a matematika i · a matematika i (tre´ci kolokvij 19.01.2013.) 1. a) izraˇcunajte lim x!1 ln x 5...
TRANSCRIPT
A MATEMATIKA I(treci kolokvij 19.01.2013.)
1.a) Izracunajte lim
x→∞
ln x5√x
.
b) Pokažite da je funkcija y = arc tg(x) + arc ctg(x) konstantna. Koja je to konstanta?
c) Za funkciju y = tg(x) + (cos x)ln x odreditedydx.
(20 bodova)
2. Za funkciju y = xe1x2 nadite asimptote, intervale rasta i pada te lokalne ekstreme.
(20 bodova)
3. Izracunajte:
a)∫ 2
1
dx2x − 1
b) P =?
(15 bodova)
4. Radioaktivna tvar raspada se brzinom koja je proporcionalna kolicini tvari u danom trenutku. Nakon 500godina raspalo se 3
4 tvari.
a) Odredite funkciju T (t) koja opisuje ovisnost kolicine tvari T o vremenu t.
b) Koliko tvari je preostalo nakon 100 godina, ako je u pocetku bilo 30 grama tvari?(15 bodova)
5.
Jedan zupcanik gura drugi, zubi su na rubovima. Kotaci zupcanika imajuradijuse 40 cm i 50 cm. Ako manji kotac napravi 20 okretaja u minuti,odrediti kutnu brzinu veceg kotaca.
(10 bodova)
6.
Ljestve dužine 15 m naslonjene su na okomiti zid. Ako vrh ljesti klizi premadolje brzinom 2 m/s, koliko brzo se smanjuje kut elevacije ϕ (kut izmedu tlai donjeg kraja ljestvi), u trenutku kada je donji kraj ljestvi 12 m od zida?
(20 bodova)
OKRENI!
A MATEMATIKA I
(Rješenja)
1. a) limx→∞
ln x5√x= 0
b) y′ = 0 =⇒ y = C =⇒ c = y(π
4
)=π
2
c)dydx=
1cos2 x
+ (cos x)ln x ·
(ln cos x
x− tg x ln x
)
2.limx→∞
xe1x2 = ∞, lim
x→−∞xe
1x2 = −∞ - funkcija nema horizontalnu asimptotu
limx→0+
xe1x2 = ∞, lim
x→0−xe
1x2 = −∞ - x = 0 je vertikalna asimptota
y(x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
2) ∪ (√
2,∞), y(x) ↘ za x ∈ (−√
2, 0) ∪ (0,√
2)
lokalni maksimum: M(−√
2,−√
2e12 ), lokalni minimum: m(
√2,√
2e12 )
3.
a)∫ 2
1
dx2x − 1
=ln 32
b) P =9π4
4.a) T (t) = T0 e−t ln 2/250
b) T (100) = 30 e−100 ln 2/250 =305√4
5. kutna brzina veceg kotaca: ω =160π
5
6.dϕdt=
16
A MATEMATIKA I(Završni zadaci)
1. Zadane su matrice
A =[
1 −2−1 3
]B =
[2 10 −1
].
Odredite: (2A − 3B2) · AT.(20 bodova)
2. Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav:
3x1 − 2x2 + x3 = 2−x1 − 2x2 + 2x3 = 12x1 + 3x2 − 2x3 = 25x1 + x2 − x3 = 4
(30 bodova)
3. a) Izracunajtedydx
(1) ako je y = 7x3 · 4x + ln (x3 + 1).
b) Odredite jednadžbu tangente na krivulju: 2xy+ sin (x − y) = 2 u tocki T (1, 1).
(30 bodova)
4. Zadana je funkcija y =x2 − 3x + 2
. Odredite globalne ekstreme te funkcije na intervalu 〈1, 5] .(20 bodova)
C MATEMATIKA I
(Rješenja završnih zadataka)
1.(2A − 3B2) · AT =
[4 −11−8 11
]
2. x1x2x3
= 1
23
3.
a)dydx
(1) = 84 + 28 ln 4 +32
b) y = x
4. globalni maksimum: M(5, 22/7), globalni minimum se ne postiže
C MATEMATIKA I(treci kolokvij 19.01.2013.)
1.a) Izracunajte lim
x→0+
ln( 3√x)5√x
.
b) Pokažite da je funkcija y = arc tg(x) + arc tg(1/x) konstantna. Koja je to konstanta?
c) Za funkciju y = arccos(x) + (sin x)ln x odreditedydx.
(20 bodova)
2. Za funkciju y = −xe−2x nadite asimptote, intervale rasta i pada te lokalne ekstreme.
(20 bodova)
3. Izracunajte:
a)∫ 0
− 12
dx√
1 − x2b) P =?
(20 bodova)
4. Za vrijeme epidemije gripe brzina porasta broja oboljelih proporcionalna je broju oboljelih. U tjedan danabroj oboljelih porastao je za 30%.
a) Odredite funkciju B(t) koja opisuje ovisnost broja oboljelih B o vremenu t.
b) Koliko puta se povecao broj oboljelih nakon 2 tjedna?(15 bodova)
5.
Zemljin satelit je u kružnoj orbiti 1200 km iznad zemlje i napravi jedan okretsvakih 90 min.
a) Odrediti brzinu satelita.
b) Izracunati kut (u radijanima) koji satelit prijede u 12 minuta.
Koristi da je radijus Zemlje 6400 km.
(10 bodova)
6.
U krug radijusa r = 5 upisan je pravokutnik. Naci kut α izmedu baze idijagonale pravokutnika (vidjeti sliku) za koji je opseg pravokutnika najveci.
(15 bodova)
OKRENI!
C MATEMATIKA I
(Rješenja)
1. a) limx→0+
ln( 3√x)5√x
= −∞
b) y′ = 0 =⇒ y = C =⇒ c = y(π
4
)=π
2
c)dydx=
−1√
1 − x2+ (sin x)ln x ·
(ln sin x
x+ tg x ln x
)
2.limx→∞
(−xe−
2x
)= −∞, lim
x→−∞
(−xe−
2x
)= ∞ - funkcija nema horizontalnu asimptotu
limx→0+
(−xe−
2x
)= 0, lim
x→0−
(−xe−
2x
)= ∞ - x = 0 je vertikalna asimptota s lijeva
y(x) ↗ za x ∈ (−2, 0), y(x) ↘ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,∞)
lokalni minimum: m(−2, 2e)
3.
a)∫ 0
− 12
dx√
1 − x2=π
6
b) P = 1
4.a) B(t) = B0 et ln(13/10)
b) B(2) = B0
(1310
)2
5.a) v =
15209
π (km/min)
b) ϕ =4π15
6. α =π
4
C MATEMATIKA I(Završni zadaci)
1. Vrhovi trokuta su: A(1,−2, 1), B(−1, 0, 1) i C(2,−1, 0). Odredite:
a) površinu 4ABC,
b) jedinicni vertor okomit na ravninu 4ABC.(20 bodova)
2. Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav:
5x1 + 5x2 + 8x3 = 42x1 − x2 − x3 = 13x1 + x2 + 2x3 = 2
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
(30 bodova)
3. a) Izracunajtedydx
(0) ako je y = 11x5 · 5x + ln (−2x3 + 1).
b) Odredite jednadžbu tangente na krivulju:yx+ cos (x − y) = 2 u tocki T (1, 1).
(30 bodova)
4. Primjenom diferencijalnog racuna izracunajte približno:4√15.98.
(20 bodova)
C MATEMATIKA I
(Rješenja završnih zadataka)
1. a) P =√
6
b) ~n1 =
− 1√
6,−
1√
6,−
√23
, ~n2 =
1√
6,
1√
6,
√23
2. x1
x2x3
=
35 −
15λ
15 −
75λ
λ
3.
a)dydx
(0) = 0
b) y = x
4. 4√15.98 ≈ 2 −
15 · 32
≈ 1.994