A-NET (มี.ค. 52) 1

A-NET 52

รหสัวิชา 14 วิชา คณิตศาสตร์

ข้อ 1 - 25 ข้อละ 3 คะแนน

1. พิจารณาประโยคตอ่ไปนี ้

ก. ∃𝑥 [√|𝑥| + 2 < 𝑥] ข. ∃𝑥[2|𝑥| > 3𝑥] เอกภพสมัพทัธ์ในข้อใด ท าให้ประโยค ก. และ ข. มีคา่ความจริงเป็นจริง 1. {−2, 0, 2} 2. {−2, 0, 3} 3. {0, 1, 2} 4. {0, 1, 3}

2. พิจารณาข้อความตอ่ไปนี ้ ก. ถ้า 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) มีคา่ความจริงเป็นจริง และ (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑟 มีคา่ความจริงเป็นเท็จ

แล้ว 𝑞 → (𝑝 ∨ 𝑟) มีคา่ความจริงเป็นจริง ข. การอ้างเหตผุลตอ่ไปนี ้สมเหตสุมผล

เหต ุ 1) ~𝑝 ∨ 𝑞 2) (𝑝 ∨ 𝑞) → ~𝑟 3) 𝑝 → ~𝑟

ผล 𝑞 ∨ 𝑟

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กู

1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

3. ก าหนดให้ 𝑛 เป็น ห.ร.ม. ของ 14097 และ 14351 จ านวนในข้อใดตอ่ไปนี ้หารด้วย 𝑛 แล้วได้เศษเหลอืเป็น

จ านวนเฉพาะ 1. 135 2. 144 3. 153 4. 162

28 Oct 2016

2 A-NET (มี.ค. 52)

4. ก าหนดให้ 𝒰 เป็นเซตค าตอบของอสมการ ||𝑥 + 1| + 2| ∙ ||𝑥 + 1| − 2| ≤ 25

ประโยคในข้อใดตอ่ไปนีม้คีา่ความจริงเป็นจริง 1. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = 14] 2. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = 11] 3. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = −11] 4. ∃𝑥∃𝑦[𝑥 + 𝑦 = −14]

5. ก าหนดให้ 𝐴 เป็นเซตค าตอบของสมการ |(2𝑥 − 1)(𝑥 + 3)| = |(𝑥 + 7)(3 − 4𝑥)|

ผลบวกของสมาชิกทัง้หมดของ 𝐴 เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. −15 2. − 15

2 3. 15

2 4. 15

6. ก าหนดให้ 𝑟 = { (𝑥, 𝑦) | 𝑥 > 0 , 𝑥 ≠ 𝑦 , 𝑥 − √𝑥3= 𝑦 − √𝑦

3 }

สมาชิกคา่มากที่สดุของ 𝐷𝑟 เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 4

3√3 2. 8

3√3 3. 4

9 4. 8

9

A-NET (มี.ค. 52) 3

7. ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 และ 𝑔 เป็นฟังก์ชนัพหนุาม โดยที่ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 3𝑥2 + 1

ถ้าเซต { 𝑦 | 𝑦 = (𝑔−1 ∘ 𝑓)(𝑥) , 𝑥 ∈ [−10,10] } คือชว่ง [𝑎, 𝑏] แล้ว 3(𝑎 + 𝑏) มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 88 2. 90 3. 98 4. 100

8. ก าหนดให้ 𝐹1 และ 𝐹2 เป็นจดุบนแกน 𝑋 และ 𝑅 เป็นจดุบนแกน 𝑌 ที่ท าให้ 𝐹1𝐹2𝑅 เป็นรูปสามเหลีย่มด้านเทา่ ถ้าพาราโบลาซึง่มีจดุยอดอยูท่ี่ 𝑅 และผา่นจดุ 𝐹1 และ 𝐹2 มีความยาวเลตสัเรกตมัเทา่กบั 1 หนว่ย

แล้ว วงรีซึง่มจีดุ 𝐹1 เละ 𝐹2 เป็นจดุโฟกสั และผา่นจดุ 𝑅 จะผา่นจดุในข้อใดตอ่ไปนี ้

1. (−√32

3 , 1) 2. (1, √

32

3 ) 3. ( √

5

3 , 1) 4. (1, −√

5

3 )

9. ก าหนดให้ 𝐶 คือวงกลม 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0 และ 𝑃 เป็นพาราโบลาซึง่มีจดุยอดอยูท่ี่จดุศนูย์กลางของวงกลม 𝐶 และมีแกน 𝑌 เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ ข้อใดตอ่ไปนีค้ือสมการของ 𝑃

1. 𝑦2 − 4𝑦 − 8𝑥 + 28 = 0 2. 𝑦2 − 4𝑦 − 8𝑥 − 20 = 0

3. 𝑦2 + 6𝑦 − 8𝑥 − 7 = 0 4. 𝑦2 − 6𝑦 − 8𝑥 + 25 = 0

4 A-NET (มี.ค. 52)

10. จงพิจารณาข้อความตอ่ไปนี ้ ก. ถ้า (log 𝑎)3 = 𝑥 − 1 และ (log 𝑏)3 = 𝑥 + 1 แล้ว log(𝑎 + 𝑏) = √𝑥2 − 1

3

ข. กราฟของ 𝑦 = 𝑥2 และกราฟของ 𝑦 = 2𝑥 ตดักนัเพยีง 2 จดุเทา่นัน้ ข้อใดตอ่ไปนีถ้กู

1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

11. ก าหนดให้ �̅� และ �̅� ไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์ และ |�̅� + �̅�| = |�̅� − �̅�| ถ้า |�̅�| = 1

√3|�̅�| แล้ว มมุระหวา่งเวกเตอร์

�̅� + �̅� และเวกเตอร์ �̅� − �̅� เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 30° 2. 45° 3. 60° 4. 90°

12. ก าหนดให้ 0° < 𝛼 < 30° ถ้า sin2(7𝛼) − sin2(5𝛼) = sin(2𝛼) sin(6𝛼) แล้ว 𝛼 เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 10° 2. 15° 3. 20° 4. 25°

A-NET (มี.ค. 52) 5

13. ก าหนดให้ 𝐴𝐵𝐶 เป็นรูปสามเหลีย่มซึง่มี 2 sin𝐴 + 3 cos𝐵 = 4 และ 3 sin𝐵 + 2 cos𝐴 = 1

คา่ของ sin𝐶 เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 1

6 2. 1

3 3. 1

2 4. 1

14. ก าหนดให้ 𝑛 เป็นจ านวนนบั และ 𝑥 เป็นจ านวนจริงซึง่ไมเ่ทา่กบั 1 ถ้า 𝐴 คือตวัผกผนัการคณูของ

เมทริกซ์ [𝑥 𝑥2 𝑥𝑛

0 𝑥 𝑥2

0 0 𝑥

] แล้วคา่ของ 𝑛 ที่ท าให้ [1 0 0]𝐴 [002] = [2 0 0]𝐴 [

003] เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 1 2. 3 3. 6 4. 9

15. ก าหนดให้ 𝐴 = [

𝑎/2 𝑏 𝑐0 𝑐/2 𝑎0 0 𝑏/2

] ถ้า 𝐴 + 𝐴𝑡 เป็นเมทริกซ์เอกฐาน และ 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 1

แล้ว det(𝐴−1) เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 24 2. 8 3. 2 4. 0

6 A-NET (มี.ค. 52)

16. ก าหนดให้ 𝑧1 และ z2 เป็นจ านวนเชิงซ้อน ซึง่ |𝑧1 + 𝑧2| = |𝑧1̅ − 𝑧2̅| = 3

ถ้า |𝑧2| = 2 แล้ว |𝑧1 − 2𝑧2|2 มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 18 2. 19 3. 20 4. 21

17. ก าหนดให้ 𝑎𝑛 เป็นล าดบัลูเ่ข้า และ 𝑏𝑛 เป็นล าดบัเลขคณิตที่มีผลตา่งร่วมไมเ่ทา่กบั 0

ถ้า n

lim [(𝑎𝑛 +1

𝑏𝑛)2+𝑎𝑛𝑏𝑛−𝑏𝑛+1

𝑏𝑛] = 0 แล้ว

nlim (2𝑎𝑛 + 1)

2 มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 1 2. 2 3. 4 4. 5

18. ก าหนดให้ min(𝑎, 𝑏) แทนจ านวนที่มีคา่น้อยที่สดุในเซต {𝑎, 𝑏}

และ max(𝑎, 𝑏) แทนจ านวนที่มคีา่มากที่สดุในเซต {𝑎, 𝑏}

เช่น min(−1, 2) = −1 และ min(−1, 2) = −1 เป็นต้น

คา่ของ

1n

(min(1

2𝑛,1

3𝑛) + max (

1

(−2)𝑛,1

3𝑛) เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 13

9 2. 41

24 3. 3

2 4. −2

A-NET (มี.ค. 52) 7

19. ก าหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ านวนจริง ถ้า 𝑓(𝑥) = {(𝑥 − 1)2 , 𝑥 ≥ 1

𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑥 , 𝑥 < 1 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่อง

และหาอนพุนัธ์ได้ที่จดุ 𝑥 = 1 แล้ว 𝑓(−1) มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. −6 2. −4 3. 0 4. 4

20. ก าหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 6 ถ้า 𝑃 เป็นจดุบนกราฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่ให้คา่สงูสดุสมัพทัธ์ของ 𝑓

แล้ว เส้นตรงที่ผา่นจดุ 𝑃 และจดุ (2, 6) มีความชนัเทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. −1 2. − 2

3 3. 2

3 4. 2

21. กลอ่งใบหนึง่บรรจสุลาก 10 ใบ แตล่ะใบมตีวัเลขก ากบัไว้ มีสลาก 5 ใบท่ีตวัเลฃก ากบัเป็นจ านวนลบ และอีก 5 ใบมีตวัเลขก ากบัเป็นบวก ถ้าสุม่หยบิสลากจากกลอ่งนีม้า 4 ใบ ความนา่จะเป็นท่ีผลคณูของตวัเลขที่ก ากบัสลากทัง้สีใ่บเป็นจ านวนลบ มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 10

21 2. 11

21 3. 13

21 4. 17

21

8 A-NET (มี.ค. 52)

22. ข้อมลูชดุหนึง่ประกอบด้วย 9 จ านวน ดงันี ้ 185 , 180 , 190 , 175 , 193 , 187 , 𝑦 , 200 , 199

ถ้า 𝑦 เป็นเดไซลที่ 6 ของข้อมลูชดุนี ้แล้ว หากสุม่ข้อมลูจากชดุนีม้า 5 จ านวน ความนา่จะเป็นท่ีข้อมลู 5 จ านวนนี ้ มีคา่มธัยฐานเป็น 𝑦 เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 2

21 2. 4

21 3. 5

21 4. 8

21

23. คะแนนสอบของนกัเรียนห้องหนึง่มีการแจกแจงปกติ โดยที ่ 12.3% ของนกัเรียน สอบได้คะแนนตัง้แต ่86 คะแนนขึน้ไป

50% ของนกัเรียน สอบได้คะแนนตัง้แต ่74.4 คะแนนขึน้ไป

ถ้าตารางแสดงพืน้ท่ีใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ระหวา่ง 0 ถึง 𝑧 เป็นดงันี ้

แล้ว เปอร์เซ็นต์ของนกัเรียนที่สอบได้คะแนนน้อยกวา่ 54 คะแนน มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 2.00 2. 2.04 3. 2.07 4. 2.10

24. ก าหนดให้ 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥11 เป็นข้อมลู 11 จ านวนซึง่เรียงคา่จากน้อยไปมาก ถ้าข้อมลูชดุนีม้ีคา่เฉลีย่เลขคณิต

เทา่กบัมธัยฐาน และมีสว่นเบี่ยงเบนเฉลีย่เทา่กบั 5.2 โดยที่ 5

1

i

𝑥𝑖 = 42.8 แล้ว 11

6

i

𝑥𝑖 มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 100 2. 114.28 3. 142.80 4. 157.20

𝑧 1.00 1.16 2.04 3.09

พืน้ที่ใต้เส้นโค้ง 0.3413 0.3770 0.4793 0.4990

A-NET (มี.ค. 52) 9

25. คะแนนสอบของนกัเรียน 2 กลุม่ จ านวน 7 คน และ 5 คน ซึง่ได้มกีารเรียงล าดบัคะแนนจากน้อยไปมาก ดงันี ้ กลุม่ที่ 1 : 2 , 3.6 , 4.5 , 5.5 , 6 , 7 , 8

กลุม่ที่ 2 : 2 , 5 , 5.4 , 𝑎 , 8

ถ้าสว่นเบี่ยงเบนควอไทล์ของคะแนนสอบของนกัเรียนทัง้สองกลุม่เทา่กนั แล้ว ข้อใดตอ่ไปนีเ้ป็นจริง 1. 5.5 ≤ 𝑎 ≤ 6.0 2. 6.1 ≤ 𝑎 ≤ 6.6

3. 6.7 ≤ 𝑎 ≤ 7.2 4. 7.3 ≤ 𝑎 ≤ 7.9

ข้อ 1 - 5 ข้อละ 2 คะแนน

1. ก าหนดให้ 𝐴 = {1, 2} และ 𝐵 = {1, 2, 3, 4}

เซต { 𝑓 | 𝑓: 𝐴1−1→ 𝐵 และ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑥 ทกุ 𝑥 ∈ 𝐴 } มีจ านวนสมาชิกเทา่ใด

2. ก าหนดให้ 𝐴 = { 𝑛 | 𝑛 เป็นจ านวนนบั และ 𝑛𝑛2+9 = 𝑛𝑛3−9 } 𝐵 = { 𝑛 | 𝑛 เป็นจ านวนนบั และ log 𝑛 = log(𝑛 + 1) } ผลบวกของสมาชิกทกุตวัในเซต 𝐴 ∪ 𝐵 เทา่กบัเทา่ใด

10 A-NET (มี.ค. 52)

3. ถ้า 𝐴 และ 𝐵 เป็นเหตกุารณ์ซึง่ 𝑃(𝐴′ ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵′) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.15

แล้ว 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)′ มีคา่เทา่ใด

4. พืน้ท่ีของอาณาบริเวณที่อยูร่ะหวา่งเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥 และแกน 𝑋 เมื่อ 𝑥 อยูใ่นชว่ง [−2, 1] มีคา่เทา่ใด

5. ถ้าในการศกึษาความสมัพนัธ์ระหวา่งจะนวนปีทีม่ีประสบการณ์การขาย (𝑋) และรายได้ตอ่ปี (𝑌) (หนว่ยเป็น

หมื่นบาท) ของพนกังานขายสนิค้าชนิดหนึง่ โดยใช้ข้อมลูจากพนกังาน 6 คน ได้สมการปกติของความสมัพนัธ์

เชิงฟังก์ชนัที่มีรูปสมการเป็น 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 คือ 42 = 6𝑎 + 12𝑏 และ 96 = 12𝑎 + 28𝑏

แล้วพนกังานผู้ที่มีประสบการณ์การขาย 5 ปี จะมีรายได้ตอ่ปีโดยประมาณเทา่ใด (หนว่ยเป็นหมืน่บาท)

A-NET (มี.ค. 52) 11

ข้อ 6 - 10 ข้อละ 3 คะแนน

6. ถ้า 𝑧 เป็นจ านวนเชิงซ้อนซึง่สอดคล้องกบัสมการ 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0 แล้ว 2𝑧3 + 𝑧2 + 𝑧 + 3 มีคา่เทา่ใด

7. ถ้า 𝐶 = 4𝑥 + 2𝑦 เมื่อ 3𝑥 + 𝑦 ≥ 6 , 𝑥 + 3𝑦 ≥ 6 , 𝑥 + 𝑦 ≤ 4

แล้ว คา่ต า่สดุของ 𝐶 เทา่กบัเทา่ใด

8. ก าหนดให้ 𝑎 > 1 และ 𝑏, 𝑐 > 0 ถ้า 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

และ 𝑥 เป็นจ านวนจริงซึง่ log𝑐+𝑏 𝑎 + log𝑐−𝑏 𝑎 = 𝑥(log𝑐+𝑏 𝑎)(log𝑐−𝑏 𝑎) แล้ว 𝑥 มีคา่เทา่ใด

12 A-NET (มี.ค. 52)

9. สองครอบครัวซึง่แตล่ะครอบครัวประกอบด้วย พอ่ แม ่และลกู 2 คน จะต้องถกูจดัให้นัง่รอบโต๊ะกลม 8 ที่นัง่ โดยที่เด็กแตล่ะคนจะต้องนัง่ติดกบัพอ่หรือแมข่องตนเอง จะมีจ านวนวิธีจดัได้ก่ีวิธี

10. คะแนนสอบแขง่ขนัครัง้หนึง่มีการแจกแจงปกติ โดยท่ีสมัประสทิธ์ิของการแปรผนัเทา่กบั 0.5

คา่มาตรฐานของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข เทา่กบั 1 และ 1.5 ตามล าดบั

ถ้านาย ก สอบได้ 45 คะแนน แล้ว นาย ข สอบได้ก่ีคะแนน

A-NET (มี.ค. 52) 13

เฉลย

1. 2 8. 1 15. 1 22. 3 4. 5.75 2. 4 9. 4 16. 4 23. 3 5. 16 3. 2 10. 4 17. 4 24. 2 6. 4 4. 3 11. 3 18. 1 25. 1 7. 9 5. 1 12. 1 19. 2 1. 7 8. 2 6. 2 13. 2 20. 2 2. 4 9. 544 7. 3 14. 2 21. 1 3. 0.55 10. 52.5

เครดิต

ขอบคณุ คณุ สารศิลป์ ทบัทิมทอง ส าหรับข้อสอบ

ขอบคณุ ข้อสอบ และเฉลยค าตอบ จาก Math E-Book ของ คณุ คณิต มงคลพิทกัษ์สขุ ด้วยครับ