หน้า | ก · 2015-12-17 · แบบฝกทักษะคณิตศาสตร์...

ห น า | ก

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 7 (ค33207) ชนมธยมศกษาปท 6

เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน ซงเปนสวนหนงของหนวยการเรยนรเรอง แคลคลสเบองตน ประกอบดวยแบบฝกทกษะทงหมด 10 เลม ดงน

เลม 1 ลมตของฟงกชน เลม 2 ทฤษฎบทเกยวกบลมตของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน เลม 4 อตราการเปลยนแปลง เลม 5 อนพนธของฟงกชน เลม 6 การหาอนพนธของฟงกชนโดยใชสตร เลม 7 การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ เลม 8 ความชนของเสนโคง เลม 9 อนพนธอนดบสง เลม 10 การประยกตของอนพนธ

โดยในแบบฝกทกษะแตละเลม ประกอบดวยผลการเรยนร จดประสงคการเรยนรทครอบคลมทงดานความร ดานทกษะกระบวนการและดานคณลกษณะ ซงกจกรรมของแบบฝกทกษะแตละเลมเสรจสมบรณในตวเอง ผเรยนสามารถใชไดดวยตนเอง

ส าหรบแบบฝกทกษะคณตศาสตร เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน จดท าขนเพอใชประกอบแผนการจดการเรยนรท 6-8 เรอง ความตอเนองของฟงกชน มจดมงหมายเพอใหนกเรยนสามารถบอกไดวาฟงกชนทก าหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม อกทงยงเปนแนวทางในการปฏรปกระบวนการจดการเรยนรทเนนผเรยนเปนส าคญ สงเสรมผเรยนไดฝกทกษะทางคณตศาสตรและแสวงหาความรดวยตนเอง อนจะท าใหผเรยนเกดความร ความเขาใจในเนอหามากยงขน เกดความคงทน ในการเรยนรและสามารถน าความรทไดรบไปประยกตใชในชวตประจ าวนไดอยางมประสทธภาพ

ผจดท าหวงเปนอยางยงวาแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน จะเปนประโยชนตอการจดการเรยนการสอนคณตศาสตร การคนควาหาความรของนกเรยนและเปนประโยชนตอผสนใจ เพอนครและ วงการศกษาตอไป

พนารตน รอดภย

ห น า | ข


หนา ค าน า ก สารบญ ข ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบครผสอน ค ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบผเรยน ง ผลการเรยนร จ จดประสงคการเรยนร จ สมรรถนะส าคญของผเรยน จ ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบผเรยน ฉ สาระส าคญ ช แบบทดสอบกอนเรยน 1 กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน 4 ยงจ าไดไหม 5 ใบความร 3.1 ความตอเนองของฟงกชน 6 แบบฝกทกษะ 3.1 12 ใบความร 3.2 ความตอเนองของฟงกชน (ตอ) 22 แบบฝกทกษะ 3.2 24 ใบความรท 3.3 ความตอเนองบนชวงของฟงกชน 29 แบบฝกทกษะท 3.3 33 แบบทดสอบหลงเรยน 38 กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน 41 แบบบนทกคะแนนแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน 42 แบบบนทกความกาวหนาของแบบฝกทกษะ 43 บรรณานกรม 44 ภาคผนวก 46 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 47 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 48 เฉลยแบบฝกทกษะ 3.1 49 เฉลยแบบฝกทกษะ 3.2 57 เฉลยแบบฝกทกษะ 3.3 61

ห น า | ค


1. ศกษาแผนการจดการเรยนรและการใชแบบฝกทกษะ 2. ศกษาและท าความเขาใจเนอหา จดประสงคการเรยนรและการด าเนนการสอน เพอใหการจดกจกรรมการเรยนรเปนไปตามล าดบขนตอน 3. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน 4. ด าเนนกจกรรมการเรยนร 5. ใหค าแนะน าและความชวยเหลอนกเรยนเมอมปญหา ตามความเหมาะสมกบความสามารถและศกยภาพของนกเรยนทแตกตางกน 6. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน 7. แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนใชเวลาในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 3 ชวโมง

ห น า | ง


1. ศกษาการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2. ศกษาจดประสงคการเรยนร เพอใหทราบวานกเรยนตองรและปฏบตสงใดบางหลงจาก จบบทเรยนแลว 3. ท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอตรวจสอบความรเดมในเรองทเรยน จากนนตรวจค าตอบ จากเฉลยในภาคผนวกทายเลมและบนทกคะแนน 4. ศกษาเนอหาและตวอยางใหเขาใจ แลวท าแบบฝกทกษะตามล าดบขนตอน 5. หากไมเขาใจหรอมปญหา นกเรยนสามารถปรกษาและแลกเปลยนองคความร 6. ท าแบบทดสอบหลงเรยนแลวตรวจค าตอบจากเฉลยในภาคผนวกทายเลมและบนทกคะแนนแลวเปรยบเทยบกบคะแนนทดสอบกอนเรยน 7. หากยงมขอสงสยและไมเขาใจใหกลบไปทบทวนบทเรยนจากแบบฝกทกษะอกครง 8. นกเรยนควรซอสตยตอตนเอง โดยไมเปดดเฉลยระหวางศกษาแบบฝกทกษะ เพอนกเรยน จะไดพฒนาการเรยนรของตนเองอยางเตมความสามารถ

ห น า | จ


บอกไดวาฟงกชนทก าหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม ดานความร

1. บอกไดวาฟงกชนทก าหนดใหเปนฟงกชนตอเนองท x = a หรอไม 2. เมอก าหนดฟงกชนตอเนองให สามารถหาคาของฟงกชน ณ จดทก าหนดใหได 3. บอกไดวาฟงกชนใด ๆ ตอเนองบนชวงทก าหนดใหหรอไม

ดานทกษะกระบวนการ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความซอสตย สจรต 2. มวนย 3. ใฝเรยนร 4. มงมนในการท างาน

1. ความสามารถในการสอสาร 2. ความสามารถในการคด 3. ความสามารถในการแกปญหา

ห น า | ฉ


ห น า | ช


สาระส าคญ

ถา x alim f(x)

= f(a) และกราฟของฟงกชนไมขาดตอนท x = a

ในลกษณะเชนนเรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนตอเนองท x = a

ให f เปนฟงกชนซงนยามบนชวงเปด (a, b) และ c (a, b) จะ

กลาววา f เปนฟงกชนตอเนองท x = c กตอเมอ

1. f(c) หาคาได

2. x alim f(x)

หาคาได

และ 3. f(c) = x alim f(x)

ห น า | 1


รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 7 (ค33207) ชนมธยมศกษาปท 6 เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน ********************************************************************************************* ค าชแจง 1. แบบทดสอบชดนมทงหมด 10 ขอ ใชเวลา 15 นาท 2. ใหนกเรยนท าเครองหมาย X ลงในชองตวเลอกในกระดาษค าตอบทเหนวาถกทสด *********************************************************************************************

1. ถาฟงกชน f ตอเนองท x = c แลว ขอใดถกตอง 1. f(c) หาคาได 2.

x clim f(x)

หาคาได

3. f(c) = x clim f(x)

ก. ขอ 1 และ ขอ 2 ถก ข. ขอ 1 และขอ 3 ถก ค. ขอ 2 และขอ 3 ถก ง. ขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 ถก

2. ถา f(x) = 3x – 4 ขอใดถกตอง

ก. f ตอเนองท x = 2 แตไมตอเนองท x = -2 ข. f ตอเนองท x = -2 แตไมตอเนองท x = 2 ค. f ตอเนองท x = 2 และ x = -2 ง. f ไมตอเนองท x = 2 และ x = -2

2x - 1

; x 1x - 1

4 ; x = 1

1. x 1lim f(x)

หาคาได

2. f(1) หาคาได 3. f ตอเนองท x = 1


3. ถา f(x) = ขอความใดกลาวถกตอง

ห น า | 2


4. f(x) = 2

x - 1

x + x ตอเนองทจดใด

ก. x = -1 ข. x = 0 ค. x = 1 ง. ถกทงขอ ก และขอ ข

5. f(x) = 2-x

2x + 4 ไมตอเนองทจดใด

ก. x = -2 ข. x = -1 ค. x = 0 ง. x = 2

2x - x

;2x

x 0

k ; x = 0 คา k ทท าให f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (- , ) คอขอใด

ก. 1

-4

ข. 1

-2

ค. 1

4 ง.

1

2

1

3x + 1 ; 0 < x < 1

2 - 5 - x

x - 1 ; x > 1

ก. f ตอเนองท x = 1 แตไมตอเนองท x = 3 ข. f ตอเนองท x = 1 และ x = 3 ค. f ไมตอเนองท x = 1 แตตอเนองท x = 3 ง. f ไมตอเนองท x = 1 และ x = 3

6. ถา f(x) =

7. ถา f(x) = 1 ; x = 1 ขอใดถกตอง

ห น า | 3


8. ก าหนดให f(x) = 3

x - 8

x - 2 เมอ x 8 ถา f เปนฟงกชนตอเนองท x = 8

f(8) มคาเทากบขอใด ก. 8 ข. 10 ค. 12 ง. 20

9. ก าหนดให f(x) = x - 3 แลว ฟงกชน f ตอเนองบนชวงใด

ก. (0 , 2] ข. (- , 3) ค. (3 , ) ง. [3 , ) 1 ; x 5

10. ก าหนดให f(x) = แลว ฟงกชน f ตอเนองบนชวงใด 3 ; x = 5

ก. (0 , 5] ข. (- , 5) (5 , ) ค. (- , 5] [5 , ) ง. [5 , )

ห น า | 4


ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ห น า | 5


เราทบทวนการหาลมตของฟงกชนโดยใชทฤษฎบทกนดกวา

ขอหนง………………………………………..

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

ค า

ตอบข

อสอง 2

ยงจ าไดไหม

ไดซ ตงค าถามมาเลย

ขอหนง 2

x 1lim (x + 3x - 5)

มคาเทาไร

ขอสอง 2

x 1

x - 1lim

x - 1 มคาเทาไร

ขอสอง………………………………………..

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

………………………………………………

ค าตอบขอหนง -1

8

ห น า | 6


บทนยาม ให f เปนฟงกชนซงนยามบนชวงเปด (a, b) และ c (a, b) จะกลาววา f เปนฟงกชนตอเนองท x = c กตอเมอ

1. f(c) หาคาได 2.

x clim f(x)

หาคาได

และ 3. f(c) = x clim f(x)

หมายเหต จากบทนยามขางตน ถาฟงกชน f ขาดสมบตขอใดขอหนงแลว ฟงกชน f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = c

ตวอยางท 1 จงพจารณาวา f(x) = 2x + 1 เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 หรอไม

ว ธท า จาก f(x) = 2x + 1

จะได f(2) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได)

และ x 2

lim f(x)

= 2

x 2lim (x + 1)

= 22 + 1

= 5 (สมบตขอ 2 x 2lim f(x) หาคาได)

นนคอ f(2) = x 2lim f(x)

(สมบตขอ 3 f(x) = x 2lim f(x) )

ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 2

การพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท c หรอไม จะตองตรวจสอบวาฟงกชน f มสมบตครบตามเงอนไขทงสามขอหรอไมนนเอง

ห น า | 7


ตวอยางท 2 ให f(x) = 1

x + 2 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = -2 หรอไม

ว ธท า จาก f(x) = 1

x + 2

จะได f(-2) = 1

(-2) + 2

= 1

(-2) + 2

= 1

0

นนคอ f(-2) หาคาไมได

ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = -2

ตวอยางท 3 จงพจารณาวา f(x) = 2

1

x + 1 เปนฟงกชนตอเนองท x = -1 หรอไม

ว ธท า จาก f(x) =

2

1

x + 1

จะได f(-1) = 2

1

(-1) + 1

= 1

2 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได)

และ x -1lim f(x)

= 2x -1

1lim

x + 1

= 1

2 (สมบตขอ 2

x 2lim f(x) หาคาได)

นนคอ f(-1) = x -1lim f(x)

(สมบตขอ 3 f(x) = x 2lim f(x) )

ดงนน ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = -1

ห น า | 8


ก าหนดให f(x) =

จาก f(x) =

ตวอยางท 4 x ; x < -2 ก าหนดให f(x) = 2x ; x -2

จงพจารณาวา ฟงกชน f ตอเนองท x = -2 หรอไม

ว ธท า x ; x < -2 จาก f(x) = 2x ; x -2

เนองจาก x = -2 จงพจารณา f(x) = 2x ; x -2

จะได f(-2) = 2(-2) = -4 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได) เนองจาก

-x -2lim f(x)

= -x -2

lim x

= -2

และ +x -2

lim f(x)

= +x -2

lim 2x

= -4

จะไดวา -x -2

lim f(x)

+x -2

lim 2x

นนคอ x -2lim f(x) หาคาไมได

ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = -2

ตวอยางท 5 2x - x - 6

x - 3 ; x 3

5 ; x = 3

จงพจารณาวา ฟงกชน f ตอเนองท x = 3 หรอไม

ว ธท า 2x - x - 6

x - 3 ; x 3

5 ; x = 3 เนองจาก x = 3 จงพจารณา f(x) = 5 ; x = 3

จะได f(3) = 5 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได)

และ x 3lim f(x)

= 2

x 3

x - x - 6lim

x - 3

f(x) =

ห น า | 9


ก าหนดให f(x) =

จาก f(x) =

= x 3

(x - 3)(x + 2)lim

x - 3

= x 3lim (x + 2)


จะไดวา x 3lim f(x)

= f(3) (สมบตขอ 3 f(x) = x 2lim f(x) )


ตวอยางท 6 x - 2

x - 2 ; x 2

0 ; x = 2 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = 2 หรอไม

วธท า x - 2

x - 2 ; x 2

0 ; x = 2

เนองจาก x = 2 จงพจารณา f(x) = 0 ; x = 2 จะได f(2) = 0 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได)

เนองจาก -x 2

lim f(x)

= -x 2

x - 2lim

- (x - 2)

= -1 ----------(1)

และ +x 2

lim f(x)

= +x 2

x - 2lim

x - 2

= 1 ----------(2)

จาก (1) และ (2) จะเหนวา -x 2

lim f(x)

+x 2

lim f(x)

นนคอ x -2lim f(x) หาคาไมได

ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 2

f(x) =

ห น า | 10


ตวอยางท 7 2x + 1 ; x < 3 ก าหนดให f(x) = 3 ; 3 x < 5 x - 2 ; x 5 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = 3 และ x = 5 หรอไม

วธท า 2x + 1 ; x < 3 จาก f(x) = 3 ; 3 x < 5 x - 2 ; x 5 พจารณาท x = 3

เนองจาก x = 3 จงพจารณา f(x) = 3 ; x = 3 จะได f(3) = 3 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได) เนองจาก

-x 3lim f(x)

= -x 3

lim (2x + 1)

= 7 -----------(1)

และ +x 3

lim f(x)

= 3 -----------(2)

จาก (1) และ (2) จะเหนวา -x 3

lim f(x)

+x 3

lim f(x)

นนคอ x 3lim f(x) หาคาไมได

ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 3 พจารณาท x = 5

เนองจาก x = 5 จงพจารณา f(x) = x - 2 ; x = 5 จะได f(5) = 5 - 2

= 3 (สมบตขอ 1 f(x) หาคาได) เนองจาก

-x 5lim f(x)

= 3

และ +x 5

lim f(x)

= +x 5

lim (x - 2)

= 3

จะเหนวา -x 5

lim f(x)

= +x 5

lim f(x)

= 3

นนคอ x 5lim f(x)


เนองจาก f(5) = x 5lim f(x)

ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 5 (สมบตขอ 3 f(x) = x 2lim f(x) )

สรปไดวา ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 3 แตตอเนองท x = 5

ห น า | 11


ทฤษฎบท 1 ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองท x = a แลว ไดวา

1. f + g เปนฟงกชนตอเนองท x = a 2. f - g เปนฟงกชนตอเนองท x = a 3. f g เปนฟงกชนตอเนองท x = a

4. f

g เปนฟงกชนตอเนองท x = a

เราทราบมาแลววา ถา p(x) เปนฟงกชนพหนามแลวส าหรบจ านวนจรง a ใด ๆ จะไดวา

x alim f(x)

= p(a) ดงนนจะไดทฤษฎบทดงน

ทฤษฎบท 2 ส าหรบจ านวนจรง a ใด ๆ

ฟงกชนพหนาม p(x) เปนฟงกชนตอเนองท x = a

ทฤษฎบท 3 ถา f เปนฟงกชนตรรกยะ โดยท f(x) = p(x)

q(x)

เมอ p(x) และ q(x) เปนฟงกชนพหนาม แลว f เปนฟงกชนตอเนองท x = a

เมอ a เปนจ านวนจรงใด ๆ ซง q(a) 0

ตวอยางท 8 ก าหนดให f(x) = 2

2

x - 9

x - 5x + 6

จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = 0 หรอไม

วธท า จาก f(x) = 2

2

x - 9

x - 5x + 6

ให p(x) = 2x - 9 และ q(x) = 2x - 5x + 6 เนองจาก p และ q เปนฟงกชนพหนาม และ q(0) = 6 0 จากทฤษฎบท 3 ดงนน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0

ห น า | 12


ค าชแจง จงพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนฟงกชนตอเนอง ณ จดทก าหนดใหหรอไม (ขอละ 1 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน) 1. f(x) = x + 5 ; ท x = 5

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 13


2. f(x) = 1

x + 2 ; ท x = 5

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 14


2x - 4

x - 2 ; x 2

4 ; x = 2 วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

3. f(x) = ท x = 2

ห น า | 15


4. f(x) = x - 1

x - 1 ; ท x = 1

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 16


5. f(x) = 2

x - 3

x - 9 ; ท x = 3

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 17


2x - 36

x - 6 x 6

4 x = 6

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

6. f(x) = ท x = 6

ห น า | 18


x - 1

x - 1 ; x 1

2 ; x = 1

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

7. f(x) = ท x = 1

ห น า | 19


x ; x 2 2x x > 2

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

8. f(x) = ท x = 2

ห น า | 20


3x - 2 ; x = 2

2x - 4

x - 2 ; x 2

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

9. f(x) = ท x = 2

ห น า | 21


0 ; x 1

10. f(x) = 1

x - 1 ; 1 < x 2 ท x = 1 และ x = 2

3 – x ; x > 2

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 22


ตอไปเปนตวอยาง กรณทโจทยก าหนดเงอนไขของความตอเนอง

ตวอยางท 9 ก าหนดให f(x) = 2

3

x - 1

x - 1 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว

f(1) เปนมคาเทากบเทาไร

วธท า เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1

แสดงวา f(1) = x 1lim f(x)

พจารณา x 1lim f(x)

= 2

3x 1

x - 1lim

x - 1

= 2x 1

(x - 1)(x + 1)lim

(x - 1)(x + x + 1)

= 2x 1

(x + 1)lim

(x + x + 1)

= 2

3

ดงนน f(1) มคาเทากบ 2

3 จงจะท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1

ห น า | 23


ตวอยางท 10 x - 1

x - 1 ; x 1

k ; x = 1 และ k R ฟงกชน f จะเปนฟงกชนตอเนองท x = 1 กตอเมอ k มคาเทาไร


และ f(1) = k

แสดงวา k = x 1lim f(x)

วธท 1 พจารณา x 1lim f(x)

= x 1

x - 1lim

x - 1

=

22

x 1

x - 1lim

x - 1

= x 1

( x - 1)( x + 1)lim

x - 1

= x 1lim ( x + 1)

= 2 ดงนน k = 2 จงจะท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1


= x 1

x - 1lim

x - 1

= x 1

(x - 1) ( x + 1)lim

( x - 1) ( x + 1)

= x 1

(x - 1)( x + 1)lim

x - 1

= x 1lim ( x + 1)

= 2 ดงนน k = 2 จงจะท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1

f(x) =

ใชการแยกตวประกอบ

ใชสงยคของสวนทมเครองหมาย

กรณฑคณทงเศษและสวน

x – 1 เขยนอกรปแบบหนงคอ

2 2( x ) - 1

ห น า | 24


ค าชแจง จงแสดงวธท า (ขอละ 2 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน)

1. ก าหนด f(x) = 23x - 10x + 3 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว f(1) มคาเทาไร วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 25


2. ก าหนด f(x) = 2x - 4x - 5

x - 5 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนอง ท x = 5 แลว f(5)

มคาเทาไร

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 26


3. ก าหนดให f(x) =

x + 1 - 1

x ; x 0

a ; x = 0 และ a R

จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0 แลว a มคาเทาไร

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 27



2x + 2x - 15

x - 1 ; x 5

2m + 1 ; x = 5 และ m R

จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5 แลว m มคาเทาไร

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 28


ax ; x 1 5. ก าหนดให f(x) =

x – b ; x > 1

จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว a + b มคาเทาไร

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 29


ความตอเนองบนชวง ตองพจารณาตามเงอนไขตอไปน

1. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (a, b) กตอเมอ f ตอเนองททก ๆ จดในชวง (a, b)

2. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] กตอเมอ

2.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง (a, b) และ 2.2

+x a

lim f(x)

= f(a) และ -x b

lim f(x)

= f(b)

3. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (a, b] กตอเมอ


-x b

lim f(x)

= f(b)

4. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b) กตอเมอ


+x alim f(x)

= f(a)

ห น า | 30


ตวอยางท 11 ก าหนด f(x) = 216 - x จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-4 , 4) หรอไม

วธท า ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (-4 , 4)

จาก f(x) = 216 - x

จะได f(c) = 216 - c

และ x clim f(x)

= 2

x clim 16 - x

= 2

x clim (16 - x )

= 216 - c

ดงนน x clim f(x)

= f(c)

สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-4 , 4)

ตวอยางท 12 ก าหนด f(x) = 29 - x จงแสดงวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [-3, 3]


จาก f(x) = 29 - x

จะได f(c) = 29 - c


= 2

x clim 9 - x

= 2

x clim (9 - x )

= 29 - c

เงอนไขขอ 2.1

ห น า | 31



= f(c)

สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-3 , 3) ตอไปจะแสดงวา

+x -3lim f(x)

= f(-3) และ -x 3

lim f(x)

= f(3)

+x -3

lim f(x)

= +

2

x -3lim 9 - x

= +

2

x -3lim (9 - x )

= 0 = f(-3)

และ -x 3

lim f(x)

= -

2

x 3lim 9 - x

= -

2

x 3lim (9 - x )

= 0 = f(3)

ดงนนฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [-3, 3] 2x ; 0 x < 1 ตวอยางท 13 ก าหนดให f(x) = 2 – x ; 1 x 2 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง [0, 2] หรอไม วธท า พจารณาบนชวง (0, 1)

ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (0 , 1) จาก f(x) = 2x

จะได f(c) = 2c และ

x clim f(x)

= x clim 2x

= 2c


= f(c)

สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (0 , 1) พจารณาท x = 1

จาก f(x) = 2 - x จะได f(1) = 2 - 1 = 1 เนองจาก

-x 1lim f(x)

= -x 1

lim 2x

= 2

และ +x 1

lim f(x)

= +x 1

lim (2 - x)

= 1

เงอนไขขอ 2.2

ห น า | 32



lim f(x)

+x 1

lim f(x)

ดงนน x 1lim f(x)

หาคาไมได

นนคอ ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1 และ 1 [0, 2] ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองบนชวง [0, 2]

ห น า | 33


ค าชแจง จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวงทก าหนดใหหรอไม (ขอละ 2 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน)

1. ก าหนด f(x) = 2x + 2x จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (3, 5) หรอไม

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 34


2. ก าหนด f(x) = 2x + 3 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-1 , 1) หรอไม

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 35


3. ก าหนด f(x) = 2

x + 2

x - 2x - 8 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-1 , 3] หรอไม

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 36


4. ก าหนด f(x) = 2x + 2x - 15

x - 1 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (1 , 2) หรอไม

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

ห น า | 37



จงพจารณาวา f ตอเนองบนชวง [-2 , 5) หรอไม

วธท า ……………………………………………………..………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....…………………………………………………………………………

x2 + 4 ; x < -1

3x - 1 ; x 3

x + 6 ; -1 x < 3

ห น า | 38


รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 7 (ค33207) ชนมธยมศกษาปท 6 เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน ********************************************************************************************* ค าชแจง 1. แบบทดสอบชดนมทงหมด 10 ขอ ใชเวลา 15 นาท 2. ใหนกเรยนท าเครองหมาย X ลงในชองตวเลอกในกระดาษค าตอบทเหนวาถกทสด *********************************************************************************************

1. ถา f(x) = 3x – 4 ขอใดถกตอง ก. f ตอเนองท x = 2 แตไมตอเนองท x = -2 ข. f ตอเนองท x = 2 และ x = -2 ค. f ไมตอเนองท x = 2 และ x = -2 ง. f ตอเนองท x = -2 แตไมตอเนองท x = 2

2. f(x) = 2

x - 1

x + x ตอเนองทจดใด

ก. x = -1 ข. x = 0 ค. x = 1 ง. ถกทงขอ ก และขอ ข

3. f(x) = 2-x

2x + 4 ไมตอเนองทจดใด

ก. x = 2 ข. x = 0 ค. x = -1 ง. x = -2

4. ถาฟงกชน f ตอเนองท x = c แลว ขอใดถกตอง

1. f(c) หาคาได 2.

x clim f(x)

หาคาได

3. f(c) = x clim f(x)


ห น า | 39


2x - 1

; x 1x - 1

4 ; x = 1

1. x 1lim f(x)

หาคาได

2. f(1) หาคาได 3. f ตอเนองท x = 1


6. ก าหนดให f(x) = x - 3 แลว ฟงกชน f ตอเนองบนชวงใด

ก. [3 , ) ข. (- , 3) ค. (3 , ) ง. (0 , 2] 1 ; x 5

7. ก าหนดให f(x) = แลว ฟงกชน f ตอเนองบนชวงใด 3 ; x = 5

ก. (0 , 5] ข. (- , 5) (5 , ) ค. (- , 5] [5 , ) ง. [5 , )

2x - x

;2x

x 0

k ; x = 0 จงหาคา k ทท าให f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (- , )

ก. 1

-4

ข. 1

-2

ค. 1

4 ง.

1

2

5. ถา f(x) = ขอความใดกลาวถกตอง

8. ถา f(x) =

ห น า | 40


1

3x + 1 ; 0 < x < 1

2 - 5 - x

x - 1 ; x > 1

ก. f ไมตอเนองท x = 1 และ x = 3 ข. f ตอเนองท x = 1 และ x = 3 ค. f ไมตอเนองท x = 1 แตตอเนองท x = 3 ง. f ตอเนองท x = 1 แตไมตอเนองท x = 3

10. ก าหนดให f(x) = 3

x - 8

x - 2 เมอ x 8 ถา f เปนฟงกชนตอเนองท x = 8 แลว

f(8) มคาตรงกบขอใด ก. 8 ข. 10 ค. 12 ง. 20

9. ถา f(x) = 1 ; x = 1 ขอใดถกตอง

ห น า | 41


ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ห น า | 42


แบบบนทกคะแนนแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน แบบฝกทกษะคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน

ชอ………………………………………..…….ชน............................. เลขท…… โรงเรยนบานไรวทยา ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 42

รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ความกาวหนา คดเปนรอยละ การทดสอบกอนเรยน 10 การทดสอบหลงเรยน 10

ห น า | 43


แบบบนทกความกาวหนาของแบบฝกทกษะ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร เรอง ลมตและอนพนธของฟงกชน

เลม 3 ความตอเนองของฟงกชน

ชอ………………………………………..…….ชน............................. เลขท…… โรงเรยนบานไรวทยา ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 42

แบบฝกทกษะท คะแนนเตม คะแนนทได คดเปนรอยละ ผาน

เกณฑ* ไมผานเกณฑ**

3.1 10 3.2 10 3.3 10

รวมทงหมด 30 เฉลย

คดเปนรอยละ

* ผานเกณฑ หมายความวา ผเรยนไดคะแนนรอยละ 80 ขนไปของคะแนนเตม ** ไมผานเกณฑ หมายความวา ผเรยนไดคะแนนนอยกวารอยละ 80 ของคะแนนเตม

ห น า | 44


กนกวล อษณกรกล และรณชย มาเจรญทรพย. (2548). แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนร คณตศาสตรเพมเตม ม. 6 เลม 2 ชวงชนท 4. กรงเทพฯ: ส านกพมพเดอะบคส จ ากด. ______. (2554). แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนรคณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 6 เลม 6. กรงเทพฯ: ส านกพมพเดอะบคส จ ากด. กมลเอก ไทยเจรญ. (ม.ป.ป.). คณตศาสตร ม.6 เลม 5 ค 015. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง จ ากด. กานดา ลอสทธวบลย และยพน จรสขานนท. (2548). สรปคณตศาสตร ม.ปลาย ม. 4 – 5 – 6 รายวชาพนฐานและรายวชาเพมเตม. กรงเทพฯ: ส านกพมพเดอะบคส จ ากด. จกรนทร วรรณโพธกลาง. (ม.ป.ป.). คณตศาสตร Pure Pure ม.6 (2 ภาคเรยน) กลมสาระ การเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ: บรษท ส านกพมพ พ.ศ. พฒนา จ ากด. ______. (ม.ป.ป.). เฉลยขอสอบ Entrance คณตศาสตร 15 พ.ศ.. กรงเทพฯ: บรษท ส านกพมพ พ.ศ. พฒนา จ ากด. เชษฐ ชนสกลด. (ม.ป.ป.). คมอเตรยมสอบ PAT 1 ความถนดทางคณตศาสตร. กรงเทพฯ: หางหนสวนจ ากดรงเรองสาสนการพมพ. ณรงค ปนนม และคณะ. (2537). คมอเตรยมสอบคณตศาสตรรวม ม.4-5-6 . กรงเทพฯ: ภมบณฑตการพมพ จ ากด. ทรงวทย สวรรณธาดา. (2555). คณตศาสตรเพมเตมชนมธยมศกษาปท 6 ภาคเรยนท 2. กรงเทพฯ: แมคเอดดเคชน จ ากด. ประชา ศวเวทกล. (2555). กญแจคณตศาสตร ม.ปลาย ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาเพมเตม เลม 6. กรงเทพฯ: บรษท ส านกพมพเดอะบคส จ ากด. เลศ สทธโกศล. (ม.ป.ป.). คณตศาสตรแผนใหม แคลคลส ม.ปลาย 4–5–6. กรงเทพฯ: ส านกพมพ แมสพบลชชง. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2554). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตรเลม 6 ชนมธยมศกษาปท 4–6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรตามหลกสตร แกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว. ______. (2554). คมอครรายวชาเพมเตมคณตศาสตรเลม 6 ชนมธยมศกษาปท 4–6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว. สมย เหลาวานชย. (ม.ป.ป.). คมอเตรยมสอบคณตศาสตร ม.4-5-6 สาระการเรยนรเพมเตม. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง จ ากด. ______. (ม.ป.ป.). Mathematics Problems โจทยคณตศาสตร ม. 4–5–6. กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง จ ากด. สมย เหลาวานชย และพวพรรณ เหลาวานชย. (ม.ป.ป.). คณตศาสตรพนฐาน + เพมเตม เลมท 6 ชวงชนท 4 (มธยมศกษาปท 4–6). กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง จ ากด.

ห น า | 45


สกญญา สนทวงศ ณ อยธยา และอนญญา อภชาตบตร. (2556). แคลคลส Calculus 1 ฉบบเสรมประสบการณ. กรงเทพฯ: บรษทพมพดการพมพ จ ากด. สเทพ จนทรสมศกด. (ม.ป.ป.). คมอเตรยมสอบคณตศาสตร ม.6 เลม 5 ค 015. กรงเทพฯ: ส านกพมพภมบณฑต. อเนก หรญ. (2544). คณตศาสตร ม.6 ค 015. กรงเทพฯ: หจก. ส านกพมพฟสกส เซนเตอร. ______. (ม.ป.ป.). แบบฝกหดพนฐาน วชาคณตศาสตร ม.6 ค 015. กรงเทพฯ: หจก. ส านกพมพฟสกสเซนเตอร. Finney ,Ross L. and other. (2007). Calculus Graphical, Numerical, Algebraic Third Edition. Upper Saddle River. New Jersey: Prentice Hall.

ห น า | 46


ห น า | 47


เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

ขอ ค าตอบ 1 ง 2 ค 3 ก 4 ค 5 ก 6 ข 7 ค 8 ค 9 ง 10 ข

ห น า | 48


เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

ขอ ค าตอบ 1 ข 2 ค 3 ง 4 ง 5 ก 6 ก 7 ข 8 ข 9 ค 10 ค

ห น า | 49


เฉลยแบบฝกทกษะ 3.1

1. f(x) = x + 5 ท x = 5

วธท า จาก f(x) =

x + 5 จะได f(5) = 5 + 5 = 10 และ

x 5lim f(x)

= x 5lim (x + 5)

= 10 นนคอ f(5) =

x 5lim f(x)

ดงนน ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5

2. f(x) = 1

x + 2 ท x = 5


1

x + 2

จะได f(5) = 1

5 + 2

= 1

7


= x 5

1lim

x + 2

= 1

7

นนคอ f(5) = x 5lim f(x)

ดงนน ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5

ห น า | 50


2x - 4

x - 2 ; x 2

4 ; x = 2 วธท า

2x - 4

x - 2 ; x 2

4 ; x = 2 จะได f(2) = 4


= 2

x 2

x - 4lim

x - 2

= x 2

(x - 2)(x + 2)lim

x - 2

= x 2lim (x + 2)

= 4 จะไดวา

x 2lim f(x)

= f(2)


จาก f(x) =

3. f(x) = ท x = 2

ห น า | 51


4. f(x) = x - 1

x - 1 ; ท x = 1


x - 1

x - 1

f(1) = 0

0

เนองจาก f(1) หาคาไมได ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1

5. f(x) = 2

x - 3

x - 9 ท x = 3


2

x - 3

x - 9

f(3) = 0

0

เนองจาก f(3) หาคาไมได ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 3

ห น า | 52


2x - 36

x - 6 x 6

4 x = 6

วธท า

2x - 36

x - 6 x 6

4 x = 6

จะได f(6) = 4


= 2

x 6

x - 36lim

x - 6

= x 6

(x - 6)(x + 6)lim

x - 6

= x 6lim (x + 6)


x 6lim f(x)

f(6)


6. f(x) = ท x = 6

จาก f(x) =

ห น า | 53


x - 1

x - 1 ; x 1

2 ; x = 1

วธท า x - 1

x - 1 ; x 1

2 ; x = 1 จะได f(1) = 2


= x 1

x - 1lim

x - 1

=

22

x 1

x - 1lim

x - 1

= x 1

( x - 1)( x + 1)lim

x - 1

= x 1lim ( x + 1)


x 1lim f(x)

= f(1)


7. f(x) = ท x = 1

จาก f(x) =

ห น า | 54



= x 1

x - 1lim

x - 1

= x 1

(x - 1) ( x + 1)lim

( x - 1) ( x + 1)

= x 1

(x - 1)( x + 1)lim

(x - 1)

= x 1lim ( x + 1)


x 1lim f(x)

= f(1)

ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 1 x ; x 2 2x x > 2

วธท า x ; x 2 2x x > 2

จะได f(2) = 2

เนองจาก -x 2

lim f(x)

= -x 2

lim x

= 2

และ +x 2

lim f(x)

= +x 2

lim 2x

= 4

จะไดวา -x 2

lim f(x)

+x 2

lim f(x)


8. f(x) = ท x = 2

จาก f(x) =

ห น า | 55


3x - 2 ; x = 2

2x - 4

x - 2 ; x 2

วธท า 3x - 2 ; x = 2

2x - 4

x - 2 ; x 2

จะได f(2) = 4


= 2

x 2

x - 4lim

x - 2

= x 2

(x - 2)(x + 2)lim

x - 2

= x 2lim (x + 2)


x 2lim f(x)

= f(2)


9. f(x) = ท x = 2

จาก f(x) =

ห น า | 56


0 ; x 1

10. f(x) = 1

x - 1 ; 1 < x 2 ท x = 1 และ x = 2

3 – x ; x > 2 วธท า 0 ; x 1

จาก f(x) = 1

x - 1 ; 1 < x 2

3 – x ; x > 2 พจารณาท x = 1 จะได f(1) = 0 เนองจาก

-x 1

lim f(x)

= 0

และ

+x 1lim f(x)

= x 1

1lim

x - 1

จะไดวา +x 1

lim f(x)


ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1 พจารณาท x = 2 จะได f(2) = 1

เนองจาก

-x 2lim f(x)

= -x 2

1lim

x - 1

= 1

และ +x 2

lim f(x)

= +x 2

lim (3 - x)

= 1


lim f(x)

= 1 = +x 2

lim f(x)


= 1

เนองจาก x 2lim f(x)

= f(2)

ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = 2 สรปไดวา ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1 แตตอเนองท x = 2

ห น า | 57



1. ก าหนด f(x) = 3x2 – 10x + 3 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว f(1) มคาเทาไร


แสดงวา f(1) = x 1lim f(x)


= 2

x 1lim (3x - 10x + 3)

= -4

ดงนน f(1) จะตองมคาเทากบ -4 จงท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1

2. ก าหนด f(x) = 2x - 4x - 5

x - 5 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5 แลว f(5) มคาเทาไร

วธท า เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5 แสดงวา f(5) =

x 5lim f(x)


= 2

x 5

x - 4x - 5lim

x - 5

= x 5

(x - 5)(x + 1)lim

x - 5

= x 5lim (x + 1)

= 6 ดงนน f(5) จะตองมคาเทากบ 6 จงท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5

ห น า | 58



x + 1 - 1

x ; x 0

a ; x = 0 และ a R


และ f(0) = a แสดงวา a =

x 0lim f(x)


= x 0

x + 1 - 1lim

x

= x 0

x + 1 - 1 x + 1 + 1lim

x x + 1 + 1

= 2 2

x 0

( x + 1) - 1lim

x( x + 1 + 1)

= x 0

x + 1 - 1lim

x( x + 1 + 1)

= x 0

1lim

( x + 1 + 1)

= 1

( 1 + 1)

= 1

2

ดงนน a จะตองมคาเทากบ 1

2 จงท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0

ห น า | 59



2x + 2x - 15

x - 1 ; x 5

2m + 1 ; x = 5 และ m R

จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5 แลว m มคาเทาไร


และ f(5) = 2m + 1

แสดงวา 2m + 1 = x 5lim f(x)


= 2

x 5

x + 2x - 15lim

x - 1

= 25 + 2(5) - 15

5 - 1

= 20

4

= 5

นนคอ 2m + 1 = 5

2m = 4 m = 2 หรอ -2 ดงนน m จะตองมคาเทากบ 2 หรอ -2 จงท าใหฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 5

ห น า | 60


ax ; x 1 5. ก าหนดให f(x) =

x – b ; x > 1

จงพจารณาวา ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว a + b มคาเทาไร


และ f(1) = a

พจารณา -x 1

lim f(x)

= -x 1

lim ax

= a และ

+x 1lim f(x)

= +x 1

lim (x - b)

= 1 - b เนองจาก ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนอง

จะได -x 1

lim f(x)

= +x 1

lim f(x)

a = 1 - b และ a + b = 1 ดงนนถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลว a + b มคาเทากบ 1

ห น า | 61



1. ก าหนด f(x) = 2x + 2x จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (3 , 5) หรอไม วธท า ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (3 , 5)

จาก f(x) = 2x + 2x

จะได f(c) = 2c + 2c


= 2

x clim (x + 2x)

= 2c + 2c


= f(c)

สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (3 , 5)

2. ก าหนด f(x) = 2x + 3 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-1 , 1) หรอไม วธท า ให c เปนจดใด ๆ บนชวง (-1 , 1)

จาก f(x) = 2x + 3

จะได f(c) = 2c + 3


= x clim (2x + 3)

= 2c + 3


= f(c)

สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1 , 1)

ห น า | 62


3. ก าหนด f(x) = 2

x + 2

x - 2x - 8 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-1 , 3] หรอไม


จาก f(x) = 2

x + 2

x - 2x - 8

จะได f(c) = 2

c + 2

c - 2c - 8


= 2x c

x + 2lim

x - 2x - 8

= 2

c + 2

c - 2c - 8


= f(c)

สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1 , 3) พจารณาท x = 3

จะได f(3) = 2

3 + 2

3 - 2(3) - 8

= 5

-5

= -1

และ -x 3

lim f(x)

= - 2

x 3

x + 2lim

x - 2x - 8

= 2

3 + 2

3 - 2(3) - 8

= 5

-5

= -1

ดงนน -x 3

lim f(x)

= f(3) = -1

สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1 , 3]

ห น า | 63


4. ก าหนด f(x) = 2x + 2x - 15

x - 1 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (1 , 2) หรอไม


จาก f(x) = 2x + 2x - 15

x - 1

จะได f(c) = 2c + 2c -15

c - 1 เมอ c 1

และ x c

lim f(x)

= 2

x c

x + 2x - 15lim

x - 1

= 2c + 2c -15

c - 1


= f(c)

สรปไดวา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (1 , 2)

ห น า | 64



จงพจารณาวา f ตอเนองบนชวง [-2 , 5) หรอไม

วธท า

พจารณาท x = -1 จะได f(-1) = (-1) + 6 = 5

เนองจาก -x -1

lim f(x)

= -

2

x -1lim (x + 4)

= 1 + 4 = 5

และ +x -1

lim f(x)

=

+x -1lim (x + 6)

= (-1) + 6 = 5

จะเหนวา -x -1

lim f(x)

= 5 = +x -1

lim f(x)

นนคอ x -1lim f(x)

= 5

ดงนน ฟงกชน f ตอเนองท x = -1 พจารณาท x = 3 จะได f(3) = 3(3) - 1 = 8 เนองจาก

-x 3lim f(x)

= -x 3

lim (x + 6)

= 3 + 6 = 9

และ +x 3

lim f(x)

=

+x 3lim (3x - 1)

= 9 - 1 = 8


lim f(x)

+x 3

lim f(x)



ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 3 และ 3 [-2 , 5) ดงนน ฟงกชน f ไมตอเนองบนชวง [-2 , 5)

x2 + 4 ; x < -1

3x - 1 ; x 3

x + 6 ; -1 x < 3

x2 + 4 ; x < -1

3x - 1 ; x 3 x + 6 ; -1 x < 3 จาก f(x) =

หน้า | ก · 2015-12-17 · แบบฝกทักษะคณิตศาสตร์...

Documents