ห น้ า | ก

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 7 (ค33207) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6

เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหน่วยการเรียนรู้เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ประกอบด้วยแบบฝึกทักษะทั้งหมด 10 เล่ม ดังนี้

เล่ม 1 ลิมิตของฟังก์ชัน เล่ม 2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน เล่ม 3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลี่ยนแปลง เล่ม 5 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 6 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร เล่ม 7 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เล่ม 8 ความชันของเส้นโค้ง เล่ม 9 อนุพันธ์อนัดับสูง เล่ม 10 การประยุกต์ของอนุพันธ์

โดยในแบบฝึกทักษะแต่ละเล่ม ประกอบด้วยผลการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ครอบคลุมทั้งด้านความรู้ ด้านทักษะกระบวนการและด้านคุณลักษณะ ซ่ึงกิจกรรมของแบบฝึกทักษะแต่ละเล่มเสร็จสมบูรณ์ในตัวเอง ผู้เรียนสามารถใช้ได้ด้วยตนเอง

ส าหรับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 4 อัตราการเปลี่ยนแปลง จัดท าขึ้นเพ่ือใช้ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 9-11 เรื่อง อัตราการเปลี่ยนแปลง มีจุดมุ่งหมายเพ่ือให้นักเรียนสามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ได้ อีกท้ังยังเป็นแนวทางในการปฏิรูปกระบวนการจัดการเรียนรู้ที่เน้นผู้เรียนเป็นส าคัญ ส่งเสริมผู้เรียนได้ฝึกทักษะทางคณิตศาสตร์และแสวงหาความรู้ด้วยตนเอง อันจะท าให้ผู้เรียนเกิดความรู้ ความเข้าใจในเนื้อหามากยิ่งขึ้น เกิดความคงทนในการเรียนรู้และสามารถน าความรู้ที่ได้รับไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจ าวันได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ผู้จัดท าหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะเป็นประโยชน์ต่อการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ การค้นคว้าหาความรู้ของนักเรียนและเป็นประโยชน์ต่อผู้สนใจ เพ่ือนครูและ วงการศึกษาต่อไป

พนารัตน์ รอดภัย

ห น้ า | ข

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

หน ้ ค าน า ก สารบัญ ข ค าแนะน าในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ส าหรับครูผู้สอน ค ค าแนะน าในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ส าหรับผู้เรียน ง ผลการเรียนรู้ จ จุดประสงค์การเรียนรู้ จ สมรรถนะส าคัญของผู้เรียน จ ล าดับขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ส าหรับผู้เรียน ฉ สาระส าคัญ ช แบบทดสอบก่อนเรียน 1 กระดาษค าตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 3 ยังจ าได้ไหม 4 ใบความรู้ 4.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง 5 แบบฝึกทักษะ 4.1 8 ใบความรู้ 4.2 อัตราการเปลี่ยนแปลง (ต่อ) 14 แบบฝึกทักษะ 4.2 17 แบบทดสอบหลังเรียน 22 กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลังเรียน 25 แบบบันทึกคะแนนแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียน 26 แบบบันทึกความก้าวหน้าของแบบฝึกทักษะ 27 บรรณานุกรม 28 ภาคผนวก 30 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 31 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน 32 เฉลยแบบฝึกทักษะ 4.1 33 เฉลยแบบฝึกทักษะ 4.2 39

ห น้ า | ค

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

1. ศึกษาแผนการจัดการเรียนรู้และการใช้แบบฝึกทักษะ 2. ศึกษาและท าความเข้าใจเนื้อหา จุดประสงค์การเรียนรู้และการด าเนินการสอน เพื่อให้การจัดกิจกรรมการเรียนรู้เป็นไปตามล าดับขั้นตอน 3. ให้นักเรียนท าแบบทดสอบก่อนเรียน 4. ด าเนินกิจกรรมการเรียนรู้ 5. ให้ค าแนะน าและความช่วยเหลือนักเรียนเมื่อมีปัญหา ตามความเหมาะสมกับความสามารถและศักยภาพของนักเรียนที่แตกต่างกัน 6. ให้นักเรียนท าแบบทดสอบหลังเรียน 7. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ใช้เวลาในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3 ชั่วโมง

ห น้ า | ง

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

1. ศึกษาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 2. ศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ เพ่ือให้ทราบว่านักเรียนต้องรู้และปฏิบัติสิ่งใดบ้างหลังจาก จบบทเรียนแล้ว 3. ท าแบบทดสอบก่อนเรียนเพ่ือตรวจสอบความรู้เดิมในเรื่องที่เรียน จากนั้นตรวจค าตอบ จากเฉลยในภาคผนวกท้ายเล่มและบันทึกคะแนน 4. ศึกษาเนื้อหาและตัวอย่างให้เข้าใจ แล้วท าแบบฝึกทักษะตามล าดับขั้นตอน 5. หากไม่เข้าใจหรือมีปัญหา นักเรียนสามารถปรึกษาและแลกเปลี่ยนองค์ความรู้ 6. ท าแบบทดสอบหลังเรียนแล้วตรวจค าตอบจากเฉลยในภาคผนวกท้ายเล่มและบันทึกคะแนนแล้วเปรียบเทียบกับคะแนนทดสอบก่อนเรียน 7. หากยังมีข้อสงสัยและไม่เข้าใจให้กลับไปทบทวนบทเรียนจากแบบฝึกทักษะอีกครั้ง 8. นักเรียนควรซื่อสัตย์ต่อตนเอง โดยไม่เปิดดูเฉลยระหว่างศึกษาแบบฝึกทักษะ เพื่อนักเรียน จะได้พัฒนาการเรียนรู้ของตนเองอย่างเต็มความสามารถ

ห น้ า | จ

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ ด้านความรู้ สามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ได้ ด้านทักษะกระบวนการ

1. การแก้ปัญหา 2. การให้เหตุผล 3. การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการน าเสนอ

ด้านคุณลักษณะ 1. มีความซื่อสัตย์ สุจริต 2. มีวินัย 3. ใฝ่เรียนรู้ 4. มุ่งม่ันในการท างาน

1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคิด 3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

ห น้ า | ฉ

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ห น้ า | ช

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

สาระส าคัญ

ถ้า y = f(x) เป็นฟังก์ชันใด ๆ เมื่อค่าของ x เปลี่ยนเป็น x + h โดยที่

h 0 ค่าของ y เปลี่ยนจาก f(x) เป็น f(x + h) แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลง

เฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ f(x + h) - f(x)

h

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใด ๆ คือ

h 0

f(x + h) - f(x)lim

h

ห น้ า | 1

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 7 (ค33207) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลี่ยนแปลง ********************************************************************************************* ค าชี้แจง 1. แบบทดสอบชุดนี้มีทั้งหมด 10 ข้อ ใช้เวลา 15 นาที 2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย X ลงในช่องตัวเลือกในกระดาษค าตอบที่เห็นว่าถูกท่ีสุด *********************************************************************************************

1. ก าหนด y = x2 + 1 ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ขณะที่ x เปลี่ยนจาก 3 ไปเป็น 5 ก. 26 ข. 16 ค. 10 ง. 8

2. ก าหนด y = x2 + 2x + 5 ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ขณะที่ x เปลี่ยนจาก 1 ไปเป็น 5 ก. 26 ข. 16 ค. 10 ง. 8

3. ก าหนด y = 2

4

x ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ขณะที่ x

เปลี่ยนจาก -2 ไปเป็น -1 ก. -5 ข. -3 ค. 3 ง. 5

4. ก าหนด y = x

x - 1 ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ขณะที่ x

เปลี่ยนจาก 2 ไปเป็น 4

ก. 1

-3

ข. 3

-2

ค. 2

-3

ง. 1

-2

ห น้ า | 2

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

5. วงกลมวงหนึ่งมีรัศมียาว r เซนติเมตร ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของความยาวของเส้นรอบวงเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 5 เซนติเมตร เป็น 5.5 เซนติเมตร ก. เซนติเมตร/เซนติเมตร ข. 2 เซนติเมตร/เซนติเมตร ค. 3 เซนติเมตร/เซนติเมตร ง. 4 เซนติเมตร/เซนติเมตร

6. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีความยาวด้านละ x เซนติเมตร ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของความยาวรอบรูปเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของด้านเปลี่ยนจาก 8 เซนติเมตร เป็น 6.5 เซนติเมตร ก. -6 เซนติเมตร/เซนติเมตร ข. -4 เซนติเมตร/เซนติเมตร ค. 4 เซนติเมตร/เซนติเมตร ง. 6 เซนติเมตร/เซนติเมตร

7. ก าหนด y = 2x2 + x - 3 ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใด ๆ ก. 22x + x ข. 24x + 1 ค. 24x + x - 1 ง. 22x + 1

8. ก าหนด y = 1

x ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 4

ก. 1

-4

ข. 1

-16

ค.

1

16 ง.

1

4

9. ลูกโป่งรูปทรงกลมใบหนึ่งมีรัศมียาว r เซนติเมตร ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรเทียบกับความยาวของรัศมีในขณะที่ r = 5 เซนติเมตร ก. 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร ข. 75 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร

ค. 50 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร ง. 25 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร

10. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีความยาวด้านละ x เซนติเมตร ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่เทียบกับความยาวของด้านในขณะที่ x = 10 เซนติเมตร ก. 20 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร ข. 30 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร ค. 40 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร ง. 50 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร

ห น้ า | 3

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ห น้ า | 4

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ยังจ าได้ไหม

สงสัยจัง ถ้าก าหนดฟังก์ชันมาให้ ถ้าค่า x เปล่ียนไป ค่า y จะเปล่ียนอย่างไรนะ

อ๋อ ไม่ยากหรอกจ๊ะ เช่น ถ้าให้ y = f(x) = 2x + 1

1. ถ้า x = 1 แล้ว y มีค่าเท่าไร (ตอบ……….)

2. ถ้า x = 3 แล้ว y มีค่าเท่าไร (ตอบ……….)

3. ถ้า x = 5 แล้ว y มีค่าเท่าไร (ตอบ……….)

ค าตอ

บ 1. 2

2. 10

3. 26

4. ค่าของ y

เปลี่ยนจาก

2

ไปเป็น

10 5. ค่าของ y

เปลี่ยน

จาก

10 ไป

เป็น

26

ลองสังเกตตามนี้นะ

4. ถ้าค่าของ x เปลี่ยนจาก 1 ไปเป็น 3 ค่าของ y เปลี่ยนไปอย่างไร

ตอบ……………………………………………………………

5. ถ้าค่าของ x เปลี่ยนจาก 3 ไปเป็น 5 ค่าของ y เปลี่ยนไปอย่างไร

ตอบ……………………………………………………………

ห น้ า | 5

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

บทนิยาม ถ้า y = f(x) เป็นฟังก์ชันใด ๆ เมื่อค่าของ x เปลี่ยนเป็น x + h โดยที่ h 0

ค่าของ y เปลี่ยนจาก f(x) เป็น f(x + h) แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x

ในช่วง x ถึง x + h คือ f(x + h) - f(x)

h

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใด ๆ คือh 0

f(x + h) - f(x)lim

h

ตัวอย่างที่ 1 ก าหนด y = f(x) = 2x2 - 3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 ไปเป็น 5 วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ

f(x + h) - f(x)

h =

2 22(x + h) - 3 - (2x - 3)

h

= 2 2 22(x + 2xh + h ) - 3 - 2x + 3

h

= 2 2 22x + 4xh + 2h - 3 - 2x + 3

h

= 4x + 2h ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x = 2 ถึง x = 5 คือ f(2 + 3) - f(2)

3 = 4(2) + 2(3)

= 14

ห น้ า | 6

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

หา ค.ร.น.ของ x และ

x + h ได้ x(x + h)

ตัวอย่างที่ 2 ก าหนด y = f(x) = 1

x จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x

เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 ไปเป็น 2.5

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ

f(x + h) - f(x)

h =

1 1 -

x + h xh

=

x -(x + h) x(x + h)

h

= x - x - h

h[x(x + h)]

= - h

h[x(x + h)]

= 1

-x(x + h)

= 2

1-x + xh

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทยีบกับ x ในช่วง x = 2 ถึง x = 2.5 คือ

f(2 + 0.5) - f(2)

0.5 =

2

1-2 + 2(0.5)

= 1

-5

ห น้ า | 7

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ตัวอย่างที่ 3 ก าหนด y = f(x) = 23x + 2 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x

ขณะที่ x = 3

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x ใด ๆ คือ h 0

f(x+h) - f(x)lim

h

จาก f(x) = 23x + 2 f(x + h) = 23(x + h) + 2 = 2 23(x + 2xh + h ) + 2 = 2 23x + 6xh + 3h + 2 f(x + h) - f(x) = 2 2 2(3x + 6xh + 3h + 2) - (3x + 2) = 2 2 23x + 6xh + 3h + 2 - 3x - 2 = 26xh + 3h

h 0

f(x+h) - f(x)lim

h =

2

h 0

6xh + 3hlim

h

= h 0

h(6x + 3h)lim

h

= h 0lim (6x + 3h)

= 6x

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x = 3 คือ

h 0

f(x+h) - f(x)lim

h = 6(3)

= 18

ห น้ า | 8

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ค าชี้แจง จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องบนช่วงที่ก าหนดให้หรือไม่ (ข้อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1. ก าหนด y = f(x) = x2 – 6x + 8 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 1 ไปเป็น 1.5

วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ก าหนด y = f(x) =

22 - x จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 1 ไปเป็น 2

วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ห น้ า | 9

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

3. ก าหนด y = f(x) = 3

-x

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x

เปลี่ยนจาก 3 ไปเป็น 5 วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ก าหนด y = f(x) = 25 - 2x จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2.5 ไปเป็น 2 วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ห น้ า | 10

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

5. ก าหนด y = f(x) = 1

x - 2

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง

x = 2 ถึง x = 4 วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ต่อไปเป็นการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงนะครับ ถ้าเพื่อน ๆ จ าได้

หรือเปล่าครับว่าแตกต่างจากการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยอย่างไร

อ๋อ จ าได้ซิ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x

ถึง x + h คือ f(x + h) - f(x)

h ส่วนอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y

เทียบกับ x ขณะที่ x ใด ๆ คือ h 0

f(x+h) - f(x)lim

h

ห น้ า | 11

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

6. จากข้อ 1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 1.5

วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. จากข้อ 2 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 2

วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ห น้ า | 12

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

8. จากข้อ 3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 5 วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9. ก าหนดให้ f(x) = x3 – x2 + 1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x = 5 วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ห น้ า | 13

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

10. ให้ f(x) = 3x2 – 4x จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 4 วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ต่อไปเราไปศึกษากันว่า สามารถน าความรู้เรื่องอัตราการเปลี่ยนแปลงไปประยุกต์ใช้

ได้อย่างไรบ้าง

ห น้ า | 14

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

การน าความรู้เรื่องอัตราการเปลี่ยนแปลงไปประยุกต์ใช้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 4 ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง เปลี่ยนจาก 11 เซนติเมตร เป็น 10 เซนติเมตร จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยม เทียบกับความยาวของด้าน

วิธีท า ให้ x แทนความยาวของด้าน y แทนพ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยม

จากสูตรการหาพ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จะได้ y = 23x

4

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยมเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของด้านเปลี่ยนจาก x เซนติเมตร เป็น x + h เซนติเมตร คือ

f(x+h) - f(x)

h =

2 23 3(x + h) - x

4 4h

=

2 23(x + h) - x

4h

=

2 2 23x + 2xh + h - x

4h

=

23(2xh + h )

4h

. =

3h(2x + h)

4h

= 3

(2x + h)4

ห น้ า | 15

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของด้านเปลี่ยนจาก 11 เซนติเมตร เป็น 10 เซนติเมตร คือ

f 10 + (-1) - f(10)

(-1) =

32(11) + (-1)

4

= 21 3

4 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 5 วงกลมวงหนึ่งมีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา

1. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่วงกลม เทียบกับความยาวรัศมี ในขณะที่ r = 6 เซนติเมตร

2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของความยาวเส้นรอบวง เทียบกับความยาวของรัศมี ในขณะที่ r = 6 เซนติเมตร

วิธีท า พ้ืนที่วงกลมที่มีรัศมียาว r เซนติเมตร คือ f(r) = 2r ความยาวของเส้นรอบวงที่มีรัศมียาว r เซนติเมตร คือ f(r) = 2 r 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่วงกลม เทียบกับความยาวรัศมี ในขณะที่ r ใด ๆ คือ

h 0

f(r+h) - f(r)lim

h =

2 2

h 0

(r+h) - rlim

h

= 2 2 2

h 0

(r + 2rh + h ) - rlim

h

= 2 2 2

h 0

r + 2rh + h - rlim

h

= h 0lim (2r + h)

= 2r ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่วงกลม เทียบกับความยาวรัศมี ในขณะที่ r = 6

เซนติเมตร มีค่าเท่ากับ 2(6) 37.71 ตารางเซนติเมตร 2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของความยาวของเส้นรอบวง เทียบกับความยาวรัศมี ในขณะที่ r ใด ๆ คือ

h 0

f(r+h) - f(r)lim

h =

h 0

2 (r + h) - 2 rlim

h

= h 0

2 r + 2 h - 2 rlim

h

ห น้ า | 16

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

= h 0

2 hlim

h

= h 0lim 2

= 2 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของความยาวเส้นรอบวง เทียบกับความยาวของรัศมีในขณะที่

r = 6 เซนติเมตร มีค่าเท่ากับ 2 6.29 เซนติเมตร

ห น้ า | 17

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ค าชี้แจง จงแสดงวิธีท า (ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1. ก าหนดให้ y คือพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ x คือความยาวของด้าน จงหา ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อเทียบกับความยาวของด้าน

เมื่อความยาวของด้านเปลี่ยนจาก 10 เซนติเมตร เป็น 12 เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อเทียบกับความยาวของด้านขณะ

ความยาวของด้านเป็น 12 เซนติเมตร

วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ห น้ า | 18

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

2. จากวงกลมรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่วงกลมเม่ือเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาว

ของรัศมีเปลี่ยนจาก r เซนติเมตร เป็น r + h เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว r

เซนติเมตร

วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ห น้ า | 19

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

3. ก าหนดให้ y แทนพ้ืนที่ผิวของแท่งไม้ทรงลูกบาศก์ และ x แทนความยาวของด้าน จงหา ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่ผิวทั้งหมดเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาว

ของด้านเปลี่ยนจาก 10 เซนติเมตร เป็น 11 เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่ผิวทั้งหมดเทียบกับความยาวของด้าน ขณะความยาว

ของด้านเป็น 11 เซนติเมตร

วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ห น้ า | 20

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

4. ก าหนดให้ y แทนปริมาตรของแท่งไม้ทรงลูกบาศก์ และ x แทนความยาวของด้าน จงหา ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของด้าน

เปลี่ยนจาก x เซนติเมตร เป็น x + h เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรเทียบกับความยาวของด้าน ขณะความยาวของด้านเป็น 5 เซนติเมตร

วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ห น้ า | 21

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

5. ปริมาณของสาร N กรัม ในน้ ายา เปลี่ยนไปตามเวลา t ตามสมการ N = 8

t+1

เมื่อ t มีหน่วยเป็นนาที จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ N เทียบกับ t ขณะ t = 3 นาท ี

วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ห น้ า | 22

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 7 (ค33207) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลี่ยนแปลง ********************************************************************************************* ค าชี้แจง 1. แบบทดสอบชุดนี้มีทั้งหมด 10 ข้อ ใช้เวลา 15 นาที 2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย X ลงในช่องตัวเลือกในกระดาษค าตอบที่เห็นว่าถูกท่ีสุด *********************************************************************************************

1. ก าหนด y = 2

4

x ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ขณะที่ x

เปลี่ยนจาก 2 ไปเป็น -1 ก. 5 ข. 3 ค. -3 ง. -5

2. ก าหนด y = x2 + 1 ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกบั x ขณะที่ x เปลี่ยนจาก 3 ไปเป็น 5 ก. 8 ข. 10 ค. 16 ง. 26

3. ก าหนด y = x2 + 2x + 5 ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ขณะที่ x เปลี่ยนจาก 1 ไปเป็น 5 ก. 8 ข. 10 ค. 16 ง. 26

4. ก าหนด y = x

x - 1 ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ขณะที่ x

เปลี่ยนจาก 2 ไปเป็น 4

ก. 1

-3

ข. 3

-2

ค. 2

-3

ง. 1

-2

ห น้ า | 23

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

5. ก าหนด y = 2x2 + x - 3 ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใด ๆ

ก. 22x + x ข. 22x + 1

ค. 24x + x - 1 ง. 24x + 1

6. ก าหนด y = 1

x ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 4

ก. 1

-4

ข. 1

-16

ค. 1

16 ง.

1

4

7. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีความยาวด้านละ x เซนติเมตร ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลง เฉลี่ยของความยาวรอบรูปเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของด้านเปลี่ยนจาก 8 เซนติเมตร เป็น 6.5 เซนติเมตร ก. -6 เซนติเมตร/เซนติเมตร ข. -4 เซนติเมตร/เซนติเมตร ค. 4 เซนติเมตร/เซนติเมตร ง. 6 เซนติเมตร/เซนติเมตร

8. วงกลมวงหนึ่งมีรัศมียาว r เซนติเมตร ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ ความยาวของเส้นรอบวงเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 5 เซนติเมตร เป็น 5.5 เซนติเมตร ก. เซนติเมตร/เซนติเมตร ข. 2 เซนติเมตร/เซนติเมตร ค. 3 เซนติเมตร/เซนติเมตร ง. 4 เซนติเมตร/เซนติเมตร

9. ลูกโป่งรูปทรงกลมใบหนึ่งมีรัศมียาว r เซนติเมตร ข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ ปริมาตรเทียบกับความยาวของรัศมีในขณะที่ r = 5 เซนติเมตร ก. 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร ข. 75 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร

ค. 50 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร ง. 25 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร

ห น้ า | 24

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

10. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีความยาวด้านละ x เซนติเมตรข้อใดคืออัตราการเปลี่ยนแปลง ของพ้ืนที่เทียบกับความยาวของด้านในขณะที่ x = 10 เซนติเมตร ก. 20 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร ข. 30 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร ค. 40 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร ง. 50 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร

ห น้ า | 25

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ห น้ า | 26

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

แบบบันทึกคะแนนแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร ์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร ์ เรื่อง ลมิติและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ชื่อ………………………………………..…….ชั้น............................. เลขที…่… โรงเรียนบ้านไร่วิทยา ส านักงานเขตพ้ืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 42

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได ้ ความก้าวหน้า คิดเป็นร้อยละ การทดสอบก่อนเรียน 10 การทดสอบหลังเรียน 10

ห น้ า | 27

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

แบบบันทึกความก้าวหน้าของแบบฝึกทักษะ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร ์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร ์ เรื่อง ลมิติและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ชื่อ………………………………………..…….ชั้น............................. เลขที…่… โรงเรียนบ้านไร่วิทยา ส านักงานเขตพ้ืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 42

แบบฝึกทักษะที่ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได ้ คิดเป็นร้อยละ ผ่าน

เกณฑ์* ไม่ผ่าน

เกณฑ์** 4.1 10 4.2 10

รวมทั้งหมด 20 เฉลี่ย

คิดเป็นร้อยละ * ผ่านเกณฑ ์ หมายความว่า ผู้เรียนได้คะแนนร้อยละ 80ขึ้นไปของคะแนนเต็ม ** ไมผ่่านเกณฑ์ หมายความว่า ผู้เรียนได้คะแนนน้อยกว่าร้อยละ 80 ของคะแนนเต็ม

ห น้ า | 28

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

กนกวลี อุษณกรกุล และรณชัย มาเจริญทรัพย์. (2548). แบบฝึกหัดและประเมินผลการเรียนรู้ คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 6 เล่ม 2 ช่วงช้ันที่ 4. กรุงเทพฯ: ส านักพิมพ์เดอะบุคส์ จ ากัด. ______. (2554). แบบฝึกหัดและประเมินผลการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ: ส านักพิมพ์เดอะบุคส์ จ ากัด. กมลเอก ไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5 ค 015. กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จ ากัด. กานดา ลือสุทธิวิบูลย์ และยุพิน จิรสุขานนท์. (2548). สรุปคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ม. 4 – 5 – 6 รายวิชาพื้นฐานและรายวิชาเพิ่มเติม. กรุงเทพฯ: ส านักพิมพ์เดอะบุคส์ จ ากัด. จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ Pure Pure ม.6 (2 ภาคเรียน) กลุ่มสาระ การเรียนรู้คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ: บริษัท ส านักพิมพ์ พ.ศ. พัฒนา จ ากัด. ______. (ม.ป.ป.). เฉลยข้อสอบ Entrance คณิตศาสตร์ 15 พ.ศ.. กรุงเทพฯ: บริษัท ส านักพิมพ์ พ.ศ. พัฒนา จ ากัด. เชษฐ์ ชั้นสกุลด.ี (ม.ป.ป.). คู่มือเตรียมสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ: ห้างหุ้นส่วนจ ากัดรุ่งเรืองสาส์นการพิมพ์. ณรงค์ ปั้นนิ่ม และคณะ. (2537). คูมือเตรียมสอบคณิตศาสตร์รวม ม.4-5-6 . กรุงเทพฯ: ภูมิบัณฑิตการพิมพ์ จ ากัด. ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. (2555). คณิตศาสตร์เพิ่มเติมช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรียนที่ 2. กรุงเทพฯ: แม็คเอ็ดดูเคชั่น จ ากัด. ประชา ศิวเวทกุล. (2555). กุญแจคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 รายวิชาเพิ่มเติม เล่ม 6. กรุงเทพฯ: บริษัท ส านักพิมพ์เดอะบุคส์ จ ากัด. เลิศ สิทธิโกศล. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์แผนใหม่ แคลคูลัส ม.ปลาย 4–5–6. กรุงเทพฯ: ส านักพิมพ์ แมสพับลิชชิ่ง. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4–6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. ______. (2554). คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4–6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สมัย เหล่าวานิชย.์ (ม.ป.ป.). คู่มือเตรียมสอบคณิตศาสตร์ ม.4-5-6 สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม. กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จ ากัด. ______. (ม.ป.ป.). Mathematics Problems โจทย์คณิตศาสตร์ ม. 4–5–6. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จ ากัด. สมัย เหล่าวานิชย์ และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์พื้นฐาน + เพิ่มเติม เล่มที่ 6 ช่วงชั้นที่ 4 (มัธยมศึกษาปีท่ี 4–6). กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จ ากัด.

ห น้ า | 29

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

สุกัญญา สนิทวงศ์ ณ อยุธยา และอนัญญา อภิชาตบุตร. (2556). แคลคูลัส Calculus 1 ฉบับเสริมประสบการณ์. กรุงเทพฯ: บริษัทพิมพ์ดีการพิมพ์ จ ากัด. สุเทพ จันทร์สมศักดิ์. (ม.ป.ป.). คู่มือเตรียมสอบคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5 ค 015. กรุงเทพฯ: ส านักพิมพ์ภูมิบัณฑิต. อเนก หิรัญ. (2544). คณิตศาสตร์ ม.6 ค 015. กรุงเทพฯ: หจก. ส านักพิมพ์ฟิสิกส์ เซ็นเตอร์. ______. (ม.ป.ป.). แบบฝึกหัดพื้นฐาน วิชาคณิตศาสตร์ ม.6 ค 015. กรุงเทพฯ: หจก. ส านักพิมพ์ฟิสิกส์เซ็นเตอร์. Finney ,Ross L. and other. (2007). Calculus Graphical, Numerical, Algebraic Third Edition. Upper Saddle River. New Jersey: Prentice Hall.

ห น้ า | 30

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

ห น้ า | 31

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ ค าตอบ 1 ง 2 ง 3 ง 4 ก 5 ข 6 ค 7 ข 8 ข 9 ก 10 ก

ห น้ า | 32

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

ข้อ ค าตอบ 1 ก 2 ก 3 ก 4 ก 5 ง 6 ข 7 ค 8 ข 9 ก 10 ก

ห น้ า | 33

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

เฉลยแบบฝึกทักษะ 4.1

1. ก าหนด y = f(x) = x2 – 6x + 8 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 1 ไปเป็น 1.5

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ f(x+h) - f(x)

h

= 2 2(x + h) - 6(x + h) + 8 - (x - 6x + 8)

h

= 2 2 2(x + 2xh + h ) - (6x + 6h) + 8 - x + 6x - 8

h

= 2 2 2x + 2xh + h - 6x - 6h + 8 - x + 6x - 8

h

= 22xh + h - 6h

h

= 2x + h - 6 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x = 1 ถึง x = 1.5 คือ

f(1 + 0.5) - f(1)

0.5 = 2(1) + 0.5 - 6

= -3.5

2. ก าหนด y = f(x) = 22 - x จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x

เปลี่ยนจาก 1 ไปเป็น 2

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ f(x+h) - f(x)

h

= 2 22 - (x + h) - (2 - x )

h

= 2 2 22 - (x + 2xh + h ) - 2 + x

h

= 2 2 22 - x - 2xh - h - 2 + x

h

ห น้ า | 34

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

= 2-2xh - h

h

= -2x - h ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x = 1 ถึง x = 2 คือ f(1 + 1) - f(1)

1 = -2(1) - 1

= -3

3. ก าหนด y = f(x) = 3

-x

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x

เปลี่ยนจาก 3 ไปเป็น 5

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ f(x+h) - f(x)

h

f(x+h) - f(x)

h =

1 3 3- -

h x + h x

= 1 -3x + 3(x + h)

h x(x + h)

= 1 -3x + 3x + 3h

h x(x + h)

= 3

x(x + h)

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x = 3 ถึง x = 5 คือ

f(3 + 2) - f(3)

2 =

3

3(3 + 2)

= 1

5

ห น้ า | 35

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

4. ก าหนด y = f(x) = 25 - 2x จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2.5 ไปเป็น 2

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ f(x+h) - f(x)

h

= 2 25 - 2(x + h) - (5 - 2x )

h

= 2 2 25 - 2(x + 2xh + h ) - 5 + 2x

h

= 2 2 25 - 2x - 4xh - 2h - 5 + 2x

h

= 2-4xh - 2h

h

= -4x – 2h

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x = 2.5 ถึง

x = 2 คือ

f 2.5 + (-0.5) - f(2.5)

(-0.5) = -4(2.5) – 2(-0.5)

= -10 + 1

= -9

ห น้ า | 36

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

5. ก าหนด y = f(x) = 1

x - 2

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง

x = 2 ถึง x = 4

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ f(x+h) - f(x)

h

=

1 1x+h - - x -

2 2h

= 1 1 1

x+h - - x + h 2 2

= x+h - x

h

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x = 2 ถึง x = 4 คือ

f(2 + 2) - f(2)

2 =

2+2 - 2

2

= 4 - 2

2

= 2 - 2

2

6. จากข้อ 1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 1.5

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใด ๆ คือ h 0

f(x+h) - f(x)lim

h

h 0

f(x+h) - f(x)lim

h =

h 0lim (2x + h - 6)

= 2x - 6 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x เมื่อ x = 1.5 คือ 2(1.5) – 6 = -3

ห น้ า | 37

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

7. จากข้อ 2 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 2

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใด ๆ คือ h 0

f(x+h) - f(x)lim

h

h 0

f(x+h) - f(x)lim

h =

h 0lim (-2x - h)

= -2x ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x เมื่อ x = 2 คือ -2(2) = -4

8. จากข้อ 3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 5

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใด ๆ คือ h 0

f(x+h) - f(x)lim

h

h 0

f(x+h) - f(x)lim

h =

h 0

3lim

x(x + h)

= 2

3

x

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x เมื่อ x = 5 คือ 2

3

5 =

3

25

9. ก าหนดให้ f(x) = x3 – x2 + 1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 5

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใด ๆ คือ h 0

f(x+h) - f(x)lim

h

พิจารณา f(x + h) = 3 2(x + h) - (x + h) + 3

= 3 2 2 3 2 2(x + 3x h + 3xh + h ) - (x + 2xh + h )+ 3

= 3 2 2 3 2 2x + 3x h + 3xh + h - x - 2xh - h + 3 พิจารณา f(x + h) – f(x)

= 3 2 2 3 2 2(x + 3x h + 3xh + h - x - 2xh - h + 3) - 3 2(x - x + 1)

= 3 2 2 3 2 2x + 3x h + 3xh + h - x - 2xh - h + 3 - 3 2x - x + 1

= 2 2 3 23x h + 3xh + h - 2xh - h

พิจารณา f(x+h) - f(x)

h

= 2 2 3 23x h + 3xh + h - 2xh - h

h

ห น้ า | 38

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

= 2 2h(3x + 3xh + h - 2x - h)

h

= 2 23x + 3xh + h - 2x - h

ดังนั้น h 0

f(x+h) - f(x)lim

h

=

2 2

h 0lim (3x + 3xh + h - 2x - h)

= 23x - 2x

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x เมื่อ x = 5 คือ 23(5) - 2(5) = 65 10. ให้ f(x) = 3x2 – 4x จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 4

วิธีท า อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใด ๆ คือ h 0

f(x+h) - f(x)lim

h

h 0

f(x+h) - f(x)lim

h =

2 2

h 0

[3(x+h) - 4(x+h)] - (3x - 4x)lim

h

=

2 2 2

h 0

[3(x +2xh +h )- 4x - 4h)] - 3x + 4xlim

h

=

2 2 2

h 0

3x + 6xh +3h - 4x - 4h - 3x + 4xlim

h

= h 0

6xh - 4hlim

h

= 6x - 4 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x เมื่อ x = 4 คือ 6(4) - 4 = 20

ห น้ า | 39

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

เฉลยแบบฝึกทักษะ 4.2

1. ก าหนดให้ y คือพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ x คือความยาวของด้าน จงหา ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อ

ความยาวของด้านเปลี่ยนจาก 10 เซนติเมตร เป็น 12 เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อเทียบกับความยาวของด้าน ขณะความ

ยาวของด้านเป็น 12 เซนติเมตร

วิธีท า จากโจทย์ จะได้ y = 2x ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อเทียบกับความยาวของ

ด้าน เมื่อความยาวของด้านเปลี่ยนจาก x เซนติเมตรเป็น x + h เซนติเมตร คือ

f(x+h) - f(x)

h =

2 2(x+h) - x

h

= 2 2 2(x + 2xh + h ) - x

h

= 2x + h ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อเทียบกับความยาวของด้าน

เมื่อความยาวของด้านเปลี่ยนจาก 10 เซนติเมตร เป็น 12 เซนติเมตร คือ f(10 + 2) - f(10)

2 = 2(10) + 2

= 22 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อเทียบกับความยาวของด้าน ขณะความ

ยาวของด้านเป็น x เซนติเมตร คือ

h 0

f(x+h) - f(x)lim

h =

h 0lim (2x + h)

= 2x อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อเทียบกับความยาวของด้าน

ขณะความยาวของด้านเป็น 12 เซนติเมตร คือ 2(12) = 24 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร

ห น้ า | 40

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

2. จากวงกลมรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่วงกลมเม่ือเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาว

ของรัศมีเปลี่ยนจาก r เซนติเมตร เป็น r + h เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว r

เซนติเมตร

วิธีท า จากโจทย์ ให้ f(r) = 2r ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่วงกลมเม่ือเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาว

ของรัศมีเปลี่ยนจาก r เป็น r + h เซนติเมตร คือ

f(r+h) - f(r)

h =

2 2(r+h) - r

h

= 2 2 2(r +2rh + h ) - r

h

= 2 2 2r + 2 rh + h - r

h

= 2 r + h = (2r + h)

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเม่ือเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก r หน่วย เป็น r + h เซนติเมตร คือ

(2r + h) ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร

ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว r เซนติเมตร คือ

h 0

f(r+h) - f(r)lim

h =

h 0lim (2 r + h)

= 2 r ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว r

เซนติเมตร คือ 2 r ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร

ห น้ า | 41

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

3. ก าหนดให้ y แทนพ้ืนที่ผิวของแท่งไม้ทรงลูกบาศก์ และ x แทนความยาวของด้าน จงหา ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่ผิวทั้งหมดเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อ

ความยาวของด้านเปลี่ยนจาก 10 เซนติเมตร เป็น 11 เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่ผิวทั้งหมดเทียบกับความยาวของด้าน ขณะ

ความยาวของด้าน เป็น 11 เซนติเมตร วิธีท า จากโจทย์ y = 26x

ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่ผิวทั้งหมดเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก x เป็น x + h เซนติเมตร คือ

f(x+h) - f(x)

h =

2 26(x+h) - 6x

h

= 2 2 26(x + 2xh + h ) - 6x

h

= 2 2 26x + 12xh + 6h - 6x

h

= 212xh + 6h

h

= 12x + 6h ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่ผิวทั้งหมดเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความ

ยาวของด้านเปลี่ยนจาก 10 เซนติเมตร เป็น 11 เซนติเมตร คือ f(10 + 1) - f(11)

1 = 12(10) + 6(1)

= 120 + 6 = 126 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่ผิวทั้งหมดเทียบกับความยาวของด้าน ขณะความยาวของด้าน

เป็น x เซนติเมตร คือ

h 0

f(x+h) - f(x)lim

h =

h 0lim (12x + 6h)

= 12x ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่ผิวทั้งหมดเทียบกับความยาวของด้าน ขณะความยาว

ของด้าน เป็น 11 เซนติเมตร คือ 12(11) = 132 ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร

ห น้ า | 42

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

4. ก าหนดให้ y แทนปริมาตรของแท่งไม้ทรงลูกบาศก์ และ x แทนความยาวของด้าน จงหา ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของด้าน

เปลี่ยนจาก x เซนติเมตร เป็น x + h เซนติเมตร ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรเทียบกับความยาวของด้าน ขณะความยาวของด้าน เป็น 5 เซนติเมตร วิธีท า จากโจทย์จะได้ y = 3x

ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของด้านเปลี่ยนจาก x เซนติเมตร เป็น x + h เซนติเมตร คือ

f(x+h) - f(x)

h =

3 3(x+h) - x

h

= 3 2 2 3 3x + 3x h + 3xh + h - x

h

= 2 2 33x h + 3xh + h

h

= 2 23x + 3xh+ h

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรเทียบกับความยาวของด้าน

เมื่อความยาวของด้านเปลี่ยนจาก x เซนติเมตร เป็น x + h เซนติเมตร คือ 2 23x + 3xh+ h ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร

ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรเทียบกับความยาวของด้าน ขณะความยาวของด้าน เป็น r เซนติเมตร คือ

h 0

f(x+h) - f(x)lim

h = 2 2

h 0lim (3x + 3xh+ h )

= 23x

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรเทียบกับความยาวของด้าน ขณะความยาวของด้าน เป็น 5 เซนติเมตร คือ 23(5 ) = 75 ลูกบาศก์เซนติเมตร/เซนติเมตร

ห น้ า | 43

แบบฝึกทักษะคณติศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปลีย่นแปลง

5. ปริมาณของสาร N กรัม ในน้ ายา เปลี่ยนไปตามเวลา t ตามสมการ N = 8

t + 1 เมื่อ t

มีหน่วยเป็นนาที จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ N เทียบกับ t ขณะ t = 3 นาท ี

วิธีท า N = f(t) = 8

t + 1

f(t + h) = 8

(t + h) + 1

f(t + h) - f(t) = 8 8

- (t + h) + 1 t + 1

= 8(t + 1) - 8(t + h + 1)

(t + 1)(t + h + 1)

= -8h

(t + 1)(t + h + 1)

f(t + h) - f(t)

h =

-8

(t + 1)(t + h + 1)

จะได้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ N เทียบกับ t ขณะ t .ใด ๆ คือ

h 0

f(t + h) - f(t)lim

h =

h 0

-8lim

(t + 1)(t + h + 1)

= 2

-8

(t + 1)

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ N เทียบกับ t ขณะ t = 3 เท่ากับ

2

-8

(3 + 1) =

-8

16 =

1-2

กรัม/นาท ี