Grupo

A Representao do Espao na Criana
Captulo 15
Luiz Carlos Gomes

Introduo
GrupoAgrupamentoGrupo de deslocamentosOs Agrupamentos das Classes

Grupo
1. Fechamento: A * B = C2. Associativa: (A * B) * C = A * (B * C)3. Elemento Neutro: A * 0 = A4. Elemento Inverso: A * I = A

Diz-se que um grupo abeliano, quando,sejam quais forem A e B, A * I = I * A

Agrupamento
As leis do agrupamento consistem em reunir as diversas aes, percepes e antecipaes representativas umas s outras, e em situ-las, assim, em um sistema total de transformaes coerentes.

uma estrutura ao mesmo tempo mvel e fechada, que liga as operaes umas s outras, segundo um princpio de composio reversvel

Propriedades dos agrupamentos1. Duas operaes diretas compostas entre si so ainda uma operao direta de conjunto: A + A = BB + B = CA + A + B = C2. operao direta corresponde uma operao inversa que faz, ainda, parte do conjunto.+A-A = -B (subtrao lgica, ou excluso)3. O produto da operao direta e da inversa a operao idntica geral+A -A = 04. Cada operao composta com ela mesma desempenha um papel de idntica especial (tautologia):A + A = A tambm A + B = B5. Toda seqncia de operaes no contendo equaes tautolgicas, ou contendo as mesmas tautologias tanto em um membro quanto no outro, associativa:(A + A) + B = A + (A + B)

O Grupo de deslocamentos
1. Um deslocamento AB e um deslocamento BC podem coordenar-se em um nico deslocamento AC, que ainda faz parte do sistema, estejam eles em linha reta ou no

2. Todo deslocamento AB pode inverter-se em BA, donde BA representa a conduta do retorno ao ponto de partida

3. A composio do deslocamento AB e do seu inverso BA d o deslocamento nulo AA

4. Os deslocamentos so associativos, o que significa que na seqncia ABCD, temos AB + BD = AC + CD. Isto significa que um mesmo ponto D pode ser atingido a partir de A por caminhos diferentes (se os segmentos AB, BC, etc no estiverem em linha reta)

Os agrupamentos das classes
ADITIVOS1. Primrios: Adio das classes2. Secundrios: Vicarincias

MULTIPLICATIVOS

3. Primrios: Multiplicao co-unvoca das classes4. Secundrios: Multiplicao bi-unvoca das clases

Agrupamento I: agrupamento aditivo das classes
1. Operao direta: A + A = B; B + B = C; . . .

2.Operao idntica geral: A + 0 = A; A - A = 0

3. Operaes idnticas especiais (tautologia e reabsoro):A + A = A; A+ B = B; A + C = C-A -A = -A; -A -B = -B 4. Operao Inversa: A - A = 0

5. Associatividade:

Agrupamento II : As vicarincias

se A1 + A1 = B, ento A2 + A2 = B

A1 + A2 = B

A1 A2 e A2 A1

Agrupamento III: a multiplicao co-univoca das classes
Se AB a classe de indivduos que pertencem ao mesmo tempo a A e B, teremos a multiplicao lgicaA X B = A B = AB

AB A e AB B

Agrupamento IV: a multiplicao biunvoca das classes

Consiste em colocar em correspondncia um todo com suas partes, segundo o princpio de um a muitos. possvel tambm multiplicar duas seqncias de classes segundo o princpio da correspondncia biunvoca, como no caso das tabelas de entrada dupla ou trplice, etc.

Intuio Geomtrica
Operaes infra-lgicas

A intuio geomtrica
A intuio do espao no mais uma leitura das propriedades dos objetos, mas, antes, desde o incio, uma ao exercida sobre eles. Essa ao consegue ultrapassar a realidade fsica gradualmente at construir esquemas operacionais suscetveis de serem formalizados e de funcionarem dedutivamente por si mesmos, enriquecendo cada vez mais a prpria realidade fsica. (469)Da ao sensrio-motriz elementar operao formal, a histria da intuio geomtrica , portanto, a de uma atividade propriamente dita, inicialmente ligada ao objeto ao qual se acomoda, mas assimilando-a ao seu prprio funcionamento, at transform-la. (469)

A intuio geomtrica se manifesta desde a tomada de contato perceptiva com a experincia em si, sob a forma de uma ao sensrio-motriz que regula as percepes: o elemento sensvel limita-se a servir de significante e a assimilao ativa e motriz constri as relaes. (469) aps o nvel de representao nascente que a ao desenvolve seu papel formador: a imagem nunca outra coisa seno a imitao interior e simblica de aes anteriormente executadas e depois simplesmente executveis, das quais constatamos a importncia na construo das formas, a partir das relaes topolgicas elementares de vizinhana, de ordem e envolvimento (470)

Operaes infralgicas

So operaes formadoras da noo de objeto como tal, em oposio aos conjuntos de objetos. Elas se apoiam nos encaixes de partes de um mesmo objeto no objeto total e no nos encaixes de classes. Substituem a noo de semelhana pela de vizinhana, a noo de diferena em geral pela diferena de ordem ou de colocao e a noo de nmero pela de medida.

As operaes infralgicas e o contnuo

478 a 480

3. As Operaes Infralgicas constitutivas das relaes topolgicas elementares (481 - 483)
Problema: Quais as operaes infralgicas que intervm na construo do espao e em que consiste sua correspondncia com as operaes lgico-aritmticas vistas na construo do nmero na criana. As operaes que constituem as relaes topolgicas so primitivas em oposio s relaes projetivas e euclidianas.As operaes constitutivas das relaes topolgicas so intensivas apenas. So espaciais e no matemticas. As combinaes de operaes infralgicas intensivas engendram o carter extensivo, matemtico, mtrico ou no-mtrico.

Estruturas Operatrias
I. Partio e adio primitiva (Cap. V) - dissociao de um contnuo em elementos vizinhos, que, adiciondos gradualmente, reconstituem o todo.A + A = B, B + B = CC - B = B; B - A = AEquivalncia: agrupamento dos encaixes das classes A, B, C no domnio lgico

II. Ordem de colocao (Cap. III)A B C . . . e C B A

III. Reciprocidade das vizinhanasA1 + A1 = A2 + A2 (=B)Equivalncia: agrupamento das vicarianas no plano lgico.IV. Relaes simtricas de intervalos (Cap. III e IV)Seja ABCD na ordem direta ou DCBA na ordem inversa, dizemos que:AB (=0) (entre A e B)AC (=B)(entre A e C)AD (=B, C)(entre A e D)V. Multiplicao biunvoca dos elementos (Cap. IV)A1X A2 = A1A2

VI. Multiplicao biunvoca de relaes: uma rede de relaes a duas ou trs dimenses.

VII. Multiplicao co-unvoca de elementos ou de relaes.A um elemento A1 corresponder muitos elementos vizinhos, A2, B2, C2 . . .

4. As operaes infralgicas constitutivas das relaes projetivas (487 - 495)
Os sistemas projetivos no conservam ainda as distncias e as dimenses, como um sistema de coordenadas, mas as posies relativas dos elementos da figura ou das figuras umas em relao s outras, o todo relacionado com um observador determinado ou com um plano comparvel ao seu quadro visual. a interveno do observador ou do ponto de vista, em relao ao qual as figuras so projetadas, que, psicologicamente, constitui o fator essencial desse relacionamento. A geometria projetiva a geometria dos pontos de vista, entendendo que ela supe a construo prvia das relaes topolgicas e que as conserva se acrescentando a elas.(489)

Estruturas OperatriasI. Adio e subtrao dos elementos projetados.A + A = B + B = CRepresenta a possibilidade para a criana de construir uma representao grfica do objeto em perspectiva, levando em conta ao mesmo tempo reunies de elementos visveis e supresses por seces devidas interferncia de objetos e anteparos.B - A = Arepresenta a supresso de um elemento que deixa de ser visvel porque mascarado por um outro objeto que serve de anteparo.

II. A ordem retilnea: A ordem de sucesso linear A B C fornecida pelas construes topolgicas iniciais transformada em ordem retilnea, graas interveno de um ponto de vista.

III. A reciprocidade das perspectivas (Cap. VIII)Um alinhamento que visto da esquerda para a direita de um certo ponto de vista (A1 + A1) pode ser visto sob o ponto de vista do observador que se encontra frente do primeiro como sendo (A2 + A2), de tal modo que(A1 + A1) = (A2 + A2),

IV. As relaes simtricas de intervalosSe XY = YX, ento os termos situados no intervalo compreendido entre X e Y permanecem nesse intervalo se invertermos os pontos de vista (Cap. VIII)

V. Multiplicao biunvoca dos elementosEm relao a um ponto de vista dado, no eixstiro mais apenas relaes limitadas a uma configurao restrita, tais como no interior e no exterior, etc, mas relaes de conjunto entre as figuras tais como esquerda X direita, em cima X embaixo e frente X atrs.

VI; A multiplicao biunvoca das relaes.

VII e VIII. Multiplicaes co-unvocas de elementos e de relaes.

5. As operaes infralgicas constitutivs do espao euclidiano
As operaes infralgicas do espao euclidiano, ao invs de apoiarem-se num objeto relativo ao um ponto de vista e nas mudanas de pontos de vista, elas exprimem os caracteres do objeto relativamente sua localizao, bem como seus deslocamentos

Propriedades Operatrias
I. Adio e subtrao de elementosEssas operaes consistem simplesmente em reunir ou em dissociar as partes da figura considerada, o que assegura a conservao do todo tanto a ttulo de localizao quanto de figura do objeto colocado.

II. Colocaes e deslocamentosA operao inversa de objetos colocados na ordem A B C . . . No mais simplesmente o percurso em sentido contrrio da seqncia. Ela a mudana de ordem ou de colocao, isto , o deslocamento que pode inverter a seqncia inteira ou simplesmente um elemento em relao aos outros.

III. Reciprocidade de referncias.Conhecidas diversas figuras vizinhas, adicionadas segundo a propriedade I, partindo de A como referncia, temosA1 + A1 = B1 e B1 + B1 = Cser sempre possvel chegar mesma reunio C partindo de A1 ou de B1 como referncia e chamando -a de A2. Ento,A2 + A2 + B2 = C

IV. Ajustes dos intervalos ou distncias. O intervalo entre dois pontos ordenados ao longo de uma reta uma distncia.. . . (499)

V.Multiplicao biunvoca dos elementos. (499 - 500)

VI. Multiplicao biunvoca das relaes de colocao e deslocamento. (500)

VII. Multiplicao co-unvoca dos elementos (501)

VIII. Multiplicao co-unvoca das relaes (501)

6. As operaes extensivas e mtricas e o problema da sucesso gentica das operaes
O conjunto das operaes precedentes (3 a 5) fornece o enquadre qualitativo ou intensivo da construo infralgica do espao, prvio e necessrio `sua matematizao, mas ele prprio no ainda matemtico.

Bibliografia
GOMES, L. C.. O grupo INRC de Piaget e as Operaes lgicas. Coletnea do Programa de Ps-Graduao em Educao. Vol. 1 N 1 (jul/ago 1995). Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Faculdade de Educao, FACED, 1995.

MONTANGERO, Jacques & MAURICE-NAVILLE, Danielle. Piaget ou a inteligncia em evoluo; trad. Fernando Becker e Tnia Beatriz Iwaszko Marques. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

PIAGET, Jean. Ensaio de Lgica Operatria; segunda edio de Tratado de Lgica, ensaio de logstica operatria, 1949, estabelecida ppor Jean-Balise Grize; trad. De Maria A . V de Almeida. Porto Alegre, Globo; So Paulo, Ed. Universidde d eSo Paulo, 1976

PIAGET, Jean & INHELDER, Barbel. A representao do espao na criana; Trad. Bernardina de Albuquerque. Porto Alegre: Artes Mdicas, 1993.