Analogno-digitalna konverzijaU savremenim telekomunikacijama prenos analognih signala sve više ustupa mesto prenosu digitalnih signala.

Pre nego što pređemo na probleme koji se javljaju pri prenosu digitalnih signala, videćemo na koji način se jedan analogni signal može pretvoriti u digitalni, i kako se iz tako digitalizovanog signala može ponovo rekonstruisati analogni signal.

Prvi korak u pretvaranju analognog signala u digitalni sastoji se od diskretizacije analognog signala. Za uspešno obavljanje procesa diskretizacije ključna je teorema o odabiranju.

Teorema o odabiranjuPosmatrajmo proizvoljni niskofrekvencijski signal f(t), čiji je spektar ograničen na opseg učestanosti

m .

f(t)

t

Pod odabiranjem signala f(t) podrazumeva se uzimanje vrednosti ovog signala u trenucima 0, T, 2T, ..., nT, gde je n ceo broj. Vrednosti signala f(t) u trenucima t=nT se nazivaju odbircima.

T je perioda odabiranja signala f(t).Proces odabiranja signala f(t) se može posmatrati kao množenje signala f(t) sa povorkom -impulsa:

f t f t to p

f(t)

t

p(t)

t

fo (t)

t

Xfo (t)

p(t)

f(t)

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T-T

......

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T-T

Iako je povorka odbiraka fo(t) jednaka nuli svuda sem u trenucima t=nT, ova povorka sadrži informaciju o vrednostima signala f(t) za svako t, što ćemo sada i pokazati.

Razvoj periodične povorke impulsa u Furijeov red glasi,

p

jn t

nt

Te

10 ,

gde je 0=2/T kružna učestanost odabiranja.Furijeova transformacija signala fo(t) iznosi, po definiciji,

F j f t e dt f t t e dto oj t

pj t

.

Uvrštavanjem izraza za razvoj periodičnog signala p(t) u prethodni izraz, dobija se,

F j f tT

e e dtojn t

n

j t

1

0 .

Zamenom redosleda sume i integrala, dobija se,Integral u zagradi u prethodnom izrazu predstavlja, po definicijim Furijeovu transformaciju signala f(t) za

argument (učestanost) -n0:

F j n f t e dtj n t

00 .

Prema tome, prethodni izraz postaje,

F jT

F j non

10 .

Ovaj izraz pokazuje da se spektar povorke odbiraka F0(j) sastoji od beskonačno mnogo periodično ponovljenih spektara originalnog signala F(j). Svaki od spektara F(j) je, umesto da se nalazi u koordinatnom početku, centriran oko učestanosti n0. Na sledećoj slici su prikazani spektri signala f(t) pre odabiranja i spektar povorke odbiraka fo(t).

F(j )

0 m m

F o (j)

0 m

m m

0

m

m m

m

m

1

1/T

Iz oblika spektara se vidi da se u spektru povorke odbiraka sadrži i spektar originalnog signala, nad kojim je izvršeno odabiranje. Taj osnovni spektar je član sume za n=0 i zauzima opseg učestanosti od -m do m. Član sume za n=1 je spektar u opsegu 0-m do 0+m, član sume za n=-1 je spektar u opsegu -0-m do -0+m, itd. Osnovni spektar (n=0) možemo jednostavno izdvojiti NF filtrom čija je granična učestanost fm. Šema sada izgleda ovako:

Y(j )

0 m m

F o (j)

0 m

m m

0

m

m m

m

m

1/T

1/T

Xfo (t)

p(t)

f(t)NF

fm

y(t)

Spektar Y(j) signala y(t) na izlazu iz NF filtra je istog oblika kao i spektar F(j) ulaznog signala f(t), osim što je skaliran po amplitudi:

Y jT

F j 1

,

pa ista jednakost važi i za same signale:

y tT

f t1

.

Dakle, na izlazu iz NF filtra smo dobili signal f(t) rekonstruisan iz svojih odbiraka.Da bi se signal mogao rekonstruisati iz odbiraka postoji uslov koji određuje minimalnu učestanost odabiranja

0. Naime, ako je učestanost odabiranja 0 previše mala, spektar povorke odbiraka fo(t) je mogao izgledati i ovako:

F(j )

0 m m

F o (j)

0 m

m

m 0 m

m

m

m

1

1/T

Translirani spektri koji čine spektar F0(j) povorke odbiraka se sada preklapaju, pa ih je nemoguće razdvojiti fitrom. Na izlazu NF filtra granične učestanosti m će se sada pored člana sume za n=0, koji predstavlja spektar koji želimo da izdvojimo, javiti i deo transliranih spektara (n=1), koji se ne mogu potisnuti filtrom.

Uslov da se osnovni spektar (n=0) signala ne preklapa sa transliranim spektrima (n=1) se jednostavno dobija sa same slike:

m m 0 , tj. f f m0 2Sada smo spremni da damo definiciju teoreme o odabiranju:Niskofrekvencijski signal, maksimalne učestanosti fm može se potpuno verno predstaviti svojim odbircima

uzetih sa učestanošću odabiranja f0 koja je bar dvaput veća od fm. Signal se iz svojih odbiraka rekonstruiše propuštanjem kroz idealni niskofrekvencijski filtar granične učestanosti fm.

U praksi se obično koristi nešto veća učestanost odabiranja od minimalno potrebne, jer je onda lakše izvršiti filtriranje pri rekonstrukciji signala iz odbiraka. Recimo, za odabiranje govornog signala, koji zauzima opseg učestanosti od 0.3kHz do 3.4kHz u telefoniji se koristi učestanost odabiranja f0=8kHz. Za odabiranje muzičkog signala, koji zauzima opseg učestanosti od 20Hz do 20kHz prilikom snimanja muzike na kompakt-diskove koristi se učestanost odabiranja f0=44.1kHz.

Teorema o odabiranju ima svoj ekvivalentni izraz u domenu vremena, za koju ćemo ponovo iskorititi blok šemu koja opisuje ideano odabiranje:

Xfo (t)

p(t)

f(t)NF

fm

y(t)

Za potrebe ovog izvođenja, napisaćemo periodičnu povorku impulsa kao,

pn

t t nT

Povorka odbiraka fo(t) se onda može napisati kao,

f t f t t f t t nTo pn

Pošto je povorka delta impulsa jednaka nuli svuda sem u trenucima t=nT, poslednji izraz se može napisati kao,

f t f nT t nTon

Ova povorka odbiraka se propušta kroz NF filtar, koji je linearni, vremenski invarijantni sistem. Na osnovu osobina linearnosti i vremenske nepromenljivosti, odziv NF filtra na jedan impuls, (t-nT) amplitude f(nT) je f(nT)h(t-nT), gde je h(t) impulsni odziv NF filtra. Dakle, signal y(t) na izlazu iz NF filtra je,

y t f nT h t nTn

Ranije smo pokazali da je impulsni odziv idealnog NF filtra,

h t ft

t T

t

tmm

m

m

m 2

1sin sin

ako usvojimo da je učestanost odabiranja f0=1/T=2fm. Dakle,

y tT

f nTt nT

t nTm

mn

1 sin

Pošto smo već pokazali da je y(t)=f(t)/T, na osnovu poslednjeg izraza važi da se NF signal f(t), čija je maksimalna učestanost fm, može napisati u obliku,

f t f nTt nT

t nTm

mn

sin

Ovaj poslednji izraz pokazuje matematički kako se signal f(t) može rakonstruisati iz svojih odbiraka f(nT).

Ovaj proces rekonstrukcije prikazan je na sledećoj slici.

n

...

0

t

...

3T

t

...

2T

t

...

T

t

...

0

1 2 3 4-1

x(n)

t

...

0 T 2T 3T 4T-T

x (t)a

x(0) x(1) x(2)

t

...

0 T 2T 3T 4T-T

...+

+

+

+

+

...

=

xt T T

t T T1

sin /

/

xt T T

t T T2

2

2

sin /

/

xt T T

t T T3

3

3

sin /

/

xt T T

t T T4

4

4

sin /

/

x t x nt n T T

t n T Tan

sin /

/

(a) (b)

Odabiranje ovde opisano naziva se idealno odabiranje, jer se realizuje uz pomoć delta impulsa, što se ne može uraditi u praksi. U realnom uređaju se, umesto množenja nizom delta impulsa, odabiranje vrši uz pomoć prekidača koji se periodično zatvara sa periodom T, i svaki put ostaje zatvoren vrlo kratak interval vremena . Šema ovakvog, realnog sistema za odabiranje prikazana je na slici.

fo (t)

T

f(t)NF

fm

y tT

f t

Ovakvo odabiranje naziva se regularno odabiranje. I za ovakve odbirke teorema o odabiranju važi bez izmene. Povorka ovakvih, regularnih odbiraka prikazana je na slici.

f(t)

t

fo (t)

t

fo (t)

T

f(t)

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T-T

Multipleks sa vremenskom raspodelom kanalaVeć smo upoznali jedan mogući način da se, primenom amplitudske modulacije sa jednim bočnim opsegom,

izvrši istovremeni prenos (multipleks) više korisnih, modulišućih signala iste prirode duž iste linije veze tako što se za svaki signal koristi nosilac druge učestanosti. To smo nazivali multipleks sa frekevencijskom raspodelom kanala. Činjenica da se niskofrekvencijski signal može predstaviti (i prenositi) u obliku svojih odbiraka, tj. pravougaonih impulsa vrlo kratkog trajanja, otvara mogućnost za drugačiji postupak multipleksa, koji ćemo nazvati multipleks sa vremenskom raspodelom kanala.

Pogledajmo još jednom povorku regularnih odbiraka i zamislimo da tu povorku odbiraka prenosimo duž linije veze.

fo (t)

t0 T 2T 3T

Vidimo da je najveći deo vremena - između uzastopnih odbiraka- linija veze slobodna. To znači da između postojećih odbiraka signala f(t) možemo ubaciti odbirke nekog drugog signala g(t) iste prirode, tako da smo i te odbirke dobili sa istom učestanošću odabiranja.

fo

t0

T/2

T

3T/2

2T

5T/2

3T

7T/2-T/2g o

Treba obratiti pažnju da, iako je interval između dva odbirka istog signala T, između dva susedna odbirka postoji interval od samo T/2.

Na isti način se može izvršiti istovremeni prenos N signala predstavljenih odbircima, ako je učestanost odabiranja ista za sve signale. U takvom sistemu se na liniju veze šalju redom po jedan odbirak 1, 2, ..., N-tog signala, nakon čega se šalje sledeći odbirak 1, zatim 2., itd. signala. Interval između dva odbirka istog signala je onda T, ali između dva susedna odbirka je T/N, gde je N broj signala. Na ovaj način se ostvaruje multipleks sa vremenskom raspodelom kanala, jer se kanal za prenos u vremenu "dodeljuje" redom prvom, drugom..., N-tom signalu.

(1)

t0 T/N T

(2) (3) (N) (1) (2)(N) ...

...

Slanje odbiraka u pravom redosledu na liniju veze obavlja se u praksi obavlja digitalnim kolom koje se zove multiplekser. Mi ćemo funkciju multipleksera predstaviti jednim rotirajućim prekidačem, kao na slici.

(1) NF

(2) NF

(N) NF

Linijaveze

NF

NF

NF

(1)

(2)

(N)

Predajnik Prijemnik

...

...

Zahvaljujući rotirajućem prekidaču (multiplekseru) u predajniku, na liniju veze se redom šalju odbirci signala iz pojedinih kanala. Prekidač napravi jedan pun krug u periodi odabiranja T. NF filtri u predajniku služe da obezbede da maksimalna učestanost u svakom kanalu bude manja od polovine učestanosti odabiranja, kao što zahteva teorema o odabiranju.

Na drugom kraju linije veze signal se vodi na drugi rotirajući prekidač, koji obavlja funkciju demultipleksera. On rotira istom brzinom kao predajni prekidač, i nalazi se u istom položaju, tako da u trenutku prikazanom na slici vodi signal na izlaz prvog kanala. NF filtri u prijemniku imaju ulogu da rekonstruišu NF signal iz odgovarajućih odibraka.

Impulsna kodna modulacija (IKM)Teorema o odabiranju je osnova za puno korišćeni postupak modulacije koji se naziva impulsna kodna

modulacija. Ovaj postupak modulacije omogućava da se analogni signal prenosi u digitalnom obliku, korišćenjem svih prednosti koje prenos digitalnog signala pruža. Pošto su savremeni sistemi za prenos signala u velikom broju digitalni, ova tehnika modulacije ima izuzetnu važnost.

Da bismo objasnili postupak IKM, pogledajmo kakav uticaj ima šum na jedan odbirak signala.

tnT

Signal

Šum

U prenosu odbiraka signala, na ulazu u prijemnik, sa svakim odbirkom se neizbežno sabira i šum. Ovaj šum menja amplitudu odbirka, i time unosi određenu grešku, koja se ne može izbeći. To znači da opis IKM modulacije možemo započeti jednim bitnim zaključkom:

Ako se u postupku modulacije napravi određena, mala greška u vrednosti odbirka signala, njen uticaj je zanemariv ako je ta greška manja od vrednosti koju će imati šum u prenosu.

KvantizacijaAmplitude modulišućeg signala se uvek nalaze u nekom dinamičkom opsegu, što znači da su uvek manje od

nekog Umax, a veće od nekog Umin. Te vrednosti su obično simetrične, dakle Umax=U/2 i Umin=-U/2, kao na slici.

uo (t)

t0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T-T

U/2

-U/2

Celokupni dinamički opseg koji signal može imati podelićemo na q jednakih podopsega (na primer, q=8). Ti podopsezi se nazivaju intervali kvantizacije, i svaki interval je širine,

uU

q .

uo (t)

t

U/2

-U/2

u

Najzad, na sredini svakog intervala kvantizacije definisaćemo jedan naponski nivo u q0, uq1,...uq7. Ovi naponski nivoi se nazivaju nivoi kvantizacije.

uo (t)

t

U/2

-U/2uq0

uq1

uq2

uq3

uq4

uq5

uq6

uq7

Postupak kvantizacije se sastoji u tome da se svaki odbirak zaokruži na vrednost najbližeg kvantizacionog nivoa. Tako se povorka tačnih odbiraka u0(t) pretvara u povorku kvantiziranih odibraka uq(t).

Ovim postupkom smo u svaki odbirak uneli određenu grešku kvantizacije, (t):

tnT

u0(nT)

(nT)

u q(nT)

u qi

dakle, vršeći kvantizaciju mi smo u određenoj meri, zbog greške kvantizacije, pokvarili odbirke signala. Ta greška je, međutim, uvek manja od polovine intervala kvantizacije:

tu

2

To znači da se za signal date dinamike (U) povećanjem broja nivoa kvantizacije (q) greška kvantizacije ( (t)) može učiniti proizvoljno malom, dakle manjom i od šuma, te zbog toga zanemarivom.

Kvantizacija se vrši u bloku koji se naziva kvantizator:

uo(t)

Qu

q(t)

Veza između ulaznih i kvantiziranih odbiraka, dakle funkcija ulaz-izlaz ovog bloka naziva se karakteristika kvantizacije.

uq(t)U/2

-U/2uq0

uq1

uq2

uq3

uq4

uq5

uq6

uq7

uo (t)U/2-U/2 u

KodiranjeŠta dobijamo postupkom kvantizacije? Pre kvantizacije odbirci signala su mogli imati bilo koju vrednost

između -U/2 i U/2. Posle kvantizacije, odbirci mogu imati samo neku od q vrednosti, dakle konačnog broja vrednosti iz skupa kvantizacionih nivoa {uq0, uq1, ...,uq7}. Konkretno, naš niz odbiraka je uq7, uq6, uq5, uq3, uq3, uq3, uq4, uq6,... To nam daje ideju da preko linije veze umesto odbiraka, prenosimo brojeve odgovarajućih kvantizacionih nivoa . Dakle, umesto niza odbiraka, preko linije veze možemo prenositi niz brojeva 7, 6, 5, 3, 3, 3, 4, 6,... Prijemnik zna da svaki broj predstavlja odbirak amplitude nivoa kvantizacije, pa može jednostavno da rekonstruiše odbirke iz niza brojeva.

Ovakvim postupkom modulacije smo pretvorili analogni signal u niz brojeva; dakle izvršili smo digitalizaciju analognog signala.

Naravno, preko linije veze se ne prenosi niz brojeva, već električni signal koji predstavlja ovaj niz brojeva. Takav signal se naziva digitalni signal.

Pretvaranje kvantiziranih brojeva u digitalni signal se vrši u bloku koji se naziva koder. Na izlazu kodera dobija se impulsno kodno modulisani (IKM) signal.

u IKM (t)K

uq(t)

Funkcija kodera se obavlja u dva dela. Pre svega, niz dekadnih brojeva koji predstavljaju vrednosti odbiraka se pretvara u binarne brojeve. Ovo pretvaranje se može predstaviti sledećom tabelom, koja opisuje binarni kod koji se koristi.

Kvantizacioni nivo

Binarni broj

0 0001 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111

Kvantizacioni nivoi se mogu pretvoriti u binarne brojeve i po nekom drugačijem rasporedu, koji može imati svojih prednosti. kod predstavljen u prethodnoj tabeli je samo jedna od mogućih varijanti.

Za opisani postupak kvantizacije sa 8 nivoa, binarni brojevi imaju po 3 cifre. U opštem slučaju, broj binarnih cifara (bita) potreban da se predstavi q kvantizacionih nivoa je,

n qlog2 .

Zbog toga se broj kvantizacionih nivoa q uvek bira tako da bude stepen broja 2.Dakle, umesto niza 7, 6, 5, 3, 3,... preko linije veze se šalje binarni niz 111, 110, 101, 011, 011,.... Drugi korak

u koderu je da se ovaj binarni niz pretvori u električni signal. To je takođe izbor koda, ovaj put izbor signala kojim se predstavlja binarna cifra "0" i signala kojim se predstavlja "1". Ove dve cifre se predstavljaju sa dva različita električna signala istog trajanja. Najjednostavnije je to učiniti na sledeći način:

u1(t)

U

t0 T b

u0(t)

U

t0 T b

U kodu prikazanom na slici jedinica se kodira kao pravougaoni impuls amplitude U i trajanja T b, a nula kao pauza istog trajanja. Ovakav kod se, na primer, naziva unipolarni niz.

Kako u periodi odabiranja treba poslati n binarnih cifara preko linije veze, trajanje jednog impulsa (bita) je,

TT

n f qbo

1

2log

Za primer sa slike, IKM signal, dakle, izgleda ovako:

u IKM (t)

U

t0 Tb

T 2T 3T 4T

111 110 101 011 011

Važan parametar digitalnog signala je tzv. binarni protok, koji pokazuje koliko se bita u sekundi prenosi preko linije veze. Pošto je ovde trajanje jednog bita Tb, binarni protok iznosi,

VT

f n f qbb

o o 1

2log

Na primer, u prenosu govornog signala u telefonskim sistemima učestanost odabiranja iznosi f o=8kHz. Da bi se ostvario dobar kvalitet u prenosu, što znači mala greška kvantizacije, kvantizacija se vrši sa q=256 nivoa. To znači da se za kodiranje svakog odbirka koristi n=log2(q)=8 bita, a da IKM signal ima binarni protok od Vb=64kbit/s.

Blok šema IKM modulatora i demodulatoraNa osnovu svega izloženog, modulator i demodulator izgledaju ovako.

u IKM (t)K

uq(t)Q

u o (t)NF

u(t)

fm

nT

u IKM (t) IKMdekoder

u q(t)NF

fm

u(t)

IKM MODULATOR

IKM DEMODULATOR

U modulatoru se modulišući signal pre svega filtrira NF filtrom, čime se osigurava da je maksimalna učestanost u spektru fm. Onda se vrši odabiranje sa odgovarajućom učestanošću, prema teoremi o odabiranju, što daje odbirke u0(t). Zatim se vrši kvantizacija, čime se dobija kvanizirani signal u q(t). Na kraju se vrši kodiranje i dobija se modulisani signal uIKM(t).

U demodulatoru se na osnovu IKM signala generišu kvantizirani odbirci, u bloku "IKM dekoder", nakon čega se iz odbiraka rekonstruiše modulišući signal pomoću NF filtra.

Prednosti i mane IKM modulacijeNajvažnija prednost IKM modulacije je u tome što se preko linije veze prenosi digitalni signal umesto

analognog. U prenosu analognog signala moramo poznavati tačnu vrednost signala u svakom trenutku; i najmanja izmena vrednosti signala, usled izobličenja ili usled šuma, manifestuje se kao degradacija korisnog signala. mi smo tu degradaciju i eksplicitno izražavali u obliku odnosa signal/šum.

U prenosu digitalnog signala, međutim, u prijemniku nije bitno prepoznati tačan oblik signala, već samo otkriti da li je dobijeni signal 1 ili 0. Pošto su signali koji predstavljaju 1 i 0 međusobno dosta različiti, moguće je da signal na ulazu u prijemnik bude dosta izobličen, a da ipak bude moguće otkriti da taj signal predstavlja 1 ili 0. Drugim rečima, digitalni signali su mnogo manje osetljivi na smetnje i šumove od analognih signala. Recimo, dok se za AM postupak prenosa mora obezbediti oko 40dB odnosa signal/šum na ulazu u prijemnik, za FM oko 25dB, IKM prijemnik će odlično raditi i pri 12dB odnosa signal/šum na ulazu u prijemnik. To je i jedan od osnovnih razloga opšte popularnosti digitalnih sistema za prenos signala.

Što se tiče mana IKM, jedna je da smo u postupku modulacije pokvarili signal koji prenosimo, time što smo uneli grešku kvantizacije (t). To kvarenje modulišućeg signala je, međutim, nebitno, jer se greška kvantizacije može učibiti proizvoljno malom, povećanjem broja kvantizacionih nivoa q.

Drugi, ozbiljniji problem je da je za prenos signala u digitalnom obliku (dale IKM modulisanom) obično potreban mnogo veći opseg učestanosti u odnosu na opseg koji bi bio potreban za prenos tog istog signala analogno modulisanog (npr. AM-1BO). To je cena koja se mora platiti za ostvareni dodatni kvalitet prenošenog signala.