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INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

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Código FR- 17- GA

Versión: 002 Emisión 02/09/2008 Actualización 02/12/2010

a. Numérico: se encuentra el MCD de los coeficientes

b. Variable: sale la variable con el menor exponente

* Lo contrario de sacar factor común es aplicar la propiedad distributiva

a. Diferencia de cuadrados. Ej: a2 – b2 = (a - b) (a + b)

b. Diferencia de cubos. Ej: a3 – b3 = (a – b) ( a2 + ab + b2)

c. Suma de cubos. Ej: a3 + b3 = (a + b) = (a+ b ) ( a2 – ab + b2)

1 .FACTOR COMÚN

FACTORIZAR ES: Escribir una expresión algebraica Como producto de 2 o más factores

2. BINOMIOS

3. TRINOMIOS

a. Trinomio cuadrado perfecto. Ej: x2 + 2x + 1 =(x + 1)2 = (x +1) (x - 1)

X 1

b. Trinomio de la forma x2 + bx + c ejemplo: x2 – 8x + 15 = (x -5)(x-3)

Dos números que se sumados den b y multiplicados den c

c. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Se multiplica y se divide por a y se lleva a la forma x2 + bx + c

Ej: 2y2 – 7y + 3 se multiplica y se divide por 2

2(2y2 – 7y + 3) = (2y)2 – 7(2y) + 3(2) = (2y)2 – 7(2y) + 6

2 2 2

(2y – 6) (2y – 1) = 2 (y – 3) (2y -1) = (y – 3) (2y – 1)

2 2

d. Suma de cubos. Ej: a3 + b3 = (a + b) = (a+ b ) ( a2 – ab + b2)

4. POLINOMIOS

a. Por agrupación: x3 + 2x2 – x – 2 = (x3 + 2x2) – (x + 2)

= x2 (x + 2 ) – (x + 2) = (x2 – 1) (x +2)

= (x+2)(x-1)(x+1)

b. División sintética : x3 + 2x2 – x – 2 1 2 -1 -2

1 + 3 +2 1 3 2 0 Regla de Ruffinni (x -1) ( x2 + 3x +2) (x – 1) (x+2)(x +1)


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GUÍA No. 4 DE TRIGONOMETRÍA GRADO DÉCIMO Querida estudiante, los temas del tercer periodo identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas, se

le facilitarán si tienes un perfecto manejo de; factorización, y resolución de ecuaciones de primer y segundo

grado en una variable

RESOLVAMOS LA ACTIVIDAD DE REPASO.

ACTIVIDAD 1.

A. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1. 4a2x

2b – 25x

2b

2. X4 – y

4

3. (a – b)2 – (a + b)

2

4.

-

5. a3 + b

3 + a + b

6. mn –n2 + mx – nx

7. a2 + 2ab + b

2 – a

3 – b

3

8. x2 – 2xy + y

2 – xz + yz

9. m7- 8m

5 + 16m

3

10. (a2 +a)

2 + 7(a

2+a) + 12

11. a4 + a

3- 9a

2 – 9a

12. a6 + 729b

3

13. 25x2 – 80xy + 64y

2

14. n2 + n – 42

15. 9a3 – 12a

2b + 4a+ b

2

16. X21

y3 – x

3y

21

17. Cos2θ – sen

2 θ

18. Cos2θ + 2 cosθ + 1

19. Tan2x – cotx

20. 27sen3x + 8cos

3x

21. Cos7x – 8cos

5x + 16cos

3x

22. cos3x + sen

3x

23. Sen2 θ + 2sen θ + 1

24. Sen2∞ + sen∞ - 42

25. 9cot2β – 6 cotβ + 1

26. Cos4x + 3cos

3x – 4cosx

27. Senx cosy + tanx cosy

28. 4cosx – 32 + cos2x

29. 7senx – 60 + sen2x

30. Cot2∞ + 2cot∞tan∞ + tan

2∞

31. 6cos2x + 7cosx +2

32. Sen3x – cos

3x

33. Cos2x + cos

2xtan

3x

34. Sec2x + 5secx + 6

35. 4sen2x – 9tan

2x

36. cot2x – 10cotx + 25

37. cos2x + 2cosx + 1

38. cos2x – 15cosx- 100

39. tan2x – 8tanx – 33

40. csc2x + 5cscx -50

41. cot2 x– 10cotx + 25

42. tan2xsen

2x – 10tanxsen

2x

+25tan2x

ACTIVIDAD 2.

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 3x -1 =0

2. 2(x +5)=2x – 5(x -3)

3. 3F -

=

-

4.

- 1 = 0

5.

-

=

6. 6(p2 + 1)–(2p – 4)(3p + 2) = 3(5p + 21)

7. 6l2 = l + 22

8. (t + 4)2 = 2t(5t- 1) – 7(t -2)

9. 4x2 + 3x – 22 = 0

10. 12h – 4h – 9h2 =0

11. (x – 1)(x +2 – (2x– 3)(x + 4)– x+ 14=0

12.

+ m =


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OPERACIONES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las operaciones básicas con las funciones trigonométricas se efectúan de la misma forma que lo hiciste en grado

8°

Escribir tres términos semejantes a cada término dado

1. 5tanx 2. 3cot2x 3. Csc(

4. –

5. 4cos

6.

sec9x 7.

sen2x 8.

cos2(

9. -

csc(

)

ACTIVIDAD 3

A. Resolver las siguientes operaciones

Propiedades de los exponentes

a. =

=

; con y ≠ 0

b.

= xm-n; con m>n e. (xy)n =xn *yn

c. (xm)n = x m.n f. (x + y)n ≠ xn + yn

a2 + b2 = (a+b)(a-b) (a + b)2 =a2 +2ab+b2

a3 – b3 =(a-b)(a2 +ab+b2 ) (a + b)3 =a3 +3a2b+3ab2+b3

a3 + b3 =(a+b)(a2 -ab+b2 )

Los términos semejantes de una expresión trigonométrica son aquellos que involucran los

mismos productos de funciones trigonométricas del mismo ángulo, por ejemplo: 3senx.cosxy;

senx.cosx son términos semejantes

RECORDAR…

Sen2x ≠ 2senx (senx)n = sennx (sennx)m = senmnx

Sen2x = (senx)2 (senx)(cosx) = senxcosx


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1. senx + cosx + 3 senx + 5 cosx

2. tan2x + sec 2x – 5tanx + 4 tanx – 3 sec2x

3. csc(

- cot2x + 5csc(

+ 4cot2x

4.

cos2x +

sen3x -

cos2x + sen3x

5.

6. 4senx +2cosx +8senx + 4cosx

7. -9cosx + 3sen2x + 4cosx – 3sen2x

8. tanx + 2tany -6secx +4tanx

9.

csc (

–(

sec (

+(

csc (

+ sec (

10.

sen(4x) +

sen (4x) +

cosx -

cosx

11.

12. 9senx + 2cosx + 3 tanx – (tanx + secx + 2 cosx)

B. Realizar cada una de las siguientes operaciones si:

P(x) = senx + 1 Q(x)= cos2x – senx +1

R(x)= sen2x + senx S(x)= cos2x – cosx

1. P(x) + Q(x)

2. Q(x) – R(x)

3. S(x) + R(x)

4. P(x) – S(x)

5. R(x) – P(x)

6. S(x) – R(x) + [P(x) + Q(x) – 1I]

7. [R(x) + S(x) + P(x)] - [P(x) – R(x)]

8. P(x) +R(x) – [1 + S(x) – Q(x)]

RAZONAMIENTO

Proponer un ejemplo para verificar cada afirmación.

1. sen( + β) ≠ sen + sen β

2. cos( - β)≠ cos - cos β

3. tan (

≠

C. Resolver los siguientes productos

1. (cosx)(senx3cosx) 2. (tan2x)(tanxsenx)sen3x

3. (cosxsenx)(cos2xsenx)(cosxsen2x) 4. (tanx)( cos2xsenx)(cosx)

5. (cot3x) (cotxcotx)(cot2x) 6. (senxcosx)(cosx)(sen3x)(cos3x)

D. Aplicar la propiedad distributiva para resolver los siguientes productos

1. cosx(secx + 3senx) 2. 4tanx(tanx + tan3x)

3. (1 + sec3x + tanx)sec2x

4. senx (5sen4x – 2)

5. (tan2x – tanx) cotx

E. Encontrar la expresión que representa el área de cada rectángulo


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1.

Senx + 2 cosx

2.

senA + 1

Senx – 2

3.

1 - secx

Sec2x + 2secx + 1

Observa y copia en tu cuaderno

División de funciones trigonométricas Para dividir expresiones que involucran funciones trigonométricas se procede de la misma forma que en la división de expresiones algebraicas. Resolver la operación

(tan3x + 2tan2x + 3tanx + 2) ( tanx + 1) Se resuelve la división siguiendo el mismo procedimiento que se utiliza para dividir polinomios tan3x + 2tan2x + 3tanx + 2 tanx + 1

-tan3x- tan2x tan2x + tanx + 2

tan2x + 3tanx - tan2x - tanx

2 tanx + 2

- 2 tanx - 2

0

Por tanto: (tan3x + 2tan2x + 3tanx + 2) ( tanx + 1) = tan2x + tanx + 2 F. Hallar el cociente de cada división

1. (8senx + 8 4

2. (cos2x – 2cosx -3) (cosx + 1)

3. (cos4x + cos3x) (cos3x + cos2x)

4. (5tan2x – 11tanxsecx + 6sec2x) (tanx – secx)

5. (sec3x + 4sec2x + 4) (secx + 2)

6. (sen2x – 4senxcosx + 4cos2x) (senx – 8 cosx)


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G. Factorización de expresiones con funciones trigonométricas Es posible Factorizar expresiones que involucran funciones trigonométricas mediante los mismos métodos que se utilizan en la factorización de polinomios.

ACTIVIDAD 4

I. Factor común En este caso es necesario identificar un factor que aparezca en todos los términos de la expresión y aplicar la propiedad distributiva.

Factorizar las siguientes expresiones a. Sen2x + senxcosx b. 5tan22x + 25 tan2x c. 4sec3xtan2x – 2sec4xtan3x d. 12cos3xsenx + 8cos2xsen2x + 4cosxsen3x

e.

csc3x cotx -

cscx cotx

II. FACTOR COMUN POR AGRUPACION En este caso se separa la expresión en dos o más partes de igual cantidad de términos. En cada una de ellas se identifica el factor común y se aplica la propiedad distributiva. Factorizar las siguientes expresiones. a. 3cos3x + 6cos2xm+ 2cosx + 4 b. 4tan5x – 6tan4xn+ 2 tan3x + 2tan2x – 3tanx + 1 c. 3tanx – 5secx -3senxtanx + 5senxsecx III. DIFERENCIA DE CUADRADOS La diferencia de cuadrados de dos expresiones que involucran funciones trigonométricas es igual a la suma por la diferencia de las expresiones. Factorizar las siguientes expresiones. a. Cos2x – sen2x b. Sen2x – cos2x + secxsenx + cosxsecx c. Cos2x – sen2xcos2x d. Cot4x – 16cot2xcsc4x Factorizar los siguientes trinomios 1. 8cot2x + 12cotx – 8

2. Sec2u – 6secucscu+ 9csc2u

3. Cos2x - 4 + 4

4. Cot2β + 2cotβtanβ + tan

2β

5. Sec2θ + 4secθtanθ + 4 tan

2θ

6. 6sen2x – 5senx – 25

RECORDAR QUE… L a propiedad distributiva

de la multiplicación con respecto a la adición.

xy + xz = x(y + z); xy – xz = X(y – z)


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7. -11senx + 6sen2x + 4

8. 6sen2x + 7cosxsenx – 5cos2x 9. 7 senx – 60 + sen2x 10. 2 tan2x + 4 sec2x + 9tanxsecx RECORDAR QUE…

11. 15senx – 8 + 2sen2x H. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

ACTIVIDAD 5

A. SIMPLIFICACION: para simplificar una fracción en la que el numerados y el denominador son productos de funciones trigonométricas, se aplica la propiedad de cocientes de potencias de igual base.

Simplificar las siguientes expresiones

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

B. Para simplificar una fracción en la que el numerador y el denominador constan de dos o más términos, se factorizan el numerador y el denominador y se simplifican los factores comunes.

=

con b,c,d

ad = bc


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SIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

1.

2.

3.

C. Razonamiento: marcar con X la expresión equivalente a la expresión dada.

1.

2tanx – cosx - (2tanx + cosx)

2.

-

3.

4cos2x – 10senxcosx + 25sen2x 4cos2x + 25sen2x 4cos2x+ 10senx+ 25sen2x

4.

-


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IV. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

Para Factorizar sumas o diferencias de cubos de expresiones que involucran funciones

trigonométricas se sigue el mismo método que se utiliza para Factorizar expresiones de la

forma.

ó

Factorizar las siguientes expresiones

a. Sen3x – cos3x

b. Tan6x – sec6x

c. Sen3xcos3x – tan3xsec3x

d. Cos2x + cos2xtan3x

V. FACTORIZACION DE TRINOMIOS

Para Factorizar expresiones con tres términos que involucran funciones trigonométricas se

utilizan los mismos métodos empleados para Factorizar trinomios cuadrados perfectos de la

forma x2 + bx + c y trinomios de la forma ax2+ bx + c

1. Factorizar las siguientes expresiones

a. Sen2x + 2senxcosx +

cos2x

b. Tan2x – 6tanx + 9

c. Cot2x + 4cotx +4

d. Sec2x + 5secx +6

e. Csc4x -5csc2x + 4

f. 6cos2x +7cosx + 2

RECUERDA QUE…

RECORDAR QUE…

Trinomio cuadrado perfecto:

a2 +2ab + b2 =( a+b)2 ó a2 -2ab + b2 =( a-b)2

Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c se

buscan dos números r y s cuya suma sea b y su producto sea

c de tal manera que: x2 + bx + c = (x + r) (x + s)

Trinomio ax2 + bx + c

6cos2x +7cosx + 2 = (3cosx + 2)(2cosx+ 1)


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ACTIVIDAD 6

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

a. 3x + 2 = - x + 5

b.

+ 7 =

+ 5x

c.

d. y2 + 5y + 6 = 0

e. m2 + 6m – 7

f. 2p2 + 9 – 1 = 0

g. tanx =1

h. 2cosx = 3

i. 2senx + = 0

j. 2x + = 0

k. 2y =

l.

m. Cos2x - 1

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

¿Cómo surgió?

Desde la aparición misma de la trigonometría, surgieron formulas e identidades, que permitieron encontrar los

valores de las funciones trigonométricas para otros ángulos, a partir de las funciones de ángulos ya conocidos.

Aunque muchos teoremas fueron formulados en términos geométricos, estos tenían un equivalente en

términos de senos y coseno ó de otras funciones trigonométricas. Por ejemplo, a partir del teorema de

Ptolomeo; “En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos

es igual al producto de las diagonales”

Se puede establecer la identidad para el seno de la sustracción de dos ángulos

sen(

dentro de los muchos matemáticos que fueron introduciendo relaciones útiles se encuentra el francés Francois

Viéte (1540- 1603), quien completó el sistema trigonométrico de los árabes y fue el autor de fórmulas

analíticas que se emplean en la resolución de triángulos oblicuángulos; logró establecer, por ejemplo, la

proporcionalidad del ángulo opuesto correspondiente, conocido como el teorema del seno.

¿En que se aplica?

Esta parte de la trigonometría tiene aplicación en diversas actividades de la vida diaria, tales

como los movimientos realizados por relojes de péndulo por resortes que actúan como

Hemos aprendido a volar como pájaros, a nadar como los peces, pero no hemos aprendido el arte de vivir junto, como hermanos

Martin Luther King


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Código FR- 17- GA


amortiguadores, por los planetas dentro de sus orbitas y en cosas más cotidianas como los

trabajos de construcción de carreteras y edificios, aplicando en forma correcta las reglas

básicas de la trigonometría, es posible calcular medidas en gorma directa, predecir el

comportamiento de fenómenos relacionados con fuerzas, movimientos circulares y corrientes

eléctricas. La trigonometría permite también determinar la forma y las dimensiones de algún

componente básico dentro de los grandes y complejos mecanismos que vemos día tras día.

¡ME PREPARO¡

1. Hallo el valor de X

a. 2x(x + 3) – 5(x + 3) = 0 b.

2. Encuentro los valores de en el intervalo [0,2 ] que satisfacen

a. cos

b. tan = c. sen

3. Resuelvo la ecuación para X

a.

=

b.

=

En matemáticas superior, medicina e ingeniería muchas veces es necesario simplificar expresiones

trigonométricas, complicadas y expresarlas con otras equivalentes pero mas sencillas. Así, en medicina un

osciloscopio exhibe a menudo una curva representada por la expresión

y =

sen 2 x +

sen4 y se puede demostrar que:

y = sen , en ingeniería se demuestra que si la distancia R horizontal por la que viaja un objeto,

llamada alcance está dada por R =

Vo2 sen cos entonces R =

Vo2 sen

A fin de adquirir práctica en la simplificación de expresiones trigonométricas complicadas, se utilizan las

identidades y manipulaciones algebraicas fundamentales

A) 1. Dibuja un circulo de r=1 y de r=R, traza en cada uno de los ejes cartesianos, en el primer

cuadrante ubica un punto en la circunferencia, traza una perpendicular desde este punto a los ejes X y

señala el ángulo en el origen

2. Encuentra en cada circulo las funciones trigonométricas siguientes

a.

1. sen =

2. cos =

3. tan =

4. cot =

5. sec =

6. csc =

b.

1. sen =

2. cos =

3. tan =

4. cot =

5. sec =

6. csc


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Código FR- 17- GA


B) a partir de estas identidades podemos deducir otras relaciones.

C) 1. Tomo como referencia el circulo de r=1 del literal A

2. ¿qué ecuación tiene la circunferencia unitaria? Escríbela

3. En la tabla A del numeral 2 literal A ¿a que es igual sen ?

4. Sustituye estos valores en la ecuación de la circunferencia unitaria .¿qué identidad encontraste?

Escríbela, esta expresión se llama identidad trigonométrica pitagórica.

5. De la identidad trigonométrica pitagórica sen2x + cos2x = 1, despeja senx,cosx, sen2x y cos2x

6. Toma la identidad trigonométrica sen2x + cos2x = 1 y divide cada termino por sen2x, ¿qué identidad

encontraste?

7. Toma la identidad trigonométrica sen2x + cos2x = 1 y divide cada termino por cos2x, ¿qué identidad

encontraste?

8. De las identidades encontradas en los numerales 6 y 7, despeja sec2x. cxc2x, tan2x, cot2x,sec2x,

csc2x,tanx, cotx

9. Escriba en una tabla las 8 identidades fundamentales

10. Elabora una nueva tabla donde clasifiques las identidades anteriores en Recíprocas, por cociente, y

pitagóricas.

D. ¿COMO PROBAR UNA IDENTIDAD? Realmente no existe un método especifico que permita a una persona probar si una igualdad es o no

identidad. En última instancia el éxito depende de la habilidad del interesado y del nivel de

preparación que tenga en algebra sin embargo, queremos sugerir un procedimiento que facilite el

proceso de trabajo.

1. Se puede transformar el primer miembro de la igualdad hasta obtener el segundo o el segundo hasta

obtener el primero o transformar ambos miembros.

2. Si uno de los miembros contiene sólo una función trigonométrica, conviene transformar el otro

miembro en términos de esa misma función, luego compara.

3. Si los dos miembros de la igualdad parecen igualmente complicados, trate de llevarlos a una sola

función y compare, si no puede llevarlos a una sola función, transfórmelos en senos y cosenos, y

compare. Es ese caso conviene recordar las identidades fundamentales

4. Factorice y simplifique cuando sea posible

5. Algunas veces, para obtener la conversión deseada es necesario multiplicar el numerador y el

denominador de un miembro por un mismo factor.

Esto es equivalente a multiplicar la fracción por la unidad

Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los

valores de las variables donde la expresión este definida. Si la

variable es la función trigonométrica de un ángulo, entonces la

identidad se denomina trigonométrica.


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Código FR- 17- GA


6. Determine para que valores del ángulo no es válida la expresión. Recuerde no es posible la división

por cero, no existe las raíces pares de números negativas.

7. Finalmente, si aplicando todo lo anterior no logra probar que la igualdad es una identidad, usted tiene

derecho a pensar que tal vez no sea identidad. En este caso, proceda así, reemplace el ángulo por un

valor donde la expresión está definida y halle el resultado. Si los valores obtenidos son distintos en los

dos miembros de la igualdad, entonces la igualdad dada NO ES UNA IDENTIDAD.

E. Siguiendo las indicaciones anteriores, demostrar si las siguientes expresiones son

identidades o no.

ACTIVIDAD 7

1. Sec2 (1 – sen2 ) = 1

2.

-

=

3.

= 2 tan

4.

=

5. 1 – tan4 = sec4 (cos2 - sen2

6. cos (sec - cos ) = sen2

7. cot (tan + cot ) = csc2

8. sec ( sec = tan2

9. (csc + 1) (csc - 1) = cot2

10. (csc - cot ) (csc + cot ) = 1

11. Cot + tan = sec * csc

12.

= 1 + cos

13.

-

= 2 cotA

14. tanB*cscB = secB

15. tan2 - sen2 =tan2 *sen2

Copiar y aprender para evaluación el modelo pedagógico de la institución

RECORDAR QUE LO QUE EL HOMBRE PEINSA DE SI MKISMO DETERMINA SU DESTINO… H.D.THOREAU


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Código FR- 17- GA


RESUMEN DE IDENTIDADES


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Código FR- 17- GA


Usted es el artífice de su propio destino

Ningún esfuerzo quedará sin su merecida recompensa

SIUN


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Código FR- 17- GA


ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

ACTIVIDAD 8

a. ¿QUÉ ES UNA IDENTIDAD?

b . ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

c. Resuelve los siguientes ecuaciones (igualdades) e indica para que valores la

respectiva variable la igualdad es cierta.

a. 3x – 6 = 0

b.

m + 5 = 2 (m +

)

c. y2+ 5y +6 =0

d. a + b = 7

e. 2y2 – 7(y+3) = (y +5)(y-2)

f. + =

g. x4 – 10x2 + 9 =0

h. 3 2x + 5 = 3 5x -1

i. 10.000= 10k

j. log2(x2 – 5x + 14 )= 3

k.

log5(x – 2)=3log5 2 -

log5 (x – 2)

l. Despejar “x” en 3log5x - 2 log5 x =1

¡RECUERDA!


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Código FR- 17- GA


RECUERDA QUE…

1. a.b = 0 entonces a =0 y/o b=0

2. am = an entonces m =n

3. ax2 + bx + c =0 entonces x =

Solución de una ecuación de segundo grado por formula general

Una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor de las variables.

Ejemplo: sen2 + cos2 = 1 Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de la variable.

Ejemplo: 3y +1 =0 Una ecuación es trigonométrica cuando la incógnita (variable) es el ángulo de una función

trigonométrica. Ejemplo: tan2

Para resolver una ecuación trigonométrica deben tenerse en cuentan 2 aspectos.

1. RESOVER LA PARTE ALGEBRAICA: que consiste en aplicar las identidades fundamentales y las propiedades del álgebra con el objeto de escribir la ecuación en términos de una sola función.

2. RESOLVER LA PARTE TRIGONOMETRICA: consiste en hallar los valores del ángulo que satisfacen la ecuación.

Ejemplo; cos2x + 2 cosx – 3 = 0 para 0

Esta ecuación de que grado es?

Resuelve la ecuación por factorización

Recuerda que si a.b =0 entonces a=0 y/o b=0

Que valores puede tomar x

Si el valor de x no lo hubiéramos restringido al intervalo [0,360], ¿Cuál sería la solución?

3. Resuelve las siguientes ecuaciones

a) 3tan2 - 2 sec2 + 1 =0; para 0°

b) 4cos2 - 2 ( 1 + )cos + =0; para 0°

c) tanx senx - senx = 0; para 0°

d) sen + cos = 1; para 0°

ACTIVIDAD 9. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES.

1. csc + cot =

2.

+ cot = 2

3.

4. sen

=0

5. sen2x + 2senx – 3 =0

6. 2 sen2 x + cos2x – 1 =0

7. Cos2x – cos x =0

Cuando la solución de la ecuación se toma en el intervalo [0°,360°], la solución se denomina básica o fundamental.


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8. Sec2 = 2tan2

9. Senx – cosx =

10. Tan2 + sec - 1 =0

11. cscx – 3 + 2 senx =0

12. sec2x + tanx =1

13. sen2x – cosx =0

14. 3tanx – 6=0

15. tan

16. 2sec

17. Sen2

18. Sen . Cos2

19. Cot2

20. 4sen4 cos2

21. 2cos2x =senx + 1

22. Sen2x =2tan2x

RECUERDA QUE:

sen(-

cos(-

tan(-

cot(-

sec(-

csc(-


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sen2 cos2

Sen

1- sen2 + cos2 =1

cos2 2

cos

cot2 = csc2 - 1

IDENTIDADES FUNDAMENTALES cot =

ES UNA IGUALDAD QUE SE PITAGÓRICAS 2- 1 + cot2 = csc2

CUMPLE PARA TODOS LOS VALORES

DE LAS VARIABLES csc

1 = csc2 - cot2

tan2 = sec2 - 1

tan =

3- tan2 + 1 = sec 2 sec

1 = sec2 - tan2


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sen cos

4- tan

cos

COCIENTES

cos = cot . sen

5- cot

sen =

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

ES UNA IGUALDAD QUE SE

CUMPLE PARA TODOS LOS VALORES sen

DE LAS VARIABLES 6- sen csc

RECÍPROCAS cos

7- cos

sec

tan

8- tan

cot


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resumen de secciones cónicas

Elementos: radio ( r ), centro( c )

CIRCUNFERENCIA X2 + Y2 = r2 C = (0,0) radio = ( r )

X2 + Y2 = 1 C = (0,0) radio = (1) circunferencia unitaria Elementos; Eje focal ( eje de simetría), vértice, foco, directriz Y2 = 4PX eje focal “X” P> 0 derecha F = ( P,0)

V= (0,0) P<0 izquierda X = - P X2 = 4PY eje focal “Y” P> 0 arriba F = (0,P)

V= (0,0) P<0 abajo Y = - P PARÁBOLA (Y – k)2 = 4P( x – h ) eje focal “X” F = (h + P, k)

V = ( h, k) es y = k x = h – p

(X –h)2 = 4P( y –k ) eje focal “Y” F = (h, k + P)

V = ( h, k) es x = h y = k – p

+

= 1 c = (0,0) V1 = (a1, 0) V2 = ( - a, 0) F1 = (c, 0) )

F2= (-c, 0) a vértice

b eje menor a2 = b2 + c2

C foco eje mayor “x” ELIPSE Eje menor “y”

Elementos

+

= 1 c=(0,0) V1=(0 , a1) V2=(0, - a) F1=(0, c) F2=(0, c) Centro a vértice

Vértices b eje menor Focos eje mayor “y” Eje menor “x” Eje mayor Eje menor

a2 = b2 + c2

+

=1 c=(h,k) V1=(h +a1, k) V2=(h - a, k)

e =

(exentricidad) F1 = (h+c ,k) F2 =(h-c, k)

Eje mayor “x” Eje menor “y”

+

=1 c=(h,k) V1=(h, k+a) V2=(h, k -a)

F1 = (h, k+c) F2 =(h, k- c) Eje mayor “y”


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Eje menor “x”

*

-

= 1 c = (0,0) Eje focal “X”

Asíntotas Y =

; Y= -

a vértice V1 = (a1, 0) V2 = ( - a, 0) b eje conjugado F1 = (c, 0) F2 = (-c, 0)

C foco D= x

I = Y Re c2 = a2 + b2 abre en “x”

HIPÉRBOLA *

-

= 1 c = (0,0) Eje focal “Y”

Asíntotas Y =

; Y= -

Elementos a vértice V1 = (0,a) V2 = ( o, - a) Centro b eje conjugado F1 = (0, c) F2 = (0, -c)

Eje mayor C foco D= X Re Eje conjugado I = Y Vértices c2 = a2 + b2 abre en “y”

Focos

Asíntotas *

-

= 1 a = b c2 = a2 + b2

*

-

= 1 c = (h,k) Eje focal “X”

Asíntotas Y -k =

;

Y -k= -

V1 = (h - a, k) V2 = (h + a, k) F1 = (h -c, k) F2 = (h +c, k)

*

-

= 1 c = (h,k) Eje focal “Y”

Asíntotas Y -k =

;

Y -k= -

V1 = (h , k - a) V2 = (h , k + a) F1 = (h , k -c) F2 = (h , k +c)

SE LOGRAN MÁS

CAMBIOS CON EL AMOR

QUE CON LA CRÍTICA


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SECCIONES CÓNICAS

¿Cómo surgió? Apolonio de Persa (262- 200 a.c ) fue un matemático y astrónomo griego de gran talento que escribió sobre gran variedad de temas matemáticos, su fama procede esencialmente de sus secciones cónicas, en donde el método utilizado está mucho más próximo a los métodos de geometría analítica actual que a las puramente geométricas. Los griegos de la época de PLATON consideraban que las secciones cónicas (ELIPSE, PARÁBOLA, E HIPERBOLA) procedían de la intersección de un cono con un plano (de ahí el nombre de secciones cónicas), uno de los predecesores más importantes fue Menecmo ( 375 -325 a.c) alumno de Eudoxio, a quien se le atribuye el descubrimiento de las secciones cónicas, lo que le permitió resolver el problema de los oráculos de Delos. Menecmo descubrió las propiedades de la parábola y de la hipérbola que corresponden en coordenadas cartesianas a las relaciones que resultan de la proporción continua x2 = ay, y2 = ax, xy = ab. No se sabe como partiendo del método de obtención de las seccines cónicas obtuvo Menecmo las ecuaciones xy = ab, y2 = bx, necesarias para la resolución de la duplicación del cubo. Finalmente vale la pena resaltar que Apolonio demostró que no es necesario tomar secciones perpendiculares a un elemento del cono, es suficiente con variar a partir de un cono ordinario la inclinación de los planos que lo cortan. También se debe a Apolonio la idea de la superposición de dos conos. El vértice de uno apoyado en el del otro,

de tal manera que sus ejes coincidan.

¿en que se aplican? Las tres secciones cónicas no degeneradas (parábola, elipse e hipérbola) tienen importantes aplicaciones prácticas. La parábola, por ejemplo da origen a una superficie conocida como ´paraboloide, modelo utilizado para la transmisión y recepción de señales de comunicación, muy conocidas como antenas parabólicas. La hipérbola, es el modelo comúnmente utilizado en navegación para localizar un sitio específico, mediante el conocimiento de cierta información en tres putos distintos. Un caso muy espacial de la elipse es su uso para el tratamiento de cálculos renales por resonancia, con más exactitud, el tratamiento de cálculos renales se basa en la propiedad reflexiva de la elipse. Un electrodo se coloca en un foco de la elipse y el paciente queda ubicado en el otro foco, de tal manera que cuando el electrodo es descargado se producen ondas ultrasónicas que golpean la pared de la elipse y se reflejan en el cálculo (perdiéndose poca energía en la reflexión) la energía descargada ene l cálculo renal la pulveriza en pequeños fragmentos que serán eliminados por las vías urinarias.

DEFINICION DE CÓNICA Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una hipérbola.

Hagamos un esquema de lo que hemos dicho:

Cortamos una superficie cónica por un plano que no pase por su vértice y

llamamos α al ángulo que forma el eje del cono con la generatriz del mismo y,

llamamos β al ángulo que forma el plano con el eje del cono.

Según la relación entre estos ángulos, ambas superficies se cortarán en:


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• una circunferencia si β = 90º

• una elipse si α < β < 90º

• una parábola si α = β

• las dos ramas de una hipérbola si α > β Las cuatro secciones cónicas básicas se ilustran en las siguientes figuras:

OBSERVA: desde la posición izquierda, en la que el plano es perpendicular al eje, este se ha ido inclinando cada vez más, en las tres primeras posiciones el plano solamente corta una de las hojas de la superficie cónica, pero cuando un plano llega a ser paralelo a dos generatrices ( cuarto caso) entonces el plano corta a las dos hojas en la superficie cónica, de la cual resulta la hipérbola que es una curva con dos ramas.

ME PREPARO ACTIVIDAD 1 1. Resuelvo las ecuaciones por competición de cuadrado

a. X2 + 2x – 3 = 0 b. Y2 – 5y + 6 =0 c. -8 – 23m + 3m2 =0

2. Completa el cuadrado en x , en y o en xy, para transformar cada expresión en una de las formas siguientes A(x – h)2 + B(y – k)2 + C; A(x – h)2 + B(y – k); A(x – h) + B(y – k)2 ; en donde h, k, A, B, C son constantes. a. X2 + 4x – 2y + 6 b. Y2 -10y + 8x + 41 c. X2 + y2 – 4x – 6y + 12

3. Hallo la distancia entre los puntos dados. a. (6,4) y (8,11) b. (0,0) y (5,13) c. ( a,b) y ( -a,-b) d. (x, 4x) y ( -2x, 3x) si x >0

El perdón es el rostro

Más honesto del amor


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TALLER DE REFUERZO ACTIVIDAD 2 1. Dado los puntos A y B y cuyos valores correspondientes son ( -2,6) y ( 8,24) respectivamente

encuentre la distancia entre A y B

2. Encuentre el valor de x si la distancia entre los puntos M =(3,5) y N=(x,8) es 3. ¿El triángulo de vértices A=(10,5); B=(3,2); C=(6,-5), es rectángulo? 4. Encuentre la longitud de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos

a. A=(3,2); B=(7,-1); C=(-4,-5) b. P=(0,4); Q=(0,5); R=(12,4)

5. Comprueba que el triángulo de vértices A= (2,3); B= (-1,6); C= (-4,3) es rectángulo isósceles. 6. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A=(2,6) y B=(8,10) 7. Encuentra las longitudes de las medianas del triangulo de vértices P=(3,1); Q =(-6.2) y R=(2,-7) 8. Halla la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A=(-8,-2) y

B=(5,7)

9. Grafica la recta que pasa por (1,2) cuya pendiente es

10. La recta contiene los puntos A= (1,3) y B= (4,6) y la recta contiene los puntos C= (5,8) y

D= (-2,1). Determinar si y son paralelas o perpendiculares

11. Si una recta pasa por el punto A= (2,8) y tiene pendiente

, halla su ecuación

12. Halla la ecuación de la recta que pasa por (

y es paralela a la recta

x + 3y = 1 13. Halla el valor de K de tal forma que la erecta 2kx + y +K =0, pase por el punto (0,3) 14. Escribe la ecuación de la recta que satisfaga las siguientes ecuaciones:

a. Intercepto X=3; intersección Y=2

b. Intersección X=

; intersección Y= - 2

15. Calcula la pendiente y la ordenada en el origen para las rectas siguientes a. X – 3y + 2 =0 b. 2x – 3y + 12 = 0

16. Graficar las siguientes funciones

a. f(x) = -

x + 4

b. f(x) = - x2 + x – 6 c. g(x)= sen2x d. f(x)= 2senx + senx e. f(x)= 3sen(3x +30)

f. f(x)= 6x2 + 8x + 2 g. f(x) = 2 senx h. f(x)= senx+ cosx i. f(x) – 4 cos2x j. f(x)= - 3 sen (3x-30)

LA CIRCUNFERENCIA

ACTIVIDAD 3

1. Dibuja el punto (3,4) en el plano cartesiano

CIRCUNFERENCIA: es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya

distancia a un punto fijo, llamado centro es constante, la distancia fija se

llaman RADIO


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2. Con la ayuda de la regla marca la distancia de 2 cm desde el punto (3,4) en todas las direcciones mayor número de veces posibles

3. Une los puntos resultantes 4. ¿Qué figura geométrica de los vistas en años anteriores obtuviste? 5. Haz el mismo proceso en otro plano, desde el punto 1 al 4 pero con el compas en vez de regla 6. Dibuja en un plano cartesiano los puntos M= (3,4) y N = (6,6) 7. Une estos dos puntos y encuentra la distancia entre ellos 8. Haciendo centro en m hasta n dibuja una circunferencia

9. Que nombre recibe el punto M y la distancia 10. Dados los puntos de coordenadas (x,y) y (h, k) encuentra la distancia entre ellas 11. Únelas a través de un segmento 12. Que nombre recibe la distancia entre los puntos 13. Eleva ambos lados de la ecuación encontrada en el punto 10. Al cuadrado 14. Escríbela ecuación obtenida en los numerales 6,7 y 13

PARA RECORDAR

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA:

a. Forma ordinaria, estándar o implícita: la circunferencia de centro c =(h, k) y radio r >0,

está dada por la ecuación (x-h)2 + (y-k)2 =r2

b. Forma general de la circunferencia: x2 + y2 +Bx +Ey +F =0 x2+ y2 siempre tienen el mismo coeficiente

1.

2. Punto medio del segmento = (

,

)

3.

m1 = m2

4.

m1 * m2 = - 1; m1 = -

ó m2 = -

5. Pendiante de una recta m =

6. La distancia d, de un punto p= (x0,y0) a una recta de ecuación Ax + By + c =0 es d=


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ACTIVIDAD DE EJERCITACIÓN

ACTIVIDAD 4 A. Determina la ecuación ordinaria y grafica la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas 1. Centro (0,0), radio=R 2. Centro (3,2), radio =5

3. Centro (

, radio = 6

4. Centro (0,0), radio = 4 B. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia y la gráfica

1. Centro (4,0) y pasa por (- 1,3)

2. Centro (0,0) para por (

)

3. El diámetro es el segmento que une los puntos (-4,2) y (6, -4) C. Si la ecuación de una circunferencia es (x-3)2 + (y + 4)2 = 36, demuestra que el punto (-1,-3) es

interior a la circunferencia y el punto (- 4,1) es exterior

EJERCITÉMONOS ACTIVIDAD 5

1. Halla la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 =0 y 2x + 7y + 9 =0

2. Determina la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro tiene por extremos a los puntos (- 3, -2) y (-1,4)

3. Grafica la circunferencia x2 + y2 – 2x + 4y – 11 =0, hallando el centro y el radio 4. Grafica la circunferencia 2x2 + 2y2 – x =0 hallamos centro y radio 5. Demuestra si el punto (2,3) pertenece o no a la circunferencia x2+y2– 4x+ 6y – 3 =0 6. Encuentra la ecuación de la circunferencia de radio 2, concéntrica con la circunferencia de

ecuación x2 + y2 – 4x + 2y – 3=0 7. Determina l ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A=( 4,-2); B=(.5,1);

C=(2,2) 8. Dibuja 2 circunferencias

a. Tangentes b. Secantes c. Concéntricas

9. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A=(6,2); B=(8,0); y cuyo centro está sobre la recta 3x + 7y + 2 =0

10. Escribe que es lo que más te gusta de tu colegio

LA PACIENCIA EN EL HOMBRE ES EL

TERTIMONIO DE SU SABIDURIA


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LA PARÁBOLA

El estudio de la parábola es de gran importancia en algunos fenómenos físicos como el tiro parabólico y los efectos de propagación de ondas.

CONSTRUCCION DE LA PARÁBOLA

ACTIVIDAD 6. Para construir una parábola se necesita:

Una escuadra que llamaremos ABC, con ángulo recto en B

Un hilo con la misma longitud del cateto AB que llamaremos L PROCEDIMIENTO

1. En un hoja trazamos una recta que llamamos y marcamos un punto externo que denotamos F

2. En A se sujeta un extremo del hijo y el otro extremo se fija en F

3. El cateto de la escuadra se coloca sobre la recta d

4. Se templa el hilo con un lápiz, haciendo coincidir con

el cateto en el punto P, formando así el segmento 5. Manteniendo el hilo templado con el lápiz se desliza la

escuadra a lo largo de la recta d

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA En una parábola podemos reconocer los siguientes elementos:

EJE DE SIMETRIA: recta que contiene al foco y al vértice y además permite reflejar una rama de la parábola sobre la otra.

VÉRTICE: punto de la curva que se intercepta con el eje de simetría, el vértice es el punto medio entre el foco y la recta directriz.

FOCO: punto ubicado sobre el eje de simetría, que se encuentra en la misma distancia del vértice que la directriz

DIRECTRIZ.: Recta perpendicular al eje de simetría que se encuentra a la misma distancia del vértice que el foco.

CUERDA FOCAL: segmento que une dos puntos de la parábola pasando por el foco.

LADO RECTO: Es la cuerda focal perpendicular al eje de simetría, su longitud es 4 veces la distancia del vértice al foco.

LA PARÁBOLA : es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo llamado foco (F), y una recta fija, llamada

directriz. ( , ambas contenidas en el mismo plano


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PROPIEDAD INTERESANTE DE LA PARABOLA Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos: un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión. Recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco. Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros de automóviles y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa está en el foco.

ACTIVIDAD 6 ECUACION CANÓNICA CON VÉRTICE (0,0)

d = d

( )2 = ( )2

COMPLETAR

Y2 = 4PX

d = d

( )2 = ( )2

COMPLETAR X2 = 4PY

Análogamente podemos encontrar la ecuación canónica de una parábola según el eje de simetría y la orientación de sus ramas.

LA ECUACION CANÓNICA DE UNA PARÁBOLA CUYO EJE DE SIMETRIA COINCIDE

CON EL EJE “X” Y SU VÉRTICE ES EL ORIGEN, TIENE LA FORMA: y2 = 4Px


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ECUACION CANÓNICA CON VERTICE (h, k) Consideremos una parábola con vértice (h,k) y el eje de simetría paralelo al eje Y Si el grafico de la parábola abre hacia abajo la ecuación es Consideremos una parábola con vértice (h, k) y eje de simetría paralelo al eje X Si el grafico de la parábola abre hacia la izquierda la ecuación es

LA ECUACION CANÓNICA DE UNA PARÁBOLA CON EL EJE DE SIMETRIA

PARALELO AL EJE “X” Y VERTICE (h, k) ES DE LA FORMA (y-k)2 = 4p(x-h)


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Parábolas con vértice (h, k) y eje de simetría paralelo al eje Y

Parábolas con vértice (h, k) y eje de simetría paralelo al eje X

ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA

La ecuación general de la parábola con eje de simetría paralelo al eje “x” es de la forma y2 + Ay +Bx + C =0,

con A, B, C R Análogamente… La ecuación general de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje “y” es de la forma

x2 + Ax +By + C =0, con A, B, C R

Consideremos la ecuación de la parábola con vértice en el punto (h, k) y con eje de simetría paralelo al eje “x” desarrollamos el cuadrado, efectuamos el producto, transponemos términos y ordenamos así:

(y – k)2 = 4p(x – h) y2 – 2yk + k2 = 4px – 4ph y2 – 2yk + k2 - 4px + 4ph = 0

si llamamos A = -2k, B= - 4py, C= k2 + 4ph, constantes reales, obtenemos la ecuación general de la parábola.

En el caso de las parábolas con ejes paralelos a “y”, A= - 2h, B= - 4py, C= h2 – 4pk


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De otra parte, en los estudios generales de la geometría analítica se conviene en denotar por Ax2 + Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F =0, o la ecuación general de segundo grado con dos variables en la que el término Bxy se refiere a las curvas cuyos ejes de simetría no son paralelos a los ejes coordenados.

Ejemplo 1:

Dada la ecuación + 6x = 0, halla la ecuación canónica de la parábola, indica el vértice, el foco y la directriz. ¿Cuál es el eje de la parábola?

Escribimos la ecuación en la forma x =

y obtenemos que 4p= – 6, de donde

p=

< 0.

Con estos datos sabemos que el foco está en el punto (–

, 0), el vértice es el origen

de coordenadas y la directriz es la recta de ecuación X =

; El eje de la parábola es el

eje x. Trata de pensar ahora que ocurre si el vértice no está en el origen, para orientarte damos algunos ejemplos.

Ejemplo 2: Dada la ecuación y2 - 6y - 4x + 17 = 0, hallar la ecuación canónica de la parábola, indica el vértice, el

foco y la directriz. ¿Cuál es el eje de la parábola?. Traza la gráfica. Completando cuadrados en la variable y tenemos (y - 3) 2 - 9 – 4x + 17 = 0 (y – 3)2 – 4x + 8 = 0

X =

X =

(y – 3 )2 + 2

Obtenida la ecuación de la parábola en forma normal leemos que el vértice es el punto V(2, 3), que , p = 1 y por lo tanto el foco es F(3, 3) y la directriz tiene ecuación x = 1. El eje de la parábola es la recta que contiene al vértice y al foco, luego tiene ecuación y = 3.

Ejemplo 3: Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en (– 2, 4) y foco en el punto (– 2, 3) Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical y tiene ecuación x = – 2 , además abre hacia abajo ya que p = – 1 , entonces se sabe que la directriz tiene ecuación y = 5.

La ecuación normal o canónica de la curva dada es y – 4 = –

ACTIVIDAD 7. a. Encontrar la ecuación canónica de la parábola con foco es f =(3, 0) y directriz x =3 b. Encontrar la ecuación de la parábola con foco f = ( 4, 5) y su vertiese V = ( 4, 2) c. Encontrar la ecuación canónica de la parábola con foco F= ( -2, 1) y directriz x =2 d. Dada la parábola con vértice en (2, 1) y directriz es Y= 2, determinar su ecuación canónica y las

coordenadas del foco.

La persona inteligente se recupera de un fracaso, la que no lo es

nunca se recupera de un éxito.


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ACTIVIDAD DE NIVELACION GRADO DECIMO

TERCER PERIODO 1. Hallar la distancia entre cada par de puntos

a. (-6, -2) y ( -1, -5)

b. (

y (-

c. (-10, -3) y ( 7, -9) 2. Determinar si la ecuación corresponde a una recta vertical u horizontal

a. 3x = 4 b. Y – 3=0 c. 5y =0 d. 4x =8

e. Y = -1 f. X = y g. Y= 2 –x h. X= 2y

3. Encuentra el tercer miembro para que cada binomio se pueda expresar como trinomio cuadrado perfecto a. X2 – 30x + … b. X2 – 3x + … c. X2 + 8x + …

d. X2 +

+ …

4. Determina el foco y la directriz de cada una de las siguientes parábolas: a. Y = 20x2 b. 18x – y2 =0 c. X2 – 50y =0 d. 2x2 + 6y =0

5. Halla el vértice de cada una de las siguientes parábolas: a. X2 + 10x = 18y b. X2 – 18x = -14y c. X2 + 20x = - 22y d. X2 =- 16y

6. Halla la ecuación de cada una de las siguientes parábolas cuyo vértice es V y cuyo foco es F a. V=(1,2) y F=(1,9) b. V=(3,7) y F=(3,20) c. V=(6,5) y F=(6,- 10) d. V=(4,8) y F=(4,-6)

7. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto ) =(-4,-3) y tiene un punto en el origen

8. Graficar a. y = 2x -3 b. y = -2x +3 c. y= x2 + 2x +2 d. y = - x2+ 2x -2

e. y = -

senx

f. y = -

sen2x

g. y = senx + cosx h. y = senx – cosx i. y= senx * sen 2x j. y =cosx + 3cosx k. y =tan2x l. y= 2 secx


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ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACION GRADO DECIMO

TERCER PERIODO

1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: a. x2 + y2 − 2x − 4y +1 = 0 b. 2x2 + 2y2 − 2x − 2y + 9 = 0 c. x2 + y2 − 4x + 6y +13 = 0 d. x2 + y2 − 4x − 6y +17 = 0

2. Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A= (0,6), B(1,5) y cuyo centro se encuentra sobre la recta definida por la ecuación x + y = −1 .

3. Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación 2x − 3y + 5 = 0

, y está centrada en el punto (−1,−2) 4. La intersección de las rectas L1 : 2x − y + 3 = 0 y L2 : 4x + y − 2 = 0 es el centro de una circunferencia que es

tangente a la recta L3 : x − y +1 = 0 . 5. Determina la ecuación canónica de la parábola con vértice en (1, 3) y foco en (2, 3). 6. Determine la ecuación canónica de la parábola cuya directriz es paralela al eje y, y pasa por los puntos (0, 0),

(– 1, 2), (– 1, – 2) 7. Determine la ecuación canónica de la parábola –9y2– 8x – 3 = 0 8. Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por los puntos (2, 3), (4, 3), (6, –

5). 9. A una distancia horizontal de 80 m de la base de un rascacielos, se observa en la parte superior, la base de un

adorno con un ángulo de elevación de 78,99º y el punto más alto del adorno con un ángulo de elevación de 79,24º. ¿Cuál es la altura del adorno?

10. Prueba las siguientes identidades:

a.

b.

Recuerda: el éxito que tengamos, depende del esfuerzo que hagamos para obtenerlo

a. numéricos328b794758d31901.jimcontent.com/download/version...csc x cotx - cscx cotx ii. factor...

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