7/21/2019 A Máquina de Turing

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A máquina de Turing é um dispositivo teórico conhecido como máquina universal , quefoi concebido pelo matemático britânico Alan Turing (191!19"#$, muitos anos antes dee%istirem os modernos computadores digitais (o artigo de refer&ncia foi publicado em19'$) *um sentido preciso, é um modelo abstrato de um computador , que se restringeapenas aos aspectos lógicos do seu funcionamento (memória, estados e transi+es$ e n-o .

sua implementa+-o f/sica) *uma máquina de Turing pode!se modelar qualquer computadordigital)

Turing também se envolveu na constru+-o de máquinas f/sicas para quebrar os códigossecretos das comunica+es alem-s durante a 00 uerra 2undial, tendo utili3ado alguns dosconceitos teóricos desenvolvidos para o seu modelo de computador universal )

Descrição informal

4ma máquina de Turing consiste em5

1) 4ma fita que é dividida em células, uma ad6acente . outra) 7ada célula contém ums/mbolo de algum alfabeto finito) 8 alfabeto contém um s/mbolo especial branco (aqui escrito como $ e um ou mais s/mbolos adicionais) Assume!se que a fita éarbitrariamente e%tens/vel para a esquerda e para a direita, isto é, a máquina deTuring possui tanta fita quanto é necessário para a computa+-o) Assume!se tambémque células que ainda n-o foram escritas est-o preenchidas com o s/mbolo branco)

) 4m cabeçote, que pode ler e escrever s/mbolos na fita e mover!se para a esquerda e para a direita)

') 4m registrador de estados, que arma3ena o estado da máquina de Turing) 8 n:merode estados diferentes é sempre finito e há um estado especial denominado estado

inicial  com o qual o registrador de estado é iniciali3ado)

#) 4ma tabela de ação (ou função de transição$ que di3 . máquina que s/mboloescrever, como mover o cabe+ote ( para esquerda e  para direita$ e qual seráseu novo estado, dados o s/mbolo que ele acabou de ler na fita e o estado em que seencontra) ;e n-o houver entrada alguma na tabela para a combina+-o atual des/mbolo e estado ent-o a máquina para)

 *ote que cada parte da máquina é finita< é sua quantidade de fita potencialmente ilimitadaque dá uma quantidade ilimitada de espa+o de arma3enamento)

Defnição ormal

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 Máquina de Turing com uma fta

2ais formalmente, uma máquina de Turing (com uma fita$ é usualmente definida comouma Tupla  M  = (Q,>,?, s,b, F ,@$, onde

•   Q é um conjunto fnito de estados

• Σ é um alabeto fnito de símbolos

• Γ é o alabeto da fta (conjunto fnito de símbolos

• é o estado inicial

• é o símbolo branco (o !nico símbolo que se "ermite ocorrer na ftainfnitamente em qualquer "asso durante a com"utação

• é o conjunto dos estados fnais

• # é uma unção "arcial c$amada unçãode transição% onde é o mo&imento "ara a esquerda e é omo&imento "ara a direita'

efini+es na literatura .s ve3es diferem um pouco, para tornar argumentos ou provas maisfáceis ou mais claras, mas isto é sempre feito de maneira que a máquina resultante tem o

mesmo poder computacional) Bor e%emplo, mudar o con6unto  para, onde P  permite ao cabe+ote permanecer na mesma célula da fita em ve3 de mover!se paraa esquerda ou direita, n-o aumenta o poder computacional da máquina (Conte ! 2ichael

;ipser ! 0nt Teoria da 7omputa+-o$)

Comparação com máquinas reaisCrequentemente di3!se que as máquinas de Turing, ao contrário de autDmatos mais simples,s-o t-o poderosas quanto máquinas reais, e s-o capa3es de e%ecutar qualquer opera+-o queum programa real e%ecuta) 8 que está faltando neste enunciado é que praticamentequalquer programa particular e%ecutando em uma máquina particular  e dada uma entradafinita é, na verdade, nada além de um autDmato finito determin/stico, 6á que a máquina em

que e%ecuta pode estar apenas em uma quantidade finita de configurações) 2áquinas deTuring poderiam de fato ser equivalentes a uma máquina que tenha uma quantidadeilimitada de espa+o de arma3enamento) Bodemos questionar ent-o por que as máquinas deTuring s-o modelos :teis de computadores reais) Eá várias maneiras de responder a isto5

' ) dierença está a"enas na $abilidade de uma máquina de Turing demani"ular uma quantidade ilimitada de dados' *o entanto% dada uma

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quantidade fnita de tem"o% uma máquina de Turing (como uma máquinareal "ode a"enas mani"ular uma quantidade fnita de dados'

+' ,omo uma máquina de Turing% uma máquina real "ode ter seu es"açode arma-enamento aumentado conorme a necessidade% atra&és daaquisição de mais discos ou outro meio de arma-enamento' .e o

su"rimento destes or curto% a máquina de Turing "ode se tornar menos!til como modelo' Mas o ato é que nem as máquinas de Turing nem asmáquinas reais "recisam de quantidades astron/micas de es"aço dearma-enamento "ara a-er a maior "arte das com"utaç0es que as"essoas normalmente querem que sejam eitas' 1requentemente otem"o de "rocessamento requerido é o maior "roblema'

2' Máquinas reais são muito mais com"le3as que uma máquina de Turing'4or e3em"lo% uma máquina de Turing descre&endo um algoritmo "odeter algumas centenas de estados% enquanto o aut/mato fnitodeterminístico equi&alente em uma dada máquina real tem quadril$0es'

5' Máquinas de Turing descre&em algoritmos inde"endentemente dequanta mem6ria eles utili-am' 7á um limite má3imo na quantidade demem6ria que qualquer máquina que con$ecemos tem% mas este limite"ode crescer arbitrariamente no tem"o' )s máquinas de Turing nos"ermitem a-er enunciados sobre algoritmos que (teoricamente &alerãoeternamente% inde"endentemente dos a&anços na arquitetura decom"utadores convencionais'

8' Máquinas de Turing sim"lifcam o enunciado de algoritmos' )lgoritmose3ecutando em máquinas abstratas equi&alentes a Turing sãonormalmente mais gerais que suas contra"artes e3ecutando em

máquinas reais% "orque elas t9m ti"os com "recisão arbitráriadis"oní&eis e nunca "recisam tratar condiç0es ines"eradas (incluindo%mas não somente% acabar a mem6ria'

4ma maneira em que máquinas de Turing s-o pobres modelos para programas é que muitos programas reais, tais como sistemas operacionais e processadores de te%to, s-o escritos parareceber entradas irrestritas através da e%ecu+-o, e portanto n-o param) 2áquinas de Turingn-o modelam tal Fcomputa+-o cont/nuaF bem (mas ainda podem modelar por+es dela, taiscomo procedimentos individuais$)

8utra limita+-o de máquinas de Turing é que elas n-o modelam a organi3a+-o estrita de um

 problema espec/fico) Bor e%emplo, computadores modernos s-o na verdade instâncias deuma forma mais espec/fica de máquina de computa+-o, conhecido como máquina de acessoaleatório) A principal diferen+a entre esta máquina e a máquina de Turing é que esta utili3auma fita infinita, enquanto a máquina de acesso aleatório utili3a uma sequ&ncia inde%adanumericamente (tipicamente um campo inteiro$) 8 resultado desta distin+-o é que háotimi3a+es computacionais que podem ser e%ecutadas baseadas nos /ndices em memória, oque n-o é poss/vel numa máquina de Turing geral) Assim, quando máquinas de Turing s-o

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utili3adas como base para tempo de e%ecu+es restritos, um Ffalso limite inferiorF pode ser provado em determinados tempos de e%ecu+-o de algoritmos (gra+as . premissa falsa desimplifica+-o da máquina de Turing$) 4m e%emplo disto é uma Fordena+-o por contagemF,o que aparentemente viola o limite inferior theta(nlogn$ em algoritmos de ordena+-o)

Máquina de Turing física *-o é dif/cil simular uma máquina de Turing num computador moderno (e%ceptuando pelaquantidade de memória limitada e%istente nos computadores actuais$)

G também poss/vel construir uma máquina de Turing com base puramente mecânica) 8matemático Harl ;cherer  construiu essa máquina em 19I usando con6untos de contru+-ode metal, plástico e alguma madeira) A máquina, com 1," m de altura, usa pu%es de fios para ler, movimentar e escrever informa+-o, a qual é, por sua ve3, representada por

rolamentos)

A máquina encontra!se actualmente em e%ibi+-o na entrada do epartamento de 7i&ncia de7omputadores da 4niversidade de Eeidelberg, na Alemanha)

G também poss/vel, usando algumas centenas de espelhos, construir uma máquina deTuring óptica na sua própria casa usando o mapa da ferradura de ;male) Jste é baseadonum trabalho do matemático estado!unidense ;tephen ;male)

8 conceito de máquina de Turing foi usado como ferramenta educativa na obra de fic+-o

cient/fica The Diamond ge (199"$, escrita por *eal ;tephenson) A personagem principal, *ell, possui um livro interactivo que a ensina a pensar criativa e logicamente apresentando!lhe pu33les numa história, os quais, sendo máquinas de Turing, se tornam cada ve3 maiscomple%os . medida que a narrativa se desenvolve) Jstes pu33les come+am por ser simplesaparelhos mecânicos e evoluem para processos econDmicos abstractos, atingindo um pontoem que se assiste . intera+-o entre completos reinos ficcionais)