A korlátozott síkbeli háromtestprobléma

1

Newton II. axiómája• A test mozgásmennyiségének megváltozása

arányos a rá ható erővel, és annak az egyenes vonalnak az irányában megy végbe, amelyben az erő hat.

Ha a tömeg állandó az egyenlet F = ma –ra egyszerűsödik.2

A mozgásegyenlet megoldásaNéhány egyszerű erőtörvény esetében a

mozgásegyenlet analitikusan is megoldható

Általában csak numerikusan

Ha ismerjük az erőtörvényt, egy adott helyen és pillanatban kiszámítható a gyorsulás

Ha a testnek gyorsulása van, akkor egy kis idő múlva megváltozik a sebessége

Ha test mozog, egy kis idő múlva máshol lesz.

Az új helyet és időpontot visszaírva az erőtörvénybe a mozgás nyomon követhető

Numerikus módszerek pl.: Euler, leapfrogging (Feynman), Runge-Kutta

Newton általános tömegvonzási törvénye

4

Nem lineáris

A kéttest probléma

Határozzuk meg két, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle

kölcsönös gravitációs vonzóerő hat!

A feladat megoldható(centrális erőtér => síkmozgás,

megmaradó mennyiségek: energia és impulzusnyomaték)

5

A háromtest probléma

Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle

kölcsönös gravitációs vonzóerő hat!

(A több mint két évszázados kutató munka ellenére a lehetséges megoldások összességét ma sem ismerjük.)

6

A korlátozott síkbeli háromtest probléma

Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle

kölcsönös gravitációs vonzóerő hat, az alábbi korlátozó feltételek mellett:

• Két test körpályán kering a közös tömegközéppont körül.• A harmadik test – az előző kettő keringési síkjában mozog– tömege olyan kicsi, hogy az semmilyen hatást nem fejt ki a

másik két testre

7

Elrendezés és jelölések

8

Együtt forgó vonatkoztatási rendszer

Dimenziótlanítás* után

9

Marad egy paraméter:

* ld. pl. Tél Tamás - Guiz Márton: Kaotikus dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 2002., 285.-289. o.

A forgó rendszer potenciáltere

10

= 0,2

Lagrange-pontok

11

L1, L2 és L3 instabil (nyeregpontok), L4 és L5 stabil (egyenlő szárú háromszögek csúcspontjai)

12

13

A potenciálteret kirajzoló Matlab kód%% Két, egymás körül körpályán mozgó tömeg közös potenciálja együtt forgó vonatkoztatási rendszerben%[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2);mu2 = 0.2; % a kisebbik tömegmu1 = 1 - mu2;s1 = sqrt((x + mu2).*(x + mu2) + y.*y); % a vonzócentrumoktóls2 = sqrt((x - mu1).*(x - mu1) + y.*y); % való távolságokfor i=1:401 % a zéróval való osztás elkerülése for j=1:401 if s1(i,j)<0.01 s1(i,j)=0.01; end; if s2(i,j)<0.01 s2(i,j)=0.01; end; endendz=-mu1./s1-mu2./s2-(x.*x+y.*y)/2-mu1.*mu2/2; % a potenciál értékefor i=1:401 % a szintvonalak sûrûségének beállítása for j=1:401 if z(i,j) < -3 z(i,j) = -3; end; endendsurfc(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z');shading flat

14

Futtatási eredmények

• Rendszer: Nap – Jupiter ( = 0,001)• Az L1 pont energiája E1 = -1,5198• Kaotikus tartományok jelennek meg, ha

-1.55 < E < E1, ahol E a próbatest összenergiája

• A következő futtatási eredmények az E = -1,525 értékre vonatkoznak

15

#1: (x;y)=(0.2;0), (vx;vy) = (0;2.633211)

• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: -1,52422

16

#2: (x;y)=(0.3;0), (vx;vy) = (0;1. 918786075)

• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: -1,52486

17

#3: (x;y)=(0.4;0), (vx;vy) = (0;1. 44806)

• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: -1,52499

18

#4: (x;y)=(0.5;0), (vx;vy) = (0;1. 092264)

• A kiszámított pontok száma: 2000x50• Összenergia a számolás végén: -1,52499

19

#5: (x;y)=(0.6;0), (vx;vy) = (0;0. 800299944)

• A kiszámított pontok száma: 2000x200• Összenergia a számolás végén: -1, 52471

20

#6: (x;y)=(0.7;0), (vx;vy) = (0;0. 545802162)

• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: -1,52500

21

#7: (x;y)=(0.8;0), (vx;vy) = (0;0.30893365)

• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: - 1,52500

22

#8: (x;y)=(0.85;0), (vx;vy) = (0;0. 186386695)

• A kiszámított pontok száma: 2000x100• Összenergia a számolás végén: - 1,52500

23

A futtatások összesítése

24

Néhány érdekes pályagörbe - 1

25

(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.3)Összenergia= -1,28000

Néhány érdekes pályagörbe - 2

26

(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (1.4; 0.7)Összenergia= -0.90000

Néhány érdekes pályagörbe - 3

27

(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0.2; 0.96)Összenergia= -1.64420

Néhány érdekes pályagörbe - 4

28

(x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.16)Összenergia= -1.45220

Néhány érdekes pályagörbe - 5

29

(x;y)=(0.499;0.8), (vx;vy) = (0; 0.2008)Összenergia= -1.48484