หน วยการเรียนรู ที่...

Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th

0 1 32 4 5 6 7 8

1 1+1 2+1 3+1

หนวยการเรียนรูที่ 2

จํานวนเต็ม

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. ระบุหรือยกตัวอยางจาํนวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได

2. เปรียบเทยีบจาํนวนเต็มและใชเคร่ืองหมายมากกวา นอยกวา และเทากับไดถูกตอง

3. หาผลบวก ผลลบ บนเสนจาํนวนได

2.1 ศูนยและจํานวนเต็มบวก

0 ไมใชจํานวนนับเพราะเราไมนิยมพูดวามีสมอยู 0 ผล หรือมีดินสอ 0 แทง เราพูดวา ไมมีสม ไมมี

ดินสอ เมื่อเราไมมีส่ิงของ เราก็ไมนับ ในกรณีเชนนี ้0 แทนความไมม ี

แต 0 ไมไดแทนความไมมเีสมอไป เชน เมื่อเราพูดวาอุณหภูมิของน้าํแข็งเปน 0 องศาเซลเซยีส เรา

ไมไดหมายความวา น้ําแข็งไมมอุีณหภูมิ แตหมายความวา น้ําแข็งมีความเย็นระดับหนึง่ ซึง่กาํหนดวา เปน

0 องศาเซลเซยีส

1 เปนจํานวนนับทีน่อยที่สุด จํานวนนับอ่ืนๆ เกิดจาก 1 ดังนี ้1 , 1 + 1 แทนดวย 2 , 2 + 1 แทนดวย 3

ฯลฯ การเพิม่ทีละ 1 ทาํใหเกิดจํานวนนับไมมีที่ส้ินสุด และแสดงบนเสนจํานวนไดดังนี ้

1. ใหนักเรียนนับเพิ่มทีละหนึง่ใหมากที่สุดที่จะมากได นักเรียนนับถงึจํานวนอะไร

2. นํา 1 ไปบวกจาํนวนที่นกัเรียนนับได ผลลัพธจะมากกวาหรือไม

3. จํานวนทีน่ักเรียนนับไวตอนแรกจะเปนจาํนวนทีม่ากที่สุดหรือไม

4. มีจํานวนนับทีม่ากที่สุดหรือไม

จํานวนเต็ม

จํานวนนับ เรียกอีกอยางหนึ่งวา จํานวนเต็มบวก


คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1

-31-

2.2 จํานวนเต็มลบ

ในชีวิตประจาํวัน จํานวน 1 , 2 , 3 , . . . เปนจาํนวนชนิดเดียวทีน่ักเรียนจะใชในการนับ ใช

เศษสวน เชน 1

2,

2

3, . . . และใชทศนิยม เชน 0.5 , 1.75 , . . . ในการบอกปริมาณที่ไมเปนจํานวนเต็ม

อยางไรก็ตามวิชาคณิตศาสตรไมใชวิชาทีส่อนการนับและการหาปริมาณเทานัน้ ในการเรียนวิชา

คณิตศาสตรนักเรียนจะตองรูจักจํานวนชนดิอ่ืนๆ ที่จาํเปนสําหรับวชิานี้ ในหวัขอนี้นักเรียนจะไดรูจัก

จํานวนเต็มลบ

นักเรียนเคยไดยินคําวา จํานวนเต็มลบ มากอนหรือไม

นักเรียนเคยไปเที่ยวเมืองหมิะหรือไม นักเรียนทราบไหมวาอุณหภูมิในเมืองที่มหีมิะเปนอยางไร

นักเรียนคงเคยไดยินอุณหภูมิ ที่ภูกระดึงหนาหนาวในเมืองไทย และอุณหภูมิ 26.5− ° ที่เมืองอลาสกา

ประเทศสหรัฐอเมริกา นัน่คือ นักเรียนไดรูจักจํานวนเต็มลบมาบางแลว

เราเร่ิมจากปญหางายๆ ตอไปนี้

กําธรมีเงินอยู 4 บาท ถาเขาใหนอง 1 บาท จงหาวากําธรเหลือเงนิเทาไร นักเรียนมวีิธีหาคําตอบ

อยางไร

ใหนักเรียนเขียนวธิีหาจํานวนเงนิที่เหลือ ถากําธรใหเงินนอง

1. 2 บาท

2. 3 บาท

3. 4 บาท

นักเรียนสังเกตเห็นหรือไมวา ในสัญลักษณแสดงการลบตอไปนี้ ตัวลบมีคาเพิม่ข้ึน

4 – 1

4 – 2

4 – 3

4 – 4

ถาใหตัวลบมคีาเพิ่มข้ึนเร่ือยๆ เราอาจเขียนเปนสัญลักษณได เชน

4 – 5

4 – 6

4 – 7

4 – 8

ฯลฯ



-32-

0 1 2 3 4 5

4 – 8 4 – 7

4 – 6

4 – 5 4 – 4

4 – 3

4 – 2 4 – 1

0 1 2 3 4 -1-2-3 -4

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

นักเรียนทราบหรือไมวา การลบขางตนมคํีาตอบอยางไร เราอาจแสดงการหาคําตอบโดยใชเสน

จํานวนดังนี ้

คําตอบสําหรับ 4 – 5 , 4 – 6 , . . . เปนจํานวนทีน่ักคณิตศาสตรสรางข้ึนเรียกวา จํานวนเต็มลบ

ให 4 – 5 เปนจํานวนซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ –1 อานวา ลบหน่ึง

4 – 6 เปนจาํนวนซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ –2 อานวา ลบสอง

นักเรียนคิดวา 4 – 7 , 4 – 8 , 4 – 9 จะเปนจํานวนอะไร

จํานวนเต็มลบ -1 , -2 , -3 , . . . แทนดวยจุดที่อยูทางซายมือของ 0 บนเสนจํานวนดังนี ้



-33-

0 1 2 3 4-1-2-3 -4

0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 -5

ดังนัน้ จาํนวนเต็มแบงออกเปน 3 พวก คือ

1. จํานวนเต็มบวก ไดแก 1 , 2 , 3 , 4 , . . .

2. จํานวนเต็มศูนย ไดแก 0

3. จํานวนเต็มลบ ไดแก –1 , -2 , -3 , -4 , . . .

ดังแสดงดวยเสนจํานวนดังนี ้

2.3 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม

สมมุติวานักเรียนหนกั 35 กโิลกรัม เพื่อนหนกั 38 กิโลกรัม นักเรียนจะตอบไดหรือไม เพราะเหตุใด จึง

ทราบวาเพื่อนหนกักวา

ถาเราตองการทราบวาในเดือนเมษายน จงัหวัดแถบภูเขา เชน เชียงใหมกับจังหวัดแถบชายทะเล เชน

สงขลา โดยเฉลี่ยแลวจังหวัดใดรอนกวากัน นักเรียนจะวัดไดอยางไร

ถานกัเรียนทราบวาอุณหภูมเิฉล่ียในเดือนเมษายนที่จังหวัดเชียงใหมประมาณ 36 องศาเซลเซยีส และ

ที่จังหวัดสงขลา 30 องศาเซลเซียส นักเรียนจะตอบไดหรือไมวา จงัหวดัใดรอนกวากนั

ถานกัเรียนทราบวา อุณหภูมิเฉล่ียในฤดูหนาวของจังหวดัแมฮองสอนประมาณ 5 องศาเซลเซยีส และ

ที่จังหวัดเลยประมาณ 0 องศาเซลเซยีส นกัเรียนจะตอบไดหรือไมวาจงัหวัดใดหนาวกวากนั และถา

นักเรียนไดยินวิทยปุระกาศวา ปนีท้ี่จังหวัดเลย อุณหภูมตํ่ิาสุดเปน –5 องศาเซลเซยีส นักเรียนคิดวาอากาศ

ที่จังหวัดเลยปนี้หนาวกวาหรืออุนกวาปกติ

นักเรียนจะพบวา ถาอากาศย่ิงรอน อุณหภูมิจะยิ่งสูงข้ึน

ถาอากาศย่ิงหนาว อุณหภูมจิะยิ่งติดลบมากข้ึน

ในทาํนองเดียวกัน ในการเปรียบเทียบเพื่อดูวา จาํนวนใดนอยกวา จาํนวนใดมากกวา เราจะเหน็ไดงาย

จากเสนจํานวน

เมื่อกลาวถงึจาํนวนเต็มจะหมายถึงจาํนวนเต็มบวก

หรือจํานวนเต็มลบหรือศูนยก็ได



-34-

บนเสนจํานวนนี้ นักเรียนทราบแลววา สําหรับทางดานขวามือของศูนย จาํนวนทีอ่ยูทางซายจะนอย

กวาจาํนวนทีอ่ยูทางขวา เชน 2 < 3

นักเรียนจะเหน็วา -1 , -2 , -3 , . . . ไดจากการลดลงทีละหนึ่ง ดังนัน้สําหรับดานซายมือของศูนย

จํานวนที่อยูทางซายก็จะนอยกวาจํานวนที่อยูทางขวาเชนกนั

ดังนัน้ -2 นอยกวา -1 ใชสัญลกัษณ -2 < -1

-3 นอยกวา -2 ใชสัญลักษณ -3 < -2

ฯลฯ

ใหนักเรียนดูเสนจํานวนขางตนแลวตอบคําถามตอไปนี ้

1. -4 และ -5 จํานวนใดนอยกวากนั

2. เมื่อนับไปทางซายของศูนยทีละหนึง่จะไดจํานวนทีน่อยลงหรือมากข้ึน

3. นักเรียนคิดวามีจํานวนทีน่อยที่สุดหรือไม เพราะเหตุใด

4. จงเขียนจํานวนเต็มลบต้ังแต -10 ถึง -20 ตามลําดับจากนอยไปมาก

5. จงเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากมากไปนอย

-2 , -5 , -7 , -10 , -6 , -1

6. จงเติมจํานวนตามทีก่ําหนดใหตอไปอีก 3 จํานวน

-1 , -4 , -7 , -10 , . . .

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. 0.5 เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................

ขอ 2. 1

34

เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................

ขอ 3. 4

2 เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................

ขอ 4. 1.2

4 เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................

ขอ 5. –5.8 เปนจํานวนเต็มลบใชหรือไม................................................................................

ขอ 6. –9.6 เปนจํานวนเต็มลบใชหรือไม................................................................................

แบบฝกหัดที่ 1



-35-

ขอ 7. 3

88

− เปนจํานวนเต็มลบใชหรือไม................................................................................

ขอ 8. จาํนวนใดบางเปนจํานวนเต็มลบ –1 , –3.4 , 1

52

− , 6

3− , – 6.0 ,

7

8−

.................................................................................................................................................

ขอ 9. –333 อยูทางซายมือหรือขวามือของศูนยบนเสนจํานวน

ขอ 10. 25 อยูทางซายมือหรือขวามือของศูนยบนเสนจํานวน

ขอ 11. –20 มีคามากกวาหรือนอยกวา 0

ขอ 12. 40 มีคามากกวาหรือนอยกวา 0

ขอ 13. จงเติมเคร่ืองหมาย > หรือ < หรือ = ลงในชองวางใหถกูตอง

♠ –60...............–16 ♠ –72 ...................... –71

♠ 80...............–80 ♠-1001....................... -1011

ขอ 14. จงเรียงจํานวนตอไปนี้จากมากไปหานอย

-19 , 10 , -14 , 0 , 18 , -13 , 9.......................................................................................

-1177 , -1717 , -1771 , -1777 , -1117 , -1171...............................................................

ขอ 15. จงเรียงจํานวนตอไปนี้จากนอยไปหามาก

-49 , -37 , -47 , -31 , -35 , -46.......................................................................................

-792 , -297 , -729 , -972 , -279 , -927...........................................................................

ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด)

ขอ 1. จงเขียนเสนจํานวนแสดงศูนยและจํานวนเต็มลบถึง -20

ขอ 2. จงเติมจาํนวนอีก 3 จาํนวนตามลําดับตามแบบที่กาํหนดให

0 , -2 , -4 , -6 , . . .

0 , -5 , -10 , . . .

0 , -7 , -14 , . . .

-3 , -7 , -11 , -15 , . . .

แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 1



-36-

-9 , -14 , -19 , . . .

ขอ 3. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก 0 โดยลดทีละ 3

ขอ 4. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก -1 โดยลดทีละ 2

ขอ 5. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก -10 โดยเพิ่มทีละ 1

ขอ 6. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก -15 โดยเพิ่มทีละ 3

ขอ 7. จงเติมจาํนวนเต็มอีก 3 จํานวนตามลําดับตามแบบที่กาํหนดให

-2 , -4 , -6 , . . .

-1 , -3 , -5 , . . .

-3 , -6 , -9 , . . .

-2 , -7 , -12 , . . .

-20 , -16 , -12 , . . .

-41 , -36 , -31 , . . .

ขอ 8. จงเรียงจํานวนตอไปนี้จากนอยไปมาก

-3 , -7 , -31 , -1 , 0 , -6 , -13

-8 , -10 , -2 , 3 , -5 , 4

7 , 0 , -2 , -17 , -4 , -9

99 , -80 , 76 , 67 , -50 , -60

ขอ 9. จงหาจํานวนที่นอยทีสุ่ดและจํานวนที่มากที่สุด

-3 , -4 , -5 , -2 , 0

12 , -3 , -1 , 1 , -12

-13 , -15 , -2 , -6 , -4

-3 , 0 , 3 , -4 , -5

ขอ 10. จงใสเคร่ืองหมาย < หรือ > เพื่อใหเปนประโยคทีเ่ปนจริง

(-3) (-4)

(-7) (-8)

(-8) (-5)

0 (-1)

(-10) 0

(-20) (-30)



-37-

ขอ 11. จงเรียงสารตอไปนี้ตามลําดับจุดเดือดจากตํ่าไปสูง

คลอรีน -35 องศาเซลเซยีส

ออกซิเจน -183 องศาเซลเซยีส

ไฮโดรเจน -253 องศาเซลเซยีส

ไนโตรเจน -196 องศาเซลเซยีส

ขอ 12.

น้ํา เอทิลแอลกอฮอล คารบอนไดออกไซด ออกซิเจน ไฮโดรเจน ปรอท

0 -114 -57 -219 -259 -39

ตารางขางบนแสดงอุณหภูมิเปนองศาเซลเซียสที่สารเปลีย่นสภาพเปนของแข็ง

จงหาวาสารชนิดใดแข็งตัวเร็วที่สุด

จงเรียงลําดับสารตามอุณหภูมิแข็งตัวเร็วที่สุดไปหาแข็งตัวชาที่สุด

ขอ 13. ขอความตอไปนี้จริงหรือไม

0 เปนจํานวนเต็ม

500 เปนจาํนวนเต็ม

-500 ไมเปนจาํนวนเต็ม

1.5 เปนจํานวนเต็ม

4

2 ไมเปนจํานวนเต็ม

ขอ 14. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มตอไปนี้จากนอยไปมาก

2 , -2 , 5 , 1 ,0 , -15 , -10 , -8 , 3

ขอ 15. จงเติมจํานวนเต็ม 3 จํานวนตามลําดับตามแบบที่กําหนดให

-8 , -6 , -4 , . . .

-7 , -4 , -1 , . . .

4 , 2 , 0 , . . .

15 , 10 , 5 , . . .

6 , 2 , -2 , . . .

-9 , -4 , 1 , . . .

ขอ 16. จงใสเคร่ืองหมาย < หรือ > เพื่อทาํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง

(-4) (-5)

7 (-7)

0 5

0 (-5)

18 (-12)

20 (-2)


ขอ 17. ใหนกัเรียนใชตารางแสดงอุณหภูมิของอากาศที่ระดับความสูงตางๆ วัดทีก่รุงเทพฯ หา

คําตอบของปญหาตอไปนี ้

ความสูงจากระดับน้ําทะเล

(กิโลเมตร)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

อุณหภูมิของอากาศ

(องศาเซลเซียส)

28 22 17 11 6 0 -6 -11 -17 -22

อุณหภูมิของอากาศท่ี 2 กิโลเมตร เหนือระดับน้ําทะเล ตางจากอุณหภูมิของอากาศที่ 3

กิโลเมตร เหนอืระดับน้ําทะเลเทาไร





ขอ 18. ถา a แทนจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง a จะตองแทนจํานวนเต็มบวกใชหรือไม ถาไมใช a จะ

แทนจํานวนใดไดบาง

ขอ 19. ถา b แทนจํานวนเต็มลบ b จะเปนจํานวนเต็มหรือไม

ขอ 20. ประโยคตอไปนี้ ประโยคใดเปนจริง ประโยคใดเปนเทจ็

0 เปนจาํนวนเต็มบวก

จํานวนเต็มบวกคือจํานวนนบั

มีจํานวนเต็มบวกมากมายนับไมถวน

20 เปนจํานวนเต็มบวก

ถา a เปนจาํนวนเต็มบวก เราสามารถหาจํานวนเต็มบวกที่มากกวา a ไดเสมอ

-38-


0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 -5

0 1 2 3 4-1-2-3 -4 5 -5

0 1 2 -1 -2

ขอ 21. จงเลือกจํานวนเต็ม จากจํานวนในแตละขอตอไปนี ้

0 , 1

2 , 1 ,

11

2 , 2

-1 , -2 , 3 , -3

1

2 ,-

1

2 , 4 , -4 , 0.1 , 3.78

5 , -5 , 1

5 , -

1

5 , 6 , -

1

6

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกจํานวนตรงขามของจํานวนเต็มใดๆ ได

2. บอกคาสัมบูรณของจํานวนเต็มใดๆ ได

2.4 คาสัมบูรณของจํานวนเต็ม

2 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 2 หนวย

เรากลาววา คาสัมบูรณของ 2 เทากับ 2

-2 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 2 หนวย

เรากลาววา คาสัมบูรณของ -2 เทากับ 2

ใหนักเรียนทําแบบฝกหัดตอไปนี้

1. จงหาคาสัมบูรณของ 5 , -5 , 9 , -9 , 10 , -10 , 11 , -11

2. คาสัมบูรณของจํานวนเต็มบวกเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบ

3. คาสัมบูรณของจํานวนเต็มลบเปนจาํนวนบวกหรือจํานวนลบ

4. คาสัมบูรณของจํานวนใดบางที่เปนจาํนวนลบ

นักเรียนสังเกตหรือไมวา มีจํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบเปนคูๆ ที่มีคาสัมบูรณเทากนั

ใหนักเรียนยกตัวอยางมาสัก 2 คู

-39-


จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากันจะอยูคนละขางของ 0 และอยูหาง

จากศูนยเปนระยะเทากัน เชน -1 และ 1 เรากลาววา

-1 เปนจํานวนตรงขามของ 1

และ 1 เปนจํานวนตรงขามของ -1

สวน 0 เปนจํานวนตรงขามของตัวเอง

ใหนักเรียนหาจํานวนตรงขามของจํานวนตอไปนี้

1. 3

2. -7

3. 45

4. -350

แบบฝกท่ี 2

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. คาสัมบูรณของ 48 คือ..................................................................................................

ขอ 2. คาสัมบูรณของ -120 คือ...............................................................................................

ขอ 3. 8 เปนคาสัมบูรณของจํานวนใด...................................................................................


ขอ 5. คาสัมบูรณของ 56 คือ..................................................................................................

ขอ 6. คาสัมบูรณของ -56 คือ...............................................................................................



ขอ 9. จาํนวนตรงขามของ 148 คือ.......................................................................................

ขอ 10. จาํนวนตรงขามของ -3537 คือ.......................................................................................

ขอ 11. คือ..............................................................................................................

ถา a เปนจํานวนใดๆ จํานวนตรงขาม ของ a

มีเพียงจํานวนเดียว และเขียนแทนดวย -a


-40-


ขอ 12. 76− คือ........................................................................................................

ขอ 13. 35− คือ........................................................................................................

ขอ 14. 12− − คือ........................................................................................................

ขอ 15. 919− คือ........................................................................................................

ขอ 16. จงเติมเคร่ืองหมาย > หรือ < หรือ =

81− ........... 18−

25 ............. 25−

102− ......... 120−

1011− ........ 1101−

28− .......... 28− −

ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงหาคาสัมบูรณของ 0

........................................................

ขอ 2. จงหาคาสัมบูรณของ -37 , -38 , -39 , -40

........................................................

ขอ 3. จงเติมขอความในชองวางใหถกูตอง

คาสัมบูรณของ 51 และ -51 ตางเทากับ ...............

คาสัมบูรณของ 470 และ ................ ตางเทากับ 470

คาสัมบูรณของ ............... และ -132 ตางเทากับ 132

56 เปนคาสัมบูรณของ ............... และ ...............

142 เปนคาสัมบูรณของ ............... และ ...............

................ เปนคาสัมบูรณของ 318 และ -318


-41-


ขอ 4. จงเติมคําวา “มากกวา” “นอยกวา” หรือ “เทากับ” ลงในชองวาง

เพื่อทาํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง

21 ............... -21

คาสัมบูรณของ 21 ............... คาสัมบูรณของ -21

-6 ................ 6

คาสัมบูรณของ -6 ................ คาสัมบูรณของ 6


คาสัมบูรณของ -5 ................ คาสัมบูรณของ -7


คาสัมบูรณของ 13 ................ คาสัมบูรณของ -19

ขอ 5. จงหาจํานวนตรงขามของ -11 , -13 , -15 , -16 , -20

ขอ 6. จงหาจํานวนตรงขามของ 11 , 13 , 15 , 16 , 20

ขอ 7. จงหาจํานวนตรงขามของ -5 , 5 , 20 , -20 , 9 , -9

ขอ 8. จงหาจาํนวนที่แทนตัวแปร แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง

67 + y = 67

a – 43 = 0

z + 0 = 91

x + x = 0

0 + u = 0

9 – v = 9

b × 1 = 1

20 × y = 0

9 × z = 9

a × a = 0

6 – v = 0

7 ÷ u = 1

25 ÷ w = 25

c ÷ 1 = 99

a ÷ 20 = 1

0 × 15 = x

ขอ 9. จงหาผลคูณ

1 × 25

(-35) × 1

(-72) × 1

(-1271) × 1

1 × (-592)

1 × 1

1 × b

b × 1

1 × c

c × 1

-42-


ขอ 10. จงหาผลหาร

3

1

2

1−

1

1−

1

1

11

−−

77

−−

21

21

−−

135

135

−−

1

b

ขอ 11. จงหาคําตอบ

0 + (-21)

(-480) + 0

0 + (-5)

0 – 5

0 – 7

0 – 47

0 – b

0 – 0

0 – (-4)

0 – (-20)

0 – (-35)

0 – (-43)

0 – (-c)

0 – (-z)

0 – z


0 × 1

0 × 0

0 × (-5)

0 × (-1)

(-2000) × 0

350 × 0

(-490) × 0

t × 0

0 × t

0 × (-a)

0

20

0

50−

0

1000

0

2497−


0 + 0

0 + (-7)

(-7) + 7

5 × 6 × 0

( 5 + 6 ) × 0

(-21) ÷ (-21)

(-19) ÷ (-1)

(-200) ÷ 200

0 ÷ ( 1 ÷ 2 )

[(-441) ÷ 21] ÷ 0

-43-


ขอ 14. จงหาคา z ทีท่าํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง

3 × z = 0

z × (-7) = 0

a × z = 0 แต a ≠ 0

3

z =

4

z

z × z = 0

ขอ 15. ส่ีเทาของจํานวนจํานวนหน่ึงเทากับหาเทาของจํานวนเดิม จํานวนนั้นเปนเทาไร

ขอ 16. คร่ึงหนึ่งของจํานวนจํานวนหนึ่ง เทากบัสองเทาของจํานวนเดิม จาํนวนนัน้เปนเทาไร

ขอ 17. จงหาจํานวนที่แทนตัวแปร แลวทาํใหไดประโยคที่เปนจริง

37 + 26 = x + 37

31 × 24 = 24 × a

( 56 + 2 ) + 13 = 56 + ( d + 13 )

8 × ( 7 × 6 ) = ( b × 7 ) × 6

4 × ( y × 7 ) = ( 4 × 3264 ) × 7

ขอ 18. จงเติมจํานวนหรือตัวแปรในชองที่เวนไว เพื่อใหแตละประโยคตอไปนี้เปนจริง สําหรับทุกๆ

คาของตัวแปร

7 + ( a + 3 ) = ( 7 + …….. ) + 3

x + ( 6 + a ) = ( x + 6 ) + ……..

a + ( b + c ) = ( …….. + …….. ) + c

( …….. + …….. ) + 7 = 8 + ( x + 7 )

( x + …….. ) + y = …….. + ( a +…….. )

7 × ( c × 3 ) = ( 7 × …….. ) × 3

( a × 6 ) × b = a × ( 6 × …….. )

a × ( b × c ) = ( …….. × …….. ) × c

( …….. × …….. ) × 7 = 8 × ( c × 7 )

( a × …….. ) × b = …….. × ( y × …….. )

ขอ 19. นกัเรียนคิดวาการลบมีสมบัติการเปล่ียนกลุมหรือไม

นั่นคือ ประโยค a – ( b – c ) = ( a – b ) – c

เปนจริงสําหรับจํานวน a , b , c ใดๆ หรือไม เพราะเหตุใด

-44-


ขอ 20. การหารมีสมบัติการเปลี่ยนกลุมหรือไม เพราะเหตุใด

ขอ 21 จงเติมจํานวนในชองที่เวนไว เพื่อใหแตละประโยคตอไปนี้เปนจริง

6 × ( 10 + 7 ) = ( 6 × …….. ) + ( 6 × …….. )

8 × ( 50 + 4 ) = ( …….. × 50 ) + ( …….. × 4 )

( 30 + 9 ) × …….. = ( 30 × 5 ) + ( 9 × 5 )

( 9 × 5 ) + ( 9 × 6 ) = 9 × ( …….. + …….. )

( 5 × 200 ) + ( 5 × 30) + ( 5 × 8 ) = 5 × ( …….. + …….. + …….. )

ขอ 22. จงหาจํานวนที่แทนตัวแปรแลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง

( 6 × 5 ) + ( 6 × 1 ) = 6 × a

( 17 × 9 ) + ( 8 × 9 ) = d × 9

a × 253 = ( 7 × 200 ) + ( 7 × 50 ) + ( 7 × 3 )

b × 6 = ( 4000 × 6 ) + ( 700 × 6 ) + ( 50 × 6 ) + ( 3 × 6 )

( 12 × c ) + ( 19 × 5 ) = 31 × 5

( 12 × 55 ) + ( 12 × d ) = 12 × 100

ขอ 23. จงตรวจดูวาประโยคตอไปนี้เปนจริงหรือไม

5 × ( 8 – 3 ) = ( 5 × 8 ) – ( 5 × 3 )

6 × ( 7 – 2 ) = ( 6 × 7 ) – ( 6 × 2 )

( 5 – 4 ) × 9 = ( 5 × 9 ) – ( 4 × 9 )

( 7 – 6 ) × 4 = ( 7 × 4 ) – ( 6 × 4 )

ขอ 24. จงเติมจํานวนในชองที่เวนไว เพื่อใหประโยคเปนจริงสําหรับทุกๆ คาของตัวแปร

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ………………

( x + y ) × a = ……………. + ( y × a )

( 3 × c ) + ( 3 × d ) = ……………. × ( c + d )

( d × b ) + ( z × b ) = ( …………. + z ) × b

y × ( a + ………… ) = ( y × a ) + ( y × z )

………………. = ( a × 4 ) + ( b × 4 )

( b × x ) + ( b × y ) = ………………

( 2 × x ) + ( 3 × x ) = ( ………… + ………… ) × x

( 7 × a ) + ( 8 × a ) = ………………

20c = ( ………… × c ) + ( 11 × c )

10x + 20x = ………………

-45-


ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกสมบัติของ 0 และ 1 ได

2. นําสมบัติของ 0 และ 1 ไปใชได

2.5 สมบัติของ 0 และ 1 สมบัติของหนึ่ง 1. จํานวนใดๆ คูณกับ 1 จะไดจํานวนนัน้ เชน

1 32× = 32 1× = 32

1 ( 32)× − = ( 32) 1− × = -32

1 ( 1)× − = ( 1) 1− × = -1

สมบัติขอนี้เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้

2. จํานวนใดๆ หารดวย 1 จะไดจํานวนนั้น เชน

27=1

27

27=1

27


สมบัติของศูนย 1. จํานวนใดๆ บวกกับ 0 จะไดจํานวนนัน้ เชน

5 + 0 = 0 + 5 = 5

(-7) + 0 = 0 + (-7) = -7


1 1a a a× = × = เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ

1

aa= เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ

a=a+0=0+a เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ

-46-


2. จํานวนใดๆ คูณกับ 0 ได 0 เชน

0×2 = 2×0 = 0

( 5) 0− × = 0 ( 5)× − = 0


3. 0 หารดวยจํานวนใดๆ ที่ไมใช 0 จะได 0 เชน 0

5 = 0

0

9− = 0


4. ถาผลคูณของจํานวนสองจํานวนใดๆ เทากับ 0 จํานวนใดจํานวนหนึ่งอยางนอยหน่ึง

จํานวนตองเปน 0 เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้

สมมุติวาจะหารจํานวนใดๆ ดวย 0 จะมีปญหาอยางไร


1. กําหนดให a=0

0 ใหนักเรียนเปล่ียนเปนประโยคการคูณ

2. จงหาคา a ที่จะทําใหประโยค 0=a×0 เปนจริง

3. นักเรียนหาคา a ในขอ 2 ไดมากกวาหนึง่คําตอบหรือไม

4. จากขอ 3 นักเรียนจะบอกไดแนนอนหรือไมวา 0

0 เปนเทาไร เพราะเหตุใด

5. ใหนักเรียนหา 0

9 โดยวิธีเดียวกนั ไดกี่คําตอบ

ถาหารจํานวนใดๆ ดวย 0 จะเกิดปญหา คือ

มีจํานวนใดเปนคําตอบก็ได หรือไมมีคําตอบเลย

เนื่องจากการหารดวยศูนยมีปญหาเชนนี ้นัก

คณิตศาสตรจึงไมใชศูนยเปนตัวหาร

0=a×0=0×a เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ

0=a

0เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ ท่ีไมใช 0

ถา 0=b×a ดังนั้น 0=a หรือ 0=b เมื่อ b,a แทนจํานวน

ไมใช 0 เปนตัวหาร

-47-


นักเรียนเคยทราบวาจํานวนนับทีม่ี 2 เปนตัวประกอบ หรือจํานวนนับที่ 2 หารลงตัว เรียกวา

จํานวนคู สวนจํานวนนับที่ไมมี 2 เปนตัวประกอบหรือจํานวนนบัที่ 2 หารไมลงตัว เรียกวา

จํานวนค่ี

ในทางคณิตศาสตรบทนยิามของจํานวนคูและจํานวนค่ี อาจเขียนไดดังนี ้

ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี ้

1. นักเรียนคิดวา 0 เปนจํานวนคูหรือจํานวนค่ี

2. จํานวนเต็มใดบาง ที่เปนจํานวนคู

3. จํานวนเต็มใดบาง ที่เปนจํานวนค่ี

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงหาคาของ

1) 0 × (-83) = 2) -22 × 1 =

3) (-14) × (-18) × 0 = 4) 1 × (-88) =

5) -a × 0 = 6) -c × 1 =

7) 0 + (-88) = 8) 0 ÷ 46 =

9) (-21) + 0 = 10) 0

21− =

ขอ 2. จงหาคาของตัวแปรทีแ่ทนประโยคแลวเปนจริง

1) a × 5 = 0 2) c ÷ c = 1

3) x + 8 = 0 4) 4 – y = 0

5) 12 × a = 1 6) c ÷ 1 = c

7) a × a = 1 8) c ÷ 12 = 1

9) 12 × x = 12 10) y ÷ 8 = 0

บทนิยาม จํานวนคู คือ จํานวนเต็มที่ 2 หารลงตัว และ จํานวนค่ี คือ จํานวนเต็มที่

2 หารไมลงตัว


-48-


11) 3a = 0 12) 7 ÷ x = 7

13) 5 + x = 5 14) 6 × a = 1

15) a( a – 4 ) = 0 16) ( a – 5 )( a + 3 ) = 0

17) 0 ÷ a = 0 18) a + a = 0

19) a – a = 0 20) a × a = a

2.6 สมบัติการเทากัน สมบัติการบวกและการคูณของจาํนวนเต็มบวก เมื่อนักเรียนบวกจํานวนสองจํานวน เชน 27 กับ 48 นักเรียนจะใชจํานวนใดเปนตัวต้ังก็ได

เพราะผลลัพธเทากัน นัน่คือ

27 + 48 = 48 + 27

จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนและศูนยมีสมบัติการบวกดังกลาวขางตน เราเรียกสมบัตินี้วา สมบัติ

การสลับที่สําหรับการบวก

ในทาํนองเดียวกันเมื่อคูณจํานวนเต็มบวก( หรือศูนย ) สองจํานวนใดๆ เชน 62 กับ 100 จะได

62 × 100 = 100 × 62

สมบัติขอนี้เรียกวา สมบัติการสลับที่สําหรับการคูณ

พิจารณาการบวกจํานวนมากกวาสองจํานวนข้ึนไป เชน ในการหาผลบวกของ 5 + 15 + 32

สมมุติวาจะไมเปล่ียนแปลงลําดับของจํานวนทัง้สามที่เรียงไว

ถาจะหา 5 + 15 กอน เขียน 5 + 15 ไวในวงเล็บแลวหาผลบวกดังนี ้

( 5 + 15 ) + 32 = 20 + 32 = 52

ถาจะหา 15 + 32 กอน เขียน 15 + 32 ไวในวงเล็บแลวหาผลบวกดังนี ้

5 + ( 15 + 32 ) = 5 + 47 = 52

จะเหน็วา ( 5 + 15 ) + 32 = 5 + ( 15 + 32 )

จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนและศูนยมีสมบัติดังกลาว เรียกสมบัตินีว้า สมบัติการเปลี่ยนกลุม

สําหรับการบวก

นักเรียนคิดวา จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนและศูนยมสีมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการคูณ

หรือไม ใหยกตัวอยาง

ในการเขียนสมบัติตางๆ ของจํานวนเต็มบวกเพื่อใหส้ันและกะทัดรัด เราใชประโยคที่มีตัวแปร

แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ ประโยคขางลางเปนจริงสําหรับทุกจํานวนที่แทน a , b และ c

-49-


( a + b ) + c = a + ( b + c )

a + b = b + a ab = ba

สมบัติการเปลี่ยนกลุม

ให a , b และ c แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ ให a , b และ c แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ

( ab )c = a( bc )

การบวก การคูณ

สมบัติการสลับท่ี

ให a และ b แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ ให a และ b แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ

สมบัติการแจกแจงเปนสมบัติที่เชื่อมระหวางการบวกและการคูณดังในตัวอยาง

3 (7 5)× + = (3 7) (3 5)× + ×

(10 3) 4+ × = (10 4) (3 4)× + ×

สมบัติการแจกแจง

ให a , b และ c แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ

a( b + c ) = ( ab ) + ( ac )

( b + c )a = ( ba ) + ( ca )

อันที่จริงแลว สมบัติการสลับที่สําหรับการบวกและการคูณ สมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการ

บวกและการคูณ และสมบัติการแจกแจงสําหรับการคูณบนการบวก เปนสมบัติของจํานวนทกุ

จํานวน ซึ่งนักเรียนจะไดพบในตอนตอไป

จากประโยคทีเ่ขียนแสดงสมบัติตางๆ ขางตน นกัเรียนควรสงัเกตไดวามีการใชวงเล็บเพื่อ

แสดงลําดับของการคํานวณ เชน เมื่อเขียน a× ( b + c ) หมายความวา ตองหาผลบวกของ b กับ

c กอน แลวจงึนาํผลบวกมาคูณกับ a แตถาเขียน ( a× b ) + ( a× c ) หมายความวา a× b และ

a× c เสร็จแลวนําผลคูณมาบวกกัน

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงบอกวาแตละขอตอไปนี้ใชสมบัติการเทากนัในขอใด ( สมบัติการสลับที ่ , สมบัติ

การเปล่ียนกลุม หรือ สมบัติการแจกแจง )

1) ( a + b )× 2 = 2× ( a + b ) ………………………………...

2) mn + ( xy + pq ) = ( mn + xy ) + pq ………………………………...


-50-


3) ( 3× 50 ) + ( 3× 20 ) – ( 3× 10 ) = 3× 60 ………………………………...

4) 2x + 2y + 2z = 2( x + y + z ) ………………………………...

5) ( a + b )c = ac + bc ………………………………...

6) [ (-2) + (-3) ] + (-4) = (-2) + [ (-3) + (-4) ] ………………………………...

7) ( 3 + m )× ( 2 – n ) = ( 2 – n )× ( 3 + m ) ………………………………...

8) ( a2× b2 )× c2 = a2

× ( b2× c2 ) ………………………………...

9) (-21) + (-12) = (-12) + (-21) ………………………………...

10) ( a× b )× c = c× ( a× b ) ………………………………...

11)mn + ( xy + pq ) = ( mn + xy ) + pq ………………………………...

12) ( 3× 50 ) + ( 3× 20 ) – ( 3× 10 ) = 3× 60 ………………………………...

13) 2x + 2y + 2z = 2( x + y + z ) ………………………………...

14) ( a + b )c = ac + bc ………………………………...

15) [ (-2) + (-3) ] + (-4) = (-2) + [ (-3) + (-4) ] ………………………………...

16) ( 3 + m )× ( 2 – n ) = ( 2 – n )× ( 3 + m ) ………………………………...

17) ( a2× b2 )× c2 = a2

× ( b2× c2 ) ………………………………...

18) (-21) + (-12) = (-12) + (-21) ………………………………...

19) ( a× b )× c = c× ( a× b ) ………………………………...

ขอ 2. จงเติมคําตอบลงในชองวางใหถูกตอง

1) 35 + 38 = ( ใชสมบัติการสลับที่ )

2) 25× (-36) = ( ใชสมบัติการสลับที่ )

3) ( a + b )× ( x + y ) = ( ใชสมบัติการสลับที่ )

4) mx + my = ( ใชสมบัติการสลับที่ )

5) 24 + ( 36 + 48 ) = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )

6) [ (-32)× (-18) ]× (-7) = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )

7) ( abc + pqr ) + xyz = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )

8) 2a× ( 3b× 4c ) = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )

-51-


9) 4× ( 5 + 9 ) = ( ใชสมบัติการแจกแจง )

10) ( 8 – 2 )× 7 = ( ใชสมบัติการแจกแจง )

11) a× ( 8 – 7 + 6 ) = ( ใชสมบัติการแจกแจง )

12) ( x + y – z )× 3 = ( ใชสมบัติการแจกแจง )

ขอ 3. จงเติมคําตอบลงในชองวางใหถูกตอง พรอมทัง้บอกสมบัติการเทากนัที่ใชในแตละขอ

1) 2× ( a – b ) = – ( 2× b )

ใชสมบัติ ......................................................

2) (-2)× [ (-3)× 4 ] = × 4

ใชสมบัติ ......................................................

3) ( 15 + 4 )× 8 = ( 15× 8 ) +

ใชสมบัติ ......................................................

4) (-14) + = (-17) + (-14)

ใชสมบัติ ......................................................

5) (-2)× [ (-3) + (-4) ] = [ (-2)× ] + [ (-2)× ]

ใชสมบัติ ......................................................

6) ( 8a× 4 ) – ( ) + ( 8a× b ) = 8a× ( – 5 + 6 )

ใชสมบัติ ......................................................

7) (-5) + 10 = + (-5)

ใชสมบัติ ......................................................

8) ( a + b )× m = m×

ใชสมบัติ ......................................................

9) (ab)c = a( )

ใชสมบัติ ......................................................

10) ( a – b – c )× 4= ( a× 4 ) – –

ใชสมบัติ ......................................................

-52-


0 2 1 4 3 6 -1 -2 5

-4 -2 -3 0 -1 2 -5 -6 1

-6 -2 -1 -4 -3 0 -7 -5 -8

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง สามารถบวกจํานวนเต็มได

2.7 การบวกจํานวนเต็ม การบวกระหวางจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ นักเรียนเคยแสดงการหาผลบวกของจํานวนเต็มบวกบนเสนจํานวนแลว เชน 3 + 2

ลูกศรที่แสดงการบวกดวย 2 ชี้ไปทางไหน ซายหรือขวา

เราจะใชหลักเกณฑอยางเดียวกนัในการแสดงการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบกับ

จํานวนเต็มลบบนเสนจํานวนดังตัวอยาง

1) หาผลบวก (-3) + (-2) แสดงไดดังนี้

ลูกศรที่แสดงการบวกดวย -2 ชี้ไปทางไหน

นักเรียนคิดวาจะอานคําตอบไดอยางไร

2) หาผลบวก (-3) + (-5) แสดงไดดังนี้

เพื่อจะหาวิธีบวกระหวางจํานวนเต็มลบกบัจํานวนเต็มลบ ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้

1. จงแสดงการหาผลบวกตอไปน้ีบนเสนจํานวน

(-4) + (-1) , (-2) + (-4) , (-7) + (-2)

2. นักเรียนคิดวา ผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบสองจํานวนจะเปนจํานวนเต็มลบเสมอไป

หรือไม

3. ใหนักเรียนหาผลบวก (-4) + (-1) โดยนําคาสัมบูรณของ -4 และ -1 มาบวกกันแลวตอบ

เปนจํานวนเต็มลบ นกัเรียนไดคําตอบเทากับทีห่าไดในขอ 1 หรือไม

4. ใหนักเรียนใชวิธีการเชนเดียวกับในขอ 3 หาผลบวก (-2) + (-4) , (-7) + (-2) นกัเรียน

ไดคําตอบเทากับทีห่าไดในขอ 1 หรือไม

-53-


1 5 6 3 4 7 0 2 -1

-1 3 4 1 2 5 -2 0 -3

โดยทัว่ไปการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ จะใชวิธีการเชนเดียวกับใน

ขอ 3 ใหนักเรียนใชวธิีการดังกลาวหาผลบวกตอไปนี ้

1) (-25) + (-3)

2) (-3) + (-25)

3) (-12) + (-8)

4) (-8) + (-12)

ตัวอยางที ่1 จงหาผลบวก (-14) + (-16)

วิธีทาํ (-14) + (-16) = -30 ตอบ

ตัวอยางที ่2 จงหาผลลัพธโดยบวกสองจํานวนที่อยูในวงเล็บใหญกอน (-7) + [(-5) + (-26)]

วิธีทาํ (-7) + [(-5) + (-26)] = (-7) + (-31)

= -38 ตอบ

การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ใหนักเรียนพิจารณาการแสดงการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ

บนเสนจํานวน ในกรณีจํานวนที่เปนจํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา ดังตัวอยาง

1) หาผลบวก 6 + (-4) แสดงไดดังนี ้

6 + (-4) = 2

2) หาผลบวก (-2) + 5 แสดงไดดังนี้

(-2) + 5 = 3

ในการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบกับจํานวน

เต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มลบแตละ

จํานวนมาบวกกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ

-54-


-2 2 3 0 1 4 -3 -1 -4

-6 -2 -1 -4 -3 0 -7 -5 1

เพื่อจะหาวิธีบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้

1. จงแสดงการหาผลบวกตอไปน้ีบนเสนจํานวน 5 + (-3) , (-4) + 7

2. คําตอบในขอ 1 เปนจํานวนเต็มบวกหรือจํานวนเตใมลบ

3. ใหนักเรียนหาผลบวก 5 + (-3) โดยนาํคาสัมบูรณของ 5 และของ –3 มาลบกัน แลว

ตอบเปนจํานวนเต็มบวก นกัเรียนไดคําตอบเทากับทีห่าไดในขอ 1 หรือไม

4. ใหนักเรียนใชวิธีการเชนเดียวกับในขอ 3 หาผลบวก (-4) + 7 นักเรียนไดคําตอบเทากับ

ที่หาไดในขอ 1 หรือไม

5. ใหนักเรียนหาผลบวกตอไปนี้โดยนําคาสัมบูรณมาลบกนั แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก

ใหนักเรียนสังเกตวาจํานวนที่เปนจํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา

1) 10 + (-5)

2) 12 + (-4)

3) (-4) + 12

4) (-4) + 5

5) (-5) + 10

6) 5 + (-4)

7) 29 + (-3)

8) (-3) + 29

ใหนักเรียนพิจารณาการแสดงการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบบน

เสนจํานวน ในกรณีจํานวนที่เปนจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา ดังตัวอยาง


3 + (-5) = -2


(-6) + 2 = -4

เพื่อจะหาวิธีบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ใหนกัเรียนตอบคําถาม

ตอไปนี้

1. จงแสดงการหาผลบวกตอไปน้ีบนเสนจํานวน (-8) + 5 , 4 + (-9)

2. คําตอบที่ไดในขอ 1 เปนจํานวนเต็มบวกหรือจํานวนเต็มลบ

-55-


3. ใหนักเรียนหาผลบวก (-8) + 5 โดยนําคาสัมบูรณของ -8 และของ 5 มาลบกัน แลว

ตอบเปนจํานวนเต็มลบ นกัเรียนไดคําตอบเทากับทีห่าไดในขอ 1 หรือไม

4. ใหนักเรียนใชวิธีการเชนเดียวกับในขอ 3 หาผลบวก 4 + (-9) นักเรียนไดคําตอบเทากับ

ที่หาไดในขอ 1 หรือไม

5. ใหนักเรียนหาผลบวกตอไปนี้ โดยนาํคาสัมบูรณมาลบกนั แลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ

ใหนักเรียนสังเกตวาจํานวนที่เปนจํานวนเต็มลบ มีคาสัมบูรณมากกวา

1) (-7) + 4

2) (-12) + 6

3) 3 + (-9)

4) 2 + (-11)

5) (-10) + 2

6) 3 + (-16)

7) (-23) + 13

8) 15 + (-28)

หลักเกณฑการบวกจํานวนเต็มมี ดังนี ้1. การหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกัน แลวตอบเปนจํานวน

เต็มบวก

2. การหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบ ใหนาํคาสัมบูรณมาบวกกัน แลวตอบเปนจํานวน

เต็มลบ

3. การหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณไมเทากัน ใหนํา

คาสัมบูรณมาลบกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวกหรือลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณ

มากกวา

จงหาผลบวกโดยใชหลักเกณฑที่สรุปไวขางตน

1. 15 + 5

2. 5 + 15

3. 21 + (-8)

4. (-8) + 21

5. (-19) + (-1)

6. (-1) + (-19)

7. 4 + (-7)

8. (-7) + 4

9. 1 + (-5)

10. (-5) + 1

ในการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับ

จํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณไมเทากัน ใหนําคา

สัมบูรณมาลบกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก

หรือลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา

-56-


-2 3 -1 5 6 0 2 4 1

3 -2 -1 -4 -3 0 2 -5 1

ตัวอยางท่ี 3 จงหาผลบวก 32 + (-17)

วิธีทาํ 32 + (-17) = 15 ตอบ

ตัวอยางท่ี 4 จงหาผลบวก [(-19) + 8] + (-2)

วิธีทาํ [(-19) + 8] + (-2) = (-11) + (-2)

= -13 ตอบ

ใหนักเรียนพิจารณาการแสดงการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบบน

เสนจํานวน ในกรณีจํานวนทั้งสองมีคาสัมบูรณเทากัน ดังตัวอยาง


5 + (-5) = 0


(-3) + 3 = 0

ใหนักเรียนสังเกตวา -5 เปนจํานวนตรงขามของ 5

และ 3 เปนจํานวนตรงขามของ -3

ผลบวกที่ได คือ 5 + (-5) = 0 และ (-3) + 3 = 0 ซึ่งเปนไปตามสมบัติที่วา ผลบวกของ

จํานวนใดๆ กบัจํานวนตรงขามของจํานวนนั้นตองเปน 0


1. จงหาผลบวก

1) 12 + (-12)

2) 68 + (-68)

3) (-39) + 39

4) (-521) + 521

2. ถา a เปนจํานวนใดๆ จงหาผลบวก

1) a + (-a)

2) (-a) + a

-57-


ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี จงหาผลบวกบนเสนจํานวนตอไปนี ้

1) (-3) + (-4)

2) (-1) + (-5)

3) 7 + (-3)

4) 4 + (-9)

5) (-2) + 7

6) (-4) + 10

7) (-5) + (-3)


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-58-


8) 4 + (-11)

9) (-8) + 13

10) 9+ (-4)

11) (-9) + 5

12) 8 + (-8)

ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด)

ขอ 1. จงหาผลลัพธ

(-5) + (-8) = ………………..

(-8) + (-5) = ………………..

(-7) + (-1) = ………………..

(-1) + (-7) = ………………..

(-19) + (-6) = ………………..

(-6) + (-19) = ………………..

(-46) + (-57) = ………………..

(-57) + (-46) = ………………..

(-214) + (-49) = ………………..

(-49) + (-214) = ………………..

(-25) + (-145) = ………………..

(-145) + (-25) = ………………..

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


-59-


ขอ 2. นกัเรียนคิดวา จํานวนเต็มลบมีสมบัติการสลับทีสํ่าหรับการบวกหรือไม

ขอ 3. จงหาจาํนวนที่แทน x แลวทาํใหไดประโยคที่เปนจริง

x + (-5) = -6 ……………...

(-2) + x = -9 ……………...

x + (-10) = -15 ……………...

(-12) + x = -21 ……………...

ขอ 4. จงหาผลลัพธโดยบวกสองจํานวนที่อยูในวงเล็บใหญกอน

(-3) + [(-1) + (-8)] =

[(-3) + (-1)] + (-8) =

(-2) + [(-4) + (-5)] =

[(-2) + (-4)] + (-5) =

[(-10) + (-6)] + (-7) =

(-10) + [(-6) + (-7)] =.

[(-17) + (-13)] + (-9) =

(-17) + [(-13) + (-9)] =

.

ขอ 5. นกัเรียนคิดวา จํานวนเต็มลบมีสมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการบวกหรือไม …………….......

ขอ 6. จงหาผลบวก

20 + 200 = ………………….

200 + 20 = ………………….

(-6) + (-18) = ………………….

(-18) + (-6) = ………………….

(-1) + (-11) = ………………….

(-11) + (-1) = ………………….

(-3) + 40 = ………………….

40 + (-3) = ………………….

26 + (-42) = ………………….

(-42) + 26 = ………………….

ขอ 7. ใหนักเรียนแทน a และ b ดวยจาํนวนทีก่ําหนดใหในประโยค a + b = b + a แลวดูวาประโยค

ที่ไดเปนจริงหรือเท็จ

a = 5 , b = 6 3) a = 23 , b = -9

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

a = -2 , b = -8 4) a = 6 , b = -11

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

ขอ 8. จากขอ 6 และขอ 7 นกัเรียนคิดวา การบวกจํานวนเต็มมีสมบัติการสลับทีห่รือไม .............

-60-


ขอ 9. ใหนักเรียนแทน a , b และ c ดวยจํานวนทีก่ําหนดใหในประโยค ( a + b ) + c = a + ( b + c )

แลวดูวาประโยคที่ไดเปนจริงหรือเท็จ

a = 3 , b = 4 , c = 2 a = -1 , b = 3 , c = 5

a = -5 , b = -2 , c = 7 a = 23 , b = -14 , c = -6

a = -8 , b = -19 , c = -10

ขอ 10.นักเรียนคิดวา จํานวนเต็มมีสมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการบวกหรือไม ..........................

ขอ 11. จงหาผลบวก

(-16) + 8 + (-4) = ……………….….

(-2) + 3 + 2 = ……………….….

(-5) + (-5) + 5 = ……………….….

8 + 2 + (-10) = ……………….….

13 + (-9) + (-1) = ……………….….

24 + 7 + (-6) = ……………….….

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง สามารถลบจํานวนเต็มได

2.8 การลบจํานวนเต็ม ในการลบจํานวนเต็มนัน้ เราอาศัยการบวกตามขอตกลงดังนี ้

ตัวอยางเชน 6 – 2 = 6 + (-2)

2 – 6 = 2 + (-6)

(-15) – 3 = (-15) + (-3)

4 – (-9) = 4 + 9

(-13) – (-11) = (-13) + 11

ใหนักเรียนเขียนการลบตอไปนี้ในรูปการบวกดวยจํานวนตรงขามของตัวลบ ตามตัวอยาง

ขางตน

1. 8 – 5

2. 3 – 4

3. 7 – 12

4. (-2) – 4

5. (-9) – 5

6. (-10) – 12

7. 3 – (-7)

8. 20 – (-9)

9. 16 – (-30)

10. (-3) – (-8)

11. (-5) – (-2)

12. (-4) – (-16)

ตัวต้ัง – ตัวลบ = ตัวต้ัง + จาํนวนตรงขามของตัวลบ

-61-


เมื่อเขียนการลบใหอยูในรูปการบวกแลวจึงหาผลบวกของจํานวนเต็มตามวิธกีารบวกที่เคยสรุป

ไว ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลลบ (-3) – 4

วิธีทาํ (-3) – 4 = (-3) + (-4)

= -7 ตอบ

ตัวอยางท่ี 2 จงหาผลลบ 2 – (-3)

วิธีทาํ 2 – (-3) = 2 + 3

= 5 ตอบ

ตัวอยางท่ี 3 จงหาผลลบ (-2) – (-6)

วิธีทาํ (-2) – (-6) = (-2) + 6

= 4 ตอบ

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงหาผลลัพธตอไปนี ้

1) 3 – 12 = 2) 18 – 23 =

3) -9 + 16 = 4) 132 – 184 =

5) 336 – 363 = 6) -75 + 199 =

7) 48 – 32 – 64 = 8) 15 – 18 + 14 – 20 =

9) -12 + 15 – 17 + 18 = 10) 25 – 36 + 17 – 35 =

11) 42 – 50 – 17 – 8 = 12) -19 – 18 – 17 – 16 =

13) -76 + 77 – 79 + 72 = 14) 35 – 32 – 38 + 30 =

15) (-5) + 8 = 16) 12 – 9 =

17) (-4) + (-8) = 18) (-12) + (-15) + (-9) =

19) -12 + 7 = 20) (-18) + 11 =

21) 24 – (-19) = 22) -(-8) – (-4) =

23) (-21) + (-13) = 24) (-41) – (-8) =


-62-


25) [(-12) + (-13)] – 15 = 26) -8 – [ 4 – (-9)] =

= =

= =

27) 3 – [(-7) + (-8)] = 28) ( -12 – 15 ) – ( 15 – 19 ) =

= =

= =

ให a = -1 , b = -3 , c= -5 จงหาคาของ

29) a + b + c = 30) a – b – c =

= =

31) a + ( b – c ) = 32) ( a – b ) + c =

= =

ให a = 3 , b = -2 , c = -1 จงหาคาของ

33) a – b + c = 34) ( a + b ) – c =

= =

35) a – ( b + c ) = 36) c – ( a – b ) =

= =

ให P = 2 , Q = -2 , R = 1 , S = 1 จงหาคาของ

37) P + Q – R + S = 38) ( P – Q ) + ( R – S ) =

= =

ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงหาผลลบ

7 – 9 = ……………………………...

...........................................

2 – 15 = ……………………………...

...........................................

0 – 26 = ……………………………...

...........................................

(-27) – 8 = …………………………….

.........................................

(-3) – 14 = …………………………….

.........................................

(-18) – 3 = …………………………….

.........................................

0 – (-10) = ……………………………...

...........................................


-63-


6 – (-45) = ……………………………...

...........................................

104 – (-30) = …………………………...

.......................................

(-49) – (-49) = ………………………….

......................................

(-31) – (-22) = ………………………….

.........................................

(-15) – (-16) = …………………………….

........................................

ขอ 2. จงหาคาของ y ที่ทาํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง

1) 0 – 2 = y …………………

2) (-1) – 0 = y …………………

3) 0 – 0 = y …………………

4) 0 – (-5) = y …………………

5) 8 – y = 0 …………………

6) 0 – y = 0 …………………

7) (-3) – y = 0 …………………

8) y – 6 = 0 …………………

9) y – 4 = -1 …………………

10) 0 – y = 7 …………………

ขอ 3. จงหาคาของ ( a + b ) – c เมื่อ

1) a = 3 , b = -6 , c = 5

2) a = 4 , b = -3 , c = -2

3) a = 8 , b = -8 , c = -1

ขอ 4. จงหาคาของ a + ( b – c ) เมื่อ

1) a = 4 , b = -6 , c = -6

2) a = -7 , b = -18 , c = -24

3) a = -5 , b = 3 , c = 3

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

สามารถคูณจํานวนเต็มได 2.9 การคูณจํานวนเต็ม

การคูณจํานวนเต็มมีสมบัติการสลับที่ การเปล่ียนกลุม และการแจกแจงบนการบวก ซึ่งเราจะ

ใชสมบัติเหลานี้ในการหาผลคูณ การคูณจํานวนเต็มบวกกบัจํานวนเต็มลบ ใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางตอไปนี้

4 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2

2 × 5 = 5 + 5

5 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7

ตัวอยางเหลานี้แสดงความหมายของการคูณ

-64-


ในทาํนองเดียวกัน

3 × (-4) = (-4) + (-4) + (-4)

= -12

ใหนักเรียนเขียนการคูณจํานวนตอไปนี้ในรูปการบวกแลวหาผลลัพธ

1. 5 × (-2)

2. 3 × (-1)

3. 12 × (-3)

เพื่อจะหาวิธีคูณจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบใหรวดเร็วข้ึน ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี ้

1. ใหนักเรียนหาผลคูณ 6 × (-5) โดยเขียนการคูณใหอยูในรูปการบวกกอน


3. ใหนักเรียนหาผลคูณ 6 × (-5) โดยนาํคาสัมบูรณของ 6 ไปคูณกับคาสัมบูรณของ –5

แลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ นักเรียนไดคําตอบเทากับคําตอบในขอ 1 หรือไม

4. ใหนักเรียนใชวิธีการเชนเดียวกับในขอ 3 หาผลคูณตอไปนี ้

1) 3 × (-2)

2) 7 × (-3)

3) 4 × (-6)

4) 15 × (-4)

การคูณจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มบวก

ใหนักเรียนพิจารณาผลคูณตอไปนี้

1. 5 × (-2)

2. (-2) × 5

นักเรียนจะหาผลคูณในขอ 1 โดยเขียนเปนรูปการบวกของ -2 ไดหรือไม

นักเรียนจะหาผลคูณในขอ 2 โดยเขียนเปนรูปการบวกของ 5 ไดหรือไม

ในการหาผลคูณ (-2) × 5 เราจะใชสมบัติการสลับที่สําหรับการคูณจํานวนเต็ม ดังนี ้

(-2) × 5 = 5 × (-2)

= -10

จํานวนเต็มบวกคูณจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบ

เปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากับผลคูณ

ของคาสัมบูรณของสองจํานวนนัน้

-65-


ใหนักเรียนหาผลคูณตอไปนี้ โดยอาศัยวิธคูีณจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ตามตัวอยาง

ขางตน

1. (-3) × 7

2. (-10) × 4

3. (-15) × 8

4. (-32) × 41

นักเรียนหาผลคูณของจํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มบวกไดอยางไร

เพื่อจะหาวิธีคูณของจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มบวก ใหนกัเรียนตอบคําถามตอไปนี ้

1. ใหนักเรียนหาผลคูณ (-4) × 6 โดยอาศัยการคูณจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ


3. ใหนักเรียนหาผลคูณ (-4) × 6 โดยนาํคาสัมบูรณของ -4 ไปคูณกับคาสัมบูรณของ 6

แลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ นักเรียนไดคําตอบเทากับคําตอบในขอ 1 หรือไม

4. ใหนักเรียนใชวิธีเชนเดียวกบัในขอ 3 หาผลคูณตอไปนี้

1) (-5) × 4

2) (-11) × 9

3) (-13) × 6

4) (-15) × 8

วิธีคูณจํานวนเต็มบวกกบัจํานวนเต็มลบ และวิธีคูณจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มบวก

เหมือนกนัไม ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลคูณ 38 × (-5)

วิธีทาํ 38 × (-5) = -190 ตอบ

ตัวอยางท่ี 2 จงหาผลคูณ (-26) × 20

วิธีทาํ (-26) × 20 = -520 ตอบ

จํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มบวก ไดคําตอบ

เปนจํานวนเต็มลบ ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลคูณ

ของคาสัมบูรณของสองจํานวนนัน้

-66-


การคูณจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ ในการหาผลคูณของจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ เชน (-3) × (-2) เราจะใชสมบัติการ

แจกแจงดังนี ้

เนื่องจาก (-2) + 2 = 0

ฉะนัน้ (-3) × [(-2) + 2] = (-3) × 0

= 0

จากสมบัติการแจกแจง

(-3) × [(-2) + 2] = [(-3) × (-2)] + [(-3) × 2]

ฉะนัน้ [(-3) × (-2)] + [(-3) × 2] = 0

เราทราบวา (-3) × 2 = -6

ฉะนัน้ [(-3) × (-2)] + (-6) = 0

ประโยคขางตนกลาววา (-3) × (-2) เปนจํานวนที่บวกกับ (-6) แลวได 0 แตจํานวนที่บวก

กับ -6 แลวได 0 มีอยูจํานวนเดียว คือ 6

ดังนัน้ (-3) × (-2) = 6

โดยทัว่ๆ ไปเราสามารถพิสูจนไดวา ผลคูณของจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบเปนจํานวน

เต็มบวกเสมอ

ใหนักเรียนหาผลคูณ (-3) × (-2) โดยนําคาสัมบูรณของ -3 ไปคูณกับคาสัมบูรณของ -2 แลว

ตอบเปนจํานวนเต็มบวก นกัเรียนไดคําตอบเทากับทีท่าํมาขางตนหรือไม

ใหนักเรียนหาผลคูณตอไปนี้ โดยใชวธิีหาผลคูณของคาสัมบูรณ

1. (-1) × (-2)

2. (-1) × (-1)

3. (-9) × (-5)

4. (-36) × (-4)

จํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปน

จํานวนเต็มบวก ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลคูณของ

คาสัมบูรณของสองจํานวนนัน้

-67-


หลักการคูณจํานวนเต็มสรุปยอๆ ได ดังนี้ 1. จํานวนเต็มบวกคูณจํานวนเต็มบวก ผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก

เชน 9 × 7 = 63

2. จํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มลบ ผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก

เชน (-9) × (-7) = 63

3. จํานวนเต็มบวกคูณจํานวนเต็มลบ หรือจํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มบวก ผลลัพธเปน

จํานวนเต็มลบ

เชน 9 × (-7) = -63

(-9) × 7 = -63

ตัวอยางที ่3 จงหาผลคูณ (-15) × (-12)

วิธีทาํ (-15) × (-12) = 180 ตอบ

ตัวอยางท่ี 4 จงหาผลคูณ [9 × (-13)] × (-7)

วิธีทาํ [9 × (-13)] × (-7) = (-117) × (-7)

= 819 ตอบ

ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงหาผลคูณ

1) 4 × (-6) =

2) 2 × (-100) =

3) 4 × (-25) =

4) 20 × (-2) =

5) 52 × (-30) =

6) 36 × (-110) =


1) (-7) × 5 =

2) (-90) × 3 =

3) (-11) × 64 =

4) (-55) × 12 =

5) (-400) × 20 =

6) (-101) × 150 =


-68-


ขอ 3.จงหาผลคูณ

1) (-1) × (-1) =

2) (-1) × 1 =

3) (-5) × 8 =

4) 1 × (-6) =

5) (-20) × 11 =

6) (-12) × (-14) =

7) 47 × (-10) =

8) (-12) × (-12) =

ขอ 4. จงแทนคา a , b และ c ดวยจาํนวนทีก่ําหนดใหในประโยค ( a × b ) × c = a × ( b × c )

แลวดูวาประโยคที่ไดเปนจริงหรือไม

1) a = -1 , b = 4 , c = 3

2) a = 2 , b = -5 , c = 7

3) a = -3 , b = -2 , c = 8

4) a = -2 , b = -3 , c = -6

5) a = 4 , b = 3 , c = -6


1) (-6) × 10 × (-4) =

2) (-1) × (-1) × (-1) =

3) (-7) × (-5) × 8 =

4) (-2) × (-9) × 1 =

5) (-36) × 120 × 5 =

6) 8 × (-10) × (-10) =

7) (-4) × (-7) × (-2) =

8) 10 × (-20) × (-5) × (-2) =

9) 1 × (-7) × (-22) × 53 =

10) (-1) × 1 × 9 × 41 × (-1) =

ขอ 5. จงหาคา b ทีท่ําใหประโยคตอไปนี้เปนจริง

1) b × 3 = -12

2) 7 × b = -7

3) (-2) × b = 8

4) (-1) × b = 1

5) b × 1 = -1

6) 6 × (-10) × b = -60

7) 100 × b = -500

8) (-1) × b = 4

9) (-5) × b × (-5) = -125

10) (-1) × b × (-1) = 1

ขอ 6. จงหาคา x เมื่อกาํหนด a , b และ c ใหดังนี ้

x = a × b , a = 3 , b = -2

x = -a – c , a = -5 , c = -2

x = a – ( b × c ) , a = -7 , b = -3 , c = -4

x = 5 × ( a – b ) , a = 0 , b = 2

x = ( 6 – a ) × c , a = -1 , c = -2

-69-


ขอ 7. จงแทนคา a , b และ c ดวยจาํนวนที่กําหนดให

เพื่อหาคา a × ( b + c ) และ ( a × b ) + ( a × c ) นักเรียนไดผลลัพธเทากนัหรือไม

1) a = 5 , b = 1 , c = -1

2) a = -7 , b = -3 , c = -2

3) a = -4 , b = -8 , c = 1

4) a = -1 , b = 6 , c = -3

5) a = 6 , b = -12 , c = -7

ขอ 8. จงแทน a , b และ c ดวยจํานวนทีก่ําหนดให

เพื่อหาคา ( b + c ) × a และ ( b × a ) + ( c × a ) นักเรียนไดผลลัพธเทากนัหรือไม

1) a = 4 , b = 1 , c = -2

2) a = -5 , b = 4 , c = -9

3) a = -4 , b = -6 , c = -5

4) a = -7 , b = -2 , c = 8

5) a = 8 , b = -2 , c = -10

ขอ 9. จงเติมจาํนวนในชองทีเ่วนไวใหถกูตอง

1) (-2) × ( a + b ) = [(-2) × a] + [(-2) × …….. ]

2) (-7) × ( a + b ) = [(-7) × a] + [ …… × …… ]

3) ( 2 + c ) × …… = 8 + ( c × 4 )

4) 3 × ( b + …… ) = ( 3 × b ) + (-12)

5) ( x × y ) + ( x × z ) = x × ( …… + …… )

6) ( …… × …… ) + ( z × x ) = ( y + z ) × x

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

สามารถหารจํานวนเต็มได

2.10 การหารจํานวนเต็ม นักเรียนตอบไดหรือไมวาเพราะเหตุใด 24 หารดวย 8 จงึได 3

ใหนักเรียนพิจารณาประโยคทั้งคูขางลาง

24

8 = 3

8 3× = 24

ตัวต้ัง

ตัวหาร ผลหาร

-70-


ประโยค 8 3× = 24 เปนตัวอยางหนึง่ที่แสดงวา

ตัวหาร × ผลหาร = ตัวต้ัง

เราจะใชหลักขอนี้หาผลหารของจํานวนเต็มดังตอไปนี้

1. หาผลหาร 30

5

−

ให 30

5

− = a

ดังนัน้ a×5 = -30

เนื่องจาก 5 ( 6)× − = -30

ฉะนัน้ a = -6

ดังนัน้ 30

5

− = -6


5−

ให 30

5− = a

ดังนัน้ ( 5) a− × = 30

เนื่องจาก ( 5) ( 6)− × − = 30

ฉะนัน้ a = -6


5− = -6


5

−−

ให 30

5

−−

= a

ดังนัน้ ( 5) a− × = -30

เนื่องจาก ( 5) 6− × = -30

ฉะนัน้ a = 6


5

−−

= 6

-71-



1. ให a แทนผลลัพธ จงเปล่ียนประโยคตอไปนี้ใหอยูในรูปการคูณ แลวหาคาของ a

1) 14

7 = a

2) 18

2

− = a

3) 5

1− = a

4) 7

1

−−

= a

5) 1

1

−−

= a

2. จากขอ 1 ใหนักเรียนหาผลลัพธ a ในแตละขอ โดยนาํคาสัมบูรณของตัวต้ังและของตัวหาร

มาหารกนั

ถาทัง้ตัวต้ังและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคูหรือจํานวนเต็มลบทั้งคูก็ตอบเปนจาํนวน

เต็มบวก

ถาตัวต้ังหรือตัวหารตัวใดตัวหนึง่เปนจํานวนเต็มลบโดยทีอี่กตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มบวก

ก็ตอบเปนจาํนวนเต็มลบ

3. คําตอบในแตละขอที่ไดในขอ 1 และขอ 2 เทากนัหรือไม

ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลหาร 444 ÷ (-12)

วิธีทาํ 444 ÷ (-12) = -37 ตอบ

ตัวอยางท่ี 2 จงหาผลลัพธ { }[ ]( 7) ( 9) ( 11) ( 13)− × − + − ÷ −

วิธีทาํ { }[ ]( 7) ( 9) ( 11) ( 13)− × − + − ÷ − = [ ]63 ( 11) ( 13)+ − ÷ −

= 52 ( 13)÷ −

= -4 ตอบ

การหารจํานวนเต็มใหนําคาสัมบูรณของตัวต้ังและ

ของตัวหารมาหารกนั

ถาทัง้ตัวต้ังและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคูหรือ

จํานวนเต็มลบทั้งคูจะไดคําตอบเปนจํานวนบวก

ถาตัวต้ังหรือตัวหารตัวใดตัวหนึง่เปนจํานวน

เต็มลบโดยที่อีกตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มบวกจะไดคําตอบ

เปนจํานวนลบ

-72-


ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงหาคาตอไปนี ้

1) 2 × (-4) =.................................................

2) 2) (-6) × 3 =.................................................

3) (-5) × (-1) =.................................................

4) (-7) × (-8) =.................................................

5) 3 × (-4) × (-1) =...........................................

6) (-8) × (-2) × 2 =...........................................

7) (-4) × (-3) × (-2) =.....................................

8) (-1) × (-1) × (-1) =.....................................

9) (-1)× (-1)× (-1)× (-1) =.....................................

10) [(-3) × 4× (-8) × (-1)] × 0 =............................

11) (3)(-4)(-2) =.................................................

12) 2(-5)(-6) =......................................................

13) –18 ÷ 2 =......................................................

14) 20 ÷ (-5) =................................................

15) 16

18

−−

=.....................................................

16) 15

3

− =.....................................................

17) 14

2− =..........................................................

18) (-25) ÷ (-1) =...............................................

19) 0 ÷ (-18) =...............................................

20) (-20) ÷ 0 =...............................................


-73-


ขอ 2. กาํหนดให m = -18 , n = -3 , p = 2 จงหาคาของ

1) m ÷ n =.............................................................

2) p × m =.............................................................

3) n × p =.........................................................

4) m ÷ p =........................................................

5) n ÷ m =............................................................

6) ( n ÷p )× m =.......................................................

ขอ 3. กาํหนดให x = -1 , y = 1 , z = -2 จงหาคาของ

1) xyz =........................................ 2) xz

y =..................................................

3) yz ÷ x =........................................................................................................

4) z ÷ xy =........................................................................................................

ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงหาคาของตัวแปรทีแ่ทนประโยคแลวเปนจริง

1) a + a = a 2) a ÷ a = a

3) c× 0 = 0 4) c – c = 0

5) x × (-1) = x 6) 1 ÷ x = -1

7) y + 7 = 0 8) 7y = 0

9) a – 7 = 7 – a 10) a(a – 2) = 0

ขอ 2. จงหาคําตอบในแตละขอ

1) [ 2 + (-3)] ÷ (-1) 2) ( 3 – 8 ) ÷ ( 2 – 3 )

3) ( 4 – 6 )( 6 – 4 ) 4) ( 9 – 11 )( 3 – 6 )

5) ( -2 – 8 ) ÷ ( -1 – 1 ) 6) [ 3 × (-2)][ 2 × (-3)]

7) -3(-1) + 2(-4) 8) 8) (-1)(-1) + 3(-2)

9) ( -1 – 2 )( 3 – 5 )( -4 + 5 ) 10) -12 ÷ (-4)(-3)


-74-


ขอ 3. ให T = [( - P + Q )× M ] ÷ K จงหาคาของ T เม่ือ

1) P = 1 , Q = -2 , M = -1 , K = 1 2) P = -2 , Q = 3 , M = 2 , K = -1

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

3) P = 3 , Q = -1 , M = 0 , K = -3 4) P = 1 , Q = -1 , M = 1 , K = -1

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

ขอ 4. กาํหนดให a = -1 , b = 2 , c = -2 จงหาคาของ

1) a × ( b – c ) 2) ( a × b ) – ( a × c )

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

3) ( b – c ) × a 4) ( b × a ) – ( c × a )

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

5) ( a × c ) × b 6) a × ( c × b )

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

-75-


ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงหาผลหาร

1) (-29) ÷ (-29) =

2) 8 ÷ (-8) =

3) (-17) ÷ (-1) =

4) (-42) ÷ 2 =

5) (-21) ÷ (-3) =

6) 140 ÷ (-70) =

7) (-200) ÷ 40 =

8) (-441) ÷ 21 =

9) (-100000) ÷ (-100) =

10) 550 ÷ (-11) =

ขอ 2. เขียน ab แทน a × b และให x = ( ab – c ) ÷ d จงหาคา x เมือ่

1) a = 3 , b = -2 , c = 5 , d = 1

2) a = -3 , b = -4 , c = 2 , d = -2

3) a = -5 , b = 2 , c = -31 , d = 7

4) a = 1 , b = -1 , c = -2 , d = -1

5) a = -3 , b = 2 , c = -1 , d = -1

ขอ 3. ใหนักเรียนพิจารณาประโยค a – b = b – a เม่ือ a ≠ b แลวตอบคําถามตอไปน้ี

1) จะหาจํานวนมาแทน a และ b เพ่ือทําใหประโยคขางบนเปนจริงไดหรือไม

2) จะหาจํานวนมาแทน a และ b เพ่ือทําใหประโยคขางบนเปนเท็จไดหรือไม

3) การลบมีสมบัติการสลับทีห่รือไม

ขอ 4. ใหนักเรียนพิจารณาประโยค a ÷ b = b ÷ a เม่ือ a ≠ b แลวตอบคําถามตอไปนี ้

1) จะหาจํานวนมาแทน a และ b เพ่ือใหประโยคนี้เปนจริงไดหรือไม

2) จะหาจํานวนมาแทน a และ b เพ่ือทําใหประโยคนี้เปนเทจ็ไดหรือไม

3) การหารมีสมบัติการสลับทีห่รือไม

ขอ 5. ให y = [(-a + b) × c ] ÷ d จงหาคา y เม่ือ

1) a = -6 , b = 4 , c = -9 , d = 3

2) a = -31 , b = 7 , c = 0 , d = -2

3) a = 5 , b = -13 , c = -1 , d = 4

4) a = -8 , b = -2 , c = -1 , d = 1

5) a = 0 , b = -8 , c = -2 , d = 16


-76-


X

Y

0 1 2 3 4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

-1

-1-2

-2

-3

-3

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7

-8

-8

-9

-9

2

1

3

4

-4

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. สามารถบอกพิกัดของจุดตาง ๆ ที่อยูบนกราฟได

2. สามารถลงจุดของคูอันดับที่กาํหนดใหบนระนาบจํานวนได

2.11 กราฟ นักเรียนเคยใชเสนจํานวนเฉพาะสวนที่แสดงศูนยและจํานวนบวกสองเสนเปนแกนในการเขียน

กราฟมาแลว ตอไปนี้เราจะใชเสนจํานวนที่แสดงจํานวนเต็มทั้งสองเสนเปนแกนในการเขียนกราฟ เสน

จํานวนทั้งสองนั้นถือวาอยูบนระนาบเดียวกัน เราเรียกระนาบนี้วา ระนาบจาํนวน จุดแตละจุดที่อยูบน

ระนาบจํานวนนี้จะแทนคูอันดับเพียงคูเดียวเทานัน้และเมื่อเขียน ( a , b ) เราหมายความวา a และ b เปน

จํานวนใดๆ กไ็ด

ใหนักเรียนพิจารณาระนาบจํานวนตอไปนี ้

-77-


X

Y

0 1 2 3 4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

-1

-1 -2

-2

-3

-3

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7

-8

-8

-9

-9

2

1

3 4

(-3 , 1)

(-3 , -4)

(2 , 2)

R

S

P

Q

-4

บนระนาบจํานวน เสนจํานวนที่อยูในแนวนอนเรียกวา แกน X และเสนจํานวนที่อยูในแนวต้ัง

เรียกวา แกนY

เม่ือแทนคูอันดับใดๆ ดวยจุดบนระนาบจํานวน สมาชิกตัวทีห่นึง่ของคูอันดับแทนดวยจํานวนที่อยู

บนแกนนอน และสมาชิกตัวที่สองของคูอันดับแทนดวยจํานวนที่อยูบนแกนต้ัง โดยท่ัวไปเราเขียนคูอันดับ

ใดๆ ในรูป ( x , y ) ดังนั้น แทน x ดวยจํานวนที่อยูบนแกนX และแทน y ดวยจํานวนที่อยูบนแกน Y

เม่ือ P เปนจุดจุดหนึง่บนระนาบจํานวนที่เปนกราฟของ ( x , y ) จะกลาววาจุด P มีพิกัดเปน ( x ,

y ) และเขียนแทนดวย P( x , y )

จงพิจารณารูปขางตนแลวหาพิกัดของจุด P , Q , R และ S

-78-


X

Y

0 1 2 3 4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9 -1

-1-2

-2

-3

-3

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7

-8

-8

-9

-9

2

1

3

4

A

B

C

D

E

F

G

H

-4

จงหาพกิัดของจุด A , B , C , D , E , F , G และ H จากรูปที่กาํหนดใหขางตน

นักเรียนจะเหน็วาแกนX และแกนY แบงระนาบจํานวนออกเปนส่ีสวน แตละสวนเรียกวา จตุภาค

และกําหนดใหมีลําดับเปนจตุภาคที่ 1 , จตุภาคที่ 2 , จตุภาคที่ 3 และจตุภาคที่ 4 ดังในรูปขางบน

จตุภาคที่ 2

จตุภาคที่ 3 จตุภาคที่ 4

จตุภาคที่ 1

-79-


ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี

ขอ 1. จากกราฟท่ีกาํหนดใหในแตละขอ จงเขียนพิกัดของจุดตางๆ บนระนาบจํานวน

1) 2)

3) 4)

5)

0 1 2 3 4

0

X

Y

-1 -2 -3 -4

2

4

6

8

-2

-4

-6

-8

1

0

2

3

4

-1

-2

-3

-4

5 10 15 20 -5 -20 -15 -10

C

B

A

D

E

F

4

4

-4

-4

R

S U

T

X

Y

X

Y

3 -12 -9 -6 -3 0 6 9 12

3

6

9

12

-3

-6

-9

-12

J

K

L

G

H

I

X

Y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4 Q P O

N

M

X

Y


-80-


ขอ 2. จงลงจุด( x , y ) จากคา x และ y ในตารางตอไปนี้บนระนาบจํานวน

1)

x 3 0 -2 1 -4

y 4 5 3 -6 -2

2)

x -6 -5 -4 -3 -2

y 2 3 4 5 6

-81-


3) จงลงจุดตอไปนี้บนระนาบจํานวน พรอมทัง้ลากเสนตรงใหผานจุดเหลานั้น และสังเกต ตัวหลังของคู

อันดับเปนอยางไร

( -1 , 4 ) , ( -2 , 4 ) , ( -3 , 4 ) , ( 0 , 4 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 4 )

ผลของการสังเกต

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

4) จงลงจุดตอไปนี้บนระนาบจํานวน พรอมทั้งลากเสนตรงใหผานจุดเหลานั้น และสังเกต ตัวหนาของคู

อันดับเปนอยางไร

( -5 , 3 ) , ( -5 , 2 ) , ( -5 , 1 ) , ( -5 , 0 ) , ( -5 , -1 ) , ( -5 , -2 )

ผลของการสังเกต

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

-82-


ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) 1. จงหาพกิัดของจุด P , Q , R , S , M และ N บนกราฟเสนตรงในรูป

1)

2)

จุด P …………

จุด Q …………

จุด R …………

จุด S …………

จุด M …………

จุด N …………

X

Y

0 2 4 6 8 -2 -1

-2

-4 -6

-3

-8

-4

•

1

4

3

2

•

• R

Q

P

Y

•

•

•

1

1

4

3

2

0 2 3 4 -1 -1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

X

S

M

N


-83-


2. จงหาพกิัดของจุด A , B , C , D และ E บนกราฟเสนตรง L1 และ L2

3. จงหาพกิัดของจุด A , B , C และ D ซ่ึงอยูบนกราฟรูปวงกลม

จุด A …………

จุด B …………

จุด C …………

จุด D …………

จุด E …………

จุด A …………

จุด B …………

จุด C …………

จุด D …………

0 1 2 3 -1 -2 -3

3

2

1

-1

-2

-3

-4

4

• •

•

•

•

X

Y

A D

C

E

B

L1

L2

Y

X

A

B D

C

0

4

3

2

1

1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1

-2

-3

-4

-84-


4. จงหาพกิัดของจุด M , N , O , P , Q และ R บนกราฟเสนตรงในรูป

5. จงเขียนพิกัดของจุด P, Q R และ S ที่อยูบนเสนกราฟ L1 และ L2

จุด M …………

จุด N …………

จุด O …………







จุด S …………

•

• • • •

• 0

5

10

15

20

-5 -10 -15 -20

-5

-10

-15

-20

5 10 15 20 X

Y

M

N O

P Q

R

•

•

•

•

8

6

4

2

0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -2

-4

-6

-8

X

Y

P

Q

R

S

L1

L2

-85-


6. เสนตรง L1 , L2 , L3 และ L4 ตัดกันที่จุดใดบาง

7. จงลงจุดตอไปนี้บนระนาบจาํนวน

A( -3 , 2 ) , B( 0 , 6 ) , C( -4 , -5 ) , D( 2 , -3 ) , E( -5 , 0 ) และ F( 4 , 4 )

จุด ..................

จุด ..................

จุด ..................

จุด ..................

•

•

•

•

Y

X

L1

L2

L3

L4

0

-86-


8. จงลงจุด ( x , y ) จากคา x และ y ในตารางตอไปนี ้บนระนาบจํานวนพรอมทัง้เขียนช่ือจุดกํากับ

ดวย

1)

x 0 1 -2 3 -4 -5 6

y 0 -1 2 -3 4 5 -6 ชื่อจุด A B C D E F G

2)

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

y -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 ชื่อจุด H I J K L M N O

-87-


3)

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 ชื่อจุด P Q R S T U V W

9. ใหนักเรียนสอบถามน้ําหนักและสวนสูงของเพ่ือนในหองเรียนจํานวน 10 คน แลวบันทกึลงใน

ตารางขางลาง พรอมทั้งเขียนกราฟของคูอันดับ

ชื่อ น้ําหนัก (กิโลกรัม)

สวนสูง (เซนติเมตร)

-88-

หน วยการเรียนรู ที่...

Documents