a trigonometria no triÂngulo retÂngulo na grécia antiga, entre os anos de 180 a.c. e 125 a.c.,...
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A TRIGONOMETRIA
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Notacaoc.zip
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Na Grécia antiga, entre os anos Na Grécia antiga, entre os anos de 180 a.C. e 125 a.C., viveu Hiparco, de 180 a.C. e 125 a.C., viveu Hiparco,
um matemático que construiu a um matemático que construiu a primeira tabela trigonométrica. Esse primeira tabela trigonométrica. Esse trabalho foi muito importante para o trabalho foi muito importante para o desenvolvimento da Astronomia, pois desenvolvimento da Astronomia, pois
facilitava o cálculo de distâncias facilitava o cálculo de distâncias inacessíveis, o que lhe valeu o título de inacessíveis, o que lhe valeu o título de
PAI DA TRIGONOMETRIA.PAI DA TRIGONOMETRIA.
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Mais tarde, no primeiro século Mais tarde, no primeiro século da era cristã, Ptolomeu da Alexandria da era cristã, Ptolomeu da Alexandria
escreveu uma coleção de livros escreveu uma coleção de livros conhecida como Almajesto, que significa conhecida como Almajesto, que significa
“o maior”. Nela aparece uma tabela “o maior”. Nela aparece uma tabela trigonométrica mais completa que a de trigonométrica mais completa que a de
Hiparco. Hiparco.
Foram muito importantes as Foram muito importantes as contribuições de Ptolomeu para a contribuições de Ptolomeu para a
Trigonometria estudada nos dias atuaisTrigonometria estudada nos dias atuais..
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Por que usar a Trigonometria?
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* Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.* Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais
fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.* Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa
saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria
anos para desenhar um mapa.
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ASTROLÁBIO
TEODOLITO
Um dos mais antigos instrumentos científicos, que
teria surgido no século III a.C. A sua invenção é
atribuída ao matemático e astrônomo grego Hiparco.
Instrumento geodésico, que serve para levantar plantas, medir ângulos reduzidos ao
horizonte.
ONTEM HOJE
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USANDO ÂNGULOS PARA MEDIR ALTURAS
Com a ajuda de um transferidor e de um canudinho de refrigerante
podemos medir o ângulo necessário para calcular alturas como a de um prédio, de uma
árvore ou uma torre. Esse ângulo é chamado ÂNGULO DE
ELEVAÇÃO.
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Propriedades do Triângulo Retângulo:
1-Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos
complementares.2-Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e
outros dois lados que são os catetos.
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3-Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e
a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A
outra altura é obtida tomando a base como a hipotenusa.
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altura
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
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hipotenusa
cateto oposto
sen = cateto opostohipotenusa
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hipotenusa
cos =cateto adjacente
hipotenusacateto
adjacente
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tg = cateto opostocateto adjacente
cateto adjacente
cateto oposto
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sen = cateto opostohipotenusa
cos = cateto adjacentehipotenusa
tg = cateto opostocateto adjacente
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Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:
Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é maior (55º > 30º)
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Vejamos agora a seguinte situação problema: Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das
duas rampas é mais íngreme?
Para situações como essa, que envolvem lados e ângulos de um triângulo retângulos, é que
buscaremos soluções a partir de agora.
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Índice de Subida
• Para cada ponto P de uma subida, temos uma altura, um percurso e um afastamento.
PontoPonto AlturaAltura AfastamentoAfastamento
AA 1m 1m 2m2m
BB 2m 2m 4m4m
CC 4m 4m 8m8m
2m 4m
1m2m
AB
C
Índice de Subida = Altura . = 1 Afastamento 2
8m
4m
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Vejamos o problema Inicial:
Na 1ª Rampa: índice = 3/4 = 0,75Na 2ª Rampa: índice = 5/7 = 0,714Portanto a 1ª Rampa é mais íngreme do que a segunda, pois 0,75 > 0,714
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TABELA TRIGONOMÉTRICA
Ângulo sen cos tg
1 0,017452 0,999848 0,017455
2 0,034899 0,999391 0,034921
3 0,052336 0,99863 0,052408
4 0,069756 0,997564 0,069927
5 0,087156 0,996195 0,087489
6 0,104528 0,994522 0,105104
7 0,121869 0,992546 0,122785
8 0,139173 0,990268 0,140541
9 0,156434 0,987688 0,158384
10 0,173648 0,984808 0,176327
11 0,190809 0,981627 0,19438
12 0,207912 0,978148 0,212557
13 0,224951 0,97437 0,230868
14 0,241922 0,970296 0,249328
15 0,258819 0,965926 0,267949
16 0,275637 0,961262 0,286745
17 0,292372 0,956305 0,305731
18 0,309017 0,951057 0,32492
19 0,325568 0,945519 0,344328
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Ângulo sen cos tg
30 0,5 0,866025 0,57735
31 0,515038 0,857167 0,600861
32 0,529919 0,848048 0,624869
33 0,544639 0,838671 0,649408
34 0,559193 0,829038 0,674509
35 0,573576 0,819152 0,700208
36 0,587785 0,809017 0,726543
37 0,601815 0,798636 0,753554
38 0,615661 0,788011 0,781286
39 0,62932 0,777146 0,809784
40 0,642788 0,766044 0,8391
41 0,656059 0,75471 0,869287
42 0,669131 0,743145 0,900404
43 0,681998 0,731354 0,932515
44 0,694658 0,71934 0,965689
45 0,707107 0,707107 1
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A Idéia de TangenteA Idéia de Tangente
O índice de subida, em uma rampa, chamaremos de TangenteTangente em um Triângulo Retângulo.
Tg x = Cat.Oposto Cat. Adjacente
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Exercício
Um avião levanta vôo e sobe fazendo um ângulo de 15º com a horizontal. A que altura ele estará e qual a
distância percorrida quanto sobrevoar uma torre a 2 Km do ponto de partida?
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tg 15º = CO CA
0,268 = x 2000
x = 536m
Altura: Distância: cos 15º = CAH
0,966 = 2000 d
d = 2070,39m
x
d
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Profº José Marcos