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SÍLVIA CAROLINA LEBRÓN
A TÉCNICA DE MULTI GRELHA NA SOLUÇÃO
DE PROBLEMAS DE LUBRIFICAÇÃO
ELASTO-HIDRODINÂMICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÀNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
2001
SÍLVIA CAROLINA LEBRÓN
A TÉCNICA DE MULTI GRELHA NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
LUBRIFICAÇÃO ELASTO-HIDRODINÂMICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
graduação em Engenharia Mecânica da
Universidade Federal de Uberlândia, como parte
dos requisitos para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Área de Concentração: Transferência de Calor e
Mecânica dos Fluidos.
Orientador: Prof. Dr. Carlos Roberto Ribeiro.
UBERLÂNDIA (MG)
2001
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pelo Sistema de Bibliotecas da UFU / Setor de Catalogação e Classificação
L453t
Lebrón, Sílvia Carolina, 1957-
A técnica de multi grelha na solução de problemas de lubrificação
elasto-hidrodinâmica / Sílvia Carolina Lebrón. - Uberlândia, 2006.
151f. : il.
Orientador: Carlos Roberto Ribeiro.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Uberlândia, Pro-
grama de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.
Inclui bibliografia.
1. Mecânica dos fluidos - Teses. 2. Lubrificação e lubrificantes - Te-
ses. I. Ribeiro, Carlos Roberto. II. Universidade Federal de Uberlândia.
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. III. Título.
CDU: 532
iii
A mis padres,
Mimimi y Papilo
iv
Meus agradecimentos,
Aos meus filhos Bruno, Lili e Nani.
À minha família.
Aos professores Dr. Carlos Roberto Ribeiro e Dr. Aristeu Silveira Neto.
Aos colegas da pós-graduação.
Aos funcionários do DEEME.
Ao CNPq (Conselho Nacional de Pesquisa) pelo apoio financeiro.
v
Lebrón, S. C., 2001, “A Técnica de Multi Grelha na solução de Problemas de
Lubrificação Elasto-Hidrodinâmica”, Dissertação de Mestrado, Universidade Federal
de Uberlândia, MG.
RESUMO
O estudo da Lubrificação Elasto Hidro Dinâmica (LEH) está relacionado às situações
onde a deformação elástica dos corpos em contato hidrodinâmico não pode ser
desprezada. Para analisar a LEH em contatos elípticos é necessária a solução
simultânea da equação de Reynolds para a pressão e da equação da elasticidade.
Para a deformação complementa-se esta formulação com a adoção de uma relação
exponencial da viscosidade com a pressão, o que torna o sistema de equações
acopladas altamente não-linear. O objetivo deste trabalho é o de analisar a LEH em
contatos elípticos, resolvendo-a com o auxilio da técnica de Multi Grelha, que é um
acelerador de convergência dos sistemas lineares gerados na discretizacão das
equações que regem o fenômeno.
___________________________________________________________________
Palavras-chave: Multi Grelha, Lubrificação Elasto- Hidrodinâmica, Métodos
Computacionais.
vi
Lebrón, S. C., 2001, “Multigrid Method in Elastohydrodynamic Lubrication”, M. Sc.
Dissertation, Universidade Federal de Uberlândia, MG.
ABSTRACT
The subject of elastohydrodynamic lubrication is identified with situations in which
elastic deformation plays a significant role in the hydrodynamic lubrication process.
To analyze the elastohydrodynamic lubrication (LEH) of elliptical contacts it is
necessary to solve simultaneously the Reynolds equation for pressure and the
elasticity equation. The greatest shortcoming of this approach is the dependence
exponential between the viscosity and the pressure which is, so that the coupled
equations system becomes highly nonlinear. The objective of this work is to analyze
LEH in elliptical contacts by means of multi grid algorithms (used for modeling and
simulating complex dynamic systems) to solve them.
___________________________________________________________________
Keywords: Multi-Grid, Elasto Hydrodynamic Lubrication, Computational Methods.
vii
LISTA DE SÍMBOLOS
Letras Gregas
α Fator de relaxação para a correção iterativa do campo de pressão
η Viscosidade do lubrificante
λ Relação entre os raios de curvatura (Ry/Rx) dos corpos em contato elástico
ρ Densidade do lubrificante
Letras Latinas
A Matriz dos coeficientes de um sistema linear
a Semi-eixo na direção y de uma elipse determinada por um contato elástico
b Semi-eixo na direção x de uma elipse determinada por um contato elástico
D Matriz de influência da deformação elástica
e Erro algébrico da aproximação ũ frente à solução exata u em um sistema linear
f Vetor fonte do sistema linear
h(x,y) Separação superfícies em contato ou altura da película de fluído entre 2 corpos
k Relação entre semi-eixos a e b de uma elipse determinada por contato elástico
p Campo de pressão que surge entre os contatos lubrificados
r Resíduo ou estimativa do erro de um sistema linear
Ry Raio na direção y de um corpo submetido a contato elástico
U Velocidade adimensional das superfícies deslizantes
u Vetor de incógnitas de um sistema linear
ũ Solução aproximada de um sistema linear
w Carga a que está submetido um contato elástico
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
CAPÍTULO I: CONTEXTUALIZAÇÃO DA PESQUISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.Considerações Prel iminares .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.Questão temát ica e hipóteses teóricas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.Principais antecedentes e premissas adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.Estrutura da dissertação ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
CAPÍTULO II: MULTI GRELHA (MG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.Considerações Prel iminares .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.Métodos iterat ivos para a solução de sistemas l ineares .. . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1.Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2.Método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19
2.2.3.Método de Sobre Relaxação (SOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4.Aceleração Pol inomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 22
2.2.5.Método do Gradiente Conjugado (CG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.6.Aceleração de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
2.3.A Técnica de Mult i Grelha (MG) ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1.Equação residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2.O processo iterat ivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 30
2.3.3.Operadores de transferência entre malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.4.Ciclos Mult i Grelha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 33
2.4.Resultados na ut i l ização do Mult i Grelha .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1.Caso unidimensional permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Solução bidimensional de transferência de calor . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 39
2.4.3.Lubr if icação Hidro Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
CAPÍTULO II I: LUBRIFICAÇÃO ELASTO-HIDRODINÂMICA (EHD) . . . . . . . . 45
3.1.Considerações Prel iminares .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.Contato Hertziano ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1.Geometria dos sól idos elást icos em contato seco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2.Campo de pressão Hertziano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.3.Deformação elást ica do campo de pressão em meio inf inito . . . . 55
3.3.Equação de Reynolds .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.Relação entre a separação das superf ícies (h) e a pressão ... . . . . . . . 58
3.5.Efeito da pressão na viscosidade ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.Dependência da densidade com a pressão ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
ii
CAPÍTULO IV: IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA - EQUAÇÕES DE EHD . . . 64
4.1.Equações dimensionais .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.Adimensionalização ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.Discret ização da equação de Reynolds .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.Discret ização da deformação elást ica .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.Tipos de malhas ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.1.Malha da pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 87
4.5.2.Malha da deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 88
4.5.3.Transferência dos resultados entre as malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6.Descr ição geral do algor itmo ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
CAPÍTULO V: RESULTADOS E DISCUSSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.Modelos numéricos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1.Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.2.Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.3.Modelo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.Ref inamento de malhas ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.Estudo da var iação de parâmetros do contato lubr if icado ... . . . . . . . . . 109
5.3.1.Var iação da superfície de contato (k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.2.Var iação da carga (W) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 142
5.3.3.Var iação da velocidade (U) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 143
CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149
INTRODUÇÃO
Em muitos contatos entre elementos de máquinas transmitem-se forças
através de f inos - embora contínuos - f i lmes de f luido. Estes f i lmes de f lu idos
têm sido bem compreendidos já há muito tempo quando relacionados à
lubr if icação hidrodinâmica de mancais e os resultados experimentais
conf irmam a teoria. Nos anos 20 do século passado, já se percebia que
muitos contatos carregados, tais como rolamentos e engrenagens,
provavelmente se comportavam como se fossem hidrodinâmicamente
lubr if icados. Ao contrário do que ocorr ia com os mancais, a lubr if icação
hidrodinâmica de engrenagens e rolamentos difer ia substancialmente de
resultados exper imentais. Somente nos últ imos anos é que a deformação
elást ica dos contatos foi acoplada à hidrodinâmica fornecendo uma melhor
aproximação da teor ia com os experimentos.
Considerando que a Lubrif icação Hidrodinâmica caracteriza uma
condição de lubr if icação plena (a película ou cunha de óleo separa
completamente as superf ícies em movimento relat ivo), tem-se em princípio
que a teoria da Lubrif icação Elasto-Hidrodinâmica (EHD) difere da teor ia
hidrodinâmica clássica por levar em consideração a inf luência da pressão na
viscosidade e nos materiais.
Deste princípio, originou-se o objet ivo principal deste trabalho, qual
seja, o de anal isar a EHD em contatos elípt icos, resolvendo-a com o auxil io
da técnica de Mult i Grelha, qual seja, uma técnica or ientada para a solução
numérica dos sistemas l ineares que se levantam freqüentemente das
equações diferenciais. Esta técnica alterna o uso das grades de vár ias
def inições, conseguindo uma convergência mais rápida do que computações
em malhas f inas e, quanto à exat idão, melhor do que computações em
malhas grosseiras/ ir regulares.
A propósito, a mestranda já portava uma familiar idade com esta
técnica (centrada na resolução de sistemas l ineares de grande porte - IV
POSMEC da UFU) com apl icação em dinâmica de f luídos (LEBRÓN &
RIBEIRO, 2000), além de uma intensa dedicação aos descr itores de
simulação numérica computacional, s istemas l ineares, equações diferenciais
e métodos iterat ivos, somada à convivência com a l inguagem de
11
programação or ientada para objetos (C++ para Windows), o que alavancou
sua motivação para empreender esta pesquisa.
O estudo da Lubr if icação Elasto-Hidrodinâmica (EHD) está relacionado
às situações onde a deformação elást ica dos corpos em contato
hidrodinâmico não pode ser desprezada. Para anal isar a EHD em contatos
elípt icos é necessár ia a solução simultânea das equações da pressão e da
elast ic idade e, para a deformação, complementa-se esta formulação com a
adoção de uma relação exponencial da viscosidade com a pressão, o que
torna altamente não- linear o sistema de equações acopladas.
Para a consecução do objet ivo proposto, empreendeu-se uma revisão
conceitual de autores clássicos - desde Hertz (1881) e Barus (1893) - até
autores contemporâneos como Lepikult (1997, descrevendo o Método Gauss-
Seidel de Jacobi) dentre outros, sabendo-se que alguns estudos mais
recentes (VENNER, 1994; SMEETH E SPIKES, 1997; JANG E TICHI, 1995)
revelam tentat ivas através de diferentes métodos de solução, sem que,
contudo, este problema apresente uma resolução completamente
sat isfatória.
Tem-se como premissa que os campos de pressão podem exigir uma
malha extremamente ref inada na região do contato e, caso a mesma seja
del ineada com um número grande de pontos distr ibuídos regularmente, isto
pode inviabi l izar o projeto em razão do elevado custo de processamento. No
entanto, é provável que com a ut i l ização de duas malhas, uma regular e a
outra irregular, este problema pode ser contornado, ou seja, tendo como
coadjuvantes a discret ização proposta por Hamrock e Downson (1981) e o
auxil io da técnica de Mult i Grelha (MG) para possib i l i tar o emprego de
malhas f inas na região do contato e sendo assim, como a MG acelera a
convergência de grandes sistemas l ineares, o custo computacional
decorrente permanece em l imites aceitáveis.
Nesta direção, espera-se que a técnica de Mult i Grelha com malhas
irregulares apl icadas em um sistema altamente não-l inear seja
comprovadamente rápida, precisa e ef icaz, evidenciando-se como uma das
contr ibuições específ icas deste trabalho.
CAPÍTULO I
CONTEXTUALIZAÇÃO DA PESQUISA
1.1 Questão temática e hipóteses teóricas
Embora envolva alguns questionamentos secundários que serão
levantados no decurso do estudo, a questão central deste trabalho pode ser
resumida em uma única pergunta: é possível s imular numericamente, sob
condições isotérmicas, os contatos elípt icos com lubr if icação EHD onde há
grandes dif iculdades exper imentais associadas a um problema sem solução
analít ica?
Como precedente para a formulação de hipóteses, tem-se que a EHD
possui uma característ ica altamente pontual, com grandes gradientes para a
pressão, o que leva à necessidade de malhas extremamente f inas, gerando
assim sistemas de ordem elevada que, associados à não- linear idade
numérica, tendem a produzir soluções instáveis. Os campos de pressão
exigem uma malha extremamente ref inada na região do contato e, se a
mesma for feita com um número grande de pontos distr ibuídos regularmente,
inviabi l iza o projeto pelo elevado custo de processamento.
Considerando as recomendações metodológicas de Marconi & Lakatos
(1996) em que na pesquisa “as conclusões devem estar vinculadas à
hipótese de invest igação, cujo conteúdo foi comprovado ou refutado”. (1996,
p. 37), mesmo que advenham hipóteses adicionais no decurso da pesquisa,
as principais são:
1) Com a ut i l ização de duas malhas, uma regular e a outra
irregular, este problema relacionado aos contatos elípt icos com
lubr if icação EHD onde há grandes dif iculdades exper imentais
pode ser contornado.
2) Nesse contexto, o emprego da técnica de Mult i Grelha com
malhas irregulares num sistema altamente não- l inear pode
apresentar maior rapidez de processamento, precisão e
ef iciência.
13
1.2 Principais antecedentes e premissas adicionais
Dois corpos sólidos separados por uma f ina camada de f luído
lubr if icante, com uma velocidade relat iva entre eles diferente de zero e
submetidos a uma carga que os induz a uma deformação elást ica
caracter izam a lubr if icação Elasto-Hidrodinâmica (EHD).
A anál ise da EHD requer a solução simultânea das equações da
elast ic idade e da hidrodinâmica (equações de Reynolds). O sistema
acoplado de equações que compõem a solução dos problemas de
lubr if icação EHD possui como característ icas que ao se def inir a espessura
de f i lme leva-se em conta a deformação elást ica do contato. Neste caso,
deve ser levado em consideração que tanto a viscosidade quanto a
densidade dependem da pressão, resultando num problema altamente não-
linear.
A maior ia dos trabalhos em EHD versa sobre contatos l ineares e,
nesse sentido, Grubin, em 1949, foi o primeiro a tentar uma solução do
problema de EHD linear isotérmico. Esta anál ise revelou que a forma,
elast icamente deformada dos sól idos, num contato lubr if icado, altamente
carregado, era a mesma que a forma produzida num contato seco
(Hertziano).
Esta hipótese faci l i tou a solução da equação de Reynolds na região de
entrada do contato e permit iu o cálculo da separação dos sól idos, porém, a
referida análise de Grubin não apresentou resultados compatíveis com a
real idade.
O que caracteriza a não-l inearidade das equações que regem a EHD
está na equação de Reynolds que possui na sua formulação os valores da
densidade, a viscosidade e da altura da película lubrif icante que por sua vez
são funções da pressão transformando o problema num sistema acoplado de
equações diferenciais.
Deve ser observado que pelo caráter exponencial do calculo da
viscosidade, esta é fortemente inf luenciada com a var iação da pressão e,
mesmo que permaneça constante a altura de separação entre as superf íc ies
e também a densidade do lubrif icante, em função da pressão, a equação de
Reynolds cont inua altamente não- l inear.
14
1.3 Procedimentos metodológicos
Para uma solução completa do problema de EHD devem ser tratadas
simultaneamente as seguintes equações: a equação de Reynolds, a relação
entre a viscosidade e a pressão e as equações da elast ic idade, o que foi
feito por Dowson e Higginson, em 1959, obtendo a solução do problema por
métodos inversos que apresentaram bons resultados para casos
unidimensionais.
Por sua vez, Hamrock e Downson (1981), apresentaram métodos
iterat ivos de solução da EHD obtendo alguns resultados sat isfatórios, cujos
princípios serão aqui aproveitados na fase comparat iva. Estudos mais
recentes (VENNER, 1994; SMEETH E SPIKES, 1997; JANG E TICHI, 1995)
tentam diferentes métodos de solução, porém este problema não pode ser
considerado completamente resolvido.
Como recursos apropriados para sustentação da base metodológica,
serão também empregados a discret ização proposta por Hamrock e Downson
(1981) e o auxi l io da técnica de Mult i Grelha (MG) para possibi l i tar o
emprego de malhas f inas na região do contato posto que, como a MG acelera
a convergência de grandes sistemas l ineares, o custo computacional
decorrente permanece em l imites aceitáveis.
Como ferramenta coadjuvante para a obtenção e anál ise de resultados
foi desenvolvido um pacote de programas aplicat ivos construídos pela
pesquisadora com uti l ização da l inguagem C++ (de Stroustrup), cujas
l istagens dos códigos-fonte estão contidas no ANEXO inser ido no apêndice
do presente trabalho.
Os primeiros resultados concentram-se na comparação entre os três
modelos, assim como nos diferentes valores de suas var iáveis. O objet ivo
específ ico desta fase consiste em localizar um modelo e um valor adequado
para que, ao mesmo tempo em que forneça resultados sat isfatórios, não
represente um alto custo tanto em tempo de processamento quanto em
capacidade de armazenamento. Para at ingir tal a meta adotar-se-á como
padrão de comparação os resultados obt idos por Hamrock e Dowson (1981),
Jang e Tichy (1995) e Venner (1994).
Na busca do modelo e do valor apropriados de γ , diferentes
combinações foram executadas. Para γ foram escolhidos os valores: 0, 1,
1.5 (valor adotado por Hamrock e Dowson em 1981) e 2.
15
Nos resultados obtidos para estes diferentes casos pode ser
analisado, além dos perf is das pressões após 1000 iterações, o
comportamento específ ico de cada caso com 10 e 100 iterações de modo a
visual izar como o caso em questão se comporta a caminho da convergência.
Os procedimentos (passo a passo) adotados para a obtenção desses
resultados estão minuciosamente descritos no Capítulo 4 ( item 4.6 -
Descr ição geral do algoritmo) com o respectivo f luxograma.
1.4 Estrutura da dissertação
No Capitulo I , que ora se encerra, conf igura-se uma visão contextual
desta pesquisa, incluindo o encaminhamento das hipóteses teóricas e uma
abordagem superf ic ial acerca dos métodos de solução numérica de sistemas
l ineares de grande porte assim como as diferentes possibi l idades da sua
solução iterat iva.
Por conseguinte, no Capítulo I I , a técnica de Mult i Grelha (MG) é então
abordada como recurso de aceleração da convergência na aproximação da
solução numérica à exata, sendo que cada etapa do processo de MG é
detalhada para fornecer ao leitor a possibi l idade de implementação e uso
desta poderosa ferramenta de trabalho. Final izando esta seção, são
apresentados alguns resultados que val idam e comprovam a ef icácia da
técnica de MG uti l izada.
No Capítulo I I I é abordado o problema f ís ico, qual seja inerente ao
principal descritor desta pesquisa, a Lubr if icação EHD. Para o
aprofundamento desta questão, são traçadas considerações inic iais que tem
por objet ivo situar o leitor no problema abordado. Posteriormente é descr ito
o contato seco com deformação elást ica, denominado de contato Hertziano
cuja formulação é semelhante à do EHD, com a inserção de algumas
hipóteses simpl if icat ivas. A equação que fornece o campo de pressão em
contatos elípt icos, equação de Reynolds é f inalmente abordada. Para
entender a relação que Reynolds estabelece na sua formulação os valores
da densidade, a viscosidade e da altura da película lubrif icante, tais
equações são apresentadas e estudadas também neste capítulo.
O Capítulo IV trata da implementação numérica das equações de EHD.
Part indo-se das equações dimensionais e de suas respectivas
16
adimensional izações, são abordadas diferentes formas de discret ização. O
Capítulo também aborda a implementação numérica das equações que regem
o fenômeno assim como o esquema iterat ivo ut i l izado na sua solução.
Por sua vez, o Capítulo V apresenta os resultados obtidos. Inicia-se
com um estudo sobre diferentes modelos numéricos que foram
implementados e comparados. A questão de ref inamento de malhas é então
abordada visando local izar a que melhor se adapta ao problema, levando-se
em conta a necessidade de um grande número de pontos em contraste ao
custo de processamento dos mesmos. Este capítulo também i lustra os
resultados obtidos perante a var iação de alguns parâmetros tais como a
carga (w) a que os corpos estão submetidos, a variação da velocidade de
rotação (u), e a geometria da superf ície de contato (k), levantando as
respect ivas discussões.
Por f im, são apresentadas as conclusões alcançadas - tendo em vista
os objet ivos propostos e as dif iculdades encontradas, incluindo alguns
complementos ao trabalho real izado, bem como a formulação de sugestões
para continuidade do tema em trabalhos futuros. A pesquisa é f inal izada com
o relato de alguns aspectos conclusivos observados no seu desenvolvimento
e real izando uma adequação da questão e das premissas com os resultados
encontrados.
CAPÍTULO II
MULTI GRELHA (MG)
2.1 Considerações Preliminares
Os métodos iterat ivos de solução de sistemas l ineares do t ipo
apresentado abaixo (na Equação 2.1) ou na forma matr icial (Equação 2.2),
tais como o de Gauss-Seidel, de Jacobi, do Gradiente Conjugado, do
Gradiente Bi-Conjugado ou das Relaxações Sucessivas (SOR), possuem em
comum a caracter íst ica de convergirem rapidamente no inic io do processo,
mas, assim que as osci lações bruscas do erro são el iminadas nos estágios
inic iais, a ef iciência destes métodos decai s ignif icat ivamente tornando-os
excessivamente lentos.
fuA = (2.1)
=
=
n
i
1
n
i
1
NN3N2NNI
N3333231
N2232221
N1131211
f
f
f
u
u
u
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A
M
M
M
M
(2.2)
Para superar este obstáculo surge a técnica Mult i Grelha, que ut i l iza a
caracter íst ica desta rápida convergência inicial dos métodos iterat ivos e, a
part ir do ponto de colapso, transfere os cálculos para uma malha mais
grosseira, onde os benef íc ios da convergência inicial são readquir idos. A
seguir os resultados da malha grosseira são transferidos de volta à malha
mais f ina. Este processo de transferência de informações entre malhas é
real izado durante alguns cic los, ut i l izando-se esquemas de interpolação.
18
2.2 Métodos iterativos para a solução de sistemas lineares
Dada uma matriz inversível Q, pode rescrever-se o s istema de
equações (2.1) como,
( ) ( )uAQIfQufuQQA 11 −− −+=⇒=−+ (2.3)
onde I é a matr iz identidade de ordem N.
A part ir de (2.3) obtêm-se uma expressão geral para os métodos
iterat ivos básicos que são denominados de pr imeiro grau posto que cada
iteração depende exclusivamente da iteração anterior,
...,2,1,0nku~Gu~ n,1n =+=+ (2.4)
onde u~ é uma aproximação do vetor u, G é a matr iz de iteração do método,
AQIG 1−−= (2.5)
e k é um vetor def inido como,
fQk 1−= (2.6)
Observe-se que nem G nem k dependem da iteração n, motivo pelo qual
os métodos que dependem da def inição dada na equação (2.4) são ditos
métodos iterat ivos estacionár ios. O fato de G e k não dependerem do vetor
u~ torna estes métodos l ineares (BITTENCOURT, 1996).
2.2.1 Método de Jacobi
Este método é dito de deslocamento simultâneo posto que a ordem pela
qual as incógnitas são atual izadas não interfere no resultado das mesmas.
Resolve todas as var iáveis de uma vez, é de fáci l compreensão e
implementação, porém de convergência muito lenta. Part indo de uma solução
inic ial u~ 0 ; o método de Jacobi obtém para cada passo i os valores u~ i , para
i=1,. . .N (sendo N o número de var iáveis).
19
O procedimento iterat ivo do método, a part ir da equação (2.2) segue a
seguinte formulação (LEPKULT, 1997),
n...,,1ia
u~af
u~ii
n
ij1j
njiji
1ni =
−
=
∑≠=
+
(2.7)
Este método é ef ic iente na redução das amplitudes das componentes
de alta f reqüência da aproximação u~ n , o que o torna apropriado como
suavizador na técnica de Mult i Grelha (BITTENCOURT, 1996).
Geralmente a convergência do Método de Jacobi se dá quando a
matr iz A é de dominância diagonal, isto é, quando o valor absoluto da
diagonal em cada l inha for maior que a soma dos valores absolutos dos
demais elementos da l inha em questão (SHEWCHUK, 1996). Para resolver o
sistema apresentado na equação (2.1) pelo método de Jacobi, há
necessidade de armazenamento dos valores da matr iz A, dos valores dos
vetores u~ n , u~ n+ 1 e f .
2.2.2 Método de Gauss-Seidel
Conhecido como método de deslocamentos sucessivos, este método é
semelhante ao método de Jacobi com a diferença de que ut i l iza os valores
calculados na mesma iteração, o que o torna um pouco mais rápido de
convergência. O procedimento iterat ivo do método, a part ir da equação (2.2)
segue a seguinte formulação (LEPKULT, 1997),
n...,,1ia
u~au~af
u~ii
n
1ij
njij
n
1j
1njiji
1ni =
−−
=
∑∑+==
+
+
(2.8)
Geralmente o cálculo do resíduo para a aferição de convergência exige
um vetor adic ional. Deste modo, o espaço de memória e o custo por iteração
são os mesmos do método de Jacobi. O número de iterações necessár ias
para a convergência é inferior ao requerido pelo método de Jacobi.
Esclarece-se que tanto no método de Jacobi e como no de Gauss-Seidel, a
20
transição da est imativa ni
ni u~u ≅ do sistema (2.1) para a próxima est imat iva
1ni
1ni u~u ++ ≅ pode ser descrita matr ic ialmente (LEPKULT, 1997), procedendo-se
à decomposição LU (“Lower”, “Upper”) clássica da matr iz A, isto é,
UDLA ++= (2.9)
onde A, L, D e U são respectivamente,
NN3N2NNI
N3333231
N2232221
N1131211
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A =
0...aaa
...............
0...0aa
0...00a
0...000
L
3N2NNI
3231
21
=
NN
33
22
11
a...000
...............
0...a00
0...0a0
0...00a
D =
0...000
...............
a...000
a...a00
a...aa0
U N3
N223
N11312
=
O algoritmo de Jacobi pode ser representado por,
fu~Nu~M nj
1nj +=+ (2.10)
onde,
U)-(LNeDM jj +==
e o algoritmo de Gauss-Seidel por,
fu~Nu~M ng
1ng +=+
onde,
-UNeLDM gg =+=
21
2.2.3 Método de Sobre-Relaxação
O método de Sobre-Relaxações Suscitas (SOR) é o método de Gauss-
Seidel com a introdução de um parâmetro w visando acelerar a
convergência.
De forma geral tem-se,
( )
n...,,1ia
u~aw1u~au~afw
u~ii
niii
n
1ij
njij
n
1j
1njiji
1ni =
−−
−−
=
∑∑+==
+
+
(2.11)
Se w=1, obtém-se o método de Gauss-Seidel; para w<1 e w>1 tem-se
respect ivamente, sub e sobre-relaxação (BITTENCOURT, 1996).
Para facil i tar a convergência do método, pode se fazer a atual ização da
var iável u~ i através da seguinte equação, em função do fator de relaxação,
n...,,1i
a
a1
wn
ij1j ii
iji =≤
∑≠=
(2.12)
Porém, se por simplicidade for ut i l izado um único w para todas as
equações, de forma que este seja menor que todos os w i calculados o
método apresentará bons resultados.
A implementação do SOR é análoga à do Gauss-Seidel, devendo-se
considerar apenas as mult ipl icações por w a cada passo. A memória
requerida por este método é a mesma do que a do método estudado
anteriormente.
Observe-se o exemplo a seguir,
−=−−
=+−
=++
1xxx
1xxx
3xxx
321
321
321
cuja solução é (1, 1, 1), tem-se:
22
−+=
++−=
−−=
−
+++
++
+
1n2
1n1
1n3
n3
1n1
1n2
n3
n2
1n1
xx1x
xx1x
xx3x
:SeidelGauss
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
−++−=
++−+−=
−−+−=
+++
++
+
wxx1w1xx
wxx1w1xx
wxx3w1xx
:SOR1n
21n
1n
31n
3
n3
1n1
n2
1n2
n3
n2
n1
1n1
Part indo-se do vetor ( )0,0,0u~n = e com w = 1 (método de Gauss-Seidel)
e w = 0.5 (sub relaxação) têm-se os seguintes resultados:
Gauss-Seidel SOR
n X1 X2 X3 X1 X2 X3
0 0 0 0 0 0 0
1 3 2 2 1.5 0.25 1.125
2 -1 0 0 1.5625 0.9687 1.3593
3 3 2 2 1.1171 1.2226 1.1269
4 -1 0 0 0.8837 1.1166 0.9470
5 3 2 2 0.9100 0.9868 0.9350
6
-1 0 0
1.0040 0.9580 0.9855
Tabela 2.1: Convergência dos métodos de Gauss-Seidel e SOR.
Observar que com Gauss-Seidel, ocorrem osci lações periódicas nas
var iáveis u~ i , enquanto que com o SOR converge-se para a solução (1, 1, 1).
2.2.4 Aceleração Polinomial
A aceleração polinomial visa aumentar a taxa de convergência dos
métodos iterat ivos vistos anter iormente determinando uma nova seqüência
de aproximações, tomando combinações l ineares dos vetores obt idos nas
iterações do método em questão (Bit tencourt, 1996). Supondo-se que o
método considerado seja completamente consistente, simétr ico e def inido
por,
23
...,2,1,0nku~Gu~ 1nnn =+= − (2.13)
então, sendo u a solução exata, o vetor do erro e é def inido como,
...,2,1,0nuu~e nn =−= (2.14)
e sat isfaz a relação,
...,2,1,0neGe 0nn == (2.15)
A convergência das aproximações u~ , é acelerada com o auxi l io de uma
nova seqüência v que é calculada como sendo a combinação l inear,
...,2,1,0nu~v nn
0i
ni
n =α=∑=
(2.16)
tal que,
...,2,1,0n1n
0ii,n ==α∑
=
(2.17)
Considerando-se ê o erro cometido pela aproximação de u por v,
subtraindo-se de ambos os lados da equação (2.16) os valores da solução
exata u e ut i l izando o resultado fornecido pela equação (2.15), obtém-se,
( ) 0n
0in
0i
ni
in
0i
ni
n eGQeGeê =α=α= ∑∑==
(2.18)
onde,
( ) nn,n1,n0,nn GGIGQ α++α+α= L (2.19)
é um pol inômio matr icial.
Tomando-se a equação 2.20 como o polinômio algébrico associado a ( )GQn
observa-se que ( ) 11Qn = .
24
( ) nn,n1,n0,nn xxxQ α++α+α= L (2.20)
A part ir das equações (2.16) e (2.17) verif ica-se que 00 eê = pelo que
se conclui que o erro para ên também pode ser calculado pela equação
(2.18) isto é,
( ) 0n
n êGQê = (2.21)
A equação (2.21) dá o nome de aceleração polinomial ao método que a
ut i l iza. No entanto, adotar este procedimento, como exposto, não é viável
posto que o custo computacional torna-se muito elevado devido à equação
(2.16), o que é resolvido construindo-se o polinômio ( )xQn a part ir da relação
de recorrência abaixo (2.22), onde iγ e iρ são números reais.
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1nxQ1xQ1xxQ
1xxQ
1xQ
1n1nn1n11n1n1n
111
0
≥ρ−+γ−+γ−γρ=
+γ−γ=
=
−+++++
(2.22)
Além disso, ( ) 0n11Qn ≥∀= . Com ( )xQn dado pela equação (2.22), as
aproximações u~ n da equação (2.4) podem ser determinadas assim:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1nu~1u~1ku~Gu~
u~1ku~Gu~
1n1n
n1n
n1n1n
1n
01
01
1
≥ρ−+γ−++γρ=
γ−++γ=
−−+++
+
(2.23)
(2.24)
Existem vár ias seqüências de pol inômios ( ) xQn que sat isfazem a
equação (2.22), entre elas estão as associadas aos métodos do Gradiente
Conjugado e ao de Chebyshev.
25
2.2.5 Método do Gradiente Conjugado (CG)
O nome deste método deve-se ao fato de que o mesmo gera uma
seqüência de vetores conjugados (or togonais). Estes vetores são os
gradientes de um funcional quadrát ico (ou seja, n=2 da equação (2.22)) cuja
minimização é equivalente a resolver o sistema linear.
Se a equação (2.1) for redef inida como sendo,
u~Af)u~(r −= ou mudando a notação , xAf)x(r −= (2.25)
Então, o alvo da solução do sistema linear descr ito na equação (2.1)
seria determinar x tal que r(x) seja igual a zero.
Isto pode ser feito local izando-se o mínimo de uma função q(x) def inida por,
fxxAx21
)x(q −= (2.26)
desde que,
)x(r)x(q =∇ (2.27)
Ao procurar iterat ivamente uma solução de (2.1), em geral tem-se,
pxx n1n α+=+ (2.28)
onde α é um escalar e p a direção de um vetor. Evidentemente, se o escalar
α for igual a zero, a solução de (2.1) já foi encontrada o que implica em que
o vetor x não mais sofre modif icações, isto é, uu~ ≡ .
A idéia do CG é dar um passo numa direção (p) que seja perpendicular
(conjugada) a todos os passos anter iores e localizar α da equação (2.28) de
modo que minimize a função ( )pxq α+ .
Para selecionar a direção do vetor p em cada passo, o CG uti l iza a
regra inscrita na seguinte equação (2.29):
26
( ) ( )[ ]( )[ ]2n
n21n1n1n
xr
pxrxrp
+++ +=
(2.29)
onde, pn é a direção anterior e r como def inido na equação (2.25).
Isto feito, o problema (2.1) transforma-se em uma busca
unidimensional, isto é a minimização da função a (na equação 2.30), com
uma única var iável e mais, uma função que possui representação analít ica
de classe ∞C por se tratar de um polinômio, tendo portanto solução analít ica
conhecida.(Vanderplaats)
f)px()px(A)px(21
)px(q α+−α+α+=α+ (2.30)
.O CG é um método extremamente ef iciente quando a matr iz dos
coef icientes é simétr ica, posit iva e def inida, e requer o armazenamento um
número l imitado de vetores, resultando em mais 4N posições de memória
(Barret, 1994). No entanto, na sua ut i l ização juntamente com o método de
Mult i Grelha, não demostrou ser tão ef iciente quanto os métodos iterat ivos
estacionár ios, o que não é uma contradição posto que a ef iciência isolada de
um determinado método está relacionada com a rapidez com que o mesmo
converge para a solução procurada e, portanto no modo deste reduzir as
altas f reqüências do erro.
Há variações do GC como as citadas a seguir e que ut i l izam
basicamente o mesmo principio acima descrito: Gradiente Bi-Conjugado
(BiCG), Gradiente Conjugado Quadrado (CGS), e Gradiente Bi-Conjugado
Estabil izado (BI-CGSTAB).
O Gradiente Bi-Conjugado (BiCG) é um método que gera duas
seqüências de vetores, de modo análogo à gerada pelo CG. A pr imeira é
baseada na matr iz dos coef ic ientes originais do sistema, e a segunda
baseia-se na matr iz transposta dos mesmos. Em vez de ortogonal izar cada
seqüência, as mesmas são geradas de modo a serem mutuamente ortogonais
ou bi-ortogonais. Do mesmo modo que o CG, este método necessita de
espaço l imitado para seu armazenamento. É geralmente ut i l izado quando a
matr iz não é simétr ica nem singular, no entanto a convergência pode vir a
27
ser irregular. BiCG requer a mult ipl icação entre os coef icientes da matr iz e
os da sua transposta a cada iteração.
Já o Gradiente Conjugado Quadrado (CGS) é uma var iação do BiCG
que aplica as operações de atual ização para as seqüências da matr iz dos
coef icientes e para as da sua transposta a part ir do mesmo vetor. Em
principio, a taxa de convergência estar ia sendo duplicada mas, na prát ica a
convergência pode vir a ser muito mais ir regular do que a do BiCG levando a
resultados incorretos. Uma vantagem prát ica é a de que este método não
necessita da mult ipl icação entre os coef icientes da matr iz e os da sua
transposta a cada iteração.
Por sua vez, o Gradiente Bi-Conjugado Estabi l izado (BI-CGSTAB): é
outra variação do BiCG mas se vale de diferentes atual izações para as
seqüências relacionadas à matr iz transposta dos coef icientes a f im de
suavizar a convergência (Barret, 1994).
2.2.6 Aceleração de Chebyshev
A Iteração Recursiva de Chebyshev determina pol inômios cujos
coef icientes são escolhidos para minimizar a norma dos resíduos no sent ido
dos máximos e mínimos. O pol inômio ( ) xQn como descr itos no item 2.1.4 é
tal que o raio espectral,
( )( )( ) ( )
( )inGMxGm
n QmaxGQS µ=≤≤
(2.31)
seja pequeno, onde iµ ( i = 1, . . . , N) são os autovalores de G. Como todo o
espectro de G é raramente conhecido, trabalha-se com o raio espectral
vir tual dado por,
( )( )( ) ( )
( )xQmaxGQS nGMxGm
n≤≤
= (2.32)
Como ( ) ( )[ ]GM,Gmi ∈µ , tem-se que,
( )( ) ( )( )GQSGQS nn ≤ (2.33)
28
Logo, neste método procura-se minimizar ( )( )GQS n através da escolha
adequada da seqüência ( ) xQn .
Os coef icientes da matr iz devem de ser posit ivos e def inidos e requer
o conhecimento dos autovalores nas extremidades. Este método possui
ainda a vantagem adicional do não efetuar produtos internos durante sua
execução (Barret, 1994).
Para resolver o sistema apresentado na equação (2.1) por este método
há necessidade de 5N posições de memória.
2.3 A Técnica de Multi Grelha (MG)
2.3.1 Equação residual
Seja u~ uma aproximação da solução exata u da equação (2.1), em uma
iteração qualquer, isto é
= + f)u~ (eA (2.34)
Onde nn u~ue −= , (equação (2.14)), é o desvio, ou erro algébr ico, da
aproximação u~ em relação à solução exata u. A norma deste erro e é
def inida como:
jNj1
emaxe≤≤∞
= e 2
1N
1j
2j2
ee
= ∑=
(2.35)
Evidentemente o valor exato deste erro é tão inacessível quanto o
valor da solução exata o que impossibi l i ta a ut i l ização da equação (2.35)
como critér io de convergência precisando portanto haver uma est imat iva do
mesmo, no caso, o resíduo r como na equação (2.25), ou seja,
u~Af)u~(r −= (2.36)
pode ser calculado indicando quanto a aproximação u~ deixa de sat isfazer a
equação (2.1) (Br iggs, 1987). A norma do resíduo r pode ser calculada de
29
modo análogo ao da equação (2.35). Note-se que, caso o resíduo seja igual
a zero, a solução exata do problema foi encontrada, isto é, u ≡ v, o que torna
o erro igualmente nulo. Na prát ica, num processo iterat ivo, não se chega a
um resíduo r=0, mas interrompe-se o processo quando o mesmo for
suf icientemente pequeno, da ordem de 10 - 8 por exemplo.
Reorganizando a equação (2.36) como,
fru~A −= (2.37)
e efetuando a subtração entre as equações (2.1) e (2.37) tem-se,
( ) ru~-uA = (2.38)
que, com a inserção da relação (2.14) f ica,
= r eA (2.39)
A equação (2.39) é denominada equação do resíduo, indicando que o erro e
sat isfaz o mesmo conjunto de equações que a solução u quando f é
substituído por r, ou seja, resolver o sistema da equação (2.39) é
exatamente análogo a resolver o sistema da equação (2.1). A ut i l ização da
equação residual é apropriada para o método de Mult i Grelha pois os valores
de e, por se situarem em torno de zero em um processo iterat ivo, são mais
adequados aos processos de interpolação que transferem resultados entre
as malhas. Assim, dada uma aproximação u~ , obt ida por algum método
iterat ivo, pode-se calcular o resíduo r pela equação (2.36). Para melhorar u~ ,
determina-se o erro e pela equação residual (2.39) e corr ige-se a solução u
pela equação (2.14) (BRIGGS, 1987).
Observa-se que o custo para a solução exata de (2.39) é da mesma
ordem do sistema or iginal (2.1), o que torna viável o procedimento anterior.
Entretanto, como será visto posteriormente, busca-se a solução na malha
f ina, empregando-se os demais níveis apenas como esquemas de correção,
não havendo necessidade de resolver-se de forma exata as respect ivas
equações de resíduo nestas malhas.
30
2.3.2 O processo iterat ivo
Seja Ωh uma malha discret izada com uma dimensão caracter íst ica h e
Ω2h uma malha mais grossa com dimensão caracter íst ica 2h.
De uma forma geral o método Mult i Grelha segue o seguinte processo
iterat ivo:
1) relaxar algumas vezes hhh fuA = (equação (2.1)) na malha Ωh obtendo
um valor inic ial u~ h ,
2) calcular o resíduo )u~A(fr hhhh −= (equação (2.36)),
3) transferir os valores deste resíduo r h para a malha mais grossa Ω2h ,
com auxíl io de funções interpoladoras obtendo-se r 2 h .
4) relaxar algumas vezes a equação residual 2h2h2h reA = (equação
(2.39)) na malha Ω2h , obtendo-se valores para e2h ,
5) transferir os valores deste erro e2 h para a malha mais f ina Ωh , com
auxíl io de funções interpoladoras obtendo-se eh .
6) corr igir a aproximação da malha f ina com hhh eu~u +← (equação 2.14),
1) hhh fuA = → u~ h
2) )u~A(fr hhhh −=
3) 2hh2hh rrI =
Ωh
4) 2h2h2h reA = → e2 h
5) hh2hh2 eeI =
6) hhh eu~u +←
Ω2h
Figura 2.1: processo iterat ivo
31
2.3.3 Operadores de transferência entre malhas
Os elementos pr incipais vistos anter iormente revelam a necessidade
de operadores para transferir informações entre as malhas. Inic ialmente
assume-se que a malha grossa possui a metade do número de incógnitas da
malha f ina ou ainda que o tamanho dos elementos grossos é o dobro
daqueles da malha f ina. Assim a malha grossa está contida na f ina, ou seja,
estão aninhadas (nested meshes) (Bit tencourt, 1996).
2.3.3.1 Operador de restrição
A prát ica tem demonstrado que o mecanismo de transferência de
informações (passo 3 do sub capítulo 2.3) da malha f ina Ωh para a grossa
Ω2h pode ser realizado l inearmente, com bons resultados. Denotando esta
operação, chamada restr ição, por 2hhI (Briggs, 1987), tem-se:
h2j
2hj
2hh2hh
h2h2hh
rronderrI
:I
==
Ω→Ω
(2.40)
Observe-se que, o operador da equação (2.40) é um operador injet ivo, isto é,
os pontos da malha grossa assumem os valores correspondentes da malha
f ina.
2.3.3.2 Operador de prolongação
A transferência dos valores das funções (passo 5 do sub capítulo 2.3)
da malha mais grossa Ω2h para a mais f ina Ωh , é denominada prolongação ou
interpolação, sua denotação é dada por hh2I . Bi-dimensionalmente pode ser
real izada do seguinte modo,
hh2hh2 :I Ω→Ω
hh2hh2 eeI =
(2.41)
32
onde,
h2j,i
hj2,i2 ee =
(2.42)
( )h2j,1i
h2j,i
hj2,1i2 ee
21
e ++ +=
( )h21j,i
h2j,i
h1j2,i2 ee
21
e ++ +=
( )h21j,1i
h21j,i
h2j,1i
h2j,i
h1j2,1i2 eeee
41
e ++++++ +++=
com
12M
i0 −≤≤
12M
j0 −≤≤
onde M é o número de pontos em x e y.
Estes procedimentos, i lustrados para duas malhas podem ser
estendidos recursivamente até se at ingir a malha mais grosseira possível,
isto é, a de 3 pontos, e daí retornando-se à mais f ina, onde reside af inal a
solução do problema original (BRIGGS, 1987).
Figura 2.2: transferências de dados entre malhas
h2Ω
h2hI
hΩ
h2Ω
hh2I
hΩ
33
2.3.4 Ciclos Multi Grelha
O percurso de descida e subida pode ser real izado de formas
diferentes, surgindo daí os diversos t ipos de cic los Mult i Grelha. O
parâmetro mc no algoritmo do MG determina o número de chamadas
recursivas dos níveis mais grosseiros. Para mc = 1, ver if ica-se uma descida
simples até o fundo com retorno imediato à superf íc ie (Figura 2.3), é o
chamado cic lo V.
Figura 2.3: mc = 1, cic lo em V
O ciclo W é (Figura 2.4) é geralmente mais robusto do que o ciclo V,
além de ser mais fáci l a sua anál ise na teoria de convergência clássica do
MG. No entanto, é mais caro, e em apl icações de ref inamento local (ou em
1D) pode não apresentar resultados suf ic ientemente precisos. Os ciclos W
são especialmente caros em algoritmos paralelos. Como o próprio nome o
sugere, este cic lo, desce da malha mais f ina para a mais grosseira, como no
cic lo V, porém no retorno interrompe a subida em uma malha intermediária,
voltando novamente ao fundo, para só então retornar def init ivamente à
superf ície.
Figura 2.4: mc = 2, Ciclo em W
Figura 2.5: Ciclo misto
34
A f igura precedente (Fig. 2.5) mostra a possibil idade de também criar
cic los da junção dos anter iores. A idéia consiste em monitorar o progresso
da iteração em algum sentido e poder decidir como ou quando realizar o
deslocamento entre as malhas (RUEDE, 1995).
2.4 Resultados na util ização do Multi Grelha
2.4.1 Caso unidimensional permanente
Para o estudo do comportamento do MG num caso unidimensional, foi
abordado o escoamento de Poiseui l le em um canal plano completamente
desenvolvido, em regime permanente.
Fenômeno f ísico:
O escoamento isotérmico completamente desenvolvido no inter ior de um
canal plano bidimensional (escoamento de Poiseuil le), é governado pelas
seguintes equações :
Cont inuidade: 0xu
=∂
∂
(2.43)
Momentum: 0y
uxP
2
2
=∂
∂η+
∂
∂
(2.44)
com,
tetanconsxP
=∂
∂−
(2.45)
onde u é a velocidade do escoamento e P a pressão do f luido.
Adimensional isando as variáveis tem-se:
hy
y * = (2.46)
35
u
dxdP
hu
2
* η−=
(2.47)
onde o sinal do lado direito da equação depende do gradiente de pressão (-1
para gradiente negativo e 1 para gradiente posit ivo). Se a f ronteira superior
do canal se movimenta, tem-se um escoamento de Couette-Poiseui l le, cujas
condições de contorno são:
0 u(0)
u u(2h)
=
=
(2.48)
LPP
xP 12 −
=∂
∂
(2.49)
Figura 2.6: Escoamento de Poiseuil le
Solução analít ica:
O problema proposto torna-se então:
dxdp1
dy
ud2
2
η
−= 0 ≤ y ≤ 2h
(2.50)
36
com as seguintes condições de contorno:
0)0(u = (2.51)
0)h2(u = (2.52)
Tomando-se
cdxdp1
=η
−
(2.53)
onde c é uma constante que, a modo i lustrat ivo, tomará o valor –1, tem-se
então:
bayy21
uaydydu
1dy
ud 22
2
++−=⇒+−=⇒−= (2.54)
Apl icando-se as condições de contorno e tomando h=0.5 tem-se:
1a0)1(u)h2(u
0b0)0(u
=⇒==
=⇒=
(2.55)
Assim sendo, a solução analít ica do problema proposto é:
y21
y21
u 2 +−= (2.56)
onde y pertence ao intervalo [0,1].
Solução numérica:
Para se resolver numericamente o problema será ut i l izado o método de
diferenças f in itas centrais como a seguir :
37
⇒= cdy
ud2
2
⇒=
c
dydu
dydu
como,
y2uu
dydu 1i1i
i∆
−≈ −+
( )⇒
∆
−+≈
∆
−≈ −+−+
2i1i1i1i1i
2
2
y
u2uuy2uu
dyd
dy
ud
( )c
y
u2uu2
i1i1i =∆
−+ −+
ou na forma matr icial, Au=c, onde,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )2
22
222
22
y
2...000
...............
0...y
2
y
10
0...y
1
y
2
y
1
0...0y
1
y
2
A
∆
−
∆
−
∆
∆∆
−
∆
∆∆
−
=
com c = -1 e u a solução procurada do sistema.
Note-se que a matr iz A é tr id iagonal, s imétr ica, posit iva de dimensão
(N-1) x (N-1), onde N é o número de pontos da malha principal. Os
resultados a seguir servem de comparação para atestar a ef iciência do MG,
onde é notável a capacidade e faci l idade do MG em l idar com malhas
extremamente f inas.
Gauss-Seidel Gauss-Seidel+MG
Número de pontos 1024 1024
Número de iterações 220343 12
Tempo de execução 605 segundos 1 segundo
Tabela 2.2: Resultados de convergência para diferentes métodos de
relaxação
38
Na Figura 2.7 é analisado o desempenho do MG em relação ao tempo
de execução, onde Nv é o número de malhas ut i l izadas (sub-níveis) e w é o
fator de relaxação. Se w=1 tem-se o método de Gauss-Seidel. Se w>1 tem-
se o SOR (Sucessive Over Relaxation). A Figura 2.8 mostra a var iação no
número de iterações do MG em função da variação do fator de relaxação.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Numero de sub-niveis (Nv)
0
500
1000
1500
2000
tem
po
(seg
un
do
s)
W=1
Figura 2.7: I terações = f (Nv)
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2fator de relaxacao
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
itera
coes
Figura 2.8: I terações = f (W)
Nota-se que o número mínimo de iterações ocorre nas proximidades de
w = 1, isto é, o SOR, para este problema, não desempenha a contento o seu
papel de suavizador quando acoplado ao MG (PRESS et al, 1992).
39
0 0.25 0.5 0.75 1y
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12u
(y)
num ericaanalitica
Figura 2.9: Perf i l parabólico da velocidade no escoamento de Poiseui l le
2.4.2 Solução bidimensional de transferência de calor
Para o estudo do comportamento do MG num caso bidimensional
el ípt ico transiente, foi abordado um problema teórico de condução de calor
bidimensional:
0t1y01x0TT 2t ≥≤≤≤≤∇= (2.57)
com temperatura imposta igual a zero em todos os lados e condição inic ial
dada por :
)y4(sin)x4(sin)0,y,x(T ππ= (2.58)
e cuja solução exata é dada por:
t32 2
e)y4(sin)x4(sin)t,y,x(T π−⋅π⋅π= (2.59)
40
-1
-0.5
0
0.5
1
Tem
per
atu
ra
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
Figura 2.10: Condição inic ial do problema 2-D de val idação referente às
equações (2.57) e (2.58).
Part indo de uma malha quadrada e visando determinar o número de
pontos da malha conveniente ao problema, foi feita uma análise do erro
apresentado pelo MG, em relação à solução exata e o tempo de CPU
necessário para o processamento em cada caso. Os resultados obtidos
podem ser visualizados nas Figuras 11 e 12, onde M é o número de pontos
da malha
100 200numero de pontos
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
no
rma
eu
clid
ian
ad
os
resi
du
os
Figura 2.11: Erro = f (M)
41
100 200numero de pontos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
tem
po
de
CP
U
Figura 2.12: CPU = f(M)
Na Figura 2.13, a ef ic iência do MG pode ser constatada no tempo de
processamento necessár io (CPU) em função do número de sub-níveis
ut i l izados. Convém sal ientar que para um número nulo de sub-níveis, o
método de solução do sistema nada mais é que o de Gauss-Seidel ou o SOR,
dependendo do valor de relaxação w. O erro permaneceu aproximadamente
em 7 10 - 6 para todos os sub-níveis.
Na anál ise do fator de relaxação w, constatou-se novamente a
conveniência em ser usado w igual a um, isto é, o Método Iterat ivo de
Solução de Gauss-Seidel, o que pode ser facilmente verif icado observando-
se a Figura 2.14.
0 1 2 3 4 5 6numero de sub-niveis
0
50
100
150
200
250
tem
po
de
CP
U
Figura 2.13: Tempo = f (sub-níveis)
42
0.5 1 1.5W
100
150
200
250
300
350
400
450
tem
po
de
CP
U
Figura 2.14: Tempo = f (W)
2.4.3 Lubrif icação Hidrodinâmica
A lubrif icação hidrodinâmica entre dois contatos é governada pela
equação clássica de Reynolds (HAMROCK & DOWSON, 1981):
( ) ( ))h(
t2
hvv
y2
huu
xyP
12h
yxP
12h
xbaba
33
ρ∂
∂+
+ρ
∂
∂+
+ρ
∂
∂=
∂
∂
η
ρ
∂
∂+
∂
∂
η
ρ
∂
∂
(2.60)
onde,
p é o campo de pressão que surge entre os contatos lubrif icados
h(x,y) é a separação geométrica entre as superf ícies
ρ a densidade
η a viscosidade
ua e ub va e vb são as velocidades das superf ícies desl izantes. Usualmente
ua = u e ub = va = vb = 0.
em regime permanente,
0t
=∂
∂
(2.61)
Quando se ignora a deformação elást ica introduzida pela pressão, h é
calculada levando-se em conta somente grandezas de caráter geométrico.
Normalmente ρ e η dependem da pressão o que torna a equação de
Reynolds não-l inear e de dif íc i l solução.
43
Os resultados da tabela a seguir foram obtidos para o problema l inear
simples, onde ρ e η são constantes com h independente da pressão:
Tempo de CPU (segundos)
Com MG Sem MG
SOR 4 517
Gauss-Seidel 6 530
Gradiente Bi-Conjugado 16 664
Tabela 2.2: Tempo de CPU na lubr if icação hidrodinâmica para cada método
de solução.
Erro máximo
Com MG Sem MG
SOR 10 - 1 0 10 - 8
Gauss-Seidel 10 - 1 1 10 - 4
Gradiente Bi-Conjugado 10 - 9 10 - 6
Tabela 2.3: Erro na lubrif icação hidrodinâmica para cada método de solução.
10 20 30 40 50X
10
20
30
40
Y
Figura 2.15: Curvas de nível da pressão
44
0 50 100 150 200X
0
2E-07
4E-07
6E-07
8E-07
1E-06
P
Figura 2.16: Pressão em y=ymédio.
CAPÍTULO III
LUBRIFICAÇÃO ELASTO-HIDRODINÂMICA (EHD)
3.1 Considerações Preliminares
Em muitos contatos entre elementos de máquinas transmitem-se forças
através de f inos, embora contínuos f i lmes de f lu ido. Estes f i lmes de f lu idos
tem sido bem compreendidos já há muito tempo quando relacionados à
lubr if icação hidrodinâmica de mancais e os resultados experimentais
conf irmam a teoria. Em 1916 Mart in já havia percebido que muitos contatos
carregados, tais como rolamentos e engrenagens, provavelmente se
comportam como se fossem hidrodinâmicamente lubrif icados. Ao contrár io do
que ocorr ia com os mancais, a lubr if icação hidrodinâmica de engrenagens e
rolamentos difer iam substancialmente de resultados experimentais. Somente
nos últ imos anos é que a deformação elást ica dos contatos foi acoplada à
hidrodinâmica fornecendo uma melhor aproximação da teoria com os
exper imentos. De fato, as teorias mais antigas de lubr if icação de contatos
pontuais admit iam que as superf íc ies eram indeformáveis e que o lubrif icante
era iso-viscoso (KAPITZA, 1955). Entretanto, tais teorias apl icam–se
somente às mais leves cargas.
A Lubr if icação Elasto-Hidrodinâmica (EHD) trata da lubr if icação de
contatos elást icos. A anál ise requer a solução simultânea das equações da
elast ic idade e da hidrodinâmica (equações de Reynolds). A Lubr if icação
Elasto-Hidrodinâmica difere da teoria de lubrif icação hidrodinâmica
convencional nos seguintes aspectos:
• ao se def inir a espessura de f i lme, leva-se em conta a deformação
elást ica do contato,
• a viscosidade e densidade dependem da pressão.
Quando dois sólidos estão em contato sob carga nula, dois t ipos
dist intos de contatos são possíveis. O primeiro é o contato pontual, no qual
os dois sólidos tocam-se num ponto, como ocorre em rolamentos. O segundo
é um contato l inear, no qual os dois sól idos tocam-se ao longo de uma linha
46
reta ou curva, como num rolamento ci l índr ico. Após a apl icação da carga
num contato pontual, o ponto expande-se numa el ipse e a l inha num
retângulo. Embora estejamos interessados em contatos carregados, é
conveniente dist inguir as situações acima se referindo às mesmas como
contato pontual ou contato l inear.
A maior ia dos trabalhos em EHD versa sobre contatos l ineares. Grubin,
em 1949, foi o primeiro a tentar uma solução do problema de EHD l inear
isotérmico. Na anál ise de Grubin admit iu-se que a forma, elast icamente
deformada dos sól idos, num contato lubrif icado, altamente carregado, era a
mesma que a forma produzida num contato seco (Hertziano). Esta hipótese
facil i tou a solução da equação de Reynolds na região de entrada do contato
e permit iu o cálculo da separação dos sólidos.
Para i lustrar as idéias expostas anteriormente, considere-se o caso de
um cil indro rolando sobre um plano. A geometria da combinação ci l indro-
plano é mostrada na Figura 3.1:
Figura 3.1 Geometr ia e nomenclatura do cil indro plano
h0
h(θ)
X
θ
U2
Y
U1
47
Seja h0 a separação mínima entre o cil indro inf initamente longo de
raio R e o plano; então numa posição angular genérica θ , a espessura de
f i lme é dada por:
( )θcosnn
h += 1R
- (3.1)
onde,
Rn
+=
0h
R-
(3.2)
Para um ci l indro longo a equação de Reynolds reduz-se a
dx
dhU
dx
dph
dx0
3
6µ
d=
(3.3)
onde
210 UUU += (3.4)
apl icando-se a condição de contorno de Swif t-St ieber,
cavPp0p
==∂
∂
θ
(3.5)
obtém-se a distr ibuição de pressões ao longo da circunferência do ci l indro.
Isto feito, pode-se calcular o componente da força do lubrif icante que atua
normalmente ao plano. Se P y representa esta força por unidade de
comprimento tem-se,
∫=2
1
x
xy dxpP (3.6)
48
0hR
cavθ (graus)
0
yy
U
PP
µ=
10 11.3105 1.3985 10
102 3.8200 2.2140 102
103 1.2166 2.4103 103
104 0.3850 2.4423 104
105 0.1220 2.4444 105
106 0.0385 2.4473 106
Tabela 3.1: Componentes da força do lubrif icante que atua normalmente ao
plano do ci l indro i lustrado na Figura 3.1
Da Tabela 3.1 pode-se inferir a seguinte aproximação,
y
00
PU
45.2h µ
=R
(3.7)
Est imando-se a espessura mínima para o contato do dente de uma
engrenagem t ípica,
s.Pa075.0=µ (3.8)
s/m10Us/m5UU 021 =→== (3.9)
cm/KN5.26Py = (3.10)
resultando,
60 1069.0=hR
(3.11)
Admit indo-se um raio R=2.5 cm,
49
60 1072.1h −= (3.12)
Este valor é pequeno quando comparado até mesmo com os melhores
acabamentos superf iciais encontrados na prát ica. Até o acabamento
superf icial de uma esfera de rolamento t ípica chega a superar em dobro o
valor acima, isto sem levar-se em conta a pista de rolamento cujo
acabamento é bem mais grosseiro do que o da esfera. Para engrenagens
hel icoidais ter-se- ia a superf íc ie ret if icada e pol ida em torno de 2 10 - 5 a 4 10 -
5 cm. Isto tudo conduz à conclusão de que a teoria hidrodinâmica clássica é
incapaz de expl icar a existência de um f i lme contínuo em contatos altamente
carregados.
Nem a deformação elást ica nem a dependência da viscosidade à
var iação da pressão podem isoladamente produzir o aumento desejado ho/R.
Para uma solução completa do problema de EHD deve-se sat isfazer
simultaneamente as seguintes equações:
• A equação de Reynolds,
• A relação entre a viscosidade e densidade com a pressão,
• As equações da elast icidade.
Descobre-se logo que o esquema iterat ivo convencional representado
na f igura 3.2 nem sempre converge.
Figura 3.2: Esquema iterat ivo convencional da EHD
Pressão
Forma do f i lme Deformação
50
Isto ocorre part icularmente quando a deformação elást ica das
superf ícies é grande. Para contornar este percalço, Dowson e Higginson
(1959) propuseram a chamada solução inversa.
A essência da solução inversa reside no cálculo da forma do f i lme que
uma determinada distr ibuição de pressões irá impr imir. Esta distr ibuição de
pressões é também empregada no cálculo da deformação elást ica
superf icial. O restante do processo computacional consiste numa alteração
sistemát ica da distr ibuição até que se consiga a coincidência entre a forma
do f i lme hidrodinâmico e a superf íc ie deformada.
Dowson e Higginson (1959) obtiveram a seguinte fórmula para a
espessura mínima do f i lme:
( )13.0
43.003.07.00
6.0
W
R'Eu6.1h
µα=
(3.13)
onde, apl icando-se esta fórmula à engrenagem típica estudada tem-se,
40 108.1h −= (3.14)
que é 100 vezes maior do que o valor obt ido através da teoria clássica.
3.2 Contato Hertziano
Dois sólidos elást icos, com diferentes raios de curvatura num par de
planos pr incipais (x e y) passando através do contato entre os sól idos,
tocam-se num único ponto na ausência de carga externa.
Esta condição é chamada de contato pontual e é i lustrada na Figura 3.3
exibi da a seguir. Por conseguinte, mostra-se uma análise na qual foi
adotada uma curvatura posit iva para superf ícies convexas (como a da
mencionada Figura 3.3) e também da curvatura negativa para superf íc ies
côncavas.
51
Figura 3.3: geometria do contato elást ico sól ido pontual
Def ine-se a soma de curvaturas (HAMROCK, 1981) como:
yx R1
R1
R1
+= (3.15)
e a diferença das curvaturas como
−=Γ
yx R1
R1
R (3.16)
X
Y
Rb x
Rb y
Ra x
Ra y
Y
X
F
F
52
onde,
byayy rrR
111+=
(3.17)
bxaxx r1
r1
R1
+= (3.18)
Quando os sól idos da Figura 3.3 têm uma força normal apl icada, três
importantes aspectos devem ser anal isados,
• A geometria do contato.
• O surgimento de um campo de pressão e
• A deformação dos sól idos.
3.2.1 Geometria dos sól idos elást icos em contato seco
A deformação dos sól idos da Figura 3.3 sob a ação de uma força F,
expande o ponto de contato em uma elipse de semi-eixo maior a e semi-eixo
menos b. Esta el ipsóide mostrada na Figura 3.4 é def inida como:
ba
k = (3.19)
Figura 3.4: El ipse de contato
a
b