a linguagem dos números

A linguagem dos números

Os conjuntos numéricos

Como surgiram os números? Eles foram sendo criados pouco a pouco. A cada nova dificuldade ou necessidade, o homem e a ciência foram juntando novos tipos de números aos já existentes.

Com o tempo, por questões práticas, foi preciso agrupá-los, formando estruturas com características e propriedades comuns.

Conjuntos – Conceitos iniciais

Ficaram definidos, assim, os conjuntos numéricos

ℕ, dos números naturais;

ℤ, dos números inteiros; ℚ, dos números racionais;

ℝ, dos números reais;

ℂ, dos números complexos.

Conjunto dos números naturais (ℕ)

A necessidade de contar surgiu com o início da civilização dos povos. Povos primitivos contavam apenas um, dois e muitos. Esses três conceitos, sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sendo incorporadas. A idéia do zero só surgiu mais tarde.

Números utilizados para contar formam o conjunto ℕ dos números naturais, definido assim:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Conjunto dos números inteiros (ℤ)

A soma e o produto de dois naturais são sempre naturais. Mas a diferença de dois naturais nem sempre é natural. Por exemplo,

(5 – 2) ℕ, mas (2 – 5) ℕ Subtrações como essa última só são definidas com

a introdução dos números inteiros negativos (–1, –2, –3, –4, ...).

A união dos naturais com os inteiros negativos forma o conjunto ℤ dos números inteiros.

ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}


Podemos separar os inteiros em três categorias:

Os positivos: 1, 2, 3, 4, ... O zero: 0 Os negativos: –1, –2, –3, –4, ...

De maneira geral, se k é um número inteiro, o número –k também é inteiro.

Dizemos que k e –k são simétricos ou opostos.


Simetria em relação ao zero.

0-1-2-3-4 1 2 43

Exemplo

De dois inteiros simétricos k e –k, não-nulos, qual é o positivo? Qual o negativo?

Dois inteiros simétricos podem ser iguais?

A soma, a diferença, o produto e o quociente de dois inteiros são sempre inteiros?


Definem-se, em ℤ, as relações de igualdade e de ordem (desigualdade).

Se p e q são dois inteiros, eles satisfazem uma, e somente uma, das seguintes relações:

p = q (p é igual a q); p < q (p é menor que q); p > q (p é maior que q).

→ 3 – 5 = 2→ –5 < –1 < 0 < 3→ 7 > 2 > 0 > –4

Observação

Certos subconjuntos de ℕ e ℤ são definidos por meio de desigualdades. No caso, devemos estar atentos ao universo indicado.

Exemplos

A = {x ℕ / x < 4} → A = {0, 1, 2, 3}.

B = {x ℤ / –3 ≤ x < 2} → B = {–3, –2, –1, 0, 1}.

C = {x ℤ / x ≥ –2} → C = {–2, –1, 0, 1, ...}.

Observação

Os conjuntos numéricos podem vir acompanhados de certos símbolos, que têm a função de excluir, dele, determinados números. Veja:

O símbolo asterisco (*) exclui o zero; O símbolo mais (+) exclui os negativos; O símbolo menos (–) exclui os positivos.

Observação

Quando colocamos os inteiros em ordem crescente, valem os conceitos de antecessor e sucessor. O antecessor de 8 é o 7 e o sucessor de 8 é o 9. Identifique, entre as sentenças a seguir, as que são verdadeiras.

O antecessor de –6 é –5 ( ). Se p é inteiro, seu sucessor é (p + 1) e seu antecessor

(p – 1) ( ). Se p, é par e q ímpar, então (p + 1).q é impar ( ). Se p é par e q é ímpar, então (p + q).(q + 1) é par ( ). No conjunto dos naturais, 0 não tem antecessor ( ).

Conjunto dos números racionais (ℚ)

A necessidade de operar com grandezas que nem sempre podem ser representadas por números inteiros e, consequentemente exigem subdivisões levou à criação dos números fracionários:

35

, 87

, 110

, etc.

Divisões como essas são definidas com a introdução do conceito de número racional.


Todo quociente p/q da divisão de um inteiro p por um inteiro q (q ≠ 0) é chamado de número racional.

Veja a definição do conjunto ℚ dos números racionais.

ℚ = {x/x = p/q; p, q ℤ, q ≠ 0}

Exemplo

São racionais os seguintes números

82

= 4 (inteiro)

37

(fracionário de termos inteiros)

–3 8

= –0,375 (decimal exato)

5 9

= 0,555... (dízima periódica)


Em resumo, são números racionais

Os números inteiros; Os números fracionários; Os decimais exatos; As dízimas periódicas.

Transformando decimais exatos em frações

Um número decimal exato é sempre igual a uma fração, cujo denominador é uma potência de base 10 e expoente natural.

Exemplos

0,35 = 35 102

= 35 100

= 7 20

–1,8 = –18 101

= –18 10

= –9 5

Transformando decimais periódicos em frações

Numa dízima periódica, o grupo de algarismos que se repete é chamado período da dízima. Por exemplo na dízima 23, 4727272..., o período é 72.

A fração que dá origem a uma dízima é a sua geratriz.

Exemplos

Achar a fração geratriz da dízima periódica 0,424242...

Suponhamos (1)x = 0,424242...

100 . x = 100 . 0,424242...

100x = 42,4242... ⇒

⇒ (2)

subtraindo (2) – (1), membro a membro

100x = 42,4242...– x = 0,424242...

99x = 42 ⇒ x = 42 99 = 14

33

Exemplos

Encontrar a fração geratriz da dízima periódica 4,73333...

Suponhamos (1)x = 4,73333...

10 . x = 10 . 4,73333...

10x = 47,3333... ⇒

⇒ (2)

subtraindo (2) – (1), membro a membro

10x = 47,33333...– x = 4,73333...

9x = 42,6 ⇒ 90x = 426 ⇒ x = 426

90 = 71 15


Podemos representar os números racionais por pontos pertencentes a uma reta orientada, bastando para isso fazer subdivisões convenientes no eixo dos inteiros.

0-1-2-3 1 2 3

0,333...

0,6

–5/3 1,5–6/5

Conjunto dos números reais (ℝ)

Vimos anteriormente, que os únicos números decimais racionais são os exatos e as dízimas periódicas.

Existirão números decimais que não sejam exatos nem dízimas? Ou seja, números decimais não-racionais?


Veja a figura a seguir. Ela mostra um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 unidade. Veja o cálculo de sua hipotenusa.

x

1

1x2 = 12 + 12

x2 = 2

x = √2

Extraindo a raiz quadrada de 2 nos levará ao número 1,41421356237... que não é racional.


Números com √2 são chamados de números irracionais. Sua representação decimal não é exata e nem periódica.

De modo geral, número irracional é todo número que, escrito na forma decimal, é infinito e não-periódico. Veja alguns exemplos:

√3 = 1,73205080... 3√5 = 1,70099759... = 3,141592653... 0,202202220...

Você sabia? que é aproximadamente

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066…?


A reunião dos racionais com os irracionais resulta no conjunto dos números reais. Ele é a partir de agora, o nosso universo numérico.

ℝ = {x/x é racional ou irracional}

Visão geral dos conjuntos numéricos

No nosso estudo você deve ter notado como os conjuntos numéricos ℕ, ℤ, ℚ e ℝ foram sendo construídos. Na verdade, cada um deles amplia o anterior, com acréscimo de novos tipos de números.

ℕ ℤ ℚ ℝ+ Inteiros negativos

+ racionais fracionários

+ irracionais

Visão geral dos conjuntos numéricos

Veja sua representação por diagrama.

Inteiros negativos

racionais fracionários

irracionais

ℕ ℤ ℚ ℝ

O

Números reais como pontos da reta

O conjunto ℝ dos números reais pode ser colocado em correspondência com o conjunto dos pontos de uma reta. Para isso definimos

Um sentido positivo, indicado pela seta; Um ponto O, chamado origem, associado ao zero; uma unidade de medida arbitrária.

1 u

A esta reta, damos o nome de reta real ou eixo real;


Na reta da figura marcamos os pontos O(0), A(1), B(–3,5), C(4) e D(–2).

O0

A CB D1 4–2–3,5

Na representação:A(1), 1 é a abscissa ou a coordenada do ponto A;

Em geral: Escrevemos P(x) para indicar que o ponto P está associado ao número x.


A reta estabelece uma ordenação para os números reais, expressas por relações de desigualdade. Sendo a e b dois reais distintos, temos:

a < b (a é menor que b) significa que, na reta real, a está à esquerda de b.

a > b (a é maior que b) significa que, na reta real, a está à direita de b.


Na reta real da figura a seguir, estão representados os números reais 0, p e q.

O0 qp

Podemos escrever, por exemplo:

p < 0 (p é negativo) q > 0 (q é positivo) p < 0 < q (0 está entre p e q)

Observação

A relação a ≤ b significa que (a < b ou a = b) e a relação a ≥ b indica que (a > b ou a = b).

a ≤ b (a é menor que ou igual a b)

a ≥ b (a é maior que ou igual a b)

Exemplos

5 ≥ 3 (5 é maior ou igual a 3) –2 ≤ 1 (–2 é menor ou igual a 1)

O Cba

Exemplos

A figura mostra a reta real, em que O é a origem. São dados os pontos A(a) e B(b) e sabe-se que OA = OC.

A B

a) Quais são as abscissas de dos pontos O e C.b) Complete os pontilhados com os sinais de

desigualdade > ou <.

a .... 0 –a .... 0 a + b .... 0 a2 .... 0

b .... 0 –b .... 0 ab .... 0 –b .... a

0 e –a

< > > >

> < < <

Intervalos reais

2–3

Intervalos reais

Considere os conjuntos A = {x ℤ /–3 ≤ x < 2} e B = {x ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B?

O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e 1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos, dentre os quais estão os elementos de A.

O conjunto A pode ter seus elementos representados na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta. veja

Intervalos reais

Muitas vezes trabalhamos com determinados subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados intervalos reais. Em geral eles são definidos por desigualdades.

Suponhamos dois números reais a e b tais que a < b. Os subconjuntos de ℝ definidos a seguir são chamados de intervalos reais de extremos a e b.

ba

Intervalos reais – limitados

Intervalo fechado a, b.

Representações: [a, b] = {x ℝ /a ≤ x ≤ b}

Na reta real:

ba

Intervalo aberto a, b.

Representações: ]a, b[ = {x ℝ /a < x < b}

Na reta real:

ba

Intervalos reais – limitados

Intervalo fechado em a e aberto em b.

Representações: [a, b[ = {x ℝ /a ≤ x < b}

Na reta real:

ba

Intervalo aberto em a e fechado em b.

Representações: ]a, b] = {x ℝ /a < x ≤ b}

Na reta real:

Observação

Observe que cada intervalo inclui todos os reais entre a e b; para os extremos a e b, temos:

inclusão do extremo fechado bolinha cheia (•) colchetes normais [ ].

exclusão do extremo aberto bolinha vazia (o) colchetes invertidos ] [.

a

Intervalos reais – ilimitados

Intervalo de a fechado até +. Representações: [a, +[ = {x ℝ / x ≥ a}

Na reta real:

a

Intervalo de a aberto até +. Representações: ]a, +[ = {x ℝ /x > a}

Na reta real:

a

Intervalos reais – ilimitados

Intervalo de – até a fechado. Representações: ]–, a] = {x ℝ / x ≤ a}

Na reta real:

a

Intervalo de – até a aberto. Representações: ]–, a[ = {x ℝ /x < a}

Na reta real:

5–3

Exemplos

Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real A = [–3, 5[.

Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5; Representa todos os reais entre –3 e 5; Inclui o extremo –3 e exclui o extremo 5.

A = {x ℝ / –3 ≤ x < 5}

Note que: –3 A; 4,99 A; 5 A

Exemplos

Vamos analisar, agora, o intervalo B, representado na reta real.

temos um intervalo aberto de 2 a +; estão indicados todos os reais maiores que 2; o extremo 2 está excluído;

B = {x ℝ / x > 2}

Note que: 0 B; 2 B; 2,001 B; 1035 B

2

Operações com intervalos reais

Operando com intervalos reais

Podemos efetuar, com intervalos, as operações usuais com conjuntos.

A B A interseção B: conjunto dos elementos comuns a A e B;

A B A união B: conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B;

A – B A menos B: conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

Na prática, operações que envolvem intervalos são efetuadas a partir da representação na reta real.

–2 5

3

3 5

Exemplo

Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +[, obter A B, A B e A – B.

Cálculo de A B.

A = ]–2, 5]

B = ]3,+[

A ⋂ B = ]3, 5]

–2 5

3

–2

Exemplo


Cálculo de A B.

A = ]–2, 5]

B = ]3,+[

A B = ]–2, +[

–2 5

3

–2 3

Exemplo


Cálculo de A – B.

A = ]–2, 5]

B = ]3,+[

A ⋂ B = ]–2, 3]

Exemplos Complete o quadro abaixo.

{x ℝ; x ≥ 3}[3,+[

{x ℝ; –7 ≤ x < 4}[–7, 4[

{x ℝ; –2 ≤ x ≤ ½}[–2, ½]

{x ℝ; x > –1}]–1, +[

{x ℝ; –5 < x ≤ 2}]–5, 2]

{x ℝ; x ≤ 5}]–, 5]

Subconjunto de ℝRepresentação na retaintervalo

5

2–5

–1

½ –2

4–7

3

Exemplos Chama-se amplitude de um intervalo real limitado

e fechado a medida de seu comprimento na reta real, ou ainda, a distância entre seus extremos.

a) Qual é a amplitude dos intervalos [2, 5] e [–3, 4]?

b) Sendo a e b reais, com a < b, qual é a amplitude do intervalo [a, b]?

c) Escreva todos os intervalos fechados de amplitude 4, sendo –1 um de seus extremos.

3 e 7

b – a

[–5, –1] e [–1, 3]

Exemplos Escreva dois intervalos A e B, limitados, aos quais

pertença o real e não pertençam os reais 3 e 4. Escreva, também, um intervalo limitado C, de amplitude 1,5 e ao qual pertençam dois números primos.

A = ]3, ] e B = [, 4[

C = [2; 3,5]

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