ชื่อ บทที่ 1 ลิมิตของฟังก์ชนั¸šท... ·...
TRANSCRIPT
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 1
บทท 1 ลมตของฟงกชน 1. ลมตของฟงกชน (the limit of a function)
ความหมายของลมตดานเดยวของฟงกชนเปนดงน 1.1 ลมตดานเดยว (One-sided limits)
ลมตซาย (Left-hand limits)
ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรง กลาววา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a ทางซายมอ กตอเมอ มจ านวนจรง L ทท าใหคาของ f(x) เขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทางซายมอ เขยนแทนดวยสญลกษณ
( )
x a
f x L
ลมตขวา (Right-hand limits)
ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรง กลาววา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a ทางขวามอ กตอเมอ มจ านวนจรง L ทท าใหคาของ f(x) เขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทางขวามอ เขยนแทนดวยสญลกษณ
( )
x a
f x L
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวอยางท 1 ก าหนดให 2 , 2
( ), 21
xxf x
xx
จงหา 1.1) 2
lim ( )x
f x 1.2) 2
lim ( )x
f x
ตวอยางท 2 ก าหนดให 2 1 , 1
( ) 4 , 1
5 , 1
x x
f x x
x
จงหา 1.1) 1
lim ( )x
f x 1.2) 1
lim ( )x
f x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 2
ลมตสองดาน (Two-sided limits)
เปนการพจารณาคาของ f(x) ในขณะท x เขาใกล a หมายถง x เขาใกล a ทงทางดานซายมอและ
ทางดานขวามอ
x a x a
a
ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรงแลว ลมตของฟงกชน f(x) ในขณะท x เขาใกล a
มคาเทากบ L กตอเมอคาของ f(x) มคาเขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทงทางดานซายมอและ
ทางดานขวามอของ a เขยนแทนดวยสญลกษณ
lim ( )
x a
f x L
นนคอ lim ( )
x a
f x L กตอเมอ lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
หมายเหต 1. ในกรณท 1
lim ( )
x a
f x L และ 2lim ( )
x af x L โดยท 1 2
L L หรอ
2. ถา lim ( )x a
f x หาคาไมได หรอ lim ( )x a
f x หาคาไมได
จะกลาววา lim ( )
x a
f x L หาคาไมได
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 3
ตวอยางท 3 ก าหนดให 2 1
, 0( ) 1
, 012
xx
f xxx
จงหา 1.1) 0
lim ( )x
f x 1.2) 2
lim ( )x
f x
ตวอยางท 4 ก าหนดให f(x) =3x-2 เมอ xR และ 23 8 4
( )2
x xg x
x เมอ xR และ x 2
จงหา
1.1) 2
lim ( )x
f x
1.2) 2
lim ( )x
g x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 4
ตวอยางท 5 ก าหนดให 1
, 1( ) 1
0 , 1
xx
f x x
x
จงหา 1.1) 1
lim ( )x
f x 1.2) 1
lim ( )x
f x 1.3) 1
lim ( )x
f x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 5
นยามของลมต
นยาม 1 ก าหนดใหฟงกชน f(x) นยามบนชวงเปดทม a จะกลาววา ลมตของ f(x) เทากบ L เมอ x เขาใกล a เขยนแทนดวย lim ( )
x af x L กตอเมอ ส าหรบทกจ านวนจรงบวก (Epsilon) หรอ > 0 จะสามารถ
หาจ านวนจรงบวก (Delta) หรอ > 0 ไดอยางนอยหนงคา ทท าให ( )f x L ส าหรบทกคา x ท
0 x a
สญลกษณ ( )f x L หมายถง ( )f x L
นนคอ ( )L f x L
สญลกษณ 0 x a หมายถง 0x a หรอ 0 x a
นนคอ a x a หรอ x a
ซงอาจกลาวไดวา lim ( )
x a
f x L หมายความวา ส าหรบ > 0 สามารถหา > 0 ไดคาหนง
เสมอทท าให f(x) อยในชวงเปด (L- , L+ ) ส าหรบทก x ทอยในชวงเปด (a- , a+ )และ x a ซงจะ
เหนวา ส าหรบ ทมคานอยๆ และ f(x) อยในชวงเปด (L- , L+ ) [f(x) เขาใกล L ] จะสามารถเลอก > 0
ทนอยเพยงพอ ทท าใหไดวา ถา x อยในชวงเปด (a- , a+ ) และ x a แลว f(x) จะอยในชวงเปด
(L- , L+ ) ดงรป
Y y=f(x)
L-
L
L+
0 a- a a+ X
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 6
ตวอยางท 6 จงแสดงวา 1
lim(2 1) 3x
x
โดยใชนยาม
ตวอยางท 7 ก าหนด 1 , 0( )
1 , 0
xf x
x
จงแสดงวา 0
lim ( )x
f x
หาคาไมได โดยใชนยาม
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 7
นยาม 2 ลมตซาย (Left-hand limits)
ให f นยามบนชวงเปด (c , a) จะกลาววา ลมตของ f(x) เทากบ M1 เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย และ เขยน 1
lim ( )x a
f x M
กตอเมอส าหรบทกจ านวนจรงบวก ( 0) จะสามารถหาจ านวนจรงบวก
( 0) ไดอยางนอยหนงคาทท าให 1( )f x M ส าหรบทกคา x ท a x a และเรยก M1 วา
ลมตซายของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a
นยาม 3 ลมตขวา (Right-hand limits)
ให f นยามบนชวงเปด (a , b) จะกลาววา ลมตของ f(x) เทากบ M2 เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา และ เขยน 2
lim ( )x a
f x M
กตอเมอส าหรบทกจ านวนจรงบวก ( 0) จะสามารถหาจ านวนจรงบวก
( 0) ไดอยางนอยหนงคาทท าให 2( )f x M ส าหรบทกคา x ท a x a และเรยก M2 วา
ลมตขวาของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a
ทฤษฎบทเกยวกบลมต (Theorems on limits)
ก าหนดให a , c , A , B เปนจ านวนจรง ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยท lim ( )
x af x A
และ lim ( )
x ag x B
แลว
1. limx a
c c
2. limx a
x a
3. lim n n
x ax a
เมอ n เปนจ านวนตรรกยะ
4. lim ( ) lim ( )x a x a
cf x c f x cA
5. lim n n
x acx ca
เมอ n เปนจ านวนตรรกยะ
6. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x A B
7. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x A B
8. 1 1
1 1 0 1 1 0lim[ ... ] ...n n n n
n n n nx a
c x c x c x c c a c a c a c
9. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x A B
10. lim ( )( )
lim( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x A
g x g x B
เมอ 0B
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 8
11. lim[ ( )] lim ( )n
n n
x a x af x f x A
เมอ n เปนจ านวนตรรกยะ
12. lim ( ) lim ( ) nn nx a x a
f x f x A
เมอ n A เปนจ านวนจรง
13. lim[ ( )] lim ( )
nn nmm m
x a x af x f x A
เมอ m
n A เปนจ านวนจรง
หมายเหต ทฤษฎบทดงกลาวเปนจรง เมอแทนลมตของฟงกชนท a ดวยลมตทางซาย หรอแทนลมตของฟงกชนท a ดวยลมตทางขวา
14. ถา lim ( )
x a
f x L แลว lim ( ) lim ( )x a x a
f x f x L
15. ถา lim ( ) lim ( )x a x a
f x f x L
แลว lim ( )
x a
f x L
ขอควรระวง ในการหา ( )lim
( )x a
f x
g x
มดงน
1. จะใชทฤษฎ 10 ในการหาลมตไดกตอเมอ lim ( )x a
f x
หาคาได และ lim ( )x a
g x
หาคาได และ
ไมเทากบ 0
2. กรณท lim ( )x a
f x
หาคาได และไมเทากบ 0 แต lim ( ) 0x a
g x
จะไดวา ( )lim
( )x a
f x
g x
หาคาได
3. กรณท lim ( ) 0x a
f x
และ lim ( ) 0x a
g x
เราเรยกรปแบบ ( ) 0lim
( ) 0x a
f x
g x
วา รปแบบไม
ก าหนด (Indeterminate Form) ในกรณเชนน ( )lim
( )x a
f x
g x
อาจหาคาไดหรอหาคาไมไดขนอย
กบลกษณะของฟงกชน การหาลมตจงจ าเปนตองเปลยนรปฟงกชน ( )
( )
f x
g xใหม ในรป h(x) โดยท
( )( )
( )
f xh x
g x ทกคา x ในโดเมนของ ( )
( )
f x
g x ยกเวนเมอ x= a โดยอาศยความรทางพชคณต
ดงนนจะได
( )lim lim ( )
( )x a x a
f xh x
g x
การเปลยนรปแบบฟงกชนใหม อาจใชวธแยกตวประกอบ หรอหาลมตของฟงกชนทอยใน รปอตรรกยะ ควรใชวธการเปลยนตวแปรทเหมาะสม หรอวธทท าใหฟงกชนอตรรกยะหายไปจากตวเศษหรอตวสวน โดยใชสงยคของฟงกชนอตรรกยะนนคณทงเศษและสวน
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 9
ลมตของฟงกชนทนยามเปนชวง ส าหรบกรณทฟงกชนทนยามเปนชวง จะตองหาลมตทงสองดานทจดซงมการเปลยนแปลงเงอนไข
หรอสตรฟงกชนนน และท าไดโดยการหาลมตแตละดานทจดเปลยนเงอนไขนนกอน
ตวอยางท 8 ก าหนดฟงกชน 3
2 5, 3
2 3( )
2 , 3
xx
xf x
x x
จงหา 3
lim ( )x
f x
ตวอยางท 9 ก าหนดฟงกชน
23
2
1 , 0
( )1
, 01
x x
f xx
xx
จงหา 0
lim ( )x
f x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 10
แบบฝกหดท 1.1 จงหาคาของลมตตอไปน
1. 2
lim 4x
2. 3
limx
x
3. 3
1limx
x
4. 3
2lim4x
x
5. 2
2lim 3 5x
x x
6. 3 2
1lim 4 6 9 1x
x x x
7. 3 2
2lim 2 5 3x
x x x x
8. 2
1
3 3 1lim
2 1x
x x
x
9. 3
21
4 3 3lim
2 1x
x x
x x
10.
2
4
16lim
4x
x
x
11. 2
22
4lim
6x
x
x x
12.
3
23
27lim
9x
x
x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 11
13. 0
16 4limx
x
x
14. 2
22
4lim
3 5x
x
x
15. 4
2
0lim 3 7 2x
x x
16. 2
2lim 5x
x
17. 2
2 3
1
2
lim 4 4 9x
x x
18. 2
3
2
2 8lim
2x
x x
x
19. 30
1 1lim
1 1x
x
x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 12
20.1 2
2
4 4lim
2x
x x
x
20.2 2
2
4 4lim
2x
x x
x
20.3 2
2
4 4lim
2x
x x
x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 13
แบบฝกหดท 1.2
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 14
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 15
X
2. ลมตอนนตและลมตทอนนต ลมตอนนต (Infinite limit) พจารณาฟงกชนทมคาเพมขนหรอลดลงอยางไมมขอบเขต เมอตวแปรอสระมคาเขาใกลจ านวนจรงทเปนคาคงตวคาหนง นนคอเปนการพจารณาหาคาของ f(x) เมอ x มคาเขาใกลจ านวนจรง a แลวคาของ f(x) อาจเปนคาบวกเพมขนเรอยๆ โดยไมมขอบเขต หรอเปนคาลบลดลงไปเรอยๆ โดยไมมขอบเขต เชน
พจารณา 1( )f x
x เมอ x มคาเขาใกล 0 คาของ f(x) เปนดงตาราง และมกราฟดงรปท 1.1
x<0 -1 -0.5 -0.1 -0.01 0 f(x) -1 -2 -10 -100 ลดลงโดยไมมขอบเขต (- ) x>0 1 0.5 0.1 0.01 0 f(x) 1 2 10 100 เพมขนโดยไมมขอบเขต ( )
Y
รปท 1.1 จะเหนวา เมอ 0x คาของ f(x) ลดลงโดยไมมขอบเขต ลกษณะเชนนเขยนแทนดวย
0lim ( )x
f x
และ เมอ 0x คาของ f(x) เพมขนโดยไมมขอบเขต ลกษณะเชนนเขยนแทนดวย
0lim ( )x
f x
เราเรยกลมตทงสองแบบนวา ลมตอนนต
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 16
หรอ
2( )
1
xf x
x
เมอ x เขาใกล 1 คาของ f(x) เปนตารางและมกราฟ ดงรปท 1.2
x<1 0 0.5 0.9 0.99 1 f(x) 0 2 90 9900 เพมขนโดยไมมขอบเขต ( ) x>1 2 1.5 1.1 1.01 1 f(x) 2 6 110 10100 เพมขนโดยไมมขอบเขต ( )
รปท 1.2 เมอ x มคาเขาใกล 1 ในลกษณะ x<1 และ x >1 จะเหนวา f(x) มคาเปนบวกเพมขนโดยไมมขอบเขต ลกษณะนเขยนแทนดวย
1lim ( )x
f x
และกลาวไดวา ลมตของ f(x) เปนบวกอนนต
นยาม 4
1. ลมตของ f(x) เปนบวกอนนตเมอ x a และเขยน lim ( )x a
f x
กตอเมอ ส าหรบแตละ
จ านวนจรงบวก M ทก าหนดใหจะมจ านวนจรงบวก ทท าให f(x)>M ส าหรบทก x ท 0 x a
2. ลมตของ f(x) เปนลบอนนตเมอ x a และเขยน lim ( )
x af x
กตอเมอ ส าหรบแตละ
จ านวนจรงบวก M ทก าหนดใหจะมจ านวนจรงบวก ทท าให f(x)<-M ส าหรบทก x ท 0 x a
x=1
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 17
รปตอไปนแสดงใหเหนถงลมตอนนตในรปแบบตางๆ
1. lim ( )
x af x
0
รปท 1.3 2.
lim ( )
x af x
0 รปท 1.4 3. lim ( )
x af x
0 รปท 1.5
X
Y
a
เสนก ากบในแนวตง
X
Y
a
เสนก ากบในแนวตง
X
Y
a
เสนก ากบในแนวตง
x=a
x=a
x=a
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 18
x=a
x=a
x=a
4.
lim ( )
x af x
0
รปท 1.6 5.
lim ( )
x af x
และ lim ( )
x af x
0 ดงนน lim ( )x a
f x
รปท 1.7 6. lim ( )
x af x
และ lim ( )
x af x
0 ดงนน lim ( )x a
f x
รปท 1.8 ในกรณท lim ( )
x af x
(หรอ - ) หรอ lim ( )
x af x
(หรอ - ) หรอ lim ( )
x af x
(หรอ - ) เราเรยกเสนตรง x = a วาเปน เสนก ากบแนวตง (Vertical asymptote) ของ f
X
Y
a
เสนก ากบในแนวตง
X
Y
a
เสนก ากบในแนวตง
X
Y
a
เสนก ากบในแนวตง
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 19
ทฤษฎบท ก าหนดให a และ L เปนจ านวนจรงของ f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรงโดยท
1. lim ( )x a
f x L
เมอ L > 0 และ lim ( ) 0x a
g x
, ( ) 0( )lim
( ) , ( ) 0x a
g xf x
g x g x
2. lim ( )
x af x L
เมอ L < 0 และ lim ( ) 0
x ag x
, ( ) 0( )lim
( ) , ( ) 0x a
g xf x
g x g x
ตวอยางท 10 ก าหนดฟงกชน2
1( )
( 1)f x
x
จงหา
1lim ( )x
f x
ตวอยางท 11 ก าหนดฟงกชน 1 2( )
2
xf x
x
จงหา
2lim ( )x
f x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 20
ตวอยางท 12 ก าหนดฟงกชน2
2( )
1
xf x
x
จงหา
12.1 1
lim ( )x
f x
12.2 1
lim ( )x
f x
12.3
( 1)lim ( )
xf x
12.4
( 1)lim ( )
xf x
ตวอยางท 13 ก าหนดฟงกชน2 4
1 1( )f x
x x จงหา
0lim ( )x
f x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 21
ลมตทอนนต (Limit at infinity) พจารณาลมตของฟงกชน เมอตวแปรอสระมคาเพมขนหรอลดลงอยางใดอยางหนง โดยไมมขอบเขต นนคอคาของ f(x) อาจจะมคาเขาใกลจ านวนจรงจ านวนหนง เมอ x มคาบวกเพมขนโดยไมมขอบเขต เขยนแทนดวย x หรอเมอ x มคาลบลดลงโดยไมมขอบเขต เขยนแทนดวย x
พจารณา 1( )f x
x คาของ f(x) เปนดงตาราง เมอก าหนดคา x ตางๆมาให และมกราฟดงรปท 1.9
x>0 10 100 1000 10000 เพมขนโดยไมมขอบเขต ( )
1
x 0.1 0.01 0.001 0.0001 0
x<0 -10 -100 -1000 -10000 ลดลงโดยไมมขอบเขต (- )
1
x -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 0
รปท 1.9
1. ในขณะท x >0 และ x มคาเพมขนโดยไมมขอบเขต ( x ) แลว f(x) มคาเขาใกล 0 ลกษณะ
เชนนกลาวไดวา “ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกลอนนตเทากบ 0” เขยนแทนดวยสญลกษณ lim ( ) 0
xf x
2. ในขณะท x <0 และ x มคาลดลงโดยไมมขอบเขต ( x ) แลว f(x) มคาเขาใกล 0 ลกษณะเชนนกลาวไดวา “ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกลลบอนนตเทากบ 0” เขยนแทนดวยสญลกษณ
lim ( ) 0x
f x
Y
X
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 22
นยาม 5
1. เรยกลมตของ f(x) เทากบ L เมอ x กตอเมอส าหรบแตละจ านวนจรงบวก จะมจ านวนจรงบวก M ทท าให ถา x>M แลว ( )f x L และเขยนในรป
lim ( )x
f x L
2. เรยกลมตของ f(x) เทากบ L เมอ x กตอเมอส าหรบแตละจ านวนจรงบวก จะมจ านวนจรงบวก M ทท าให ถา x<-M แลว ( )f x L และเขยนในรป lim ( )
xf x L
ทฤษฎลมตทอนนต
ก าหนดให c , A , B เปนจ านวนจรง ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยท lim ( )
xf x A
และ lim ( )
xg x B
แลว
1. limx
c c
2. limx
c c
3. lim 0, 0x
cc
x
4. lim 0, 0x
cc
x
5. lim ( )x
h x
หรอ lim ( )x
h x
แลว lim 0, 0( )x
cc
h x
6. lim ( )x
h x
หรอ lim ( )x
h x
แลว lim 0, 0( )x
cc
h x
7. ถา x>0 แลว lim n
xx
เมอ n เปนจ านวนจรงบวก
8. ถา x<0 และ nx แลว , 0lim
, 0
n
n
nx
xx
x
เมอ n เปนจ านวนจรงบวก
9. ถา x>0 แลว lim 0, 0nx
cc
x และ n เปนจ านวนจรงบวก
10. ถา x<0 และ nx แลว lim 0, 0nx
cc
x และ n เปนจ านวนจรงบวก
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 23
11. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x x x
f x g x f x g x A B
12. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x x x
f x g x f x g x A B
13. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x x x
f x g x f x g x A B
14. lim ( )( )
lim( ) lim ( )
x
x
x
f xf x A
g x g x B
เมอ 0B
15. lim[ ( )] lim ( )x x
cf x c f x cA
หมายเหต ทฤษฎบท 11 – 15 ยงคงเปนจรง เมอเปลยน x ดวย x
ตวอยางท 14 จงหาคาลมตของฟงกชนตอไปน
14.1 lim3x
14.2 lim 3x
14.3 4limx x
14.4 2limx x
14.5 2lim
3 4x x 14.6
3
3limx x
14.7 3
4limx
x
14.8 1
3limx
x
14.9 5limx x
14.10 2
3
10limx
x
14.11 2
3 4lim 2x x x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 24
ลมตของฟงกชนตรรกยะ เมอ x หรอ x
ในการหาลมตของฟงกชนตรรกยะ เมอ x หรอ x สามารถท าไดโดยการหารเศษและสวนของฟงกชนตรรกยะ ดวยตวแปร (x) ทมก าลงสงทสดทปรากฏในฟงกชนหรอคามากทสดทปรากฏใน
ฟงกชน แลวเทอมทเปนตวแปร (x) ก าลงตางๆ จะเปนคาของตวเลขหรออยในรปก าลงตางๆของ 1
xและ
สามารถใชทฤษฎ 9 และ 10 ได
ตวอยางท 15 จงหา 2 3lim
6 5x
x
x
ตวอยางท 16 จงหา 2
3
4 1lim
2 3 5x
x x
x x
ตวอยางท 17 จงหา 3 2
2
3 4 2lim
2 3 3x
x x
x x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 25
ตวอยางท 18 จงหา 18.1
2 1lim
2 3x
x
x
18.2
2 1lim
2 3x
x
x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 26
ตวอยางท 19 จงหา 3 3lim
3 3
x x
x xx
ตวอยางท 20 จงหา lim 2x
x x
ตวอยางท 21 จงหา lim 1x
x x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 27
แบบฝกหดท 1.3 1. จงหาลมตอนนตของฟงกชนตอไปน โดยระบวาเปน หรอ -
1.1 30
4limx x
1.2 30
4limx x
1.3 20
1limx x
1.4 20
1limx x
1.5 2
3lim
2x x 1.6
2
3lim
2x x
1.7 1
1lim
1x x 1.8
1
1lim
1x x
1.9 0
5limx x
1.10
2
21
3 2lim
2 1x
x x
x x
1.11
2
25
3lim
5x
x
x
1.12 3
1lim
3x x
2. จงหาลมตทอนนตของฟงกชนตอไปน (ถามลมตจรง) 2.1 lim 40
x 2.2 lim 40
x
2.3 8 3lim
2 1x
x
x
2.4
2
3
4 6 1lim
2 3x
x x
x x
2.5 2
2
2 1lim
4 1x
x
x
2.6
34 2lim
4 1x
x
x
2.7 3
10
6lim
2 5 8x
x x
x x
2.8
4 2
4
1066 1492lim
3 2001x
x x
x
ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................
แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 28
2.9 3 3lim
3 3
x x
x xx
2.10 3 3
lim3 3
x x
x xx
2.11 2lim 1x
x x
2.12 lim 1x
x x
2.13 2lim 5 6x
x x x
2.14 2lim 1x
x x x
2.15 29 3
lim6x
x x
x
2.16 2
2
4lim
9 3x
x x
x