Oi, eu chamo-me Pitágoras (569-Oi, eu chamo-me Pitágoras (569-475 a.C.) e tenho muito interesse 475 a.C.) e tenho muito interesse por religião e mistério. Não é que por religião e mistério. Não é que eu seja convencido mas penso eu seja convencido mas penso que, no diz respeito a esta área, que, no diz respeito a esta área, sou melhor e mais interessado do sou melhor e mais interessado do que os filósofos da Jónia.que os filósofos da Jónia.

O meu pai chama-se Mnesarchus e O meu pai chama-se Mnesarchus e é um mercador de Tiro que viaja é um mercador de Tiro que viaja bastante e por isso encontra-se bastante e por isso encontra-se com aqueles homens sábios da com aqueles homens sábios da Síria e da Caldeia.Síria e da Caldeia.

Porque será que existe

vida na terra?

• Dizem que eu sou uma espécie de prodígio e o que é facto é que desde pequeno tenho grande interesse por filosofia.

•Há, também, aqui na zona, dois “seniores” chamados Thales e Anaximander que me estão sempre a dar dicas e a encorajar para prosseguir o meu estudo.

• Mas Thales, homem famoso e respeitado em toda a Jónia, é, quanto a mim, o mais sábio e o que me consegue encorajar e ensinar de forma mais espectacular. Só é pena que ele já seja um pouco velho.

Olá Thales. Qual vai ser o tema das

novas conversas hoje?

Hoje vamos falar de

triângulos

Ora, como Thales esteve no Egipto quando era jovem, passa a vida a “picar-me” para eu fazer o mesmo. Mas se Thales é tão sábio deve saber o que diz; tenho que pensar melhor no assunto.

Pitágoras, acho que devias ir para o Egipto

Mas o Egipto é rico em

conhecimentos

Egipto? Não, não me

agrada…

Não quero saber

Egipto é que não!!!

Quando cheguei interessei-me bastante pelos mistérios sagrados Egipcíos passando, por isso, a investigar e a estudar essa área.

Uma coisa que me estranhou bastante foi o facto de meia dúzia de sacerdotes dizerem que eu era divino só porque tinha um sinal, de nascença, na perna.

Começaram a falar de um Deus chamado Osíris e até diziam que eu tinha sido favorecido por esse Deus.

Ok, pronto

vou para o Egipto

A partir daí, e pela minha vida A partir daí, e pela minha vida fora, circularam rumores que eu fora, circularam rumores que eu era em parte divino; rumores era em parte divino; rumores esses a que eu também não esses a que eu também não liguei e para os quais não fiz liguei e para os quais não fiz nada para desencorajar.nada para desencorajar.

Ò divino não queres ir tomar

uma bica?

Agora não dá tenho que descobrir o que é um triângulo

rectângulo

Noutra etapa da minha vida, cerca Noutra etapa da minha vida, cerca de 525 a.C., fui feito prisioneiro de 525 a.C., fui feito prisioneiro pelos guerreiros Persas e levado pelos guerreiros Persas e levado do Egipto para a Babilónia cidade do Egipto para a Babilónia cidade esta que tinha fama de ser a mais esta que tinha fama de ser a mais rica cidade do mundo.rica cidade do mundo.

Na Babilónia aprendi muito com Na Babilónia aprendi muito com um homem chamado Zaratustra e um homem chamado Zaratustra e adquiri a maioria dos seus adquiri a maioria dos seus conhecimentos de matemática conhecimentos de matemática (não para me gabar mas acho que (não para me gabar mas acho que fiquei ainda com mais fiquei ainda com mais conhecimentos de matemática do conhecimentos de matemática do que o meu velho amigo Thales).que o meu velho amigo Thales).

Ola, o meu nome é Zaratustra, sou um

dos maiores filósofos da

Babilónia e gostava de te conhecer pois penso que tu és um jovem promissor.

Que pensas?

Ok, chamo-

me Pitágor

as

Deve ser um

velho che-ché

Depois de ter estado na Babilónia Depois de ter estado na Babilónia consegui regressar a Samos onde consegui regressar a Samos onde causei grande sensação devido às causei grande sensação devido às minhas calças e postura do minhas calças e postura do Oriente, o sinal da marca divina e Oriente, o sinal da marca divina e os meus dotes de orador. As os meus dotes de orador. As pessoas da cidade passaram a pessoas da cidade passaram a olhar-me com grande espanto.olhar-me com grande espanto.

Depois passou-me pela cabeça criar uma escola. Juntei um certo número de seguidores, deslocámo-nos para Croton ( uma colónia Grega no Sul de Itália) e aí fundámos a escola chamada o

“Semi-Círculo”.

Escola que ficou famosa pois eu tive a ideia de também admitir mulheres e pois lá todos nos sentíamos irmãos e trabalhávamos como tal.

Nós éramos estritamente Nós éramos estritamente vegetarianos, não tínhamos bens vegetarianos, não tínhamos bens pessoais (ex: partilhar uma escova pessoais (ex: partilhar uma escova de dentes com os outros) e era eu de dentes com os outros) e era eu quem ensinava os meus “irmãos” quem ensinava os meus “irmãos” desde que estes jurassem desde que estes jurassem segredo.segredo.

Posso dizer-vos que as coisas que Posso dizer-vos que as coisas que

mais fascinavam os “alunos” mais fascinavam os “alunos” desta escola era a ideia de que desta escola era a ideia de que tudo se reduzia a matemática e tudo se reduzia a matemática e também a mistura do misticismo também a mistura do misticismo do Oriente com o pensamento do Oriente com o pensamento Grego.Grego.

Para finalizar tenho Para finalizar tenho apenas mais um facto para apenas mais um facto para vos revelar e do qual me vos revelar e do qual me sinto muito orgulhoso. Eu sinto muito orgulhoso. Eu fui dos primeiros a pensar fui dos primeiros a pensar que a Terra era esférica e que a Terra era esférica e ainda agora estou a tentar ainda agora estou a tentar encontrar provas que encontrar provas que apontem nesse sentido.apontem nesse sentido.

Ora se………………..=…………………..+2*89563214-

78554566/8.5……………………………………a Terra

é esférica.

A Terra É Esférica!!!!!!

Em matemática partimos de proposições iniciais que se chamam axiomas e não necessitam de demonstração

Uma qualquer outra afirmação é verdadeira se resultar dos axiomas, ou de afirmações já provadas como verdadeiras, por aplicação das regras de lógica numa sequência finita de passos

Demonstração é o processo pelo qual eu provo que uma afirmação é verdadeira

À medida que o tempo À medida que o tempo passa, os matemáticos vão passa, os matemáticos vão descobrindo novas coisas, descobrindo novas coisas, passando assim a utiliza-passando assim a utiliza-las para a resolução de las para a resolução de problemas ou para fazer problemas ou para fazer demonstrações.demonstrações.

As demonstrações sofrem As demonstrações sofrem alterações com o tempo: alterações com o tempo: ou se fazem novas a partir ou se fazem novas a partir de novos teoremas ou se de novos teoremas ou se melhoram outras melhoram outras tornando-as mais simples.tornando-as mais simples.

Como já vimos, as Como já vimos, as demonstrações evoluem com demonstrações evoluem com o tempo e à medida que os o tempo e à medida que os conhecimentos humanos conhecimentos humanos aumentam.aumentam.

Por isso quando tentamos Por isso quando tentamos demonstrar algo devemos demonstrar algo devemos ter sempre em conta as ter sempre em conta as proposições que aprendemos proposições que aprendemos assim como devemos assim como devemos “atacar” o problema de “atacar” o problema de várias maneiras.várias maneiras.

• As demonstrações são bastante úteis pois permitem-nos verificar se uma dada proposição é ou não verdadeira.

• Assim estas podem originar formulas, que vão dar origem a novos teoremas, que vão ajudar a resolver problemas. E é assim que o conhecimento matemático evolui.

Thales tinha-me ensinado queThales tinha-me ensinado que::

Num sistema de rectas paralelas Num sistema de rectas paralelas intersectadas por uma secante ângulos intersectadas por uma secante ângulos opostos em relação à secante, se do opostos em relação à secante, se do mesmo tipo, são iguais.mesmo tipo, são iguais.

Sistema de rectas paralelas intersectadasSistema de rectas paralelas intersectadas

por uma secantepor uma secante

Então concluí que:Então concluí que:

Num triângulo a soma dos Num triângulo a soma dos ângulos internos é igual a um ângulos internos é igual a um

ângulo rasoângulo raso

Vejam:Vejam:

Soma dos ângulos de um Soma dos ângulos de um triângulotriângulo

Para os triângulos rectângulos conhecidos Para os triângulos rectângulos conhecidos verificava-se que verificava-se que

o quadrado de um dos lados o quadrado de um dos lados

( a hipótenusa ) ( a hipótenusa )

era igual era igual

à soma dos quadrados dos outros dois à soma dos quadrados dos outros dois

( os catetos )( os catetos )

Tal não se verificava para Tal não se verificava para outros triângulos.outros triângulos.

Parecia ser uma Parecia ser uma propriedade dos propriedade dos triângulos rectângulostriângulos rectângulos

Mas como provar que Mas como provar que era válida para era válida para qualquer um?qualquer um?

Como são infinitos não Como são infinitos não podia verificar em podia verificar em todos…todos…

Pensei então: Pensei então:

Os triângulos rectângulos devem ter Os triângulos rectângulos devem ter uma propriedade, não comum aos uma propriedade, não comum aos outros, e graças à qual a igualdade outros, e graças à qual a igualdade referida se verifica. referida se verifica.

Qual seria?Qual seria?

Comecei por definir com rigor o que é Comecei por definir com rigor o que é um triângulo rectângulo.um triângulo rectângulo.

Cortei quatro triângulos Cortei quatro triângulos iguaisiguais

Se forem rectângulos,Se forem rectângulos,se justapostos,se justapostos,

cobrem o plano sem se sobreporemcobrem o plano sem se sobreporem

O ângulo com vértice no centro chama-se rectoO ângulo com vértice no centro chama-se recto

É agora óbvio que dois ângulos rectos dão um É agora óbvio que dois ângulos rectos dão um raso como a soma dos ângulos de um triânguloraso como a soma dos ângulos de um triângulo

Num triângulo rectângulo, em que um dos Num triângulo rectângulo, em que um dos ângulos é recto, a soma dos ângulos agudos é, ângulos é recto, a soma dos ângulos agudos é, por isso, igual a um rectopor isso, igual a um recto

Resolvi depois dispor os triângulos da Resolvi depois dispor os triângulos da forma seguinte:forma seguinte:

(juntando um quadrado no meio de lado igual à (juntando um quadrado no meio de lado igual à diferença dos catetos)diferença dos catetos)

Notem que o segmento laranja é igual Notem que o segmento laranja é igual

ao azul mais o amareloao azul mais o amarelo

É fácil ver que se trata de um É fácil ver que se trata de um quadrado: quadrado: em cada vértice o ângulo do em cada vértice o ângulo do quadrado é a soma dos ângulos agudos do triângulo quadrado é a soma dos ângulos agudos do triângulo rectângulo que como vimos é um ângulo rectorectângulo que como vimos é um ângulo recto

ee

é fácil ver que se trata do:é fácil ver que se trata do:

QuadradoQuadrado

da da

hipótenusahipótenusa

Depois de várias tentativas Depois de várias tentativas consegui dispô-los assim:consegui dispô-los assim:

E obtive a E obtive a

soma do quadrado dos soma do quadrado dos

catetoscatetos

como facilmente como facilmente reconhecerás reconhecerás

Fiquei tão contente com esta dádiva dos Fiquei tão contente com esta dádiva dos

Deuses que resolvi oferecer-lhes Deuses que resolvi oferecer-lhes 100 bois.100 bois.

I´m a I´m a believerbeliever

!!!!!!

Me Me too!!too!!

!!

• Autores – José Veiga de Faria (Júnior)Autores – José Veiga de Faria (Júnior)

José Veiga de Faria (Senior)José Veiga de Faria (Senior)

• Apresentação realizada com base num trabalho já antes realizado Apresentação realizada com base num trabalho já antes realizado sobre a vida de Pitágoras.sobre a vida de Pitágoras.

• Os elementos sobre a vida de Pitágoras foram recolhidos a partir Os elementos sobre a vida de Pitágoras foram recolhidos a partir das das

• fontes:fontes:

• In Search of the Shape of the Universe de Donal O´Shea In Search of the Shape of the Universe de Donal O´Shea

• A History of Mathmatics de Carl Boyer e Uta MerzbachA History of Mathmatics de Carl Boyer e Uta Merzbach

• WikipediaWikipedia

Parte gráfica e conteúdos superficiais:Parte gráfica e conteúdos superficiais:

• José Veiga de Faria (Júnior)José Veiga de Faria (Júnior)

• Conteúdos mais aprofundados: Conteúdos mais aprofundados:

José Veiga de Faria (Senior)José Veiga de Faria (Senior)