Tema : La inercia rotacional

La inercia de los cuerpos

El concepto de inercia no es nuevo para ti .En segundo año medio, estudiaste las leyes de Newton, y en estas tiene un papel importante la inercia. ¿Recuerdas a que se refiere? Pensemos en una situación cotidiana como la siguiente. Dos vehículos van rápido por una carretera recta: Un camión de gran tonelaje y un automóvil pequeño. ¿A cuál de los dos le es más difícil reducir su rapidez o detenerse? O, si están detenidos, ¿Cuál tiene una partida más lenta?

La inercia rotacional de los cuerpos En este capítulo estamos estudiando la rotación de los cuerpos. Veremos que, al igual que en los cuerpos que se mueven rectilíneamente, sin rodar, en los cuerpos que rotan o que pueden rotar también, hay un concepto similar al de la masa inercial y que explica la diferente resistencia de los cuerpos a iniciar una rotación o, a la inversa, si se encuentran rotando, la diferente resistencia a dejar de rotar. Este nuevo concepto se denomina inercia rotacional. Un primer acercamiento al nuevo concepto lo tuviste en la actividad exploratoria de la página 11 de este capítulo: ¿Qué cuerpos llegan primero a la base de un plano inclinado? Ahí se advirtió que volveríamos en la Sección 2 a las conclusiones de esa actividad. Revisa tus apuntes, si no recuerdas las conclusiones. ¿Cuál fue la respuesta al título de la actividad? Tenla presente en lo que sigue.

Precisando el significado del concepto de inercia rotacional, podemos asegurar que:

• un cuerpo que rota alrededor de un eje tiende a seguir rotando, suponiendo que no haya una acción externa que intervenga en el movimiento.

• El cuerpo que no rota tiende a seguir sin rotar.

La inercia rotacional, símbolo I, representa la propiedad de los cuerpos para resistir los cambios de su estado de movimiento rotatorio. Más adelante veremos cómo se puede determinar la inercia rotacional de los cuerpos. En la siguiente actividad experimental podrás comparar la inercia rotacional de dos cuerpos.

¿De qué factores depende la inercia rotacional de los cuerpos?La inercia rotacional de un cuerpo dado depende:

• De sus dimensiones geométricas.

• De su masa.

• De la forma como está distribuida la masa; la inercia aumenta en la medida que la distribución de masa se aleja del eje de rotación, como lo pudiste comprobar en el mini laboratorio anterior con los péndulos.

• De la posición del eje alrededor del cual rota el cuerpo.

Este nuevo concepto nos ayudará a comprender situaciones de diversa naturaleza, como las que muestran las fotografías siguientes.

Como la inercia rotacional aumenta en la medida que la masa se distribuye y aleja del centro de rotación, entonces se entiende que los seres de patas más cortas se caracterizan por ofrecer menor resistencia a la acción que consiste en doblar sus piernas y tener por lo tanto una mayor agilidad en su movimiento. Los corredores doblan sus piernas para movilizarlas más rápidamente. ¿Te has fijado que las personas de piernas largas tienden a caminar con pasos más lentos que las personas de piernas cortas?

La definición matemática de la inercia rotacionalPara una partícula de masa m que rota a la distancia r alrededor de un eje, la inercia rotacional de la partícula se define como I = m · r2.

En el siguiente ejemplo, el cuerpo que rota no es una partícula, sino que una distribución uniforme de materia a lo largo de un anillo que rota alrededor del eje de la circunferencia, como muestra la fi gura 1.27. La masa del anillo es M.

El anillo lo podemos imaginar como un conjunto de muchas partículas, en realidad infinitas, que rotan todas a una misma distancia r del eje de rotación. Entonces la expresión matemática que se definió para una partícula la podemos extender a todas las partículas que integran el anillo, de la siguiente manera:

¿Cómo se llegó a este resultado?

Veamos:

Se supuso primero que podríamos enumerar a todas las partículas del anillo, esto explica los subíndices de la masa m. Todas estas partículas se encuentran a una misma distancia del eje de rotación, por esto el símbolo r no tiene subíndice; una suma larga donde se repite la estructura de cada término se puede apuntar en forma abreviada mediante el símbolo de sumatoria ∑, que corresponde a la letra griega sigma mayúscula.

Como la distancia r al eje de rotación es la misma en todos los términos, se factoriza y queda fuera de la sumatoria. La sumatoria de la masa de todas las partículas se extiende a infinitas partículas y se convierte en la masa total M del anillo.

Una de las propiedades de la inercia rotacional es su dependencia de la ubicación del eje de rotación. Un ejemplo es el presentado en el ejercicio resuelto de la página 42.

Relaciones Matemáticas para determinar la inercia rotacional de algunos cuerpos

La siguiente tabla entrega las expresiones de la inercia rotacional de diversos cuerpos homogéneos, que giran en torno a un eje específico.

Capa Cilíndrica respecto a su eje

Cilindro solido respecto a su eje

Cilindro hueco respecto a su eje

Capa cilíndrica respecto a un diámetro que pasa por su centro

Cilindro macizo respecto a un diámetro que pasa por su centro

Varilla delgada respecto a una recta perpendicular que pasa por su centro

Varilla delgada respecto a una recta perpendicular que pasa por su centro

Capa o corteza esférica delgada respecto a un diámetro

Esfera maciza respecto a un diámetro

Paralelepípedo rectangular macizo respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular a una cara

Figura 1.28. Diferentes relaciones matemáticas para determinar la inercia de algunos cuerpos.

Actividad practica individual

APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE INERCIA ROTACIONAL

Habilidades

Procesamiento e interpretación de datos, y formulación de explicaciones, apoyándose en los conceptos y modelos teóricos del nivel

Antecedentes Recordando que la inercia rotacional es una medida de la resistencia de un cuerpo a la rotación, esta actividad te permitirá experimentar directamente el concepto.

Procedimiento

Con tres trozos de alambre de unos 15 centímetros y tres barras de plasticina, compara la inercia de rotación en los siguientes casos. El alambre corresponderá al eje de rotación de la barra de plasticina.

Haz rotar la barra de plasticina alrededor del respectivo alambre en cada uno de los tres casos. Presta atención a la facilidad o a la dificultad para lograrlo cada vez.

Discusión de resultados

¿En cuál caso fue más fácil hacer rotar la barra de plasticina, y en cual fue más difícil, comparativamente? Justifica tu observación con el concepto de la inercia rotacional

¿Cómo se equilibra un acróbata en la cuerda floja a gran altura?

Nadie puede negar la increíble audacia de un equilibrista que camina por una cuerda, acompañado solo por una larga vara que sostiene en sus manos. ¿Qué importancia reviste la vara para el equilibrista?

Si el acróbata pierde el equilibrio, instintivamente intenta hacer rotar la vara y en ese momento logra recuperar el equilibrio. La distribución de masa a lo largo de la vara, alejándose del centro de rotación, determina que su inercia rotacional

sea lo suficientemente grande como para que no sea fácil hacerla rotar. Figura 1.29

Evaluación individual

a) ¿Cómo explicas la acrobacia de la Figura 1.30? Trata de explicarla físicamente, ¡Pero no intentes hacerla!

b) Si te atrae hacer pruebas asombrosas ante tus amigos, ensaya la siguiente. Toma un martillo o cualquier otro objeto similar que tenga un peso notorio en un extremo, y prueba equilibrarlo verticalmente hacia arriba con un dedo. Antes de hacerlo, ¿crees que sería recomendable apoyar en tu dedo la cabeza del martillo o el

Ten presente

Los métodos de cálculo del momento de inercia son muy limitados, para los cuerpos de la figura 1.29 y 1.30 se utilizan métodos matemáticos

mas sofisticados

extremo del mango? Verifica tu predicción. También resulta con una escoba. Después de realizada la demostración, explíquesela a tus amigos en términos de la inercia rotacional.

Mini Laboratorio

La inercia rotacional de los cuerpos

Objetivo - Comparar la inercia rotacional de dos péndulos simples.Materiales - 1 metro de hielo- Bolita de acero o una piedra - Regla

Procedimiento

1. Arma un péndulo de unos 30 centímetros de longitud y busca un lugar despejado donde puedas colgarlo y hacerlo oscilar.

2. Haz oscilar el péndulo. Fijándote principalmente en la rapidez del movimiento.

3. Arma otro péndulo con el resto del hilo, de a lo menos unos 60 centímetros de longitud, con la misma bolita o piedra.

4. Haz oscilar el nuevo péndulo, y también fíjate en la rapidez con la que oscila.

Análisis

1. ¿Cuál de los dos péndulos tuvo una mayor rapidez al oscilar?

2. Si bien el péndulo de esta actividad no es un cuerpo que rote totalmente, igual tiene una inercia rotacional que al determinarla resulta ser m·r2 siendo m la masa del cuerpo que oscila y r la longitud del péndulo.

3. Entonces, ¿Cuál de los péndulos tenia mayor inercia rotacional ? Si dispones de una balanza para medir la masa m, puedes calcularla para los dos péndulos. La unidad de la inercia rotacional es kg·m2

4. El hecho de oscilar un péndulo con mayor rapidez que el otro, ¿significa que opone una menor o mayor resistencia para iniciar una rotación? Discute con tus compañeros.

5. Prepara un informe de tu trabajo y exponlo ante el curso

En la actividad práctica anterior pudiste constatar que, en el caso del péndulo, una menos resistencia a rotar se refleja en una mayor rapidez de oscilación.

Más adelantes veremos otros ejemplos prácticos. Por ahora, revisemos las relaciones matemáticas que permiten conocer la inercia rotacional de

algunos cuerpos.

Ejercicio resuelto n°3

Dos cuerpos de masa 4,0 kg y 9,0 kg se encuentran cada uno en los extremos de una varilla delgada del 6,0 m de longitud. Determina la inercia rotacional del sistema en los dos siguientes casos:

a) La varilla rota alrededor de un eje que pasa por su punto mediob) La varilla rota alrededor de un eje a 0,50 m del cuerpo de menor masa, entre los dos

cuerpos.

Identificando la informaciónm1= 4,0 kg

m2= 9,0 kg

I= 6,0 m

Caso a) r1=3,0 m

r2= 3,0 m

Caso b) r1=0,50 m

Ahora resuelves tú Dos cuerpo de masa 6 kg y 10 kg se encuentran cada uno en los extremos de una varilla delgada de 12 m de longitud. Determine la inercia de rotación cuando la varilla rota alrededor de un eje de 1 m del cuerpo de mayor masa, entre los cuerpos.

r2= 5,50 m

Estrategia:En los dos casos planteados, la inercia rotacional se calcula mediante la relación: I =m1r 12 + m2r 22 . Haz un esquema de cada situación.

Resolución

De acuerdo con los datos del problema, se tiene:

I: (4,0 kg)(9,0 m2) + (9,0 kg)(9,0m2) = 117 kgm2

I: (4,0 kg)(0,25m2) +(9,0 kg)(30,25m2) = 272,25 kgm2

Análisis de resultadoEstos resultadosdemuestran que efectivamente la inercia rotacional depende de la ubicación del eje de rotación. En el segundo caso, en el que uno de los cuerpo se aleja del eje de rotación, de 3,0 m a 5,50 m, repercutió significativamente en el resultado.

Minirresumen La inercia rotacional es un concepto comparable, no igual, al de la masa inercial en

la dinámica unidimensional. En ausencia de acciones externas, todo cuerpo que rota tiene tendencia a seguir

con su movimiento de rotación. Los cuerpos con menor inercia rotacional son más fáciles de hacerlos rotar,

comparativamente, que los que tienen una mayor inercia rotacional. Los cuerpos con menor inercia rotacional son más fáciles de hacer que dejen de

rotar, comparativamente, que los que tienen una mayor inercia rotacional. La inercia rotacional depende, entre otros factores, de la distribución de masa

alrededor del eje de rotación: aumenta al haber mayor concentración lejos del eje de rotación.

La inercia rotacional de un objeto también depende de la ubicación que tiene el eje de roación del cuerpo

Una persona tiene mayor inercia rotacional cuando camina con una vara en susu manos o cuando extiende sus brazos.

LA ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN

Cuando un cuerpo de masa m se traslada con rapidez v, recordarás de tu curso anterior de física, que su energía cinética es igual a:

La llamaremos energía cinética de tralación.¿Cómo cambia esta descripción cuando el cuerpo rota alrededor de un eje? Figura 1.31

Un cuerpo rígido que rota está constituido por muchas partículas. Suponemosque el cuerporota con rapidez angular ω constante. Para cada

partícula se cumple que su energía cinética es igual a 1

2¿mv2 ¿ , siendo m la

masa de la partícula y v la rapidezlineal de esa misma partícula. Entonces, la energía cinética total del cuerpo que rota es igual a la suma de la energía cinética de todas las partículas del cuerpo, es decir:

Pero sabemos además que el movimiento circunferencia uniforme se cumple v=ω r , por lo que reemplazandola en la expresion anterior, se obtiene:

Siendo ω la rapidez angular de todas las particulas del cuerpo que rota.

Por otra parte la expresión ∑ mr2 corresponde a la inercia rotacionar del cuerpo, por lo que hemos obtenido, finalmente, que la energía cinética de rotación del cuerpo es:

La energía cinética de rotación no es un nuevo tipo de energía. Se ha derivado a partir de la energía cinética de traslación de todas las partículas que componen el cuerpo que rota.

1. ¿Cómo se calcula la fuerza resultante utilizando el método vectorial?

2. ¿Cómo se llama la fuerza que actúa sobre un cuerpo que se mueve en una trayectoria circunferencial?

3. ¿Cuál es la conexión que existe entre roce estático y la fuerza centrípeta?

4. ¿Qué es la diferencia entre la fuerza centrípeta y centrifuga?

5. ¿De que factores depende la inercia rotacional de los cuerpos?

6. Comprueba los pasos utilizados para el cálculo de la energía de rotación.

7. Un niño tiene dos cilindros de igual radio y de igual masa y los deja rodar por una tabla lisa desde una misma altura tal como lo ilustra la siguiente figura.

¿Cuál de los cilindros llegara primero?¿Es importante el hueco en el cilindro?

EVALUACIÓN DE SECCIÓN

8.

9.

Problemas de aplicación.

1.- Una bola esférica solida de 2200 gr tiene un radio de 60cm. Y está girando en torno a un eje que pasa por su centro geométrico a 1300 rpm. Determine:1.1.- su momento de inercia rotacional.1.2.- Su energía cinética rotacional-

2.- Una rueda de bicicleta de 1500 gramos y cuyo radio mide 74cm, está rodando por un camino rectilíneo y completa 80 vueltas en 8 segundos. Determine:2.1.-Su momento de inercia 2.2.-Su rapidez angular 2.3.-Su energía cinética rotacional.2.4.-El radio de giro a que se debería poner una masa puntual equivalente a la masa de la rueda de modo que tenga la misma inercia que esta.

3.- Una esfera uniforme y sólida tiene una masa de 800 gr y 12cm de radio tiene .La esfera gira alrededor de un eje que pasa por su centro. Determine:3.1.-Su energía cinética rotacional.

Si dos automóviles tienen llantas de igual masas, pero de 40(cm) y 70(cm) de diámetro, respectivamente y se mueven a igual rapidez, ¿Cuál tendrá mayor energía cinética de rotación?

Un par de reglas de un metro están recargadas casi verticalmente contra un muro. Si las sueltas giraran hasta el piso en el mismo tiempo. Pero si una tiene una esfera solida de plasticina pegada a su extremo superior como lo ilustra la figura.

¿Cuál de ellas al rotar llegara primero al piso?

3.2.-Su cantidad de movimiento angular.3.3.-Su radio de giro-

4.-Una hélice de avión tiene una masa de 80kg y un radio de 80cm. la hélice gira a razón de 1200 rev /min. Determine para la hélice.4.1.-Su momento de inercia.4.2.-Su energía cinética rotacional.4.3.-Su cantidad de movimiento.

5.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 120rpm ( E: centro geométrico del triángulo equilátero). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:5.1.- El momento de inercia del sistema 5.2.- La energía cinética rotacional.5.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.

6.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 150rpm ( E: centro geométrico del cuadrado). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:6.1.- El momento de inercia del sistema 6.2.- La energía cinética rotacional.6.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.

7.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 120rpm ( E: centro geométrico del triángulo equilátero). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:7.1.- El momento de inercia del sistema 7.2.- La energía cinética rotacional.7.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.

8.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 200rpm ( E: centro geométrico del cuadrado). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:8.1.- El momento de inercia del sistema 8.2.- La energía cinética rotacional.8.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.

9.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 120rpm ( E: vértice del triángulo equilátero). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:9.1.- El momento de inercia del sistema 9.2.- La energía cinética rotacional.9.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.

10.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 80rpm (E: Vértice del triángulo equilátero). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:10.1.- El momento de inercia del sistema 10.2.- La energía cinética rotacional.10.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.

11.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 280rpm ( E: vértice del cuadrado). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:11.1.- El momento de inercia del sistema 11.2.- La energía cinética rotacional.11.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.

12.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 200rpm ( E: vértice del cuadrado). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:12.1.- El momento de inercia del sistema 12.2.- La energía cinética rotacional.12.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.

13.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 200rpm ( E: vértice del triángulo equilátero). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:13.1.- El momento de inercia del sistema 13.2.- La energía cinética rotacional.13.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.

14.-En la figura, una fuerza constant4 de 40N se aplica tangencialmente al perímetro de una rueda de 20cm de radio. La rueda tiene un momento de inercia de 30 kg m2. Determine:La aceleración angular La rapidez angular después de 4s, si parte del reposo.El número de vueltas que gira la rueda en estos 4 seg.Demuestre que el trabajo efectuado sobre la rueda en los cuatro seg. Es igual a la energía cinética rotacional de la rueda en los 4seg.

15.-La rueda de un molino es un disco uniforme de 900gr y de 8cm de radio. Se lleva uniformemente al reposo desde una rapidez de 1400rpm en un tiempo de 35seg. Determine:15.1.-La magnitud de la torca que debida al rozamiento que se opone al movimiento.