a. manzino progetto - topografia.it · lezioni di topografia parte iii - strumenti e metodi di...
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progettodidattica in rete
prog
etto
dida
ttica
in re
teDipartimento di Georisorse e TerritorioPolitecnico di Torino, dicembre 2000
Lezioni di TopografiaParte III - Strumenti e metodi di misura
A. Manzino
otto editore
DISPENSE DI TOPOGRAFIA
P
ARTE
III – STRUMENTI E
METODI DI MISURA
A
.
MANZINO
Otto Editore P.zza Vittorio Veneto 14 – 10123 Torinowww.otto.to.it
i
INDICE
PARTE TERZA – STRUMENTI E METODI DI MISURA
9. STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE...1
9.1 P
REMESSE
SU
ANGOLI
AZIMUTALI
,
DISTANZE
ZENITALI
E
DISLIVELLI
.......1
9.2 S
CHEMA
TEORICO
DI
FUNZIONAMENTO
DEL
TEODOLITE
..................2
9.3 M
ESSA
IN
STAZIONE
DI
UN
TEODOLITE
................................................3Resa verticale dell'asse primario del teodolite ..........................................3Messa in stazione: il treppiede .................................................................5Messa in stazione: il piombino a gravità, il piombino ottico ed il centra-mento forzato...........................................................................................5
9.4
MEZZI
E
GLI
ORGANI
DI
COLLIMAZIONE
...............................................6Il cannocchiale astronomico ....................................................................6Il cannocchiale anallattico........................................................................7Caratteristiche di un cannocchiale...........................................................7Le mire .....................................................................................................8
9.5 M
EZZI
TRADIZIONALI
PER
LA
LETTURA
GONIOMETRICA
AI
CERCHI
.......9
9.6 M
EZZI
PER
APPREZZARE
PICCOLI
INTERVALLI
DI
GRADUAZIONE
......... 10
9.7 C
ONDIZIONI
E
MEZZI
DI
RETTIFICA
DI
UN
TEODOLITE
................... 14Condizioni intrinseche di rettifica ........................................................ 14Gli errori che influenzano le letture azimutali...................................... 15Errore di inclinazione, collimazione, verticalità ed eccentricità............ 15Errori di graduazione dei cerchi............................................................ 18La misura degli angoli zenitali .............................................................. 19
ii
Gli errori che influenzano le letture zenitali ......................................... 20I compensatori: il compensatore automatico del cerchio verticale, i com-pensatori dei cerchi azimutali ............................................................... 21
9.8
TEODOLITI
ELETTRONICI
,
LE
STAZIONI
TOTALI
E
LE
STAZIONI
INTEGRATE
........................................................................................... 23Princìpî di misura dei teodoliti elettronici............................................ 23La lettura assoluta.................................................................................. 24I principi di funzionamento del metodo di lettura incrementale ........ 26I metodi adottati dalle principali case costruttrici ................................ 27
10. LIVELLAZIONI............................................................................32
10.1 P
REMESSA
.............................................................................................. 32
10.2 I
VARI
TIPI
DI
LIVELLAZIONE
................................................................ 32Livellazioni indipendenti dalla distanza................................................ 33Livellazioni dipendenti dalla distanza................................................... 33
10.3 L
A
LIVELLAZIONE
GEOMETRICA
.......................................................... 33La livellazione geometrica dal mezzo.................................................... 35Errori di curvatura e di rifrazione ......................................................... 36La livellazione geometrica da un estremo............................................. 38La livellazione geometrica reciproca ..................................................... 38Le livellazioni geometriche di precisione .............................................. 39
10.4 L
E
STADIE
............................................................................................. 41
10.5 A
UTOLIVELLI
....................................................................................... 44
10.6 L
IVELLI
ELETTRONICI
.......................................................................... 45
10.7 I
L
CODICE
BINARIO
.............................................................................. 49
10.8 C
ALCOLO
DELL
'
ERRORE
DI
SRETTIFICA
E
RETTIFICA
DI
UN
LIVELLO
.... 50
10.9 L
A
LIVELLAZIONE
TRIGONOMETRICA
................................................. 51Livellazione trigonometrica da un solo estremo.................................. 53Livellazione reciproca simultanea in presenza della rifrazione.............. 54Come si ricava l'indice di rifrazione K da misure reciproche.............. 55Precisione della livellazione trigonometrica.......................................... 56
10.10 L
A
LIVELLAZIONE
ECCLIMETRICA
UTILIZZANDO
TEODOLITE
E
DISTANZIOMETRO
................................................................................ 57Precisione della livellazione ecclimetrica............................................... 58
10.11 I
NSERIMENTO
DI
UNA
DISTANZA
MISURATA
IN
CARTOGRAFIA
........ 59
10.12 I
NSERIMENTO
DI
UNA
DISTANZA
MISURATA
NOTE
LE
QUOTE
DEI
DUE
ESTREMI
................................................................................................ 62
iii
11. LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA...........................63
11.1 I
DISTANZIOMETRI
(EDM/EODM)................................................... 63La misura delle distanze con i distanziometri ad onde........................ 63I distanziometri elettro ottici EODM.................................................. 64Il metodo della misura della fase........................................................... 64Precisione degli EDM........................................................................... 66Misura delle ambiguità n con due frequenze vicine negli EODM..... 67Misura dell’ambiguità n col metodo delle decadi ................................ 68Misura dell’ambiguità con due frequenze prossime e la terza maggiore.... 69L’onda portante e l’onda modulante.................................................... 69Operazioni sulle onde ricevute e trasmesse........................................... 70Precisione degli EODM....................................................................... 71Il Mekometro Kern ME5000 .............................................................. 72Il metodo della misura ad impulsi ........................................................ 72
11.2 I
PRISMI
................................................................................................. 75L’influenza della rifrazione atmosferica negli EDM............................. 76
12. METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA......78
12.1 L
A
RETE
DI
INQUADRAMENTO
NAZIONALE
....................................... 79
12.2 R
ILIEVO
DI
INQUADRAMENTO
,
DI
INFITTIMENTO
,
DI
DETTAGLIO
...... 83
12.3 S
TRUMENTI
E
SCHEMI
DI
RILIEVO
...................................................... 85La strumentazione GPS........................................................................ 85Schemi di reti GPS .............................................................................. 87Teodoliti EODM, Stazioni totali......................................................... 90Misure con nastri, misure di allineamento, misure con squadri.......... 93Gli allineamenti .................................................................................... 94Misure con squadri ............................................................................... 97Gli schemi di inquadramento ed infittimento altimetrico................... 98
12.4 I
PROGRAMMI
DI
PROGETTO
E
COMPENSAZIONE
DI
RETI
GEODETICHE
....................................................................................... 99La separazione della planimetria dall’altimetria.................................. 100Reti planimetriche: carte di Gauss o piano topografico..................... 101Reti: equazioni generatrici e compensazione minimi quadrati .......... 102Compensazione e progetto: valori in ingresso ed uscita..................... 103Reti: il sistema di riferimento (datum) ............................................... 104Equazioni generatrici di una rete planimetrica................................... 105Distanza
dij
........................................................................................ 106Azimut
ϑ
ij
......................................................................................... 107Direzioni azimutali t
ij
........................................................................ 108Angoli azimutali
α
ijk
......................................................................... 109Allineamenti e distanze lungo un allineamento ................................. 110Esempio di calcolo e compensazione di una rete planimetrica.......... 112Tabulato di uscita di CALGE ............................................................ 118
1
PARTE III – STRUMENTI E
METODI DI MISURA
9. STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE:
IL TEODOLITE
9.1 P
REMESSE
SU
ANGOLI
AZIMUTALI
,
DISTANZE
ZENITALI
E
DISLIVELLI
Si definisce angolo azimutale
AÔB
la sezione normale dell'angolo diedro formatodai due piani del fascio che ha per generatrice la verticale
n
per
O
e passanti per
A
e
B
(vedi fig.
9.1
).
Fig. 9.1 –
Definizione di angoli azimutali distanze zenitali e dislivelli.
0
B
A
nz(A)
2
Si definisce distanza zenitale del punto
A
, l'angolo
Z
(
A
) appartenente al piano ver-ticale passante per
O
ed
A
definito dalla verticale
n
e dal vettore
OA
.
Dicesi distanza reale
OA
la lunghezza del segmento di retta che congiunge duepunti
O
ed
A
, mentre dicesi distanza topografica o distanza, la lunghezza dell'arcodi geodetica sulla superficie di riferimento che unisce i due punti.
Dicesi infine dislivello
∆
OA
la differenza di quota tra il punto
A
ed il punto
O
(disli-velli e quote ove non specificato sono da intendersi ortometrici).
9.2 S
CHEMA
TEORICO
DI
FUNZIONAMENTO
DEL
TEODOLITE
Per la misura di angoli azimutali e delle distanze zenitali si utilizzano goniometriparticolari denominati teodoliti, lo schema del teodolite è visibile in figura
9.2
.
Il sistema di funzionamento di questi strumenti è di tipo meccanico, il sistema dilettura dei cerchi può essere ottico e/o elettronico. La prima operazione che è possi-bile compiere è rendere verticale (diretto secondo n) l'asse di rotazione
a
1
, od asseprimario, attorno a cui ruota un supporto ad «U» detto alidada. Fra i bracci dell'ali-dada è incernierato il cannocchiale ruotante attorno all'asse secondario
a
2
. Si defi-nisce infine asse di collimazione
a
3
l'asse congiungente il centro del reticolo, (che èl'organo che permette il puntamento di un particolare) col punto nodale internodel sistema obbiettivo.
Fig. 9.2 –
Schema di un teodolite tradizionale.
STRUMENTI
PER
LA
MISURA
ANGOLARE
:
IL
TEODOLITE
3
A strumento rettificato questi assi devono essere a due a due perpendicolari fra loro;l'intersezione ideale di questi assi definisce il cosiddetto centro strumentale.
Come detto, l'ipotesi di base è poter rendere verticale l'asse primario, ciò si realizzaattraverso due strumenti: la livella sferica e la livella torica raggiungendo il risultatocon media approssimazione con la prima ed affinando di molto il risultato con laseconda. La livella torica è solidale all'alidada.
9.3 M
ESSA
IN
STAZIONE
DI
UN
TEODOLITE
La messa in stazione di un teodolite si attua con queste due operazioni:
– resa verticale dell'asse primario
– far si che l'asse primario passi per il punto materializzato a terra (il punto
O
di fig.
9.1
).
Resa verticale dell'asse primario del teodolite
L'alidada ruota sulla base del teodolite, entro la quale è contenuto il cerchio gra-duato per le osservazioni azimutali. Alcune volte la base è costituita da un corpounico che viene fissato al treppiede attraverso una robusta vite, in altri casi,mediante un aggancio a baionetta con tre perni è fissata alla basetta (fig.
9.2
) dettaanche tricuspide di base.
La basetta del teodolite è dotata di tre viti dette viti di base, poste sui vertici di untriangolo equilatero, al centro di questo triangolo vi è un dispositivo ottico (piom-bino ottico) che permette la collimazione di un riferimento nella direzione nadiraledell'asse primario. Attraverso le tre viti o razze di base è possibile rendere verticalel'asse
a
1
.
Per raggiungere lo scopo prefisso, si parte col rendere orizzontale il piano normalead
a
1
, ciò si realizza rendendo orizzontali due rette perpendicolari, appartenenti aquesto piano.
Per rendere orizzontale un asse si sfrutta uno strumento semplice detto livella torica.
La livella torica è una fiala di vetro con la superficie interna toroidale entro la qualeè contenuto per gran parte liquido a bassa viscosità (etere od alcool ad esempio) ebasso punto di congelamento. Il pelo libero tra il liquido ed i suoi vapori (bolla) sidispone normalmente alla linea di forza di gravità passante per la livella, la tangenteal centro della bolla si dispone dunque sempre orizzontale.
Fig. 9.3 –
La livella torica.
A B
Vl i l a
-3 -2 -1 0 1 2 3
STRUMENTI
PER
LA
MISURA
ANGOLARE
:
IL
TEODOLITE
4
Sulla fiala è tracciata una graduazione divisa in genere ogni due mm. La tangentealla superficie torica nel punto di mezzo della graduazione è detta
tangente centrale
.
Condizione di rettifica della livella è che quando la retta
AB
(in fig.
9.3
idealizzauna direzione del piano di appoggio) è orizzontale, la lettura alla tangente centralesia uguale a zero. Tale lettura è ottenuta facendo la media delle letture ai due peliliberi del liquido .
È detta sensibilità della livella, l'angolo di cui la si deve ruotare sulla sua linead'appoggio affinché la bolla si sposti di 1 mm. Tale sensibilità, nei teodoliti dibuona precisione, è attorno ai 10". Se la condizione di rettifica non è verificata èpossibile imporla ruotando opportunamente la vite di rettifica
V
.
Si osservi la figura
9.4a
: se la direzione di appoggio della livella è inclinata di unangolo
ν
, rispetto all'orizzontale, è possibile che la lettura alla bolla sia ugualmentezero solo nel caso che l'errore di srettifica sia dello stesso valore e di segno contrario.Ruotando la livella attorno all'asse
r
, che prima era verticale e formante un angolo -
ν
con la direzione AB, il pelo libero del liquido ruota di un angolo di grandezza (
ν
+
ν
) e pari alla lettura (fig.
9.4b
).
Fig. 9.4a - 9.4b
Per rettificare la livella è sufficiente a questo punto agire sulla vite di rettifica sino acompiere la lettura
.
Fig. 9.5 –
Disposizioni della livella per rendere orizzontale un piano.
li e la( )
l
/
A
CC
A
DD
r
B B
v
l=0 l=0tg centrale
v
v
l 2⁄
razze di base
C
A B1
2
3
STRUMENTI
PER
LA
MISURA
ANGOLARE
:
IL
TEODOLITE
5
Per rendere verticale l'asse primario occorre dunque eseguire queste operazioni:
1. si esegue la lettura zero sulla livella torica (si centra); quando questa è paral-lela a due razze di base (posizione 1 in fig.
9.5
) con l'uso delle viti
A
e
B
;
2. si verifica la condizione di rettifica ruotando di
π
l'alidada: la livella assumela posizione 2 della figura
9.5
; se necessario si rettifica;
3. Si porta la livella in direzione perpendicolare alle razze già utilizzate (posi-zione 3) e si centra ancora la bolla con la vite
C
.
Queste operazioni si eseguono iterativamente in genere due o tre volte sino a rag-giungere un centramento della bolla soddisfacente in tutte le direzioni. Durante ilprimo passo si agisce di solito su entrambe le viti
A
e
B
con rotazioni di ugualemisura e contrarie in segno. Se è necessaria una rettifica si agisce per i motivi giàindicati per metà sulla vite di rettifica e per metà ruotando le viti
A
e
B
, infine, peril terzo passo, si agisce sulla vite
C
, o sulle
A
e
B
se la vite
C
fosse già a fondo corsa,ma, in questo caso in una stessa direzione di rotazione.
Messa in stazione: il treppiede
Il treppiede, di legno o metallico, permette l'appoggio dello strumento sul piattosituato sulla testa metallica, ove convergono le tre gambe solitamente di estensioneregolabile. La testa metallica ha un foro circolare di qualche cm di diametro chepermette il passaggio di una vite (vite di fermo) che ha una certa escursioneall'interno del foro e consente, a contrasto, l'aggancio al sovrastante teodolite. Iltreppiede si utilizza nei rilievi nei quali non sia richiesta una altissima precisione. Inaltri casi infatti si preferisce costruire appositi pilastrini in cemento armato sui qualiappoggia una piastra di acciaio opportunamente sagomata, sulla quale a centraggioforzato, si innesta il teodolite.
Messa in stazione: il piombino a gravità, il piombino ottico ed il centramento forzato
La testa del treppiede è opportuno che venga posta approssimativamente orizzon-tale poiché le viti calanti del teodolite hanno un'escursione limitata a pochi cm.
Per ottenere che la verticale dell'asse primario cada sul punto materializzato a terra,si cerca di traslare adeguatamente il treppiede, prima ad occhio e poi con l'aiuto diun piombino a gravità, innestabile entro la vite di fermo. Per il perfezionamentodell'operazione si può contare, limitatamente a quanto detto sopra, sia sulla varia-zione della lunghezza delle gambe, sia sull'escursione della vite all'interno del forosito sulla testa del treppiede. Un buon piombino a gravità consente una accuratezzadi centramento dell'ordine di uno o due mm, vento permettendo. La lunghezza delfilo è regolabile ed adattabile all'altezza del treppiede. Un miglior centramento sulpunto a terra si ottiene attraverso l'uso del piombino ottico, da utilizzare soloquando il piano di rotazione dell'alidata è stato reso orizzontale con discreta preci-sione. Le operazioni sopra descritte possono richiedere, specie in terreni difficili,parecchi minuti (10 o 15), per cui sono piuttosto onerose nell'economia del lavoro.Da qualche decennio le case costruttrici hanno brevettato dei sistemi per evitarlenel caso si debba rimettere sullo stesso punto lo strumento, o cambiare la posizionedi una mira con quella dello strumento. È possibile sconnettere il teodolite dalla
STRUMENTI
PER
LA
MISURA
ANGOLARE
:
IL
TEODOLITE
6
sottostante base - che era stata resa orizzontale - col semplice giro di una vite late-rale o lo scorrimento di una levetta di base. Negli strumenti Leica-Wild, ad esem-pio, il teodolite, sollevandosi dalla base, evidenzia tre piccoli denti tronco conici dimetallo disposti nella parte sottostante a triangolo equilatero che si innestano conle rispettive sedi di alloggio che rimangono sul basamento. Al posto del teodolite sipuò allora collocare un prisma od una mira, predisposte con gli stessi attacchi. I foritronco conici consentono un centramento forzato coassiale a quello dello stru-mento appena tolto, con precisione sub-millimetrica.
9.4 M
EZZI
E
GLI
ORGANI
DI
COLLIMAZIONE
Collimare un segnale o un oggetto vuol dire traguardarlo attraverso una linea idealeformata da due punti che, allineati con l'occhio, formano una linea di mira.
Si possono osservare particolari più in dettaglio o più distanti se si utilizza un can-nocchiale e ciò avviene con l’uso del teodolite. Ciò che si collima può essere un par-ticolare naturale del terreno o di un'opera antropica (campanili, case, piloni ecc.).Più di sovente vengono costruiti appositi segnali, diversi per forma e dimensioni aseconda della distanza dalla stazione, a seconda del tipo di rilievo da eseguire edell'ambiente di lavoro, chiamati
mire
o segnali.
Il cannocchiale astronomico
Il più semplice schema di cannocchiale è quello astronomico di Keplero (o a lun-ghezza variabile), composto da
due lenti chiamate obbiettiva ed oculare
. L'oggetto èposto ad una distanza dalla lente obbiettiva molto più grande della distanza focale
f
1
della lente stessa. L'immagine che si forma dopo la prima lente è reale, capovoltae rimpicciolita e viene raccolta su un piano materializzato da un vetrino ove vi èinciso un sottile reticolo. La seconda lente oculare ha il compito di ingrandire laprima immagine e, funzionando da microscopio semplice rispetto alla primaimmagine, deve essere posta ad una distanza dal reticolo inferiore alla focale
f
2
dellalente stessa.
Fig. 9.6 –
Un tradizionale reticolo distanziometrico.
STRUMENTI
PER
LA
MISURA
ANGOLARE
:
IL
TEODOLITE
7
L'asse individuato dal centro ottico (punto nodale) della lente obbiettiva e dal cen-tro del reticolo prende il nome di asse di collimazione. Tra i molti tipi di reticolo, ipiù usati sono quelli a croce semplice o a croce con bracci simmetrici (fig.
9.6
).
L'
ingrandimento angolare
di un cannocchiale è il rapporto tra la dimensione angolaredi un oggetto osservato attraverso il cannocchiale e di quella di come appare osser-vandolo ad occhio nudo. Indicando con I questo rapporto, si può dimostrare che,in condizioni telescopiche, cioè quando il reticolo e l'oculare sono adattati ad osser-vare oggetti a distanza infinita vale:
9.1
dove f1 ed f2 sono le distanze focali delle lenti obiettiva ed oculare.
Il rapporto tra le focali è anche detto ingrandimento normale ed ha valori usuali com-presi tra 10 e 40.
Il cannocchiale anallattico
I moderni cannocchiali differiscono da quello Kepleriano non solo per un'otticapiù perfezionata, che riduce di molto le aberrazioni e le distorsioni attraverso l'usodi sistemi di lenti o di accoppiamenti acromatici, ma anche perché sono di lun-ghezza costante, permettendo la perfetta ermeticità alla polvere e all'umidità, oltreche una migliore precisione meccanica che migliora la stabilità dell'asse di collima-zione. La lunghezza costante si ottiene inserendo all'interno una lente divergentemobile che serve per l'adattamento alla distanza, che è quell'operazione per cui siporta l'immagine prodotta dalle lenti obbiettive sul piano del reticolo. Lo sposta-mento della lente divergente è comandato da una vite esterna laterale che comandauna ghiera coassiale al cannocchiale.
L'adattamento alla vista consiste invece nel porre la seconda immagine (virtuale)prodotta dalla lente oculare, ad una distanza, dal nostro occhio, pari a quella dellavisione distinta, e dovrebbe essere fatto preliminarmente. Siccome l’immagine deveessere a fuoco sul piano del reticolo, è sufficiente ruotare una ghiera che trasla l'ocu-lare sino a che si vede distintamente il reticolo.
In generale si dice parallasse l'angolo sotto cui si osserva un oggetto. Nel casodell'osservazione col cannocchiale dotato di reticoli a croce con bracci simmetriciparalleli al tratto orizzontale, si intende come angolo parallattico l'angolo sottesodalle due rette ideali formate dai raggi luminosi che partono dall'estremità del reti-colo e divergono sino a situarsi su una porzione dell'oggetto. Il punto di conver-genza dei predetti raggi doveva collocarsi esternamente al cannocchiale nel caso dilunghezza variabile, mentre si può collocare in un punto, variabile in posizione, masempre molto prossimo al centro dello strumento, nel caso di cannocchiale a lun-ghezza costante. In questo caso il cannocchiale è detto centralmente anallattico.
Caratteristiche di un cannocchiale
– L'ingrandimento si può misurare anche come rapporto tra due lunghezze.Si definisce così l'ingrandimento lineare E come rapporto tra le dimensionidell'oggetto e quelle della sua immagine vista col cannocchiale. Si può facil-mente dimostrare che:
9.2
I f1 f2⁄=
E 1 I⁄=
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
8
– Il potere risolutivo del cannocchiale è corrispondente all'acuità visivadell'occhio umano, amplificato dell'ingrandimento I.
– Il campo del cannocchiale ω, è l'angolo di quel cono che ha come vertice ilpunto nodale interno della lente obbiettiva e base la circonferenza del dia-framma del reticolo. Un cannocchiale con grande campo è apprezzato per-ché permette di vedere ampie porzioni di territorio. Essendo però ωinversamente proporzionale a f1, il campo è anche inversamente proporzio-nale all'ingrandimento I .
– La chiarezza del cannocchiale è il rapporto tra la quantità di luce che arrivada un oggetto visto col cannocchiale e la quantità di luce che arriva osser-vandolo ad occhio nudo. È facile dimostrare che anche la chiarezza è inver-samente proporzionale ad I o, per l'esattezza, ad I2.
La collimazione viene fatta verso segnali provvisori o permanenti, prima cercandodi dirigere il cannocchiale verso l'oggetto con l'aiuto di un mirino che sta sopra o afianco del cannocchiale.
Quando ad occhio, sembra centrata la direzione, è possibile bloccare prima la rota-zione attorno all'asse primario del teodolite e quella del cannocchiale attornoall'asse secondario poi, attraverso due viti, dette viti dei grandi spostamenti. Si cercaquindi, guardando nel cannocchiale, che il particolare sia nel campo e si può perfe-zionare la collimazione in quanto, a viti dei grandi spostamenti bloccate, due altreviti, dette viti dei piccoli spostamenti, sia azimutali che zenitali, consentono dicomandare rotazioni micrometriche. Dette rotazioni si apportano sino a che il cen-tro del reticolo non coincide col centro dell'oggetto collimato. Sembra ovvio sotto-lineare che occorre curare la perfetta collimazione, per poter poi misurarecorrettamente gli angoli, ma spesso l'errore che si può commettere non curandouna buona collimazione supera di molto quello imputabile all'approssimazionedel goniometro.
Le mire
Come accennato, i punti da collimare possono essere particolari fisici del terrenoche ben si prestino ad una individuazione univoca in senso planimetrico, se il pro-blema è la sola individuazione planimetrica, o anche altimetrico, se occorre misu-rare anche le quote dei punti collimati.
Si utilizzano a ciò segnali appositamente costruiti dalle principali case strumentali,diversi a seconda della distanza per la quale sono stati progettati. In casi particolarila collimazione può avvenire anche verso segnali provvisori quali centrini di carta ometallici, mire luminose o colorate, paline ecc. La dimensione del segnale, funzionedella distanza, deve essere accuratamente scelta: segnali o mire troppo piccole sonopoco visibili, ma se troppo grandi potrebbero permettere una non univoca collima-zione. Per questo motivo, per le corte distanze si preferisce collimare verso segnalisottili fatti a «V» od a cerchi concentrici. La dimensione del segnale è così adattabilealla distanza, come lo è l'apertura delle braccia della «V». Sappiamo poi soprattuttoche il potere separatore dell'occhio umano, con questo artificio, ne risulta speri-mentalmente amplificato di un fattore 4 o 5. Alcune di queste mire sono retroillu-
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
9
minabili. Se non ci sono problemi di luminosità o visibilità atmosferica, ladimensione S del segnale che comincia a vedersi alla distanza d è data da:
9.3
ove α è il potere separatore dell'occhio umano in radianti pari circa a π/100 (2 gon) edI il numero degli ingrandimenti angolari del cannocchiale. (Il potere risolutivo èuna misura lineare, il potere separatore è una misura angolare).
Per le grandi distanze i problemi di luminosità sono solitamente più influenti diquelli relativi alla dimensione, anche se è evidente che un segnale grande riflette piùluce ed è quindi più visibile di un segnale piccolo. In alcuni casi, piuttosto cheaumentare le dimensioni del segnale, si preferisce creare una sorgente di luce pic-cola ma molto intensa, e ben orientata verso chi deve osservarla. L'elioscopio è unostrumento da tempo utilizzato, allo scopo di segnalare i punti trigonometrici perrenderli visibili a lunghe distanze. È formato da uno specchietto mobile che vienedisposto in modo da riflettere verso l'osservatore i raggi solari. Quando lo specchioè ben diretto, esso appare come una stellina brillante, visibile a decine di km didistanza. Di notte il sistema utilizzato è invece quello dell'arco voltaico o delle lam-pade ad acetilene che creano sorgenti puntiformi molto luminose. Queste tecnichedi misura oggi possono sembrare superate con l’avvento del GPS che non richiedeintervisibilità. Per il tracciamento di gallerie o altre opere coperte, il riporto di unazimut è ancora un’operazione che può avvenire con questi mezzi.
9.5 MEZZI TRADIZIONALI PER LA LETTURA GONIOMETRICA AI CERCHI
I goniometri all'interno del teodolite sono due: uno situato su un piano che dovràessere posto orizzontale ed un altro, per conseguenza, che rimarrà su un piano ver-ticale. I centri di questi goniometri dovranno essere gli assi a1 ed a2. La graduazioneè incisa solitamente su una corona circolare di cristallo, racchiusa e quindi nascostae protetta da un'armatura metallica. I cerchi, essendo protetti dalle intemperie e daicolpi, necessitano di un percorso ottico loro proprio che permetta alla luce di illu-minarli per poterli osservare, ottenuto con specchi e prismi. La complessità ottica emeccanica e la precisione di entrambe le funzioni giustificano i costi di questi stru-menti, anche di alcune decine di milioni di lire. Nel caso di strumentazione elettro-nica tuttavia la lettura e la registrazione avvengono senza bisogno che l’operatoreosservi otticamente i due cerchi.
L'illuminazione dei cerchi di un teodolite tradizionale avviene attraverso un foro late-rale entro cui uno specchietto regolabile convoglia la luce solare o quella artificiale.
I cerchi di cristallo, di solito del diametro tra i 5 e i 10 cm, vengono divisi in uncerto numero n di parti secondo una graduazione che oggi è ormai quella centesi-male. Le suddivisioni vengono fatte una volta per tutte su una matrice in scala piùgrande, ottenute con una «macchina a dividere» di elevatissima precisione e poinumerate secondo il sistema di graduazione. Sui cerchi di cristallo queste vengonoinfine riprodotte da una stessa matrice ridotta e stampata per fotoincisione conl'utilizzo di sali d'argento.
S α d( ) I=
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
10
Fig. 9.8 – Un teodolite tradizionale.
L'oculare di osservazione dei cerchi è solitamente separato e parallelo a quello delcannocchiale dello strumento.
Il percorso ottico della luce dal cerchio all'oculare può essere anche assai complessoe fa uso di specchi, lamine piano-parallele, prismi o cunei ottici. In tutti i casil'osservazione del cerchio è migliorata con l'interposizione sul cammino ottico diun microscopio semplice o composto.
9.6 MEZZI PER APPREZZARE PICCOLI INTERVALLI DI GRADUAZIONE
Il nonio è il più antico sistema usato per misurare una parte di un intervallo di gra-duazione. È costituito da una scaletta ausiliaria affiancata a quella principale. Lalunghezza corrispondente al numero di suddivisioni N della scala ausiliaria corri-sponde a N–1 lunghezze delle suddivisioni della scala principale. L'approssima-zione del nonio è pari al valore di una suddivisione principale diviso il numero disuddivisioni del nonio:
La lettura viene fatta sotto l'indice di lettura della scala del nonio leggendo diretta-mente le parti intere. La porzione residua è pari all'approssimazione a del nonio,moltiplicata per il numero di parti che portano alla coincidenza di un tratto dellascala del nonio con uno della graduazione principale.
a L N⁄=
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
11
Fig. 9.9 – Il nonio o verniero.
Il nonio così descritto non è più utilizzato, ma se ne è parlato in quanto negli stru-menti elettronici viene spesso utilizzato un meccanismo di stima della parte frazio-naria della graduazione principale che è simile: incisa su un cristallo trasparente vi èuna scala graduata in parti di larghezza leggermente minore o superiore a quelladella suddivisione principale. Il passaggio della luce attraverso il cerchio graduato equesta seconda scala, prossima al cerchio, genera delle figure di diffrazione chevariano a seconda della posizione di entrambe le divisioni, del cerchio e della scaladel nonio. Queste figure, opportunamente rilevate, vengono digitalizzate elettro-nicamente e consentono di apprezzare le parti frazionarie con accuratezza anchedi 1/100 della graduazione principale.
Il microscopio a stima è un metodo semplice di lettura dei cerchi: per realizzarlobasta interporre un reticolo all'interno del cannocchiale di osservazione dei cerchi.La lettura viene fatta in corrispondenza del reticolo leggendo le parti intere diangolo che precedono il filo del reticolo e stimando, solitamente come percentualeche viene tradotta mentalmente in termini di frazioni di angolo, la porzione residuacompresa tra un tratto della graduazione principale.
Fig. 9.10 – Microscopio a stima. Lettura = 22.24 gon.
22 21 20 19 18 17 16 15 1413
232425262728
2930
51015
200
19° 51' 00"
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
12
Il microscopio a scala è una variante al precedente metodo: anziché avere un reticolosemplice costituito da un filo, si produce un reticolo a scala, cioè fatto da tanti trattiequidistanti in un numero di parti sottomultiplo del valore inciso sulla graduazioneprincipale (ad esempio 60 o 100 a seconda del sistema di graduazione). Il reticolo èposto più in alto o più in basso rispetto alla graduazione principale, da cui parte unfilo in corrispondenza di un valore angolare esatto che serve da indice di lettura.L'escursione di questo filo su tutta la scaletta corrisponde all'escursione di una trac-cia di graduazione intera sulla scala principale. Ad esempio, se la suddivisione fossein gon per la scala principale, si può trovare una scala suddivisa in cento trattini ecioè in primi centesimali (cgon).
I mezzi sopra descritti non consentono elevate precisioni di misura. Nei teodolitiove ci si voglia spingere al di sotto di 5 mgon, si ricorre a sistemi micrometrici oveviene sfruttato meglio il numero di ingrandimenti o il potere separatore dell'occhioumano nel realizzare la coincidenza o la bisezione.
Fig. 9.11 – Microscopio a scala. Lettura H = 397.47.
Questi sistemi sfruttano in genere una lastra piano parallela di adeguato spessore,interposta sul cammino luminoso di osservazione dei cerchi; una rotazione sensibiledi essa può corrispondere ad uno spostamento micrometrico dell'asse di collima-zione che ispeziona il goniometro. La rotazione i della lastra piano-parallela a cuicorrisponde un piccolissimo spostamento d , si può così stimare meglio di quanto sipossa fare per d . Infatti essa è legata linearmente a d oltre che allo spessore dellalastra s ed al coefficiente di rifrazione relativo n del cristallo dalla relazione:
Nello schema in figura 9.12, ad esempio, il reticolo è costituito da due tratti paral-leli fissi che normalmente cadono in una posizione intermedia interna ad un trattodi graduazione principale. Una lastra piano-parallela interposta sul cammino otticoe comandabile con una vite esterna può portare a bisecare i due fili con un trattoesatto della graduazione principale. La rotazione corrispondente a questo sposta-mento può leggersi su un tamburo la cui graduazione è visualizzata all'interno del
0 10 20 30 40 50 60
0 10 20 30 40 50 60
60 50 40 30 20 10 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V
H
V
H
85868586
3973
356
d si n 1–
n------------
=
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
13
cannocchialetto di misura degli angoli, è ingrandita ed osservata col sistema delmicroscopio a stima.
Fig. 9.12 – Microscopio a micrometro ottico.
Alcune case costruttrici adottano il sistema della coincidenza delle immagini chesfrutta la proprietà dell'occhio umano di aumentare il potere separatore di circaquattro volte quando l'occhio debba stimare la coincidenza esatta di due tratti o labisezione di un tratto all'interno di altri due (si veda la fig. 9.13) e che permetteanche l'osservazione diametrale opposta dei cerchi.
Fig. 9.13 – Schema di lettura a coincidenza di immagini.
Vengono portate nel campo del cannocchiale di osservazione angolare due imma-gini corrispondenti a due zone diametralmente opposte del cerchio, l'una in unaparte sottostante l'altra che gli è sopra e capovolta. Sul percorso di ognuna delle dueimmagini è inserita una lastra piano-parallela che un semplice meccanismo adingranaggi regola in modo che la rotazione di una sia uguale e di verso opposto aquella dell'altra.
Normalmente le due scale che sono accostate specularmente non combaciano. Sead esempio su quella che si legge diritta vediamo la tacca di un angolo intero suquella superiore capovolta l'angolo che si dovrebbe leggere (cioè il precedente più
75
203 204 205
76 77
H
V
10 15
Lettura: V = 76°12’40’’
5 10 10 15
24 25 26 27 23 24 25 26 27
203 204 205 206 207 203 204 205 206 207
Lettura: V = 25° 13’ 20’’
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l'angolo piatto) non è perfettamente a coincidenza, ciò in quanto è raro fare unalettura esatta all'angolo intero: la distanza fra queste due tacche rappresenta infatti ildoppio della parte frazionaria della lettura da stimare che, sommata alla parte intera,costituisce la lettura angolare corretta.
Per misurare (e non stimare ad occhio) questa parte possiamo deviare il percorsoottico di entrambe le semi - immagini (secondo quantità misurabili) sino portarle acoincidenza, attraverso la rotazione di una vite che comanda la rotazione contem-poranea di due lastre piano-parallele. Il risultato è che ad un apparente spostamentoorizzontale in un senso dell'immagine inferiore corrisponde un eguale spostamentoin senso opposto di quella superiore capovolta. Lo spostamento che realizza la coin-cidenza, corrispondente a metà del tratto ancora da stimare, va sommato alla let-tura intera della più piccola suddivisione principale che si legge direttamente sulcerchio anche senza l'aiuto di un indice di lettura. Questo indice potrebbe infattianche essere omesso, perché è evidente quale incisione della graduazione dirittacoincida con quella superiore su un angolo più grande di π. Anche qui, come nelcaso precedente, la rotazione delle lamine piano-parallele è trasformata in un valoreangolare letto su una seconda scala micrometrica visualizzata accanto alla scalaprincipale.
Altre case costruttrici, anziché utilizzare questo metodo, inseriscono sul percorsoottico, che proviene dagli opposti lembi del cerchio, delle coppie di cunei otticiemisimmetrici traslabili in altezza. Lo spostamento lineare tra le facce prospicientiquesti cunei si traduce in uno spostamento angolare uguale e contrario tra le por-zioni di cerchio visualizzate diritta e capovolta.
La sensibilità nella misura angolare può spingersi anche ad una frazione di secondocentesimale (s < 0.1 mgon cioè 1cc).
La precisione conseguente, nel caso ad esempio in cui sarebbe di. Questa sensibilità è rarissimamente raggiunta con i
moderni teodoliti digitali a cerchio codificato. È da mettere bene in evidenza tut-tavia che la precisione di misura angolare non coincide con quella di lettura, per lapresenza congiunta di numerose altre cause di errore, fra queste, che in seguitoesamineremo, l'errore di eccentricità dell'alidada è automaticamente eliminatodalla lettura diametrale, poiché la media delle due letture diametrali, ottenuta pervia ottica, ne è esente.
9.7 CONDIZIONI E MEZZI DI RETTIFICA DI UN TEODOLITE
Condizioni intrinseche di rettifica
Un teodolite si dice intrinsecamente rettificato quando sono verificate le seguenticondizioni:
1. l'asse di rotazione a1 dell'alidada passa per il centro del goniometro azimu-tale ed è perpendicolare al suo piano;
2. l'asse di rotazione a2 del cannocchiale è normale ed interseca l'asse a1 epassa per il centro del relativo goniometro, cioè quello verticale;
s 10 4– gon=1 4⁄ 10 7–⋅ 2.5 10 8–⋅=
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3. l'asse a3 di collimazione è normale all'asse a2;
4. i tre assi a1, a2 ed a3 si incontrano in un punto O detto centro delgoniometro.
Nelle normali condizioni lo strumento è posto in stazione con l'asse a1 verticale e,per conseguenza di una corretta costruzione (rettifica), l'asse a2 si dispone orizzon-tale. Sull'asse a1 passa quindi il centro del goniometro che misura angoli in unpiano orizzontale, cioè angoli azimutali e sull'asse a2 vi è il centro del goniometroche sta su un piano verticale, in grado di misurare angoli zenitali, nadirali od'inclinazione.
Gli errori che influenzano le letture azimutali
Quando le condizioni di rettifica sopra indicate non siano rispettate, le letture chesi eseguono ai due goniometri non sono in realtà direzioni azimutali né distanzezenitali. Alcune condizioni di rettifica influenzano poco le misure azimutali e piùquelle zenitali o viceversa. Si vedrà in seguito nel dettaglio come gli errori residui direttifica influenzino le letture ai goniometri.
Errore di inclinazione, collimazione, verticalità ed eccentricità
Nel caso in cui l'asse a2 non sia orizzontale a strumento in stazione, si dimostrafacilmente che l'errore di inclinazione i ha un'influenza εi sulla lettura azimutale, fun-zione della distanza zenitale z:
9.4
L'errore εi ha valore e segno contrario nel caso si effettui la misura angolare nellaposizione di cerchio coniugata, cioè capovolgendo il cannocchiale: in tal modo si avràl'obiettivo dalla parte dell'osservatore, si ricollimerà il punto ruotando l'alidada diun angolo piatto attorno ad a1 per riportare l'oculare verso l'osservatore ed in dire-zione del punto.
Durante questa operazione il cerchio verticale ha assunto una posizione simmetricarispetto all'osservatore per cui le corrispondenti letture ai cerchi si dicono anchecon cerchio verticale a destra (CD) e con cerchio verticale a sinistra (CS ) e sono diseguito indicate con Ls ed Ld.
Ora la lettura fatta al cerchio azimutale differirà di π ma l'influenza dell'errore εisarà di segno opposto a quella fatta sulla precedente porzione di cerchio. In talmodo la lettura corretta, fatta ad uno dei due cerchi si ottiene da:
L'errore dl'angolol'influen
εi i ctg z=
9.5LLs Ld π±+
2--------------------------=
15
i collimazione εc è dovuto alla non ortogonalità tra gli assi a2 ed a3. Detto c che manca o che eccede l'angolo retto tra a2 ed a3, si può dimostrare cheza εc sulla lettura azimutale vale:
9.6εcc
zsin----------=
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16
e che ha segno uguale e contrario sulle letture fatte ai lembi coniugati del cerchio.Anche in questo caso la lettura angolare corretta si potrà fare con la 9.5.
Fig. 9.14 – Errore di verticalità.
L'errore di verticalità εv non è dovuto alla costruzione, ma alla non verticalitàdell'asse primario cercata durante la messa in stazione. Chiamato ν quell'angoloche manca all'asse a1 perché sia diretto verticalmente dopo la messa in stazione, ilcalcolo dell'influenza di questo errore sulla misura degli angoli azimutali può esserefatto ricorrendo a considerazioni di trigonometria sferica. Immaginando l'asseinclinato di ν proiettato su una sfera unitaria (vedi fig. 9.14) si ha, dalla trigonome-tria sferica sul triangolo ABC:
9.7
e, tradotta sul triangolo ABC:
ma:
(α ’-α ) è l’influenza che ha l'errore di verticalità sulle misure dell'angolo orizzontalecioè:
α α
γ
β
R=1O
C
C
AA
BB
a z
v
v z ba=z
'
1
c
β α a c c βcoscos–sincot=cotsin
π α '–( ) α z ν ν π α '–( )coscos–sincot=cotsin
ν ν ;≅sin ν 1≅cos
α ' αcosαsin
---------- ν gz π α '–( )cos–cot=sin
α ' αcosαsin
---------- α ' ν gzcot=cos–sin
α ' α α ' α ν α gzcotsin=sincos–sinsin
α ' α–( ) ν α gzcotsin=sin
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17
9.8
L'influenza di tale errore non si può eliminare perché non si conosce a priori ladirezione spaziale di a1 e quindi l'angolo α . Tale errore è quindi sistematico ma rifa-cendo la messa in stazione, ritoccando le viti calanti, si può supporre che l'erroreresiduo di verticalità sia cambiato in modulo e verso, per cui influenza in modo dif-ferente le misure azimutali che, mediate con le precedenti, appaiono soggette ad unerrore di tipo accidentale.
L'errore di eccentricità dell'alidada è dovuto al fatto che l'asse a1 non passa per il cen-tro del goniometro azimutale e normalmente viene automaticamente eliminato conl'uso di strumenti che sfruttano il sistema di lettura coniugato.
Indicata con ε l'eccentricità di tale asse, ipotizzata per semplicità nella direzionedello zero del goniometro, l'angolo vero di rotazione dell'asse di collimazione α ’differisce da quello misurato di:
Quando si effettua la misura angolare capovolgendo il cannocchiale e ruotandolodi un angolo piatto, la lettura LS sarà:
La lettura corretta α ' sarà allora:
che, come si vede, è ancora la 9.5.
Riassumendo, si può vedere che la semi somma delle letture coniugate al cerchioorizzontale elimina l'influenza degli errori di inclinazione, collimazione ed eccentri-cità dell'alidada. Rimane non eliminato l'errore di verticalità che si cerca di rendereaccidentale come già spiegato.
Gli errori residui di rettifica sono quegli errori che rimangono anche dopo che lostrumento è stato controllato e rettificato poiché la sensibilità della livella dell'ali-dada o del goniometro, ovvero la nostra accuratezza nella rettifica è tale da non eli-minare completamente la presenza di questi errori.
Le misure degli angoli azimutali possono essere influenzate allora dalla presenza dierrori residui di verticalità, di collimazione, di inclinazione, di eccentricità dell'ali-dada e del cannocchiale. Si è visto sopra però che, a parte l'errore di verticalità chenon è eliminabile, per gli altri errori la lettura corretta è data dalla 9.5, che esprimeuna regola dovuta a Bessel:
In un goniometro a cannocchiale capovolgibile è possibile eliminare nelle misure
α ' α–( ) εν=
εν ν α gzcotsin=
α ' α ε–=
LS π α ' ε–( )+=
LS π LD ε ε––+=
LS LD 2π 2ε ; cioè–=–– εLS LD π–+
2---------------------------=
α ' LD ε LDLS LD π–+
2---------------------------
LS LD π–+2
---------------------------=–=–=
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angolari azimutali l'influenza degli errori residui di collimazione, inclinazione,eccentricità dell'alidada e del cannocchiale, eseguendo per ogni punto collimato lamedia delle due letture fatte agli indici diametralmente opposti, col cannocchialein posizione CS e col cannocchiale in posizione CD.
Errori di graduazione dei cerchi
La suddivisione della graduazione del cerchio, pure essendo molto accurata, puòessere non uniforme (precisa). Sperimentalmente le case costruttrici riescono a for-nire delle curve d'errore nella graduazione dei tratti che evidenziano difformitàangolari delle suddivisioni: alcune più grandi del dovuto su un tratto, altre piùcorte in un altro. Questi errori sono normalmente assai contenuti (attorno alsecondo sessagesimale) e sono di tipo sistematico. Si può capire però che la sommadegli errori, valutata su tutto l'angolo giro deve essere nulla. Si cerca perciò di elimi-nare questi errori sistematici di media zero, rendendoli accidentali col ripetere leosservazioni angolari su porzioni differenti di cerchio. Come valore più corretto siprenderà poi il valor medio della serie di misure angolari fatte. È dunque evidenteche questo errore al tendere delle letture λ ad N, se N è il numero di suddivisionidel cerchio, o ad N/2 per le letture diametrali, si annulla identicamente.I metodi utilizzati per spaziare con le misure angolari su porzioni differenti del cer-chio sono due: la ripetizione e la reiterazione.
I teodoliti ripetitori hanno la possibilità di collegare, con uno spostamento di unavite, il cerchio alla base (come nelle normali condizioni di lavoro) od il cerchio conl'alidada, in modo che, cerchio ed alidada solidali, ruotando sopra il basamentonon spostino la lettura dell'angolo azimutale. Una volta deciso il numero di ripeti-zioni per determinare un angolo α , le operazioni procedono così:
Si collima il punto indietro facendo la lettura Li, poi si collima il punto avantisenza leggere al cerchio. Si blocca con la vite di ripetizione il cerchio all'alidada esi ritorna a collimare il punto indietro con il goniometro che è rimasto fisso sullalettura precedente.Si sblocca con la vite di ripetizione il cerchio, collegandolo al basamento sotto-stante e si ritorna a collimare il punto avanti. Ora si blocca cerchio ed alidada e siripetono queste operazioni sino a compierle n volte. Alla fine delle operazionil'angolo azimutale corretto sarà:
9.9
ove k è il numero degli angoli giri contenuti in nα . La prima e l'ultima letturadevono effettuarsi ad entrambi i lembi diametrali del cerchio o, come si dice, colcerchio zenitale a destra (CD ) e col cerchio zenitale a sinistra (CS ).
Come si vede sono sufficienti quattro letture e 2n puntamenti.
I teodoliti reiteratori dispongono invece di una vite (normalmente protetta da unacapsula) che serve solo per far scorrere a frizione il goniometro sopra il basamento,ruotandolo attorno all'asse principale. Appariranno quindi, sotto il cannocchialettodi osservazione dei cerchi, porzioni differenti del cerchio. Una volta deciso ilnumero di reiterazioni n, dette anche strati, occorre fare per ogni punto collimato
αLa
n Li kπ+( )–n
--------------------------------=
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2n osservazioni (col CS e col CD ) e 2n puntamenti, per ricavare alla fine n valoridi direzione angolare relative ad ogni punto osservato. La rotazione da dare al cer-chio azimutale dopo ogni strato sarà pari a π/2n, utilizzando strumenti con letturadiametralmente opposta, π/n nel caso meno frequente di utilizzo di strumenti asingolo indice di lettura.
Il metodo della reiterazione è più utilizzato perché più preciso della ripetizione,anche se richiede più operazioni. Nella ripetizione infatti possono insinuarsi even-tuali errori di trascinamento, dovuti alla non perfetta solidalità (e quindi presenzadi spostamenti rotazionali) tra alidada - cerchio e sottostante basamento.
Con un semplice esercizio ai minimi quadrati si può dimostrare che se si confron-tano le m letture di due strati (n=2), la costante angolare ∆ da togliere alle letturedel secondo strato, affinché siano paragonabili a quelle del primo vale:
Nella formula, β sono le letture angolari del secondo strato ed α le letture delprimo strato verso i punti j, comuni ad entrambi gli strati. Il confronto dei valoriangolari dei due strati, dal secondo del quale si è tolta la costante ∆, può darel'idea se la precisione attesa è paragonabile agli scarti e se si è in presenza di errorigrossolani.
La misura degli angoli zenitali
Gli angoli zenitali, o come è meglio chiamarli, le distanze zenitali, si misurano apartire dalla verticale uscente sopra uno dei due indici di lettura che sono solidaliall'alidada, mentre il cerchio ruota come il cannocchiale attorno all'asse secondario.
Il cerchio verticale dovrebbe essere graduato in modo che, potendo conoscere apriori la direzione dello zenit e puntando verso di essa, la lettura fatta al cerchio siauguale a zero.
Se tale lettura non è zero, il valore prende il nome di «zenit strumentale» o «errored'indice». Ecco come si determina questo errore:
Si ipotizzi di fare la collimazione verso un oggetto lontano e puntiforme in condi-zioni CS. Supponiamo che la graduazione del cerchio sia oraria. Facendo la letturaal cerchio, noi leggiamo assieme all'angolo z l'errore d'indice η , che ammettiamogli si sommi. Se indichiamo con «S» la lettura, si ha:
Ora sblocchiamo l'alidada e la ruotiamo di un angolo piatto per avere verso di noil'obiettivo al posto dell'oculare. La direzione verso il punto planimetricamente è lamedesima, ma il cannocchiale, se prima era inclinato verso l'alto ora lo è verso ilbasso, il punto non è più collimato e la lettura al cerchio è chiaramente rimastauguale. Si noti però prima di ricollimare il punto, che tale posizione è simmetricaalla precedente rispetto alla verticale (ipotizzando che la verticale coincida con l'asseprincipale).
∆ 1m---- βj
1
m
∑ α j
1
m
∑–
=
S z η+=
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
Sblocchiamo ora la rotazione del cannocchiale e del cerchio attorno all'asse secon-dario e ricollimiamo il punto. Cerchio e cannocchiale devono ruotare (questa voltain senso antiorario) di una volta l'angolo z per arrivare verso la verticale e diun'altra volta l'angolo z per ricollimare il punto; devono ruotare cioè di 2z .
Indicando con D la nuova lettura al cerchio verticale questa sarà quindi:
, da cui si può ricavare che:
Questa rche è:
Gli error
Si può dmazionezenitale)più picccenteme
L'errore grandezz
Fig. 9.1
L'angoloin tal cas
D S 2z–=
a )
D
9.10z S D–2
-------------=
20
elazione, sostituita nella prima, fornisce anche il valore dell’errore d’indice
i che influenzano le letture zenitali
imostrare agevolmente che l'influenza che hanno gli errori residui di colli- c e di inclinazione i sulla misura dell'angolo zenitale z , (detto distanza, dipendono dai quadrati e dai prodotti di i e c , sono quindi di un fattoreolo degli errori stessi e quindi trascurabili, quando il teodolite è soddisfa-nte rettificato.
residuo ν di verticalità, provoca invece un errore in z dello stesso ordine dia, per cui non è trascurabile.
5 – Misura degli angoli zenitali.
z che si ottiene dalla differenza delle due letture zenitali S-D , sarà infattio simmetrico non più rispetto allo zenit, ma rispetto all'asse a1 per cui:
η S D+2
-------------=
vert
ical
e
vert
ical
e
S
90
30
z
z-v
a1 a1
v v
b )
D'
D
2v S
S D 2 z ν–( )=–
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
21
Per eliminare l'effetto di ν , si ricorre ad una livella zenitale o all'indice zenitaleautomatico.
Nel primo caso si dispone una livella torica di adeguata sensibilità posta sulla tra-versa dell'alidada la cui rotazione sposta anche gli indici di lettura zenitali. Le lettureS e D al goniometro verticale si eseguono solo a bolla centrata. In questo modol'indice di lettura (o i due indici diametrali) saranno simmetrici rispetto all'orizzon-tale individuata dalla livella torica e quindi l'influenza dell'errore di verticalità,anche se presente, verrà eliminata dalla 9.10 ricavata in precedenza:
9.11
Coll'indice zenitale automatico, invece, la simmetria si cerca di ottenerla rispetto aduna verticale individuata da un meccanismo a pendolo o ad un'orizzontale ottenutacon una superficie liquida che si dispone orizzontalmente formando un cuneoottico. Questi ed altri più complessi meccanismi ottici o meccanici fanno parte deidispositivi detti compensatori, utilizzati con altri fini anche nei livelli.
I compensatori: il compensatore automatico del cerchio verticale, i compensatori dei cerchi azimutali
Gli automatismi brevettati dalle case costruttrici che riescono ad eliminarel'influenza dell'errore residuo di verticalità sono molti e anche assai ingegnosi. Sibasano tutti sul principio di rendere le letture al cerchio zenitale fatte in posizioneCS ed in posizione CD , simmetriche rispetto ad una direzione fissa ed indipen-dente dall'inclinazione dello strumento. Queste direzioni sono ottenibili mediantela superficie libera di un liquido che si configura orizzontale o la direzione seguitada un pendolo in quiete, cioè la verticale.
I compensatori, detti in questo caso anche indici automatici, possono anche distin-guersi in indici a compensazione meccanica ed a compensazione ottica.
Fig. 9.16 – Zenit automatico.
z S D–2
-------------=
a ) b )
zv
a1
90
30
90
30
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
22
L'esempio in figura 9.16 vuole schematizzare un indice a compensazione mecca-nica. Il cannocchiale, ruotando, porta con sè il cerchio verticale. Quando il cannoc-chiale è posto in direzione dello zenit, la lettura all'indice deve segnare zero, se è giàstato corretto l'errore d'indice o zenit strumentale.
Un altro esempio è dato dallo schema usato un tempo dalla Filotecnica Salmoira-ghi: sopra l'indice di lettura viene riportata l'immagine del cerchio ispezionataattraverso un prisma, sostenuto, a pendolo, da due fili sottili dimensionati in lun-ghezza in modo che ad una rotazione di ν dell'asse principale corrisponda unavariazione nella lettura sul cerchio numericamente pari proprio ad ν .
Simile è il principio di funzionamento dell'indice zenitale automatico della Kern,in cui la lente obbiettiva B ed il reticolo A di osservazione al cerchio, sono solidaliall'alidada (fig. 9.17).
La lente C, che ha il fuoco sul cerchio, è sospesa in D. Quando l'asse principale èruotato di ν , si crea un disassamento tra le due lenti che dipende dalla lunghezza diappensione .
Tale disassamento è studiato in modo che l'immagine dell'indice di lettura cadasempre sullo stesso punto della graduazione, indipendentemente da una modestainclinazione dell'alidada.
Fig. 9.17 – Indice zenitale automatico della Kern.
Nei compensatori ottici si sfrutta sovente il principio del cuneo ottico. Un reci-piente chiuso, contenente del liquido, all'inclinazione dell'asse principale dell'ali-dada si atteggia a cuneo ottico, con una superficie orizzontale indipendente da ν . Ilcuneo ottico ad angolo variabile devia l'asse di lettura di un angolo β proporzionalea ν . La deviazione, dopo un cammino lungo s vale βs e deve corrispondere a quella
l
α
α120
110
100
90
80
70
α120
110
100
90
80
70
rr
A
B
C
D
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
23
che si farebbe con un indice solidale all'alidada, cioè βs=rν (fig. 9.18).
Ma β è anche funzione di ν , per cui si può ricavare la relazione esistente tra r ed sche permette di fare in modo che l'immagine dell'indice si formi sempre sullostesso punto O della graduazione.
In questi strumenti la lettura, dà già il valore corretto dell'angolo zenitale, perchétale valore è anche esente dall'errore d'indice e l'errore di verticalità su queste let-ture è eliminato in modo automatico.
Fig. 9.18 – Zenit automatico della «Leica-Wild» a cuneo ottico.
9.8 TEODOLITI ELETTRONICI, LE STAZIONI TOTALI E LE STAZIONI INTEGRATE
Princìpî di misura dei teodoliti elettronici
I teodoliti elettronici consentono di misurare delle direzioni angolari in manieraelettronica, sono strumenti cioè identici dal punto di vista meccanico ai tradizionaliteodoliti ma le letture ai cerchi avvengono elettronicamente, sono poi visualizzatesu un piccolo schermo ed eventualmente registrate.
Per stazione totale si intende invece un teodolite elettronico che comprendaall'interno della sua struttura un distanziometro. Vi è la possibilità, quindi, di leggeredirettamente su un display sia la distanza che le misure angolari. Si chiamano infinestrumenti integrati quegli strumenti che sono composti da un teodolite elettronico otradizionale che è possibile connettere o collegare (di solito a cavallo del cannocchiale)con uno strumento distanziometrico ad onde. Sia le misure angolari che quelle di
vert
ical
e
at
J
L1
L2
90
80
70
100
V
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
24
distanza sono lette digitalmente ma i due strumenti sono distinti e separabili.
Ritornando ai princìpî di misura elettronica degli angoli, si sceglie spesso di classifi-carli in funzione della tecnica con cui vengono letti i cerchi e di conseguenza dallemodalità con cui vengono incisi.
Vi sono dei teodoliti elettronici che utilizzano cerchi codificati che permettono diconoscere automaticamente la posizione assoluta dell'indice di lettura all'internodel goniometro e quindi della lettura zero dello stesso, ed altri che eseguono lalettura a cerchi graduati, che in genere consentono di misurare una posizioneangolare relativa rispetto ad una precedente. Nel primo caso avviene una misuraassoluta della direzione angolare e nel secondo una misura incrementale. Unaseconda distinzione è sulle modalità di misura angolare: questa può avvenire sta-ticamente o dinamicamente. Nel primo caso il cerchio rimane, come in un teodolitetradizionale, solidale alla base, mentre nell'altro caso il cerchio subisce una rota-zione che non è quella dell'alidada ma è prodotta da micromotori continuamenteattivi durante la misura.
Parliamo prima di alcuni concetti sulla lettura elettronica, codificata o graduata (sipuò chiamare in sintesi lettura digitale) per poi entrare in merito a particolari tipidi teodoliti elettronici o stazioni totali ed ai relativi sistemi di lettura.
Come anticipato, siamo in ogni caso in presenza di strumenti del tutto simili aquelli tradizionali, con cerchi di cristallo sui quali la graduazione, codificata onumerata è ottenuta ancora attraverso processi di fotoincisione.
La lettura assoluta
Supponiamo ora di distendere su di un tratto rettilineo l'intera circonferenza sullaquale è incisa una particolare graduazione. Definiamo su un'origine il valore zero esulla fine dell'incisione che corrisponde alla fine del segmento stabiliamo la lettura(sviluppo della circonferenza) c = 2πr. Cerchiamo di capire con quali mezzi, come èpossibile, in modo digitale, leggere i cerchi.
Fig. 9.19 – Schema di lettura assoluta.
Poniamo di dividere questo tratto lungo c in due parti. Una parte sia annerita inmodo da renderla opaca alla luce e l'altra metà sia trasparente. Così si è operata unaprima suddivisione per due del cerchio. Lo spessore di queste righe opache siadell'ordine di qualche decimo di mm, così che in pochi mm se ne possano dise-gnare ad esempio 16 o 32.
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
25
In una riga successiva si divide lo stesso intervallo c in quattro parti e si annerisconoalternativamente due di queste quattro parti. Supponiamo di fare la stessa opera-zione in una terza riga, dividendola ora in 8 parti ed ancora per esempio in unaquarta riga ove le suddivisioni saranno 16.
In una posizione qualsiasi del cerchio, su queste suddivisioni parallele, supponiamovi siano quattro fotodiodi e di fronte a questi, sull'altra faccia del cerchio di cri-stallo, una sorgente luminosa. Immaginiamo di dover fare una lettura di tensione aifotodiodi quando questi fotodiodi si trovano ad esempio nella sezione A-A.
Leggendo i segnali di luce e di buio provenienti dai fotodiodi possiamo, in modoassoluto, anche se con una precisione abbastanza scarsa in questo esempio, sapereove si trovano i fotodiodi rispetto al cerchio, cioè all'interno di questa banda cheabbiamo disteso.
Nel caso esaminato in figura i fotodiodi che permettono il passaggio della luce,ognuno a seconda della presenza di una zona trasparente od opaca, segnalano il primola presenza di una zona scura (0), il secondo la presenza di una zona chiara (1), ilterzo la presenza di una zona scura (0) il quarto quella di una zona trasparente (1).Questo risultato (0101=5/16) è, in linguaggio binario, il numero equivalente allalettura angolare.
Possiamo infatti renderci conto che attraverso il primo fotodiodo siamo in grado didire che eseguiamo una lettura minore di c /2 . Attraverso il secondo fotodiodo sap-piamo anche che la lettura è maggiore di c /4 ma sempre minore di c /2, attraverso ilterzo si può dire che è maggiore di 2c /8 ma è anche minore di 3c /8 e attraverso ilquarto fotodiodo si può dire che è maggiore di 5c /16 ma anche minore di 6c /16,quindi nell'esempio la lettura angolare finale, essendo c=400 gon, sarà un numeromaggiore di 125 gon e minore di 150 gon.
In maniera approssimata siamo ora grado di fare queste letture angolari; l'erroremassimo in questo esempio poco realistico, è la metà della più piccola suddivisione,cioè ±12,5 gon: è chiaro che una lettura angolare con errore così alto è insufficiente.Questo esempio porta anche a fare l'ipotesi, l'unica ragionevole, che la misura,all'interno del più piccolo intervallo (∆=25 gon) è distribuita secondo una funzionedensità di probabilità uniforme. Come si sa, questa distribuzione ha sqm pari a
cioè che, come si vede, è minore della tolleranza cheè ±12.5 gon.
Occorre ora scendere dal principio di funzionamento alla pratica applicazione: ci sirende conto che non si può moltiplicare di molto, per problemi fisici di spazio, ilnumero dei fotodiodi, come pure non si può suddividere all'infinito la larghezzadella corona circolare del cristallo.
Questo sistema di misura assoluta, come pure quello incrementale, avrà bisognonecessariamente di un secondo sistema di lettura fine, che permetta cioè la lettura difrazioni delle più piccole parti intere nelle quali è suddiviso il cerchio, in analogia aquanto avveniva nei teodoliti tradizionali col sistema micrometrico. Dei sistemimicrometrici di lettura digitale parleremo più avanti, un cenno se ne fece parlandodel nonio, per ora ci basti sapere che sono necessari.
Abbiamo parlato di lettura digitale assoluta del cerchio, in questo caso infatti è
σ ∆ 12±= σ 7.2 gon±=
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
26
possibile sapere esattamente dove si trova l'ipotetica lettura di zero rispettoall'asse di collimazione.
I principi di funzionamento del metodo di lettura incrementale
Supponiamo di suddividere il cerchio di cristallo in un certo numero di parti chepossono essere spinte sino ad una suddivisione minima (comune anche nei cerchigraduati tradizionali analogici), ad esempio ad 1/10 di gon e supponiamo che nonesista una numerazione, ma che esista una piccola sorgente di luce sopra una zonadei cerchi (la zona dell'indice di lettura digitale). Sotto questa e sotto il cerchio, unfotodiodo, sensibile al passaggio della luce, trasmette ad un circuito elettronico diconteggio i segnali di chiaro-scuro che, durante la rotazione dell'alidada, sono pas-sati a causa dei tratti trasparenti alla luce e dei tratti opachi.
Questo indice di lettura per conteggio è solidale all'alidada e misura così la rota-zione tra il sensore ed una posizione convenzionale del cerchio che è solidale albasamento.
Si è in grado cioè, a partire da questo zero del tutto convenzionale, (perché assumead esempio la lettura zero all'accensione strumentale) di sommare o di sottrarre ilnumero di volte che il sensore «vede» uno di questi passaggi tra il chiaro e lo scuro.
Uno dei problemi è capire automaticamente qual è la direzione di somma e qualequella di sottrazione di questi conteggi, ad esempio l'oraria di somma e l'antiorariadi sottrazione, in altri termini occorre cioè capire qual è la direzione di rotazionedel cerchio.
Ciò si risolve utilizzando più sensori a fotodiodo, sfasati angolarmente di quan-tità note, cioè posti in parti diverse del cerchio. Avendo collocato attorno al cer-chio più fotodiodi con un certo sfasamento noto, a seconda della rotazione orariao antioraria dell'alidada, un segnale arriva sul tratto opaco o luminoso prima odopo l'arrivo dell'analogo segnale proveniente da altri fotodiodi a seconda che siruoti l'alidada in senso orario od antiorario. La sequenza di tratti trasparenti edopachi ha cioè un certo ordine se si ruota in senso orario e l'ordine inverso se siruota in senso antiorario.
In genere tutti i metodi di lettura digitale usano più serie di fotodi disposti in partidiverse del cerchio.
Vi è poi il problema identico a quello della lettura analogica dei cerchi graduati:quello di saper arrivare ad una approssimazione della misura angolare più spintadella minima suddivisione; serve cioè un interpolatore.
Un comune denominatore di molti di questi sistemi è il metodo di interpola-zione utilizzato: il sistema interpolatore è in genere costituito da una seconda gra-duazione incisa su un piccolo vetrino di cristallo solidale all'alidada (od alcannocchiale per le distanze zenitali) interposto alla graduazione principale inprossimità del sensore ottico, in modo tale che la luce, passante per il cerchio equesta seconda scala, produca delle frange di interferenza. Queste vengono «lette»a loro volta con altri sensori digitali (CCD) che ricevono e misurano i livelli digrigio delle frange così prodotte.
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
27
Questa figura di interferenza è un tratto di lunghezza abbastanza ampio rispetto alleminime suddivisioni m, (è una figura ad esempio di 16 m, 32 m). A seconda dellaserie di livelli di grigio o per meglio dire, a seconda della posizione dei livelli di gri-gio e dell'intensità dei livelli di grigio, si ha la possibilità di interpolare all'internodella minima suddivisione sulla quale cade l'indice di lettura.
Questo avviene in quanto il segnale ottico viene convertito in forma digitale e vienemisurato lo sfasamento dell'onda interferometrica così osservata con una sensi-bilità pari o migliore di 1/100 del minimo intervallo della graduazione principale.Si è realizzato così un micrometro digitale.
I metodi adottati dalle principali case costruttrici
È assai difficile affrontare un discorso generale e contemporaneamente approfon-dito, se non esauriente, sui metodi di lettura elettronica degli angoli, e forse è anchepoco utile concretamente, concentriamo e limitiamo allora la trattazione ad alcunimetodi adottati dalle diverse case costruttrici.
Il primo sistema che esaminiamo è quello della Leica-Wild adottato negli stru-menti Theomat T2002 e nel Theomat T3000. È un sistema di lettura dinamica dialta precisione e per questo è bene capire più in dettaglio rispetto ad altri sistemicome funziona.
Uno degli errori di cui è affetta la misura angolare è l'errore residuo di graduazione:questo errore è pressoché inevitabile, ma si riduce tradizionalmente con il metododella lettura a strati, attraverso la reiterazione o la ripetizione. Nel metodo di letturadinamica è invece possibile tenere in considerazione (misurare in un certo senso),tutte le suddivisioni di ogni parte del cerchio ad ogni singola lettura goniometrica,riducendo con ciò in teoria a zero sia questo errore, sia l'errore di eccentricitàdell'alidada: ciò avviene appunto negli strumenti T2002, T3000 e in tutte le letturedinamiche.
Nello strumento T2002, entrambi i cerchi di 52 mm di diametro sono divisi in1024 intervalli, tutti osservati ad ogni misura attraverso una rotazione completa delcerchio di cristallo graduato in identici intervalli trasparenti-opachi. Il segnale lumi-noso, tradotto dai fotodiodi in segnale elettrico, non è più un segnale statico ma unavera e propria onda elettromagnetica in quanto il cerchio ruota continuamente.
Questo segnale, variabile nel tempo e dipendente dalla rotazione del cerchio, pro-viene da due predisposte barriere di fotodiodi (vedi fig. 9.20), una solidale all'ali-dada (R ) e posizionata sulla parte interna del cerchio e la seconda (S ) fissa albasamento ed esaminante la parte esterna dello stesso cerchio.
Durante la rotazione del cerchio il segnale luminoso ad onda quadra, trasformatodai fotodiodi in segnale elettrico, permette ad ogni istante t (la completa rotazionedel cerchio avviene in 338 ms), di misurare lo sfasamento fra i due segnali S e R emediare tutte le numerosissime misure di sfasamento eseguite in questo breve inter-vallo di tempo.
La misura di questo sfasamento costituisce la misura «fine» dell’angolo, similmenteai distanziometri ad onde: l’angolo ϕ che, dal centro di rotazione è sotteso tra il
∆ϕ
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
28
sensore solidale al basamento e quello solidale all'alidada sarà uguale a:
9.12
dove n è una costante intera che si ricava dal conteggio del numero di chiaroscuriosservati dal sensore LS o da LR.
Fig. 9.20 – Sistema assoluto dinamico Leica-Wild.
Nel caso in esame ϕ 0= 2π/1024, essendo ϕ 0 la più piccola parte di graduazione delcerchio. Esiste dunque una misura approssimata nϕ 0 ed una misura fine ∆ϕ . Pereliminare l'errore di eccentricità, sia i sensori LS che i sensori LR sono in realtà cop-pie di sensori diametralmente opposti. Un unico processore presiede alla mediadelle numerosissime misure che danno poi luogo alla lettura azimutale e zenitale.La misura ed il calcolo avviene per entrambi i cerchi in meno di un secondo.
È anche possibile predisporre lo strumento per la lettura continua che può avvenirea cadenza di 0.1 s o di 0.15 s, diminuisce però in questo modo la precisione di let-tura (il cerchio esegue una rotazione parziale).
Per il cerchio azimutale LS è posto nella posizione convenzionale dello zero dellagraduazione, per il cerchio zenitale LS è in direzione dello zenit mentre LR è nelladirezione del cannocchiale. Il sistema di lettura, dunque, è un sistema assoluto.
Per correggere le letture zenitali dall'errore di verticalità, il percorso della luce infra-rossa dei sensori zenitali viene preventivamente deviato da un compensatore a liquidosiliconico. Quando viene impartito l'ordine di misura, un motore ruota il cerchioazimutale o zenitale ad una velocità rigorosamente costante entro limiti di tolle-ranza sempre controllati. Il conteggio del numero intero n di suddivisioni tra i sensoriLS e LR è semplice in quanto fra le graduazioni esiste una marca di riferimento,durante tutto il giro del cerchio un contatore conta il numero di graduazioni dopoil passaggio del riferimento da LR sino al comparire dello stesso in LS.
La misura fine della parte ∆ϕ avviene dopo aver convertito il segnale completo (di338 ms di durata) in forma digitale. Il segnale viene analizzato attraverso un conta-
ϕ nϕ0 ϕ∆+=
marker
ϕ0
ϕ
R
R
R(t)
S(t)
S
S
T
t
t
ϕ0 = T0
∆ϕ = ∆T
ϕ nϕ0 T∆+= T nT0 T∆+=
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
29
tore con frequenza di campionamento di 1.72 MHz. Dunque 338 ms osservati a1.72 MHz corrispondono ad un numero di campioni c in 400 gon:
La quantità minima «visibile» dal sistema digitale è allora (in mgon) di:
che rappresenta una sorta di tollerenza limite della lettura angolare.
Il periodo di chiaro scuro è di T= 338 ms/1024 =330 µs.
In realtà non si deve considerare la tolleranza limite t della lettura ma il suo scartoquadratico medio σ . Ipotizzando ragionevolmente la funzione densità di probabi-lità abbia la forma della distribuzione rettangolare e che il supporto di variazione siaappunto di 0.68 mgon, il valore di σ di ottiene da:
Dobbiamo considerare ancora che le misure di fase conteggiate sono ben 1024 e,nel valutare la misura, si tiene conto di tutti questi conteggi; per questo la preci-sione teorica limite aumenta di un fattore . La radice di due al nume-ratore è dovuta al fatto che la lettura angolare è ottenuta per differenza delle fasiprovenienti dai segnali R e S. In tal modo si ottiene per σ il valore limite minimo:
Lo scarto quadratico medio minimo ottenuto in laboratorio, quindi in condi-zioni ideali ma non teoriche di misura, è stato tuttavia di 0.05 mgon. La casacostruttrice fornisce una deviazione standard di 0.15 mgon per entrambe le let-ture ai cerchi secondo le norme DIN 187231. La risoluzione di lettura è tuttaviaspinta a 0.01 mgon. Il compensatore a liquido siliconico agisce su entrambi gliassi di rotazione del teodolite: principale e secondario, ed ha una precisione direttifica di 0.03 mgon, diminuendo l'influenza dell'errore di verticalità anchesulle letture azimutali.
Parliamo ora del sistema di misura continua, statica e con codificatore assolutoadottato nei teodoliti T1000 e T1600 della ditta Leica-Wild.
I cerchi azimutale e zenitale di 78 mm di diametro sono suddivisi in 1152 gradua-zioni, raggruppabili in maniera distinguibile in 128 settori (da 0 a 127). In ciascunsettore cioè vi sono 1152/128=9 informazioni elementari (o divisioni a seconda dicome le si intendono) di 0.27 mm di interasse. In maniera binaria queste 9 suddi-visioni contengono: un «marker», cioè un codice che segna l'inizio del settore, 7bit, contenenti il numero di settore ed un bit di parità per il controllo delle letture.I cerchi, fissi rispetto al basamento od all'asse secondario del teodolite, sono illu-minati in prossimità dell'indice di lettura elettronico con un led a luce rossa cheillumina una piccola parte del cerchio: circa 4 gon, di poco superiore alla dimen-sione di un settore che è 400/128=3.125 gon proiettando la luce al di là del cer-
1 Che sono divenute lo standard per valutare le precisioni di teodoliti tradizionali ed elettronici.
c 338 10 3– 1.72 106 581 103⋅=⋅ ⋅ ⋅=
t 400 103⋅( ) 581 103⋅( )⁄ 0.68 mgon= =
σ0.68 mgon
12------------------------- 0.2mgon±=±=
2 1024⁄
σ1 0.2mgon 23⁄( ) 0.01mgon±≅±=
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
30
chio. La luce, dopo il passaggio attraverso una lente ingrandente, cade su unsensore formato da una serie di 128 fotodiodi. Questi fotodiodi sono governati daun processore che converte il segnale analogico luminoso in forma digitale cosic-ché un numero binario traduce lo stato luce/buio per ognuno dei fotodiodi.
Su 4 gon di ampiezza del segnale luminoso sono posti 128 fotodiodi, ovvero visono su un settore di 3.125 gon, esattamente 100 fotodiodi: è questo il sistemamicrometrico di lettura all’interno di ciascun settore.
Fig. 9.21 – Il sistema di lettura del teodolite Leica-Wild Ti1600.
Il diodo led illumina dunque sempre almeno un marker di settore e permette alprocessore di capire sotto quale dei due o tre settori si trova il centro del led ed ilmarker necessario per la lettura micrometrica.
Chiamiamo dunque con N il numero di settore riconosciuto in maniera assoluta,per la parte di lettura micrometrica il processore traduce in modo digitale ilnumero di frazione di settore f da zero a 100 corrispondente al numero di pixel al difuori della marca di riconoscimento del settore. La lettura angolare corretta sarà allora:
Nell'esempio di figura 9.21 la lettura intera sarà N =0=128; la lettura fine è cioè il marker è visibile sul 55-esimo fotodiodo su 100 utili. Ne segue:
Ci domandiamo ora quale sarà la precisione di lettura. Notiamo dapprima che lenove suddivisioni proiettate su 100 fotodiodi consentono di stimare la parte frazio-
lN f–( ) 400⋅
128------------------------------=
f ' 55=
f f ' 100 0.55=⁄=
l128 0.55–
128------------------------- 400⋅
398.2815gon= =
STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE
31
naria del settore con una approssimazione superiore al pixel2, cioè con scarto quadra-tico medio σ di circa ±0.15 pixel. Per ogni lettura si avrà quindi:
Ogni 3 ms avviene una lettura. La misura si ricava dalla media di 133 letture corri-spondenti ad un intervallo di misura di 400 ms; il valore teorico di σ si riducequindi a:
La casa fornisce per il T1600 uno sqm standard (a norme DIN 18723) di ±0.5mgon, mentre la risoluzione arriva a 0.1 mgon. Lo strumento è dotato di un com-pensatore a pendolo per l'indice zenitale.
Citiamo ancora brevemente alcuni sistemi di lettura.
Nel sistema assoluto statico TOPCON i cerchi, sia l'orizzontale che il verticale, di71 mm di diametro, sono in realtà formati dall'accoppiamento di due dischi di cri-stallo flint di 4 mm di spessore concentrici e rispettivamente solidali alla parte fissaed alla parte rotante (nel caso del cerchio orizzontale all’alidada ed al basamento). Icerchi suddivisi in 1 gon il primo ed in 2 gon il secondo sono osservati proiettandocon un led le tracce di entrambi su un fotodiodo CCD che funge da lettore micro-metrico in maniera simile a quanto descritto per lo strumento T1600. Le letture inrealtà sono doppie in quanto diametrali. Lo sqm di lettura dei cerchi (a normeDIN 18723) è per lo strumento GTS6 o GTS6A di ±0.6 mgon e la misura avvienein 0.3 s. Questi strumenti sono dotati di doppio compensatore.
Lo strumento SOKKIA SET 2C è di caratteristiche e precisioni simili.
Anche gli strumenti AGA sfruttano due cerchi concentrici fissi, solidali alla partefissa ed alla parte ruotante.
Il sistema di lettura è incrementale. Il principio di lettura micrometrica è induttivoessendo le suddivisioni dei cerchi conduttrici e percorse da corrente. È possibilemisurare la differenza di potenziale ∆V fra i due cerchi, massima nel caso di ricoprimentoe minima a metà graduazione. Per la misura angolare si contano il numero di lun-ghezze d'onda intere e si interpola la porzione di lunghezza d'onda per mezzo diconvertitori A/D analogici digitali. In questo modo, pur raggiungendo uno sqm (anorme DIN 18723) di ±0.6 mgon, comune ad altri strumenti, si tiene in realtàconto di tutta la suddivisione del cerchio, di modo che queste letture sono teorica-mente esenti dall'errore di suddivisione. Anche questi strumenti sono dotati di doppiocompensatore.
Infine citiamo il sistema dinamico incrementale della NIKON che, sullo strumentoDTMA6, utilizza un sistema che è simile al sistema dinamico Leica-Wild. In que-sto caso la ditta fornisce uno sqm di lettura di ±0.2 mgon.
2 Una interpretazione di ciò:i. perché faccio 9 misure ⇒ σ =1/3ii. perché è σ ⇒ = ± 0.136 = 2 12⁄ 1 2.45⁄ 1 7.35⁄
σ 0.15 100 400⋅( )⁄128
-------------------------------------------gon 4.7mgon±=±=
σmin4.7
133------------- 0.4mgon±=±
32
10. LIVELLAZIONI
10.1 P
REMESSA
Il rilievo del territorio o dell'oggetto in senso lato, richiede una sua conoscenza nonsolo planimetrica ma anche altimetrica. In cartografia l’altimetria può essere rap-presentata per punti discreti o per curve di livello, mentre in un rilievo cartograficonumerico, specie se ottenuto per vie fotogrammetriche dirette, ogni oggetto rile-vato è già naturalmente formato da una serie di tre coordinate.
Determinare la quota di più punti è fondamentale nella costruzione di qualunqueopera antropica e di ingegneria ed è ovvio che per questi scopi occorre fare riferi-mento al campo reale della gravità, e quindi al geoide, e non a superfici teorichenote solo matematicamente come l'ellissoide.
In termini non rigorosi possiamo definire il geoide come quella particolare superfi-cie equipotenziale che passa per il livello medio del mare in quiete: è evidente che ilpunto di quota zero deve così essere determinato in corrispondenza del mare.L'operazione si esegue anche con l'aiuto di opportuni strumenti detti mareografi ingrado di calcolare e rappresentare graficamente l'andamento altimetrico del mare,depurato dal moto ondoso e mediato dai suoi moti periodici.
Riprendiamo allora alcuni necessari concetti di Geodesia.
Si definisce
quota ortometrica
di un punto la distanza del punto dal geoide, misuratalungo la linea di forza passante per il punto stesso.
Si definisce
dislivello (ortometrico)
tra due punti la differenza di quota ortometricatra i due punti:
∆
AB
=Q
B
-Q
A
.
Come si vede il dislivello è positivo o negativo a seconda che la quota del secondopunto sia maggiore o minore di quella del primo.
Per
livellazione
si intende l'operazione di misura di un dislivello fra due punti.
Le livellazioni si effettuano con strumenti che sfruttano princìpî legati a come sidispongono le superfici liquide in quiete od a pendolismi.
10.2 I
VARI
TIPI
DI
LIVELLAZIONE
Una suddivisione schematica delle livellazioni può essere fatta in base agli stru-menti adottati, essendo i metodi correlati agli strumenti. Vi sono livellazioni che
LIVELLAZIONI
33
richiedono la preventiva determinazione o la conoscenza della distanza tra i puntitra cui si richiede il dislivello, altre che prescindono da ciò. Citiamo:
Livellazioni indipendenti dalla distanza
1. La livellazione
geometrica
, che utilizza il livello a cannocchiale, le stadie, uneventuale micrometro a lamina piano parallela e vari accessori.
2. La livellazione
idrostatica
, che prevede l'utilizzo di sistemi a vasi comuni-canti e sfrutta il principio che in questi vasi il pelo libero si dispone lungouna superficie equipotenziale.
3. La livellazione
barometrica
, che è basata sul principio che il dislivello fra duepunti relativamente vicini sulla superficie terrestre è funzione della pres-sione e in parte della temperatura di un loro intorno.
Livellazioni dipendenti dalla distanza
1. La livellazione
tacheometrica o distanziometrica
, che utilizza il teodolite edun distanziometro ad onde.
2. La livellazione
trigonometrica
, che utilizza il teodolite e un distanziometro digrande portata, ma più spesso sfrutta la misura indiretta della distanza o lasua conoscenza a priori e prevede la stima della rifrazione.
3. La livellazione
ecclimetrica
, che prevede l'utilizzo di un ecclimetro e cioè diun goniometro in grado di misurare angoli in un piano verticale e la misuradiretta o indiretta della distanza.
10.3 L
A
LIVELLAZIONE
GEOMETRICA
La livellazione geometrica utilizza come strumento di misura il livello a cannoc-chiale, detto anche
livello
; lo strumento è strutturalmente formato da tre parti (vedifig.
10.1
): il
cannocchiale
, il quale è appoggiato isostaticamente su una
traversa
,quest'ultima può ruotare sul
basamento
.
La classificazione storica dei livelli (ormai obsoleta che riportiamo solo per curio-sità), fatta per tipologia costruttiva è la seguente:
1. livelli a cannocchiale fisso con o senza vite di elevazione (detti livelli inglesi);
2. livelli a cannocchiale mobile e livella fissa alla traversa;
3. livelli a cannocchiale mobile e livella fissa al cannocchiale (detti livelli Chézy);
4. livelli a cannocchiale mobile e livella mobile (detti livelli Lenoir);
5. livelli con livelle a doppia curvatura e cannocchiale ruotabile attorno alproprio asse a manicotto.
I moderni livelli sono derivati dal modello inglese. La rappresentazione schematicain figura riporta un livello tradizionale con vite di elevazione.
L'operazione di misura di un dislivello fra due punti avviene misurando per collima-zione un regolo graduato detto
stadia
: si misura la posizione del reticolo del cannoc-chiale sulla stadia dopo aver reso l'asse di collimazione accuratamente orizzontale.
LIVELLAZIONI
34
Fig. 10.1 –
Schema del livello a cannocchiale con vite di elevazione.
Per poter rendere orizzontale l'asse di collimazione i livelli dispongono, solidal-mente al cannocchiale, di una livella torica di alta precisione. La condizione di ret-tifica del livello è che l'asse di collimazione e la tangente centrale della livella toricasiano paralleli (
t / / c
in fig.
10.1
), in tal modo a tangente centrale della livella oriz-zontale, anche l'asse di collimazione è reso orizzontale.
La «messa in stazione» consiste solamente nel centrare la livella sferica solidale albasamento, l'orizzontalità della linea di mira si ottiene
prima di ogni lettura alla sta-dia
centrando la livella torica attraverso la vite di elevazione (fig.
10.1
).
È immediato chiedersi in cosa differisce questo strumento dal teodolite: sonoscomparsi i cerchi e l'alidada, esiste ancora un'asse primario, ma il cannocchiale èincernierato alla traversa e la
vite di elevazione
permette di alzare od abbassare l'assedi collimazione di soli pochi gon dall'orizzontale.
Di gran lunga attualmente più utilizzati che i livelli sono gli autolivelli, semprederivati da questi primi strumenti descritti, ma nei quali l'orizzontalità dell'asse dicollimazione è raggiunta automaticamente con sistemi a pendolismo od a fluido,meccanici od ottici.
L'operazione elementare della lettura della stadia posta su due punti si chiama
bat-tuta di livellazione
.
La classificazione dei livelli e della livellazione geometrica viene fatta in relazione allaprecisione dello strumento: è basata sull'errore quadratico medio di una livellazione
t
c
Z
Z
traversa
vite di elevazione
basamento
cannocchiale
LIVELLAZIONI
35
in andata e ritorno su un tratto di un chilometro; (sqm chilometrico
σ
k
).
Si hanno:
1. livelli di bassa precisione o da cantiere:
σ
k
≥
5 mm
2. livelli da ingegneria: 2 mm
≤
σ
k
<
5 mm
3. livelli di precisione: 1 mm
≤
σ
k
<
2 mm
4. livelli di alta precisione:
σ
k
<
1 mm
Per raggiungere queste precisioni, in realtà, assieme allo strumento devono utiliz-zarsi accessori e metodi specifici di rilievo.
Un livello di precisione o di alta precisione, che si contraddistingue per l'alta sensi-bilità della livella torica, osservata a coincidenza (fig.
10.11
), dall'alto numero diingrandimenti del cannocchiale, si abbina sempre ad una adeguata lamina pianoparallela e ad una stadia graduata su un nastro di acciaio invar (fig.
10.10
).
I punti tra cui si calcola il dislivello con una battuta di livellazione devono esseresituati ad una distanza limitata, sia per poter leggere alla stadia con elevata preci-sione, sia per poter limitare errori sistematici od accidentali del metodo.
Le metodologie per la determinazione del dislivello con livellazione geometricasono così suddivise:
– livellazione dal mezzo
– livellazione da un estremo
– livellazione reciproca.
La livellazione geometrica dal mezzo
Per un attimo facciamo l'ipotesi che, nella distanza stazione-stadia, la superficie diriferimento possa essere schematizzata da un piano orizzontale. Facciamo inoltrel'ipotesi che siano esenti altri errori sistematici che vedremo nel seguito.
Fig. 10.2 –
Schema della livellazione geometrica dal mezzo.
B
A
Geoide
Q BQ A
O
l A
l B
LIVELLAZIONI
Il dislivello tra
A
e
B
vale:
La distaottenereprecision
spesso «p
Per dete
occorre e
Il dislive
dove gli
Errori di
Fig. 10.
Osservia
locale sia
sviluppa
da cui:
che è po
R
10.1∆AB QB Q A l A l B–=–=
nza fra ogni battuta di livellazione dipende dalla precisione che si vuole, per livellazioni tecniche non supera i 200 m, mentre per livellazioni die o di alta precisione non supera mai i 40 m. Il punto A viene denominatounto indietro» ed il punto B «punto avanti».
rminare il dislivello tra punti C e D non direttamente visibili o distanti,seguire una serie di battute lungo un percorso detto linea di livellazione.
llo esistente allora fra i punti C e D sarà dato da:
10.2∆CD ∆ ia l i
i C=
a D=
∑ l a
i C=
a D=
∑–=i C=
a D=
∑=
36
indici i ed a hanno il significato appena chiarito.
curvatura e di rifrazione
3 – a. Errore di curvatura terrestre – b. Errore di rifrazione.
mo la figura 10.3a. Nell’ipotesi che, in un ambito limitato, geoide e sferano fra loro paralleli, l'errore di curvatura terrestre è dato da:
ndo in serie il coseno e arrestandosi al primo termine si ha:
i la 3.24.
R
R
R
ε
ω ω
d
x
Geoide
dy
x Rωcos
----------- R R 1ωcos
----------- 1– =–=
xR--- 1
1 ω2
2------–
---------------- 1 1 ω2
2------ 1 ω2
2------=–+≈–≈
xR---
d 2
2R2--------- ;= x d 2
2R------=
LIVELLAZIONI
37
L'errore di rifrazione (fig.
10.3b
) è dovuto al fatto che la radiazione luminosa nonattraversa il vuoto ma si propaga in un fluido rifrangente quale l'atmosfera che haun coefficiente di rifrazione variabile e decrescente dai livelli più prossimi al suoloai livelli più alti in quota. Volendo discretizzare l'atmosfera in una serie di sfere con-centriche di costante coefficiente di rifrazione, ma decrescente con la quota, si vededalla figura che il raggio luminoso che parte secondo una direzione tangente algeoide in un punto (cioè orizzontale) viene deviato via via verso la terra. Si è trovatosperimentalmente che l'angolo di deviazione
ε
è proporzionale, attraverso unacostante
k
,
all'angolo al centro che sottende un arco pari alla distanza
d
, cioè:
I valori più comuni per
k
sono (0.1
≤
k
≤
0.2).
Questo errore ha segno contrario a quello di curvatura terrestre per cui l'errorecomplessivo di curvatura e di rifrazione terrestre sarà:
Nello schema di misura della livellazione dal mezzo (fig.
10.4
), l'errore di rifrazione,di curvatura terrestre e quello residuo di rettifica, nel caso in cui le distanze sta-zione-stadia siano uguali
si annullano
nel calcolo del dislivello.
Fig. 10.4 –
Schema di misura di un dislivello con lettura dal mezzo.
Con queste ipotesi, considerato che l'errore dovuto alla curvatura del geoide neipunti
A
e
B
di figura
10.4
è lo stesso in segno e valore, valgono ancora le formule
10.1
e
10.2
.
ε k ω2--- ;= y εd k
d 2
2R------= =
x y 1 k–( ) d 2
2R------=–
Geoide
Q BQ A
O
l A l B
δA δB
=δA δB
B
LIVELLAZIONI
38
La livellazione geometrica da un estremo
Astraendo dalla curvatura terrestre, dall'errore di rifrazione e dall'errore residuo direttifica, il dislivello nel caso di una livellazione da un estremo si ottiene come è evi-dente in figura 10.5 da:
10.3
Fig. 10.5 – Schema di livellazione da un estremo.
È chiaro tuttavia che questi errori sistematici in questo caso si scaricano completa-mente e senza controllo sulla determinazione del dislivello.
La livellazione geometrica reciproca
Quando non sia possibile posizionarsi in un punto equidistante dagli estremi pereseguire una livellazione dal mezzo si può eliminare l'influenza dell'errore residuodi rettifica, dell'errore di curvatura terrestre e di rifrazione atmosferica con questotipo di livellazione.
Per calcolare il dislivello ∆AB si effettuano due stazioni. Nella prima stazione inprossimità del punto «indietro» A e si fanno le letture alla stadia sia in A che in B.Se poi il cannocchiale è distanziometrico o se si dispone di un livello elettronico, sicalcola la distanza della prima stazione sia da A che da B , altrimenti è sufficienteuna conoscenza approssimativa delle due distanze.
Si effettua una seconda stazione questa volta in prossimità del punto «avanti» B,posizionando il livello in modo che la distanza verso il punto avanti sia uguale aquella che la precedente stazione aveva dal punto indietro ma anche che la distanzaverso il punto indietro sia uguale alla precedente verso il punto «avanti», lavorandocioè secondo uno schema a parallelogramma. Il dislivello corretto è dato dallamedia aritmetica dei due dislivelli calcolati dalle due stazioni.
∆AB QB QA hA l B–=–=
Q BQ A
l B
∆
Piano topografico
A
O
ABh A B
LIVELLAZIONI
39
Fig. 10.6 a/b – Schema di misura di un dislivello con livellazione reciproca.
Dalla stazione S1 si ha:
Le livellazioni geometriche di precisione
Queste livellazioni richiedono non solo strumenti adeguati ma anche procedureatte ad eliminare gli errori che possono influenzare la misura del dislivello. Il livellodi precisione o di alta precisione ha un cannocchiale a lunghezza fissa di grandeluminosità e di molti ingrandimenti, (sino a 40-50) ed è costruito di solito con vitedi elevazione.
La «messa a fuoco» cioè l'adattamento alla distanza della stadia è un'operazione chedeve avvenire con estrema cura, perché può pregiudicare la precisione del metodo,se rimangono delle parallassi superiori alla precisione della misura.
Negli strumenti detti autolivelli od auto livellanti la resa orizzontale dell'asse di col-limazione può avvenire in maniera automatica, grazie a meccanismi detti compensa-tori basati su pendolismi o superfici liquide riflettenti, interne al percorso delcannocchiale.
δ'A
δ"A
A
A
B
B
l'A
l"A
δ'B
δ"B
l 'B
l "B
∆ AB
∆ AB
S1
S2
a.
b.
∆AB l 'A δ 'A–( ) l 'B δ'B–( ) e da S2 si ottiene:–=
∆AB l ''A δ ''A–( ) l ''B δ ''B–( ) ma, essendo–=
δ 'A δ ''B e δ ''A δ 'B , sommando membro a membro si ricava:==
∆AB l 'A l 'B–( ) l ''A l ''B–( )+
2---------------------------------------------------=
LIVELLAZIONI
40
I compensatori fornivano un tempo precisioni inferiori a quelle raggiungibili con lalivella torica, attualmente si sono raffinati in modo tale che vengono adottati anchein autolivelli di alta e altissima precisione.
Essendo la precisione dei livelli funzione della precisione dell'orizzontalità dell'assedi collimazione, non solo la livella torica è molto sensibile, ma si cerca di miglio-rarne anche la precisione di centramento attraverso l'osservazione eseguita con undispositivo detto a co inc idenza di immagine che permette il centramento fineed un'osservazione ingrandita.
Questo sistema permette di osservare contemporaneamente entrambi i lembi dellasuperficie liquida: l'immagine di questi lembi, attraverso un percorso ottico fra pri-smi e lenti viene poi portata ad un piccolo oculare secondario, posto a lato del prin-cipale. Alternativamente l'immagine viene inserita in parte dello stesso campodell'immagine principale osservata (vedi fig. 10.7a e 10.7b).
Fig. 10.7 – Il reticolo del livello ed il sistema di lettura a coincidenza della livella torica.
Con il centramento a coincidenza l'errore residuo è diminuito rispetto alla lettura astima, si ha infatti:
10.4
dove v" è la sensibilità della livella, che negli strumenti di alta precisione è com-presa tra i 10" ed i 25" per 2 mm.
Le stadie da utilizzare per livellazioni di precisione sono quelle a nastro di invar (chetra poco descriveremo) e vanno poste su punti altimetricamente univoci e sicuriquali pilastrini con chiodi a testa semisferica o tripodi con chiodi in acciaio a testasemisferica, se fosse solo sufficiente stazionare provvisoriamente.
L'operazione di centramento della bolla o di assestamento dell'autolivello di preci-sione richiede molta pazienza, le condizioni atmosferiche, per un improvviso com-parire del sole tra le nuvole ad esempio, possono causare variazioni termiche neltreppiede tali da portare fuori coincidenza la livella torica. Per questo motivo, indotazione a questi strumenti si trova alcune volte anche un ombrellone da sole.
144
146
148
150
20 30
40
50
60
7080
90
100
10
a) b)
Lettura: 1,4724 m
e 0.06 v ''=
LIVELLAZIONI
41
La procedura per effettuare una livellazione di precisione od alta precisione è sem-pre la livellazione geometrica dal mezzo, quando è il caso, reciproca. Le distanze,come già detto, tra il punto e la stazione non devono superare i 40 o 50 metri. Lalivellazione deve essere condotta sia in andata che in ritorno e la discordanza tra idislivelli (misurati per ogni battuta almeno due volte) deve rimanere in tolleranza.
La Commissione Geodetica Italiana ha redatto una «Guida alla progettazione e allaesecuzione delle livellazioni geometriche» in cui fornisce suggerimenti per raziona-lizzare le operazioni oltre ai valori di queste tolleranze. La tolleranza tra la misura inandata e quella al ritorno in un tratto di lunghezza L , esprimendo la lunghezzadella livellazione in km è dato da:
Se la livellazione segue un poligono chiuso di lunghezza L, le tolleranze sull'erroredi chiusura saranno ovviamente le precedenti ridotte del fattore .
10.4 LE STADIE
Per livellazioni tecniche o da cantiere, si utilizzano delle stadie in legno, aste centi-metrate generalmente della lunghezza di due o tre metri (fig. 10.8). Nel caso dilivellazioni di precisione le stadie sono formate da una custodia in legno o di allu-minio, contenente un nastro di acciaio invar centimetrato o mezzo centimetrato. Inentrambi i casi le graduazioni sono numerate ad ogni decimetro. Le stadie dispon-gono di una livella sferica che ne rende possibile la resa verticale, ciò è anche assicu-rato dall'operatore che regge questi attrezzi nelle livellazioni tecniche con duepaline, o, nelle livellazioni utilizzanti stadie a nastro invar, con l'aiuto di due asteallungabili, che dalla sommità della stadia si ancorano saldamente al terreno.
Fig. 10.8 – Porzione di stadia in legno centimetrata.
t 6 L mm per le livellazioni di precisione;±=
t 3 L mm per le livellazioni di alta precisione.±=
2
13
12
11
LIVELLAZIONI
42
Nella livellazione di precisione la verticalità della stadia va realizzata con curamaggiore, infatti, pure essendo l'errore di lettura del secondo ordine rispettoall'angolo ω (vedi fig. 10.9):
10.5
Per l=2 m ed ω=1 gon, tale errore è di 0.25 mm, che nel caso di livellazione di altaprecisione non è accettabile. Normalmente tale errore è contenuto attorno a 0.1-0.2gon, attraverso una livella sferica solidale al corpo della stadia.
Fig. 10.9 – Errore di verticalità della stadia.
Una seconda causa che condiziona l'errore di lettura σL della stadia è il metodo diinterpolazione della lettura. A parte i metodi di lettura elettronica, l'interpolazionedi lettura può essere a stima o micrometrica.
Nel primo caso si utilizzano stadie in legno e, se la distanza tra strumento e stadianon supera i 40-50 m, possiamo ritenere che lo sqm di lettura sia σL=±0.1 cm, undecimo dell'intervallo di graduazione della stadia.
Nel caso di utilizzo di micrometro a lamina piano parallela lo sqm di lettura è, perquesta distanza, di 1/10 dell'errore precedente, cioè σL=±0.1 mm, ma può essereulteriormente ridotto avvicinando la stadia allo strumento: sperimentalmente si èvisto che σL, per distanze comprese fra i 5 ed i 50 m cresce con la radice quadratadella distanza.
Queste ultime stadie sono dotate di due graduazioni (fig. 10.10), sfalsate fra lorodella metà dell'intervallo di graduazione, ad esempio di 0.5 cm e numerate in altromodo. Eseguendo la doppia lettura alle due graduazioni, si evitano errori grossolanidi lettura e si mediano quelli accidentali. Queste stadie vengono utilizzate abbinatea strumenti dotati di un reticolo a cuneo, come quello illustrato in figura 10.11, edun micrometro a lamina piano parallela, che permette di spostare l'immagine delreticolo sino alla collimazione eseguita come si vede nella stessa figura.
ε l l ωcos l ω2
2------≅–=
ε
ω l
LIVELLAZIONI
43
Fig. 10.10 – Base di una stadia invar.
La lastra piana, di spessore opportuno, è stata studiata per fare sì che all'escursionemassima, la deviazione che può subire l'immagine per una rotazione del tamburo Tsia di ± 0.5 cm nel caso di stadie centimetrate e di ± 0.25 cm nel caso di stadiemezzo centimetrate.
Fig. 10.11 – Collimazione di una stadia invar.
Il tamburo è generalmente diviso in 100 parti, per cui le letture corrispondenti allemassime deviazioni sono di ±50 (decimi di mm). L'operatore legge direttamenteuna di queste parti e si stima una frazione corrispondente ad un centesimo di mm.
Le graduazioni sono tali che a lamina verticale la lettura è 50 decimi di mm, sicchéper eseguire la lettura è sufficiente sommare sempre la lettura micrometrica alla let-tura al centimetro fatta dopo il centramento del reticolo e della livella torica.
Il più delle volte il tamburo del micrometro è una piccola corona di cristallo gra-duato che, illuminata esternamente, è osservata con un microscopio, nel percorsodi questo vi è un reticolo, l'oculare è collocato per comodità a fianco dell'ocularedel cannocchiale.
Le livellazioni di precisione avvengono utilizzando questi accessori, nonché lemodalità in parte accennate.
131
Posizione del reticoloa collimazione avvenuta
TAMBURO GRADUATO
LAMINA MICROMETRICA
STADIA CENTIMETRATA
LIVELLAZIONI
44
Fig. 10.12 – Tripode d'appoggio della stadia.
Lungo la linea di livellazione la stadia viene appoggiata su capisaldi opportuna-mente predisposti sul percorso, a calotta semisferica in acciaio inossidabile. Nelcaso ciò non fosse possibile o conveniente, si utilizzano dei pesanti supporti dighisa, dotati di tre punte che si conficcano al suolo, su questi è posto un grossochiodo d'acciaio a testa semisferica. Questi supporti (tripodi), sollevati per unamaniglia, si trasportano lungo tutta la linea di livellazione.
10.5 AUTOLIVELLI
Gli autolivelli realizzano automaticamente l'orizzontalità dell'asse di collimazioneattraverso un meccanismo ottico meccanico chiamato compensatore. Gli schemicostruttivi adottati sono i più disparati e vengono chiamati ottici o meccanici aseconda che il reticolo sia solidale al cannocchiale oppure mobile all'interno dellostrumento. È ovvio che il compensatore è dotato di componenti sia ottiche chemeccaniche.
Il principio che schematicamente è il più semplice è quello adottato nell'autolivelloGK1-A della Kern, che utilizza uno specchio (S in fig. 10.13) incernierato al corpodel cannocchiale che rimane sempre verticale, e che è posto a metà della lunghezzafocale del sistema obiettivo.
L'immagine viene deviata di un angolo uguale e contrario all'inclinazione dell'assemeccanico del cannocchiale, e, messa a fuoco sul reticolo R , viene da qui portataopportunamente all'oculare.
Il cannocchiale è a lunghezza costante, così che è presente nel percorso ottico unalente divergente (non visibile nel disegno) che serve a mettere a fuoco l'immagine,cioè a portarla sul piano del reticolo.
Ogni meccanismo compensatore deve essere estremamente sensibile per esserealtrettanto preciso: ne deriva che le oscillazioni del sistema compensatore potreb-bero durare anche parecchi secondi; per ovviare a ciò, questi sistemi sono dotati
LIVELLAZIONI
45
di organi di smorzamento che sfruttano le proprietà di un liquido viscoso, un gasod un attrito magnetico.
Fig. 10.13 – Principio di funzionamento dell' autolivello Kern GK1-A.
Il dispositivo compensatore entra normalmente in azione per piccole inclinazionidell'asse meccanico del cannocchiale: è necessario quindi sempre rendere grosso-modo orizzontale il piano della traversa grazie ad una livella sferica ad essa solidale(in questi strumenti è ovviamente assente la livella torica).
Di solito è possibile far oscillare volutamente il sistema compensatore attraverso unbottoncino esterno opportunamente situato sullo strumento. Questa operazionefatta di tanto in tanto permette di verificare se il trasporto, od altri problemi mecca-nici hanno causato pericolosi blocchi del sistema compensatore.
Altri autolivelli meccanici (fra i più vecchi il livello Salmoiraghi 5190) sfruttano ilprocedimento meccanico di appoggiare il reticolo sulla base di una massa pendolarerovescia, su cui, a fuoco, si forma l'immagine: lo strumento risulta di forma verti-cale allungata.
Un altro sistema di tipo ottico, adottato nello strumento Zeiss Ni2, devia l'asse dicollimazione grazie ad una serie simmetrica di prismi, sospesa pendolarmente nelpercorso ottico lungo una biella di un parallelogramma articolato, che consente unsolo grado di libertà al sistema.
Vi sono infine dei compensatori ottici che deviano l'asse di collimazione grazie adun pendolo diritto costituito da una piccola asta flessibile, sulla quale è posta comemassa un prisma riflettente.
Tutti questi sistemi raggiungono l'orizzontalità con sqm che varia da ±0.1" a ±2".
10.6 LIVELLI ELETTRONICI
Parleremo del livello elettronico Leica Wild Na2000; non è oggi il solo livelloelettronico né il primo (circa sette anni prima della sua comparsa la casa Zeiss diJena propose un livello con metodo di lettura elettronico automatico) ma senzadubbio questo livello è oggigiorno il più diffuso.
R
S
Reticolo
oculare
LIVELLAZIONI
46
Anche qui, come nei teodoliti elettronici occorre chiarire che di digitale ed elettron-ico vi è solo la lettura alla stadia, rimanendo lo strumento, dal punto di vista mec-canico e ottico, un buon autolivello.
Il principio di lettura della stadia è simile al principio di lettura di una sequenza dicodici a barre, perciò le stadie abbinate allo strumento sono stadie sulle quali èincisa una particolare sequenza codificata. Per quanto premesso lo strumento puòanche essere usato abbinato anche a tradizionali stadie graduate.
Fig. 10.14 – Schema del livello elettronico Leica Wild Na2002.
L'idea base è usare la scansione elettronica dell'oggetto.
Sinora non era possibile automatizzare le livellazioni geometriche di alta precisionein quanto le sensibilità delle procedure di scansione elettronica erano notevolmentepiù scadenti delle capacità dell'occhio umano.
Gächter, Brauneker, Muller e Göldi furono i primi che riuscirono a stimare, misu-rare, l'immagine di una stadia, attraverso una procedura elettronica.
Una matrice di diodi riceventi il segnale ottico (che prendono il posto dell'occhiodell'osservatore) riconoscono sulla stadia un codice a barre dal quale si riesce a deri-vare un segnale caratteristico. Una procedura di correlazione all'interno del livellointerpreta la forma di questo segnale riuscendo a stimare la distanza dal livello allastadia e contemporaneamente la lettura alla stadia.
I livelli digitali Leica Wild NA2002 e Leica Wild NA3002 hanno le medesimecaratteristiche ottiche e meccaniche di un normale autolivello, sicché possono uti-lizzarsi anche in questo modo abbinandoli a stadie in legno centimetrate od a stadiein fibre ottiche fornite in dotazione; su queste sono incise da un lato le graduazioniin formato binario e dall'altro le graduazioni in formato tradizionale.
L'apertura angolare del sistema ottico del livello è 2°, dunque la massima lunghezzadella stadia di 3.5 m è visibile a 100 m ed il minimo campo e alla distanza focaleminima di 1.8 m, corrispondente a 70 cm sulla stadia.
Viene calcolata una distanza approssimata attraverso la lettura di un encoder (2 infig. 10.14) che misura lo spostamento delle lenti anallattiche tra le distanze focaliminima e massima: la distanza dell'oggetto a fuoco varia infatti linearmente con la
1
2
3
456
789
1 Obiettivo
2 Encoder di messa a fuoco
3 Lente anallattica
4 Spia di controllo compensatore
5 Acquisitore digitale
6 Oculare
7 Sistema compensatore
8 Divisore di immagine
LIVELLAZIONI
posizione di queste lenti. Questa distanza serve a stabilire approssimativamente unascala dell'immagine digitale ricevuta e un campo massimo.
Ecco come avviene la misura: l'immagine del codice a barre giunge attraverso lelenti ad un vettore di diodi ricevitori, dopo essere passata da un prisma semi riflet-tente (8) che devia una parte di luminosità (la componente infrarossa) su un sen-sore digitale (5) particolarmente sensibile a questa componente, lasciando passare laparte visibile all'occhio umano.
Il segnale viene amplificato e digitalizzato, attraverso sensori CCD di 256 pixel, cia-scuno dei quali misura otto livelli di grigio.
Il sensore è costituito da un vettore di 256 fotodiodi spaziati fra di loro di 25 µmper una lunghezza totale di 6.5 mm.
Anche il comportamento del compensatore (7) durante la misura, è registrato daun sensore elettronico.
In seguito la tecnica di correlazione determina la posizione dell'immagine rispettoall'orizzontale (stabilita dal compensatore) e la scala dell'immagine rispetto ad uncodice campione. Il tutto avviene in un tempo massimo di 3 secondi.
Fig. 10.15 – Massimizzazione della funzione di correlazione.
La correlazione consiste nel comparare il segnale immagine con un codice di riferi-mento memorizzato nel livello corrispondente al numero binario inciso sulla stadia.La tecnica permette il calcolo dell'altezza (il filo medio nei livelli tradizionali) edella scala. La differenza di quota tra strumento e stadia rappresenta lo spostamentoda dare all'immagine codificata nella ricerca della massima correlazione. La scala dadare al codice memorizzato è proporzionale alla distanza livello-stadia.
Il coefficiente di correlazione dipende dunque dalle due quantità d e h :
10.6r d,h( ) 1N----- Q y( ) P d,y h+( )
0
N
∑=
47
LIVELLAZIONI
48
dove:
d e h sono la distanza e la lettura alla stadia;
P è il segnale di riferimento;
Q è il segnale misurato;
r è la funzione di correlazione da massimizzare;
N è la lunghezza con la quale si è discretizzato il segnale binario (256).
Per cercare il valore massimo di r (.) (vedi fig. 10.15) considerando di usare unnumero discreto di valori di (d,h ) compatibile con le precisioni richieste, occor-rerebbe in teoria eseguire questi prodotti circa 50.000 volte con tempi di attesainaccettabili.
Si ovvia a ciò con una correlazione fatta a due livelli, grossa e fine. Già la distanzaapprossimata derivata dall'encoder interno riduce dell' 80% l'area di ricerca; le ope-razioni si riducono drasticamente limitando la dinamica del segnale da 8 bit ad 1bit. Il prodotto dei segnali P e Q si esegue con una velocissima operazione binariaxnor1 che consiste nel porre ad 1 il risultato del prodotto per :
10.7
Il segnale di riferimento P nella 10.6 è ovviamente scalato e traslato in funzione di de di h .
Ricavati i valori stimati di d ed h, la correlazione fine utilizza tutti gli 8 bit del seg-nale ma solo all'interno di una limitata area di ricerca.
Siccome l'ampiezza massima e minima del segnale ricevuto e quella del segnale diriferimento sono diverse a seconda della luminosità, la funzione di correlazioneviene normalizzata all'interno dell'intervallo [0-1]. Ciò permette anche di capire sesi è raggiunta statisticamente una buona correlazione.
Il calcolo considera la possibilità di possibili oscuramenti di parte della stadia acausa di ostacoli che possono essere tollerati senza problemi per circa il 20%dell'immagine.
Il livello NA3002 differisce in pratica dal livello NA2002 per la densità di ricercanell’area fine che è maggiore di circa il 40%.
1 La funzione xnor è estremamente rapida: ad esempio l'operazione (è xnor ù)=Γ. Si ha infatti intermini binari:è =10001010 =carattere ASCII 138ù=10010111 =carattere ASCII 151Γ=11100010 =carattere ASCII 226Il valore massimo di (x xnor y) si avrà sempre quando x=y. Lo stesso ragionamento può essereesteso ai numeri di lunghezza superiore ad 1 byte=8 bit.
Pi Q i=
Pi Q i 1⇒=
r d, h( ) r i j,( ) Q j( ) xnor P i j,( )==
LIVELLAZIONI
49
10.7 IL CODICE BINARIO
Il codice inciso sulle stadie consiste in una sequenza di intervalli bianco/nero ed èun unico numero binario pseudo stocastico (senza sotto ripetizioni) di 2000 ele-menti, ciascuno di 2.025 mm, di modo che la stadia più alta che si possa usare èdi 4.05 m.
La precisione del risultato dipende dal segnale ricevuto, o meglio dal rapporto seg-nale/rumore e dalla discretizzazione eseguita.
Anche la qualità dell’ottica, la precisione del compensatore, hanno ovviamente laloro importanza.
Per livellazioni di bassa precisione si possono usare le stadie in fibra di vetro compo-nibili in tre pezzi della lunghezza totale di 4.05 m e di 50 mm di larghezza sino a100 m di distanza dalla stazione.
Per non subire gli effetti della rifrazione asimmetrica, nelle livellazioni di precisione,con la stadia codificata a nastro invar è bene che le distanze non superino i 30 m.
Nelle livellazioni di precisione l’effetto calore che sale dal suolo (ballerina) rendetremolante e distorta l’immagine ricevuta. In zone vicine a cantieri od a traffico levibrazioni influenzano il compensatore.
È possibile allora sfruttare la misura ripetuta n volte che permette di ricavare auto-maticamente il valor medio e la varianza della lettura alla stadia.
Per saturare i fotodiodi le condizioni di luminosità variabili fanno sì che i tempi diacquisizione varino da 4 ms a 2s.
Se si desidera compiere le operazioni di rilievo in condizioni di luminosità artifi-ciale occorre che lo spettro della luce prodotta comprenda anche le componentiinfrarosse.
Il software interno permette di riconoscere anche se e dove sono localizzate zonedell’immagine coperte o contrastate da forti ombre.
È bene però che, per l’affidabilità della misura, queste zone non siano superiori al20% dell’immagine.
Per discriminare in modo inequivoco la zona oscurata sono necessari solo 70 mm dicodice, perciò al di sotto di 5 m di distanza non è possibile che la stadia sia copertada alcun ostacolo.
La risoluzione di misura del sistema è: r=0.1 mm per il livello NA2002 e r=0.01mm per il livello NA3002; in entrambi i casi la distanza viene misurata con σ=±1cm al di sotto di 100 m.
La ripetività delle misure mostra un andamento degli scarti lineari con la distanzadella stadia con costanti 0.6 mm/100m e 0.3 mm/100 m per NA2002 e per illivello NA3000 o in invar (vedi tabella 10.1).
Gli strumenti sono dotati di un registratore che permette la memorizzazione di 285dislivelli o di 500 letture. Gli strumenti sono dotati anche di programmi di con-trollo strumentale o programmi per particolari misure. Il programma «invert» per-mette ad esempio di usare lo strumento con stadie «inverse» cioè appese e nonappoggiate a capisaldi di livellazione.
LIVELLAZIONI
50
Con questi livelli le procedure di rilevo vengono velocizzate in media di almeno il50% del tempo.
Tutti i meccanismi compensatori degli autolivelli o dei livelli elettronici possonosubire l’influenza del magnetismo terrestre, particolarmente sensibile in zone mon-tuose. Questi primi livelli elettronici non ne erano esenti. La casa costruttrice hasuccessivamente rimediato all’inconveniente su tutta la gamma strumentale.
10.8 CALCOLO DELL'ERRORE DI SRETTIFICA E RETTIFICA DI UN LIVELLO
Condizione di rettifica di un livello è che la tangente centrale alla livella torica siaparallela all’asse di collimazione.
Condizione di rettifica di un auto livello è che il compensatore o il sistema di pen-dolarismi renda orizzontale l’asse di collimazione.
Per rettificare un livello od autolivello occorre valutare prima l’errore di srettificamisurando da un estremo un dislivello, e valutando quanto questo differisca dal suovalore noto a priori. Tale valore può essere determinato (con lo stesso livello) conuna livellazione geometrica dal mezzo che riduce, teoricamente elimina, gli erroridi srettifica.
In un livello, verificata la rettifica della livella torica, l’errore di srettifica residuo èdovuto al fatto che asse di collimazione e tangente centrale della livella non sono fraloro paralleli. Siccome ad ogni lettura è indispensabile il centramento della livella,si preferisce ricostruire questo parallelismo agendo sulla vite di rettifica della livellain questo modo. Sui capisaldi altimetrici ben scelti e univoci (pilastrini o tripodi) siè già calcolato il dislivello che chiamiamo .
Con livellazione da un estremo, A ad esempio, si legge la stadia sia in A che in B.
Si calcola questo secondo dislivello: . In tale dislivello è concen-trato tutto l'errore di srettifica del livello.
Data la modesta entità della distanza da A, (infatti, si può trascurare l'errore di cur-vatura e di sfericità in entrambi i punti) rimane l'errore residuo di srettifica nelpunto più distante. L'entità di quest'ultimo è il dislivello corretto (quello calcolatocon la livellazione geometrica dal mezzo) meno il nuovo dislivello. Si fa in modoperciò di effettuare in B una lettura tale da ottenere il dislivello corretto cioè
, agendo sulle viti di rettifica della livella torica.
Tab.10.1 – Sqm chilometrico dei livelli digitali Leica Wild.
σ (mm al km) STADIA A FIBBRE STADIA INVAR
NA2002 1.5 0.9
NA3002 1.2 0.4
∆'AB
∆''AB l A '' l B''–=
l ''' l B''' l A '' ∆''AB–=
LIVELLAZIONI
51
Avendo a disposizione un autolivello si compiono le stesse operazioni preliminaridi misura del dislivello e di livellazione da un estremo. Collimando il punto B siesegue la lettura . Si porta l’asse di collimazione a leggere agendo conestrema cura e attenzione sulle viti verticali di rettifica del reticolo, spostando cioèl’asse di collimazione.
10.9 LA LIVELLAZIONE TRIGONOMETRICA
Le operazioni di inquadramento planimetrico dell'Istituto Geografico Militare,cominciate più di un secolo or sono, furono condotte con teodoliti di precisione econ procedure di misure adeguate all'importanza del vertice di rete.
Apparve subito che, mentre si conducevano misure azimutali, i vertici trigonome-trici potevano essere inquadrati anche altimetricamente mediante la misura degliangoli zenitali.
Per far ciò occorreva risolvere almeno due problemi: quello di potere usufruire diqualche riferimento altimetrico ben materializzato su vertici che spesso sono cam-panili, tralicci o ciminiere e quello di potere calcolare il dislivello tenendo in debitoconto sia della curvatura terrestre che della rifrazione atmosferica, come necessarionelle distanze abitualmente coinvolte nella rete trigonometrica.
È soprattutto l'incertezza su quest'ultima variabile che, come dimostreremo, consi-glierebbe, se non si hanno misure precise della rifrazione, di non estendere questometodo a distanze maggiori di 10-12 km.
In questo ambito possiamo fare altre importanti ipotesi: Le operazioni di misura didislivelli fanno riferimento alla superficie del geoide che, per soli scopi planimetrici èapprossimabile allo sferoide, all'ellissoide prima ed alla sfera locale poi nell'intornodel campo geodetico.
Ipotizziamo che, nell'intorno di 12 km, le superfici equipotenziali siano sferiche edil geoide sia una sfera di raggio:
con ed valori medi dei due raggi di curvatura.
Le deviazioni della verticale saranno allora:
Ipotizziamo che le quote dei punti A e B (fig. 10.15) siano le distanze di A e B aquesta sfera.
Poniamo infine che i punti A e B tra i quali si deve calcolare il dislivello apparten-gano alla rete trigonometrica (da cui il nome del metodo) e quindi la distanza d sianota o ricavabile.
Per il momento evitiamo di considerare, o pensiamo di poter trascurare, la rifra-zione atmosferica.
l B'' l B'''
R ρ RN=
ρ RN
ξ ,η( ) 0=
LIVELLAZIONI
52
Fig. 10.15 – Livellazione trigonometrica reciproca.
Se fosse possibile misurare sia φAB che φBA, dal teorema di Nepero applicato altriangolo AOB si ricaverebbe:
dal triangolo OAB si ha poi che , per cui, sostituendo:
ponendo :
Geoide //sfera locale
O
α
δ
ϕβ
R
d
B
A
QA
QB
AB
ϕ BA
tg12--- π ϕBA π ϕAB–+–( )
tg12--- π– ϕBA π ϕAB–+ +( )
------------------------------------------------------------R Q B+( ) R Q A+( )+R Q B+( ) R Q A+( )–
---------------------------------------------------=
Q B Q A–( ) tg πϕAB ϕBA+
2-----------------------
– tg12--- ϕAB– ϕBA+( ) 2R Q B Q A+ +( )=
ϕAB ϕBA+ π δ+=
Q tg12--- ϕAB– ϕBA+( ) 2 R
Q B Q A+2
---------------------+ tg π 1
2--- π δ+( )–
1–
=∆
Q MQ A Q B+
2---------------------=
Q tg12--- ϕBA ϕAB–( ) tgδ
2--- 2 R Q M+( )=∆
LIVELLAZIONI
sviluppando in serie la tangente si ha2:
trascurando quindi il termine cubico si può approssimare
In quesprecisio(Q M/R
Anche svello ∆Q
Il dislivdislivelltogliere sull'altro
In realtàmeno ilcome guda un es
Livellazi
Riprend
2 La conocioè di
tg δ2---- δ
2---- δ 3
24------ … ma δ d
R--- per cui δ
3
24------
d3
24R3------------ 10 9–≅==–+≅
tgδ2--- d
2R------≅
10.8Q∆ d 1Q M
R--------+
tg12--- ϕBA ϕAB–( )=
ta formula appare evidente che non occorre conoscere Q M con eccessivane. Infatti se Q B fosse noto approssimativamente con ±10 m, il termine) sarebbe già preciso con .
e QM fosse meno precisa si potrebbe, dalla formula 10.8, ricavare il disli- con 2 iterazioni.
ello così calcolato è inteso da centro a centro dello strumento. Se si cerca ilo tra i due punti a terra, occorre sommare l'altezza di uno strumento equella dell'altro, o quella della mira che eventualmente può essere collocata punto.
10.9
spesso i punti sono talmente distanti da non riuscire ad intravedere nem- treppiede, e la collimazione è fatta su particolari più grandi e ben visibili,glie di montagne, parapetti di finestroni o gronde. Se la livellazione è fattatremo e sull'altro non vi è segnale o strumento è ovvio che hB=0.
one trigonometrica da un solo estremo
endo la 10.8 nell'ipotesi di non potere misurare , si sostituisce a :
σ 10 6⁄ 10 6–⋅±=
∆AB d 1Q M
R--------+
tg12--- ϕBA ϕAB–( ) hA hB–+=
ϕBA ϕBA
ϕBA π δ ϕAB–+( ) e si ottiene:=
10.10
Q∆ d 1Q M
R--------+
tg12--- π δ ϕA ϕA––+( )=
Q∆ d 1Q M
R---------+
tg ϕAδ2---–
=
Q∆ d 1Q M
R---------+
ctg ϕAd
2R------–
=
53
scenza di δ si ha anche da ϕA e ϕB ma con un errore più alto, pari a quello degli ecclimetri,circa .σ 5 cc±≅
LIVELLAZIONI
54
Livellazione reciproca simultanea in presenza della rifrazione
Si faccia l'ipotesi reale di non più astrarre dalla rifrazione. Gli angoli zenitali misu-rati ϕ (apparenti) saranno più piccoli di quelli reali Z di una quantità ε che si puòempiricamente dimostrare essere proporzionale, attraverso il coefficiente K di rifra-zione, alla distanza d . Si ha cioè:
Il coefficiente di rifrazione K è variabile con la latitudine, con la quota, ed ha purevariazioni diurne. Pur non potendo parlare di «costante K», il suo valore è comun-que oscillante in un intervallo compreso tra 0.08 e 0.22.
Vediamo ora l'influenza della rifrazione sulla 10.8, con le solite ipotesi sulla cono-scenza di R, d, ϕ AB , ϕ BA e le ulteriori ipotesi sulla rifrazione:
Partendo dalla 10.8 così riscritta:
si ricava:
identica alla stessa 10.8 anche in caso di rifrazione.
Partendo dalla 10.10 e sostituendo al posto dell’angolo ϕ AB , l’angolo ϕ AB + εA siottiene:
con:
è dell’ordine di pochi secondi centesimali, per cui, ricordando losviluppo della cotangente:
ε K δ2---=
εA KA δ 2⁄=
εA KB δ 2⁄=
εA εB≈ KKA KB+
2-------------------=⇒
Q∆ d 1Q M
R--------+
tg12--- ZBA ZAB–( )=
Q∆ d 1Q M
R--------+
tg12--- ϕBA ϕAB–( )=
Q∆ d 1Q M
R---------+
ctg ϕAB εAd
2R------–+
=
εA K δ2--- K
d2R------= =
Q∆ d 1Q M
R---------+
ctg ϕAB1 K–
2R------------- d–
=
1 K–( ) 2R( )⁄ d
ctg α ε+( ) ctgα ε 1αsin2
------------– ε 2...+≅
LIVELLAZIONI
Come s
La detedislivelstate fario nel
Fig. 10
Nella fi
Se la disi può
10.11Q∆ d 1Q M
R--------+
ctgϕAB1 K–
2R------------- d 2 1
ϕ ABsin2------------------+≅
55
i ricava l'indice di rifrazione K da misure reciproche
rminazione del coefficiente di rifrazione K può essere utile per calcolare illo verso altri vertici trigonometrici oltre a quelli su cui necessariamente sonotte osservazioni reciproche, nell’ipotesi che il valore sia abbastanza staziona-tempo e nello spazio.
.16 – Livellazione trigonometrica reciproca in presenza di rifrazione.
gura 10.16, dal triangolo ABO si ricava:
stanza tra i punti non è eccessiva e le misure sono pressoché contemporanee,ritenere:
KA ≅ KB = K
O
δ
d
B
A
ϕBAZ BA
εΒ
εΑ
Z ABϕAB
ϕAB εA ϕBA εB+ + + π δ+=
ϕAB ϕAB KA KB+( )δ2---+ + π δ+=
KKA KB+
2------------------- ϕAB ϕBA π–+( ) R
d----= =
LIVELLAZIONI
56
Precisione della livellazione trigonometrica
Applicando la formula di propagazione della varianza alla 10.11:
ove abbiamo posto ϕ =ϕ AB ,
valutiamo quale sarà l'errore quadratico medio del dislivello.
Le variabili indipendenti nella formula sopra indicata sono:
– la distanza d
– l'angolo zenitale ϕ – il coefficiente di rifrazione K.
Se si fanno le seguenti semplificazioni:
(100 gon) per cui:
(ammissibile anche perché moltiplica un termine già piccolo)
e:
si ottiene:
Definiamo il termine:
(precisione delle distanze) e ipotizziamo che . Le tre parti che compon-gono sono:
Nella formula precedente è stata indicata con la somma vettoriale delle trecomponenti indipendenti.
Ad esempio per , , , si può ricavare latabella 10.2 che fornisce l'errore quadratico medio del dislivello ottenuto con lalivellazione trigonometrica.
Si nota che per distanze inferiori a 10 km σ∆ cresce linearmente secondo:
; oltre il limite di 10 km è preponderante σΚ e la funzionenon è più lineare.
Q∆ d 1Q M
R--------+
ctgϕ 1 K–2R
------------- d 2 1ϕsin2
------------+=
ϕ 90°≅
1ϕsin2
------------ 1≅
Q M
R-------- 0≅
σ Q∆2 ctg2ϕ d 2 1 K–( )2
R2--------------------+
σd2 d 2
ϕsin4------------ σϕ
2 d 4
4R2---------σK
2+ +≅
σd
d-------- pd=
pd 10 5–=σ Q∆
σ Q∆ d ctgϕ pdd
ϕsin2--------------σϕ
d 2
2R------ σK⊕ ⊕
=
⊕
pd 10 5–= σK 0.01±= σϕ 1 mgon±=
σ∆ 1.2 cm d km( )⋅±=
LIVELLAZIONI
57
10.10 LA LIVELLAZIONE ECCLIMETRICA UTILIZZANDO TEODOLITE E DISTANZIOMETRO
Indicando con:
s = «slope» la distanza inclinata misurata col distanziometro (s massima < 1 kmoppure < 500 m)
ϕ = l'angolo zenitale letto collimando il segnale angolare posto in B. Per questedistanze, nelle quali è trascurabile in genere la rifrazione, assumiamo ϕuguale alla distanza zenitale z
h = l'altezza strumentale, cioè la distanza tra il centro strumentale (intersezionedei tre assi principale, secondario e di collimazione) ed il punto A
l = l'altezza della palina o del treppiede misurata dal punto B al centro del seg-nale angolare
dt = la distanza «topografica», misurata cioè nel piano topografico che passa per A.
dalla figura 10.17 appare evidente che:
Fig. 10.17 – Livellazione ecclimetrica.
Tab.10.2 – Precisione della livellazione trigonometrica.
DISTANZE d 500 m 1000 m 5 Km 10 Km 20 Km
0.08 cm 0.16 cm 0.8 cm 1.6 cm 3.2 cm
0.50 cm 1.00 cm 5.0 cm 10.0 cm 20.0 cm
0.02 cm 0.08 cm 2.0 cm 8.0 cm 32.0 cm
somma vettoriale ________ ________ ________ ________ ________
0.5 cm 1.0 cm 5.4 cm 12.9 cm 37.9 cm
d ctgϕ pd
d σϕ
d2
2R------ σK
σ∆ ±=
∆AB s ϕ h l dt ctgϕ h l–+=–+cos=
ϕϕ
ϕ
h h
A
dt
SB
S COS
∆ AB
LIVELLAZIONI
58
Volendo utilizzare questa livellazione sino a 1000-1500 m, con errori dell’ordinedel cm occorre considerare per lo meno la correzione di sfericità, cioè:
10.12
Precisione della livellazione ecclimetrica
Facendo l'ipotesi che:
si riportano nelle due tabelle seguenti i valori dei singoli errori (sqm) relativi rispet-tivamente ad angoli zenitali ϕ = 90 gon e ϕ = 80 gon.
(0.5 mgon) (2 mgon)
100 m 500 m 1 km 100 m 500 m 1 km
ϕ =90 gon
0.0 cm 0.0 cm 0.2 cm 0.0 cm 0.0 cm 0.2 cm
0.1 cm 0.4 cm 0.8 cm 0.3 cm 1.6 cm 3.2 cm
0.1 cm 0.4 cm 0.9 cm 0.3 cm 1.6 cm 3.2 cm
ϕ =80 gon
0.0 cm 0.0 cm 0.3 cm 0.0 cm 0.1 cm 0.3 cm
0.1 cm 0.4 cm 0.9 cm 0.4 cm 1.7 cm 3.5 cm
0.1 cm 0.4 cm 1.0 cm 0.4 cm 1.7 cm 3.6 cm
∆AB s ϕ h l– s 2 ϕ 2cos2R ϕsin2-------------------–+cos=
σd
d-------- pd 10 5–±= =
σϕ 0.5 mgon 5cc±( );±=
σϕ 5cc±= σϕ 20cc±=
dt ctgϕ σd
dt
ϕsin2------------ σϕ
σ∆ ±=
dt ctgϕ σd
dt
ϕsin2------------ σϕ
σ∆ ±=
LIVELLAZIONI
59
10.11 INSERIMENTO DI UNA DISTANZA MISURATA IN CARTOGRAFIA
Dati i seguenti elementi misurati:
– la distanza tra due punti P1 P2 (fig. 10.18) misurabile con un EODM edepurata dalle influenze atmosferiche (temperatura, pressione ed umiditàrelativa)
– l'angolo zenitale Z (depurato dalla rifrazione)
– le coordinate approssimate del punto di stazione P1(ϕ , λ, h1)
il problema è il passaggio dalla distanza misurata «in linea d'aria» alla distanza che sideve leggere su una carta topografica ad una certa scala.
I passaggi elementari sono:
a. Proiezione (detta anche riduzione) della distanza alla superficie di riferi-mento che può avvenire con questi sottopassaggi:
• riduzione all'orizzonte
• riduzione al geoide
• riduzione all'ellissoide
• riduzione alla sfera locale
b. Riduzione o passaggio della distanza dalla superfici e di riferimento alla carta.
Facciamo l’ipotesi di essere nel campo geodetico (per il trattamento planimetricodelle distanze). In questo ambito possiamo approssimare il geoide ad una sfera localedi raggio , con N valore medio dell’ondualazione del geoide.
Fig. 10.18 – Riduzione di una distanza alla sfera locale.
R ρRN N+=
δ
δ
O
A
R
R
B
C
D E
ZP1
h1
h1
P2l
∆h
Sfera loc.
LIVELLAZIONI
60
Osservando il triangolo OP1P 2 si ha:
Applicando la formula di Carnot:
da cui:
10.13
la soluzione è:
ma ciò richiede sia noto il dislivello ∆h (ad esempio attraverso una livellazionetrigonometrica).
In alternativa è possibile ricavare:
10.14
Nel caso in cui occorra considerare anche la rifrazione, la 10.13 diviene:
10.15
Si arriva alla soluzione mediante processo iterativo sulle formule 10.13 e poi 10.14,oppure, in presenza di rifrazione, tra la 10.13 e la 10.15.
indica la «lunghezza percorsa» dall'onda ottica.
Per inserire in cartografia, se è inferiore a 10 km, si ricava dapprima ilmodulo di deformazione m:
OP2 R h1 h∆+ +=
l 2 R h1+( )2 R h1 q∆+ +( )2 2 R h1+( ) R h1 h∆+ +( ) δcos–+=
δcos 1 l 2 h∆ 2–2 R h1+( ) R h1 h∆+ +( )--------------------------------------------------------–=
l 0 Rδ=
h∆ CD DP2 OD R h1+( )–[ ]EP2
δcos----------+=+=
h∆R h1+
δcos-------------- R h1+( )– l Zcos
δcos--------------+=
h∆R h1+( ) 1 δcos–( ) l Zcos+
δcos-----------------------------------------------------------------=
h∆R h1+( ) 1 δcos–( ) l ϕ K δ 2⁄+( )cos+
δcos------------------------------------------------------------------------------------------=
ε K δ2---=
l p l per ε piccoli K 0.14=( )≅ ε 8mgon<
l p l 0 l 0
m 1 12---+
x2
R2-----
0.9996 valutando ρ RN e N nel punto medio tra A e B,( )⋅=
LIVELLAZIONI
61
Fig. 10.19 – Inserimento di una distanza in cartografia in presenza di rifrazione.
Il valore che si deve riportare sulla carta sarà:
Per > 10 km si usa la formula per elementi finiti:
Si propone il seguente esercizio.Noti
Ricavare ∆q ed .
δ
δ
O
A
R
R
B
C
D E
ZP1
h1
h1
P2l
∆h
Sfera loc.
l c
l cml0
n--------= l c distanza cartografica;= n 1 scala della carta⁄=
l 0
m 1x1
2 x1x2 x22+ +
6R2--------------------------------+
0.9996⋅=
P1 ϕ 45°28 ′3822.36; λ 9°13 ′39″ .57; q1 123.12m===( )≡
Ds l 10km; ϕ 88°98262; = K 0.14, N 40m= == =
l 0
LIVELLAZIONI
62
10.12 INSERIMENTO DI UNA DISTANZA MISURATA NOTE LE QUOTE DEI DUE ESTREMI
Nel caso in cui siano note le quote degli estremi,che chiamiamo Q 1 e Q 2 e ledistanze inclinate , partendo dalla formula di Carnot si ottiene:
e approssimando (1–cosδ) a :
Ci rendiamo conto che al secondo membro i termini dopo il numero uno sonoabbastanza piccoli. Vogliamo ricavare , cioè la radice del secondo membro.Sviluppiamo in serie binomiale:
10.16
Trascurando gli ultimi due termini si ha:
10.17
In seguito si procede come già visto per passare da a .
Si può facilmente notare che la formula porta allo stesso risultato se viene applicata a P2.
l
l 2 R Q1+( ) 2 R Q1 Q∆+ +( ) 2 2 R Q1+( ) 2 δcos 2 R Q 1+( ) Q δcos∆––+=
l 2 2 R Q1+( ) 2 ∆Q 2 2 Q R Q1+( )∆+ 2 R Q1+( ) Q δcos∆– 2 R Q 1+( ) 2 δcos–+=
l 2 2 R Q1+( ) 2 1 δcos–( )⋅ ∆Q 2 2 Q R Q1+( )∆ 2 Q∆ R Q 1+( ) δcos–+[ ]+=
l 2 2R⁄
l 2 R Q+( ) 2 l 0
2
R2----- ∆Q 2 2 Q R Q 1+( ) 1 δcos–( )∆+ +=
l 2R Q 1+( ) 2 l 0
2
R2------------------------------- ∆Q 2 Q R Q 1+( )
l 02
R2------∆+ +=
l 2
l 02-----
R Q 1+( ) 2
R2------------------------ ∆Q 2
l 02-----------
Q R Q 1+( )∆R2
------------------------------++=
l 2
l 02----- /R 2
/R 2---------
2/RQ 1
R2 ⁄-----------------Q1
2
R 2------- ∆Q 2
l 02
-----------Q R Q 1+( )∆
R 2------------------------------+ + + +=
l 2
l 02----- 1
2Q 1
R----------
Q12
R 2------- ∆Q 2
l 02-----------
Q R Q 1+( )∆R 2
------------------------------+ + + +=
l l 0⁄
l l 0---- 1
Q 1
R-------
Q 12
2R 2---------∆Q 2
2 l 02-----------
Q R Q 1+( )∆2R 2------------------------------+ + + +≅
l l 0---- 1
Q 1
R-------
∆Q 2
2 l 02----------- Q∆
2R-------- �QQ1∆
2R2--------------- �Q1
2
2R2---------+ + + + +≅
l l 0–( ) l 0Q 1
R------- ∆2 Q
2 l 02---------- Q∆
2R--------+ +
=
l 0 l c
63
11. LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
11.1 I
DISTANZIOMETRI
(EDM/EODM)
La misura delle distanze con i distanziometri ad onde
La misura delle distanze con precisioni paragonabili a quelle che da oltre un secolosono tipiche delle misure angolari è sempre stato un problema di non facile solu-zione. Ciò era dovuto fondamentalmente a dover attraversare il terreno morfologi-camente più o meno accidentato con apparati che a causa delle precisioni richiestedebbono essere abbastanza complessi.
L’operazione di misura era lunga, laboriosa, suscettibile di errori sistematici.
La misura avveniva spesso per via indiretta con metodi telemetrici o stadimetricima la precisione era ancora insoddisfacente.
Nel 1933 il sovietico Balaicov brevettò un distanziometro ad onde ed il connazio-nale Lebedev nel 1938 ne costruì un prototipo.
Nel 1943 lo svedese Bergstrand costruì il primo strumento commerciale: il «Geodi-meter», con portata fino a 10 km.
Nel dopoguerra il sudafricano Wadlei inventò infine il primo distanziometro amicroonde (MDM) (chiamato Tellurometer) con portata sino a 150 km e preci-sione per queste portate.
Questi strumenti erano ancora molto ingombranti, poco precisi e il metodo dimisura era relativamente lento, ma il passo in avanti formidabile.
La misura elettromagnetica della distanza con distanziometri (EDM = Elettroma-gnetic Distance Meter) può avvenire attraverso strumenti che impiegano comeonde portanti le onde luminose EODM (Elettro Optical Distance Meter) o cheimpiegano onde centimetriche (MDM = Micro wave Distance Meter).
Possiamo distinguere poi gli EDM che prevedono la misura dello sfasamento tral'onda emessa e quella ricevuta (vedi figura
11.1a
) e quelli che prevedono lamisura di tempi trascorsi tra due impulsi o tra due treni d’onda opportunamentecodificata (fig.
11.1b
).
Questo secondo metodo è teoricamente più semplice ma, sino a qualche tempo fa,difficile da attuare per la scarsa precisione con la quale era possibile misurare questibrevissimi intervalli di tempo.
2 10 6–⋅
LA
MISURA
DIRETTA
DELLA
DISTANZA
64
Il vantaggio principale è che una grande quantità di potenza, concentrata in un ris-trettissimo intervallo di tempo
δ
t
, permette di superare grandi distanze (o piccoledistanze senza la necessità di un prisma retro riflettore). Anche il consumo di ener-gia è modesto.
Fig. 11.1a – 11.1b –
Metodi per la misura della fase o sfasamento.
In entrambi i metodi la misura viene ripetuta in genere qualche migliaio di voltesicché è possibile ricavare lo scarto quadratico medio che, (essendo tutte le misureeseguite entro pochi secondi) non dipende in senso stretto dalle variazioni ambien-tali ma può considerarsi un errore accidentale.
I distanziometri elettro ottici EODM
Questi distanziometri sono i più diffusi; il concetto di funzionamento (fig.
11.2
) èquello di emettere una radiazione ottica sulla lunghezza d'onda dell'infrarossovicino, (
λ
=
0.78
µ
m) di modularla e di trasmetterla verso un prisma retro riflettore;quest’ultimo riflette una parte dell’onda verso la parte ricevente dell’EODM chemisura la differenza di fase tra l’onda emessa e quella ricevuta.
Questo sfasamento misurabile è funzione del doppio della distanza tra il distanziometroe il prisma.
Nell’EODM sono dunque presenti due parti, una trasmittente ed una ricevente.
L’esigenza di concentrare l’energia per superare grandi distanze ed avere un buonsegnale di ritorno, fa sì che si utilizzino onde infrarosse coerenti (laser), l'esigenza dipoterne discriminare la fase con precisione, suggerisce di modulare queste onde confrequenze proprie delle onde decametriche o metriche, infine la necessità di farritornare buona parte del segnale dal punto di misura verso la stazione fa sì che siusino prismi particolari (e non semplici specchi).
Il metodo della misura della fase
Da un oscillatore campione si trasmette verso
B
un'onda elettromagnetica infra-rossa modulata con precisione. Una porzione dell'onda riflessa dal prisma posto sulpunto
B
torna al ricevitore che in genere è un corpo unico col trasmettitore perchégovernato dallo stesso oscillatore. Lo sfasamento tra l’onda trasmessa e l’onda rice-vuta sarà funzione di
D
0
.
fig. 1.a fig. 1.aδϕ∆
∆ t
t
LA
MISURA
DIRETTA
DELLA
DISTANZA
65
Fig. 11.2 –
Principio della misura della distanza con gli EDM.
La distanza
AB
sarà:
11.1
L’onda elettromagnetica emessa è modulata in intensità
I
secondo la legge:
11.2
dove è la fase iniziale, è lo sfasamento ed è l’impulso.
In assenza di rifrazione si ha:
11.3
cioè:
11.4
e:
11.5
La
11.5
mette in luce le due quantità misurabili:
∆
t
nel caso degli EDM ad impulsi,
∆
ϕ
nel caso degli EDM a misura di fase; da entrambe si ricava
∆
s
.
Seguiamo per ora questo secondo cammino: essendo
∆
s
il doppio del percorso
D
0
ameno di un certo numero di lunghezze d’onda si ha:
11.6
cioè:
Trasmettitore
RicevitoreEODM
Stazione
A B
d1 d2D0
Errore. L'origine riferimento non é stata trovata.
Punto di misura
Prisma riflettente
AB d1 D0 d2+ +=
I I0 ω t0 t∆+( )sin I0 ϕ0 ϕ∆+( )sin= =
ωt0 ϕ0= ϕ∆ ω t∆= ω
λc--- 2π
ω------=
ϕ∆ ω t∆ 2πλ------ c t∆= =
s c t ϕ∆ λ2π-------=∆=∆
2D0 nλ ϕ∆2π-------- λ+=
AB D n λ2--- λ
2---
ϕ∆2π--------
d1 d2 + + += =
LA
MISURA
DIRETTA
DELLA
DISTANZA
Il num
I pro
deter
Le fre
La frerisultdella
La mment
che
L
mode
Cons
Supp
cioè v
e per
Precis
La pr
costadi misconomisur
Si è s
2 5÷
11.7a
11.7b
AB D n λ2--- λ
2---
ϕ∆2π--------
d1 d2+ + += =
AB D n λ2--- L d1 d2+ + += =
ero intero n si chiama ambiguità.
blemi pratici di misura consistono allora nel ricavare ∆ϕ con precisione e nelminare n con affidabilità.
quenze, quindi le lunghezze d’onda generate, hanno stabilità (precisione) di, cioè di qualche ppm (parte per milione ovvero mm/km).
quenza emessa potrebbe avere anche stabilità superiore ma tale precisionea inutile se non è possibile stimare in maniera più precisa di l’effettorifrazione atmosferica.
isura dello sfasamento avviene con uno strumento che chiamiamo sintetica-e discriminatore di fase. Per rendere omogenee le precisioni di misura è bene sia misurata con incertezza minore od uguale al contributo della parte nonllabile della rifrazione atmosferica.
iderando che i discriminatori hanno precisione :
o
o
d
i
ens e
o
10 6–⋅
10 6–
k 10 3–±=
11.8a
11.8b
σL σ ϕ∆ 1
2π------ λ
2---- k λ
2----=±=
σL 3 5÷( ) 10 4– λ2----⋅±=
66
nendo nelle 11.7 privi di errore i termini , d1 e d2 si ha che
lendo spingere ai valori su esposti, cioè :
istanze D di 1 km risulta .
one degli EDM
cisione degli EDM si valuta attraverso due costanti c 0 e c 1 dette appuntoti di precisione del distanziometro che dipendono dalla risoluzione minimaura e dalla stabilità di frequenza rispettivamente. Le case costruttrici forni-questi valori ricavati dopo numerosi test di laboratorio ma soprattutto da sul campo eseguite secondo norme standardizzate.
liti scrivere:
n λ 2⁄ σD σL=
σD σD 5 10 6– D⋅=
5 10 4–⋅ λ2--- 5 10 6– D⋅=
λ 2D100---------=
λ 20 m≅
σD c0 c1D+( )±=
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
I valori più comuni sono:
I valori migliori sono c0=1 mm nei distanziometri che usano il metodo di misuradella fase e negli EDM che sfruttano il metodo di misura adimpulsi. Il Mekometro fa eccezione a questa regola empirica generale.
La temperatura interna all’elettronica è rivelata da un termostato che permette ditener conto delle variazioni termiche. In alcuni casi lo strumento è dotato di unsecondo termostato per rilevare la temperatura dell’ambiente esterno che può essereutile per scopi che vedremo in seguito.
La stabilità di frequenza dipende anche dall’invecchiamento del quarzo che modi-fica la frequenza di 1 ppm nel primo anno di vita e di circa 2 ppm in 8-10 anni.
Misura delle ambiguità n con due frequenze vicine negli EODM
Se ipotizziamo di misurare la distanza modulando l'onda infrarossa con due fre-quenze di lunghezza d’onda e prossime, in modo tale che l'ambiguità n siauguale per entrambe le misure della distanza D , si potrà esprimere la distanza Dattraverso:
dove L1 e L2 sono le parti frazionarie di cioè:
Entrambe le quantità sono misurabili dal discriminatore.
Si ricava allora:
Tale ambiguità è nota con certezza sino ad una distanza Dlim, detta distanza limiteper cui le ambiguità non sono più identiche:
cioè:
che sostitu
c0 1 5mm;÷= c1 1 5 10 6–⋅÷ 1 5ppm÷( )=
c1 1 10 6–⋅ =
λ1 λ2
λ
L1
ϕ1 λ 1∆4π
-------------- e= L2
ϕ2 λ 2∆4π
--------------=
n
D
11.11Dl im nλ 1
2------ n 1+( )
λ 2
2-------==
11.10n λ 2 λ 1–( )
2---------------------⋅ L2 L1–= λ 2 λ 1>( )
11.9D nλ 1
2------ L1 n
λ 2
2------ L2+=+=
67
11.12
ita nella 11.11 fornisce:
11.13
λ 2
λ 1 λ 2–----------------=
l im
λ 1λ 2
2 λ 1 λ 2–( )------------------------=
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
68
Un secondo problema è l’affidabilità del valore di n ricavato dalla 11.10: il risultatodi questa espressione non è un numero intero. Si accetta che differisca dall’intero diuna quantità massima pari a 0.2.
Per la precisione, ipotizzando che :
11.14
propagando la varianza nella 11.10, supponendo note con certezza e ,poniamo:
11.15
che nell’ipotesi 11.14 risulta:
cioè:
11.16
Se ad esempio si assume e , dalla 11.16 si ottiene e dalla 11.11 .
Misura dell’ambiguità n col metodo delle decadi
Questa misura consiste nell’utilizzo di più lunghezze d’onda multiple di un fattore10 o 100. Si sceglie ad esempio:
Con ciò, per distanze minori di si ha automaticamente n = 0.
Attraverso la 11.8 e la 11.9 si ricava lo scarto quadratico medio della distanza per ognilunghezza d’onda utilizzata λ1 o λ2. Si ha, per una distanza massima D di 1 km:
Facciamo l’ipotesi di dover misurare una distanza D di 728.46m.
Con λ 2 si determina la distanza stimandola con l'affidabilità del metro, il che equi-vale a calcolare l’ambiguità per l’uso della successiva λ 2. La quantità L1 della 11.7vale, a seconda dei casi:
3σn 0.2±=
σn13--- 0.2( ) 0.067=≤
λ1 λ2
σL1σL2
σL tcos= = =
σn2 2
λ 1 λ 2–---------------- σL±=
2 2 σL 3
0.2------- λ 1 λ 2–( )≤
λ 1 λ 2–( ) 42.4 σL≥
σL 5 mm±= λ1 20 m=λ2 19.788 m= Dl im 933 m=
λ 1 2000m, λ 2 20m.==
λ i 2⁄
σλ 0.5m per λ 1 e±=
σλ 0.5cm per λ2 e±=
σD 0.25m±=
σD 2.5mm±=
L' 728.68 m 0.25m±=
L'' 8.457 m 2.5mm±=_______________
D 728.46 m=
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
69
La misura dello sfasamento nei moderni strumenti avviene con l’accuratezza ripor-tata nella 11.8b.
Nel Distomat DI 1001, ad esempio, che usa il metodo delle decadi, con λ1=4000 m si coprono distanze limite di 2000 m con affidabilità migliore di 1 m e,con λ2 = 40 m, si ottiene la risoluzione sub centimetrica desiderata.
Misura dell’ambiguità con due frequenze prossime e la terza maggiore
È il metodo adottato ad esempio nello strumento Leica KERN DM 504 che utilizza:
λ 1= 2000 m, λ 2= 1980 m e λ 3= 20 m.
Il metodo combina i vantaggi dei due metodi precedenti in quanto con le due fre-quenze prossime ritrova un valore della distanza sufficientemente approssimato peril calcolo dell’ambiguità (si verifichi ciò utilizzando la 11.8); con la terza frequenzapiù elevata avviene la misura fine. Con l’utilizzo di λ 1 e λ 2 la distanza limite fornitadalla 11.11 risulta di 99 km, ben superiore alla portata strumentale.
In sintesi, con λ 1 e λ 2 si ottiene la misura della distanza con incertezza di 0.3 m,dopo aver ricavato il numero di ambiguità decametriche, con λ 3 si misura ladistanza con incertezza di ±0.3 cm.
L’onda portante e l’onda modulante
Nella trasmissione dell'onda, l’energia dispersa dall’apparato trasmittente si distri-buisce su superfici proporzionali al quadrato della distanza; è necessario che unaparte dell'energia ritorni alla parte ricevente in quantità sufficiente a misurare lafase o i tempi di ritorno.
Questo si ottiene vantaggiosamente usando onde ottiche λ =(0.3 ±1)µm, più van-taggiosamente con l’uso di luce coerente (laser).
Spesso la scelta dell’infrarosso vicino (λ =0.85µm) migliora il segnale di ritorno incondizioni di visibilità (del campo dell’occhio umano) non eccellenti (debolifoschie ad esempio).
Con l’uso del laser si può anche concentrare una discreta potenza in piccoli angolisolidi diminuendo così il consumo energetico dell'apparato.
Il problema è che, per discriminare fasi o misurare tempi di ritorno del segnale conprecisione sufficiente, occorrono lunghezze d’onda metriche e non micrometriche.La soluzione adottata consiste nel modulare la portante ottica con lunghezze d'ondametriche o decametriche.
La modulazione del segnale ottico può avvenire in ampiezza (negli EODM), in fre-quenza (per le microonde degli MDM), od in polarizzazione.
La modulazione più semplice o modulazione diretta utilizza i fotodiodi all’arseniurodi gallio GaAs che hanno la proprietà di emettere una luce infrarossa (λ =0.85µm)con energia proporzionale alla corrente che li attraversa.
11.17
Questa corrente può essere variata alla frequenza corrispondente alle lunghezzed’onda metriche e decametriche necessarie alla misura delle distanze, ottenendo
E K I=
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
70
così un segnale luminoso modulato in ampiezza.
Nei distanziometri a laser Elio-Neon la modulazione avviene in modo indiretto, avalle del segnale ottico prodotto attraverso un oscillatore e per mezzo del fenomenodella birifrangenza.
Operazioni sulle onde ricevute e trasmesse
La misura dello sfasamento, o del tempo di ritorno dell’onda, avviene attraversoalcuni circuiti governati dallo stesso «orologio», cioè dallo stesso circuito oscillatore;ciò limita gli errori di instabilità di frequenza.
Nel caso si utilizzino stazioni totali, nel medesimo cannocchiale devono essere con-vogliati i segnali trasmessi e dallo stesso devono essere prelevati quelli ricevuti, neconsegue una complessità notevole di costruzione, dovuta anche all’attenzione dausare affinché i due segnali non interferiscano in alcun modo.
In nessun caso il segnale di alta frequenza (AF) viene interpretato direttamente daun discriminatore di fase ma entra prima in un circuito miscelatore-convertitore chelo trasforma in un segnale a bassa frequenza (BF) ad esempio a 6 kHz, pilotatodallo stesso quarzo orologio che genera l’onda AF.
A valle di questa conversione le vie seguite nella misura dello sfasamento possonoessere due:
a. utilizzare un discriminatore «classico», costituito da un circuito trigger, daun generatore di impulsi e da un contatore di impulsi
b. trasformare il segnale da analogico a digitale con un convertitore A/D edutilizzare a valle un contatore (questa è la soluzione più moderna).
Fig. 11.3 – Campionatore ad onde quadre.
Fig. 11.4 – Misura dello sfasamento.
Nelle figure 11.3 e 11.4 osserviamo il funzionamento del discriminatore:
i segnali AF emessi e ricevuti vengono trasformati in segnali BF, attraverso un con-vertitore (dividendo la frequenza ad esempio per 2500), dal circuito convertitore
=λ λ /
TRIGGER
B.F. 6 k Hz
0 2500
=λ λ /0 2500
TX
RX
MISCELATORE
Generatore
ImpulsiC. I.
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
71
entrano in un circuito trigger che li trasforma in segnali ad onda quadra della stessafrequenza e dello stesso sfasamento.
Il segnale emesso attiva un generatore di impulsi ed il segnale ricevuto lo disattiva.
Il generatore emette impulsi ad alta frequenza, in genere a quella fondamentale, chenell'esempio ha lunghezza d’onda λ = λ 0 / 2500.
Il risultato è una serie di treni d’onda di ampiezza proporzionale allo sfasamento. Ilconteggio degli impulsi contenuti in essi viene effettuato da un circuito contatoreche permette così, in pochi secondi, di ricavare media e sqm di alcune migliaia dimisure di sfasamento.
Il metodo b. di misura consiste nel rendere digitale il segnale BF sia dell’ondaemessa che dell’onda ricevuta. Su ciascuna onda avvengono 16 campionamentidigitali trasformando i segnali che indichiamo come xi e yi in 16 valori numerici perogni periodo j=1,…,16.
Fig. 11.5 – Trasformazione analogico-digitale e campionamento.
Vengono correlati i valori xi e yi cercando il valore k che rende massima a funzione
11.18
Questo coefficiente viene calcolato su blocchi di misura di 32 segnali BF e mediatosu vari blocchi.
Su questo principio di funzionamento si basa il distanziometro Leica Wild Di2002 che opera con una frequenza fine f1 = 49.95 MHz (λ 1 = 6 m) e con frequenzeminori: 1.563 MHz, 48.17 kHz e 24.32 kHz per il calcolo dell’ambiguità.
Precisione degli EODM
La precisione di tutti gli EODM, a sfasamento, a impulsi ed anche quella degliMDM si valuta in questa forma già vista:
dove c0 è una costante che varia da 1 a 10 mm e c1, termine moltiplicativo delladistanza, va da 1 a 10 ppm per gli EODM. Ad esempio nel distanziometro DI2002 le costanti di precisione sono:
TX RX
k
16 campioni
x1 x16...
y1 y16...
A/D
c xi y i k+( )∑=
σd c0 c1D+( )±=
σd 1mm 1 10 6–⋅ D+( )±=
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
che corrisponde alla precisione limite dei distanziometri EODM cioè attorno a in quanto, senza particolari accorgimenti per il controllo della rifrazione, la
stabilità in frequenza del segnale ricevuto è attorno a . Nel Mekometro KERNME5000 tale stabilità arriva a grazie ad un circuito risuonatore a microondenel quale è contenuto un campione d’aria che riproduce le stesse condizioni esternedi misura.
Il Mekometro Kern ME5000
Questo strumento trova campo di impiego nella misura delle deformazioni nelcontrollo degli spostamenti di manufatti e per la misura di grandi distanze(sino a 15 km).
Per sfruttare tutta la precisione disponibile dovuta anche all'utilizzo di unrisuonatore a microonde e poter determinare le ambiguità, le frequenze utilizzatesono ben cinque e tutte vicine.
La frequenza fondamentale è di 499.51 MHz pari a lunghezze d'onda di 60 cm;come si vede questa frequenza è circa dieci volte maggiore di quella usata per i nor-mali distanziometri che raggiungono la precisione massima di .
Le costanti strumentali sono:
L’onda portante è infrarossa a laser HeNe; questa luce è polarizzata linearmente, eproprio questa polarizzazione è modulata dalle 5 frequenze.
La modulazione avviene grazie al fatto che la radiazione luminosa passa attraversoun cristallo KDP (Potassio, Deuterio, Fosforo) il quale modifica la polarizzazionedella luce che lo attraversa in funzione dell'intensità di corrente che lo percorre.
Il circuito ricevente misura lo sfasamento di polarizzazione comparando l’onda diritorno con quella emessa.
Il consumo è limitato a 0.3 mW in quanto la trasmissione è «discontinua»avviene cioè ad impulsi di 40 µs con frequenza di 100 Hz. Il tempo di misura èdi circa 2 minuti.
Il metodo della misura ad impulsi
Il concetto di misura è molto semplice: nota la velocità di propagazione dell’ondaelettromagnetica, il tempo ∆ t tra andata e ritorno del segnale verso il prisma è fun-zione della distanza:
Un metabbia pr
Nell’ipestremadeve ess
10 6– D10 6–
10 7–
10 7–( )
10 6–
σd 0.2mm 0.2 10⋅ 6– D+( )±=
11.20D v t∆2
----------=
72
odo così semplice ha tuttavia un problema: occorre, affinché la distanza Decisione minima che sia v che ∆ t siano misurabili con tali precisioni.
otesi approssimativa che v = c = , costante nota con precisione, si ha che ∆ t deve essere preciso circa , cioè la sensibilitàere:
10 5–
2.9979 108 m/s⋅10 5–
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
73
11.21
Per una distanza minima di misura di 3 m, il segnale ritorna dopo ; e la sensibilità 11.21 dovrebbe essere cioè di, ottenibile solo con orologi atomici, al Cesio ad esempio.
In realtà, accettando che tale precisione ( o ) sia disponibile perdistanze superiori a questa minima distanza, la sensibilità diminuisce. Dalla 11.20infatti si ricava:
11.22
Accettando le costanti del distanziometro (tipiche ad esempio del Wild Di 3000(DIOR)):
11.23
per D = 10 km si ha δD = ±13 mm e:
mentre per D = 3 m si ha δD = ± 3 mm e:
Nel distanziometro esiste un oscillatore molto stabile di tolleranza più limitata a frequenza pari a λ = 20 m, ma è possibile in
un breve intervallo di tempo valutare intervalli di tempo con precisione superiore a, grazie ad un metodo di interpolazione che si descriverà in breve.
Un diodo Ga As viene attraversato per un tempo ristrettissimo: 12 ns, da una fortecorrente di 20 - 30 A ed emette un fascio di luce laser. La corrente è costante e sta-bilizzata in questo brevissimo intervallo.
Dopo un certo intervallo di tempo ∆ t al ricevitore arriva il segnale di ritorno: que-sto intervallo di tempo consente di avere un valore approssimato della distanza consqm pari a:
Per distanze superiori l’orologio di riferimento determina in modo esatto solo innumero di lunghezze d’onda contenute nell’intervallo di tempo ∆ t tra il segnaleemesso e quello ricevuto. Rimane allora il problema della misura «fine» delladistanza.
Supponiamo che l’oscillatore di riferimento disponga di un’onda di frequenza f0.Chiamando con T il periodo della frequenza fondamentale f , l'intervallo ∆ t tral’onda impulsiva emessa e quella ricevuta sarà:
δ t∆( )t∆
--------------- 10 5– = δ t∆( ) 10 5– t∆=⇒
t 3 2 1 3 10 8–⋅⁄⋅ ⋅≅∆s 20 ns≅ 10 5– 20 ns⋅ 0.2 ps=2 10 13– s⋅
10 5– 10 6–
δ t∆( ) 2v--- 10⋅
5– δ D( )=
δ D( ) 3 mm 1 ppm+( )±=
δ t∆( ) 0.013 2⋅ 13--- 10⋅
8–s⋅± 80ps± 8 10 11–⋅ s±= = =
δ t∆( ) 0.003 2 13--- 10⋅
8–⋅ ⋅ s± 20ps± 2 10 11–⋅ s±= = =
τ 3 10 8– ⋅ s±= f 14.985 MHz≅
10 8–
σ t∆τ c2----- 3 10 8– ⋅ s 3 10 8– ⋅ ⋅ m
s----
92---m 4.5m=±≅±= =
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
74
11.24
Per distanze minori di 10 m il valore di n è uguale a zero.
Fig. 11.6 – Metodo di invio degli «impulsi».
Il valore di n è noto in quanto misurando τ , la distanza approssimata è nota conprecisione migliore del decametro.
Per misurare con precisione ta e tb si usa un convertitore tempo-tensione costituitoin pratica da un buon condensatore la cui tensione, misurata in modo digitale,dipende dal tempo di carica in modo lineare.
Dopo ogni misura di tensione ed entro un intervallo che al massimo deve durareun ciclo, il condensatore viene scaricato. Questo condensatore viene cioè aperto dalsegnale di start e chiuso dalla prima rampa del segnale dell’oscillatore.
Per la misura di tb, essendo il segnale ricevuto molto debole, si preferisce fare lamisura dopo aver modulato questo segnale con la frequenza data dallo stesso cir-cuito di oscillazione.
Un «circuito rivelatore di zero» misura tb come il primo zero della sinusoide smor-zata che si ottiene come risultato di detta operazione.
Per poter effettuare misure di tempo così precise, non si può prescindere dai ritardidi fase dell’orologio interno dovuti ai ritardi parassiti dell'elettronica, dei circuitiinterni o di altri sistematismi qui non più trascurabili: per questo motivo, oltre allamisura «esterna» del tempo, cioè del segnale di ritorno, avviene anche una misurainterna, catturando, prima dell’uscita, una parte del segnale impulsivo emesso emisurandone il tempo di percorrenza nei circuiti, cioè a distanza nulla.
La misura della distanza avviene tenendo conto dei tempi di avvio di migliaia diimpulsi emessi a 2000 Hz di frequenza (o centinaia in modalità tracciamento), eciò consente di ricavare e fornire anche il numero di misure fatte e lo sqm dellestesse. Uno solo di questi impulsi permette in teoria di determinare la distanza e ciòconsente di seguire agevolmente anche oggetti in movimento.
Attualmente sul mercato gli strumenti di questo tipo sono ad esempio il DI 3000DIOR della Leica, l’ELDI 10 della Zeiss ed il modello 101 della Fennel.
t∆ nT ta tb–+=
OSCILLATORE DIRIFERIMENTO
TX
t a t b=λ 20 m
RxT' ( 3 T )
∆ t
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
75
I vantaggi di questi strumenti sono una maggior portata a parità di potenza (si pos-sono raggiungere 6 km con un prisma), in genere una maggior precisione e la pos-sibilità per piccole distanze di essere usati senza prismi. Sino a 200-250 m èsufficiente di solito l’energia di ritorno della superficie colpita anche se lo s.q.m. inquesti casi decresce a 5±10 mm. Sono molte le applicazioni che possono beneficiaredell’assenza del prisma, anche se grande attenzione va posta nella comprensione diquale particolare dell’oggetto collimato si misura nel segnale di ritorno. La misurarisulta più rapida del metodo della fase e la distanza limite ad esempio nel DI 3000è di 75 km, anche se la portata massima è di 14 km. Essendo in genere la secondacostante di precisione più piccola che nei distanziometri a misura di fase si può direche gli EODM ad impulsi sono più precisi per lunghe distanze.
11.2 I PRISMI
La superficie riflettente dell’onda elettromagnetica è costituita da uno o più prismi;nel caso di strumenti ad impulsi si possono usare anche speciali catarifrangenti osegnali riflettenti od infine nulla se non la superficie stessa dell’oggetto.
Il motivo dell’uso dei prismi è semplice: ridirigere la maggior parte del segnaleverso l’EDM e ciò avverrebbe solo in piccola parte utilizzando specchi o altri mezzi.
Il principio di funzionamento del prisma permette infatti di ridirigere un fascio diluce parallelamente alla direzione di incidenza. Il prisma più semplice si ottienetagliando uno spigolo di un cubo di cristallo con un piano di taglio normale alladiagonale del cubo. Il numero di prismi necessario ad assicurare una buona rispostadipende dal tipo di distanziometro e dalla distanza da misurare.
Fig. 11.7 – Schematizzazione del «riflettore passivo».
Se il fascio emesso dallo strumento ha una piccola divergenza (ad esempio 40 mgonche corrispondono ad 80 cm ad 1 km) stabilito che l’energia si disperde con il qua-drato della distanza; il numero di prismi necessari N vale:
11.25
dove α e β sono costanti che dipendono dal tipo di distanziamento.
Nella formula 11.11 abbiamo visto l’intervento di due costanti additive d1 e d2 chesono dovute: la prima alla non conoscenza della fase dell’onda rispetto al centrostrumentale, la seconda alla non conoscenza del punto di riflessione rispetto al
logn N α βD 2 logn D( )+ +=
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
76
sostegno del prisma o ad una imperfetta conoscenza del ritardo dei circuiti interni.Entrambe le costanti si determinano con precisione attraverso la misura di una seriedi basi di taratura che consentono in primo luogo di eliminare eventuali sistemati-smi di scala nella misura della distanza. Senza entrare nel merito dell’operazione,che prevede la misura di basi di varia lunghezza poste tutte lungo un allineamento,consideriamo solo due basi: D1 e D2, e vediamo come con semplici considerazionise ne determina la somma (d1+d2 ).
Fig. 11.8 – Metodo per la valutazione delle costanti del prisma e del distanziometro.
Facciamo l’ipotesi semplificativa che le costanti d1 e d2 siano entrambe additive.Poniamo di misurare con lo strumento in B le distanze BA=D 1 e BC=D 2 ese-guendo le letture α e β.
Poniamoci poi in A e misuriamo AC eseguendo la lettura γ. Si avrà:
Da queste tre equazioni ricaveremo le due distanze e la somma delle costantid1 e d2.
Sottraendo la somma delle ultime due equazioni dal doppio della prima si ha:
cioè:
e dalla prima:
ricavando così la somma delle due costanti.
L’influenza della rifrazione atmosferica negli EDM
Similmente a quanto visto per la livellazione trigonometrica, il segnale otticoemesso da un distanziometro in A segue, rispetto al percorso teorico minimo, unalinea curva, inclinata di un angolo che dipende dal mezzo attraversato e dalla fre-quenza dell’onda. L’arco l p è dunque il percorso dell’onda ottica che differisce dalpiù corto percorso della corda l .
α
γ
β
D1 D2
A Cd2 d2
d2
d1
d1
d1
d1 d2 γ+ + D1 D2+=
d1 d2 α+ + D1=
d1 d2 β+ + D2=
2 D1 D2+( ) D1– D2– 2d1 2d2 2γ 2d1– 2d2– α β––+ +=
D1 D2+ 2γ α β+( ) AC=–=
d1 d2+ D1 D2 γ–+ γ α β+( )–= =
LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA
77
Sperimentalmente questa differenza, anche per distanze di 50 km, è inferiore allaprecisione strumentale, per cui ai nostri fini l p = l .
Fig. 11.9 – Differenza tra distanza percorsa lp e distanza minima l .
In realtà durante il tragitto (l p o l che sia) l’onda subisce un ritardo che dipendedalla velocità di gruppo, cioè dalla frequenza di modulazione, secondo la legge:
11.26
dove c è la velocità della luce nel vuoto, n è l’indice di rifrazione di gruppo e f è lafrequenza di modulazione.
L’indice di rifrazione dipende in genere:
– dalla composizione atmosferica (che si ipotizza costante per modesti dislivelli)
– dalla temperatura: ∆ t =1° C fa variare di 1 ppm
– dalla pressione: ∆p =3.4 mb fanno variare di 1 ppm
– dall’umidità relativa: ∆e= 26.6 mbar di pressione del vapore acqueo fannovariare la distanza negli EODM di 1 ppm mentre è circa 100 volte supe-riore la sua influenza negli MDM.
Non potendo conoscere questi valori lungo tutto l’arco s si usano spesso valori medilungo AB od i valori misurati nella stazione A per correggere la distanza visualiz-zata, che fa riferimento a temperature, pressioni, umidità standard.
Allo scopo, si possono utilizzare apposite tabelle fornite a corredo dei distanziome-tri oppure ad esempio la formula di Barrel e Sears per gli EODM:
11.27
ove p ed e sono espresse in mb e t in gradi centigradi.
A
Bl
lp
ε
λ cnf-------=
n 1–n0 1–--------------
273.16273.16 t+------------------------
p1013.25------------------- 11.27 10⋅ 6–
273.16 t+------------------------------e–=
78
12. METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
Col termine «rilievo» si intende la determinazione delle caratteristichearchitettoniche, storiche, urbanistiche, logistiche, geometriche di un oggetto o diuna porzione di territorio.
Col termine rilevamento invece intendiamo solamente la descrizione geometrica ela rappresentazione di un oggetto o di una parte del territorio. Fra gli scopi dellaTopografia vi è, ricordiamo, la determinazione metrica della forma di un oggetto ela sua rappresentazione; il termine rilevamento è dunque a noi congeniale. Siccometuttavia ogni discorso qui inserito si riferirà agli scopi del corso di Topografia use-remo ugualmente il termine di rilievo, più breve, in quanto non sorgono in questocaso problemi di comprensione del significato.
I metodi di rilievo si basano sulla determinazione della
posizione
di un certonumero di punti dell’oggetto che ne permettano la
rappresentazione
ed un succes-sivo utilizzo di questa o delle coordinate dei punti, per scopi di progetto e di studio.
Occorre dunque:
1. Saper «rilevare» l’oggetto in maniera discreta, misurando cioè di questo,solo quei punti che ne descrivono la forma e le dimensioni in maniera suf-ficientemente corretta per gli scopi prefissati. Un parametro che influenza ildettaglio di questa discretizzazione sarà la scala della rappresentazione.
2. Determinare la posizione
relativa
di tutti i punti di interesse del rilievo. Èimportante conoscere e progettare questo ambito di relatività entro il qualeè necessario operare. Se l’oggetto è il terreno, il territorio compreso in unalottizzazione ad esempio, può sembrare sufficiente conoscere la posizionerelativa dei lotti per gli scopi di progetto. Per poter inserire correttamente ilnuovo rilievo nella cartografia comunale senza scollamenti, è invece neces-sario che questo ambito di relatività si estenda almeno al rilievo di punticomuni a questa cartografia e alla nuova lottizzazione.
A sua volta anche la cartografia comunale può essere rilevata in un sistema di riferi-mento intrinseco ma quando è necessario inserire detta cartografia all’interno di uncontesto regionale, senza scollamenti o soluzioni di continuità è necessario preve-dere che «l’ambito di relatività» si estenda ad un territorio per lo meno regionale. Ildiscorso può via via estendersi a livello nazionale, continentale e globale e mette inevidenza l’utilità, se non la necessità, di disporre sulla zona del rilievo, delle coordi-
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
79
nate di alcuni punti, anche pochi, note in un sistema di riferimento globale, conti-nentale o nazionale. Questi pochi punti serviranno a trasformare l’insiemenumerosissimo dei punti che descrivono il rilievo da un sistema di coordinate localiad un sistema più generale. Ciò è possibile di solito con la misura o la conoscenzadelle coordinate di questi punti in entrambi i sistemi.
I punti di cui si conoscono le coordinate in un sistema globale, continentale onazionale, vengono detti vertici o capisaldi di inquadramento. L’operazione dimisura che permette di conoscere nella zona del rilievo le coordinate di alcuni puntiin entrambi i sistemi si chiama inquadramento (od inquadramento della rete).
12.1 L
A
RETE
DI
INQUADRAMENTO
NAZIONALE
Fig. 12.1 –
Rete trigonometrica prima del 1983.
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
80
La determinazione delle coordinate di una serie di punti in un sistema di riferi-mento comune è stata eseguita in Italia dall’Istituto Geografico Militare, in Europadai vari Enti che hanno costruito il sistema di riferimento EUREF (EUropeanREference Frame) ed a livello globale dall’IGS (International GPS Service) chedetermina le coordinate dei vertici che danno luogo al sistema di riferimento ITRS(International Territorial Reference System).
Storicamente si è passati da riferimenti locali a riferimenti sempre più generali gra-zie alla possibilità di compiere misure sempre più precise e diversificate. Sino al1930 l’Italia disponeva di vertici di inquadramento ben poco collegati a quelli dellealtre nazioni. I vertici di maggior precisione dal punto di vista planimetrico eranodetti vertici della rete del
primo ordine
. Tali vertici, distanti fra loro di circa 30 kmfurono calcolati principalmente con misure angolari e con poche misure di distanza(dette «basi»).
Le misure che collegano questi punti costituiscono un grafo che visivamente somi-glia e viene chiamata «rete» e il calcolo delle coordinate viene definito
calcolo dellarete
. A partire dagli anni ‘50 furono disponibili, anche se non furono subito moltodiffusi, i primi distanziometri ad onde.
Fig. 12.2 –
Monografia di un vertice della vecchia rete trigonometrica italiana.
Ciò permise di misurare con più facilità e più precisione anche distanze moto lun-ghe, irrigidire la rete nazionale e collegare con maggior precisione la rete nazionale aquella Europea per poter giungere ad un unico sistema di riferimento. Lo schemadi misura a triangoli nei quali si misurano con precisione tutti gli angoli, detto di
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
81
triangolazione, venne abbandonato a favore di schemi ancora triangolari o qua-drangolari nei quali si misurano tra i vertici, angoli e distanze con la stessa preci-sione (triangolaterazione).
Il ricalcolo dei vertici della rete nazionale inquadrata in questo sistema Europeoavvenne solo nel 1983.
Per gli avvenimenti che seguirono le coordinate di questa rete non furono mai uti-lizzate per scopi civili.
La figura
12.1
mostra la rete trigonometrica di primo ordine e la figura
12.2
lamonografia di un vertice della rete trigonometrica che è disponibile a pagamentoassieme alle coordinate.
Fig. 12.3 –
Rete italiana altimetrica di alta precisione.
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
82
Allo stesso modo l’IGM costituì su tutto il territorio nazionale una rete altime-trica allo scopo di dotare il territorio, con densità uniforme, di una serie di capo-saldi altimetrici attraverso operazioni di livellazione geometrica di precisione. Larete di maggior precisione seguì le principali arterie di comunicazione ed è visi-bile in figura
12.3
.
Agli inizi anni ‘90, con il diffondersi delle tecniche di rilievo GPS, l’IGM istituìuna nuova rete nazionale, con densità media di un punto ogni 20 km, collegata enota in un sistema di riferimento europeo (ETRF89) e definita IGM95.
Fig. 12.4 –
Vertici della rete IGM95.
La figura
12.4
mostra la posizione di questi vertici in italia e la figura successiva lamonografia di uno dei vertici.
Questi vertici sono in piccola parte posizionati su vertici della rete trigonometricapreesistente ed in gran parte in nuovi siti. Tutti i vertici sono ovviamente stazionabili
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
83
con apparecchiature GPS.
Si noti che dei vertici IGM95 sono note le coordinate sia nel sistema di riferimentoutilizzato per la vecchia rete trigonometrica (detto ROMA40), sia nel sistema diriferimento Europeo ETRF89 e genericamente denominato WGS84 sulla monografia.
Anche se la maggior parte della cartografia esistente è descritta nel sistema di riferi-mento ROMA40, questo andrà via via sostituito dal nuovo e più preciso riferi-mento GPS della rete IGM95.
Questi vertici hanno infatti coordinate determinate con errore massimo di
±
5cm su scala nazionale, precisione ben superiore a quella della rete trigonome-trica preesistente.
Fig. 12.5 –
Monografia di un vertice della rete IGM95.
12.2 R
ILIEVO
DI
INQUADRAMENTO
,
DI
INFITTIMENTO
,
DI
DETTAGLIO
Il rilievo di inquadramento, come è stato detto, serve ad inserire un rilievo locale(di una porzione di territorio) all’interno di un sistema di riferimento (e spessoanche di un sistema di rappresentazione) comune ad un territorio più vasto.
Per fare ciò è sufficiente conoscere le coordinate di pochi punti ben distribuiti inentrambi i sistemi, trovare un modello fisico-matematico ragionevole che leghiquesti due sistemi ed infine ricavare i parametri di questo modello con una preci-sione tale che garantisca l’affidabilità del risultato della trasformazione.
Molto spesso il modello fisico-matematico è quello della rototraslazione spazialecon variazione di scala od anche, per la sola planimetria, quello della rototrasla-zione piana.
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
84
Per dare maggiore rigidità intrinseca a tutto il rilievo e nello stesso tempo perridurre i costi ed i tempi di misura, si costruisce attorno alla zona del rilievo unarete di maglia molto grande (che ricopre tutto il territorio) misurata con strumentidi alta precisione e con metodi che consentono di raggiungerla, ma prima ancora diprogettarla e di controllarla.
Essendo questa la rete di maggiore precisione, sono questi i vertici che si utilizzanodi solito per le operazioni di inquadramento: di tutti od alcuni, si determinano cioèle coordinate nei due o più sistemi di riferimento.
All’interno della maglia primaria si determinano con misure e collegamenti adistanze inferiori, una serie di vertici di densità più fitta, definiti vertici (o rete) diinfittimento.
Vista la minor distanza di questi punti fra di loro, lo scarto quadratico medio dellecoordinate di questi vertici è simile, non molto superiore a quello dei vertici dellamaglia primaria, che potremo, per analogia, chiamare ora anche col termine di retedi inquadramento.
Lo scopo della maglia secondaria è l’utilità di disporre sul campo, vertici di coordi-nate note con precisione a distanza non eccessiva da raggiungere: a distanza tale adesempio che in mezza giornata di misura si possa aprire e chiudere una poligonaledi precisione su tali vertici.
Il moderno rilievo GPS ha tuttavia rivoluzionato questa concezione legata all’uso disoli teodoliti e distanziometri.
La distanza e la posizione dei vertici, specie dei più numerosi vertici di infittimento,non è legata alla intervisibilità, ma semmai alla visibilità ed alla buona ricezionedella costellazione satellitare.
La rete di maggior dimensione è di solito misurata con osservazioni GPS, quella diinfittimento lo è ancora per lo meno in parte; si lascia alle misure tradizionali ilcompletamento della rete di infittimento e il rilievo di dettaglio.
Costituite le due reti, le procedure di rilievo si dividono a seconda dei due casi:
1. occorre eseguire un rilievo fotogrammetrico del territorio;
2. occorre eseguire un rilievo topografico tradizionale del territorio.
Sovente, specie per il rilievo a grande o grandissima scala dei centri storici (in scala1:500 ad esempio), sono richieste entrambe le operazioni: il rilievo fotogramme-trico ed il rilievo topografico limitato ai soli cassoni degli isolati.
Prendiamo in esame le prime due ipotesi: nel primo caso il rilievo che segue la fasedi infittimento consiste nella determinazione delle coordinate dei punti di appog-gio dei singoli modelli, o del blocco, per una successiva triangolazione aerea. Spessogli stessi vertici di infittimento sono «fotografici», cioè collimabili, visibili inalmeno due fotogrammi del volo fotogrammetrico.
Nel secondo caso, nel caso cioè del rilievo completo a terra, occorre invece determi-nare le coordinate di ogni punto che descrive, discretizza l’oggetto del rilievo. Perfare ciò anche oggi, il metodo più veloce è misurare le coordinate cilindriche (dire-zione azimutale, distanza zenitale e distanza inclinata) attraverso una stazionetotale. Questa operazione si chiama celerimensura.
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
85
Fig. 12.6 –
Rete di rinquadramento (collegamenti continui) e di infittimento (tratteggiati).
La prima richiesta per poter compiere queste misure celerimetriche è la visibilità delpunto da rilevare dalla stazione di misura che non può essere sempre un verticedella rete di infittimento. Occorre che fra questi vertici si costruisca allora unaancora più fitta rete di dettaglio il cui schema, per la minor precisione richiesta, èquasi sempre quello della poligonale controllata.
Dai vertici di queste poligonali si misurano infine per coordinate cilindriche tutti ipunti del rilievo: quest’ultima operazione speditiva (per questo detta celerimensura)per il numero di punti da rilevare costituisce una mole notevole di lavoro.
12.3 S
TRUMENTI
E
SCHEMI
DI
RILIEVO
Nelle righe che seguono parleremo dei vari strumenti di misura, ai soli finidella comprensione del dato fornito, che dovremo trattare direttamente odindirettamente.
La strumentazione GPS
Per la migliore conoscenza del metodo si rimanda al preciso capitolo, qui si parleràdella strumentazione ai soli fini della comprensione degli schemi di rilievo.
Il posizionamento GPS di precisione è di tipo differenziale, ciò significa per i nostriscopi che occorre disporre di almeno due ricevitori che contemporaneamenteacquisiscano misure.
Ciò che ogni ricevitore misura sono «pseudodistanze» ottenute per differenza e/ocombinazioni di codice o di fase di onde che idealmente vanno dal centro elettro-magnetico dell’antenna del generico satellite ricevuto (centro di fase) e quello
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
86
dell’antenna del ricevitore. I centri di fase sono noti con precisione rispetto alla mec-canica dell’antenna e ciò consente di sostituire con cognizione di causa l’antenna conun prisma o un teodolite sulla stessa basetta avvitata su un comune treppiede.
Ciò che i programmi di elaborazione trattano per il posizionamento di precisionesono tutte le doppie differenze di fase indipendenti che sono costruibili. In alterna-tiva, se i dati di un ricevitore fisso su un punto vengono trasmessi ad un secondoricevitore, quest’ultimo può elaborare in tempo reale i propri dati e quelli trasmessie ricavare, quasi istantaneamente, le tre componenti del vettore che unisce i duericevitori e quindi anche le coordinate del secondo ricevitore, posto che il primoabbia coordinate note.
Normalmente, specie per misure GPS di precisione, il trattamento dei dati vienetuttavia eseguito dopo lo scarico dei dati di tutti gli strumenti in ufficio. I pro-grammi commerciali forniscono come risultato di questo trattamento le compo-nenti dei vettori (baseline) misurati in modo indipendente tra coppie di stazioniGPS. Queste componenti sono riferite al sistema globale cartesiano geocentricoWGS84 in quanto in questo sistema sono note le coordinate dei satelliti.
Se non si collega la rete locale GPS ad una rete di inquadramento (a stazioni per-manenti o a vertici della rete IGM95), da questi vettori si ottengono coordinateWGS84 a meno di errori di ±10
÷
20m dovuti ad una serie di sistematismi che con-corrono all’imprecisione del posizionamento assoluto di codice.
Fig. 12.7 –
I vettori di base (baselines) devono essere connessi ad almeno un vertice di inquadramento.
È perciò prassi sempre più comune inquadrare il rilievo locale nella rete nazionaleod internazionale.
I programmi scientifici forniscono direttamente le tre coordinate di ogni verticedella rete e la relativa matrice di varianza covarianza. Se ad esempio su quattro ver-tici quattro ricevitori acquisiscono dati (fig.
12.7
) i programmi scientifici trattanoassieme i dati delle quattro sessioni di misura (programmi multisessione) mentre iprogrammi commerciali trattano per tre volte i dati di una coppia di sessioni indi-pendenti (programmi a singola base), nell’esempio i dati di 1 e 2, i dati di 2 e 3 ed idati di 3 e 4.
1
2 3
4
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
87
Ciò che si ricava da questo trattamento semplificato sono i «dislivelli tridimensio-nali» associati alla matrice di varianza covarianza
C
∆∆
di dimen-sione 3
×
3, per ogni vettore di base.
La precisione di queste «basi» è variabile da 1
⋅
10
-5
a 1
⋅
10
-6
per basi corte, sino a 10
-7
per lunghe basi e 10
-8
per basi di un migliaio di km. Negli ultimi due casi non siottengono tali risultati con trattamenti standard o con software commerciale e sidevono considerare modelli molto fini e complessi. La stabilità delle componentidelle coordinate ricavate non può essere migliore di 10
-6
se non si considera adesempio l’utilizzo di effemeridi precise, del moto del polo e di molti altri fattori, daconsiderare con cura nel trattamento.
Le misure «indirette» che possiamo disporre dopo l’acquisizione GPS sono le com-ponenti delle baseline, con la loro matrice di dispersione in un sistema che, per pre-cisioni non superiori a 10
-6
possiamo considerare stabile, geocentrico e definirlogenericamente WGS84. La realizzazione italiana del sistema WGS84 è la retenazionale IGH95.
Per poter trattare queste misure congiuntamente a quelle topografiche classichedobbiamo considerare che quest’ultime, a differenza delle prime (tranne che per ledistanze) fanno riferimento al campo reale della gravità.
Queste e quelle assieme sono compensabili in un modello fisico-matematico chetenga conto:
– della conoscenza del campo della gravità;
– della conoscenza di un buon modello globale e locale della gravità;
– con la determinazione di un certo numero di parametri che modellano ilpassaggio del campo normale al campo reale della gravità;
– in un ambito ristretto e per basse precisioni senza nessuna di queste ipotesi.
Schemi di reti GPS
Potrebbe sembrare senza senso utilizzare in un progetto di una rete GPS unoschema di collegamento dei vertici tipico della triangolazione ed anzi, qualunqueschema terrestre potrebbe essere poco ragionevole, in quanto la rete reale di misuracollega sia i punti a terra che i satelliti osservati. In realtà i programmi commercialiforniscono come risultato del trattamento differenziale di fase, le componenti diciascuna base, misurabile in modo indipendente. Sono queste osservazioni elabo-rate, potremmo chiamarle anche pseudosservazioni, che entrano con la loro matricedi varianza covarianza di dimensione tre in un successivo programma di compensa-zione. Trascurando le
correlazioni
tra le componenti, a tutti gli effetti queste misure(vettori di base) sono dei dislivelli a tre dimensioni.
Se
n
ricevitori acquisiscono contemporaneamente, i vettori di base calcolabili inmodo indipendente sono
n-
1.
In una rete di precisione e in reti di
inquadramento,
si cerca di fare in modo che ognivertice sia connesso a più di un altro vertice. Ciò consente di ottenere buone preci-sioni di progetto e buone precisioni finali sulle coordinate. Una regola empirica diprogetto di reti GPS fissa il minimo numero di ritorni con il ricevitore su uno
∆Xij ∆Yi
j ∆Zij
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
88
stesso vertice; una seconda regola, fissa la ridondanza relativa della rete: rapporto tranumero di misure e numero di coordinate incognite, una terza infine lega la qualitàdel progetto a valori minimi ed omogenei delle ridondanze locali di ogni misurache si intende compiere.
Fig. 12.8
La figura
12.8
mostra uno schema di rete di inquadramento molto rigida, simile aduno schema classico ed utilizzabile anche per le più precise reti di controllo.
Questa rete deve, in ogni caso:
– essere collegata (od avere vertici appartenenti) alla rete nazionale IGM95od alla rete di stazioni permanenti GPS;
– contenere al proprio interno tutto il territorio da rilevare.
Lo schema di rilievo GPS
di infittimento
più utilizzato è quello che fa riferimento alrilievo rapido statico «con controllo a terra». Si utilizzano (anche per questioni diproduttività) almeno tre ricevitori GPS dei quali due sono posti sui vertici diinquadramento più prossimi ad un terzo (
A
in fig.
12.8
) che riceve per pochiminuti (ad intervalli di
campionamento
di 5s) nei punti della rete di infittimento. Lecoordinate di
A
sono determinate con ridondanza tre (ridondanza uno per ognicoordinata) grazie alla misura vettoriale dei tre lati del triangolo (
3 ,4 ,A
).
Anche se è spesso più produttivo l’uso di una stazione totale per le operazioni di
celerimensura
, per particolari scopi si utilizzano a questo fine anche misure GPS. Letecniche usate in tal caso sono quelle rapido statiche, stop and go o cinematichecon un solo ricevitore base ed il secondo che si muove sui punti di misura. L’unicoinconveniente nell’utilizzo del GPS è la scarsa visibilità dei satelliti in alcuni puntidi misura o l’assenza di visibilità in altri: ciò significa necessariamente il ritorno sulpunto da rilevare con strumenti tradizionali. In zone aperte ai satelliti, la produtti-vità del rilievo GPS cinematico o «stop and go» rispetto a quello tradizionale è oggiparagonabile e in alcuni casi superiore.
Lo svantaggio della non visibilità non è completamente assente anche con l’utilizzocongiunto delle costellazioni
GLONAS
e GPS; il vantaggio rispetto al rilievo tradizio-nale può essere quello di sincronizzare alle misure, particolari strumenti ausiliaricome batimetri, ecoscandagli, misuratori di profili laser ecc.
1
23
4
5
6
A
METODI
DI
RILEVAMENTO
E
SCHEMI
DI
MISURA
89
Abbiamo detto che una rete o una misura GPS è sempre di tipo tridimensionale (arigore dovremmo dire quadrimensionale, essendo importante anche la variabiletempo) e, siccome il passo successivo al rilievo è la rappresentazione, dovremo tro-vare un sistema e una superficie di riferimento comoda per questo scopo.
Siamo abituati a descrivere l’aspetto planimetrico del terreno attraverso una rappre-sentazione che è la trasformazione cartografica dei punti rilevati proiettati sull’ellis-soide di riferimento.
A questo scopo si tende oggi a costruire la nuova cartografia facendo uso della rap-presentazione di Gauss (secondo le convenzioni UTM) con l’utilizzo dei parametridell’ellissoide WGS84.
Le coordinate geocentriche di una rete GPS inquadrata in questo sistema sonodunque trasformabili in coordinate ellissoidiche (
ϕ
,
λ
,
h
) e successivamente incoordinate cartografiche (N, E) per quanto concerne la planimetria. Altimetrica-mente ciò che serve per scopi di progetto è una quota ortometrica H: occorre cono-scere se un canale o una conduttura può percorrere (con o senza sollevamenti opompe a pressione) un certo percorso, occorre conoscere il lavoro compiuto da untreno su una ferrovia o da un camion su un’autostrada ecc. Per questi scopi è neces-sario trasformare le altezze ellissoidiche attraverso la nota relazione:
Occorre allora conoscere l’ondulazione del geoide
N in tutti i punti del rilievo.
Nell’ambito di «relatività» più o meno ampia del rilievo e, stabilito che su alcunipunti della rete (capisaldi) si disponga di entrambe le quote H e h (ciò avviene permolti vertici della rete IGM95), ciò che importa è la precisione relativa con cui sipossono misurare i vari dislivelli:
Ritorneremo su questo argomento quando parleremo di reti altimetriche, tuttavia èchiaro che se ∆h o se la variazione di ondulazione del geoide ∆N sono note conbassa precisione anche ∆H risulta poco precisa.
È chiaro anche che tale precisione va valutata in relazione agli scopi del rilievo: unacartografia tecnica, un progetto di un acquedotto, di una strada ecc. Per questimotivi quando precisione altimetrica e precisione planimetrica non sono raggiungi-bili solo con misure GPS si preferisce allora scindere il problema altimetrico daquello planimetrico, come già si faceva tradizionalmente per altri motivi. È chiarotuttavia che questa dicotomia va ogni giorno sempre più restringendosi, coinvol-gendo cioè applicazioni più ristrette e con esigenze di precisione specifica: per scopicartografici è sempre più esteso l’utilizzo del GPS e della conoscenza del geoideanche per la rappresentazione altimetrica.
In caso contrario le misure GPS sono utilizzate solo per la costruzione del rilievoplanimetrico ricavando l’altimetria per mezzo della misura di reti di livellazionegeometrica.
H h N–=
∆H ∆h ∆N–=
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
90
Teodoliti EODM, Stazioni totali
Ci domandiamo ora cosa misurano questi strumenti e con quale precisione. Parle-remo degli schemi di misura che fanno riferimento a questi strumenti e come siintegrano queste misure con quelle GPS.
Un teodolite è un misuratore di direzioni (angoli) azimutali e di distanze zenitali.Per come sono state definite, entrambe fanno riferimento al campo reale della gra-vità: quando lo strumento è rettificato ed in stazione, l’asse primario è diretto comeil versore n.
Fig. 12.9
La direzione di n differisce da n ’ (diretta al campo normale) di un angolo εn dettodeviazione della verticale. Sia le misure azimutali che zenitali che teoricamentedovrebbero fare riferimento al campo normale, sono influenzate da questo «errore»che assume la stessa forma dell’errore di verticalità che per le misure azimutali vale:
dove ϑ e α rappresentano una direzione azimutale a priori ignota e l’angolo di ele-vazione (complemento a 100 gon alla distanza zenitale).
Ciò che rimane da chiarire sono due aspetti:
1. Se si vuole rappresentare planimetricamente il territorio da rilevarsi attornoal punto P e se la superficie di riferimento è un ellissoide locale, ciò che èimportante non è considerare la deviazione della verticale rispetto al camponormale, bensì la deviazione della verticale rispetto ad un ellissoideorientato localmente la cui normale è n”: questi valori sono in generepiù ridotti e di segno alterno su tutto il territorio nazionale in cui vige que-sta localizzazione.
2. La deviazione non cambia in media in un ristretto ambito territoriale,proiettando i punti lungo n o lungo n’’ ciò che si ottiene, a parte una trasla-zione è del tutto identico. Con queste ipotesi .
In questo ambito possiamo non preoccuparci eccessivamente delle deviazioni dallaverticale.
Altro ragionamento invece deve essere fatto se si vogliono trattare e compensare retimiste: GPS e tradizionali, o se si vogliono inquadrare queste nei sistemi di riferi-mento di quelle o viceversa.
n n'
P
Geoide: W=W0
Campo: W=Wp
Ellissoide locale
eϑ ε n tgα ϑcos=
ε l
ε l
ε l
∆Φ ∆ϕ ;= ∆Λ ∆λ=
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
91
Per reti di precisione, topografiche tradizionali o miste (GPS + tradizionali), è pos-sibile inserire, fra le incognite in compensazione, per ogni stazione, le due compo-nenti del vettore ε deviazione dalla verticale.
Alternativamente è possibile inserire, come valori noti, le deviazioni della verticalequando queste si conoscano ad esempio attraverso un buon modello di geoidelocale.
Per la compensazione di reti miste tridimensionali o per l’inquadramento di retiGPS o topografiche in un unico sistema, è possibile considerare che, in un’arealimitata (anche di alcune decine di km) possiamo inserire fra i parametri incognitisette parametri di rototraslazione spaziale con variazione di scala che modellano ilpassaggio fra i due sistemi. Queste incognite aggiuntive permettono sia di sfruttaretridimensionalmente tutte le misure acquisite che di inquadrare entrambe le reti inun sistema di riferimento nazionale od internazionale.
Di per sé le reti statiche GPS, specie se eseguite con particolari accorgimenti che nemigliorano la precisione altimetrica, sono più precise (10-6-10-7) che quelle tradi-zionali (10-5-10-6) quindi in una compensazione mista occorre pesare opportuna-mente ogni osservazione o «pseudosservazione». Nuove tecniche di misura GPS(Stop and go, rapido statica, RTK) hanno formalmente precisioni minori, avvantag-giando tuttavia la produttività del rilievo.
Fig. 12.10 – Moderni schemi di collegamento con strumenti tradizionali.
Gli schemi di rilievo con strumenti tradizionali utilizzati per reti di inquadramentoprevedono il collegamento dei vertici con schemi a triangolo o a quadrilatero. Inquesti schemi si misurano sia direzioni angolari che distanze. (fig. 12.10).
Durante il progetto della rete è opportuno prevedere la misura di ogni possibilequantità topografica rilevabile; la fase di simulazione ai minimi quadrati servirà averificare se è possibile raggiungere la precisione richiesta o se tale precisione (nor-malmente il più uniforme possibile su tutti i vertici della rete) è raggiungibile anchecon uno sforzo inferiore. Togliendo fra le misure progettate quelle con minorridondanza locale, o quelle che per motivi logistici non sono facilmente eseguibili,si verificano di volta in volta questi obiettivi.
Altimetricamente lo schema di collegamento e di calcolo è quello della livellazionetrigonometrica, che deve tener in debita attenzione l’influenza della rifrazione.
ξ η,( )
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
92
In caso questa non garantisse precisioni adeguate si può spezzare il dislivello ed ilpercorso tra due vertici in due o più tratte di livellazione trigonometrica od eseguiremisure (reti) di livellazione geometrica.
Gli schemi classici seguiti per reti di infittimento sono quelli delle intersezioni dirette(in avanti) od inverse (all’indietro).
Fig. 12.11 – a. intersezione all’indietro; b. intersezione in avanti.
Nelle intersezioni inverse si prevede la misura da un punto P di direzioni angolari edistanze verso vertici di coordinate note.
Nel caso di intersezione in avanti si prevede la misura da punti di una rete dicoordinate note, di direzioni angolari e/o distanze verso un punto P di coordinateincognite.
Questi schemi di intersezioni dirette od inverse sono seguiti anche senza averecome scopo il calcolo delle coordinate di un punto P, per quanto ora diremo.
Fig. 12.12 – Collegamento a vertici di coordinate note.
In uno schema di rilievo poligonale, che di per sé è poco rigido, la collimazione daalcuni vertici della poligonale a punti di coordinate note ha il doppio scopo di irri-gidire la poligonale e di inquadrarla nel sistema di riferimento dei punti di coordi-nate note (fig. 12.12).
P
P
1
2
3
αγ
β
αγ
β
1
A
E E
CD
3
2
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
93
Fig. 12.13 – Collegamento ai soli scopi di irrigidire la rete.
In figura 12.13 si mostra il caso in cui da tre vertici di una poligonale chiusa si col-lima un punto P con misure angolari e/o distanze. Il punto può essere ad esempioun particolare di un edificio, di una torre, di un traliccio di coordinate non note mala misura congiunta da più vertici della rete rende questa più rigida.
Misure con nastri, misure di allineamento, misure con squadri
I fili e i nastri d’acciaio sino all’avvento dei distanziometri, che dal punto di vistaoperativo è avvenuto attorno al 1950, sono stati gli strumenti più precisi per lamisura diretta di una distanza. Se si adottano particolari attenzioni alla misura,questa può ottenersi con sqm di ±1÷2cm per km per i nastri e di ±1mm per kmutilizzando l’apparecchio «Jäderin».
I nastri hanno suddivisione minima di un millimetro e lunghezza di 10 m, 20 m,50 m e 100 m. Una distanza superiore alla lunghezza del nastro si misura con uncerto numero di riporti detti «alzate». È necessario, per misure di precisione, che ilnastro sia «certificato» cioè sia stato tarato con precisione dalla casa costruttrice eche questa fornisca la costante di dilatazione dell’acciaio, normalmente acciaioinvar1 e la forza dinamometrica da applicare agli estremi per la misura. Perché que-sto avvenga correttamente è necessario che il nastro non si deformi eccessivamentesecondo una catenaria, per questo si appoggia su rulli portati alla stessa quota chepermettono il sostegno e lo scorrimento del nastro. La misura avviene a tensionedinamometrica stabilita dal costruttore; durante la misura occorre determinare latemperatura del nastro in più punti per tener conto delle variazioni termiche.
Nel caso di utilizzo per misure di deformazione di strutture, in particolare di soletteorizzontali, con questi accorgimenti e con l’uso di un nonio per entrambi gliestremi, si riesce a valutare distanze dell’ordine di 20 m con sqm di ±0.1÷0.2mm.In questo caso il nastro è appoggiato alla soletta orizzontale ed assume quindi la
1 L’acciaio normale ha un coefficiente di dilatazione di 10-5 °C, l’acciaio invar, costituito da unalega di 63% di nichel e 36% di ferro, ha coefficiente di 10-6 ed esistono leghe speciali concoefficienti ancora minori. Ciò significa che un errore nella valutazione delle temperature delnastro di 1° si traduce in un errore di misura di una parte per milione per acciai invar.
1
2 34
5
67
P
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
94
forma e temperatura di questa. Nei punti rispetto ai quali è necessario valutare ledistanze devono essere materializzati opportuni capisaldi che consentano l’inseri-mento di precisione di questi nonii di lettura.
Per misure di alta precisione, per la misura di basi per reti di triangolazione (primadell’avvento degli EODM) o per la taratura degli EODM, prima dell’avvento delGPS si utilizzava l’apparato di «Jäderin».
Questo è costituito da un filo di invar di 24m di lunghezza, graduato solo all’estre-mità, sospeso dal suolo e teso da due pesi di 10kg ciascuno per mezzo di due carru-cole. Sull’allineamento da misurare, ad una distanza molto vicina a quella delcampione, si dispongono dei segnali che, attraverso un nonio, permettono di misu-rare la posizione delle due scale al dmm. In fase di taratura del filo è stata determi-nata una volta per tutte la lunghezza della corda della catenaria del filo, teso con idue carichi standard.
Gli allineamenti
Non è immediato comprendere che il porre un punto in allineamento con altri duecostituisce un’operazione di misura.
Fig. 12.14 – La posizione di C lungo AB è una operazione di misura.
Non si scrive sul libretto di campagna nessuna misura ed alcune volte non si usaalmeno uno strumento per posizionare il punto C (fig. 12.14) lungo la visuale che ilnostro occhio osserva traguardando A e B.
Eppure il punto C, posizionato in questo modo, ha coordinate che devono apparte-nere alla retta passante per A e B.
Certo la precisione di queste misure va valutata in funzione dello sqm con cui C èposizionato lungo AB. Se su A e B si usano due paline rese verticali con filo apiombo e poste al massimo a poche centinaia di metri fra loro, si riuscirà ad alline-are una terza palina C con sqm dell’ordine di pochi cm nelle migliori condizioni eper brevi distanze (80-100m).
A
B
C
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
95
Ciò è già un successo per l’economicità degli «strumenti» utilizzati.
è possibile porre in A un teodolite e coprire così distanze più elevate, raggiungendoprecisioni che dipendono dagli strumenti usati in B e C e sugli altri allineamenti,dalla precisa collimazione dei traguardi, ma non dipendono dalla precisione ango-lare del teodolite.
Nel caso di utilizzo di collimatori e di appositi segnali di precisione è possibile uti-lizzare queste misure anche per valutare deformazioni di dighe o di grossi manu-fatti. I collimatori sono costituiti da un cannocchiale di grandi dimensioni edelevati ingrandimenti (es. 60 ingrandimenti) che può ruotare di piccoli angoli soloin senso zenitale. Per il suo peso e l’elevata precisione viene posto su pilastrini dicemento armato; posizionato a centramento forzato, è utilizzato appunto nellemisure delle deformazioni delle dighe.
Con misure di allineamento e di distanza lungo allineamenti, sono state rilevatequasi tutte le mappe di impianto del Catasto Italiano.
Fig. 12.15 – Esempio d i rete celerimetrica di allineamenti. I punti A, B, C sono di coordinate note.
A partire da una rete di infittimento di coordinate note, i punti di dettaglio sonostati rilevati come nell’esempio di figura 12.15.
Nella stessa figura i punti di dettaglio sono indicati con un cerchietto; si fa l’ipotesidi aver misurato tutte le distanze che in figura indicano il collegamento tra i punti.
Nell’esempio sono incognite le coordinate di nove punti in planimetria (18 inco-gnite) e si hanno 15 misure di distanze lungo allineamenti più 9 «misure» di condi-zioni di allineamento. Le figure 12.16 e 12.17 riportano gli esempi reali di rilievocatastale. Le unità di misura sono le «canne triplometriche», di 3 m appunto. Lamisura 15.200 indica una distanza di
La ridondanza globale della rete è 6.
A
B
C
15 3 m 200 cm = 47.00 m.+⋅
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
96
Fig. 12.16 – Rete di allineamenti. Esempio tratto «in bella» da misure reali.
Fig. 12.17 – Rilievo per allineamenti puri: stralcio da abbozzi di rilievo catastali.
2
3 4
h
g
a
p
b
o
d
c
m
0,00
59.4
0
75,0
0
75,0
0
174,
31
71,2
7
31,61
72,94
33,94
153,
08
219,52
0,000,00
203,
90
137,3
9
105,72
0,00
109,29
75,0
0
0,00
224,480,00
0,00
0,00
218,19
123,42
0,00 0,0
0
106,1
1
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
97
Misure con squadri
Quando non occorre una elevata precisione, l’individuazione della direzione nor-male ad un allineamento e passante per un punto P, viene eseguita attraverso unosquadro.
Ciò può essere sufficiente nel caso di rilievo di un confine irregolare che media-mente segue una direzione.
Fig. 12.18 – Rilievo con squadri.
In figura 12.18 il confine, rappresentato dalla spezzata CDEFGH segue in media ladirezione AB. Le distanze dei vertici della spezzata dall’allineamento sono di qual-che metro o pochissime decine di metri e in ogni caso di lunghezza inferiore allametà della distanza AB. Lo squadro a prisma più usato è quello di Wollaston, costi-tuito da due prismi ricavati dalla quarta parte di un ottagono regolare i cui angolisono esattamente di 135°.
Traguardando nella direzione E ’B (fig. 12.18) è possibile osservare la direzione dellanormale ad AB nel punto D, spostandosi in D ’.
Sovrapponendo due di questi prismi è possibile sfruttare lo strumento all’interno diun allineamento:
Traguardando in O ci si sposta sino ad osservare i punti A e B sovrapposti.
In questo caso ci si trova all’interno dell’allineamento AB ed è ora possibile allineareun terzo punto (una palina) nella direzione OO ’ verso un terzo punto D. Quando itre oggetti A, B, D appaiono allineati, AB è normale a DD ’.
A
B
HH'
GG'
FF'
DD'
C
EE'
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
98
Fig. 12.19 – Croce di squadri.
La precisione con cui si realizza questa operazione è dell’ordine di 5÷8cm su 20mdi distanza. Dei punti celerimetrici rilevati in questo modo sono misurate così leascisse e le ordinate rispetto ad un asse x costituito dall’allineamento stesso AB.
Per determinare con miglior precisione direzioni normali ad un allineamento odinclinate di un valore prefissato è ovviamente possibile utilizzare il teodolite. Ciòavviene ad esempio per il picchettamento di grandi opere di ingegneria civile:grandi insediamenti industriali, dighe, ponti, acquedotti ecc.
Per «picchettamento» si intende il posizionamento nel terreno, la materializzazione(di solito con picchetti) di una serie di punti significativi dell’opera di cui sono notele coordinate di progetto in un particolare sistema di riferimento.
Gli schemi di inquadramento ed infittimento altimetrico
La rete di inquadramento altimetrico di un territorio può essere costituita dallastessa rete utilizzata per la planimetria, e compensata tridimensionalmente. In talcaso deve essere previsto l’uso di strumenti tradizionali e la misura di distanze zeni-tali e/o l’uso di strumenti GPS congiunti alla conoscenza del geoide.
Più sovente, avendo separato il problema altimetrico da quello planimetrico, sitratta di compensare separatamente una rete di livellazione geometrica ed una retedi livellazione trigonometrica. I capitolati per la costruzione di cartografia a grandescala (1:2000-1:1000) prevedono di solito di non utilizzare quest’ultimo tipo dilivellazione che, per la minor precisione, è accettata solitamente per l’appoggio dicartografia a media scala (1:5000-1:10000). In ogni caso gli schemi ed i capitolatirichiedono una buona ridondanza globale ed una distribuzione uniforme dellaridondanza locale.
La ridondanza deve essere assicurata intrinsecamente nella rete, vale a dire non devedipendere dai capisaldi di inquadramento collegati.
Una volta ricavate le quote della rete rispetto ad uno zero prefissato ad arbitrio, la retesarà traslata rigidamente sui capisaldi adottando un semplice criterio di media o, se siritiene che i capisaldi abbiano quote di precisione diversa, utilizzando una media pesata.
AO'
B
O
135 °
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Al minimo, la rete dovrebbe essere collegata a due capisaldi di quote note. Ciòsignifica tuttavia affidabilità molto scarsa delle quote. In caso di errori dovuti adesempio alla non corretta identificazione dei capisaldi, non vi sarebbe alcuna possi-bilità di controllo della quota dell’uno o dell’altro. Ciò fa sì che i capisaldi di inqua-dramento altimetrico siano per lo meno tre. Comunque tali capisaldi devono essereben distribuiti nel territorio da rilevare.
Nel caso di reti di livellazione geometrica le linee di livellazione devono esseremisurate di andata e ritorno; il peso da dare in compensazione è inversamente pro-porzionale alla lunghezza della linea. Per dislivelli trigonometrici si cerca di nonsuperare le misure dirette con battute superiori a 8-10km. A parte i problemi divisibilità, anche per tali distanze, per distanze superiori, a causa della rifrazione, sideve spezzare la misura in più battute. Sino ad una decina di km il peso da asse-gnare alla misura è inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
12.4 I PROGRAMMI DI PROGETTO E COMPENSAZIONE DI RETI GEODETICHE
Anche se a rigore occorre parlare prima di progetto di una rete e poi di compensa-zione, invertiremo invece l’ordine, per capire meglio quali ipotesi si fanno sullemisure di provenienza prima ancora di proporre consequenzialmente «l’ambientedi lavoro» (campo geodetico o topografico ad es.) nel quale vengono trattate.
Immaginiamo di dover ricavare le coordinate tridimensionali di una rete per laquale si sono seguite diverse tecniche di misura:
– misura GPS per alcuni punti fra i più distanti;
– misure di distanza con EODM;
– misure di direzioni azimutali e direzioni zenitali;
– dislivelli trigonometrici e geometrici.
Facciamo l’ipotesi semplificativa che il campo gravimetrico sia normale, cioè cheovunque la deviazione dalla verticale (ξ ,η ) sia nulla: in questo caso la normaleall’ellissoide di riferimento e la normale al geoide coincidono e le due superfici sonoparallele.
La geometria di riferimento dovrebbe essere allora quella della superficie ellissoi-dica. È possibile scrivere le equazioni delle misure topografiche in questo riferi-mento; queste equazioni sono abbastanza complesse, tuttavia esistono programmidi progetto e compensazione di reti che fanno ciò in modo rigoroso. In questo casotuttavia dovremo fare una ulteriore ipotesi semplificativa: l’ellissoide di riferimentodel campo normale o meglio, l’ellissoide che meglio si adatta ad un campo realemedio della zona di rilievo con strumenti tradizionali e l’ellissoide di riferimentodelle misure GPS, sono coincidenti. Questa ipotesi è alquanto approssimativa epuò essere rimossa; ammettendo che fra l’ellissoide che meglio si adatta (all’appros-simazione di campo normale nullo) alle misure topografiche e l’ellissoide implicitonei risultati delle misure GPS esiste un cambiamento di sistema di riferimento, iparametri di trasformazione fra i due sistemi, possono anch’essi essere inclusi fra iparametri incogniti durante la compensazione della rete.
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
100
Un secondo modo di trattare tridimensionalmente le misure topografiche tradizio-nali è quello di «portarle» o se si vuole usare un termine improprio, di «correggerle»per portarsi in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale locale (la terna diEulero). Devono essere modificate le direzioni azimutali, le distanze zenitali, i disli-velli, non devono essere modificate nel senso di «deformare» le distanze inclinate, inquanto invarianti per cambio di sistema di riferimento; le componenti delle basiGPS devono essere solo ruotate (e propagate le matrici di varianza covarianza diqueste nel nuovo sistema). Per ricavare queste deformazioni occorre conoscere lecoordinate approssimate (ϕ ,λ ,h ) di ogni vertice della rete; questa ipotesi è ragione-vole in quanto un’approssimazione di qualche decametro a questi fini è più che suf-ficiente: è già necessaria una maggior approssimazione di (qualche metro), d’altraparte, per l’inizio del ciclo iterativo nella compensazione ai minimi quadrati.
Anche in questo caso dobbiamo ammettere che tra le misure GPS e le misure tradi-zionali sia incognito un cambio di sistema di riferimento (a sei o a sette parametri)perciò è necessario che su o fra almeno tre punti della rete siano state eseguitemisure GPS e misure tradizionali.
Nel caso in cui si sia misurata un’unica base GPS all’interno della rete, questa puòessere utilizzata ad esempio in modo scalare cioè come distanza inclinata. Una solamisura di questo tipo, anche se apparentemente inutile, può ugualmente irrigidireuna rete molto estesa, riducendo notevolmente la propagazione degli errori, speciein schemi simili a quelli a poligonale.
La separazione della planimetria dall’altimetria
Una scelta nel progetto e nella compensazione di reti è quella di separare le treincognite di posizione in due coordinate planimetriche ed una altimetrica ed ipo-tizzare, o meglio far finta, che fra queste, non esista alcuna correlazione.
Ciò avviene proiettando le misure su una comoda superficie di riferimento plani-metrica (il piano o la carta di Gauss). Per fare ciò occorre conoscere le coordinatedei punti, le quote in particolare, solo in maniera approssimata. Dopo questa ope-razione verranno compensate soltanto queste «proiezioni» planimetriche.
Viceversa le stesse misure sono utilizzate per «proiettarle» in un sistema di riferi-mento altimetrico secondo un modello più o meno raffinato. Per fare ciò le infor-mazioni planimetriche (ad esempio la posizione dei punti in una livellazionetrigonometrica) sono poco influenti nella determinazione di questi dislivelli. Anchele misure GPS possono essere trattate in questo modo, anziché in maniera pura-mente tridimensionale; il diverso sistema di riferimento, per reti di piccola esten-sione (max 10 km) incide poco sulla proiezione planimetrica delle baselines su unoo l’altro riferimento.
Premettiamo che le reti GPS sono di precisione superiore alle reti topografiche tra-dizionali e quindi se la rete GPS è molto rigida, normalmente non ha senso com-pensarla assieme alle misure topografiche tradizionali.
Non si afferma che non ha senso costruire reti con misure di diverso tipo, tutt’altro,ma solo che, se lo scopo di tutte le misure è quello di ottenere una rete con preci-sione media 10-6, e ciò si è ottenuto con una serie di misure GPS, le misure topo-
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101
grafiche, che ipotizziamo di precisione media 10-5 non hanno modo di modificareod interagire se non in piccolissima parte con le misure GPS. Viceversa saranno lemisure tradizionali ad essere maggiormente corrette e compensate per adattarsi almeglio alle misure GPS.
Ha senso pratico prevedere la costruzione di reti «miste» (GPS e tradizionali) nelcaso ad esempio di reti utilizzate per il tracciamento di gallerie o di opere in cui nonè sempre possibile utilizzare le misure satellitari, o semplicemente per costruire unarete di infittimento necessaria in zone non stazionabili con GPS (urbanizzatodenso, metropolitane ecc.).
Reti planimetriche: carta di Gauss o piano topografico
In un intorno, ristretto grossomodo al campo topografico (ad esempio attorno ad un vertice baricentrico della rete), questa può essere compensata plani-metricamente su questo piano. Ciò significa che le distanze inclinate, possonoessere ridotte semplicemente all’orizzontale, gli angoli e le direzioni azimutali misu-rati possono essere introdotti tali e quali in compensazione. Questo modo di lavo-rare, anche se solo in planimetria, ha errori di modello sempre maggiori via via chele distanze raggiungono i 10-15 km dal baricentro della rete e, più in là, non puòessere considerato corretto con gli strumenti oggi a nostra disposizione.
Per ciò che riguarda le distanze inclinate, la riduzione al piano può essere eseguitaproiettandole su un piano medio normale ad un versore n, direzione media dellozenit nella zona del rilievo.
Per gli angoli, le direzioni azimutali e le distanze zenitali si osserva che dipendonodalla direzione locale dello zenit nella zona del rilievo. Per reti sino a 15 km, si usacorreggere queste misure in funzione della posizione approssimata dei vertici dellarete, rispetto ad un punto baricentrico, tenendo conto di un campo gravitazionaledi tipo sferico. Queste correzioni possono tener conto della conoscenza locale dellecomponenti della deviazione della verticale, ma non sono causate solo dal cambia-mento del versore n su ogni vertice di rete: servono anche a «portare» figure geome-triche sull’ellissoide (sfera locale) alla geometria piana. Sull’ellissoide, ad esempio, lasomma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore dell’angolo piatto,mentre, nel caso piano, gli angoli «corretti», debbono soddisfare alla geometriaeuclidea.
Queste correzioni, meglio dire deformazioni, si apportano alle misure realmenteeseguite, e permettono nell’intorno limitato descritto, di compensare reti bi- o tri-dimensionali nel piano o nel sistema cartesiano locale.
Una seconda scelta consiste nel «proiettare» tutte le misure nel piano della carta diGauss. Questo tipo di proiezione si intende eseguita nell’ipotesi semplificativa che:
a. il campo anomalo sia nullo, o comunque costante all’interno del rilievo(T=cost), cioè siano nulle e costanti deviazioni della verticale ed ondula-zioni del geoide.
b. Un’altra ipotesi, non solo geometrica, è che si conosca l’ellissoide di proie-zione rispetto al quale è più ragionevole o comodo porre N=costante nota apriori.
5km±
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
102
In primo luogo occorre riportare le distanze alla carta di Gauss, passando attraversola superficie ellissoidica o alla sfera locale per distanze minori di 80-100 km. Ciòvuol dire conoscere, almeno grossomodo, le quote dei punti di misura, ed operarein uno dei tre modi di riduzione già visti al capitolo 10.
Per reti più estese di 80 km, se le basi sono invece minori di questa dimensione, èsufficiente ridurre ciascuna base con parametri dipendenti dalla posizione mediaapprossimata dei due punti coinvolti. (Ciò può avvenire ad esempio volendo sfrut-tare solo in planimetria basi GPS). In tal caso, anche per le distanze, occorre verifi-care che sia trascurabile la correzione lineare alla corda.
Per misure angolari, siccome è nota la proprietà di conformità della carta di Gauss,è sufficiente correggere tutte le misure per passare dai valori misurati sulla tangentealla trasformata della geodetica ai valori misurati sulla corda. Senza correggere gliangoli, avendo a disposizione la direzione approssimata del Nord rispetto allo zerostrumentale, si può correggere ogni lettura angolare della somma della convergenzadelle trasformate dei meridiani γ e dell’angolo alla corda ε . Dopo queste riduzioni,è possibile compensare la rete planimetrica sulla carta di Gauss. Teoricamentepotrebbe essere compensata la rete anche di un’intera nazione; in pratica, mano amano che estendiamo la zona, è più difficile sostenere che ivi il campo anomalo siacostante. La conoscenza della deviazione della verticale in alcuni punti della rete,come pure la misura di azimut astronomici e quella dell’ondulazione del geoide, ènecessaria per ridurre la propagazione di questi errori, nel caso in cui veramente ilterritorio oggetto del rilievo abbia estensione di centinaia di km.
Reti: equazioni generatrici e compensazione minimi quadrati
Le misure che prendiamo in considerazione nel trattamento delle reti planimetrichesono le distanze (già ridotte alla superficie di riferimento usata), le direzioni ango-lari, gli azimut, gli angoli, gli allineamenti, le direzioni normali.
Nel caso di reti altimetriche prenderemo in considerazione i soli dislivelli ortome-trici mentre, per reti tridimensionali, considereremo tutte quelle elencate in prece-denza, le distanze zenitali ed i vettori di base GPS.
Lo strumento che useremo allo scopo sarà il metodo statistico di compensazione aiminimi quadrati; il metodo permette di progettare prima e di trattare poi la rete equeste misure.
Tranne casi particolari le equazioni generatrici in Topografia, saranno sempre nonlineari nei parametri: coinvolgeranno cioè da un lato, linearmente, le misure ese-guite e, dall’altro lato dell’equazione, funzioni non lineari dei parametri, chequasi sempre sono le coordinate dei vertici della rete o le correzioni di orienta-mento angolare.
La non linearità obbliga all’introduzione di valori approssimati dei parametri inco-gniti, attorno ai quali si linearizzano le equazioni generatrici.
Ricordiamo anche qui che il numero di equazioni deve in genere superare di unabuona percentuale il numero delle incognite; ciò si può valutare attraverso un para-metro, detto ridondanza relativa, che vale:
r%=m/n 12.1
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
103
dove m è il numero di equazioni (misure) ed n il numero di parametri incogniti.
È necessario poi che ogni vertice in cui sono incognite una, due o più coordinate,sia collegato ai rimanenti almeno da due, tre o più misure indipendenti. In terminipiù rigorosi questa condizione si esprime: è necessario che nessuna misura abbiaridondanza locale uguale a zero.
Prima di progettare o compensare una rete, occorre stabilire, fissare il sistema diriferimento: di ciò parleremo più avanti in un apposito paragrafo. La soluzione euna gran parte dei risultati sarà tuttavia dipendente dal sistema di riferimentoscelto. Ci fermiamo ora solo sui valori in ingresso ed in uscita in un progetto o inuna compensazione di una rete.
Compensazione e progetto: valori in ingresso ed uscita
In fase di compensazione di una rete si introducono:
1. le misure da compensare ed il loro sqm;
2. eventuali misure da rispettare rigidamente;
3. le correzioni di orientamento approssimate delle direzioni angolari sui ver-tici di stazione;
4. le coordinate approssimate dei punti incogniti;
5. le coordinate ed eventualmente il loro sqm per i punti da considerare noti;
6. la stima iniziale del σ0.
In uscita avremo almeno:
7. il valore finale;
8. le misure compensate e la loro precisione;
9. gli scarti e la loro precisione;
10.le ridondanze locali per ogni misura;
11.i parametri incogniti (coordinate, correzioni d’orientamento) con gli sqmed i parametri delle ellissi od ellissoidi di errore per i vertici della rete, edeventualmente le ellissi relative ad una coppia di vertici della rete.
In fase di progetto di una rete (si dice anche in simulazione), si introducono i valori dicui ai punti 4, 5, e 6 mentre per i primi tre punti si introducono solo le informazionidi quali misure si intenderanno eseguire ed il loro sqm, quali misure si intenderannorispettare rigorosamente e quali correzioni di orientamento si misureranno.
In uscita otterremo il valore finale, identico a σ0 iniziale previsto, la precisionedelle misure compensabili, o meglio lo scarto quadratico medio degli scarti, e leridondanze locali.
Non si otterranno ovviamente i parametri incogniti, ma si otterrà la stima dellamatrice di varianza covarianza di questi parametri e, di conseguenza, le ellissi o gliellissoidi di errore per i vertici della rete, ed eventualmente le ellissi relative ad unacoppia di vertici della rete.
σ0
σ0
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
104
Reti: il sistema di riferimento (datum)
Prima di progettare o compensare una rete occorre aver stabilito un sistema di rife-rimento (datum). Se dovessimo trovare una definizione abbastanza generale didatum, potremmo dire: «tutto ciò a cui l’insieme delle misure è invariante nellospazio dei parametri».
Nel caso di una rete planimetrica formata da sole distanze, comprendiamo che questerimangono invarianti per una rotazione od una traslazione dei parametri «coordi-nate». Occorre allora fissare una traslazione: un’origine di un sistema cartesiano, eduna rotazione: una direzione di uno di questi assi. Sempre per una rete planimetrica,se questa fosse misurata con sole letture angolari, si comprende che ogni angolo, lastessa forma della rete, rimane tale e quale anche se la rete avesse una scala completa-mente diversa da quella reale. In questo caso occorre fissare ad esempio anche ladistanza fra due punti della rete od, alternativamente, fissare le coordinate di due ver-tici della rete, bloccando così in tutto quattro parametri.
Nel caso di una rete altimetrica è sufficiente fissare arbitrariamente la quota di unvertice della rete.
Questo modo di agire, fissando cioè un datum minimale, si chiama anche compen-sazione a minimi vincoli, ed assicura che le misure non subiscano deformazioni ecompensazioni assieme, presenti in caso contrario nel caso di una scelta ridondantedi punti del sistema di riferimento dei quali è necessario rispettare le coordinate.Questa compensazione è anche detta compensazione intrinseca perché il risultatodipende solo dalle misure interne alla rete che si vogliono trattare e non dalle coor-dinate o parametri esterni da fissare arbitrariamente.
Dopo la compensazione intrinseca di una rete tridimensionale, planimetrica odaltimetrica, l’inquadramento in un sistema di riferimento (nazionale o globale)avviene rototraslando o traslando le coordinate della rete a minimi vincoli sulla retenazionale, sfruttando vertici di cui si conoscano le coordinate in entrambi i sistemiod anche misure secondarie, di direzioni o di distanze, non entrate in compensa-zione, da vertici della rete, verso vertici di coordinate note nel sistema di riferi-mento (nazionale o globale). Questa operazione si chiama anche fitting diinquadramento.
Visto che il modo di fissare il datum è arbitrario ci si chiede: è possibile renderlomeno soggettivo? Ad esempio, per una rete altimetrica si è scelto di fissare il datumscegliendo arbitrariamente la quota di un punto. Per ottenere lo stesso scopo è suf-ficiente ad esempio scrivere, imporre, una relazione che leghi i parametri incogniti«quote» ad un valore noto a priori. Si può decidere ad esempio che la sommatoriadi tutte le quote compensate sia un valore noto. Ogni dislivello rimane ancora inva-riante per la traslazione del riferimento di quota scelto. Nel caso di reti planimetri-che si può decidere che la somma di tutti i parametri incogniti, che sono lecorrezioni alle coordinate, siano sempre nulle. Con ciò si fissano solo due trasla-zioni del sistema di riferimento; è possibile fissare il terzo parametro: una rota-zione, imponendo che tra le coordinate compensate e le coordinate approssimatedi partenza si possa scrivere una trasformazione rotazionale a rotazione nulla.
Finora, per una rete altimetrica, o planimetrica, abbiamo fissato, o legato ad una
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
105
legge, uno o tre parametri che corrispondono ai gradi di libertà di un corpo su unaretta o di un corpo su un piano.
Ci aspettiamo, nel caso di una rete tridimensionale, considerata come un corporigido nello spazio a scala fissata, di dover vincolare sei parametri di datum, fissandocioè arbitrariamente, ad esempio, le coordinate di due punti. Così è in effetti peruna rete topografica classica, nel caso si considerino incogniti i valori medi nellarete delle componenti della deviazione della verticale. In caso contrario occorrericonoscere che è già stata implicitamente fatta un’ipotesi che blocca due di questiparametri: l’ipotesi di ritenere noto (invariante per campo piano e noto con leggesferica per campo sferico) il versore n dell’asse zenitale del teodolite. In questo caso,un modo comune di procedere è fissare le coordinate tridimensionali di un puntodella rete nonché una direzione azimutale, cioè la direzione degli angoli misurabilinel piano normale ad n.
Nel caso di reti GPS si fa implicitamente l’ipotesi che il sistema di riferimento nonruoti, durante la misura di tutte le basi della rete. Ciò è ragionevole anche congrande precisione, se la rete viene misurata in un breve lasso di tempo (una setti-mana ad esempio). In tal caso il sistema di riferimento può essere fissato con soli treparametri traslativi: le coordinate di un punto, ad esempio, od ancora tre funzioniche coinvolgano le coordinate di tutti i punti della rete. In questo caso si ipotizzaimplicitamente che non vi siano parametri di rotazione né di scala incogniti trabase e base o tra sessioni di misura dell’unica rete.
Un ultimo cenno va fatto considerando i casi in cui il sistema di riferimento non èfissato correttamente, o meglio, le misure hanno scarso significato rispetto a (unsottoinsieme di solito di) parametri che occorre determinare. Questi casi sonospesso difficili da riconoscere, se non grazie ad un indicatore detto «numero di con-dizione» della matrice normale, troppo basso.
In una rete tridimensionale si potrebbero inserire ad esempio fra le incognite diogni stazione di misura le componenti della deviazione della verticaledovute al campo anomalo, o/e la somma di queste e dell’errore di verticalità. Se larete non è sufficientemente densa ed estesa, ciò che si può ricavare teoricamenterisulta numericamente assai mal stimabile. È più conveniente «spostare» questivalori dal gruppo dei parametri incogniti all’insieme dei parametri assunti comedatum o legarli ad una legge comune in tutto il rilievo.
Equazioni generatrici di una rete planimetrica
In una rete planimetrica prendiamo in considerazione questi tipi di misure:
– distanze dij tra due punti i e j;
– direzioni azimutali tij misurate dalla stazione i verso il punto j ;
– azimut ϑ ij misurati dalla stazione i sul punto j ;
– angoli azimutali α ijk misurati sulla stazione i tra il punto indietro j ed ilpunto avanti k;
– allineamenti tra tre punti;
– misure perpendicolari ad un allineamento.
ξ η,( )
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
106
Le equazioni che esprimono queste misure (dette equazioni generatrici), non sonolineari nelle incognite: coordinate dei punti (di stazione ed osservati). Scriviamoleuna ad una e vediamo come si linearizzano per poter calcolare la matrice disegno:
che serve a progettare la rete ed a calcolare la soluzione ai minimi quadrati.
Distanza dij
Fig. 12.20 – Equazioni generatrici delle distanze in planimetria.
La distanza tra i punti i e j si esprime, con il teorema di Pitagora:
12.2
o, nella forma:
12.3
L’equazione si linearizza «attorno» ai quattro valori approssimati dei parametrix0: , vale a dire le derivate vanno calcolate utilizzando tali valoriapprossimati.
Nelle formule che seguono i pedici alle parentesi indicano questo valore approssimato:
12.4
12.5
Ax∂
∂ f=
Pi
dij
Pj
dij xj xi–( )2 yj yi–( )2+=
xj xi–( )2 yj yi–( )2+ d– ij 0=
xi0 yi
0 xj0 yj
0,,,
xi∂∂ f xj xi–
dij-------------
0;–=
yi∂∂ f yj yi–
dij-------------
0
–=
xj∂∂ f xj xi–
dij-------------
0;–=
yj∂∂ f yj yi–
dij-------------
0
–=
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
Il termine noto vale:
12.6
Azimut ϑ ij
Fig. 12.21 – Azimut ϑ ij.
L'azimut è l’angolo azimutale misurato in Pi tra la direzione del nord (geografico ocartografico a seconda dei casi) ed il punto Pj.
L’ azimut tra i punti i e j si esprime con:
L’equaz
Il termi
l dij xj xi–( )2 yj yi–( )2+( )0–=
Nord(Y )
Pj
Pi
ϑij
xi0 yi
0 x,,
12.7atnxj xi–
yj yi–------------- θ ij– 0=
ione si linearizza attorno ai quattro valori approssimati dei parametri x0:. I parametri possono essere tutti incogniti o solo in parte:j
0 yj0,
12.8xi∂
∂ f yj yi–
d ij2
-------------
0
– ;=yi∂
∂ f xj xi–
d ij2
-------------
0
=
12.9xj∂
∂ f yj yi–
d ij2
-------------
0
;=yj∂
∂ f xj xi–
d ij2
-------------
0
–=
ne noto, calcolato anch’esso nei valori approssimati, vale:
12.10l θij atnxj xi–
yj yi–-------------
0
–=
107
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
108
Fig. 12.22 – Costante additiva all’equazione generatrice dell’azimut nei vari quadranti.
Si può obiettare che l’equazione 12.7 vale solo nel primo quadrante. Ciò è vero, ed iltermine noto 12.10 va corretto di π nel II e III quadrante e di 2π nel IV quadrante2.Le derivate tuttavia non cambiano, dunque le 12.8 e 12.9 sono sempre corrette.
Direzioni azimutali tij
Fig. 12.23
La direzione azimutale è l’angolo azimutale misurato in Pi tra la direzione dellozero del cerchio del teodolite ed il punto Pj.
La direzione azimutale differisce dall'azimut tra i punti i e j dell’angolo δ detto«correzione d’orientamento».
2 N.B. Le equazioni angolari saranno espresse in seguito in radianti. 200 gonesprime l’angolo piatto π.
=αϑ
IV I
IIIII
α >0α<0
- π= αϑα<0α>0
= παϑ +
+ π= αϑ 2
δ
tij
tij
Y
X
o
0ij
Pi
Pji
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
109
Si esprime, secondo la forma tradizionale con:
12.11
L’equazione si linearizza attorno ai valori approssimati x0: . Come sivede l’equazione coinvolge cinque parametri, che possono essere tutti od in parteincogniti:
12.12
12.13
12.14
Il termine noto, calcolato anch’esso nei valori approssimati, vale:
12.15
Anche qui vale la considerazione fatta relativa ai quadranti di misura.
Angoli azimutali α ijk
Fig. 12.24
L’angolo azimutale misurato in Pj tra il punto indietro i ed il punto avanti k, si ottienecome differenza tra le direzioni azimutali:
12.16
atnxj xi–
yj yi–------------- tij δ+ i( )– 0=
xi0 yi
0 xj0 yj
0,,, δi,( )
xi∂∂ f yj yi–
d ij2
-------------
0
;–=yi∂
∂ f xj xi–
d ij2
-------------
0
=
δj∂∂ f
1–=
xj∂∂ f yj yi–
d ij2
-------------
0
;=yj∂
∂ f xj xi–
d ij2
-------------
0
–=
l tij δi0 atn
xj xi–
yj yi–-------------
0
–+=
Y
X
Pi
Pj
Pk
αijk
l tij δi0 atn
xj xi–
yj yi–-------------
0
–+=
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
110
12.17
(È positivo cioè se misurato in senso orario).
Per tale motivo ha il vantaggio di essere indipendente dalla direzione dello zero delcerchio, ma ha il noto svantaggio di essere una quantità correlata con gli altri angoliazimutali misurati dalla stessa stazione.
Perciò (a meno che sia l’unico angolo misurabile da Pj ) si evita di usare questeequazioni generatrici e si preferisce usare le equazioni delle direzioni azimutali.
L’equazione generatrice si esprime con:
12.18
L’equazione si linearizza attorno ai valori approssimati x0: .Come si vede l’equazione coinvolge sei parametri, che possono essere tutti od inparte incogniti:
12.19
12.20
12.21
Il termine noto, calcolato anch’esso nei valori approssimati, vale:
12.22
con le solite convenzioni per il calcolo dell’angolo di direzione.
Allineamenti e distanze lungo un allineamento
Dati due punti: PI (indietro) e PA (avanti) ed un terzo punto centrale (PC) che sitrova sull’allineamento [PI PA] ad una distanza h , ortogonale a [PI-PA] ed a unadistanza s dal punto PI al piede di PC , si può scrivere l’equazione della distanza delpunto PC dalla retta che passa per [PI-PA], che è:
12.23
l’equazione generatrice può allora scriversi:
12.24
α ijk tjk tji–=
atnxk xj–
yk yj–-------------- atn
xi xj–
yi yj–-------------– α ijk– 0=
xi0 yi
0 xj0 yj
0 xk0 yk
0,,,,,( )
xi∂∂ f yi yj–
d ij2
-------------
0
;–=yi∂
∂ f xi xj–
d ij2
-------------
0
=
xj∂∂ f yi yj–
d ij2
-------------
0
yk yj–
d kj2
-------------
0
;–=yj∂
∂ f xk xj–
d kj2
--------------
0
xi xj–
d ij2
-------------
0
–=
xk∂∂ f yk yj–
d kj2
-------------
0
;=yk∂
∂ f xk xj–
d kj2
--------------
0
–=
l α ijk atnxk xj–yk yj–--------------
0
– atnxi xj–yi yj–-------------
0
+=
hyA yI–( ) xC xI–( ) xA xI–( ) yL yI–( )–
xA xI–( )2 yA yI–( )2+--------------------------------------------------------------------------------------- k
d----= =
yA yI–( ) xC xI–( ) xA xI–( ) yL yI–( )–
xA xI–( )2 yA yI–( )2+--------------------------------------------------------------------------------------- h– 0=
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
111
Il senso positivo è orario da PI verso PA: se il punto PC si trova a destra la distanza hè positiva.
Se il punto PC si trovasse lungo l’allineamento PI-PA, varrà:
il che equivarrebbe a dire anche .
Come si vede, questa equazione non entra in difetto per posizioni particolaridell’allineamento [PI-PA] e la distanza [PI-PA] è sempre positiva.
L’equazione generatrice della distanza s vale a sua volta:
12.25
s si intende positiva da PI verso PA.
Non è detto che siano misurati o misurabili contemporaneamente sia h che s: puòessere noto ad esempio solo h, specie nel caso in cui . In tal caso poi s ed hpossono avere precisione diversa: se ad esempio il punto PC è posto in allineamentocon un collimatore di precisione, la precisione di h è in genere maggiore di quella dis , ammesso che s sia nota.
La linearizzazione delle equazioni di allineamento fornisce sei derivate parziali,tante quante le incognite coinvolte:
Il termine noto varrà:
12.27
dove le coordinate si intendono quelle assunte come valore approssimato.
La linearizzazione delle equazioni della distanza s , misurata lungo un allineamento,fornisce anch’essa sei derivate parziali, tante quante le incognite coinvolte:
h 0=
k 0=
sxA xI–( ) xC xI–( ) yA yI–( ) yC yI–( )+
xA xI–( )2 yA yI–( )2+----------------------------------------------------------------------------------------– w
d---- 0= =
h 0=
12.26
xA∂∂h yC yI–( )
d--------------------
k xA xI–( )d3
-----------------------––=yA∂
∂h xC xI–( )d
--------------------k yA yI–( )
d3-----------------------–=
xI∂∂h yC yA–( )
d---------------------
k xA xI–( )d3
-----------------------+=xI∂
∂h xA xC–( )d
----------------------k yA yI–( )
d3-----------------------+=
xC∂∂h yA yI–( )
d--------------------=
yC∂∂h xA xI–( )
d--------------------–=
l h=yA yI–( ) xC xI–( ) xA xI–( ) yL yI–( )+
xA xI–( )2 yA yI–( )2+---------------------------------------------------------------------------------------–
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
112
Il termine noto varrà:
12.29
e le coordinate sono quelle assunte come valore approssimato.
Esempio di calcolo e compensazione di una rete planimetrica
Compensazione di una intersezione mista di distanze e direzioni azimutali:
Sono note le coordinate (x,y ) dei punti:
2≡(690.60, 300.50) m
3≡(200.10, 160.20) m
12.28
xA∂∂s xC xI–( )
d--------------------
w xA xI–( )d 3
------------------------–=yA∂
∂s yC yI–( )d
-------------------w yA yI–( )
d 3------------------------–=
xI∂∂h 2xI xA– xC–
d-----------------------------
w xA xI–( )d 3
------------------------+=xI∂
∂s 2yI yA– yC–d
----------------------------w yA yI–( )
d 3------------------------+=
xC∂∂h xA xI–( )
d--------------------=
yC∂∂h yA yI–( )
d--------------------–=
l s=xA xI–( ) xC xI–( ) yA yI–( ) yC yI–( )+
xA xI–( )2 yA yI–( )2+----------------------------------------------------------------------------------------–
Y
ASSE X
3
2
Y0= 100X0= 100
t 13 t 12
δ1
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
113
Dalla stazione 1 verso questi punti sono state misurate le distanze:
d12=519.15m ±1cm; d13=650.20m ±1cm;
Inoltre, orientando il teodolite verso il punto 2 si sono misurati:
t13 = α 213 = 55.7956 gon ± gon;
t12 = 0 gon ± gon.
Date le coordinate approssimate del punto 1 ricavate per via grafica: 1≡(450.0,760.6) m, si desidera ricavare la stima delle coordinate del punto 1 e la loroprecisione.
In questo caso, essendo l’angolo α 213 l’unico angolo misurato dal punto 1 , è equi-valente risolvere il problema con l’equazione dell’angolo azimutale, senza correla-zioni oppure con le due equazioni alle direzioni.
Si noti anche che, nel primo caso, si deve scrivere un sistema di tre equazioni (duedistanze ed un angolo) nelle due coordinate incognite (x1, y1). Nel secondo caso unsistema di quattro equazioni (due distanze e due direzioni azimutali) nelle tre inco-gnite: le coordinate del punto 1 e la correzione d’orientamento δ.
In entrambi i casi la ridondanza globale vale r=m–n=1, così che il metodo deiminimi quadrati è applicabile con profitto.
I programmi di calcolo e compensazione più evoluti operano, per generalità, con ilmetodo delle direzioni.
Può essere interessante in questo esempio discutere se il datum, il sistema di riferi-mento, è (o non è) iperdeterminato, in quanto è stato fissato ciò che in apparenza èpiù del necessario, vale a dire le coordinate di due punti della rete.
La risposta è che è iperdeterminato: occorrerebbe risolvere la rete con le sole misureminime e poi rototraslare la rete sui due punti noti.
Risolvere la rete significa in questo caso risolvere senza ridondanza un triangolo dicui sono noti due lati e l’angolo compreso. In questa ipotesi non hanno alcun signi-ficato i pesi o gli sqm delle tre misure.
Il successivo inquadramento: rototraslazione senza variazione di scala, permette diposizionare con ridondanza uno (1) il triangolo, con un fitting minimi quadrati suipunti 2 e 3. In questo secondo passaggio le coordinate dei punti 2 e 3 vengonointrodotte senza nessuna ipotesi di peso, derivato dalle misure od assunto a priori.Il risultato sarà che gli scarti saranno equiripartiti sulla congiungente dell’allinea-mento dei punti 2-3.
Per queste ragioni, in questo caso e nei casi analoghi (che si augurano essere moltopochi) si preferisce compensare la rete con datum fissato in maniera iperdeterminata.
Le equazioni angolari si scrivono:
7 10 4–⋅7 10 4–⋅
atnx3 x1–y3 y1–--------------- π+
t13– δ– ν1=
atnx2 x1–y2 y1–--------------- π+
t12– δ– ν2=
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
114
Le equazioni nelle distanze sono:
Si noti che essendo le direzioni verso 2 e 3 nel secondo e terzo quadrante si è som-mato ad entrambe le equazioni il valore π.
Per calcolare i termini noti ci manca un valore approssimato della correzione δ.Essendo il cerchio azimutale orientato a zero sul punto 2, la correzione è il valoredell’angolo di direzione (12), che è possibile misurare graficamente. Si ha δ=170gon (=2.670354 rad).
I termini noti l1, l2, l3 ed l4 valgono:
Formiamo ora la matrice disegno A. Sarà di quattro righe (m=4) e di tre colonne(n=3), quante sono le incognite δx1, δy1, δ(δ). La prima riga esprime le derivaterispetto alla prima misura, la seconda le derivate rispetto alla seconda ecc.
Prima riga:
Sostituendo i valori si ottiene:
Per la seconda riga (e misura) si ha:
Per la terza misura:
x3 x1–( )2 y3 y1–( )2+ d13– ν3=
x2 x1–( )2 y2 y1–( )2+ d12– ν4=
l1 0.876435 2.670354 atn249.9600.3-------------
– π–+ 0.010784 (rad)= =
l2 0.0 2.670354 atn240.6460.0–
---------------- – π–+ 0.010584 (rad)= =
l2 650.20 249.92 600.32+– 0.1308– m= =
l2 519.15 240.62 4602+– 0.0613– m= =
a11
x1∂∂ f1 y3 y1–
d 132----------------- ;–= = a1
2
y1∂∂ f1 x3 x1–
d 132------------------ ;–= = a1
3
δ∂∂ f1 1–= =
a11 600.3
650.2382---------------------= a1
2 249.9–650.2382---------------------= a1
3 1–=
a21
x1∂∂ f2 y2 y1–
d 122----------------- 460.0
519.1232--------------------- ;=–= = a2
2
y1∂∂ f2 x2 x1–
d 122------------------ 240.6
519.1232--------------------- ;=–= = a2
3 1–=
a31
x1∂∂f3 x3 x1–
d 132
--------------- 249.9650.238------------------- ;=–= = a3
2
y1∂∂f3 y3 y1–
d 132
-------------- 600.3650.238------------------- ;=–= = a3
3 0=
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
115
Per la quarta ed ultima misura:
In definitiva:
Occorre ora pesare ciascuna equazione in proporzione inversa alla varianza di ognimisura. Ricordando le (4), e assumendo :
;
e si ottiene così:
Calcoliamo ora la matrice normale N, espressa dalla:
e la sua inversa N -1:
Il termine noto normale vale:
ed infine, la soluzione è:
a41
x1∂∂ f4 x2 x1–
d 122------------------ 240.6–
519.123------------------- ;=–= = a4
2
y1∂∂ f4 y2 y1–
d 122----------------- 460.0
519.123------------------- ;=–= = a4
3 0=
A
1.41979 10 3–⋅ 0.59105– 10 3–⋅ 1–
1.70694 10 3–⋅ 0.89280 10 3–⋅ 1–
0.38432 0.92320 00.46347– 0.88611 0
=
σ02 1=
pj1
σ j2
------=
σ 12 σ 2
2 7 10 4–⋅63.6620------------------- ;= = σ 3
2 σ 42 0.01m( )2= =
p1 p2 8.27 109;⋅= = p3 p4 1 104 m2⋅= =
N ATPA=
N4.4397 104⋅ 5.1052 103⋅ 2.5682– 107⋅
2.5857 104⋅ 2.4959– 106⋅Simmetrica 1.6542 1010⋅
=
N2.5580 104⋅ 1.2080– 10 5–⋅ 3.9809 10 7–⋅
3.9816 10 5–⋅ 1.2878– 10 8–⋅Simmetrica 6.8086 10 10–⋅
=
b ATPl2.7581 105⋅2.3676 104⋅1.7673– 108⋅
= =
xδx1δy1δδ( )δ
N 1– b0.0807m–
0.0113m–
0.01083rad–
= = =
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
116
I valori compensati delle coordinate del punto 1 e della correzione d’orientamentosono:
1≡(449.919, 760.489)m; δ=(170-0.01083*63.6620)gon =169.3105 gon
Ricaviamo ora il vettore degli scarti dopo la compensazione, secondo le:
Ed ora calcoliamo la stima , secondo la:
(il valore è adimensionale).
Si noti che fissato a priori =1.
Ora ricaviamo la matrice di varianza covarianza delle coordinate:
e, in definitiva:
Si può infine valutare a posteriori la precisione delle misure dopo la compensazione, omeglio, la stima della precisione degli scarti dopo la compensazione, per mezzodella matrice di varianza covarianza degli scarti:
ricavando così:
ν
ν A x l–δ
4.5108– 10 6–⋅ rad
4.5108 10 6–⋅ rad0.0046– m0.0015– m
= =
σ02ˆ
σ02ˆ
pjν j2
j 1=
m
∑m n–
-------------------- ν T Pνm n–-------------- 0.5677= = =
σ02ˆ σ0
2<
Cxx σ 02ˆ N 1– ;=
Cxx
σ x2 σ xy σ xδ
σ y2 σ yδ
simmetrica σδ2
1.4464 10 4–⋅ 6.8301– 10 6–⋅ 2.2509– 10 7–⋅ 2.2513 10 5–⋅ 7.2813 10 9–⋅
simmetrica 3.8497 10 10–⋅
= =
σ x 0.0121m;±= σ y 0.0048m;±= σδ 12.52m±=
Cν ν σ02ˆ P 1– AN 1–– AT[ ]=
Cν ν
2.034 10 11–⋅ 2.026– 10 11–⋅ 2.054 10 8–⋅ 6.6556 10 9–⋅ 2.034 10 11–⋅ 2.054– 10 8–⋅ 6.6556– 10 9–⋅ 2.0915 10 5–⋅ 6.7496 10 6–⋅
simmetrica 2.1862 10 6–⋅
=
σν1 σν2 2.86 10 4– gon⋅±= =
METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA
117
Si noti che gli sqm angolari sono migliori (più piccoli) degli sqm delle misure ango-lari ipotizzate a priori di gon ed anche che gli sqm degli scarti delle duedistanze sono diversi fra loro e più piccoli degli sqm a priori delle distanze, ipotiz-zati di ±10mm.
Infine ricaviamo la matrice di ridondanza, definita dalla:
od anche dalla:
12.30
Evitando i complessi conti matriciali si può ricavare:
ed infine:
Si verifica che , che è la ridondanza globale r (r=1 in questoesempio). Questi valori indicano il contributo di ogni misura alla rigidità comples-siva della rete.
Come si nota dalla forma 12.30 questi valori possono essere calcolati senza bisognodelle misure l .
Nel nostro caso possiamo affermare che la quarta misura ha pochissima influenzasulla rigidità della rete. Ciò era progettabile in anticipo, prima di eseguire le misure.In questo caso, d’altra parte, non possiamo permetterci il lusso di progettare reticon ridondanza nulla e quindi senza controllo interno alcuno. In altre circostanze,da un progetto preliminare di una rete, se una misura risulta avere bassa ridondanzalocale, si decide di solito di non eseguirla.
Qui di seguito è riportato il listato dell’uscita di un programma automatico di cal-colo e progettazione di reti, denominato CALGE (del Politecnico di Milano), ese-guito con i dati di questa piccola rete di esempio.
σν3 4.56mm;±= σν4 1.48mm±=
7 10 4–⋅
R1
σ02ˆ
------ P Cν ν⋅=
R I PAN 1– AT–=
rii
piσν i2
σ02ˆ
------------=
r11 r2
2 0.2965;= = r33 0.367;= r4
4 0.040=
r11 r2
2 r33 r4
4+ + + 1=
Tabulato di uscita di CALGEUNITÀ DI MISURA: MISURE ANGOLARI in gon MISURE LINEARI in m CORREZIONI E PARAMETRI ANGOLARI gon CORREZIONI E COORDINATE LINEARI m
RESIDUI E SQM ANGOLARI dmgon RESIDUI E SQM LINEARI mm PRECISIONE A PRIORI DELLA RETE TOPOGRAFICA SIGMA ZERO (CC) 100.
SQM DELLE OSSERVAZIONI TOPOGRAFICHE: ANGOLI AZIMUTALI dmgon 10. DISTANZE (mm) 10.+10.*D (km) DISLIVELLI (mm) 1.*SQRT(D) (km)
MISURE DI ANGOLI E DISTANZE N. PUNTI DIREZIONI AZIMUTALI DISTANZE INCLINATE IND. AV. I-A A-I I-A A-I (gon ) (gon ) (m) (m) 1 1 2 0.0000 2 1 3 55.7956 3 1 2 519.150 4 1 3 650.200
LATI 4 LATI RIGIDI 0
PUNTI E COORDINATE APPROSSIMATE
N. PUNTO FIX COORD.X COORD.Y (m) (m) 1 1 0 450.000 760.600 2 2 2 690.600 300.500 3 3 2 200.100 160.200
PUNTI 3 PUNTI FISSI 2
LATI 4 VERTICI 3 LATI RIGIDI 0 VERTICI FISSI 2
TERMINI NOTI ED SQM DELLE EQUAZIONI AGLI ANGOLI E ALLE DISTANZE N. PUNTI DIREZIONI AZIMUTALI DISTANZE IND. AV. I-A SQM A-I SQM I-A (cc) (cc) (cc) (cc) (mm) 1 1 2 -6737.9 7.0 2 1 3 -6865.1 7.0 3 1 2 61.3 4 1 3 130.8
SQM T. NOTO = 79339.5
ITERAZIONE N. 1 SIGMA ZERO = 58.0ITERAZIONE N. 2 SIGMA ZERO = 57.9ITERAZIONE N. 3 SIGMA ZERO = 57.9
CORREZIONI COORDINATE COMPENSATE E SQM
N. PUNTO FIX COORDINATA COMPENSATA X COORDINATA COMPENSATA Y CORREZ. VALORE SQM CORREZ. VALORE SQM (m) (m) (mm) (m) (m) (mm) 1 1 0 -0.0833 449.9167 14.0 -0.1150 760.4850 4.8 2 2 2 0.0000 690.6000 0.0 0.0000 300.5000 0.0 3 3 2 0.0000 200.1000 0.0 0.0000 160.2000 0.0
CORREZIONI ORIENTAMENTI DELLE STAZIONI E SQM N. PUNTO CORREZ. VALORE SQM (gon ) (gon ) (CC) 1 1 -0.68954 169.31046 14.1
N. MEDIA SQM RMS MAX (VAL) (SQM) 3 -27.8 48.1 8.1 14.0 COORDINATA X 3 -38.3 66.4 2.8 4.8 COORDINATA Y 1 -6895.4 0.0 14.1 14.1 ORIENTAMENTO
SCARTI-RESIDUI DELLE EQUAZIONI ALLE MISURE DI ANGOLI E DISTANZE N. PUNTI DIREZIONI AZIMUTALI DISTANZE IND. AV. I-A SQM A-I SQM I-A SQM (CC) (CC) (CC) (CC) (mm) (mm) 1 1 2 1.7 1.7 2 1 3 -1.7 1.7 3 1 2 -2.0 2.0 4 1 3 -7.4 7.4
N. MEDIA SQM RMS MAX (VAL) (SQM) 2 0.0 2.4 1.7 1.7 DIREZIONI AZIMUTALI 2 -4.7 3.8 5.4 7.4 DISTANZE
SIGMA ZERO 57.9129 90.9694 (ANG. E LIN. A 1 KM) EQUAZIONI 4 INCOGNITE 7 VINCOLO SISTEMA DI RIFERIMENTO: VINCOLI DOVUTI A LATI RIGIDI 0 VINCOLI DOVUTI A PUNTI FISSI 4 RIDONDANZA 1 ITERAZIONI 2