A Linearização Entrada – Saída de um Veículo Tipo MAGLEV

Célia Ap. dos Reis1, José Manoel Balthazar2, Neusa A. P. da Silva1

Luciano Barbanti1

1Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Departamento de Matemática, FEIS/UNESP 15385-000, Ilha Solteira, SP, Brasil

E-mail: celia@mat.feis.unesp.br, Neusa@mat.feis.unesp.br, lucianobarbanti@yahoo.com.br 2UNESP, Departamento de Estatística, Matemática Aplicada e Computação,

Rio Claro, SP, Brasil E-mail: jmbaltha@rc.unesp.br

Resumo: Neste trabalho apresenta-se a linearização entrada-saída de um veículo tipo MAGLEV (magnetic levitation transport), quando o grau relativo do sistema é dois. Considera-se um modelo não linear simplificado, descrito no espaço de estados, sendo a saída um campo vetorial escalar. A dinâmica do sistema não linear é decomposta em uma parte externa linear (entrada-saída) e uma parte interna não observável e não linear. Para tal, apresenta-se um difeomorfismo, tal que o sistema original pode ser colocado na forma normal, a partir do uso da saída e suas derivadas como parte de um novo conjunto de estados.

1. Introdução A linearização exata por realimentação é um procedimento que permite transformar a

dinâmica de um sistema não linear, em uma dinâmica linear, mediante uma realimentação não linear do estado ou da saída escolhida previamente, e tem sido objeto de interesse de pesquisa de grande número de pesquisadores nos últimos anos. Tal procedimento tem sido utilizado com êxito numa grande gama de aplicações, como em problemas de rastreamento, no controle de braços de robô e manipuladores, peças de artilharia, helicópteros, aviões e satélites, além de ser usado em aparelhagem médica e nas indústrias química e farmacêutica ([1] – [10]).

Com este objetivo, quase sempre é necessário efetuar uma mudança de variável de estado, e introduzir uma variável de entrada auxiliar. Após o sistema não linear ter sido modificado de modo a que o sistema ou parte deste se comporte como linear, é possível a utilização de técnicas lineares conhecidas.

Tal procedimento se justifica já que a linearização em série de Taylor é local, isto é, é válida apenas para uma região em torno de um determinado ponto, enquanto que a linearização por realimentação é global, isto é, aplica-se a todo o domínio do espaço de estados ou de saída, com a eventual exceção de pontos isolados. Além disso, enquanto a linearização pelo jacobiano é aproximada, a linearização por realimentação é exata ([2], [4], [5]). Neste trabalho apresenta-se a linearização entrada-saída de um veículo tipo MAGLEV (magnetic levitation transport) cujo modelo simplificado é obtido de [6] e [9], quando este sistema apresenta grau relativo 2. O MAGLEV é uma nova tecnologia de transporte de massa, que emprega a geração de campos magnéticos para levitar, direcionar e propulsionar trens de alta velocidade, agregando segurança, baixo impacto ambiental e custos mínimos de manutenção. Daí o interesse de estudo em países como Brasil, Alemanha, Japão, China, Estados Unidos, Austrália, Tailândia, etc...([10])

Considera-se um modelo não linear simplificado de tal sistema, obtido de [6] – [9], descrito no espaço de estados, sendo a saída um campo vetorial escalar. A dinâmica do sistema não linear é decomposta na forma normal, isto é, em uma parte externa linear (entrada-saída) e uma parte interna não linear. Para tal, define-se um novo conjunto de estados, definidos a partir da saída e suas derivadas e prova-se que é possível construir um difeomorfismo o qual pode ser usado para transformar o sistema não linear em outro linear e de menor grau que relaciona a entrada e a saída, e uma parte não linear que representa os estados não observáveis, que fornece a dinâmica interna do sistema original. O conhecimento da dinâmica interna é importante pois, a partir de seu equacionamento, é possível a análise da dinâmica zero e de questões relativas a estabilidade assintótica local e global.

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Este trabalho encontra-se organizado como segue. Na seção 2 apresentam-se as considerações iniciais, na seção 3 as ferramentas matemáticas utilizadas, na seção 4 o processo de linearização entrada-saída do trem MAGLEV e na seção 5 as conclusões do trabalho. 2. Considerações Iniciais

Considera-se um modelo simplificado de um veículo tipo MAGLEV, como na Figura 1, obtido de [6]. O é a origem do plano cartesiano de referência e considera-se que o corpo levitado movimenta-se livremente apenas na direção z. Além disso, zd é o deslocamento na vertical, m1 é a massa do corpo principal, zst é a distância entre os imãs, zb1 é a amplitude de excitação do imã da base, ω é a freqüência de excitação do imã da base, ωz é a freqüência natural do corpo, zb é o eslocamento da base do imã na vertical, t* = t ωz, e

std* zzz = são variáveis dimensionais e zωωυ = e ∈ = zb1/zst parâmetros, conforme [8] e

[9].

Z Sistema Principal X zd Imã Zst + zd

zb = zb1cosΩt Base do Imã

Figura 1: Modelo do corpo de levitação magnética

Considera-se que a força magnética repulsiva não-linear existente entre os ímãs, para variações finitas e pequenas da distância zst, pode ser aproximada por uma função polinomial com termos cúbicos e quadráticos e que a base é excitada na vertical com deslocamento zb = zb1cosΩt, conforme [9]. Considerando o ponto como sendo a derivada com relação ao tempo dimensional, tem-se a seguinte equação não dimensional, obtida de [6]:

3*zzz

2*zz

**zz

**z

** zzvtcosz2vtcoszzz αααµ −−∈+∈+−−= &&& (1)

sendo que *zz&µ dá a força de viscosidade linear atuando no sistema principal, zzα e zzzα são

os coeficientes de z2 e z3 na expansão em série de Taylor da força magnética ([9]). Reorganizando a equação (1), obtém-se:

**zz

*zzz

2*zz

*z

** vtcos)z21(zzzz z3

αααµ +∈+−−−−= &&& . (2) Definindo x = (x1, x2, x3) o vetor de estados, tem-se que:

*1 z x = e

*3 tx = . (3)

Daí, a equação (2) pode ser transformada no sistema não linear: )x(fx=& , (4)

sendo f(x) o campo suave de ℜ3 dado por:

,

z )x(

2x

)x(f

=ω

η (5)

.vxcos)x21(xxxx )x( 31zz31zzz

21zz2z1 αααµη +∈+−−−−= (5 – a)

Para a linearização entrada-saída do MAGLEV, serão feitas as seguintes:

(a) 1x)x(hy == é a saída;

0

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(b) u(t) a entrada do sistema; (6)

(c) g(x) o campo suave dado por

=γβα

)x(g , sendo α, β e γ reais.

Mediante as considerações (5) e (6), as equações (2) e (4) podem ser escritas como:

1x)x(hyu)x(g)x(fx

==+=&

(7)

sendo f e g campos vetoriais suaves de ℜ3e h(x) um campo escalar representando a saída do sistema não linear.

Segundo [6] e [7], o sistema (7) é dito ser linearizável entrada-saída se existe uma região Ω

de ℜ3, um difeomorfismo local 3: ℜ→Ωφ e uma lei de controle a realimentação não linear

),x(uu υ= tal que a nova variável de estado z = φ(x) e a nova entrada υ satisfazem uma relação linear invariante no tempo.

Mostrar que o sistema (7) pode ser linearizável entrada-saída, significa mostrar que a dinâmica do sistema (7) pode ser decomposta em uma parte externa linear, que relaciona entrada-saída, e uma interna não observável. Tal forma é dita forma normal. Torna-se necessário, então, mostrar não somente que essa forma existe, mas também que ela é uma transformação de estado verdadeira, ou seja, é necessário mostrar que se pode construir um difeomorfismo local φ(x) tal que vale essa forma normal ([7]). Este é o objetivo deste trabalho.

3. Ferramentas Matemáticas

Considere um sistema de controle não linear SISO dado na forma:

)x(hy

u)x(g)x(fx

=+=&

(8)

sendo x ∈ ℜn é o vetor de estados, nn:g ,f ℜ→ℜ⊆Ω são campos vetoriais suaves de ℜn,

ℜ→ℜ⊆ n:h Ω um campo escalar e Ω ⊆ ℜn um domínio. Seja Lfh(x) a derivada de Lie do campo f na direção de h, dada por:

)x(f),x(h)x(f.x

)x(h)x(hLf ∇=

∂∂= (9)

sendo < , > o produto interno usual de ℜn. As derivadas de Lie podem ser efetuadas repetidamente, obtendo-se:

)x(h)x(hLof = e )x(f)x(h1ifL)x(h1i

fLfL −∇=

− , i = 1, 2, .. (10)

A derivada de Lie de g em relação a f, denotada por gL f , é dada por:

)x(f.x

)x(g)x(gL T

f ∂∂= . (11)

O colchete de Lie de ordem i é definido por:

1i ),x(g1ifadj ,f)x(gi

fadj ≥

−= , 0 i ),x(g)x(gadjof == . (12)

Definição 1: ([2, 5]) Um conjunto de campos linearmente independentes (l.i.) f1, f2, ..., fm em ℜn é dito ser completamente integrável se e somente se existem n–m funções escalares h1(x),

h2(x), ..., hn-m(x) satisfazendo o sistema de EDP 0f.h ji =∇ sendo 1 ≤ i ≤ n - m, 1 ≤ j ≤ m e

ih∇ l.i..

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Definição 2: ([2, 5]) Um conjunto de campos l.i. f1, f2, ..., fm em ℜn é involutivo se e somente

se existem funções escalares ℜ→ℜnijk :α tal que [ ] ∑=

=

m

1kkijkji )x(f)x()x(f,f α ∀i, j.

O teorema a seguir, fornece uma condição necessária e suficiente para a solubilidade de uma classe especial de equações diferenciais parciais. Teorema de Frobenius: ([2, 5]) O conjunto de campos l.i. f1, f2, ..., fm é completamente integrável se e somente se ele é involutivo.

A abordagem básica da linearização entrada-saída é simplesmente diferenciar a função de saída y repetidamente, até que a entrada u apareça e então projetar u para cancelar a não linearidade. Dessa forma, diferenciando a saída y repetidamente, obtém-se:

( ) .u)x(hLL)x(hLy 1ifg

if

i −+=

Isto é feito até que para algum inteiro r, 0)x(hLL 1rfg ≠− , para algum x = xo ∈ Ωx. Por

continuidade, a relação acima é verificada em uma vizinhança Ω de xo. Em Ω, a lei de controle:

( )υ+−= − hLhLL

1u r

f1rfg

(13)

aplicada a: ( ) u)x(hLL)x(hLy 1r

fgrf

r −+= (14)

gera uma relação linear simples entre y e υ, a saber, υ=)r(y . Definição: ([2, 5])O Sistema SISO é dito ter grau relativo r em uma região Ω, se ∀ x ∈ Ω tem-

se que 1,-ri0 ,0)x(hLL ifg ≤≤= 0)x(hLL 1r

fg ≠− .

Suponha que o grau relativo do sistema (8) seja r < n. Considere o vetor de estados:

( ) ( )( ).y ... y y ... 1-rr21 &== µµµµ (15)

Usando (15), em uma vizinhança Ω de xo, o sistema (8) pode ser escrito na seguinte forma, dita forma normal:

( ) ( )

+

=

u,b,a

........

r

2

ψµψµµ

µ

µ& (16)

),(W ψµψ =& (17)

y = µ1.

µi e ψj são denominadas coordenadas normais ou estados normais ([5]). O resultado a seguir, dá a condição que permite a construção do difeomorfismo φ(x) sendo:

[ ]Tr-n1r21 ... ... )x( ψψµµµφ = (17 – a)

tal que vale a forma normal (16) – (17) para o sistema (8).

Lema 1: ([5]) Seja φ(x) uma função suave definida na região Ω ⊂ ℜn. Se a matriz jacobiana ∇φ(x) é não singular em um ponto xo de Ω, então φ(x) define um difeomorfismo local em uma sub-região de Ω.

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Pelo lema 1, mostrar que φ é um difeomorfismo basta mostrar que os gradientes ∇µi e ∇ψj são todos linearmente independentes (l.i.). Tem-se o seguinte resultado. Lema 2: ([5]) Se o grau relativo do sistema (8) é r < n na região Ω, então os gradientes ∇µ1, ∇µ2, ..., ∇µr são linearmente independentes em Ω.

Observa-se que na construção de φ(x), µ1, µ2, ... µr são definidos a partir de (15). É necessário determinar ψ1, ..., ψn-r tais que µ1, µ2, ... µr, ψ1, ..., ψn-r sejam l.i.. Pelo Teorema de Frobenius, ψ1, ..., ψn-r são obtidas como solução do conjunto de EDP:

.0gj =∇ψ (17-b)

A aplicação da lei de controle (13) em (16), gera a linearização desejada do sistema (8). 4. A Linearização entrada-saída do Veículo Tipo MAGLEV

Derivando y na equação (7), de (5) e (6) tem-se que: uxu)x(hL)x(hLy 2gf α+=+=& . (18)

Se α ≠ 0, tem-se uma relação entre a saída y e a entrada u dada pela relação (18) e nesse caso, o grau relativo do sistema é r = 1, sendo possível a análise da dinâmica interna e da dinâmica zero do sistema de controle (7).

Se α = 0, derivando (18), de (5) e (6) obtém-se:

u)x(hLL)x(hL y fg2f +=&& .u)x( βη += (19)

Se β ≠ 0, (19) fornece uma relação explícita entre a saída e a entrada. Dessa forma, o grau relativo do sistema é r = 2. Portanto, é possível a análise da dinâmica interna e da dinâmica zero do sistema de controle (7).

Em (19) se β = 0, a derivada dessa equação gera a expressão:

=+= u)x(hLL)x(hLy 2fg

3f&&&

( )

( ) ( ).uwsenvx vx21-

)x(xx3x2vxcos21

z31zz

z221zzz1zz3zz

γαηµααα

++∈−−−−∈+−

(20)

Em (20) fazendo: ( ) 31zz senvx vx21- (x) αϕ +∈= , (21)

obtém-se:

( ) ( ).uw)x()x(xx3x2vxcos21 y zz221zzz1zz3zz γϕηµααα ++−−−∈+−=&&& (22)

Se γ ≠ 0, o sistema (7) possui grau três e então a linearização entrada-saída é equivalente à linearização entrada-estado, nesse caso. Caso γ = 0, o sistema possui grau indefinido.

Neste trabalho, a linearização entrada-saída do sistema MAGLEV (7), será efetuada para α = 0 e β ≠ 0 , sendo r = 2 o grau relativo do sistema.

Com tal objetivo, considerando α = 0, β ≠ 0 e r = 2, de (5) e (6), o sistema (7) tem a forma:

=

z

2

3

2

1

w

)x(

x

x

x

x

η&

&

&

+ u

0

γβ . (23)

O objetivo é introduzir um novo conjunto de estados, definidos por: [ ] [ ]y ,y , 21 &== µµµ (24)

e determinar o difeomorfismo φ(x) = [ ]T21 ψµµ conforme (17 – a), tal que o sistema (23) pode ser transformado em um sistema na forma normal (16) – (17): De (7), (23) e (24), basta definir:

µ1 = y = x1 e 2f2 xy)x(hL === &µ . (25)

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De (17-b), para a determinação de ψ(x), esta deve requerer: 0g =∇ψ ou 0Lg =ψ , (26)

ou seja, ψ(x) é solução da equação:

0x

)x(

x

)x(

32=

∂∂+

∂∂ ψγψβ . (27)

Uma solução da equação (27) é dada pela função:

32 xx (x) βγψ −= . (28)

Assim, conforme (17-a), a função φ(x) tem a seguinte expressão: ( ).xx x x (x) 3221 βγφ −= (28-a)

Note que a função φ(x) é não singular para todo x pois, 0≠−=∇ βφ sendo:

=∇βγφ

- 0 0

1 0

0 0 1

.

Assim, pelos Lemas 1 e 2, φ(x) é um difeomorfismo cuja inversa é dada por

( ) x,x,x 321 = ( ) .x (x)1

,, 221

+− γψ

βµµ (29)

Note que φ(x) (29) é um difeomorfismo global. Daí, de (29), o sistema dinâmico (23) tem a forma normal:

( )( )

1

z21

21

2

y

w,

u0

,

µβµµγηψ

βµµηµ

µ

=−=

+

=

&

&

(30)

sendo ( )21,µµη obtida a partir de (5-a), (23) e (26), isto é:

( )

+−+∈+

−−−−=

21zz

31zzz

21zz2z121

)x(1

vcos)21(

),(

γµψβ

µα

µαµαµµµµµη. (30-a)

De (30), têm-se as seguintes observações: 1. A dinâmica do sistema não linear (23) foi decomposta em uma parte externa (entrada-saída,

u, µ1 e µ2) e uma parte interna não observável (ψ& );

2. A parte interna não depende da entrada u, dependendo apenas do estado µ, e esta parte é denominada dinâmica interna do sistema (23).

A parte externa de (30) pode ser linearizada. De fato, de (13), basta tomar a lei de controle:

( )( )υµµηβ

+−= 21,1

u . (31)

A substituição de (31) em (30) gera:

( )1

z21

2

y

w,

µβµµγηψ

υµ

µ

=−=

=

&

&

, (32)

sendo ),( 21 µµη como em (30-a). Assim, o sistema (23) foi transformado em uma parte

externa linear na entrada υ mais uma parte interna que é não linear nos estados µ1 e µ2.

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5. Conclusões Efetuou-se, nesse trabalho, um estudo do processo de linearização entrada-saída de um

veículo tipo MAGLEV, quando o grau relativo desse sistema é r = 2. Para tal, considerou-se um modelo não linear simplificado de tal sistema, descrito no espaço de estados na forma

u)x(g)x(fx +=& , )x(hy= sendo x o vetor de estados, u a entrada, y a saída, f e g campos

vetoriais suaves de ℜ3 e h um campo escalar de ℜ3. Para a aplicação do processo de linearização, foi construído um difeomorfismo global φ(x),

que permitiu decompor a dinâmica externa do sistema não linear original (entrada-saída), em uma dinâmica linear, mais uma parte interna não observável e não linear, a dinâmica interna do sistema. Nesse processo de linearização, considera-se uma lei de controle a realimentação não linear conveniente, a expressão (31), tal que a nova variável de estado z = φ(x) dada por (28-a), e a nova entrada υ satisfaz uma relação linear invariante no tempo, a relação (32).

Os resultados obtidos são parciais no sentido de que ainda é necessária a análise do modelo proposto quando o grau relativo do sistema for 1 e 3. Além disso, questões como a análise da dinâmica interna e da dinâmica zero, o plano de fase da dinâmica interna, estabilidade assintótica também podem ser efetuadas, sendo base para a análise de um modelo mais geral do sistema em questão. 6. Agradecimentos

Os autores agradecem o suporte da FUNDUNESP: Fundação Para o Desenvolvimento da UNESP (Proc. 00648/10- DFP) e FAPESP. Referências [1] Chen, L.Q., Liu, Y. Z. (1999) A modified exact linearization control for chaotic oscillators.

Nonlinear Dynamics, vol. 20, pp. 309 – 317.

[2] Isidore, A. Nonlinear Control Systems, 3ed., Springer-Verlag, Roma, 1995.

[3] Monteiro, L. H. A. Sistemas Dinâmicos, São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.

[4] Silva, G. V. M. Controlo Não Linear, Escola Superior de Tecnologia Setúbal, Lisboa, 2003.

[5] Slotini, J.; LI, W.. Applied Nonlinear Control. New Jersey: Prentice Hall, 1991.

[6] Yabuno, H., Kanda, R., Lacarbonara, W., Aoshima, N., (2004). nonlinear Active Cancellation of the Parametric Resonance in a Magnetically Levitated Body, Jounal of Dynamics system, Measurement and Control, 126, pp. 433-442.

[7] Yabuno, H., Fujimoto, N., Yoshizawa, M., and Tsujioka, Y. (1991). Bouncing and Pitching Oscillations of Magnetically Levitated Body due to the Guideway Roughness, JSME International Journal, 34(2), pp. 192–199.

[8]Yabuno, H., Murakami, T., Kawazoe, J., and Aoshima, N. (2003). Suppression of Parametric Resonance in Cantilever Beam with a Pendulum Effect of Static Friction at the Supporting Point of the Pendulum, Trans. ASME Journal of Vibration and Acoustics, 126, pp. 149-162.

[9]Yabuno, H., Seino, T., Yoshizawa, M., and Tsujioka, Y. (1989). Dynamical Behavior of a Levitated Body with Magnetic Guides (Parametric Excitation of the Subharmonic Type Due to the Vertical Motion of Levitated Body), JSME International Journal, 32(3), pp. 428–435.

[10] http://www.maglevpa.com/index.html, www.maglevpa.com/propul.html,

www.llnl.gov/str/Post.html, www.transrapid-international.de/english/welt.html,

www.maglevpa.com/propul.html, www.fra.dot.gov/o/hsgt/index.htm,

www.skytran.net/press/sciam01.htm, www.ferrovia.com.br/ligacao.htm,

www.rtri.or.jp/rd/maglev/html/english/maglev_frame_E.html.

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