a problémamegoldás, a modellalkotás és a szövegértés fejlesztése a matematikában

A problémamegoldás, a modellalkotás és a szövegértés fejlesztése a

matematikában

2009. november 18.

Lukács Judit

[email protected]

OKOK

Nemzetközi mérések

Kompetencia mérések

Érettségi

A munkában és az életben jelentkező kompetenciaigények

A PISA-felmérés tartalmi kereteMatematikai eszköztudás

„…olyan gondolkodásmód, amely hozzásegíti a diákokat a matematikailag leírható mindennapi problémák megértéséhez, modellezéséhez és megoldásához.”•A feladat tartalmi kategóriája: Mennyiség

Változások és relációk

Tér és alakzat

Bizonytalanság

•A feladat készségosztálya: Reprodiktív

Integratív

Kreatív

•A feladat kontextusa: Személyes

Közösségi, társadalmi

TudományosForrás: Balázsi Ildikó: A PISA-ról közhelyek nélkül – ami az újságcikkekből kimaradt. http://www.oecd-pisa.hu/

Példafeladatok – PISA matematika

A szingapúri Mei-Ling cserediákként három hónapra Dél-Afrikába készül. Szingapúri dollárt (SGD) kellett dél-afrikai randra (ZAR) váltania.

1. kérdésMei-Ling megtudta, hogy a szingarpúri dollár és a dél-afrikai rand közötti átváltási arány a következő: 1 SGD = 4,2 ZAR. Mei-Ling 3000 szingarpúri dollárt váltott dél-afrikai randra ezen a valutaárfolyamon. Mennyi pénzt kapott Mei-Ling dél-afrikai randban?

2. kérdésAmikor Mei-Ling 3 hónap után visszatért Szingapúrba, még maradt 3 900 ZAR-ja. Ezt visszaváltotta szingarpúri dollárra, és észrevette, hogy a valutaárfolyam megváltozott: 1 SGD = 4,0 ZAR. Mennyi pénzt kapott Mei-Ling szingarpúri dollárban?

Forrás: Balázsi Ildikó: A PISA-ról közhelyek nélkül – ami az újságcikkekből kimaradt. http://www.oecd-pisa.hu/

Példafeladatok – PISA matematika

Egy tévériporter az alábbi diagramot mutatva a következőket mondta: „A diagram szerint a betörések száma óriásit nőtt 1999-ben 1998-hoz képest.”

Forrás: Balázsi Ildikó: A PISA-ról közhelyek nélkül – ami az újságcikkekből kimaradt. http://www.oecd-pisa.hu/

Mit gondolsz, helyesen értelmezte a riporter a diagramot? Válaszodat indokold is meg!

Példafeladatok, kompetenciamérés, 2009

Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/orszmer2009/okm2009_6_evfolyam_a.pdf



Gombos úr gabonatermesztéssel foglalkozik, és az aratás előtt szeretné megbecsülni, hogy az idei aszályos évben hány kg gabona várható 2,5 hektáros termőföldjén. Egy 5 négyzetméteres területen „próbaaratást” végez.

Írj egy matematikai módszert arra, hogy a próbaaratás alapján hogyan lehet kiszámítani, hogy mennyi lesz majd a várható termés!

1 hektár = 10 000 négyzetméter

Érettségi eredmények - középszint

Vizsgatárgy 2001-2003 átl.

2005 2006 2007 2008 2009

Magyar nyelv és irodalom

3,40 3,49 3,40 3,47 3,39 3,63

Történelem 3,50 3,69 3,72 3,48 3,67 3,59

Matematika 3,17 A vizsga megismétlése

miatt nem értelmezhető

3,32 2,82 2,95 3,07

Angol 3,86 3,33 3,24 3,69 3,66 3,83

Német 3,74 3,43 3,43 3,65 3,46 3,46

Fizika 3,21 3,76 3,64 3,46 3,74 3,81

Kémia 3,32 3,63 3,52 3,69 3,85 4,09

Biológia 3,67 3,82 3,91 3,45 3,32 3,54

Informatika 3,75 3,40 3,60 3,83 3,46 3,59

Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/gyorsadatok_2009_tavasz.ppt

Példafeladatok érettségi - középszint

Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/k_mat_09maj_fl.pdf

Egy ruházati nagykereskedés raktárában az egyik fajta szövetkabátból már csak 20 darab azonos méretű és azonos színű kabát maradt; ezek között 9 kabáton apró szövési hibák fordulnak elő. A nagykereskedés eredetileg darabonként 17 000 Ft-ért árulta a hibátlan és 11 000 Ft-ért a szövési hibás kabátokat. A megmaradt 20 kabát darabját azonban már egységesen 14 000 Ft-ért kínálja. Egy kiskereskedő megvásárolt 15 darab kabátot a megmaradtakból. Ezeket egyenlő valószínűséggel választja ki a 20 kabát közül.

a) Számítsa ki, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kabátok között legfeljebb 5 olyan van, ami szövési hibás! (A valószínűséget háromtizedesjegyre kerekítve adja meg!)

b) Legfeljebb hány hibás kabát volt a 15 között, ha a kiskereskedő kevesebbet fizetett, mint ha a kabátokat eredeti árukon vásárolta volna meg?

Példafeladatok érettségi - középszint

Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/k_mat_09maj_fl.pdf

Egy vetélkedőn részt vevő versenyzők érkezéskor sorszámot húznak egy urnából. Azurnában 50 egyforma gömb van. Minden egyes gömbben egy-egy szám van, ezekkülönböző egész számok 1-től 50-ig.

a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az elsőnek érkező versenyző héttelosztható sorszámot húz?A vetélkedő győztesei között jutalomként könyvutalványt szerettek volna szétosztani a szervezők. A javaslat szerint Anna, Bea, Csaba és Dani kapott volna jutalmat, az egyes jutalmak aránya az előbbi sorrendnek megfelelően 4 : 3 : 2 : 1 . Közben kiderült, hogy akinek a teljes jutalom ötödét szánták, önként lemond az utalványról. A zsűri úgy döntött, hogy a neki szánt 16 000 forintos utalványt is szétosztják a másik három versenyző között úgy, hogy az ő jutalmaik közötti arány ne változzon.

b) Összesen hány forint értékű könyvutalványt akartak a szervezők szétosztani aversenyzők között, és ki mondott le a könyvutalványról?

c) Hány forint értékben kapott könyvutalványt a jutalmat kapott három versenyzőkülön - külön?

Példafeladatok érettségi – emelt szint

Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/e_mat_09maj_fl.pdf

András edzőtáborban készül egy úszóversenyre, 20 napon át. Azt tervezte, hogy naponta 10 000 métert úszik. De az első napon a tervezettnél 10%-kal többet, a második napon pedig az előző napinál 10%-kal kevesebbet teljesített. A 3. napon ismét 10%-kal növelte az előző napi adagját, a 4. napon 10%-kal kevesebbet edzett, mint az előző napon, és így folytatta, páratlan sorszámú napon 10%-kal többet, pároson 10%-kal kevesebbet teljesített, mint a megelőző napon.

a) Hány métert úszott le András a 6. napon?

b) Hány métert úszott le összesen a 20 nap alatt?

c) Az edzőtáborozás 20 napjából véletlenszerűen választunk két szomszédos napot. Mekkora a valószínűsége, hogy András e két napon együttesen legalább 20 000 métert teljesített?

Példafeladatok érettségi – emelt szint

Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/e_mat_09maj_fl.pdf

Öt egyetemista: Bence, Kati, Márti, Pali és Zoli nyáron munkát szeretne vállalni egy üdülőhelyen. A helyi újságban több megfelelőnek látszó munkahelyet is találtak, mégpedig a következőket: három éttermet, amelyekbe csak fiúkat, két fodrászatot, amelyekbe csak lányokat vesznek fel és két fagyizót, amelyekbe viszont alkalmaznak fiúkat és lányokat is. (Egyik munkahelyen sincs létszámkorlátozás.)

a) Hányféleképpen helyezkedhet el az öt fiatal, ha mind az öten egymástól függetlenül döntenek az állásokról, és minden fiatal csak egy állást vállal? (Az azonos típusú munkahelyeket is megkülönböztetjük.)b) Hányféleképpen helyezkedhet el az öt fiatal, ha a 2 lány nem akar ugyanazon a

munkahelyen dolgozni, és a 3 fiú közül is bármelyik kettő különböző munkahelyre szeretne menni?

Bence, Kati, Pali és Zoli asztaliteniszben körmérkőzést akarnak játszani. (A körmérkőzés azt jelenti, hogy mindenki mindenkivel pontosan egy mérkőzést játszik.) Az első este csak három mérkőzést játszanak le.

c) Hányféle lehet a három mérkőzésben a játékosok párosítása, ha tudjuk, hogy négyük közül pontosan két játékos két-két mérkőzést játszott?

Fejlesztő feladatok matematikából

7., 8., 11. és 12. osztály (HEFOP 3.1.) www.tanszertar.hu

Négy évfolyamban tematikus rendezett anyagNem fedi le az egyes évfolyamok tartalmátJellemzők

Világos feladatinstrukciókTevékenységre épülnekA tartalmak változatosak, többnyire motiválókFeladatsorba, didaktizált blokkba rendezett feladatok

Feladatsor céljaFeladatsor tárgya, témájaTanulói tevékenységekAjánlott vagy kötött munkaformákA feladatsor alkalmazásához szükséges eszközök, időtartamFejlesztő értékelés

Fejlesztő feladatok – matematika7., 8., 11., 12. osztály

Tematika7. osztály

Számelmélet, aritmetika TerületszámításLogika, gondolkodási műveletekGeometriai transzformációk FüggvényekKombinatorika


Tematika8. osztály

Algebra – hatványozás – egyenletrendszerek Valószínűség-számítás, statisztika

GeometriaLogika, gondolkodási műveletek Függvények


Tematika11. osztály

Kombinatorika és gráfelméletValószínűség-számítás, statisztikaExponenciális és logaritmusos kifejezések, függvények, egyenletek Koordináta-geometria


Tematika12. osztály

TérgeometriaTrigonometriaAlgebra (sorozatok, hatvány, logaritmus, egyenletek) Koordináta-geometriaGondolkodási műveletek, kombinatorika Valószínűség-számítás, statisztika

Fejlesztő feladatok – matematikaSzakközépiskola – szakiskola

SzerkezetBevezető11 témakörben feladatsorok (szakiskola: több mint 60 feladatsor, szakközépiskola: több mint 80 feladatsor)

•Halmazok, logikai műveletek•Kombinatorika, gráfok•Számelmélet, számrendszerek, hatványozás•Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek•Függvények, sorozatok•Síkgeometria•Térgeometria•Koordináta-geometria•Leíró statisztika•Valószínűség-számítás•Vegyes feladatok

Feladatsor

SzerkezetA feladatsor jellemzői

•Tárgy, téma•Előzmények•Cél•A feladatsor által fejleszthető kompetenciák

Felhasználási útmutató

Feladatsor3-8 feladat további alkérdésekkel

Megoldásokrészletes, gyakran kivetíthető ábrákkal

Feladatsor

Tárgy, téma

Az algebrai, geometriai és kombinatorikai gondolkodás tipikus hibái.

Előzmények

Mérlegelv, szimmetria, hasonlóság, súlypont, Thalész-tétel, logikai következtetések.

Cél

A gyakran előforduló gondolkodási hibák bemutatása, figyelemre, önellenőrzésre nevelés.

FeladatsorA feladatsor által fejleszthető kompetenciák

Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása

Tájékozódás az időben Alkotás és kreativitás

Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban

Problémakezelés és

-megoldás

Tapasztalatszerzés Kommunikáció

Képzelet Együttműködés

Emlékezés Motiváltság

Gondolkodás Önismeret, önértékelés

Ismeretek rendszerezése A matematika épülésének elvei

Ismerethordozók használata

Feladatsorok - részletek

Lakásfelújítás

1. Az alábbi két rajz egy lakás eredeti, illetve átépítés utáni alaprajzát mutatja. Az átépítés után a rajz felső részén látható három szoba ugyanolyan széles lesz. Számítsd ki, hogy hány méter hosszú falat kell elbontani, illetve építeni! (A bontásba és az építésbe az ajtók hosszát is számítsd bele!)

Részletek feladatsorokból

Lakásfelújítás (folyt)

2. A lakásban a parkettát is felszedik, és újrarakják. A fűtésszerelő az új padló alá fogja beépíteni a fűtéscsöveket. Az anyagtakarékosság miatt igyekszik a lehető legkevesebb csövet felhasználni ehhez, de mivel a fűtőkészülék a fürdőszobába kerül, ezért a fürdőszoba falától indulva teszi le a csöveket egyenesen a radiátorok felé, a radiátorok közelebbi, oldalsó széléhez. Az egyik fűtőkör az amerikai konyhás nappali felé indul, onnan megy tovább a mellette levő szobába, a másik fűtőkör pedig a három egymás melletti kis szoba közül a középsőbe indul el, és onnan ágazik jobbra-balra a két mellette levő szobába. A radiátorok a szobák külső (nem a lakás belseje felé eső) rövidebbik oldalfalának közepén helyezkednek el, mindenhol 60 cm szélesek, kivéve az amerikai konyhás nappalit, ahová 90 cm széles radiátor kerül. Hány méternyi csövet kell összesen letennie a fürdőszobán kívül a padló alá? (A fűtőkörben oda-vissza kell kiépíteni a csövet!)


Lakásfelújítás (folyt)

3. Az ablakokat és ajtókat is cserélik, az új ajtókat és ablakokat háromkomponensű felületvédő rendszerrel kezelik. Az első komponensből 1 liter 8 m2-re elegendő, ebből 7,5 litert használtak el. A második komponenst már kevésbé szívja a fa, ezért ebből 16%-kal kevesebb kell.

a) Hány négyzetméterre elegendő 1 liter második komponens?

b) Ebből összesen hány litert fognak elhasználni?

(További alkérdések)

4-5. A parketta felújítása (2 módszer, melyiket célszerű választani)


Főzőcske

Egy tízfős baráti társaság hétvégi kirándulásra indul péntek délután, és vasárnap délután érkeznek haza. Egy „kulcsos házban” alszanak, ahol egy jól felszerelt konyha is a turisták rendelkezésére áll, ezért maguknak főznek. A következő étrendet állították össze:

Péntekvacsora

Szombat reggeli

Szombat ebéd

Szombat vacsora

Vasárnap reggeli

Vasárnap ebéd

tejberizs kenyér,

vaj,

párizsi,

sajt

gulyás-leves, palacsinta

kenyér,

virsli,

mustár

kakaó,

kifli

zöldborsó-leves,

csirke-paprikás,

főtt tészta

Részletek feladatsorokbólFőzőcske folyt.

Hozzávalók 4 személyre

Tejberizs

20 dkg rizs

2 dl víz

6 dl tej

5 dkg cukor

csipet só

Szombati reggeli

8 szelet kenyér

10 dkg vaj

10 dkg párizsi

10 dkg sajt

Gulyásleves

40 dkg marhahús

10 dkg vöröshagyma

30 dkg burgonya

15 dkg sárgarépa

1 dkg pirospaprika

1 dkg só

5 dkg zsír

Palacsinta

30 dkg liszt

2 tojás

1 dl tej

1 dl olaj

1 dkg cukor

1 csipet só

2 dl szénsavas ásványvíz

20 dkg lekvár

Mustáros virsli

12 darab virsli

8 szelet kenyér

8 dkg mustár

Vasárnapi reggeli

8 darab kifli

1,2 liter tej

4 dkg kakaópor

8 dkg cukor


Főzőcske folyt.

Hozzávalók 4 személyre

Zöldborsóleves

40 dkg zöldborsó

2 tyúkhúsleveskocka

1 csokor petrezselyem

Csirkepaprikás

80 dkg csirkecomb

5 dkg zsír

20 dkg vöröshagyma

4 dkg pirospaprika

10 dkg zöldpaprika

2 dkg liszt

2 dl tejföl

1 dkg só

Főtt tészta

40 dkg száraztészta

0,5 dl olaj

1 dkg só


Főzőcske (folyt.)

1. Készítsetek „bevásárló listát”! (Gondoljatok arra, hogy nem lehet kapni például 70 dkg lisztet!)

2. Otthoni projektmunka:

Kiderült, hogy a társaság tíz tagja közül hárman vegetáriánusok, azaz húst nem fogyasztanak. Az alábbi táblázat kitöltésével állítsatok össze olyan étrendet, amely ezt figyelembe veszi! Módosítsátok ennek megfelelően a bevásárló listát! Tüntessétek fel az egyes élelmiszerek árát is, és számoljátok ki a fejenként az étkezésre befizetendő összeget is! Ha tudtok, használjatok számítógépet!

Részletek feladatsorokbólFőzőcske (folyt.)

Mindenki Húst is evők Vegetáriánusok

Péntek vacsora

Szombat reggeli

Szombat ebéd

Szombat vacsora

Vasárnap reggeli

Vasárnap ebéd


Szólás-mondás

1. Két dudás nem fér meg egy csárdában – tartja a mondás.

Melyik a jó befejezése a következő mondatoknak, ha a mondásnak megfelelő igaz állítást akarunk létrehozni? (Több jó befejezés is elképzelhető.)

a) Ha én egy épületben csak egy dudást látok, akkor

(A) ... az egy csárda.

(B) ... az lehet, hogy egy csárda.

(C) ... az nem lehet csárda.

(D) ... az biztos, hogy nem élelmiszer bolt.

(E) ... az biztos, hogy nem iskola.


Szólás-mondás folyt.

1. b) Ha én egy épületben két dudást látok, ...




(D) ... az biztos, hogy nem vendéglátó-ipari egység.

(E) ... az lehet, hogy egy vendéglátói-pari egység.


Szólás-mondás folyt.

1. c) Ha én egy épületben három dudást látok, ...




(D) ... az biztos, hogy nem vendéglátó-ipari egység.

(E) ... az lehet, hogy egy vendég-látóipari egység.

a problémamegoldás, a modellalkotás és a szövegértés fejlesztése a matematikában

Documents