szabad félcsoport?

359. Legyen és egy szabad félcsoport két eleme. Mi lesz a két elem szorzatának hossza?

360. Van-e szabad félcsoportban 0-hosszúságú elem?

361. Legyen egy szabad félcsoport és elemére akkor és csak akkor, ha prefixe -

nak. Milyen reláció a szabad félcsoporton?

362. Teljes szigorú rendezés-e a prefixség egy szabad félcsoporton?

363. Van-e szabad félcsoportban maximális hosszúságú elem?

364. Legyen és egy szabad félcsoport két eleme. Mit jelent az, hogy prefixe -nak?

365. Legyen és egy szabad félcsoport két eleme. Mit jelent az, hogy szuffixe -nak?

366. Legyen és egy szabad félcsoport két eleme. Mit jelent az, hogy infixe -nak?

367. Legyen egy szabad félcsoport eleme. Lehet-e prefixe -nak?

368. Legyen és egy szabad félcsoport két eleme, és prefixe -nak. Lehet-e prefixe -

nak?

369. Legyen , és egy szabad félcsoport három eleme, prefixe -nak és prefixe -

nak. Igaz-e, hogy ekkor prefixe -nak?

370. Definiálja szabad félcsoport prefixmentes részhalmazát.

371. Mi a konkatenáció?

372. Milyen tulajdonsága van egy szabad félcsoport szabad generátorrendszerének a

félcsoport generátorrendszerei halmazában?

373. Adjon meg egy olyan szabad félcsoportot, amelynek két különböző szabad generátor-

rendszere van.

374. Adjon meg egy szabad félcsoportot, amelynek két különböző generátorrendszere van.

375. Legyen U az A által generált félcsoport, S szabad félcsoport az X szabad generátorrend-

szerrel, és : U S homomorfizmus, amelynek A-ra való megszorítása X-be képez. Igaz-

e, hogy ekkor U is szabad félcsoport?


szerrel, és : U S homomorfizmus, amelynek A-ra való megszorítása injektív. Igaz-e,

hogy ekkor U is szabad félcsoport?


szerrel, és : U S homomorfizmus. Adjon a leképezéshez kapcsolódó elégséges feltételt

arra, hogy U is szabad félcsoport legyen.

378. Fogalmazza meg a szabad félcsoportok homomorfizmusára vonatkozó tételt.

379. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy két szabad félcsoport izomorf legyen?

380. Adjon meg egy olyan c számosságot, amelyre nincs olyan szabad félcsoport, amelynek

szabad generátorrendszere c számosságú.

381. Adjon meg egy olyan szabad félcsoportot, amelynek a szabad generátorrendszere 1-

elemű.

382. Szabad félcsoport-e a pozitív egészek halmaza a szorzással?

383. Szabad félcsoport-e az egész számok halmaza az összeadással?

384. Igaz-e, hogy szabad félcsoport valamely részhalmaza által generált részfélcsoport sza-

bad félcsoport?

385. Adjon elégséges feltételt arra, hogy egy szabad félcsoport valamely részhalmaza által

generált részfélcsoportja szabad félcsoport legyen.

386. Mit jelent az, hogy egy félcsoport reguláris?

387. Igaz-e, hogy szabad félcsoport reguláris?

388. Adjon meg egy szabad félcsoportot, amely nem reguláris.

389. Adjon meg egy szabad félcsoportot, amely balról reguláris, de jobbról nem.

390. Adjon meg egy szabad félcsoportot, amely balról nem reguláris.

391. Mi a monoid?

392. Igaz-e, hogy egységelemes félcsoport részfélcsoportja egységelemes?

393. Igaz-e, hogy monoid részmonoidja egységelemes?

394. Igaz-e, hogy monoid részfélcsoportja egységelemes?

395. Igaz-e, hogy ha egy egységelemes félcsoport valamely részfélcsoportja egységelemes,

akkor a két félcsoport egységeleme azonos?

396. Igaz-e, hogy egy monoid egységeleme megegyezik részmonoidjának egységelemével?

397. Igaz-e, hogy egy monoid egységelemes részfélcsoportjának egységeleme megegyezik a

monoid egységelemével?

398. Definiálja a szabad monoidot.

399. Igaz-e szabad monoidban, hogy bármely elem önmaga prefixe?

400. Igaz-e szabad monoidban, hogy bármely elem önmaga szuffixe?

401. Mekkora egy szabad monoid egységelemének hossza?

402. Igaz-e szabad monoidban, hogy két elem szorzatának hossza nagyobb bármely tényező

hosszánál?

403. Igaz-e, hogy a nem negatív egész számok az összeadással szabad monoidot alkotnak?

404. Igaz-e, hogy a nem negatív egész számok az összeadással, és a 0-val mint nulla-változós

művelettel monoidot alkotnak?

405. Monoidban milyen reláció a prefixség?

406. Fogalmazza meg a betűnkénti kódolást.

407. Milyen speciális betűnkénti kódolásokat definiáltunk?

408. Mit jelent az, hogy egy kód felbontható?

409. Mit jelent betűnkénti kódolásnál a vessző?

410. Definiálja a vesszőmentes kódot.

411. Definiálja a vesszős kódot.

412. Definiálja az egyenletes kódot.

413. Mi a prefix kód?

414. Igaz-e, hogy minden felbontható kód prefix?

415. Igaz-e, hogy minden prefix kód felbontható?

416. igaz-e, hogy minden felbontható kód veszős?

417. Igaz-e, hogy minden veszős kód felbontható?

418. Igaz-e, hogy minden felbontható kód vesszőmentes?

419. Igaz-e, hogy minden vesszőmentes kód felbontható?

420. Igaz-e, hogy minden felbontható kód egyenletes?

421. Igaz-e, hogy minden egyenletes kód felbontható?

422. Igaz-e, hogy minden vesszős kód prefix?

423. Igaz-e, hogy minden prefix kód vesszős?

424. Igaz-e, hogy minden vesszőmentes kód prefix?

425. Igaz-e, hogy minden prefix kód vesszőmentes?

426. Igaz-e, hogy minden egyenletes kód prefix?

427. Igaz-e, hogy minden prefix kód egyenletes?

428. Igaz-e, hogy minden egyenletes kód vesszős?

429. Igaz-e, hogy minden vesszős kód egyenletes?

430. Igaz-e, hogy minden egyenletes kód vesszőmentes?

431. Igaz-e, hogy minden vesszőmentes kód egyenletes?

432. Igaz-e, hogy {egyenletes kód}{vesszős kód}{prefix kód}{felbontható kód}?

433. Igaz-e, hogy {vesszős kód}{prefix kód}{felbontható kód}?

434. Igaz-e, hogy {egyenletes kód}{prefix kód}{felbontható kód}?

435. Igaz-e, hogy {vesszős kód}{egyenletes kód}{prefix kód}{felbontható kód}?

436. Igaz-e, hogy {prefix kód}={felbontható kód}?

437. Milyen kapcsolat van a vesszős kódok és prefix kódok között?

438. Milyen kapcsolat van a vesszős és a felbontható kódok között?

439. Milyen kapcsolat van a felbontható és az egyenletes kódok között?

440. Milyen kapcsokat van az egyenletes és a prefix kódok között?

441. Milyen kapcsolat van a vesszős és az egyenletes kódók között?

442. Legyen A és B véges ábécé, és : A+ B

+ betűnkénti kódolás. Mi a szükséges és elég-

séges feltétele, hogy a kód felbontható legyen?

443. Igazolja, hogy egy vesszős kód prefix.

444. Igazolja, hogy egyenletes kód prefix.

445. Adjon szükséges feltételt arra, hogy egy kód felbontható legyen.

446. Ismertesse a McMillan egyenlőtlenséget.

447. Mi a tartalma a McMillan egyenlőtlenségnek?

448. Érvényes-e egy prefix kódra a McMillan egyenlőtlenség?

449. Igaz-e, hogy ha egy betűnkénti kódra teljesül a McMillan egyenlőtlenség, akkor a kód

felbontható?

450. Ismertesse a McMillan egyenlőtlenség “megfordítását”.

451. Igaz-e, hogy bármely felbontható kódhoz meg lehet adni olyan prefix kódot, ahol azo-

nos betű kódjának hossza a két kódban azonos?

452. Definiálja a Hamming-távolságot.

453. Definiálja egy kód Hamming-távolságát.

454. Definiálja a Hamming-súlyt.

455. Definiálja egy kód Hamming-súlyát.

456. Igazolja, hogy a Hamming-távolság metrika.

457. Mi a kapcsolat Hamming-távolság és Hamming-súly között?

458. Igaz-e, hogy egy kód Hamming-távolsága és Hamming-súlya azonos?

459. Adjon elégséges feltételt arra, hogy egy halmaz Hamming-távolsága és Hamming-súlya

megegyezzen.

460. Igaz-e, hogy ha egy halmaznak van Hamming-távolsága, akkor van olyan elempár a

halmazban, amelyek Hamming-távolsága megegyezik a halmaz Hamming-távolságával?

461. Igaz-e, hogy ha egy halmaznak van Hamming-súlya, akkor van olyan elem a halmaz-

ban, amelynek Hamming-súlya megegyezik a halmaz Hamming-súlyával?

462. Mi az elégséges feltétele, hogy két kódszó körüli t-sugarú gömb diszjunkt legyen?

463. Igaz-e, hogy d-távolságú kód bármely két kódszava körüli, 2

d-nél kisebb sugarú gömb

diszjunkt?


d-nél nem nagyobb sugarú

gömb diszjunkt?


d-nél nagyobb sugarú

gömb nem diszjunkt?


d-nél nem kisebb sugarú

gömb nem diszjunkt?

467. Igaz-e, hogy d-távolságú kódban van két olyan kódszó, amelyek körüli 2

d-nél nem ki-

sebb sugarú gömb nem diszjunkt?

468. Igaz-e, hogy ha d-távolságú kódban valamely u kódszó 2

d-nél kevesebb helyen hibáso-

dik meg, akkor a kapott szó minden kódszótól távolabb lesz, mint amekkora az u-tól vett tá-

volsága?

469. Igaz-e, hogy ha d-távolságú kódban valamely u kódszó 2

d-nél nem több helyen hibáso-

dik meg, akkor a kapott szó minden kódszótól távolabb lesz, mint amekkora az u-tól vett tá-

volsága?

470. Ha egy u kódszó t helyen meghibásodik, akkor mekkora lesz a kapott v szónak u-tól vett

távolsága?

471. Definiálja a t-hiba jelző kódot.

472. Definiálja a pontosan t-hiba jelző kódot.

473. Definiálja a t-hiba javító kódot.

474. Definiálja a pontosan t-hiba javító kódot.

475. Definiálja a minimális távolságú dekódolást.

476. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy kód t-hiba jelző legyen?

477. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy kód pontosan t-hiba jelző legyen?

478. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy kód a minimális távolságú dekódolással

t-hiba javító legyen?

479. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy kód a minimális távolságú dekódolással

pontosan t-hiba javító legyen?

480. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba jelző, akkor t-hiba javító?

481. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba jelző, akkor minimális távolságú dekódolással t-hiba

javító?

482. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba javító, akkor t-hiba jelző?

483. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba jelző, akkor

2

t-hiba javító?

484. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba jelző, akkor minimális távolságú dekódolással

2

t-hiba

javító?

485. Igaz-e, hogy ha egy kód minimális távolságú dekódolással

2

t-hiba javító, akkor t-hiba

jelző?

486. Maximum hány hibát tud jelezni egy 2-távolságú kód?

487. Maximum hány hibát tud javítani minimális távolságú dekódolással egy 2-távolságú

kód?

488. Maximum hány hibát tud javítani minimális távolságú dekódolással egy 3-távolságú

kód?

489. Igaz-e, hogy egy kód súlya a benne lévő kódszavak súlyának minimuma?

490. Igaz-e, hogy egy kód távolsága a benne lévő kódszavak távolságainak minimuma?

491. Definiálja a lineáris kódot.

492. Definiálja a ciklikus kódot.

493. Igaz-e, hogy ha u egy K test feletti vektor, és az önmagával vett skalár szorzata 0, akkor

maga a vektor is 0?

494. Mutasson olyan nem nulla vektort, amelynek önmagával vett skalár szorzata 0.

495. Igaz-e, hogy egy lineáris tér valamely alterének és ezen altér ortogonális alterének csak

a nullvektor a közös eleme?

496. Igaz-e, hogy egy véges dimenziós lineáris tér alterének és ezen altér ortogonális alteré-

nek dimenzióját összeadva az eredeti tér dimenzióját kapjuk?

497. Mennyi egy n-dimenziós tér k-dimenziós altere ortogonális alterének dimenziója?

498. Lehet-e egy lineáris tér valamely altere és ennek ortogonális altere azonos?

499. Mi lesz egy lineáris tér valamely altere ortogonális alterének ortogonális altere?

500. Definiálja egy lineáris kód generátormátrixát.

501. Definiálja egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixát.

502. Mekkora egy lineáris kód generátormátrixának rangja?

503. Mekkora egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixának rangja?

504. Milyen kapcsolat van egy lineáris kód generátor- és paritásellenőrző mátrixa között?

505. Lehet-e egy lineáris kódnak több különböző generátormátrixa?

506. Lehet-e egy lineáris kódnak több különböző paritásellenőrző mátrixa?

507. Lehet-e egy lineáris kódnak egy adott generátormátrixhoz tartozó több különböző pari-

tásellenőrző mátrixa?

508. Lehet-e egy lineáris kódnak egy adott paritásellenőrző mátrixhoz tartozó több különbö-

ző generátormátrixa?

509. Adjon szükséges és elégséges feltételt arra, hogy egy n-dimenziós tér valamely eleme

benne legyen az ezen tér elemeiből álló valamely lineáris kódban.

510. Mi a kapcsolat egy lineáris kód távolsága és paritásellenőrző mátrixának oszlopai kö-

zött?

511. Igaz-e, hogy egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixának rangja és távolsága megegye-

zik?

512. Igaz-e, hogy egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixának rangja legalább akkora, mint a

kód távolsága?

513. Igaz-e, hogy egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixának rangja legfeljebb akkora, mint

a kód távolsága?

514. Hány eleme van egy qkn, paraméterű lineáris kódnak?

515. Ha u egy ciklikus kód valamely kódszavához tartozó kódszópolinom, akkor mivel

egyenlő a ciklikus eltoltjához tartozó kódszópolinom?

516. Definiálja egy ciklikus kód generátorpolinomját.

517. Mi a kapcsolat egy qkn, paraméterű ciklikus kód és ex n között?

518. Mekkora egy qkn, paraméterű ciklikus kód generátorpolinomjának foka?

519. Hány eleme van egy ciklikus kódnak, ha generátorpolinomja ex n ?

520. Definiálja egy ciklikus kód paritásellenőrző polinomját.

521. Mi a kapcsolat egy ciklikus kód kódszópolinomjainak és a generátorpolinomnak a gyö-

kei között?

522. Igaz-e, hogy egy ciklikus kód valamely kódszópolinomjának valamennyi gyöke egyben

a kód generátorpolinomjának is gyöke?

523. Igaz-e, hogy egy ciklikus kód generátorpolinomjának valamennyi gyöke a kód valam-

ennyi kódpolinomjának is gyöke?

524. Mi a kapcsolat egy qkn, paraméterű ciklikus kód generátorpolinomjának gyökei és a

kód távolsága között, ha 1, qn ?

525. Igaz-e, hogy egy ciklikus kód távolsága legalább akkora, mint a generátorpolinom gyö-

keinek száma?

526. Igaz-e, hogy egy ciklikus kód távolsága legfeljebb akkora, mint a generátorpolinom

gyökeinek száma?

527. Definiálja a BCH-kódot.

528. Adjon alsó korlátot egy BCH-kód távolságára.

529. Definiálja a (w,s)-típusú műveletet

530. Definiálja az s-típusú konstans műveletet.

531. Mit jelent az, hogy egy részhalmaz-rendszer zárt egy műveletre?

532. Mi a hasonlósági típus?

533. Mit jelent az, hogy f egy (w,s)-típusú műveleti név?

534. Mit jelent az, hogy f s-típusú konstans név?

535. Definiálja a t-típusú algebrát.

536. Mi a heterogén algebra?

537. Mi az abszolút triviális algebra?

538. Definiálja egy algebra részalgebráját.

539. Struktúrák egy halmazában milyen reláció a részstruktúraság?

540. Igaz-e, hogy egy struktúra valamely részstruktúráinak metszete is részstruktúrája az

eredeti algebrának?

541. Igaz-e, hogy egy struktúra valamely részstruktúrái tartóhalmazainak uniója maga is egy

részstruktúra tartóhalmaza?

542. Bizonyítsa be, hogy egy struktúra tetszőleges részstruktúrái tartóhalmaz-rendszereinek

metszete zárt a struktúra műveleteire.

543. Definiálja egy struktúra valamely részhalmaz-rendszere által generált struktúrát.

544. Definiálja egy struktúra generátorrendszerét.

545. Definiálja a minimális generátorrendszert.

546. Mit jelent az, hogy egy struktúra végesen generált?

547. Mi a triviális részstruktúra?

548. Mi a valódi részstruktúra?

549. Indukcióval adja meg egy struktúra valamely részhalmaz-rendszere által generált rész-

struktúrát.

550. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy az üres halmaz által generált részstruktúra

abszolút triviális legyen?

551. Definiálja a homomorfizmust.

552. Definiálja az epimorfizmust.

553. Definiálja az izomorfizmust.

554. Definiálja az endomorfizmust.

555. Definiálja az automorfizmust.

556. Algebrák egy halmazán milyen reláció az izomorfizmus?

557. Algebrák egy halmazán milyen reláció a homomorfizmus?

558. Definiálja a kifejezésalgebrát.

559. Definiálja a szabad algebrát.

560. Igaz-e, hogy kifejezésalgebra egyben szabad algebra?

561. Igaz-e, hogy a szabad algebra egyben kifejezésalgebra is?

562. Definiálja az azonosságot.

563. Definiálja a típusmorfizmust.

564. Definiálja a nyelvet.

565. Mi a teljes nyelv?

566. Mi az üres nyelv?

567. Mi a komplementer nyelv?

568. Mi a véges nyelv?

569. Milyen nyelvosztályokat definiáltunk?

570. Mi a rekurzív nyelv?

571. Mi a rekurzíve felsorolható nyelv?

572. Mi a parciálisan rekurzív nyelv?

573. Milyen kapcsolat van egy ábécé feletti rekurzív, rekurzíve felsorolható és parciálisan

rekurzív nyelvei között?

574. Igaz-e, hogy a teljes nyelv rekurzív?

575. Igaz-e, hogy az üres nyelv rekurzív?

576. Igaz-e, hogy a teljes nyelv rekurzíve felsorolható?

577. Igaz-e, hogy az üres nyelv rekurzíve felsorolható?

578. Igaz-e, hogy a teljes nyelv parciálisan rekurzív?

579. Igaz-e, hogy az üres nyelv parciálisan rekurzív?

580. Igaz-e, hogy véges nyelv rekurzív?

581. Igaz-e, hogy véges nyelv rekurzíve felsorolható?

582. Igaz-e, hogy véges nyelv parciálisan rekurzív?

583. Adjon meg a teljes nyelvre egy elismerő algoritmust.

584. Adjon meg a teljes nyelvre egy felsoroló algoritmust.

585. Adjon meg az üres nyelvre egy felismerő algoritmust.

586. Adjon meg az üres nyelvre egy felsoroló algoritmust.

587. Adjon meg egy véges nyelvre egy felismerő algoritmust.

588. Adjon meg egy véges nyelvre egy felsoroló algoritmust.

589. Mekkora egy ábécé feletti nyelvek halmazának számossága?

590. Mekkora egy ábécé feletti rekurzív nyelvek halmazának számossága?

591. Mekkora egy ábécé feletti rekurzíve felsorolható nyelvek halmazának számossága?

592. Mutassa meg, hogy egy rekurzív nyelv egyben rekurzíve felsorolható.

593. Mutassa meg, hogy rekurzív nyelv komplementere is rekurzív.

594. Igaz-e, hogy rekurzíve felsorolható nyelv komplementere rekurzíve felsorolható?

595. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy rekurzíve felsorolható nyelv rekurzív

legyen?

596. Van-e rekurzíve felsorolható, nem rekurzív nyelv?

597. Adjon meg egy rekurzíve felsorolható, de nem rekurzív nyelvet.

598. Igaz-e, hogy egy adott ábécé feletti rekurzív nyelvek halmaza valódi részhalmaza az

ugyanezen ábécé feletti rekurzíve felsorolható nyelvek halmazának?

599. Definiálja a rekurzív alapfüggvényeket.

600. Definiálja a helyettesítést.

601. Definiálja a primitív rekurziót.

602. Definiálja a -operációt.

603. Definiálja a primitív rekurzív függvényeket.

604. Definiálja a rekurzív függvényeket.

605. Definiálja a parciális függvényt.

606. Parciális függvények esetén definiálja a -operációt.

607. Mutassa meg, hogy az összeadás primitív rekurzív függvény.

608. Mutassa meg, hogy a szorzás primitív rekurzív függvény.

609. Mutassa meg, hogy a hatványozás primitív rekurzív függvény.

610. Rekurzív függvény-e sinx?

611. Rekurzív függvény-e 43 23 xx ?

612. Parciális rekurzív függvény-e 43 23 xx ?

613. Rekurzív függvény-e 43 23 xx ?

614. Mi a fiktív változó?

615. Mutassa meg, hogy a faktoriális primitív rekurzív függvény.

616. Igaz-e, hogy a kivonás rekurzív függvény?

617. Hogyan lehet “kivonás”-t rekurzív függvényként definiálni?

618. Mi a kapcsolat a primitív rekurzió és az iteráció között?

619. Definiálja a rekurzív halmazt.

620. Definiálja a rekurzíve felsorolható halmazt.

621. Mi a Church-tézis?

622. Mit jelent az, hogy a T Turing-gép önmagára alkalmazható?

623. Mit jelent az, hogy a T1 Turing-gép a p programmal szimulálja a T2 Turing-gépet?

624. Definiálja az univerzális Turing-gépet.

625. Létezik-e univerzális Turing-gép?

626. Mit jelent az, hogy egy Turing-gép felismer egy nyelvet?

627. Mit jelent az, hogy egy Turing-gép eldönt egy nyelvet?

628. Van-e olyan Turing-gép, amely bármely Turing-gépről és tetszőleges szóról eldönti,

hogy az adott gép elfogadja-e a szót.

629. Mi a Turing-gépek megállási problémája?

630. Mi a nemdeterminisztikus Turing-gép?

631. Mi a kapcsolat a determinisztikus és a nemdeterminisztikus Turing-gépek között?

632. Mi a kapcsolat a k-szalagos és az egyszalagos Turing-gépek között?

633. Adjon meg olyan feladatot, amely megvalósítható egy nemdeterminisztikus Turing-

géppel, de nem valósítható meg determinisztikus Turing-géppel.

634. Adjon meg olyan feladatot, amely megvalósítható egy egynél több szalagos Turing-

géppel, de nem valósítható meg egyszalagos Turing-géppel.

635. Mi a RAM-gép?

636. Igaz-e, hogy bármely problémára megadható algoritmus?

637. Igaz-e, hogy ha egy probléma Turing-géppel megoldható, akkor algoritmizálható?

638. Igaz-e, hogy a rekurzív függvényekkel megoldható problémák halmaza részhalmaza a

Turing-géppel megoldható problémák halmazának?

639. Igaz-e, hogy a Turing-géppel megoldható problémák halmaza részhalmaza a rekurzív

függvényekkel megoldható problémák halmazának?

640. Melyik igaz a két állítás közül:

1. a Turing-géppel megoldható problémák halmaza részhalmaza a rekurzív függvények-

kel megoldható problémák halmazának

2. a rekurzív függvényekkel megoldható problémák halmaza részhalmaza a Turing-

géppel megoldható problémák halmazának

a bevezetés a matematikába című tárgy 3. félévével...

Documents