A New N=4 Membrane Action via

Orbifold

arXiv: 0805.1997 [hep-th] に基づく寺嶋 靖治氏、藤博之氏（京大基研）との共同研究

山崎雅人　（東大本郷）2008/Jul/01, 立教大学

今日の話題： M2-branes （ M 理論のブレーン）

今日の予定

• １．準備

• ２． BLG 理論

• ３． BLG 理論のオービフォールド

• ４．真空のモジュライの解析

• ５．まとめ

• 補：最近の発展の概略

１．ちょっとした準備

D-brane とは？

D ブレーンには open string が端を持つことができる

N 枚のブレーンを重ねると SU(N) のゲージ理論ができる

ブレーンを使うことで、様々なゲージ理論を構成でき、その（しばしば非摂動的な）性質を調べる

ことができる

Dp-brane の別の見方

D ブレーンは、ゲージ理論と重力を結びつける(AdS/CFT 対応）

Black p-brane

N→∞

D ブレーン上：

ゲージ理論

Black p-brane= 超弦理論（超重力理論）のソリトン

M 理論• M 理論： Type IIA 超弦理論の強結合極限

（ 11 次元の理論）

• 11 次元超重力を低エネルギー極限として持つ

D2-brane 上の N=8 SYM → M2-brane 上の？

M2-brane 上の理論が分かれば、 M 理論が何か知る手がかりになるはず！

M2-brane と M5-brane と呼ばれる brane が存在

２． M2-brane 上の理論（ BLG 理論）

複数の M2-brane 上の理論

超弦理論： Dp-brane

M 理論 : M2-brane と M5-brane

D ブレーン上の理論はすでに知られており、10 次元の N=1 SYM の次元還元である。

複数の M2 ブレーン上の理論は？Lagrangian ？

答えは一枚の M2 ブレーンについてしか知られていなかった。

例： D2-brane には 3d N=8 SYM

BLG 理論Bagger-Lambert (and Gustavsson) (‘06-07): 3 次元の N=8 超対称性を持つ理論のLagrangian を提唱

この理論は 2 枚の M2-brane が orbifold におかれた理論であると考えられている。

根拠 : 3 次元で N=8 超対称性、SO(8) R-symmetry を manifest に持つ

また、おそらく superconformal

BLG 理論ゲージ群： SO(4)~SU(2)*SU(2)

登場人物： スカラー場

ゲージ場（二つ）

11 次元 Majorana フェルミオン

ここでは SU(2)*SU(2) 表示を用いる[van Raamsdonk]

Gauge 群の基本表現

BLG 理論の Lagrangian:

但し、

SUSY 変換

Chern-Simons 項の前の係数は量子化される

（ k: Chern-Simons の level ）

１． SO(8) R 対称性は manifest （ I の添え字）

２．おそらく共形場理論になっている

理由： Chern-Simons 項の前の係数 k は1-loop の補正を受けるだけその他の係数は SUSY によって k と関係付いている

従って、 M2-brane 上の理論を表していると考えられる。

3. BLG 理論の orbifold

論文の内容 : N=4 超対称性を持つ M2-brane 上の理

論

3 次元の N=4 超対称性をもつ新しいLagrangian を構成した。

この理論は、 orbifold におかれた M2-brane上の理論を表していると考えられる。

方法：オービフォールド

動機 ?

そもそも、 BLG 理論は本当に M2-brane 上の理論なのか ? orbifold は良い consistency check 　（どうやって orbifoldをとったらいいのかすら非自明）

Gaiotto-Witten(5 月 ) と BLG の関係 (3d N=4)?

モジュライ空間が IIA と M で一致するのは、matter content が違うのでかなり非自明

どうやって orbifold をとるか？

BLG 理論には SO(4)~SU(2)*SU(2) のゲージ群の fundamental scalars が 8 個ある

SU(2)*SU(2) の 2*2 行列表示 をつかって、あたかも U(2) の理論のように思って Douglas-Moore のように orbifold をとる

オービフォールドの Z_2 作用は、 M2-brane の残り8 次元のうち 4 次元分にマイナスで作用する

対角部分 (D) と非対角部分 (A) に分解すると、Z_2 作用ははっきりする：

フェルミオンも同様に分解する：

残る場

消去される場

オービフォールド後の作用

オービフォールドが超対称性を持つconsistent な

理論を与えるための条件もチェックできる：

Lagrangian

但し

ポテンシャル

但し

SUSY 変換

4. 真空のモジュライの解析

なぜモジュライ空間を調べるか

• 真空のモジュライは、 M2-brane が probe する幾何と一致するはず　→　 M2-brane がどのような幾何を probe しているのかわかる

• M 理論でのモジュライ空間が、 IIA でのモジュライ空間の強結合極限と一致するべき→consistency check になる

オリジナルの BLG 理論のモジュライ

• k=1

• k ：一般

[Lambert-Tong, Distler et. al. (4 月 )]

解釈：M 理論： 2 枚の M2-brane on orbifoldIIA: 2 枚の D2-brane と O2-plane （ orientifold ）

“M-fold” dihedoral group

オービフォールドされた理論のモジュライの解析

やること：ポテンシャルの最小化

3 つの branch が見つかった：

3 つの branch の意味

orbifold

orientifold

on orbifoldon

orientifoldgeneric point

M2(k=1

)

D2

モジュライ空間の一致

モジュライ空間の一致

O(4) v.s. SO(4)• 我々の解析では、オービフォールドされる前

の BLG 理論のモジュライの解析　 [Lambert-Tong, Distler et. al. ] と量子化条件が異なる

• IIA ではゲージ群は本当は SO(4) ではなくO(4) であるべき（ Z_2 の分だけ答えが違う）

LT, Distler et. al. で k→2k とした量子化条件を使わないと、オービフォールドではモジュライがIIA と合わない

５． A New Duality?

オービフォールドした後の理論を考えると、元の理論にはなかった新たな Z_2 対称性がある

この Z_2 対称性の物理的意味は？

A New Duality?

IIA の立場からは、 orientifold と orbifoldがある

From M-theory の立場からは、 二つの orbifold があるので、その二つの orbifold を入れ替える対称性がある

Duality をたどっていくと、この事実は with O2 ＋ Z_2 –orbifold と、 O2 ＋ D6-brane の間の新たな duality を示唆している (O-duality?)

まとめ3 次元 N=4 超共形場理論の新しいLagrangian を提唱した。その理論は、オービフォールドにおかれた M2-brane を表している。

M-theory での真空のモジュライ空間 は、 Type IIA のそれと、 3 つの branch すべてにおいて一致

　　　（以前の理解は、詳細において多分間違っている！）

新しい duality を提唱 ? 　（ O-duality ）

補章：最近の発展の概略

Bagger-Lambert-Gustavsson による理論の提唱

（ 3-Lie algebra による構成）

では、他に 3-Lie algebra はあるか？

No-go theorem

Metric の positivity を課す限り、 BLG の例しか本質的にない

[Gauntlett-Gutowski (5 月 )]

No-go theorem を回避するには？

一つの方法： negative norm を許す

欠点： unitarity がかなり危険（大丈夫という主張もある）

欠点を補うための一つの方法：Shift symmetry をゲージ化する

しかし、もとの N=8 SYM に戻ってしまう！

Gomis et. al. Benvenuti et. al.

Ho et. al.

Bandres et. al., Gomis et. al. Mukhi et. al.

ABJM model• Aharony, Bergman, Jafferis and Maldacena の理論：ゲージ群は U(N)*U(N) (SU(N)*SU(N)) 、 3 次元で N=6 超対称性を持つ

• k=1,2 では超対称性は N=8 に enhance する

• N=2 の時は BLG と一致する

• BLG の Lambert-Tong, Distler et. al. との解釈とは異なる（ consistent かどうかは今のところ不明）

主張： C^4/Z_k をプローブする N 枚のM2-brane を記述している