IX. KOTET

KOLONLENYOMAT

A MAGYAR TUDOMANYOS AKADEMIAIII. (MATEMATIKAI ES FIZIKAI) OSZTALYANAK

KOZLEMENYEIBOL

GRATZER GYORGY

STANDARD IDEALOK

I. 8zAM

STANDARD IDEALOKlrta: GRATZER GYORGY

1. §. Bevezetes

E dolgozat celkitilzese a hal6idealok egy specialis osztalyanak, a stan­dard idealoknak definialasa es reszletes vizsgalata. A standard ideal fogal­manak sZiiksegesseget ket koriilmeny is indokolja.

E fogalom bevezetesehez elsa utkent az a torekves szolgalhat, amelya hal6k idealelmeletet a gyiiriik idealjainak (csoportok normaloszt6inak) sze­repehez hasonl6an kivanja kidolgozni. Itt els6sorban ana gondolunk, hogyminden gyiirii ideal egy es csak egy homomorfizmus' magja, tovabba azidealok kielegitik az ismert izomorfia teteleket, aZassenhaus lemmat esaJordan~Holder-Schreie1'Welt. Konnyu latni azonban, hogy hal6k korebena szokasos idealfogalommal altalaban egyikel6bbi tetel sem ma1'ad ervenyben.

A fenti kerdesek koziil a hal6elmeleti idealfogalomnak a homomorfiz­musmagokkal letesithet6 kapcsolatat SCHMIDT E. TAMAssal egyiitt i1't [3J es[4] dolgozatunkban vizsgaltuk. Mas fontos feladat ezek utan az izomorfiatetelek es a Jordan-HOlder~Schreier-Zassenhaus tetel e1'venyessegenekvizsgalata. E tetelek mind bizonyos faktorstrukturakra vonatkoz6 allitasok,s ezek analogonjait hal6k ko1'eben keresve mindenekel6tt sZiikseges a faktor­hal6 alkalmas definialasa. Az LII faktorhal6n az L hal6 egy olyan homo­mo1'fizmusa altaI letrehozott homomorf kepet kell ertenunk, amely homomor­fizmusnak magja az I ideal. Azonban ha az I ideallal kepezhet6 is az L/Ifaktorhal6, ez altalaban nem lesz egyertelmu. Ket kezenfekv6 megaIlapodaslehetseges: az I magu homomorfizmusok kozul a legkisebb, ill. a legnagyobbkituntetese LII egyertelmu ertelmezeseneJ.1 K. SHODA [8] cikkeben kimutatta,hogy az ut6bbi definici6t veve alapul, ervenyesek maradnak az el6bb felsorolttetelek. Azonban mar J. HASHIMOTO is ramutatott [5] dolgozataban arra, hogy

1 Legyenek Pl es P2 L homomorfizmusai es 6\, ill. (12 a megfelel6 homomorfizmu­sokat indukfil6 kongruenciareliici6. Akkor mondjuk, hogy Pl;2; pj, ha 6I1 ::S: 612 a szokiisosertelemben. Arra nezve, hogy az I maggal rendelkez6 homomorfizmusok k5z5t~ leteziklegkisebb, utalunk G. BlRKHOFF [I}-re, s a legnagyobb letezesenek bizonyit<).sa sem okoznagy probh~miit.

t) lll. Osztaly Kiizlemenyei IX"I

82

ez Ml6k eseteben nem jelent ttlI sokat, hiszen pI. lancoknal csak a ketelemtIhomomorf kepeket veszi 1ekintetbe. Ezert a tovabbiakban

az LjI jaktorhd16n az L hdlo I magti legkisebb homomorjizmllsa szerintijaktorhd16jdt ertjiik.

Disztributlv MI6ban - a faktorhal6 ilyen definici6javal - konnyu­szerrel nyerheto, hogy az idealokra ervenyesek a fentebb emJitett tetelek.1. HASHIMOTO [5J dolgozataban bebizonyitotta, hogy ezen a m6don a M16­elmeletben j61 ismert neutnllis idealokra2 is igaz tetelek nyerhetok. Konnyuazonban peldat konstrwUni arra, hogy nem minden olyan idealosztaly, amely­hen ervenyesek az elobh emlitett tetelek, szuksegkeppen a neutralis idealokosztalya. Egy altalanos idealosztalyt, amelyben igazak a fenti Welek es amelytartalmazza a .neutralis idealok osztalyat, szolgaltatnak a standard idealok.

Kovetkezokben vazoljuk a standard ideal fogalom szilksegessegenekmasik okat. R. P. DILWORTH [2J munkajaban kezdte meg a relativkomplemen­tumos MI6k strukturalis vizsgalatat. Egyik fo eszrevetele az volt, hogy avegeshosszusagu, komplementumos, modularis MI6k elmeletebOl ismeretesG. BIRKHOFFt61 es K. MENOERtO! szarmaz6 alaptetel ervenyes a veges relatlvkomplementumos M:16k koreben.Ezen altalanositasi torekves az6ta sok masszerzonel is megtalalhat6. Kezenfekvo tehat a relatlv komplementumos MI6kkorehe kiterjeszteni azokat a teteleket, amelyek komplementumos, modularisMI6k neutralis idealjaira vonatkoznak (Iasd. pI. BlRKHOFF [1] 125. old. esSHlH~CHIANG WANO [9]). Ez esetben azonhan a tetelek sz6 szerinti atvitelenem vezet helyes eredmenyre, foleg ha olyan °elemes MI6kat tekintilnk,.ahol csak a [0, a] intervallumok komplementumossagat tesszilk fel. TeMt ittis egy olyan uj idealosztaly hevezetesere van sZilkseg, rilelynek segitsegevelatmenthetok az elObh emlftett Welek, s amely idealosztaly modularis MI6kkorehen megegyezik a neutralis idealokkaI. Ezt a celt ismet a standard idea­10k segitsegevel erjilk el.

A dolgozat 2. §-aban nyujtjuk a standard elem es ideal definici6jat estobb ekvivalens feltetellel jellemezzuk ezeket. A 3. §-ban a standard elemnekes idealnak nehAny alapveto, az elobbi jellemzesekbOl leszurheto tulajdonsagatfoglaljuk ossze. A 4. § a standard elem es neutralis elem kapcsolatat vizs­galja, s egy eleg altalanos MI60sztalyban (mely a modularis hAI6kat is maga­ban tartalmazza) kimutatja a ket fogalom ekvivalenciajat. Igazoljuk, hogy{Sl' S2' x} disztributfv reszMl6, ha x tetszoleges es SI' S2 standard elem. Az5. §-ban a standard idealok es homomorfizmusmagok viszonyat nezziik meg.Ugyanitt adjuk BIRKHOFF es WANG fentebb emlitett teteleinek altalanositasait.

2 Az L halo a elemet neutralisnak nevezzilk, ha bitrmely x, y EL-Iel egytitt disztri­butlv reszhal6t general. A halo I ldealja neutralis, ha az L 11a16 idealjainak :f. hal6jabanJ neutralis elem.

STANDARD lDEALOK 83

Tovabba tetszolegeshalo standard ideal szerinti faktorstrukturajat jellemezziik.A 6. §-ban a ket izomorfia tetelt es a Jordan-HOIder-Schreier-Zassenhaustetelt bizonyftjuk standard idealokra. A 7. §-ban ellenpeldakat mutatunk be sadolgozatot neMny problema felsorohisaval fejezziik be.

2. §. Standard elem es ideal bevezetese

. Miel6tt a bevezetesben emmett standard idealt definiaIjuk, bevezetjiik astandard elem fogalmat. Lathatjuk majd, hogy a standard elem es ideal kap­csolata analog a neuh'alis elem es ideal viszonyaval.

1. DEFIN!CIO: Az L hdlO s elemet .~tandard elemnek nevezziik, ka L lJdr­mely x es y elemere

(1) x n (s uy) (x ns) u(x ny).

Mindenekel6tt lassunk neMny peldat standard elemekre. Az x, y, z(y z) elemek altai generalt otelemu, nem-modularis haloban y standard elem,azonban nyHvan nem neutralis, tovabba az (xl ideal homomorfizmusmag s x!lem standard elem. (Ezzel beJattuk, hogy a kovetkezo fogalmak koziil §eme­lyik ketto sem ekvivalens: az x elem neutralis; az x elem standard; az (xlideal homomorfizmusmag.)

Konnyu IMni tovabba, hogy disztributiv halo minden eleme standard,hiszen (1) disztributiv egyenloseg. Ugyancsak rnindig standard elem egytetszoleges halo 1, illetve 0 eleme.

A standard elem nehany jel1emzeset foglalja ossze az

1. TETEL: Az L hdlo 8 elemere a kovetkez6 jeltetelek ekvivalensek:«(:(,) s standard elem;(fJ) L minden olyan II es t elemere, amelyre II ~ sUi, jenndll II =

(ll n8) U (ll nt);(y) kongmeneiareldei6 az a e s reideM, amelynel (@s) akkor tis

csakis akkor teljesiil, ha (x ny) U sJ C""'" X UY valamilyen s, 2; s-re;«(j) L lJdrmely x es y elemere

(i) s u(x ny) (s Ux) n(s Uy),(ii) s ux s Uy es s n x s ny jenndlldsdb61 x kovetkezik.

BIZONY!TAs: A negy feltetel ekvivalenciajat ciklikusan fogJuk kimutatni.(a)-bOl kovetkezik (13). Mivel u s U t, ezert u un (s Ut), de ez ut6bbit

(1) alapjan kifejtve II = (ll n s) U(u n t), ami ll-nak epp a kfvant elMlIitasa.(fJ)-MI kovetkezik (r). Felhasznaljuk a (4] dolgozat 1. lemmajat. Eszerinf

ahhoz, hogy @s kongruenciarelaci6, elegendo belatni az aJabbi a)-d) aHf­tasok teljesiileset.

GRATZER OY.

a) x=ccx(<1.) minden x EL-re. Val6ban minden x EL eseten (x n x) UU(x n s)= x Ux es igy az x n s Sl jelOlessel ad6dik allitasunk.

b) Ha x::: y> z, x (<1s) es Y'=~z(Bs), akkor x=z«("')s). A feltetelek-bOl ugyanis x = y US1 es y = z US2 ahol Sl' S2 S s igy x = Y USI (z US2) UUS1 Z U(Sl US2), ami epp azt jelenti, hogy x:",;: z (B8)' mert Sl US2 $ S.

c) Ha x>y es x y(Bs),akkor biirmely llEL-re XUll ull(Bs) esx n II .. Y n a(Bs). Val6ban a felWelek miatl x = y USI' (Sl s), 5 igy mind­ket oidal a-val egyesitve kapjuk, hogy x Ua =, (y Ua) Usuazaz x Ua u a(Bs).Tovabba x = y USI es Sl::: s miatt x n a ::: y US1 us, tehat a (tJ) feltetelta, t helyett at x n ll, y elemekre alkalmazva s x > y-t is figyelembe veve,ad6dik xna=(xnany)u(xnllns)==(ynll)Us2 , ahol S2 xnllnS2S,ami epp a kiviint reliici6 teljesiileset jelenti.

d) x--= y (B.) ekvivalens azzal, hogy x UY x n Y«(.,)s). Ezen iillitasnyilvanval6, mert ('1, definici6jaban x es y csak mint XU Y es x n y szerepel.

(/,)-bol kovetkezik (0). Liissuk be el6szor az (i) feltetel teljeSiileset.&)8 definici6ja alapjan x s Ux (B8 ) es y s Uy «(1,,). Ezen ket kon­gruencia megfele16 oldalainak metszes~vel ad6dik x n y (s ux) n (s u y)«("'),,);azon~n a monotonitiis miatt x n y -< (s Ux) n (s Uy), teMt (/,) aIapjiin kapjuk,hogy (x n y) US1 (s Ux) n (s Uy), ahol SI:'S s. EbbOl -- mindket oldalt s-selegyesitve, s szem el6tt tartva, hogy Sl -< S es (s u x) n (s u y)?: s - ad6dik(x n y) Us = (s Ux) n (s u y), ami epp az (i) felteteL

Masodszor igazoljuk az (H) feltetelt. Mivel s u y=y«-<).), ezert ha mind­ket oldalon x-szel metsziink es felhaszmiljuk az (H)-ben szereplo xu s = y Usfeltetelt, azt kapjuk, hogy x (xus)nx=(yus)n nx(Bs), azaz (/')miatt (x n y) u Sl x, ahol Sl s. Ezen utols6 egyenlOseghOi S1::: x, tehiitegyszersmind S1 $S nx s n y ::: y (s n x =cc s n y (if) masodik feltetele kovet­kezteben), azaz x ='7~ (x n y) US1 -< (x n y) u y y. Hasonl6kepp kaphatjuk, hogyy x, azaz x -- y, ami a bizonyitand6 iillitas volt.

(d)-bol kovetkezik (a). Legyen a=xn(suy) es b (xns)u(xny).Be fogjuk bizonyitani, hogy sua = sUb, s n a = s nbs ekkor (H)-hOI a = bad6dik, amivel (a). igazolva Iesz. Val6ban, s n a s n (x n (s uy»= x nn (s n (s uy»~~x n s,tovabbii amonotonitasb61 foly6lag x n S$ b;'5[i [x n(s u y)] Uu[xn(suy)]--:a, igy ans xns-hOl bns xns ad6dik, tehat ans

b ns. Miisreszt (i)-hOI sua s U[x n (s Uy)]=---=(s Ux) n(s Uy) ~"'~ SU (x n y)s U(x n s) u (x n y) ,,= sUb, amivel allitiisunkat igazoltuk.

Megjegyzes. A (0) feltetelben (i) ekvivalens a kovetkez6vel(i') az x -~ XU s lekepezes L endomorfizmusa;

az aUitas nyilvanval6. Tovabba a bizonyitasb61 lathat6, .hogy (ii) a kovetkez6gyengebb feltetellel p6tolhat6:

STANDARD lDEALOK 85

(ii') X::~y eseten s U X"..,.~s uy, s nX=s ny fennallasab61 X==y kovetkezik.Fel szeretnenk hlvni a figyelmet meg arm a fontos tenyre, hogy €Is

a legkisebb alyan kangruenciareldcio, melynel (s] aszfdly, azaz @.~ @ [(s]].::Rateriink ezut<:in a standard ideal definialasara.

2. DEFINicIO: Az L halo S idedljdt standard idedlnak nevezziik, ha Lidedljainak f hd16jdban 8 standard elem, azaz btirmely ket I es K idedlra

In (8 UK) (I n8) u(I n K).

Standard idealokra peldat nyujtanak a standard elemek is, mert mindenstandard elem altaI generalt fOideal standard ideal.

Az 1. tetelnek standard idealokra vonatkoz6 analogonjat, nehany felte-tellel bOvitve mondja ki a

2. TtTEL: Az L Mia 8 idedljara a kovetkezO jeltitelek ekvivalensek:(a') 8 standard ideal;(a") btirmely ket I is K jOidetilra In (8 uK) (l n8) U(I nK);(/1') btirmely I idealra 8 u1 elemei s uX alakiiak, ahal s ES, XEI;(P") btirmely 1 JOMedlra 8 u I elemei s U X alakiiak, akal $ E8 es XEI;tr') kangruenciareldcio az a @s reldcioja 'f.-nek, amelynel K akkar

is csakis akkar teljesiil, ka (l n K) u81 = 1UK, valamilyen 8 Medlra;(1") kangruenciareldcio azan @[8] reldcioja L-nek, amelynel X (@[S]}

akkar es csakis akkar teljesiil, ha (x ny) us = xu y, alkalmas s E8-sel;(d') btirmely I es K idedlra

(i*) Su(/nK)==(8uI)n(8uK),(ii*) 8 n I ='= 8 n K es 8 u I 8 u K jemlalldstibOl 1 K adudik.

BIZONViTAs. Belatjuk, hogy (.8') ekvivalens a kovetkez6 feltetellel.(P*) Minden olyan I es K idealra, amelyre Ie, S uK, fenmill 1='0(1nS) u

u(l nK).Eleg belcitnunk, hogy (,d*)-b61 kovetkezik (rn, viszont ha 8 u K vala­

mely a eleme nem volna s u x (s ES, x EK) alakban eloallithat6, akkor az I:..=(a]ideal nyilvan nem tehetne eleget a fenti feltetelnek. MegjegyezzUk meg, 'hogy(.8")-nek is hason16 analogonja ervenyes 1 es K foidealokra.

2. tetel feltetelei az 1. tetelben szereplO feltetelek analogonjai, s ezertaz (cc'), (P'), (y'), (0') feltetelek helyessege kovetkezik az 1. tetel £-re val6 alkal­mazasabOl. Mivel(a") specialis esete (a')-nek, tovabba az (a")--(p"), (P")-­..... (1''') ugyanugy lathat6 be, mint az 1. tetel anal6g felteteleinel, ezert tete-

" e [/J-vel jelOljUk (Iasd [4]), az I idealhoz tartoz6 legkisebb homomorfizmustindukal6 kongruenciarelacibt, eo, I, pedig az a=balta! genenilt minimalis kongruencia­reJaci6t jeloli.

86 GRATZER GY.

liink teljesen bizonyitva lesz, ha belatjuk, hogy (;,H)_hOl kovetkezik W').Valoban, tegyilk fel (y") teljesiileset az 5 idealra es legyen 1 tetsz6leges ideal,tovabba x E5 UI. Az ideal-egyesites. definici6janal fogva alkalmas s E5 esi EI elemekkel x:s; sUI. Tekintsiik az y ="x n 1 elemek. s =-= S n I(E)[5]), igyx = x n (s U I) =c= [(s n i) Ui] n x = y(f)[5J), tehat (yH) miatt x y us', alkalmass' E5-sel, ami bizonyitando volt.

Ezzel a 2. tetel bizonyitas,H befejeztiik.vegiil meg egy megjegyzest tesziink a standard elem es ideal viszonyara

vonatkozoan. Nyilvanvalo, hogyha az L hal6ban van standard elem 5, akkorletezik standard ideal is, nevezetesen (s]. Forditva azonban a standard idealegzisztenciaja nem vonja maga utan a standard elem letezeset. Erre trivialispeldat szolgaltathat egy tetszoleges, 0 es 1 elemmel nem rendelkezo egyszerltMlo l (Iasd a 7. § 1. peldajat), amelyben nem lehet standard elem, mert akkora standard elem altaI generaIt f6ideal az 1. tetel (y) feltetele miatt homomor­fizmusmag volna, s igy a hal6 nem lenne egyszerii. Standard ideal viszontvan benne, mert az egesz halo, mint ideal, standard. Egy kevesbe trivialispeldat nyerilnk, ha tekintjiik ket elobbi tipus(\ halo, L, es L" kardinalis osz­szeget (azaz x~ y meg6rzi jelenteset L I es L2-n bellil, tovabbci x y mindenx EL I es y EL2-re), amely hal6ban L2 nem trivialis standard ideal, viszontstandard elem nyilvan nem letezik.

3. §. A standard elem (ideal) nehany tulajdonsaga

A standard elem (ideal) legfontosabb tulajdonsagait az 1. (iIIetve 2.)tetel siiriti magaba. Ezeknek neMny kovetkezmenyet nezziik most meg.

1. LEMMA: A standard elemek az L hdlo disztributfv reszhdl6jdt alkotjdk,tovdbbd az 5 -->- ('1" megjeleltetes Izom01!izmlls, igy a (-): kongruenciaretaci6k(H) (L)-nek reszhdl6jdt alkotjdk.

BIZONVITAs; Legyen S1 es S'2 statdard elem. Ekkor az (I) keplet ismeteltalkalmazasaval nyerjiik, hogy barmely x, y EL-re x n [(SI U82) Uy] =" x n [S1 UU(82 Uy)J = (x ns,) U [x n (S2 uy)] = (x n S1) u (x n S2) u(x ny) -- [x n (s, US2)] Uu (x n y), ami epp azt jelenti, hogy S1 US:i standard elem. Hogy az S-->- E)s

megfelelteies u -re nezve izomorfizmus, az rogton lathat6, mert f)"t u ('1s" oc-=

= f)StUs" ugyanaz mint (lasd a ,) labjegyzetet) e [(sdJ Uf) [(S2]] = f) [(S1 US2]](mivel e" az (s] idealt osztalykent tartalmazo legkisebb kongruenciarelacio).Ez az egyenl6seg, mint ismeretes (Iasd [4]), altalfmos ervenyii, igy ezen specia­lis esetben is alkalmazhato.

I Egy halot egyszeriinek neveziink, ha csak trivi<;ilis kongruenciarelilcioi vannak.

STANDARD lDEA.LOK

Lassuk be, hogy (i)Sl n eSe =-= ~)SlnS"' Val6ban, ha x.== y (eSl n ( 82), akkor.x==y«('9s,), ezert (xn)l)us~ xUY(S;<Sl): Masreszt X==Y(@S2) is fennaH,s ebbOl s; (x U)I) n s~ - (x n)l) n s; (@8.)' igy alkalmas s s2-vel s;=[(x n y) nn s~] Us.Mivels:::::; s;igaz, ezert S:::Sl n s2,es(x n)l) u s=(x n)l) U[(x n)l) n s;] u s=

(x n)l) Us; =X U)I, vagyis x:::::::.)I«(>i)Sl n (82) akkor es csakakkor kovetkezikbe, ha alkalmas s E (Sl nS2] elemmel (x n )I) Us = x U)I, ami az 1. teteI (y)feltetele szerint ekvivalens azzal, hogy Sl n S2 standard, tovabba, hogy~J'l n @S2 @SlnS2'

Vegiil a standard elemek alkotta reszhal6 disztributivitasa nyilvanval6,mert mint lattuk ez a hal6 izomorf e(L) egy reszMl6javal, aj11ely sZiikseg­kepp disztributiv.

Az 1. lemmat standard idealokra valamivel elesebb formaban tudjukkimondani.

2. LEMMA: A standard idedlok az L hdlo idedljai:t hdlOjdnak U-renezve komplett, U -wigfelen diszfribuf{v·' reszhdl6jdf alkofjdk es az S -.. @[S]megjeleltetf!s U -komplett izomorjizmus az S standard idedlok es a hozzdjukfarfozo (1[S] kongruenciareldci6k kozOtt.

BIZONyjTAs: Az 1. lemma miatt elegendo mar csak a komplettsegre esvegtelen disztributivitasra vonatkoz6 aHitasokat belatnunk.

USa nyilvan standard ideal, mert barmely I idealt is tekintjiik, USa U Ia a

valamely x elemehez kivalaszthat6 az Sa idealok kozill veges sok ugy, hogy

x EiQl Sai UI. Lattuk azonban, hOgy,.Q1Su;standard ideal,igyx=s U U (sE,V1Sa; c::

<:; US,r, u 0) ami a 2. tetel (~/) feltetele miatt eppen azt jelenti, hogy USaa a

standard ideal, vagyis a standard ideaIok Ml6ja u -re nezve komplett.A &)[U Sa] =c U elSa] relaci6 fennall tetszOleges idealokra (lasd [4]), tovabba

a a

e(L)-ben ervenyes az U-vegtelen· disztributivitas, ez pedig u -komplett resz-hal6-tart6 tulajdonsag s ezzel a 2. lemmat bizonyitottuk.

3. LEMMA: Standart elem (idedl) homomorj kepe is standard.

BIZONyjTAs: Az alUtas a standard elem (ideal) definici6jab6l nyilvanval6.Megjegyezzuk, hogy a· 3. lemma megforditasa nem igaz, azaz alkalmas

Ml6nak lehet olyan homomorfkepbeli standard eleme, melynek egyetlen inverzkepe sem standard (Iasd 7. § 2. pelda).

4. LEMMA: Ha az S standard idedlnak az I idedllal val6 mefszete esegyesifese is joidedl, akkor I szinfen joidedl.

Azaz korJatJanuJ fennaJl az S nUSa U(S nSa) egyenloseg.a a

88 GRATZER GY.

BIZONVITAs: Legyen S n (b] es SuI = (a); a 2. tetel (P') felteteleala.pjim ekkor a -- s UX (SE S, xE I). AHitjuk, hogy 1== (x u b]. Va16ban, Iegyenw>xubes wEI. Ekkor (a] 2 Su (w}:::J SU (x u b}:::J Su (x] = (a], azaz Su (w] .=0.-= S U(x u b], tovabba (b) == S nl:::J S n (w}:::J S n(x u b] :::J S n (bJ = (b), azazS n (w] == S n (x u b]. Ez ut6bbi ket egyenloseg viszQnt a 2. tetel (0') (ii")­feltetele alapjan azt jelenti, hogy (w] = (x u b}, igy w xu b, amivel a lemmabizonyitasat befejeztiik.

KOROLLARIUM: Ha az L haM S es T standard idealjainak metszete esegyesitese is foideal, akkor S es T szinten foideal.

A korollarium a 4. lemmanak trivialis kovetkezmenye.

5. LEMMA: Ha s az L halo standard eleme, ekkor az (a) foidealbana n s szinten standard elem.

BlZONYITAs: Az (a] fOideal elemei valamennyien x n a alakba irhat6k,ahol x vegigfutja L elemeit. Eleg tehcit a standard elem definici6ja alapjanbelatni, hogy (x n a) n [($ n a) U(y n a)] = [(x n a) n (s n a)] U[(x n a) n (y n a)].Val6ban, az igazolahd6 egyenloseg baloldalaMI kiindulva, (1) tobbszori alkal­mazasaval nyerjuk, hogy (x n a) n [(s n a) U(y n a)] (x n a) n [(s u y) n a] =-

==(xna)n(suy) (xnans)u(xnany)= [(xna)n(sna)] u[(xna)nn (y n a)], ami az allitas volt.

4. §. Neutralis elemek es disztributiv reszhal6k

A bevezetesben emlitett okok miatt a standard idealokat oly m6donkellett ertelmeznunk, hogy magukba foglaljak a neutralis idealokat is esmodularis hal6ban e ket fogalom egyezzek meg. Kimutatjuk, hogy a standardidealok, sot elemek elegettesznek a kovetkezo kikoteseknek:

6. LEMMA: Minden neutralis elem (ideal) standard.

BlZONVITAs: Az aHitas a definici6b61 nyilvanvaI6.Ismeretes G. BIRKHOFF (lasd [1] 28. old.) azon· h~tele, mely szerint az

L hal6 a eleme akkor es csak akkor neutralis, ha az 1. tetel «(1) (i) es (ii)feltetelein kivi1l meg azon feltetelt is kielegiti, hogy

(iii) az x -+ x n a lekepezes L endomorfizmusa.E tetelbOI nyilvanvaI6, hogy

7. LEMMA: Az a standardelem (ideal) akkor es csak akkor neutralis,.ha (iii) teljesiil.

Tovabba vilagos az is, hogy

8. LEMMA: Ha az a elem standard az L hal6ban es dluilisaban is, akkora neutralis.

STANDARD lDEALOK

Ismeretes tovabba (lasd (1) 19. old.), hogy egy modularis hal6ban aza elem akkor es csak akkor neutnilis, ha az x -+ x n a vagy az x -+ x U amegfeleltetes endomorfizmus. EbbOl nyilvanval6an ad6dik a

9. LEMMA: Modaltiris haloban minden standard elem neatralls.

Mivel modularis hal6 idealjainak Ml6ja szinten modularis, ezert a:9. lemmab61 ad6dik a kovetkezo

KOROLLARIUM: Modaltiris halO minden standard idealja Ileatralls.

A kovetkezo 3. tetel az elozo lemmat nagymertekben altalanositja. Hogya 9. lemmat megis kUlon igazoltuk, azzal csakkitilntetett szerepet szerettilkvolna hangsitlyozni.

3. TETEL: Gyengen modalaris~ halo minden standard eleme Ileatralls.

BIZONVlTAs: Legyen az L hal6nak s standard eleme. A 7. lemma alapjfmeleg belatnunk, hogy azx-+x n s lekepezes endomorfizmus, vagy ami ezzelekvivalens: s n (x u y) = (s n x) u (s n y).

Az egyszeriiseg kedveert vezessiik be az a -- s n (x u y) es b=(s n x) uu (s n y) jeloleseket. Tegyiik fel, hogy valamilyen x, yE L-re az elobbi egyenletnem teljesiil, azaz a> b.

Eloszor belatjuk, hogy a Ux > b u x es au y > buy. Tegyilk fel ugyanis,hogy ezek valamelyike pI. a ux > b u x nem teljesill; ekkor a> b miatta Ux = b u x. Tekintsuk az s n x=:x(@snx,x) kongruenciat es egyesitsilk ezenkongruencia mindket oldalat b-vel, majd messilk el a-val. Kapjuk, hogy(Iasd a 6 labjegyzetet) s n x, x -+ b, ii, mert figyelembe veve a es b jelentesetad6dik an (b U(s n x» an b b es an (b u x)=a n (a u,x)=""=a. A gyengemodularitas kovetkezteben ekkor b, a -+ U"Ii, ahol s n x<a < v <x. Mivel azon­ban a, b < s tehat az ut6bbi hozzarendeles miatt teljesill a v (@8)' azaz az1. tetel (r) feltetele alapjan v = au s, (SI < s). Ekkor azonban v au s, <

a U(s n x) a, mert s, x es s, < s fennaHasab61 s, s n x ad6dik. Ez ut6bbiazonban eHentmondasban van azzal a feltevesilnkkel, hogy a < I' es igyigazoltuk, hogy a Ux> b u x. Hasonl6an lathat6 be au y > buy.

Ezek utan igazoljuk, hogy s n (b u x), b u x -+ an (b Uy), a; va16ban, mes­silk el az s n (b u x) ill. b u x elemeket eloszor x-szel, s kapjuk az s n x es

(a> b,.

{ .. ./[/(a U b) UXl/nX2) ux3/n • .•} Ux" cUd,{ •. ./[/(a nb) U x1/nxJ U X3/n ••• } U xn end.

Az L hal6t gyengt'm modularisnak nevezziik (lasd (4), ha valananyszor. a, b --l> c,c>d), akkor C,d--al,b1(a:::::aj >bt:::::b).

., Azt mondjuk, (Iasd [3]), hogy az L halo a, b elemparjahoz hozza van rendelve ac, d elempar, jelben a, b -+c, d Ita alkalmas Xl' X2" •. , Xn elemekkel teljesUlnek a kovetkezoegyenletek:

90 GRATZERGY.

x elemeket. Ez ut6bbi ket elemet egyesitve a buy elemmel ad6dik (b U y) U

u (sn x) == buy (merts n x ::: (s n x) u(s ny) b::s b u:y) es (b u y) u x =,= b U(x u y). Vegiil a-val torteno metszes utan eljutunk az an (b u y), ill.[b U (x u y)J n a = a elemekhez (az ut6bbi abbal kovetkezik, hogy b U (x u y)

s n (x u y) ~.C~ a). Ezzel a kivant hozzarendelest bizonyitottuk. A gyengemodularitast alkalmazand6 meg be kell lcitnunk, a hozzarendelesben szereploelemparok kiUonbOzoseget. Felteve, hogy an (b U y) "'~, a, bUy a ad6dna sigy a U y = buy allna fenn, ellentetben a mar bizonyitott a U y > b u y-nal;masreszt ebbOl mar az is lathat6, hogy s n (b u x) -, b u x sem lehet" mert ezellentmondana a mar bizonyitott s n (b u x), b u x -- an (b Uy), a hozzarende­lesnek. A gyenge modularitas alapjan teMt letezik olyan z, w elempar, melykieh~giti az s n (b Ux)::: z < w<b u x egyenlotlensegeket es a n (b u y), a-- z, w~Ugyamlgy, mint az elOzokben, ezen relaci6b61 is z w(@s) ad6dik, tehatw= z u s' (s' < s). Azonban w~ b u x miatt s n (b Ux), mert s:::: a> b tehatw= z U s'~ z U (s n (b U x» z, ami ellentmond w> z-nek. Ellentmondasravezetett tehat az a::> b feltetel s igy a 3. tetel bizol1yitasat befejeztiik.

1. KOROLLARIUM: Ha az L halo idealjainak i haMja gyengen moduldris,akkor L minden standard idealja neutralis.

2. KOROLLARIUM: Relatfv komplementumos hdlO minden standard elemeneutralis.

Az elso korollariumot bizonyitand6 alkalmaznunk kell a 3. tetelt az LMl6 idealjainak hal6jitra, i-reo A masodik korollarium egyszeruen abb6l atenybOl ad6dik, !logy minden relativ komplementumos hal6 gyengen modu­laris (litsd [4]).

A neutralis elemet azzal a tulajdonsaggal definialtuk, hogy barmely ket,elemmel egyiitt disztributiv reszhal6t general. Analog <illitast tartalmaz astandard elemekre vonatkoz6lag a

4. TETn: Legyen az L hdlonak S1 es So! standard eleme. Ekkor az{Sl' s~, x} reszhal6 disztributfv minden x EL-re.

BIZONVITAs: O. ORE [6J cikkeben kimutatta, hogy egy hal6 y, z es welemei akkor es csak akkor generalnak disztributiv reszhal6t, ha y, z es wminden a, b, C permutaci6jara fennallanak a kovetkezo egyenlosegek:

(2) an (b uc) = (a n b) u (a nc),

(3) a U (b nc) (a U b) n(a U c),

(4) (a nb) u (a nc) U (b nc) =, (a U b) n (a uc) n (b U c).

Ha specialisan az y Sl' Z S2, W -----0 x elemeket vizsgaljuk, akkor a (2)egyenlet, mivel b vagy c standard, a standard ideal definici6ja miatt ,fennall.

STANDARD IDEALOK 91

(3)-at igazolando, eleg az a S1 helyettesitest elvegezni az 1. teteI (0) fel­tetele miatt. A b =~ Sl' C •..~.~ S~ eset is konnyen kiszamithat6. Vegiil belatjuk a(4) egyenlet teljesiileset. Felhasznalva; hogy az 1. lemma alapjan S1 n s~ es31uS2 is standard elemek. tovabba az 1. teteI (a), (0) felteteleinek Ismeteltalkalmazasaval ad6dik, hOgY(S1 ns~) U (SI nx) U (s~ nx) = (Sl nS2) U [(SI U S2) nx]=

[(S1 nS2) U (Sl U S2)] n [(Sl nS2) U x] (Sl U S2) n (s, Ux) n(S2 Ux), ami a bizonyi-tand6 volt.

5. §. Standard idealok es homomorfizmusmagok

Ha az s elemstandard, akkor az 1. tetel (y) felteteleb61 azonnal adO­dik, hogy LI(s] ~ Is). Kerdes, bogy mi· mondbat6 abban az esetben, ha avizsgalt standard ideal nem f6idea!.

5. TETEL: Legyen az L hdlonak S standard idedlja. Ekkor az LiS hdloidedljainak hdl6ja izomOl! '£-nek IS, L] intervallumdval, s (gy az [S, L] inter­.vallum izomorjidt61 eltekintve meghatdrozza LlS-et.

BIZONyITAs: Minden KE IS, L], L-beli idealnak feleltessiik meg LIS azonidealjat, melybe K az L --+ LiS homomorfizmusnal atmegy. Ez a lekepezesnyilvan homomorf, igy eleg kimutatni, hogy ha I::;:;}::;:; S, akkor / es J azL --+ LIS lekepezesnel nem esik egybe. Val6ban, ha mipden x EI-hez lenneolyan y E), hogy x-:c:".=y(@[S]) alIna fenn, akkor (xny)us xuy teljestilnevalamilyen s ES-re. Ekkor azonban x ny es s EJ-b61 xu y EJ ad6dik, vagyisI alIna fenn, ellentetben feltevesiinkke!.

A tetel utolso allitasa azon ismert tenybOl ad6dik, hogy egy hal6t ideal­jainak hal6ja izomorfiat61 eltekintve egyertelmiien meghatarozza, mivel egyMl6 izomorf idealhcil6janak alulrol elerhetetlen elemei alkotta hal6javal(A. KOMATV eredmenye, lasd reszletesebben [1], 64. old.).

Kovetkez6kben egyszerii feltetelt adunk meg arra, hogy egy MI6 min­den homomorfizmusmagja standard ideal legyen.

6. TETEL: Ha az L O-elemes hdl6ban minden [0, a] intervallam komple;..mentamos, akkor L minden homomorjizmllsmagja standard.

BIZONYITAS: Legyen az L MI6nak / egy homomorfizmusmagja. Tekintsiika @ [I] kongruenciarelaci6t es legyen a b (@ [I]) (a > b, a, bE L). Feltevesiinkszednt a [0, a] intervallum komplementumos, teMt Ietezik egy olyan b' elem,melyre bnb' = 0 es bub' CO", a. Feltettiik, hogy a == b (@ [I]), teMt b' = an b' ==

bnb' == 0 (@ [I]) s mivel 1 homomorfizmusmag, kovetkezik b'EI. Ez azonbanb' Ub =-= a miatt az 1. tetel (JI') feltetele szerint eppen azt jelenti, hqgy I stan­dard ideal.

92 ORATZER OY.

Az elozo bizonyitits kis m6dositassal megismetelheto, ha L-rol azttesszOk fel, hogy relativ komplemenfumos, azaz ervenyes a kBvefkezo

1. KOROLLARIUM: Az L relatfv komplementumos hdlO minden homomor­fizmusmagja standard.

A 6. tetelt a 9. lemmaval osszevetve ad6dik G. BIRKHOFF ismert tetele:2. KOROLLARIUM: Komplementumos moduldris hdl6ban egy-egyertelmii

megfeleltetes van a homomorfizmusmagok es neutrdUs idedlok kOzOtt.

Ily mMon a 6. tetel BIRKHOFF ezen tetele altalanosWisanak tekintbeto.BIRKHOFF tetele altalanosithat6 ugyis, hogy az 6. tetelt nem a 9. lemmaval,banem az altalanosabb 3. tetellelvetjtik egybe.

Ezut{m rafertink egy SHIH-CHIANG WANG-t6l [9J szarmaz6 tetel alta­hinositasara.

7. TETEL: Az L relatlv komplementumos 0 es 1 elemes Ml6 kongruencia­reldciO(lak hdl6ja akkor tis csak akkor Boole-algebra, ha minden standardidea lja foidedl.

BIZONVITAs: E Ieg end 0 s e g. lsmeretes, bogy relatlv komplementumosnal6ban minde\1 I ideal legfeljebb egy kongruenciarehici6nal - tt e[IJ-nel ­alkot osztalyt. A 6. tetel es felteteltink alapjan minden I homomorfizmusmagstandard foideal, 1=;(sJ s igy @[/] (:)•. s a 3. feteI 2. korollariuma alapjanneutr<ilis s igy komplementuma Sf is az, tehat es n e,., e sfl•• eo es f)s u(>j)svs' e 1 vagyis @s' komplementuma es-nek, azaz e(L) val6ban komple­mentumos.

S z i1 ks eg e sse g. A relativ komplementumossag kovetkezteben (6. teteII. korollarium) L minden kongruenciarelaci6ja (1[SJ alaku, ahol S standardideal. Legyen e[s] komplementuma efT], ekkor elS] u efT] (1[SU T]== el(l]J es elS]n 0(T] =e[Sn T] == 0[(0]]. Mivel azonban S, T s igy Sn TesSu T szinten standard idealok, tehat sztiksegkeppen Sn (0] es Su

(1], ami a 4. lemma korollariumanak alapjan maga utan vonja, hogy S es Tfoidealok. Ezzel a teteI bizonyitasat befejeztok.

6. §. Izomorfia tetelek, Zassenhaus lemma

Ebben a paragrafusban a ket izomorfiatetelt s ennek neMny k()vetkez­menyet nezZtik meg.

8. TETEL: (Standard idealok elsa iZbmorfia tete/e). Legyen adott az LMf6 S standard idedlja, s egy tetszaleges I idetifja. Ekkor ! nS standard idedlI-hen, mint hti16ban es

IUS/S~ l/lnS.

STANDARD lDEAwK 93

BIZONY1TAs: Az 5. lemmat alkalmazva az L hAI6 idealjainak hAI6jaraad6dik elso allitasunk. A maradek allihis pedig specialis esete az elso alta­hinos izomorfia tetelnek (hisd REDEl [7]).

9. TETEL: (Standard idealok masodik izomorjia tetele). Legyen adva azL hal6nak S idealja es T standard idealja, s teljesiiljon S 2. T. S akkor escsak akkor standard, ha SIT standard idealja LIT-nek. Ekkor

LiS~LITls/T.

BIZONY1TAs: Ha S standard, akkor a 3. lemma specialis esetekent ad6dik,hogy SIT standard LIT-ben. Megforditva, legyen SIT standard LIT-ben.Kimutatjuk, hogy S-re teljesiil a 2. tetel (1''') feltetele. Mint ahogy az 1. tetel»(,B)-bOl k5vetkezik (1')" reszebOl lathat6, ehhez eleg belatni, hogy x :::-=y(@[S])es x:::: y fennallasa eseten minden a-ra xnayn u (@[SJ). je151je a'az a elem homomorf kepet az L "" LiT homomorfizmusnal. Mivel x' =c

y'(@[SIT]) es SIT standard. LIT-ben, ezert alkalmas s' ESIT-vel fenmillx'na' (y'nu')us'. Leven Tstandard L-ben, ebbOl xna [(ynu)us]ut(tE T)ad6dik, ami az Sl = S Ut jel51 essel a bizonyitand6 x n u (y n u) USl1 Sl ESallitasba megy at. Megjegyezzilk, hogy a bizonyitas soran erosen tamaszkod­tunk arra az allitasra, hogy @[SIT] kongruenciaosztalyai epp @[S] kong­ruenciaosztalyainak homomorf kepei.

Tudjuk, hogy a kef izomorfia tetelnek k5zvetlen folyomanya a lassenhauslemma. A 3. § lemmaibOl ugyanugy bizonyithat6, mint csoportok eseten [7]-bentortenik.

ZASSENHAUS LEMMA: Legyen az L hdl6nak I es K idealja, tovabba Sstandard idealja I-nek es T standard idealja K-nak. Ekkor Su(InT) standardidealja SU(/nK)-nak es rU(KnS) standard ideal Tu(/nK)-ban, tovabbdjenndll az

SU(/nK)!sU(In T)~ TU(/nK)! TU(KnS)izomorjizmus.

A jordan-H5Ider-Schreier tetel megfogalmazasakovetkez6 fogalmat:

3. DEFINlcIO: Az L halo idedljainak valamely

vegett bevezetjiik a

1;1 /1 ;:>. ... 2 In

sorozataf az [In, fo] interval/um n hosszTisdgTi standard-sorozatdnak nevezziik,ha Ij standard ideal Ii-i-ben (j =~ 1,2, ... , n). ValOdinak nevezziik a standard­sorozatot, ha »::')" helyett mindeniitt ,,::')" szerepel. V€giil kompozicio-sorozat­nak nevezziik minden olyan l" es 10 kozti valodi standard-sorozatot, melyneknines tOle kiilonbiizo standard-sorozat jinomftdsa az [I", I.)] intervallumban.

94 GRATZER GY.

JORDAN........HOLDER-SCHREIER TETEL: Az L Juiio bdrmely kef, {!", lil] inter­vallumbeli standard-sorozata jinomithoM llgy, hogy a ket jinomitott sorozathossza megegyezik, s tovtibbti a ket sorozat jaktorhti16i sorrendtlJl eltekintveptironkent lzomorjok. Tovtibbd, ha a tekintett intervallumban letezik kompo­zlci6-sorozat, akkor minden standard-sorozat kompozici6-sorozattd jinomfthat6.

Ezen alHtasok ugyanugy kovetkeznek a Zassenhaus lemmabOl, mintahogy az esoportoknal, gyiinlknel szokasos (Iasd pI. [7]).

Erdekes, hogy a standard idealok Zassenhaus lemmaja az izomorfiatetelek nelkill is konnyen bizonyithato. A reszletekre itt nem terUnk ki, esa­pan megjegyezziik, hogy az 5. tetel kovetkezmenyekent eh~g standard elemekreigazolfii az allHast, amely specialis esetben ez mar nem okoz killonlegesnehezsegeket.

7. §. EUenp(ddak es problemak

1. A dolgozat elsa reszeben mutattunk peldat olyan Ml6ra, amelynekletezik standardidealja, de standard eleme nines. E peJda teljesse tetelehezad6sok vagyunk egy egyszeru es nem korlatos Mlo megkonstrualasaval.

Tekintsuk az egesz szamok laneanak direktszorzatat a ketelemii Mloval;ezen halo elemei (n,O), ill. (n, 1) alakuak, ahol n tetszoleges egesz szam es0, m. 1 a ketelemi\ halo zero, illetve egysegeleme. Definialjuk a nyert M16­hoz meg az x.. (n ,,-,=0, 1, ...) elemeket, s kossiik ki a kovetkezo relad6kteljesilleset:

x.. U(ll,l) xnu(n 1,0) (n 1,1) es xnn(n, 1) x"n(n 1,0)=(n,0).

A kapott reszben rendezett halmazr61 (1. abra) konnyu diszkusszioval kimu­tatni, hogy eleget tesz a fenti kovetelmenyeknek.

2. Pelda olyan elemre, melynek homomorf kepe standard es ezen homo­morfkepbeli elem egyetIen inverz kepe sem standard az eredeti Mlaban.Tekintstik az x, y, z (y > z) elemek altai generalt otelemii nem modularisMlot. Ebben x nem standard s megis az z relado altai indukalt homo­morf kepben x homornorfkepe standard elem, s mivel x homomorfkepenekegyetlen inverz kepe x,' ezert x kivant tUlajdonsagu elem.

3. Gyengen modularis haloban nem minden homomorfizmusmag stan­dard ideal. Erre peldat szolgaltat a 2. abran lathat6 halo es annak (a) ide,Uja,amely homomorfizmusmag, de nem standard, mivel a=O-bOl kovetkeziky=" yn(auz) n(Ou ynz, s megis y (ynz)ual nem allhat fennsemmilyen al ~a-ra.

4. Ha az L Mlonak egy S idealjara ervenyes, hogy Mrmely / ideaUalSu /ISn /, akkor S-rol roviden azt mondjak, bOgy eleget tesz az elso

"/

"1. libra

STANDARDIDEALOK

""/

/(3,0)

a

b

o3. libra

a

2. libra

z

,­/

"4. libra

s

GRATZER (lV.

izomorfia tetelnek. Lattuk, hogy a standard idealok eleget tesznek az els6izomorfia tetelnek. Forditva azonban - mikent azt a 3. abra (aJ f6idealjaillusztralja - nem minden, az elso izomorfia tetelnek eleget tevo idealstandard. Az erdekesseg kedveert megjegyezziik, hogy ezen peldaban az elsoizomorfia tetelnek eleget tev6 ideaJok «OJ, (eJ, (aJ, (bJ es (lJ) nem alkotjak azidealok Ml6janak reszhal6jat. Sikeriilt azonban olyan peldat is adni, ahol egy,az elso izomorfia tetelnek eleget tevo ideal nem standard s az els6 izomorfiatetelnek eleget tevo idealok megis az idealok hcil6janak reszhcil6jat alkotjak.

5. A masodik izomorfia tetel izomorfia-keplete gyengebb alakba meg­fogalmazva mar nem jeltemzi a standard idealokat, amennyiben ervenyes akovetkezo:

Letezik olyan L M16, s ennek egy S idealja, ugy, hogy S hom~mor-

fizmusmag, de nem standard ideal, tovabba minden S homomorfizmusmagra

S/T standard ideal LiT-ban esL/S~ LITISIT.Ezen allitasunkat a 4. abran feltiintetett hal6 igazolja.Vegul neMny megoldatlan problemat szeretnenk felsorolni.Lehet arra peldat konstrualni, hogy gyengen modularis MI6 idealMl6ja

nem szUksegkeppen gyengen modularis. Igy a 3. tetel· analogonja standardidealokra nem mondhat6 ki automatikusan a 3. tetel £-re val6 alkalmazasa­val. Ellenben, felmeriil a kerdes, hogy vajon ennek ellenere

1. Igaz-e hogy gyengen modularis Ml6kban minden standard ideal neu­tralis? Mi a helyzet relativ komplementumos hal6kban?

2. Be lehet bizonyitani, hogy csokkeno lancfeltetelu modularis MI6kbanminden elso izomorfia tetelnek eleget tevo ideal standard. Mi allithat6 gyen­gen modularis hcil6kban?

3. ]ellemezziik az elso izomorfia tetelnek eleget tev6 idealokat lancfeltetelnelkiili Ml6kban!

4. A 2. tetel (0') feltetelenek megfelel6en jellemzi vajon a standard ide­alokat a kovetkezo feltetel:

(0") barmely 1 es K fOidealra(i*) SU(lnK) (Sul)n(SuK),(ii*) Sn1= SnK es SUI·= SUK fenmilhisab61 1=" K ad6dik.

(Az allitas helyesseget sugallja az a teny, hogy a (0') es (0") feltetelkozott ugyanaz a kapcsolat, mint a 2. tetel (a') es (a"); (fi') es «(1"), ill. (y')es (y") feltetelei kozott.)

STANDARD IDEALOK

IRODALOM

97

(1] G. BIRKHOFF: Lattice Theory, New York, 1948.(2] R. P. DILWORTH: The srueture of relatively complemented lattices, Ann. oj Math., (2)

51 (1950) 348-359. .(3] GRATZER Gy. es SCHMIDT E. T.: Hal6k idealjai es kongruenciarelaci6i I., Magyar Tud.

Akad. III. Osztdlydnak Kozlemenyei, 7 (1957) 93-109.(4] GRATZER Gy. es SCHMIDT E. T.: Hal6k ideaIjai es kongruenciarelaci6i II., Magyar Tud.

Akad. III. Osztdlydnak Kijzlemenyei, 7 (1957) 417-434.(5] J. HASHIMOTO: Ideal Theory for Lattices, Math. japonicae, 2 (1952) 149-186.(6] O. ORE: Remarks on structures and group relations, Naturf. Gesellschajt Zurich, 85

(1940) 1-4.(7] REDEl L.: Algebra, Akademiai Kiad6, Budapest, 1954.[8] K. SHODA: Uber die allgemeinen algebraischen Systeme, Proc. Imp. Acad. Tokyo,

(1941-1944) 17-20.(9] S. WANG: On permutable congruence relations, Acta Math. Sinica, 3 (1953) 133-141.

A Magyar Tudomdnyos AkademiaM atematikai KutatO Intezete

(Beerkezett: 1958. III. 4.)

7, 11/. Osz!aly Kozlemenyei IX/1