A csúfolórigónyomában

A logika világa

Raymond Smullyan: A hölgy vagy a tigris?Raymond Smullyan: A tao hallgat

Raymond Smullyan: Emlékek, történetek, paradoxonokRaymond Smullyan: Mi a címe ennek a könyvnek?

Raymond Smullyan: Seherezádé rejtélyeRaymond Smullyan: Sherlock Holmes sakkrejtélyei

Philippe Boulanger: Ezeregy tudós éjszakaKárolyi Zsuzsa: Csak logiqsan

Raymond Smullyan: Gödel nemteljességi tételeiDennis E. Shasha: Dr. Ecco talányos kalandjai

A csúfolórigónyomában

Egy lebilincselo kaland

a kombinatorikus logikavilágában

Raymond M. Smullyan

Fordította: Csaba Ferenc

Mallár Gabriella rajzaival

A kiadvány a Magyar Tudományos Akadémia támogatásávalkészült.

Az Árpád Gimnázium diákjainak kedvére és örömére

A fordítás a következo kiadás alapján készült:To Mock a Mockingbird. Alfred A. Knopf, New York, 1985Copyright c© 1985 by Raymond Smullyan

Hungarian translation c© Csaba Ferenc, Typotex Kiadó, 2012Engedély nélkül semmilyen formában nem másolható!

Hungarian edition c© Typotex Kiadó, 2012ISBN 978 963 279 668 0ISSN 1787–3037

Témakör: logikai fejtöro

Kedves Olvasó!Köszönjük, hogy kínálatunkból választott olvasnivalót!Újabb kiadványainkról, akcióinkróla www.typotex.hu és a facebook.com/typotexkiadooldalakon értesülhet.

Kiadja a Typotex Elektronikus Kiadó Kft.Felelos vezeto: Votisky ZsuzsaLektorálta: Aszalós LászlóMuszaki szerkeszto: Csaba FerencBorítóterv: Szalay ÉvaKészült a Kódex Könyvgyártó Kft. nyomdájábanFelelos vezeto: Marosi Attila

Tartalom

Köszönetnyilvánítás 7

Eloszó 8

I. Logikai fejtörok 101. Nyeremények és egyéb rejtvények 112. A szórakozott logikus 183. A sevillai borbély 294. A fénykép rejtélye 42

II. Lovagok, lókötok és az Ifjúság Forrása 545. Különös lovagok és lókötok 556. Nappali és éjszakai lovagok 677. Istenek, démonok és halandók 788. Az Ifjúság Forrása 88

III. A csúfolórigó és a többiek 989. A csúfolórigó 9910. Létezik-e mindentudó madár? 11911. Mennyi madár! 12512. Csúfolórigók, poszáták és seregélyek 15413. Mindentudó madarak 168

6 TARTALOM

IV. Énekesmadarak 18314. A Curry-erdo 18415. A Russell-erdo 19416. A nevesincs erdo 20017. A Gödel-erdo 205

V. A Mester-erdo 21518. A Mester-erdo 21619. Arisztokratikus madarak 23120. Craig felfedezése 241

VI. A nagy kérdés 24521. Fixpontok 24622. Pillantás a végtelenbe 25323. Logikus madarak 26524. Számoló madarak 27325. Létezik ideális madár? 290

Epilógus 305

Ki kicsoda a madarak világában? 308

Köszönetnyilvánítás

Köszönetet mondok Nancy Spencernek, aki a gépelés mel-lett az adminisztratív teendok egy részét is magára vál-lalta, és az Indiana University Filozófia Tanszékének, ami-ért ideális munkafeltételeket teremtett számomra. Hálásvagyok George Boolosnak, az M. I. T. professzorának, akia teljes kéziratot elolvasta, és számos hasznos javaslatot fu-zött hozzá. A kiadó részérol Melvin Rosenthal szerkesztonagyon lelkiismeretes munkát végzett. Ann Close, a szer-kesztom – mint mindig – bubájos volt, és a legmesszebb-menokig segítokész a munka teljes folyamatában.

Raymond Smullyan

Elka Park, New York1984. november

Eloszó

Mielott elmondanám, mirol szól ez a könyv, beszámolokegy mulatságos és megtörtént esetrol.

Nem sokkal elso rejtvénykönyvem, a Mi a címe ennek akönyvnek? megjelenése után levelet kaptam egy ismeret-len olvasómtól, aki az egyik feladatra az általam adott-nál elegánsabb megoldást javasolt. A levél végén ez állt:„Szeretettel” – és egy noi név. Fogalmam sem volt, ki le-het, ahogy arról sem, hogy férjezett vagy hajadon. Vála-szomban megdicsértem a megoldását, és megkérdeztem,felhasználhatom-e a könyv következo kiadásaiban. Emel-lett javasoltam neki, hogy ha még nem végezte el az egye-temet, akkor válassza fo tárgyának a matematikát, hiszennyilvánvaló, hogy tehetséges. Nem sokkal késobb vála-szolt: „Köszönöm kedves levelét. Ezúton engedélyezem,hogy felhasználja a megoldásomat. Kilenc és fél éves va-gyok, ötödik osztályba járok.”

Fiatal olvasóm különösen kedvelte a lovagokról és ló-kötokrol (igazmondókról és hazugokról) szóló rejtvénye-ket. Ezek komoly népszeruségre tettek szert, ennek meg-feleloen a könyv elso nyolc fejezetében ebbol a típusbólis szerepel majd jó néhány újabb fejtöro. Nehézségi fokuka teljesen elemitol a 8. fejezet mély, az Ifjúság Forrásáról

ELOSZÓ 9

szóló metarejtvényéig terjed. A hátralévo rész teljesen másirányt követ, és sokkal mélyebbre merül a logikai vizek-ben, mint korábbi könyveim. Az Olvasó sok-sok érdekeskombinatorikus logikai ismeretet sajátíthat el. Ez a figye-lemre méltó terület újabban a számítástudomány és a mes-terséges intelligencia kutatások homlokterébe került, a té-maválasztás tehát idoszerunek tekintheto. (Nem így ter-veztem, egyszeruen szerencsém volt. . . ) A kombinatorikuslogika igazán mély összefüggéseket tár fel, mégsem nehe-zebb megtanulni, mint a középiskolai algebrát vagy geo-metriát. Miután a számítógép-tudomány már bekerült aközépfokú oktatásba, lehetséges, hogy hamarosan a kom-binatorikus logika is követni fogja?

A kombinatorikus logika absztrakt tudomány, amely-nek objektumait kombinátoroknak nevezzük. Nincs jelen-tosége, hogy mik ezek az objektumok, csupán az számít,hogy miként hatnak egymásra. Mindenki szabadon dönt-het arról, hogy mit tekint kombinátornak (mondjuk számí-tógép-programokat). Nos, az én kombinátoraim madarak:ezzel Haskell Curry professzor emléke elott tisztelgek, akinem csupán a kombinatorikus logika jeles muveloje, deigen lelkes madármegfigyelo is volt.

A kombinatorikus logikát mindazonáltal nem a gyakor-lati alkalmazásai miatt választottam könyvem tárgyául –bár akad ilyen boven –, hanem a szórakoztatás okán. Ittvan egy terület, amelyet technikainak tartanak, holott tö-kéletesen elérheto a széles olvasóközönség számára is, ésamelyben se szeri, se száma a kiváló fejtörok alapanyagáulszolgáló, egyúttal azonban a modern logika alapjaiba be-pillantást engedo eredményeknek. Mi lehetne megfelelobbtárgya egy rejtvénykönyvnek?

I. rész

LOGIKAI FEJTÖROK

10

1. fejezet

Nyereményekés egyéb rejtvények

HÁROM KIS FEJTÖRO

1. A virágoskert

Egy kertben háromféle virág no: piros, sárga és kék. Egystatisztikus ottjártakor megállapította: bárhogyan válasz-tunk ki három virágot, biztosan van közöttük legalább egypiros. Egy kollégája szintén ellátogatott a kertbe, és megfi-gyelte: bárhogy választunk ki három virágot, legalább egysárga biztosan lesz közöttük.

A történetrol tudomást szerzett két logika szakos egye-temista, és össze is vitatkoztak rajta. Egyikük azt állította:

– Eszerint tehát bármely három virágot választjuk ki,legalább egy kék is lesz közöttük, nincs igazam?

– Természetesen nincs! – vágta rá a másik.Melyiküknek volt igaza, és miért?

12 I. LOGIKAI FEJTÖROK

1. NYEREMÉNYEK ÉS EGYÉB REJTVÉNYEK 13

2. Miféle kérdés?

Feltehetnék egy kérdést az Olvasónak, amelyre igen vagynem a válasz. A kérdésre létezik egyértelmu helyes válasz,mindazonáltal lehetetlen, hogy az Olvasó ezt válaszolja rá.Nem kizárt, hogy tudja a helyes választ, kimondani azon-ban nem képes. Bárki más válaszolhat helyesen, az Olvasóazonban, akinek a kérdést felteszem, nem.

Kitalál-e az Olvasó egy ilyen kérdést?

3. Mire tippelünk?

Íme egy szakállas rejtvény a valószínuség tárgykörébol.Válasszuk ki kedvenc focicsapatunkat, és tippeljük meg,hogy az idényben a csapat által az egyes mérkozésekenlott gólok számának az összege vagy a szorzata lesz a na-gyobb!

Ha már valószínuségrol és statisztikáról esett szó, eszembejut a történet a statisztikusról, aki egy alkalommal kifejtettebarátjának, miért nem utazik soha repülogépen.

– Kiszámítottam, mekkora a valószínusége annak, hogybomba legyen a fedélzeten – magyarázta. – Ez ugyan meg-lehetosen kicsi, de nem elég kicsi ahhoz, hogy engem ismegnyugtasson.

Két héttel késobb egy repülogépen találkoztak.– Mi történt, hogy megváltozott a véleményed? – kér-

dezte a barát.– Az elméletem nem változott, azóta viszont azt kiszá-

mítottam, mekkora a valószínusége annak, hogy egyszerrekét bomba legyen a fedélzeten. Ez a valószínuség már meg-nyugtatóan kicsi. Hoztam tehát magammal egy bombát. . .

14 I. LOGIKAI FEJTÖROK

HOGYAN NYERJÜNK DÍJAT?

4. A három nyeremény

Tegyük fel, hogy három díjat ajánlok fel az Olvasónak: azA díjat, a B díjat és a C díjat. Az A díj a legértékesebb, aB amolyan közepes, C pedig legföljebb vigaszdíjként jöhetszóba. Az Olvasó tesz egy állítást: ha ez az állítás igaz,akkor megígérem, hogy vagy az A, vagy a B díjat kapja,ha azonban hamis, akkor meg kell elégednie C-vel.

Az Olvasó persze könnyen megnyerheti az A és B díjvalamelyikét. Elég például, ha kijelenti: „ketto meg ketto aznégy”. De mi van akkor, ha az A díjra fáj a foga? Van-eolyan állítás, amelyet ha kimond, nem tehetek mást, odakell adnom az A díjat?

5. Van egy negyedik is

Van egy negyedik díjam is: a D, amely C-hez hasonlóanvajmi keveset ér. A feltételeim pedig a következok: igazállításért az A vagy a B díjat adom, hamisért a két „vigasz-díj” valamelyikét.

Tegyük fel, hogy az Olvasó valamiképpen megtudta,mik is a díjak, és valamilyen okból kifolyólag leginkábba C-t szeretné magáénak tudni.

(A szituáció nem feltétlenül valószerutlen. Emlékszemgyermekkoromból egy születésnapi partira, ahol az enyémlett az egyik fonyeremény, mégis rendkívül irigyeltem avigaszdíjas gyereket: az o díja ugyanis sokkal jobban tet-szett, mint az, amit én nyertem. Ezzel nem voltam egyedül:legtöbbünk a vigaszdíjra hajtott, szinte egész nap azzal ját-szottunk.)

Visszatérve a fejtörohöz: találjon ki az Olvasó olyan ál-lítást, amelyet kimondva övé lehet a C díj!

1. NYEREMÉNYEK ÉS EGYÉB REJTVÉNYEK 15

6. És ha zavart akar kelteni?

Megint négy díjunk van, és a feltételek is ugyanazok, mintaz elozo feladatban. Most azonban az Olvasó az egyik díjatsem kívánja megkapni, hanem engem akar zavarba ejteniegy állítással, amely után képtelen leszek betartani, amitígértem.

Milyen állítással érheto ez el?Megjegyzés: A probléma lényegét tekintve a nevezetes

Sancho Panza paradoxon, amelyrol a megoldásban ejteknéhány szót.

MEGOLDÁSOK

1. Az elso logikusnak volt igaza, íme a magyarázat. Azelso statisztikus megfigyelésébol következik, hogy a kert-ben legfeljebb egy sárga virág nyílik. Ha ugyanis lennekét sárga, akkor kiválaszthatnánk két sárgát és egy kéket,vagyis három virágot virágot úgy, hogy nincs köztük piros,ez pedig ellentmondana annak, hogy bármely három virágközül legalább az egyiknek pirosnak kell lennie. Nem le-het tehát egynél több sárga virág. Hasonlóan, kék virágbólsem lehet több: ha lenne két kék, akkor melléjük egy sárgátválasztva úgy lenne három virágunk, hogy nincs közöttükpiros. Az elso statisztikus állítása alapján tehát kijelenthet-jük: a kertben legfeljebb egy sárga, és legfeljebb egy kékvirág van. A második statisztikus megfigyelésébol viszontaz következik, hogy pirosból sem lehet egynél több. Haugyanis lenne legalább két piros, akkor kiválaszthatnánkkét pirosat és egy kéket, egy olyan hármast tehát, amely-ben nincsen sárga. Ebbol a megfigyelésbol is következik,hogy nem lehet egynél több kék virág, ezt a konklúziótazonban már az elso alapján levontuk.