a mat022 complemento
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
1/165
Coordinacin MAT022
Campus Santiago Vitacura
Apuntes de
MAT022 - Complementos 3
a
vs. 1
sem.2014
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
2/165
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
3/165
Prefacio
Estimados alumnos:
Este texto, en su segunda versin en formato de libro, es el resultado del esfuerzo de muchos co-
legas del Departamento de Matemtica de la Universidad Tcnica Federico Santa Mara, que a lo
largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes secciones incorporan apuntes de profesores
del Campus Santiago, especialmente de Juan Bahamodes, Nelson Cifuentes, Roberto Geraldo,
Leonel Guerrero y Erick Inda. En esta versin, stos han sido editados por quien suscribe, paraque su estructura incorpore no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad, sino
que tambin varios ejercicios resueltos y propuestos, que esperamos resuelvan con entusiasmo,
para lograr mejores aprendizajes. Hemos optado tambin por incluir muchas demostraciones de
los teoremas que vern en clases. No es el objetivo que todos ellos sean vistos en clases. Ms bien,
esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de profundizar en la aprehensinde los conceptos involucrados, y de comprender cmo se realiza la construccin del conocimiento
matemtico. Esperamos que esta primera versin, an preliminar, les sea de utilidad, y que cual-
quier error que encuentren (por cierto, involuntario), sea informado al mail indicado abajo.
El apunte est estructurado y ordenado en la forma de clases correlativas, estimando el tiempo
necesario para tratar los temas que comprende el programa, clase a clase. Esto no los debe llevar a
equvocos: el nmero total de clases en un semestre es superior al nmero de clases que aparecen
en este texto. Esto se debe a que no se incluyeron aqu, de manera numerada, las clases de ejercicios
que se intercalan en algunos momentos, de acuerdo al calendario de certmenes de cada semestre,las eventuales falencias detectadas y a las necesidades especficas que cada curso determine.
Es importante que tengan presente que este apunte no reemplaza las clases. Para lograr un buenaprendizaje de los conceptos e ideas que considera este curso, es fundamental que asistan a clases,
participen activamente en ella, estudien de manera metdica, ojal estructurando un horario de
estudio diario, preparndose siempre para su prxima clase y que planteen a sus profesores cual-
quier duda conceptual que les surja. Si sus dudas aparecen cuando estn resolviendo un problema,
revisen los apuntes (stos y los personales de clases), ya que es posible que hay algn concepto que
no han comprendido cabalmente, reintente, aplique muchas alternativas de solucin e intercambie
I
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
4/165
PREFACIO Vernica Gruenberg Stern
opiniones y mtodos con sus compaeros. Esta forma de estudiar les entregar una comprensin
ms profunda de las ideas y conceptos que estudiaremos en este curso y, por cierto, tendrn un
aprendizaje de calidad.
Desendoles la mejor experiencia de aprendizaje y que su trabajo sistemtico rinda los frutos que
esperan, los invita a iniciar esta aventura, muy cordialmente,
Vernica Gruenberg Stern
II
mailto:[email protected]:[email protected] -
7/23/2019 A MAT022 Complemento
5/165
ndice general
Prefacio I
ndice general II I
1. Matrices 1
1.1. CLASE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Conceptos Bsicos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Operatoria con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Propiedades de las Operaciones Matriciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. CLASE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. CLASE 3: Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. CLASE 4: Operaciones Elementales y Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. CLASE 5: Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6. CLASE 6: Matriz Inversa y operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1. Mtodo de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz . . . . . . . . 29
1.7. CLASE 7: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.2. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. Vectores enRn 43
2.1. CLASE 8: Vectores en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.1. Operaciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.2. Producto punto y norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.3. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.4. ngulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.5. Producto cruz enR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2. CLASE 9: Geometra del Plano y el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II I
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
6/165
NDICE GENERAL
2.2.1. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2. Rectas en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.3. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3. Ejercicios de Controles y Certmenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3. Espacios Vectoriales 63
3.1. CLASE 10: Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. CLASE 11: Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3. CLASE 12: Espacio Generado. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4. CLASE 13: Bases y dimensin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5. Ejercicios de Controles y Certmenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4. Diagonalizacin 85
4.1. CLASE 14: Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2. CLASE 15: Diagonalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3. CLASE 16: Aplicacin: forma cannica de cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1. Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2. Formas cuadrticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4. CLASE 17: Aplicacin: Secciones cnicas rotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.1. Aproximacin geomtrica a la clasificacin de cudricas en el plano . . . . . 104
4.5. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5. Sucesiones y Series Numricas 109
5.1. CLASE 18: Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2. CLASE 19: Convergencia de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.1. El concepto de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.2. Algunas propiedades de las sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.3. Algunos resultados de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3. CLASE 20: Series Numricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4. Criterios de convergencia de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.4.1. Criterio de la integral. Criterio de comparacin y comparacin al lmite. . . . 133
5.4.2. CLASE 21: Criterios del cuociente y de la raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.5. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5.1. Convergencia condicional y absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.6. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
IV
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
7/165
NDICE GENERAL
6. Series de Potencias 1456.1. CLASE 22: Series de Potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2. CLASE 23: Polinomios y Series de Taylor y MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.1. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2.2. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3. CLASE 24: Aplicaciones al Clculo de Integrales y Serie Binomial . . . . . . . . . . . 155
6.4. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
V
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
8/165
NDICE GENERAL
VI
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
9/165
Captulo 1
Matrices
1.1. CLASE 1
Muchos problemas del mundo real pueden ser modelados por sistemas de ecuaciones lineales.Las matricesque definiremos a continuacin, son objetos matemticos muy tiles, que permiten
representar de manera sencilla estos sistemas y, ms an, una correcta manipulacin de estas re-
presentaciones permiteresolverestos sistemas, como veremos ms adelante.
1.1.1. Conceptos Bsicos de Matrices
DEFINICIN1.1.1 Una matriz de ordenn m(se leenfilas pormcolumnas) es un arreglo rectan-gular de nmeros, de la forma
a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2ma31 a32 a33 a3m
... ...
... . . .
...
an1 an2 an3 anm
Cada uno de los elementos aij del arreglo, i {1, 2, m}, j {1, 2, n}, se llama entrada,elementoocoeficientede la matriz.
OBSERVACIN:
1. Denotaremos las matrices por letras maysculas A, B,C o tambin en la forma (aij)nm ,
(bij)nm o simplemente, (aij) , (bij). Note que (aij)denota una matriz, mientras que aijdenota laentradade la matriz que se encuentra en la isima fila yjsima columna.
2. Los elementos de una matriz pueden pertenecer a cualquier conjunto numrico, en particular
a Ro C. Denotaremos porMnm(R)M (n m,R)al conjunto de todas las matrices deordenn mcon coeficientes reales; de manera similar, Mnm(C) M (n m,C)denota elconjunto de todas las matrices de orden n mcon coeficientes complejos.
1
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
10/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
EJEMPLOS:
1. La matriz A=
1 2
3 4
M22(R) y la matriz B=
1 2 1 i
i 0 3
M23(C).
EnA, se tiene que a12= 2 y a21= 3.
EnB, se tiene que b13= 1 i y b21 = i.
2. La matriz A= (aij)33= (i +j)33 est dada por
2 3 43 4 5
4 5 6
3. Escriba explcitamente la matrizA= (aij) M44, donde aij =i2 j2.
A=
12 11 12 22 12 32 12 42
22 12 22 22 22 32 22 4232 12 32 22 32 32 32 4242 12 42 22 42 32 42 42
=
0 3 8 153 0 5 128 5 0 7
15 12 7 0
.
DEFINICIN1.1.2 Una matriz de ordenn 1se llamamatriz columnaovector columna, y tienen laforma
a11
a21...
an1
De manera similar, una matriz de orden1 mse llamamatriz filaovector fila, y tiene la forma
a11 a12 a13 a1m
DEFINICIN1.1.3 La matriz (aij)nmtal que aij = 0para todo i, j se llama matriz nula de ordenn my es denotada por [0]nm, es decir
[0]nm=
0 0 00 0 0... ... . . . ...0 0 0
DEFINICIN1.1.4 Las matrices de ordenn n(igual nmero de filas y de columnas) se denomi-nan matrices cuadradas de orden n. El conjunto de ellas, con entradas en los reales, se denota porMnn(R)o simplemente Mn(R). Anlogamente para el caso complejo.
2
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
11/165
Vernica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1
DEFINICIN1.1.5 SeaAuna matriz cuadradaA= (aij)nn. Los coeficientesaiiparai = 1, 2, . . . , nforman la llamadadiagonal principalde la matriz. Ladiagonal secundariadeAson los elementos de
la formaai,n+1iparai = 1, 2, . . . , n es decir
La diagonal principal deA :
a11
a22. . .
ann
La diagonal secundaria deA :
a1n
an1,2an1
DEFINICIN1.1.6 Una matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal son todos
nulos se llamamatriz diagonal(los elementos de la diagonal pueden tomar cualquier valor, es decir,no necesariamente son distintos de cero).
Matriz diagonal:
a11 0 0 00 a22 0 00 0 a33
......
... ...
. . . 0
0 0 0 ann
Un tipo muy importante de matriz diagonal, es aquella que tiene todos los elementos de ladiagonal principal igual a 1, y se llama matriz identidad de ordenn. Esta matriz es denotada porIn.
EJEMPLOS:
I2=
1 0
0 1
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
DEFINICIN1.1.7 Si una matriz cuadrada de orden nes tal que todos los elementos que estnsobre su diagonal principal son todos iguales a cero (no importan los dems) se denomina matriz
triangular inferior; de manera similar, una matriz triangular superiores aquella en la cual todos los
3
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
12/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
elementos que se encuentran bajo la diagonal principal son todos igual a cero.
Matriz triangular inferior:
a11 0 0 0
a21 a22 0
. .. 0...
... . . . . . .
......
... . . . . . . 0
an1 an2 an3 ann
Matriz triangular superior:
a11 a12 a13 a1n0 a22 a23
. . . a2n
0 0 . . . . . .
......
... . . . . . .
...
0 0 0 ann
DEFINICIN1.1.8 Dada una matriz cuadrada
A=
a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n
... ...
... . . .
...
an1 an2 an3 ann
llamaremostraza deA(denotado portr(A)) a la suma de los elementos de la diagonal principal,
es decir,
tr (A) =a11+ a22+ + ann =n
i=1
aii
EJEMPLOS:
1. La traza de la matriz A=
1 2
4 1
es tr(A) = 1 + (1) = 0.
2. La traza de la matriz
An =
1 0 0 0
1 2 0 01 2 3 0...
... ...
. . . ...
1 2 3 n
es tr(A) = 1 + 2 + + n= n(n + 1)
2 .
4
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
13/165
Vernica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1
1.1.2. Operatoria con matrices
DEFINICIN1.1.9 (Igualdad de matrices) Diremos que dos matrices AyBson iguales si y solo si
son del mismo orden y adems aij
=bij
,
i, j.
EJEMPLO1.1.1 Encontrar los valores de las incgnitas si se tiene x + 1 0
x2 1
=
3 a
b c
DEFINICIN1.1.10 ( Suma de matrices) SiA = (aij)nm y B = (bij)nm, se define la suma deAyB:
A + B= (aij+ bij)nm es decir:
a11 a12 a1ma21 a22 a2m
... ...
. . . ...
an1 an2 anm
+
b11 b12 b1mb21 b22 b2m
... ...
. . . ...
bn1 bn2 bnm
=
a11+ b11 a12+ b12 a1m+ b1ma21+ b21 a22+ b22 a2m+ b2m
... ...
. . . ...
an1+ bn1 an2+ bn2 anm+ bnm
DEFINICIN1.1.11 (Multiplicacin por escalar o ponderacin) SiA = (aij)nm y R C,entonces
A= (aij)nm= (aij)n
m , es decir
a11 a12 a1ma21 a22 a2m
... ...
. . . ...
an1 an2 anm
=
a11 a12 ama21 a22 a2m
... ...
. . . ...
an a2n amn
EJEMPLOS: SiA =
1 2 10 2 3
y B=
1 1 2
3 1 1
, calcule a) A + B b) A + 5B.
a) A + B = 1 2 10 2 3 + 1 1 23 1 1 = 0 3 13 3 4 b) A + 5B =
1 2 10 2 3
+ 5
1 1 2
3 1 1
=
4 7 9
15 7 8
OBSERVACIN: SiAyBson matrices cuadradas, entonces tr (A + B) =tr (A) + tr (B).
5
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
14/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
EJERCICIOS:
1. Construir explcitamente la matriz definida por:
a) A=
ij23
b) A=
i+jk=1
k2
32
c) B=|i j|
35
d) C=
(i + 1)(j 2)33
2. Determinex, yR tal que
3 x
1 2
+ 2
2 1
5 x
=
7 3
11 y
.
3. Determine matricesA, B M22(R)tal que
2A 5B=
1 20 1
, 2A + 6B=
4 2
6 0
.
DEFINICIN1.1.12 (Producto de matrices) SeaK = R C.Sean A M (n m,K) y B M (m p,K).La matriz productoC=A Bes la matriz de ordenn pdada por(cij)np donde
cij =
mk=1
aikbkj
Es decir, para obtener el elemento cij del producto se fija la fila i de A y la columna j de B y se
forma el elemento anterior; se dice que el producto de matrices es filas por columnas.
a11 a12 a13 a1m...
... ...
. . . ...
ai1 ai2 ai3 aim...
... ...
. . . ...
an1 an2 an3 anm
b11 b1j b1pb21 b2j b2p
... ...
...
bm1 bmj bmp
entonces el coeficientecijse obtiene como cij =ai1b1j+ ai2b2j+ + aimbmp.
6
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
15/165
Vernica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1
1.1.3. Propiedades de las Operaciones Matriciales
SeanA, B,C matrices (con rdenes tales que las operaciones consideradas pueden ser aplica-
das) y sean, escalares. Entonces:
1. A + B= B + A 8. 1 A= A2. (A + B) + C=A + (B+ C) 9. (AB) C=A (BC)3. A + [0] =A 10. A (B+ C) =AB + AC4. A + (1) A= [0] 11. (A + B) C=AC+ BC5. (A + B) =A + B 12. (AB) = (A) B= A (B)
6. ( + ) A= A + A 13. A Mnm InA= A = AIm7. (A) = () A
OBSERVACIN:
1. Es muy importante notar que el producto matricial no es conmutativo; incluso uno de los
productos puede no estar definido. Si consideramos A M23y B M34entonces ABest definida y tiene orden2 4. Notar queBAno est definido.Pero, incluso en el caso en que ambos productos puedan realizarse, no necesariamente son
iguales. Por ejemplo:
1 2
3 45 6
7 8 = 1 5 + 2 7 1 6 + 2 83
5 + 4
7 3
6 + 4
8 =
19 22
43 50 ,y
5 6
7 8
1 2
3 4
=
5 1 + 6 3 5 2 + 6 47 1 + 8 3 7 2 + 8 4
=
23 34
31 46
.
de donde 1 2
3 4
5 6
7 8
=
5 6
7 8
1 2
3 4
2. En matrices, la ecuacinAX = Bcon A= [0]y B una matriz cualquiera,no siempretienesolucin. Considere 1 1
0 0
X=
1 11 1
Si Xtiene orden nm, para que est bien definido el producto, se ha de tener n = 2. Elresultado sera de orden2 m, pero sabemos que es de orden 2 2, luegom = 2. Luego,Xes de la forma
X=
a b
c d
7
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
16/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
entonces 1 1
0 0
a b
c d
=
a + c b + d
0 0
=
1 11 1
que claramenteno puede ser, pues observando la segunda fila, vemos que 0 = 1.3. En matrices no es verdad que AB = [0] implique A = [0]B = [0]. Veamos un par de
ejemplos: 0 1
0 0
0 1
0 0
=
0 0
0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 1 11 2 1
1
1 2
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
EJEMPLOS:
1. SeaA = [aij] M44(R)tal que aij = 0 para i > j y aij = 1 si i j. DetermineA2.Solucin:
A2 =
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 10 0 0 1
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 10 0 0 1
=
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 20 0 0 1
.
2. Considere la matriz
A=
0
12 0
12 0 0
0 0 12
Conjeture una frmula paraA2n, n N y demustrela por induccin.
Solucin:
A=
0 12 0
12 0 0
0 0 12
A2 =0
12 0
12 0 0
0 0 12
0
12 0
12 0 0
0 0 12
=122 0 0
012
20
0 012
2
A4 =A2 A2 =
12
20 0
012
20
0 012
2
12
20 0
012
20
0 012
2 =
12
40 0
012
40
0 012
4
8
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
17/165
Vernica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1
Conjetura: A2n =
12
2n0 0
012
2n0
0 0 12
2n
n N
Demostracin (por induccin): Como se vi arriba, el cason= 1se cumple.
Veamos que suponiendo vlido para n, se cumple tambin paran + 1:
A2(n+1) =A2n A2 =
12
2n0 0
012
2n0
0 012
2n
12
20 0
012
20
0 012
2
= 12
2n+20 0
0 122n+2 00 0
12
2n+2
=
12
2(n+1)0 0
012
2(n+1)0
0 012
2(n+1)
Luego, la conjetura es vlida n N.
EJERCICIOS:
1. Considerar la matrizB =
1 1 10 1 1
0 0 1
CalcularB2, B3, B4.
2. Sean A =
1 1 20 3 4
, B =
4 0 31 2 3
, C =
2 3 0 15 1 4 2
1 0 0 3
, y
D= 2
13
. Calcule A + B, 3A 4B, AC, BD, At, CtBt.
3. SeanA=
1 2 01 1 0
1 4 0
, B=
1 2 31 1 1
2 2 2
, C=
1 2 31 1 1
1 1 1
.
Verifique queAB = AC. Qu consecuencia obtiene de lo anterior?
9
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
18/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
4. Determinex R tal que
x 4 1
2 1 0
1 0 2
0 2 4
x
4
1
= 0
5. Qu condicin(es) deben verificar a,b,c,d para que las matrices
a b
c d
,
1 1
1 1
conmuten? (respecto al producto).
6. SeaA =
i33
y B=j33
. Encontrar 2A2 + AB.
Indicacin:A = (aij) B= (bij)
7. Sea A=
1 0 1
0 0 0
1 0 1
. Verifique queA2 = 2A. Puede afirmar algo deA3?
8. Sea A=
1 1 00 1 1
0 0 1
. Demostrar que An =
1 n n(n 1)
20 1 n
0 0 1
9. SeaA M22(R)dada porA=
cos sen sen cos
.
Demuestre, usando induccin, que paran N, n 1:
An =
cos n sen nsen n cos n
.
10. Hallar una matrizAde orden2 2tal queA2 = I
11. Hallar una matrizAde orden2 2,A= 0tal queA2 = 0
12. Hallar una matrizAno nula, tal queA2 = 0yA3 = 0
13. DetermineX M22(R)solucin de X2 2X= 1 0
6 3 .14. Probar quetr (AB) =tr (BA)
10
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
19/165
Vernica Gruenberg Stern 1.2. CLASE 2
1.2. CLASE 2
1.2.1. Matriz transpuesta
DEFINICIN1.2.1 SeaA M (n m,K),A = (aij)con K = R C. La matriz transpuestade Aesla matriz denotada porAT M (m n,K)definida por
A= (aij) AT = (aji)
Es decir,AT es la matriz obtenida intercambiando las filas y columnas de la matriz A. Es decir, la
i-sima fila deApasa a ser la i-sima columna deAT.
Esto significa que si:
A=
a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2m
... ...
... . . .
...
an1 an2 an3 anm
nm
entonces
AT =
a11 a21 an1a12 a22 an2a13 a23 an3
... ...
. . . ...
a1m a2m anm
mn
EJEMPLO1.2.1 Si
A=
1 2 0
5 7 4
entonces
AT =
1 2 0
5 7 4
T=
1 52 7
0 4
PROPOSICIN1.2.1 Sea K,n N,AyBmatrices con rdenes apropiados para que las opera-ciones estn bien definidas; entonces:
1.
ATT
=A
2. (A + B)T =AT + BT
3. (A)T =
AT
4. (AB)T =BTAT
5. (An)T =
ATn
, n N0
11
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
20/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
DEFINICIN1.2.2 SeaAuna matriz cuadrada.
Ase dicesimtricasiAT =A
Ase diceantisimtricasiAT = A
EJEMPLO1.2.2 La matriz
A=
1 0 30 2 1
3 1 0
es simtrica, y la matriz B=
0 3 13 0 2
1 2 0
es antisimtrica.
OBSERVACIN: Notar que para que una matrizA pueda ser simtrica o antisimtrica, sta debeser cuadrada, por el orden de las matrices involucradas.
PROPOSICIN1.2.2 SeanAyBmatrices simtricas del mismo orden. Entonces:
1. A + Bes simtrica
2. Si K entoncesAes simtrica
Demostracin:
1. (A + B)T =AT + BT =A + B
2. (A)T =AT =A
PROPOSICIN1.2.3 SiAes una matriz cuadrada entonces:
1. A + AT es simtrica
2. AAT yATAson matrices simtricas
3. A
AT es antisimtrica
Demostracin:
1.
A + ATT
=AT + (AT)T =AT + A= A + AT. Por lo tantoA + AT es simtrica.
2.
AATT
= (AT)TAT =AAT. Anlogamente el otro caso.
3.
A ATT = AT (AT)T = AT A =A+ AT =(A AT). Por lo tanto,A AT esantisimtrica.
12
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
21/165
Vernica Gruenberg Stern 1.2. CLASE 2
OBSERVACIN: De las proposiciones anteriores podemos deducir quetodamatriz cuadrada sepuede descomponer en una parte simtrica y otra antisimtrica en la forma
A= A + AT2 + A AT
2 Adems, esta descomposicin es nica.
PROPOSICIN1.2.4 SiAes una matriz antisimtrica, su diagonal principal tiene solamente ceros.
En efecto: deAT + A= 0se sigue que
aii+ aii= 0 aii= 0 para cadai
Ejercicios Propuestos
1. Considere A =
1 0 11 0 1
2 3 2
, B =
1 20 3
5 6
y C =
11
0
. Calcular los siguientes
productos, si es posible:
a) CTB b) CTC c) CCT d) BBT e) CTAC
2. SeanAyBmatrices simtricas. Determine si las siguientes son o no simtricas:
a) A2
+ B2
b) A2 B2c) ABA
d) ABAB
3. Es cierto que siAes antisimtrica entoncesA2 es simtrica?
4. Sea
S=
0 1 0 0 00 0 1 0 0
0 0 0 1 0... ... ... ... . . . ...0 0 0 0 10 0 0 0 0
nn
a) DeterminarSn paran Nb) SiAes una matriz de orden n nencontrar una regla para calcularSAyAS.
13
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
22/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
5. Estudie si existe una matriz con coeficientes realesAde orden3 2tal queAAT =I3.
6. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas; si es verdadera, demuestre
la afirmacin, y si es falsa, d un contraejemplo:a) SiA2 est definido, entoncesAes cuadrada.
b) SiAByBAestn definidos, entoncesAyBson cuadradas.
c) SiAByBAestn definidos, entoncesABy BAson cuadradas.
d) (AB)2 =A2B2
7. DetermineAn,n N para las matrices
A1= a b
0 a , A2= c c
0 08. Se dice que una matriz A, cuadrada de orden nes nilpotente si, y solamente si, existe un
entero k > 0talque Ak es la matriz cero. El mnimo entero positivo para el cual esto se
cumple es llamadogrado de nilpotenciadeA.
a) Demuestre que cada una de las siguientes matrices es nilpotente y encuentre su grado
de nilpotencia:
(a) A=
0 1 1 20 0 3 2
0 0 0 40 0 0 0
(b) A=
1 1 3
5 2 6
2 1 3
b) Encontrar todas las matrices de2 2nilpotentes, con grado de nilpotencia dos.
14
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
23/165
Vernica Gruenberg Stern 1.3. CLASE 3: EJERC ICIOS
1.3. CLASE 3: Ejercicios
Estos son algunos ejercicios sugeridos:
1. Encuentre todas las matrices3 3que conmutan con la matriz
1 0 00 1 0
3 1 2
.
2. Resuelva la ecuacin matricial X2 =
4 1
0 4
3. SeanA, B M3(R), donde
A= (aij) = i +j si i < j2i j si i j y B= (bij) = 3i si
|i
j
|es par
2 i si |i j| es imparDetermineX Y si X= (A 2B)T, Y =A (2B)
4. Pruebe que si A es antisimtrica entonces los elementos de la diagonal principal son todos
igual a 0.
5. Es verdadero o falso queA AT =AT A? Justifique.
6. Sea A=
cos(2k ) sen(
2k )
sen(2k ) cos(
2k )
, k Z+
DetermineAn, n N. A qu es igualAn sin= k?
7. SeaA Mn(R)tal queA2 = [0]. Pruebe que A (I+ A)n =A, n N.(Ayuda: use induccin).
15
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
24/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
1.4. CLASE 4: Operaciones Elementales y Matrices Elementales
DEFINICIN1.4.1 En una matriz podemos realizar tres tipos deoperaciones elementalespor fila:
(1) Intercambiar (permutar) dos de sus filas.(2) Multiplicar una fila (es decir cada coeficiente de la correspondiente fila) por una constante
distinta de cero.
(3) Sumar el mltiplo de una fila a otra fila
EJEMPLOS: Ejemplos de operaciones elementales:
Intercambio entre dos filas: las filas 1 y 3
2 0 1
5 4 37 6 9
7 6 9
5 4 32 0 1
Multiplicacin de una fila por un escalar: la fila 2, se multiplica por 3
4 0 15 4 32 8 9
4 0 115 12 9
2 8 9
Adicin del mltiplo de una fila a otra fila: Multiplicamos la fila 2 por 2 y se la sumamos a lafila 3 1 0 11 0 2
3 8 9
1 0 11 0 25 8 5
1.4.1. Matrices elementales
DEFINICIN1.4.2 Unamatriz elementales una matriz que resulta al efectuar una operacin ele-
mental sobre la matriz identidadIn
Dado que existen tres tipos de operaciones elementales, existirn entonces tres tipos de matri-ces elementales; usaremos la notacin siguiente:
Eij: es la matriz elemental obtenida intercambiando (en la matriz identidad) la filaicon la
filaj.
Ei(): es la matriz obtenida multiplicando (en la matriz identidad) la filaipor = 0.
Eij(): es la matriz obtenida sumndole a la filai, la filajmultiplicada por.
16
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
25/165
Vernica Gruenberg Stern 1.4. CLASE 4: OPERACIONESELEMENTALES YMATRICESELEMENTALES
EJEMPLO1.4.1 Para la matrizI4:
1. E24= 1 0 0 0
0 0 0 10 0 1 0
0 1 0 0
2. E3(2) =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 00 0 0 1
3. E31(4) = 1 0 0 0
0 1 0 04 0 1 00 0 0 1
Considere ahora la matriz
A=
1 2 1 02 5 6 4
3 1 0 50 2 3 4
Note que si multiplicamos esta matriz por la matriz elemental E24por la izquierda, esto es,
efectuamos el productoE24 A, obtenemos la matriz
E24A =
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 2 1 02 5 6 4
3 1 0 50 2 3 4
=
1 2 1 00 2 3 4
3 1 0 52 5 6 4
que es lo mismo que haber efectuado sobre la matrizAla operacin elemental, intercambiar la fila2 con la fila 4.
Si efectuamos el productoE3(2) A, obtenemos
E3(2) A=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 00 0 0 1
1 2 1 02 5 6 4
3 1 0 50 2 3 4
=
1 2 1 02 5 6 4
6 2 0 100 2 3 4
que es lo mismo que se obtiene al realizar sobre la matriz Ala operacin elemental, la fila 3 la
multiplicamos por -2.
17
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
26/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
Si efectuamos el productoE31(4) A, obtenemos el mismo resultado de la operacin elementalsobreA, la fila 1 la multiplicamos por -4 y se la sumamos a la fila 3.
E31(4) A=
1 0 0 00 1 0 0
4 0 1 00 0 0 1
1 2 1 02 5 6 4
3 1 0 50 2 3 4
=
1 2 1 02 5 6 4
7 9 4 50 2 3 4
Se tiene al respecto el siguiente teorema.
TEOREMA1.4.1 Sea Ela matriz elemental obtenida al efectuar una operacin elemental por fila
sobre la matrizIn. Si la misma operacin elemental se realiza sobre una matrizAde ordenn m,el resultado es el mismo que el del producto E A.
DEFINICIN1.4.3 Diremos que las matrices Ay Bson equivalentes por filas si existe una suce-sin de operaciones elementales por filas que convierte la matriz Aen la matriz B. En tal casopondremosA B
Como hemos visto, realizar una operacin elemental sobre una matriz es equivalente a mul-tiplicar por la izquierda esa matriz por una matriz elemental; para efectos de nuestros clculos
haremos directamente la operacin elemental sobre la correspondiente matriz, y la anotamos de la
manera que muestra el ejemplo siguiente:
EJEMPLO1.4.2 1 0 12 4 0
3 4 6
E21(2)
1 0 10 4 2
3 4 6
E31(3)
1 0 10 4 2
0 4 9
E32(1)
1 0 10 4 2
0 0 7
En este caso las matrices
1 0 12 4 0
3 4 6
y
1 0 10 4 2
0 0 7
son equivalentes (por fila).
OBSERVACIN: Un desarrollo anlogo, multiplicando por las matrices elementales por la derecha,permite definir operaciones elementales columna.
DEFINICIN1.4.4 Una matriz se encuentra en forma escalonada por filas si satisface las siguientes
propiedades:
Cualquier fila que se componga enteramente de ceros se ubica en la parte inferior de la ma-
triz.
18
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
27/165
Vernica Gruenberg Stern 1.4. CLASE 4: OPERACIONESELEMENTALES YMATRICESELEMENTALES
En cada fila distinta de cero, la primera entrada o coeficiente (contado desde la izquierda),denominado pivote, se localiza en una columna a la izquierda de cualquier entrada principal
debajo de ella.
si adems se cumple:
Sus pivotes son todos iguales a 1
En cada fila el pivote es el nico elemento no nulo de su columna
decimos que la matriz se encuentra en formaescalonada reducida por filas.
EJEMPLO1.4.3 Son matrices escalonadas
A=
1 2 4 5 2 90 0 2 6 0 10 0 0 3 4 1
0 0 0 0 1 1
yB =
1 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
pero la matriz
C=
1 2 0 1 1 30 1 4 5 7 0
2 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1
no es escalonada.
EJEMPLO1.4.4 Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida:
A=
1 2 0 0 0 5830 0 1 0 0 920 0 0 1 0 530 0 0 0 1 1
, B=
1 0 0 1212 0
0 1 0 14 34 00 0 1 1916
3116 0
0 0 0 0 0 1
DEFINICIN1.4.5 Unalgoritmoes una secuencia finita de operaciones realizables, no ambiguas,
cuya ejecucin da una solucin de un problema en un tiempo finito.
Elalgoritmo de reduccin de Gaussescalona una matriz por medio de operaciones elementa-
les fila. A continuacin encontrar la descripcin del algoritmo de reduccin de Gauss.
19
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
28/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
SeaA=(aij)mn. Parak(ndice de fila) tomando los valores 1, 2, . . . , m 1 :
1. Si la submatrizMkde las filask, (k+ 1) , , msolo tiene coeficientes nulos no hacer nada.
2. Si el punto anterior no se cumple, buscar el ndice j0 ms pequeo tal que la columna j0tenga por lo menos un coeficiente distinto de cero en Mk. Hallar el i0ms pequeo tal que
ai0j0= 0ei0 k. Sii0> koperar en la matriz permutando filaskei0.
3. Paraidek+ 1am, siaij0= 0cambiar la filaipor la filaimenos aij0akj0 la filak.
EJEMPLO1.4.5 Consideremos la matriz
2 0 3
1 3 60 6 15
Encontrar su forma escalonada: 2 0 31 3 6
0 6 15
E12
1 3 62 0 3
0 6 15
E21(2)
1 3 60 6 15
0 6 15
E32(1)
1 3 60 6 15
0 0 0
est es su forma escalonada.
OBSERVACIN: Claramente, el algoritmo de Gauss- Jordan permite llevar matrices a la forma esca-
lonada reducida. Prosiga con el proceso en el ejemplo anterior, hasta llegar a la forma escalonadareducida.
DEFINICIN1.4.6 Sea Auna matriz. Se denomina rango de la matriz Aal nmero de filas nonulasde la matriz escalonada equivalente a la matriz Aoriginal, obtenida, por ejemplo, mediante
el algoritmo de reduccin de Gauss. Se denota el rango de la matriz Apor (A)o bienrango (A).
EJEMPLOS:
1. Determinar el rango de la matriz A=
1 2 3
4
1 0
2 1 1
0 0 0
3 1 2
2. Cules son todos los posibles rangos que puede tener una matriz 2 2? Y3 2?
PROPOSICIN1.4.1 SiA Mnmentonces (A) mn {n, m}.
20
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
29/165
Vernica Gruenberg Stern 1.4. CLASE 4: OPERACIONESELEMENTALES YMATRICESELEMENTALES
Ejercicios Propuestos
1. DetermineA25
si A= 0 0 1
0 1 01 0 0
2. Determine la forma escalonada reducida y el rango de la matriz A=
1 1 0
1 2 12 1 1
0 1 1
3. Hllese el rango de las siguientes matrices:
A=
1 4 3 22 2 1 1
1 2 2 1
y B=
1 4 3 22 2 1 1
1 2 2 1
4. Determine el valor dekpara que(A) = 3, si A=
2 2 3 13 1 1 0
k 1 2 1
.
5. Determine las condiciones que deben cumplir hykpara que(A) = 3, si
A=
1 0 2
0 0 k 20 k 1 h + 20 0 3
6. Hallar los valores deyde modo que el rango de la matriz Asea lo ms pequeo posible,con
A=
1 3 2 1 42 1 1 2 33 4 3 1 23 3 0 3
3 2 3 3
21
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
30/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
1.5. CLASE 5: Sistemas de ecuaciones lineales
Consideremos el sistema demecuaciones ynincgnitas
a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2...
... ...
am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn = bm
Usando matrices, el sistema se puede escribir en la forma de una ecuacin matricial AX = B,
donde
A= a11 a12 a1na21 a22
a2n
... ... ... ...
am1 am2 amn
mn
, X= x1
x2...
xn
n1
, B= b1
b2...
bm
m1
DEFINICIN1.5.1 Considere el sistema de ecuaciones AX=B, A Mmn(R) , B Mm1(R).Diremos queX0 Mn1(R)es solucindel sistema si al reemplazarX0en la ecuacin, sta setransforma en una identidad, es decir
AX0= B
DEFINICIN
1.5.2 Un sistema se llamacompatiblesi tiene al menos una solucin. Si el sistema notiene solucin, diremos que esincompatible.
OBSERVACIN: Notar que si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas entonces tiene
infinitas soluciones distintas.
En efecto: Consideremos el sistema de ecuaciones AX = B, y supongamos queX1, X2sondos solucionesdistintasdel sistema.
Sea R cualquiera. Demostraremos queX1+ (1 )X2tambin es solucin del sistema:
A
X1+ (1 )X2
=AX1+ (1 )AX2= B+ (1 )B= B
EJEMPLO1.5.1 El sistema de ecuaciones lineales
x1 + 2x2 = 4
x2 x3 = 0x1 + 2x3 = 4
puede escribirse como una ecuacin matricialAX=B , con
22
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
31/165
Vernica Gruenberg Stern 1.5. CLASE 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
A=
1 2 0
0 1 11 0 2
, X=
x1
x2
xe
, B=
4
0
4
Sistemas Homogneos
Antes de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales generales, consideremos en primer lugar
los sistemas homogneos, es decir, aquellos en queB = [0].
DEFINICIN1.5.3 SeaA Mmn(R). El sistema AX= [0] se dicehomogneo.
OBSERVACIN:
Sea AX= [0] un sistema homogneo. Entonces:
1. AX= [0] es siempre compatible, puesX= [0]es solucin.
2. SiC Mmn(R)es tal queC A, entonces los sistemas AX= [0] y CX= [0] tienen lasmismassoluciones.
Para ver esto, note que las matrices elementales satisfacen:
EijEij =I , Ei() Ei 1 =I , y Eij() Eij() =ILuego, siEes una matriz formada por un producto de matrices elemetales entonces existe
una matrizE1 (llamada matriz inversa deE) tal que
E1E= I
ComoA C, existe una sucesin de matrices elementales E1, E2, . . . , E ktales que
E1
E2
Ek
A= C
SeaE = E1E2 Ek. Luego, siX0es tal queAX0 = 0, entonces EAX0 = E0 = 0 dedonde CX0= 0.
Recprocamente, siC X1= 0entonces E1CX1= 0 de donde AX1= 0.
Por lo tanto, los sistemas tienen las mismas soluciones.
23
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
32/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
Sistemas no homogneos
Con el mismo mtodo de la seccin anterior es posible mostrar que si E(A)es la matriz escalo-
nada equivalente por filas conAentonces los sistemas
AX=B y E(A) X=EB
tienen las mismas soluciones (Ees la matriz formada por el producto de matrices elementales que
escalonanA). Claramente, el segundo sistema es mucho ms fcil de resolver.
EJEMPLO1.5.2 Resolver
1 2 0
0
1 2
0 0 2
x
y
z
=
1
2
3
Note que este sistema se puede escribir en la forma
x + 2y = 1
y+ 2z = 22z = 3
De la ltima ecuacin obtenemos z = 32 ; reemplazamos este valor en la segunda ecuacin y
despejamos para obtener y = 1; finalmente reemplazamos en la primera ecuacin y obtenemos
x= 1.
Lo que hace que el sistema anterior sea fcil de resolver, es que pudimos ir reemplazando losvalores de las variables de manera sucesiva. Notamos que esto queda representado en la forma
matricial, en que la matriz de coeficientes Ade la ecuacin es triangular superior. Esta simple
observacin nos entrega un mtodo para resolver sistemas, el que consiste en obtener el sistema
escalonado equivalente.
DEFINICIN1.5.4 Sea A Mmn(R)y B Mm1(R). Consideremos el sistema AX = B conB= 0. Llamaremosmatriz ampliadadel sistema a la matriz
(A |B) =
a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2
... ...
... ...
...
am1 am2 amn bm
24
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
33/165
Vernica Gruenberg Stern 1.5. CLASE 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
EJEMPLO1.5.3 El sistema de ecuaciones lineales
x1 + 2x2 = 4
x2 x3 = 0x1 + 2x3 = 4
puede describirse con lamatriz ampliada
1 2 0 40 1 1 0
1 0 2 4
La barra vertical solo nos ayuda a distinguir entre los coeficientes del sistema que se encuentran
a la izquierda del signo=y las constantes que se encuentran a la derecha.
Con esta notacin, aplicamos el mtodo de Gauss:
1 2 0 40 1 1 0
1 0 2 4
E31(1)
1 2 0 40 1 1 0
0 2 2 0
E32(2)
1 2 0 40 1 1 0
0 0 0 0
La segunda fila representa la ecuacin: y z = 0 y la primera representa: x+ 2y = 4, dedondeel conjunto solucines
{(4 2z ,z ,z) :z R}.
Una ventaja de esta notacin es que nos evita copiar muchas veces las variables y los signos.
Mtodo de solucin mediante el algoritmo de Gauss: Como sabemos, AX=By E(A) X=E Btienen las mismas soluciones, note que la matricesE(A)y E Baparcen al aplicar las operacioneselementales que escalonan la matrizAentonces, si aplicamos el mtodo de Gauss para obtener la
escalonada de matriz ampliada del sistema(A, B)estaremos obteniendo la matriz(E(A) , EB).
EJEMPLO1.5.4 Resolver el sistema
1 2 13 0 11 1 2
xyz
= 120
Formamos la matriz ampliada del sistema
(A, B) =
1 2 1 13 0 1 2
1 1 2 0
25
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
34/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
aplicamos el algoritmo de Gauss para obtener la escalonada
1 2 1 1
3 0 1 2
1 1 2 0
1 2 1 1
0
6
2
1
0 0 2 12
y ahora resolvemos el sistema 1 2 10 6 2
0 0 2
xy
z
=
11
12
que tiene las mismas soluciones.
TEOREMA1.5.1 SeaA
Mmn(R)yB
Mm1(R):
1. El sistemaAX=Bes compatible si y solo si(A) =(A, B)
2. SeaAX=Bun sistema compatible.
a) Si(A) =(A, B) =n(nmero de incgnitas) entonces el sistema tiene solucin nica.
b) Si(A) =(A, B)< n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
OBSERVACIN: En lugar de aplicar el algoritmo de Gauss, podemos aplicar el algoritmo de Gauss-
Jordan (matriz escalonada reducida) para resolver un sistema equivalente ms simple.
Ejercicios propuestos
1. Usar el mtodo de Gauss -Jordan para resolver los sistemas:
a)2x + 3y+ z = 1
3x 2y 4z = 35x y z = 4
(La solucin nica esx= 1, y= 1, z= 2)
b)
2x
y+ 3z = 4
3x + 2y z = 3x + 3y 4z = 1
(Posee infinitas soluciones : x= 117 57z, y= 117z 67).
c)
x + y+ z w = 22x + y+ w = 5
3x + z+ w = 1
3x + 2y+ z = 3
(No hay solucin)
26
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
35/165
Vernica Gruenberg Stern 1.5. CLASE 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2. Usar el mtodo de Gauss para resolver:
a)
2x + 3y = 13
x y = 1
b)x z = 0
3x + y = 1
x + y + z = 4
c) 2x + 2y = 5
x 4y = 0
d) x + y = 1
x + y = 2
e)
x
3y + z = 1
x + y + 2z = 14
f) x y = 13x 3y = 2
g)
4y + z = 20
2x 2y + z = 0x + z = 5
x + y z = 10
3. Determine los valores dek R para los que el sistemaa) tiene solucin nica; b) tiene infinitas soluciones ; c) no tiene solucin, si:
x y = 13x 3y = k
4. Qu condiciones deben cumplir las constantes bipara que cada sistema tenga solucin ni-
ca?
a)
x 3y = b13x + y = b2
x + 7y = b3
2x + 4y = b4
b)x1 + 2x2 + 3x3 = b1
2x1 + 5x2 + 3x3 = b2
x1 + 8x3 = b3
5. Determine a, b, c R para que la grfica de f(x) = ax2 + bx+ c pase por los puntos(1, 2), (1, 6)y(2, 3).
6. Pruebe que siad bc = 0, entoncesax + by = j
cx + dy = ktiene solucin nica.
7. Dados 4 nmeros positivos, se sabe que al seleccionar tres cualesquiera de ellos, determinar
su promedio y sumarle el cuarto nmero, se obtienen los nmeros 29, 23, 21 y 17. Cules
son los nmeros originales?
27
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
36/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
8. a) Resuelva el sistema ax + y = a2
x + ay = 1
Para qu valores dea R
tiene solucin vaca? e infinitas soluciones?
b) Resuelva el sistema ax + y = a3
x + ay = 1
Para qu valores dea R tiene solucin vaca? e infinitas soluciones?
9. Considere el sistema lineal definido en R:
x + ay + 3z = 2
x + (2a 1)y + 2z = 2x + ay + (a + 4)z = 2a + 4
Determinea R para que el sistema tenga:a) Infinitas soluciones b) ninguna solucin c) una nica solucin
10. Considere el sistema lineal definido en R:
ax + y + z = 1
x + ay + z = 1
x + y + az = 2
Determinea R para que el sistema tenga:a) Infinitas soluciones b) ninguna solucin c) una nica solucin.
11. Dado el sistema:x y + (4a2 + 1)z = b
y + (3 a)z = 02x y + (7 a)z = 2
dondeayb R,
hallar condiciones paraaybde tal manera que el sistema tenga:
a) Infinitas soluciones b) ninguna solucin c) una nica solucin
12. Resuelva el sistema: 2x
1y
+ z = 1
1
x +
3
y 2z = 0
4
x 3
y + z = 2
28
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
37/165
Vernica Gruenberg Stern 1.6. CLASE 6: MATRIZINVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES
1.6. CLASE 6: Matriz Inversa y operaciones elementales
DEFINICIN1.6.1 SeaAuna matriz cuadrada de ordenn. Se dice que Aes invertiblesi existe una
matriz cuadrada de ordenn, que denotaremos porA1 tal que AA1 =A1A= In
OBSERVACIN:
Si una matriz es invertible, tambin se suele decir que es no singular.
Si la inversa de una matriz existe, es nica.
No todas las matrices son invertibles. Por ejemplo, si consideramos las matrices
A= 1 31 1
B= 2 21 1
entonces Aes invertible y B no lo es. (Verificar directamente suponiendo la existencia yresolviendo ecuaciones)
PROPOSICIN1.6.1 SeanA, B M(n,K)matrices no singulares (invertibles), entonces:
1. (AB)1 =B1A1
2.A11 =A3.
AT1
=
A1T
4. (A)1 = 1
A1, para todo = 0
5. (An)1 =
A1n para todo entero no negativon.
1.6.1. Mtodo de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz
No disponemos an de un criterio para decidir si una matriz es o no invertible. El siguiente
teorema nos provee un mtodo para calcular la matriz inversa (en caso de existir) de una matriz
cualquiera.
TEOREMA1.6.1 SeaAuna matriz cuadrada de orden ninvertible. Si una sucesin de operaciones
elementales por filas transforma la matrizAen la matriz identidadIn, entonces la misma sucesin
de operaciones elementales convierte la matriz InenA1.
29
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
38/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
Dem. En efecto: siAes equivalente por filas a la matriz In, entonces existe una sucesin deoperaciones elementales que convierte a la matrizA en la matriz In; esto quiere decir que existe
una sucesin de matrices elementales E1, E2, . . . , E ktales que EkEk1 E2E1A= In. Si anotamosB=EkEk1 E2E1 , entoncesBA= In, es decirB = A1.
OBSERVACIN: En la prctica, el teorema anterior nos entrega un mtodo para calcular la inversa
de una matriz A: si Auna matriz cuadrada de orden n, invertible, para calcular su inversa
procedemos como sigue:
Construmos una nueva matriz, denominadamatriz aumentada, de la forma(A | In). Sobre estamatriz aumentada (que tiene orden n2n), realizamos operaciones elementales hasta obteneren el lado izquierdo de esta matriz aumentada (es decir en el lado donde est la matriz A), la
matriz identidad; al conclur este proceso, en el lado derecho de la matriz aumentada (es decir
en el lado donde originalmente se encontraba la matriz identidad), aparece la inversa A1 queestamos buscando, es decir:
(A | In)
In | A1
EJEMPLO1.6.1 Calcule la inversa, en caso de existir, de la matrizA=
2 1 11 2 00 1 2
Dem.:Formamos la matriz aumentada 2 1 1 1 0 01 2 0 0 1 0
0 1 2 0 0 1
y calculamos mediante operaciones elementales:
2 1 1 1 0 01 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1
E12
1 2 0 0 1 02 1 1 1 0 00 1 2 0 0 1
E21(2)
1 2 0 0 1 00 3 1 1 2 00 1 2 0 0 1
E32
1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1
0 3 1 1 2 0
E32(3)
1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1
0 0 5 1 2 3
E3(15)
1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1
0 0 1 15 25 35
E23(2)
1 2 0 0 1 00 1 0 25 45 15
0 0 1 15 25 35
E12(2)
1 0 0
45 35 25
0 1 0 25 45 150 0 1 15 25 35
30
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
39/165
Vernica Gruenberg Stern 1.6. CLASE 6: MATRIZINVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES
Se sigue que
A1 =
45 35 2525
45
15
15 25 35
Verifique que AA1 =A1A= I3.
TEOREMA1.6.2 Una matriz cuadradaAde ordennesinvertiblesi, y solo si,(A) =n.
Ejercicios Propuestos
1. SeanA, B, C Mn(K)invertibles. Demuestre que:a) ABCes invertible
b) (ABC)1 = C1B1A1
2. Suponga que A3 = [0]. Muestre queI Aes invertible.
3. a) Hallar matricesAyBinvertibles, pero queA + Bno lo sea.
b) Hallar matricesAyBnoinvertibles, y queA + Bsi lo sea.
4. SiBes la inversa deA2, probar queABes la inversa deA.
5. SeanA, Bmatrices,Ade ordenp qyBde ordenqp, conq < p.
a) Demostrar queABes singular.
b) Muestre queBApuede ser no singular.
6. Hallar la matrizXen la ecuacin (AX1B)t = AB, donde
A= 1 1 1
0 1 2
3 1 0 y B =
0 0 1
1 2 0
1 1 0
7. ResolverXen la ecuacin:(AXt + B)t = XC DconAt Cinvertible.
8. Usando operaciones elementales calcular la inversa de
1 2 02 3 1
1 1 5
31
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
40/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
9. CalcularA1 si
A=
6 2 1 0 5
2 1 1 2 11 1 2 2 33 0 2 3 1
1 1 3 4 2
10. Qu condiciones deben cumpliraybde modo queAsea invertible?
A =
a 0 b 0
0 a 0 b
b 0 a 0
0 b 0 a
11. SeanE, F, Tmatrices cuadradas de ordenn, tal queEes no singular,EF =F Ey T2 =F.Demuestre que:(E1T E)2 =F.
12. Una matrizA es ortogonal si y slo si At = A1. SiA es una matriz ortogonal, demuestrequeA1 es ortogonal yAt es ortogonal.
32
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
41/165
Vernica Gruenberg Stern 1.7. CLASE 7: DETERMINANTES
1.7. CLASE 7: Determinantes
DEFINICIN1.7.1 SeaA Mn(R
).Se llamamenor de ordenijdeAy se denota porMijal determinante de orden n 1obtenidoeliminando la i-sima fila y la j-sima columna de la matrizA.
Se llamacofactor de ordenijdeA, denotado porCij , al nmeroCij = (1)i+jMij
EJEMPLO1.7.1 Consideremos la matriz A=
2 4 10 3 2
5 1 6
CalcularM13, M21, C13 y C21.
Solucin: Eliminemos la primera fila y la tercera columna deA:
A=
2 4 10 3 2
5 1 6
y obtenemos el menor M13=
0 35 1 = 15
Si eliminamos la segunda fila y la primera columna
A=
2 4 10 3 2
5 1 6
obtenemos el menor M21=
4 11 6
= 25
Calculemos los cofactores:
C13= (1)1+3M13= (1)415 = 15, C21= (1)2+1M21= (1)325 = 25
DEFINICIN1.7.2 SeaA Mn(R). EldeterminantedeAes una funcin
det :Mn(R) R
que a cada matrizAle asocia elnmero realque denotamos por det(A). Tambin se usa la nota-
cin det(A) =
|A
|.
La forma en la cual acta la funcin determinanteen una matriz cuadrada de orden nes la
siguiente:
Paran= 1 : det(a) =a
Paran= 2 : det
a b
c d
=ad bc
33
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
42/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
Paran >2el determinante deA= (aij) Mnn(R)es el nmero real
det(A) =
n
i=1(1)i+jaijMij =
n
i=1 aijCij , para 1 j
n (con jfijo)
nj=1
(1)i+jaijMij =n
j=1
aijCij , para 1 i n (con ifijo)
EJEMPLO1.7.2 Calculemos el determinante de la matrizA =
2 4 10 3 2
5 1 6
Fijemos una filai = 1, entonces
det(A) =3
j=1
(1)i+ja1jM1j =a11M11 a12M12+ a13M13
det(A) = 2
3 21 6 4
0 25 6 1
0 35 1 = 23
Si fijamos una columna, por ejemplo j = 1, se tiene
det(A) =3
i=1(1)i+jai1Mi1= a11M11 a21M21+ a31M31
det(A) = 2
3 21 6 0
4 11 6 5
4 13 2 = 23
1.7.1. Propiedades de los determinantes
PROPOSICIN1.7.1 SeanA Mnn(R)yB Mnn(R)
1. det(A) = det(AT
)
2. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son cero, entonces el valor deldeterminante es cero.
3. det(In) = 1
4. El determinante de una matriz diagonal o triangular es igual al producto de los elementos
de la diagonal.
34
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
43/165
Vernica Gruenberg Stern 1.7. CLASE 7: DETERMINANTES
5. Si R, entoncesdet(A) =n det(A)
6. det(AB) = det(A) det(B)
7. SiAtiene dos filas( o columnas) iguales o proporcionales, entonces det(A) = 0.
8. Si se intercambian dos filas (o columnas) en una matriz su determinante cambia de signo.
9. Si B se obtiene a partir de Amultiplicando una fila (o columna) de Apor un nmero k,
entoncesdet(B) =k det(A).
10. Si Bse obtiene a partir de A, sumando a una fila (o columna) otra fila (o columna) amplificada
por un factork, entoncesdet(B) = det(A).
EJEMPLO1.7.3 SeaA =
1 2
3 4
, entonces eldet(A) = 2. Si la primera fila de Ase multiplica por
3, obtenemosB =
3 6
3 4
ydet(B) =6 = 3 det(A). Si la primera fila deAla multiplicamos por
-3 y se la sumamos a la segunda fila de A, obtenemos la matrizB =
1 2
0 2
y det(B) =2 =
det(A).
EJEMPLO1.7.4 Calculemos el siguiente determinante usando la propiedad 101 3 4
2 5 13 1 0
=
1 3 40 1 70 10 12
= 1 M11 = 1 710 12
= 58
DEFINICIN1.7.3 La adjunta de una matriz A, denotada poradj(A), es definida por
adj(A) =CT
dondeC= (Cij)es la matriz de cofactores. Es decir, la matriz adjunta es la traspuesta de la matrizde los cofactores.
EJEMPLO1.7.5 SeaA =
a b
c d
. La matriz de cofactores es C=
d cb a
. Por lo tanto,
adj(A) =
d bc a
35
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
44/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
Consideremos la matrizA=
2 3 14 0 5
2 1 1
, la matriz de cofactores esC=
5 14 42 4 8
15 6 12
. Por
lo tanto,
adj(A) =
5 2 1514 4 6
4 8 12
TEOREMA1.7.1
A adj(A) = det(A) In y adj(A) A= det(A) In
Note que, sdet(A) = 0, entoncesAes no singular (invertible) yA1 =
1
det(A)adj(A)
Adems, siAes no singular, entonces
1 = det(In) = det(AA1) = det(A) det(A1) = det(A) = 0
y concluimos que
det(A1) = 1
det(A)
TEOREMA1.7.2 SiA
Mn
n(R), entoncesAes no singular s y solo sdet(A)
= 0
EJERCICIOS: Calcular el determinante
a a a a
a b b b
a b c c
a b c d
Desarrollo:
a a a a
a b b ba b c c
a b c d
=
a a a a
0 b a b a b a0 b a c a c a0 b a c a d a
=a (b a)
1 b
a b
a
1 c a c a1 c a d a
= a (b a)
1 b a b a0 c b c b0 c b d b
=a (b a) (c b) 1 c b1 d b
= a (b a) (c b) (d b (c b)) =a (b a) (c b) (d c)
36
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
45/165
Vernica Gruenberg Stern 1.7. CLASE 7: DETERMINANTES
EJERCICIOS: Resolver la ecuacinx a b a b
c x b c bc a x a c
= 0
x a b a bc x b c bc a x a c
=
x a b a + b bc x c bc x c x a c
=
x a + b b
x x c bx x c x a c
= x
1 a + b b1 x c b1 x c x a c
=x
1 a + b b0 x c a b 00 x c a b x a c b
=x x c a b 0x c a b x a c
= x (x (a + b + c))2
las soluciones sonx= 0yx= a + b + c.
EJERCICIOS: Muestre que
y1+ z1 z1+ x1 x1+ y1
y2+ z2 z2+ x2 x2+ y2
y3+ z3 z3+ x3 x3+ y3
= 2
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
Desarrollo:y1+ z1 z1+ x1 x1+ y1
y2+ z2 z2+ x2 x2+ y2
y3+ z3 z3+ x3 x3+ y3
=
y1 x1 z1+ x1 x1+ y1y2 x2 z2+ x2 x2+ y2y3 x2 z3+ x3 x3+ y3
=
2y1 z1+ x1 x1+ y1
2y2 z2+ x2 x2+ y2
2y3 z3+ x3 x3+ y3
=
2 y1 z1+ x1 x1+ y1
y2 z2+ x2 x2+ y2
y3 z3+ x3 x3+ y3 = 2
y1 z1+ x1 x1
y2 z2+ x2 x2
y3 z3+ x3 x3 = 2
y1 z1 x1
y2 z2 x2
y3 z3 x3 = 2
x1 z1 y1
x2 z2 y2
x3 z3 y3
= 2
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
37
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
46/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
1.7.2. Regla de Cramer
Es un mtodo para resolver sistemas de ecuaciones, til en aspectos tericos, y en lo prctico,
til solo para sistemas cuadrados muy pequeos. Sea
a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2...
...
an1x1+ an2x2+ . . . + annxn = bn
un sistema lineal connecuaciones ynincgnitas. Resolver este sistema es equivalente a resolver
la ecuacin matricial AX=B , donde
A=
a11 a12 a1na21 a22 a2n
... ...
... ...
an1 an2 ann
, X=
x1
x2...
xn
, B=
b1
b2...
bn
Sidet(A) = 0, entonces el sistema tiene una nica solucin dada por:
x1=|A1||A|, x2=
|A2||A|, x3=
|A3||A|, . . . , xn =
|An||A|
dondeAies la matriz obtenida a partir de Aal reemplazar su i-sima columna por la matrizB.La demostracin se basa en escribir
X=A1B= 1
det(A)adj(A)B
e identificar los elementos de adj(A)Bcomo los determinantes sealados.
EJEMPLO1.7.6 Resolver el sistema
2x1+ 3x2 x3 = 1x1+ 2x2 x3 = 4
2x1
x2+ x3 =
3
2 3 11 2 1
2 1 1
x1
x2
x3
=
1
4
3
Solucin: Comodet(A) = 2, obtenemos:
x1=
1 3 14 2 1
3 1 1
|A| =
42= 2, x2 =
2 1 11 4 1
2 3 1
|A| =
62= 3
38
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
47/165
Vernica Gruenberg Stern 1.8. EJERCICIO S DE CONTROLES YCERTMENES
x3=
2 3 11 2 4
2 1 3
|A| =82= 4
1.8. Ejercicios de Controles y Certmenes
1. Determinar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
a) A Mnn(C), nimpar det(A At) = 0.b) A + At es simtrica.
c)A M22(C) tal que A2 + A= I2.
d) Si A=
1 0 00 a b
0 b a
, a = 0 b = 0 A1.
2. Determinar la relacin que deben cumplir a, b, c, dpara que el siguiente sistema tenga infini-
tas soluciones:
x1+ ax2+ a2x3+ a
3x4 = 0
x1+ bx2+ b2x3+ b3x4 = 0
x1+ cx2+ c2x3+ c
3x4 = 0
x1+ dx2+ d2x3+ d
3x4 = 0
3. Si A=
1 1 11 0 1
1 2 1
, B=
1 1 00 1 0
1 0 1
, resolver (Xt + Bt)t = A2 + BAB .
4. Sea A =4 1 82 1 3
1 0 2
. Sabiendo que A es invertible, determine A1 usando operacioneselementales.
5. Demuestre que siB es una matriz de orden 2 que conmuta con toda matriz A(de orden 2),
entoncesBes de la forma
k 0
0 k
, para algnk R.
39
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
48/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
6. Sea A=
1 2 3 4
0 2 3 4
0 3 4
0 0 4
a) Determine la relacin entreypara que existaA1.
b) Si = = 0, calculeA1.
7. Usando el mtodo de la matriz ampliada, determine los valores de R tales que el sistema1
2x + y +
1
2z = 2
4x + y + 4z = 5
3x
y +
2
z = 1
tenga
a) infinitas soluciones.
b) solucin nica.
c) solucin vaca.
8. DetermineX(matriz) tal que(A1 X A)1 = A2, donde A=
3 2 14 1 1
2 0 1
.
9. Sin usar la expansin de Laplace (ni en particular la regla mnemotcnica para determinantes
de matrices de3 3) demuestre, usando slo propiedades, que0 a b
a 0 cb c 0
= 0 , a,b,c R
10. Dado el sistema de ecuaciones
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = y1
2x1 + x2 + 4x3 + x4 = y2
3x1 + 4x2 + x3 + 5x4 = y3
a) para qu valores dey1, y2, y3 R el sistema tiene solucin?b) para qu valores dey1, y2, y3 R el sistemanotiene solucin?c) Resuelva el sistema paray1= y2= y3= 1.
40
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
49/165
Vernica Gruenberg Stern 1.8. EJERCICIO S DE CONTROLES YCERTMENES
11. Sea A() =
1 0 0
0 cos sen 0 sen cos
.
a) Determine el (los) valor (es) paratales queI3+ A()no sea invertible.
b) Compruebe que (I3 A(/2))(I3+ A(/2))1 =
0 0 00 0 1
0 1 0
12. Calcule el valor del determinante
3 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 13 1
1 1 1 1
3 1 1 1 1 13 1 1 1 1 13 1 1 1 1 1
41
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
50/165
CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern
42
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
51/165
Captulo 2
Vectores en Rn
2.1. CLASE 8: Vectores en el plano y en el espacio
A partir de la representacin de R como una recta numrica, los elementos o puntos del plano
(a, b) R R= R2
se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares,cada una representando una recta real, que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas
rectangulares, donde la interseccn representa a (0, 0)y cada par ordenado(a, b)se asocia con unpunto de coordenadaa en la recta horizontal (eje de las abcisas o eje X) y la coordenada ben la
recta vertical (eje de las ordenadas o eje Y).
Analgamente, los elementos(a,b,c) R R R = R3 se asocian con puntos en el espaciotridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes
del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).
Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 yen R3. La direccin de la flecha indica la direccin del vector y la longitud de la flecha determina
su magnitud.
Denotaremos los vectores con letras minsculas con un flecha arriba tales como v , w , z. Lospuntos se denotarn con letras maysculas tales como A, B,C . En el contexto de los vectores, los
nmeros reales sern llamados escalares y se denotarn con letras minsculas tales como , , .
Si el punto inicial de un vector v esAy el punto final esB, entonces v = AB. El vector nulose denota con
0 = (0, 0, . . . , 0) Rn.
En lo que sigue y con el afn de generalizar, estudiaremos las propiedades de los vectores en
Rn.
DEFINICIN2.1.1 Un vector en Rn es unn-tupla(x1, x2, . . . , xn)con cadaxi R. A xise le llamacomponentei-sima del vector.
En R3 utilizaremos la notacin especial
i = (1, 0, 0),
j = (0, 1, 0) y
k = (0, 0, 1) y les
llamaremosvectores cannicos.
43
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
52/165
CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern
2.1.1. Operaciones bsicas
DEFINICIN2.1.2 (Igualdad de vectores) Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden,
las mismas componentes. Es decir, si v = (v1, v2, . . . , vn) y w = (w1, w2, . . . , wn) entoncesv = w si y solo si vi= wi i= 1, . . . n
DEFINICIN2.1.3 (Suma de vectores) Seanv = (v1, v2, . . . , vn)yw = (w1, w2, . . . , wn)vectoresen Rn. Se define lasumade vectores como
v + w = (v1+ w1, v2+ w2, . . . , vn+ wn)
DEFINICIN2.1.4 (Producto por escalar) Si v = (v1, v2, . . . , vn) Rn y k R entonces
kv = (kv1, kv2, . . . , k vn)OBSERVACIN: Si v = (v1, v2, v3) R3 entonces podemos escribir
v =v1i + v2j + v3k
OBSERVACIN: En clases, ver la interpretacin geomtrica de la suma y resta de vectores, y tam-
bin el significado geomtrico de la multiplicacin por escalar.
PROPOSICIN2.1.1 Sean u , v , w Rn vectores y, R. Entonces:
1. (u + v) + w = u + (v + w ) (propiedad asociativa)
2.u + 0 = u (existencia del neutro aditivo, que es el vector 0)
3. (v) R3 : v + (v) = 0 (existencia del inverso aditivo)
4.v + w = w + v (propiedad conmutativa)
5. (v + w ) =v + w (propiedad distributiva)
6. ( + ) v =v + v (propiedad distributiva)
7. (v) = () v
8. 0v = 0
9. 1v = v
44
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
53/165
Vernica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
2.1.2. Producto punto y norma
Elproducto punto(oproducto escalar) es una operacin entre vectores cuyo resultado un escalar.
DEFINICIN2.1.5 (Producto punto) Sean v = (v1, v2, . . . , vn) yw = (w1, w2, . . . , wn)vectores enR
n. El producto punto(oproducto escalar) entre los vectores v y w , que denotamos por v wo tambinv , w se define de la siguiente manera
v w v , w ni=1
viwi
EJEMPLOS:
1. Calcule (1, 7, 3) (5, 1, 2)Solucin (1, 7, 3) (5, 1, 2 ) = 1 5 + 7 (1) + (3) 2 = 8
2. Determine R tal que (, 4) (, 9) = 0Solucin (, 4) (, 9) = 0 2 13 = 0 = 13
TEOREMA2.1.1 Sean u , v , w Rn vectores y R. Entonces:
1.v v 0
2.v 0 = 0
3.v w = w v
4.v (w + u ) = v w + v u
5. (v) w = (v w )
Dem.: Demostraremos solo la propiedad 1.:
v v =ni=1
v2i 0 pues es suma de cuadrados.
Notar adems, que v v = 0 v = 0
45
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
54/165
CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern
2.1.3. Norma de un vector
DEFINICIN2.1.6 Consideremos el vector v = (v1, v2, . . . , vn)Rn. Lanormaomagnitudde v,denotada por
v
, est dada por
v =v v =
ni=1
v2i
1/2
Ladistanciaentre los vectores v y w en Rn, denotada por d (v , w ) est definida por
d (v , w ) = v w
OBSERVACIN: En R2 y R3 la norma de un vector v mide lamagnituddel vector. Si consideramosel puntoAen el plano o en el espacio asociado al vectorv, su norma representa la distancia delpunto al origen. Note que al considerar la interpretacin geomtrica de la resta de vectores, laexpresin para distancia entre dos puntos es, de forma natural, la magnitud del vector resta.
Sin= 1, 2o 3, la distancia as definida coincide con la distancia euclideana usual.
En efecto, sin= 1, u =u R, v =v R, por lo que la distancia
d(u , v) =d(u, v) =
(u v)2 = |u v|
Sin= 2, u = (u1, u2), v = (v1, v2), entonces
d(u , v) = u v = 2
i=1
(ui vi)2 =
(u1 v1)2 + (u2 v2)2
Anlogamente en el caso en quen= 3.
PROPOSICIN2.1.2 Consideremos los vectores v , w Rn y R. Entonces:
1.v 0 y v = 0 v = 0.
De esta propiedad obtenemos que d (v , w ) 0, y adems d (v , w ) = 0 v = w .2.v = || v
3.v w = w v de donde d (v , w ) =d (w , v).
4.v + w v + w (Desigualdad triangular)
5.|v w | v w (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)
46
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
55/165
Vernica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Dem.: Demostraremos slo 4 y 5.
5. Sean u , v Rn. Luego, t R:
tu v 2 0, es decir:(tu1 v1)2 + (tu2 v2)2 + + (tun vn)2 0
Reescribiendo esta relacin como una ecuacin cuadrtica en la variable t:
ni=1
u2i
t2 2
ni=1
uivi
t +
ni=1
v2i
0
Esto significa que el discriminante de la correspondiente ecuacin de segundo grado en tes
menor o igual a 0, es decir,
4
ni=1
uivi
2 4
ni=1
u2i
ni=1
v2i
0
ni=1
uivi
2
ni=1
u2i
ni=1
v2i
y extrayendo raz cuadrada a ambos lados de la desigualdad, obtenemos la desigualdad
pedida.
4.u + v 2 = (u + v) (u + v)
= u 2 + 2 (u v) +v 2 u 2 + 2 |u v | +v 2 u 2 + 2u v +v 2 (u + v )2
Nuevamente, extrayendo raz cuadrada, obtenemos lo pedido.
DEFINICIN2.1.7 Un vector se dice unitario si su norma es1.
EJEMPLO2.1.1 Siv =0 entoncesw =v / v es unitario. Tambin, notar que R :v = (cos , sen )es unitario.
47
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
56/165
CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern
2.1.4. ngulo entre vectores
Considere v y w vectores en R2. Entonces, v , w y v w forman un tringulo con lados de
magnitudes v , w y v w respectivamente. Por el teorema del coseno para tringulos, sesigue quev w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos
Por otro lado
v w 2 = (v w ) (v w )= v 2 + w 2 2v w
Igualando ambas expresiones, obtenemos que
v w = v w cos
En el caso general, si v y w vectores en Rn entonces por la desigualdad de Cauchy-SchwarzS
1 v w
v w 1
Luego, existe un nico [0, ]tal que
cos = v wv w
DEFINICIN2.1.8 Siv yw son vectores en Rn no nulos, el ngulo entrev yw es el nico [0, ]tal que
v w = v w cos
Denotaremos tal ngulo por v , w .
DEFINICIN2.1.9 Sean v y w son vectores en Rn no nulos. Diremos que:
1.v y w sonperpendiculares uortogonalessi v , w = 2 . Esto es equivalente a v w = 0
2.v y wsonparalelossi v , w = 0 v , w =. Esto es equivalente a v =wpara algn R.
48
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
57/165
Vernica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
2.1.5. Producto cruz enR3
En esta seccin definiremos un productovectorialque nos permite encontrar un vector que es
perpendicular a dos vectores dados delespacio, es decir, enR
3
.
DEFINICIN2.1.10 Seanu = (u1, u2, u3)yv = (v1, v2, v3)vectores en R3. Definimos elproductocruzentre u y v, que denotamos por u v como el vector
u v = (u2v3 u3v2) i (u1v3 u3v1) j + (u1v2 u2v1) k
Recordemos que en R3:
i = (1, 0, 0),j = (0, 1, 0)y
k = (0, 0, 1), entonces
u v = ((u2v3 u3v2) , (u1v3 u3v1) , (u1v2 u2v1))
OBSERVACIN: La definicin de producto cruz se puede recordar y trabajar como un determinante
de la siguiente manera:
u v =
i
j
k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
OBSERVACIN: El vector u v es perpendicular a u y v. Note que en dos dimensiones esto notiene sentido.
EJEMPLO2.1.2 Sean u = (1, 2, 1)y u = (1, 0, 1). Calcular u v.Solucin:
u v =
i
j
k
1 2 11 0 1
=i
2 10 1 j
1 11 1 + k
1 21 0
= 2i j (0) + k (2) = 2i 2k = (2, 0, 2)
PROPOSICIN2.1.3 Seanu = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3)yw = (w1, w2, w3)vectores en R3.Entonces
u (v w ) =
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
49
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
58/165
CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern
Dem.: En efecto: sabemos que
v
w = v2 v3
w2 w3 , v1 v3
w1 w3 , v1 v2
w1 w2 y si u = (u1, u2, u3)entonces
u (v w ) = u1 v2 v3w2 w3
u2 v1 v3w1 w3
+ u3 v1 v2w1 w2
=
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
(es el desarrollo del determinante por la primera fila en cofactores).
Note adems que
u (v w ) =
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
= (u v) w
OBSERVACIN: Este producto entre 3 vectores en R3 se conoce comoproducto mixtoentre ellos.
TEOREMA2.1.2 El producto vectorial o producto cruz cumple las siguientes propiedades:
1.u R3 : u u = 0
2.u , v R3 : u (u v) y v (u v)
3.u , v R3 : (u v) = (v u )
4.u , v , w R3 : (u + v) w = u w + v w
5.
u , v , w
R
3 : u
(v + w ) = u
v + u
w
6.u , v R3 R : (u v) = (u ) v = u (v)
OBSERVACIN: Dejamos como ejercicio la demostracin de estas propiedades, para lo que reco-
mendamos utilizar las propiedades de los determinantes y la proposicin anterior.
50
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
59/165
Vernica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
EJEMPLO2.1.3 Simplificar la expresin
[(u + v) (2u v)] u
Desarrollo:Por las propiedades recin enunciadas
(u + v) (2u v)= (u + v) (2u ) + (u + v) (v)= u (2u ) + v (2u ) + u (v) + v (v)= 2 (u u ) + 2 (v u ) (u v) (v v)= 0 + 2 (v u ) (u v) + 0= 3 (u v)
Luego
[(u + v) (2u v)] u = (3 (u v)) u = 0
TEOREMA2.1.3 (Identidad de Lagrange) Para cada v , w en R3 se tiene
(v w )2 + v w 2 = v 2 w 2
Dem.: Ejercicio.
Gracias a la identidad de Lagrange, podemos mostrar lo siguiente: comov
w =
v
w
cos
se sigue que
(v w cos )2 + v w 2 = v 2 w 2
luego
v w 2 = v 2 w 2 v 2 w 2 cos2 = v 2 w 2 1 cos2 = v 2 w 2 sen 2
Esto nos lleva a la siguiente:
PROPOSICIN2.1.4 Sean v yw vectores en R3. Entonces
v w = v w |sen |
donde [0, ]es el ngulo que forman v e w .
51
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
60/165
CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern
EJERCICIOS:
1. Considere un paralelgramo determinado por dos vectoresu yv en R3 si u , v =
entonces el rea del paralelgramo es A =u v sen =u v . Notar que de estaforma se puede calcular el rea de un tringulo por
A=u v
2
2. Considere un paralelepipedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanaresu , v , w R3 entonces el volmen del paraleleppedo esta dado por
V = |w (u v)| =
det
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
52
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
61/165
Vernica Gruenberg Stern 2.2. CLASE 9: GEOMETRA DELPLANO Y ELESPACIO
2.2. CLASE 9: Geometra del Plano y el Espacio
2.2.1. Proyecciones
Geomtricamente, lo que queremos es determinar el vector que se obtiene al proyectar ortogo-nalmente el vector u= 0sobre el vector w . Si denotamos a este vector conproyuw entonces, paraalgnt R, se debe cumplir
proyuw = t
ww (u tw ) = 0
Entonces
w u t w 2
= 0 = t=w
u
w 2
Se sigue
proyuw =
w uw 2
w
DEFINICIN2.2.1 Seanu yw son vectores en Rn,w =0. Se define el vector proyeccindeusobre w como el vector
proyuw =
w uw
2 w
OBSERVACIN: El vector u proyuw se llamacomponente de u ortogonal a w .
EJEMPLO2.2.1 Considere un tringulo en R3 determinado por los vrtices en los puntos A, B,C .
Encuentre su rea.
Solucin: Sean u =B A,w =C A. Entonces, la altura del tringulo es
h=u proyuw
de donde el rea pedida es
A=1
2w
u proyuw
53
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
62/165
CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern
2.2.2. Rectas en el espacio
DEFINICIN2.2.2 En R3, sea p un punto dado y d un vector no nulo. Definimosla recta que pasa
por p y es paralela a d (otiene direccin d), como el conjunto de puntosL=
p + d : REl vector
d se llamavector director de la recta L.
Escribamos la relacin que define a una recta en el espacio, en trminos de coordenadas. Seap = (x0, y0, z0), d = (d1, d2, d3). Un punto(x,y ,z)pertenece a la recta si
x = (x,y ,z) = (x0, y0, z0) + (d1, d2, d3) R
que es laecuacin vectorialde la recta.
De esta ecuacin, podemos escribir:
x = x0+ d1
y = y0+ d2
z = z0+ d3
Esta forma de escribir la ecuacin de la recta se llamaecuacin paramtricade la recta, oforma
paramtricade la ecuacin, de parmetro.
Si en cada ecuacin anterior despejamos el parmetro obtenemos
= x x0
d1
= y y0
d2
= z z0
d3
= x x0d1
=y y0
d2=
z z0d3
Esta forma de presentar una recta en el espacio se conoce como las ecuaciones simtricaso ecua-
cin cartesianade la recta.OBSERVACIN:
1. Supongamos que una componente del vector director es igual a 0, digamos d1. Entonces, laecuacin simtrica queda de la forma:
x= x0, y y0
d2=
z z0d3
54
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
63/165
Vernica Gruenberg Stern 2.2. CLASE 9: GEOMETRA DELPLANO Y ELESPACIO
2. Si conocemos dos puntos en el espacio, digamos p1y p2 , la ecuacin de la recta que pasa porellos es
L: (x1, y1, z1) + t(x1 x2, y1 y2, z1 z2), t RLa forma paramtrica de la ecuacin de la recta que pasa por estos dos puntos es:
x = x1+ t(x1 x2)y = y1+ t(y1 y2)z = z1+ t(z1 z2)
y la forma simtrica es:x x1
x1 x2 = y y1y1 y2 =
z z1z1 z2
DEFINICIN2.2.3 Dos rectas L1= p1+ td1, t R y L2 = p2+ rd2, r R sonparalelassi susvectores directores son paralelos. Es decir,
d1 =a
d2con a R ya = 0
2.2.3. Planos
DEFINICIN2.2.4 Sean p ,u y v vectores en el plano, tales que u y v no son paralelos. Enton-ces, el conjunto R3 es unplanosi
=
{p + u + v :,
R
}
En trminos de coordenadas, si p = (x0, y0, z0), u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), entonces
x = x0+ u1+ v1
y = y0+ u2+ v2
z = z0+ u3+ v3
Estas ecuaciones son lasecuaciones paramtricasdel plano.
OBSERVACIN: Un plano enR
3
se puede determinar especificando un punto contenido en l y unvector normal al plano, es decir, un vector perpendicular a l.
En efecto, dado el punto P = (x0, y0, z0) y el vector n = (n1, n2, n3), un punto Q= (x,y ,z) si y solo si
P Q n . Es decir
P Q n = 0 (x x0, y y0, z z0) (n1, n2, n3) = 0
(x x0)n1+ (y y0)n2+ (z z0)n3= 0 n1x + n2y+ n3z x0n1 y0n2 z0n3= 0
55
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
64/165
CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern
Por lo tanto, la ecuacin general de un plano es
ax + by+ cz+ d= 0
donde el vector(a,b,c)es normal al plano. Este vector se llama vector directorodireccindel plano.
OBSERVACIN: Un plano puede ser determinado conociendo 3 puntos no colineales. En efecto,
sean P1, P2, P3 los puntos. Formamos los vectoresP1P2y
P1P3. El vectorn =P1P2P1P3es
perpendicular aP1P2y a
P1P3. Luego, n es normal al plano. Usamos cualquiera de los 3 puntos
Piy n y obtenemos la ecuacin del plano.
EJEMPLO2.2.2 Determine la ecuacin del plano que pasa por los puntos
P1 = (2, 2, 1), P2= (1, 0, 3), P3= (5, 3, 4)
Solucin: Formemos los vectores
P1P2=P2 P1= (3, 2, 2) y P1P3= P3 P1= (3, 1, 3)
Ahora, el vector normaln = P1P2 P1P3= (8, 15, 3)
Por lo tanto, la ecuacin del plano es dada por:
(x 2, y+ 2, z 1) (8, 15, 3) = 0 8x + 15y 3z+ 17 = 0TEOREMA2.2.1 Dados dos planos
1 = a1x + b1y+ c1z+ d1= 0 y 2 = a2x + b2y+ c2z+ d2= 0
se tiene:
1. 1 2 a1= ka2, b1= kb2, c1= kc2 con k R y k= 0
2. 1 2 (a1, b1, c1) (a2, b2, c2) = 0
3. 1= 2 a1= ka2, b1= kb2, c1= kc2, d1 = kd2 con k R y k= 0.
TEOREMA2.2.2 Consideremos la rectaL = p + d y el plano =x + y + z + = 0. Se tiene
1. L ( , , ) d = 0
2. L d ( , , ) = kd1, = kd2, = kd3, donde k= 0y(d1, d2, d3) =
d.
56
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
65/165
Vernica Gruenberg Stern 2.2. CLASE 9: GEOMETRA DELPLANO Y ELESPACIO
TEOREMA2.2.3 (Distancia de un punto a una recta) Consideremos la recta L que pasa por el pun-toP0= (x0, y0, z0)y tiene como vector director a
d. SeaP = (x,y ,z)un punto que no pertenece a
L. La distancia dePaLest dada por:
d(P, L) =||d P0P||
||d ||
TEOREMA2.2.4 (Distancia de un punto a un plano) Dado un punto P0 = (x0, y0, z0)y un plano
=ax + by+ cz+ d= 0; la distancia entreP0yest dada por:
d(P0, ) =|ax0+ by0+ cz0+ d|
a2 + b2 + c2
TEOREMA2.2.5 (Distancia entre rectas) SeaL1la recta que pasa por el punto P1y tiene direccin
d1. SeaL2la recta que pasa por el punto P2y tiene direccin d2. La distancia (mnima) entreL1yL2est dada por:
dmin(L1, L2) =|P1P2 n |
||n || , donde n = d1d2
Ejercicios propuestos
1. Determine si las rectas
L1: x = 2t3, y= 3t2, z= 4t + 6 y L2: x = r + 5, y= 4r 1, z = r 4
se cortan.
Solucin. Si existe un punto Ptal queP=L1 L2, debe existirt1 R yr1 R tales que
2t1 3 =r1+ 5, 3t1 2 = 4r1 1, 4t1+ 6 =r1 4
La solucin de este sistema de 3 ecuaciones y dos incgnitas es:
t1= 3 y r1= 2
Reemplazamos el valor del parmetrot1enL1o reemplazamos el valor del parmetror1enL2, para obtener el punto donde se intersectan: P = (3, 7, 6).
2. Determinar la ecuacin de la recta que pasa porP(1, 4, 0)y es perpendicular a las rectas
L1:
x = 3 + t
y = 4 + t
z = 1 + t, L2:
x + 4
6 =
2y 13
, z=1
2
57
-
7/23/2019 A MAT022 Complemento
66/165
CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern
Solucin. SeaL : (1, 4, 0) + d, con R, la recta buscada y seand 1 = (1, 1, 1)yd 2 =
(4, 1, 0)los vectores directores deL1yL2respectivamente. Como
LL1 LL2= d d 1 d d 2 = d //d1 d 2 = (1, 4, 3)Por lo tanto, la ecuacin de la recta Les
L: (1, 4, 0) + (1, 4, 3), con R
3. Hallar la ecuacin del plano que pasa por (3, 1, 2) y es paralelo al plano 2x+4y3z +10 = 0
Solucin. El plano buscado tiene por ecuacin 2x+ 4y 3z + d = 0. Para determinar d,usamos que el punto(3, 1, 2)debe pertenecer al plano, entonces debe satisfacer la ecuacin
2(3) + 4(1) 3(2) + d= 0 = d= 4Por lo tanto, el plano pedido es
2x + 4y 3z+ 4 = 0
4. Hallar la ecuacin del plano determinado por el punto (1, 0, 2)y la rectaL :x + 3
3 =
y 53 =
z 11
Solucin. Vamos a escribir la recta como interseccin de 2 planos. Para esto, consideramos
las igualdades siguientes:
x + 3
3 =
y 53 y
y 53 =
z 11
De la primera igualdad